一阶电路的零状态响应

一阶电路的零状态响应在动态元件初始储能为0 的前提下，电路对初始激励产生的响应，称为零状态响应。

明显，这一响应与输入形式有关。

最简洁最基本的输入形式是直流电压源和恒流源。

1、RC 电路的零状态响应如图，在t ＝0 时刻，开关闭合，问i 、u R 、u C 如何变化？物理过程分析：依据以前学问，uC ( 0+ )＝uC ( 0－)＝u C ( 0 )＝0 。

这就是说，在t＝0 时刻，电容相当于短路，直流电压全部降落在R上，那么电流i (0 + )＝U 0 / R 。

但是，电流一经流淌，必定在电容极板上产生电荷积累，q＝Cu C 0。

然而，总电压U0 不变，R 上压降必定减小，从而电流i ＝uR/R 减小…… 。

最终，uC →U0，i →0，充电停止，电路达到另外一个稳态，此时，电容相当于开路。

数学求解：t 0这是一个一阶线性常系数非齐次微分方程。

作如下代换后，求解：结论：uC 随时间呈指数增长，最终趋于uC。

而uR 则相反，uC ＋uR ＝U0 。

电流i(t) 从U0 / R开头衰减，最终趋于0，快慢取决于τ。

特殊留意：在整个充电过程中，电源供应的能量、电阻消耗的能量、电容储存的能量有下列关系：使人惊异的是：不论C 和R 的取值有多大，充电过程中，电源供应的能量中，正好一半转变成电场能存储于电容中，另一半则被R 消耗掉了，即充电效率仅有50％。

2、RL 电路的零状态响应如图，在t ＝0 时刻，开关闭合，直流电压源加于电路。

问i 、u R 、u L 随时间如何变化？物理过程分析：依据以前学问，在有限电压前提下，电流不能跃变，i ( 0+ ) ＝i ( 0－)＝i ( 0 ) ＝0 。

也即：u R( 0 + ) ＝R i ( 0 + )＝0此刻，U 0 全部降落在L 上，即：u L( 0+ ) = U0换句话说，L 相当于开路。

但是，电流一经流淌，必定在R 上产生压降，总电压U0不变，故L 上压降必定减小。

退出开始§3-5一阶电路的零状态响应内容提要一阶RL 电路的零状态响应一阶RC 电路的零状态响应X零状态响应(z.s.r)是在零初始状态下，仅由外加激励t 合上开关S 0C Ch Cpu u u 解的形式为：t d t充电曲线1()(1e)0tu t U t充电过程中的能量充电过程中电阻消耗的能量：返回X(0)S t ()L t i000时电感无初始储能：充电曲线 (1e ) 0ti t I t充电过程中的能量充电过程中电阻消耗的能量：通过分析RC电路或者RL电路的所求变量，可以看出因此，只要知道了该变量的X（充电）过渡过程与时间常数的关系t = 时，电容电压或电感电流就充电为稳态值的63.2%。

工程上常取t = (3 ~ 5 ) 作为充电完毕所需时间。

t = 4 时，电容电压或电感电流就充电为稳态值的98.17%。

t = 5 时，电容电压或电感电流就充电为稳态值的99.33%。

时间常数影响过渡过程的快慢：时间常数 越小，过渡过程越快；时间常数 越大，过渡过程越慢；以RC电路为例，不同时间常数时的充电曲线X根据电路，利用公式杂电路，利用戴维南定理将除动态元件以外的电路用()C u t +- t=0时，开关闭合。

电路再达稳态，电容开路，所以电容电压的稳态值为：解：例题1已知电路在闭合后的解（续）()()()tu t u e 1+)t1F2()u t 1+-(0)S t t=0时，开关闭合。

电路再所以电解：例题2解（续）t i +-V10010020R 2R 3t=0时，开关闭合。

电源左右两部分可看成独立的两部分。

电路再达稳态，电感解：例题3已知电路在求开关R 2R3与电容连接的等效电阻为：解（续）(1)零状态响应是在零初始状态下由外加激励产生的响应，它取决于电路的稳定状态和电路特性，因此，只要知道电容电压或电感电流的稳态值和电路的时间常数，就能求得一阶电路的z.s.r 。

