全称量词和存在量词 ppt课件

x3－x2＋2≥0.故选 C.
4．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是
()
A．∀x∈R，|x|＞0
B．∃x∈R，|x|＞0
C．∀x∈R，|x|≤0
D．∃x∈R，|x|≤0
解析：选 C.由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全称量
词命题，可知选 C.
5．判断下列命题的真假． (1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示； (2)存在一个实数 x，使得等式 x2＋x＋8＝0 成立． 解：(1)假命题，如边长为 1 的正方形，其对角线的长度为 2， 2 就不能 用正有理数表示． (2)假命题，方程 x2＋x＋8＝0 的判别式 Δ＝－31<0，故方程无实数解．
1．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是 A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数 x，使 x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数 x，使1x＞2 答案：B
()
2．下列命题是“∀x∈R，x2＞3”的另一种表述方式的是 A．有一个 x∈R，使得 x2＞3 B．对有些 x∈R，使得 x2＞3 C．任选一个 x∈R，使得 x2＞3 D．至少有一个 x∈R，使得 x2＞3 答案：C
■微思考 1 (1)常见的全称量词还有哪些？ 提示：全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常 见的全称量词还有“一切”“每一个”“任意”等． (2)常见的存在量词还有哪些？ 提示：存在量词命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的 命题，常见的存在量词还有“有些”“某一个”“有的”等．
解：(1)∀x∈R，x2＋x＋1>0. (2)∀a，b∈R，ax＋b＝0 恰有一个解． (3)∃x，y∈Z，3x－2y＝10. (4)∀x∈Q，13x2＋12x＋1 是有理数．

只需在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立即可（举 反例）
总 结：
判断特称命题“x0∈M, p(x0) ”是真命题的方法 只判需断在特集称合命M题中“找到x一0∈个M元,素px(x0,0使) ”得是p(假x0)命成题立的即方可法(举例说明).
需要证明集合M中,使p(x)成立的元素x不存在.
两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题。
（3）由于存在整数 3 只有两个正因数 1 和 3，。所以，特称命题
“有些整数只有两个正因数”是真命题。
全称命题、特称命题的表述方法：
命题
表 述 方 法
全称命题 x M , p(x)
特称命题
x0 M , p(x)
①所有的x∈M，p(x)成立
①存在x0∈M，使p(x)成立
②对任意一实数 ， x
，则a b ；
x2 成1立；2
11 ab
假命题
假命题
③有些整数只有两个正因数
真命题
3.下列命题中的假命题是（ ） B
A. x R, 2x1 0B.
x N * , ( x 1)2 0
C. x R, lg x 1D.
x R, tan x 2
C. m ，R使函数
f ( x) x2 都m是x(偶x函数R；)
D. m ，R使函数
f ( x) x2 都m是x(奇x函数R；)
8.下列命题为假命题是______ ① ② ③
① x (0, ), ( 1 )x (1)x
2
3
③ x (0,1), ( 1 )x log x
解 ：（ 1 ） 由 于 xR, x2 2x 3 (x1)2 2 2, 因 此 使
x2 2x 3 0的实数 x 不存在。所以，特称命题“有一个实数 x0 ， 使 x02 2x0 3 0 ”是假命题。