X(2)零状态响应线性：激励增长k 倍，响应也增长k 倍。

一阶电路零状态响应公式在电路理论中，一阶电路是指由一个电感或一个电容和一个电阻组成的电路。

它是电路理论中最基本的电路之一，也是我们学习电路的起点。

在分析一阶电路时，我们经常需要计算电路的零状态响应，即在初始时刻电路中没有任何电流或电压的情况下，当输入信号突然改变时电路的响应。

一阶电路的零状态响应公式可以通过求解电路的微分方程得到。

对于一个由电感、电阻和输入电压源组成的串联电路，我们可以根据基尔霍夫电压定律和欧姆定律建立如下的微分方程：L di/dt + Ri = Vin其中，L是电感的感值，单位是亨利；R是电阻的阻值，单位是欧姆；Vin是输入电压源的电压，单位是伏特；i是电路中的电流，单位是安培；t是时间，单位是秒。

为了求解这个微分方程，我们可以使用分离变量法。

首先，将方程两边除以L，得到：di/dt + (R/L)i = Vin/L接下来，我们可以将这个微分方程进行变换，使得左边只有i的导数，右边只有t和Vin。

具体的变换方法是将方程两边乘以e^(Rt/L)，得到：e^(Rt/L)di/dt + (R/L)e^(Rt/L)i = (Vin/L)e^(Rt/L)这样，左边的第一项可以通过链式法则转化为：d(e^(Rt/L)i)/dt右边的第一项可以通过乘法法则转化为：(Vin/L)e^(Rt/L)现在，我们可以将方程重新写成：d(e^(Rt/L)i)/dt = (Vin/L)e^(Rt/L)接下来，我们对方程两边进行积分，得到：∫d(e^(Rt/L)i) = ∫(Vin/L)e^(Rt/L)dt对于左边的积分，我们可以使用积分的基本性质，得到：e^(Rt/L)i = ∫(Vin/L)e^(Rt/L)dt + C其中，C是积分常数。

最后，我们可以解出i的表达式：i = (1/L)e^(-Rt/L)∫(Vin/L)e^(Rt/L)dt + Ce^(-Rt/L)这就是一阶电路的零状态响应公式。

通过这个公式，我们可以计算出在初始时刻电路中没有任何电流或电压的情况下，当输入信号突然改变时电路的响应。

第三节 一阶电路零状态响应一、一阶RC 电路零状态响应所谓一阶RC 电路零状态，是指换路前电容元件未储有能量，即0)0(=-C u 。

在此条件下，由直流电源激励所产生的电路响应，称为零状态响应。

RC 电路的零状态响应实际上就是电容元件的充电过程。

u Ci图5-3-1一阶RC 电路零状态图5-3-1所示为RC 串联电路。

在t =0时将开关S 合上，电路与恒定电压U 的直流电压源接通，对电容元件开始充电。

根据KVL 得U u u C R =+而Ri u R =，dtdu C i C =代入上式得 U u dtdu RC C C =+ 上式为一阶常系数线性非奇次微分方程，它的解由该方程的特解u C ′和对应的齐次方程0=+C C u dtdu RC 的通解u C ″组成。

特解U u u C C =∞=')(，又称强制分量或稳态分量；通解t RC C Ae u 1-=''，也称自由分量或暂态分量。

故微分方程的解为：t RC C C C Ae U u u u 1-+=''+'=若0)0()0(==-+C C u u ，则由此初始条件代入上式得U A -=因此，零状态响应中的电容电压的表达式为：)1(C C ttC e U Ue U u ττ---=-=零状态响应中的电容电流的表达式为：τt c e RU dt du C i -== 由此可得电阻元件R 上的电压：τtR Ue Ri u -== u C 以指数形式趋近于它的最终恒定值U ，到达该值后，电压和电流不再变化，电容相当于开路，电流为零。

此时电路达到稳定状态（简称稳态），所以在这种情况下，特解'C u （=U ）称为稳态分量。

同时可以看出'C u 与外施激励的变化规律有关，所以又称为强制分量。

非齐次方程的通解"C u 则由于其变化规律取决于特征根而与外施激励无关，所以称为自由分量。

一阶电路零状态响应公式一阶电路是指由一个电感和一个电阻构成的电路。

在电路中加入一个电压源，开关打开时，电路处于零状态（即初始状态），此时电感中存储的能量为零。

当开关关闭时，电感开始储存能量，电流开始流动。

我们可以通过一阶电路的零状态响应公式来描述电路在零状态下的响应情况。

在一阶电路中，电感的电压满足以下微分方程：Ldi/dt + Ri = V(t)其中，L是电感的感值（单位是亨），R是电阻的阻值（单位是欧姆），i是电流（单位是安培），V(t)是输入电压（单位是伏特），t是时间（单位是秒）。

根据电压-电流关系（Ohm's Law）可以得到：V(t) = Ri + Ldi/dt我们可以对上述微分方程进行求解，得到一阶电路的零状态响应公式。

假设在时刻t=0，电路处于零状态，即电流i(0)=0。

根据初始条件，我们可以解得零状态下的电流i(t)的表达式：i(t) = (V/R)(1 - e^(-t/(L/R)))其中，e是自然对数的底数。

从上述公式可以看出，一阶电路的零状态响应是一个指数衰减函数。

当时间t趋近于无穷大时，指数项e^(-t/(L/R))趋近于零，此时电流i(t)趋近于V/R，即电路达到稳态。

通过一阶电路的零状态响应公式，我们可以推测电路在初始状态下的响应情况。

这对于设计和分析电路的性能非常重要。

例如，我们可以通过该公式来预测电路的响应时间、电流的变化趋势等。

需要注意的是，一阶电路的零状态响应公式是基于一些假设和简化条件得出的。

实际电路中可能存在其他因素的影响，如电容、非线性元件等。

因此，在实际应用中需要根据具体情况进行修正和调整。

总结一下，一阶电路的零状态响应公式是描述电路在零状态下的响应情况的重要工具。

通过该公式，我们可以推测电路的响应时间和电流的变化趋势。

但在实际应用中，需要考虑其他因素的影响，并根据具体情况进行修正和调整。

一阶电路的零状态响应所谓零状态响应就是在初始条件为零的情况下，由施加于电路的输入所产生的响应。

换句话说是求微分方程初始条件为零时的非齐次解。

1 RC 电路的零状态响应如图1-4-11所示的一阶RC 电路中，电容一开始未充电，t ＝0时开关闭合，电路与激励U S 接通，试确定S 闭合后电路中的响应。

图1-4-11 RC 电路的零状态响应在S 闭合瞬间，电容电压不会跃变，由换路定律u C （0+）＝u C （0－）＝0可知，t ＝0+时电容相当于短路，u R （0+）＝U S ，故电容开始充电后，随着时间的推移，u C 将逐渐升高，u R 则逐渐降低，i R （等于i C ）逐渐减小。

当t →∞时，电路达到稳态，这时电容相当于开路，充电电流i C （∞）＝0，u R （∞）＝0，u C ＝（∞）＝U S 。

由KVL 得：u R +u C =u S ，而，代入式（1-4-23）可得到以u C 为变量的微分方程初始条件为u C （0+）＝0。

式（1-4-24）为一阶常系数非齐次微分方程，其解由两部分组成：一部分是它相应的齐次微分方程的通解u Ch ，也称为齐次解；另一部分是该非齐次微分方程的特解u Cp ，即u C ＝u Ch +u Cp 。