答案：D
2．下列四个命题中的真命题为( )
A．∃x0∈Z,1<4x0<3 C．∀x∈R，x2－1＝0
B．∃x0∈Z,5x0＋1＝0 D．∀x∈R，x2＋x＋2>0
解析：x2＋x＋2＝x＋122＋74>0，
∴∀x∈R，x2＋x＋2>0 为真命题．
故应选 D. 答案：D
3．已知定义在 R 上的函数 f(x)，写出命题“若对任意实数 x 都有 f(－x)＝f(x)， 则 f(x)为偶函数”的否定： _________________________________________________________________. 解析：所给命题是全称命题，其否定为特称命题．
1．用量词符号“∀”“∃”表达下列命题： (1)实数都能写成小数形式； (2)有一个实数 α，tan α 无意义； (3)对任意实数 x，都有 x3>x2.
解析：(1)∀x∈R，x 能写成小数形式． (2)∃α∈R，使 tan α 无意义． (3)∀x∈R，x3>x2.
探究二 全称命题与特称命题的真假判断 [典例 2] 下列命题中，真命题是( ) A．∃x∈0，π2，sin x＋cos x≥2 B．∀x∈(3，＋∞)，x2>2x＋1 C．∃x∈R，x2＋x＝－1 D．∀x∈π2，π，tan x>sin x
[解析] (1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和都等于 360°”，故为全称命 题． (2)含有存在量词“有的”，故是特称命题． (3)含有全称量词“任意”，故是全称命题． (4)含有存在量词“有一个”，故为特称命题．
判断命题是全称命题还是特称命题的方法 (1)分析命题中是否含有量词； (2)分析量词是全称量词还是特称量词； (3)若命题中不含量词，要根据命题的意义去判断．

为真命题，但q是假命题．p的否定应为“不是每一个实
数的平方都大于1”即“有的实数的平方不大于1”． 4．全称命题和特称命题的否定分别是什么命题？ 提示：全称命题的否定一定是特称命题，特称命题的 否定一定是全称命题．
[例1]
判断下列命题是特称命题还是全称命题．
①存在被5整除的整数，末位数是0； ②存在实数x，使得x2＋1＝0；
1．判断下列命题是全称命题还是特称命题：
(1)负数没有对数；
(2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除； (3)∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数； (4)∃x0∈Z，log2x0>0. 解：(1)和(3)为全称命题．
(2)和(4)为特称命题.
[例 2]
指出下列命题是全称命题还是特称命题，并
2
(2)p：所有的正方形都是菱形； (3)p：至少有一个实数 x0，使 x0 3＋1＝0； (4)p：与同一平面所成的角相等的两条直线平行．
[自主解答] (1)是全称命题，綈 p：∃x0 ∈R，x0 2－x0＋ 1 1 12 2 <0.因为对于任意的 x，x －x＋ ＝(x－ ) ≥0，所以綈 p 为 4 4 2 假命题． (2)是全称命题，綈 p：存在一个正方形不是菱形．正方 形是特殊的菱形，所以綈 p 为假命题．
使p(x0)成立 ”．
3．含有一个量词的命题的否定
1．命题p“每一个实数的平方都大于1”是全称命题吗？
是真命题吗？ 提示：是全称命题．因为它含有全称量词“每一个”， 但它不是真命题. 2．命题q“每一个实数的平方都不大于1”是全称命题吗？
是真命题吗？
提示：是全称命题，且是假命题．
3．命题q是p的否定吗？命题p的否定是什么？ 提示：q不是p的否定．因为命题p是假命题，其否定应

1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.( ) (2)全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在 性”.( ) (3)全称命题一定含有全称量词,特称命题一定含有存在量 词.( )
【解析】(1)“有些”“某个”“有的”等短语是存在量词,故 说法是错误的. (2)结合全称量词和存在量词的含义知,这种说法是正确的. (3)有些命题虽然没有写出全称量词和存在量词,但其意义具备 “任意性”或“存在性”,这类命题也是全称命题或特称命题, 如“正数大于0”即“所有正数都大于0”,故说法是错误的. 答案:(1)× (2)√ (3)×
①所有的x∈M,有p(x)成立 表 ②对一切x∈M,有p(x)成立 述
③对每一个x∈M,有p(x)成立 方
④任选一个x∈M,有p(x)成立 法
⑤凡x∈M,都有p(x)成立
①存在x0∈M,使p(x0)成立 ②至少有一个x0∈M,使p(x0)成立 ③对有些x0∈M,使p(x0)成立 ④对某个x0∈M,使p(x0)成立 ⑤有一个x0∈M,使p(x0)成立
【即时练】 下列命题是全称命题的个数是( ) ①任何实数都有平方根; ②所有的素数都是奇数; ③有的等差数列是等比数列; ④三角形的内角和是180°. A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选D.命题①②含有全称量词,而命题④可以叙述为“每 一个三角形的内角和都是180°,”故有三个全称命题.
类型一 全称命题与特称命题的判定
2
一个实数α0,使tanα0无意义”是真命题. (2)不是命题. (3)含有全称量词,所以该命题是全称命题.又任何一个圆的圆心 到切线的距离都等于半径,所以,全称命题“所有圆的圆心到其 切线的距离都等于半径”是真命题.