由于式（1-4-24）相应的齐次微分方程与RC 零输入响应式完全相同，因此其通解应为式中，A 为积分常数。

特解 uCp取决于激励函数，当激励为常量时特解也为一常量，可设uCp ＝k，代入式（4-24）得uCp＝k＝US。

则式（1-4-24）微分方程的解（完全解）为将初始条件uC （0+）＝0 代入式（1-4-25），得出积分常数A＝－US，故由于稳态值 uC （∞）＝US，故式（1-4-26）可写成由式（1-4-27）可知，当t＝0 时，uC （0）＝0，当t＝τ时，uC（τ）＝U S （1－e–1）＝63.2%US，即在零状态响应中，电容电压上升到稳态值uC＝（∞）＝US 的63.2%所需的时间是τ。

一阶暂态电路暂态过程三种响应
1、三种响应
电路的零输入响应、零状态响应和全响应。

全响应为零输入响应与零状态响应的叠加。

2、响应关系
（1）零输入响应是指无电源激励，输入信号为零，仅由初始值引起的响应，其实质是储能元件的放电过程。

即有
换路条件U S =0、f （0+）≠0；表达式()(0)τ
-+=t f t f e 。

（2）零状态响应是指换路前初始储能为零，仅由外加激励引起的响应，其实质是电源给储能元件的充电过程。

即有
换路条件U S ≠0、f （0+）=0；()()1τ-=∞-t
f t f e （）。

（3）全响应是指激励和初始储能共同作用的结果，将零输入和零状态响应叠加。

其数学表达式为
()(0)()(1)--ττ
+=+∞-t t
f t f e f e 全响应=零输入响应+零状态响应
τ
t e
f f f t f -∞-++∞=)]()0([)()(全响应=稳态分量+暂态分量式中，f (t )为待求量；f (∞)为稳态分量；f (0+)为初始值；τ为瞬间常数。

3、几种响应变化曲线
电路不同的响应所对应变化曲线，如图1所示。

图1电路响应的变化曲线。

一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应零状态响应：储能元件的初始状态为零，仅由外加激励作用所产生的响应，称为零状态响应（ zero-state response ）。

一、 RC 电路的零状态响应图 5.4-1 所示 RC 电路，开关闭合之前电路已处于稳态，且电容中无储能，即。

时开关闭合，讨论时响应的变化规律。

t=0 时开关闭合，则由换路定则得这时直流电压源 Us 与 R 、 C 构成回路，由 KVL 得这是一阶非齐次微分方程，它的解由对应的齐次微分方程的通解和非齐次微分方程的特解组成。

采用常数变易法来解，得 RC 电路的零状态响应为当 t →∞时，电路已达到新的稳态，电容又相当于开路，则，因此，电容电压的零状态响应为式中，为 RC 电路的时间常数。

二、 RL 电路的零状态响应图 5.4-3 所示电路，时开关 S 处于闭合状态，电感的初始状态，时开关打开。

讨论开关打开后响应的变化规律。

t=0 时，开关 S 打开，直流电流源 Is 开始对电感充电，这时这也是一阶非齐次微分方程，解得式中，为 RL 电路的时间常数。

当 t →∞时，这时电路已达到新的稳态，电感相当于短路。

，因此，电感电流的零状态响应为三、一阶电路零状态响应的计算计算步骤1 、求 t →∞时的稳态值。

对于 RC 电路，求；对于 RL 电路，求。

2 、求电路的时间常数τ。

对于 RC 电路，，对于 RL 电路，。

其中， R 为从电容 C 或电感 L 两端看进去的戴维南等效电阻。

3 、求出零状态响应RC 电路：RL 电路：4 、如需求其它响应，再根据已求得的或去求解。

例 5.4-1 图 5.4-5 所示电路，已知时开关 S 处于位置 2 ，且电感中无储能， t=0 时开关 S 拨到位置 1 ，求时的，。

解：电感的初始储能为 0 ，则电路换路后， t →∞时，电路进入新的稳态，电感又相当于短路，则换路后，从电感两端看进去的等效电阻是 4 Ω和 8 Ω两个电阻串联，即R=4 ＋ 8=12 Ω所以，时间常数为因此，电路的零状态响应为。

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