2.存在量词与特称命题 (1)存在量词:短语“_存__在__一__个__”“至少有一个”在逻辑中通 常叫做存在量词,并用符号“_∃__”表示. (2)特称命题:含有_存__在__量__词__的命题叫做特称命题. (3)符号表示:符号简记为:_∃_x_0_∈__M_,_p_(_x_0_)_, 读作:“存在一个x0属于M,使p(x0)_成__立__”.
【典例1】
(1)命题“自然数的平方大于零”是
命题(填“全称”
或“特称”),其省略的量词是
.
(2)判断下列命题是全称命题,还是特称命题.
①凸多边形的外角和等于360°;
②有一个实数a,a不能取对数;
③任何数的0次方都等于1.
【解题探究】1.题(1)中的自然数是指哪些数? 2.题(2)①中省略了什么量词?命题②③中分别含有什么量词? 【探究提示】1.指的是所有的自然数. 2.命题①中省略了量词“所有的”,命题②③中分别含有量词 “有一个”“任何”.
2
②真命题.例如,α= ,β= ,符合题意.
4
2
③假命题.例如,x=1,y=5,x-y=-4∉N.
【方法技巧】全称命题与特称命题的真假判断的技巧 (1)全称命题的真假判断 要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素 x验证p(x)成立;但要判定全称命题是假命题,却只要能举出集合 M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的 “举出一个反例”).
【微思考】 (1)同一个全称命题的表述是否是惟一的? 提示:不惟一,对于同一个全称命题,由于自然语言不同,可以有不 同的表述方法,只要含义正确即可.
(2)全称命题中的“x,M与p(x)”表达的含义分别是什么? 提示:元素x可以表示实数、方程、函数、不等式,也可以表示几 何图形,相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示 集合M的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于 0”,可以表示为“∀x∈N,x≥0”.

这两个元素不在集合{x|x≤a}内,故a<-1.
答案:{a|a<-1}
方法总结
利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧
(1)含参数的全称量词命题为真时,常转化为不等式的恒成立问题来处理,
最终通过构造函数转化为求函数的最值问题.
(2)含参数的存在量词命题为真时,常转化为方程或不等式有解的问题来
处理,最终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决.
有”这一词语,你还能用其他词语代替吗?
提示:“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“凡是”等.
探究2:上述词语都有什么含义?
提示:表示某个范围内的整体或全部.
知识探究
1.全称量词与全称量词命题
[问题1] 观察下面的两个语句,思考并回答下列问题:
下面的两个语句都是命题吗?两者之间有什么关系?
P:x≤3;
解:因为x2≥1,所以x≥1或x≤-1.
又x∈{x|x≥a},则{x|x≥a}⫋{x|x≥1}.
故a≥1.即实数a的取值范围为{a|a≥1}.

2
[例 4] 已知命题“∃x∈R,2x +(a-1)x+ ≤0”是假命题,则实数 a 的取值范

围是
.
2

解析:由题意可得“对∀x∈R,2x +(a-1)x+ >0 恒成立”是真命题,令Δ=
p(x)成立;但要判定全称量词命题是假命题,只需举出集合M中的一个x,使
得 p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).
(2)存在量词命题的真假判定
要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x,使
p(x)成立即可;否则,这一存在量词命题就是假命题.