2018年高考数学二轮复习练习(江苏) 专题限时集训2 解三角形Word版 含答案

江苏 新高考新高考中，对三角计算题的考查始终围绕着求角、求值问题，以和、差角公式的运用为主，可见三角式的恒等变换比三角函数的图象与性质更为重要.三角变换的基本解题规律是：寻找联系、消除差异.常有角变换、函数名称变换、次数变换等(简称为：变角、变名、变次).备考中要注意积累各种变换的方法与技巧，不断提高分析与解决问题的能力.三角考题的花样翻新在于条件变化，大致有三类：第一类是给出三角式值(见2014年三角解答题)，第二类是给出在三角形中(见2011年、2015年、2016年三角解答题)，第三类是给出向量(见2013年、2017年三角解答题).而2012年三角解答题则是二、三类的混合.第1课时三角函数(基础课)[常考题型突破]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.[题组练透]1．(2017·江苏高考)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝ ________.解析：tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75.答案：752．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，若sin α＝35⎝⎛⎭⎫π2＜α＜π，则f ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝________. 解析：∵sin α＝35⎝⎛⎭⎫π2＜α＜π， ∴cos α＝－45，∴f ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22(sin α＋cos α)＝22×⎝⎛⎭⎫35－45＝－210. 答案：－2103．(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________. 解析：由题意知sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角， 所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45. tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－45×53＝－43.答案：－434．在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝13，则sin A ＝________.解析：∵sin(C －A )＝1，∴C －A ＝90°，即C ＝90°＋A ，∵sin B ＝13，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin(90°＋2A )＝cos 2A ＝13，即1－2sin 2A ＝13，∴sin A ＝33.答案：33[方法归纳]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．(2)图象变换：y ＝sin x ――――――――――→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)――――――――――――→纵坐标变为原来的A (A ＞0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． [题组练透]1．(2016·全国卷Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．解析：因为y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，所以把y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象至少向右平移2π3个单位长度可得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象． 答案：2π32.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG (点G 是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f (1)＝________.解析：由题意得，A ＝3，T ＝4＝2πω，ω＝π2.又∵f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数，∴φ＝π2＋k π，k ∈Z ，取k ＝0，则φ＝π2，∴f (x )＝－3sin π2x ，∴f (1)＝－ 3.答案：－ 33.(2017·天津高考改编)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，|φ|＜π.若f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则ω＝________，φ＝________.解析：∵f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0， ∴11π8－5π8＝T4(2m ＋1)，m ∈N ， ∴T ＝3π2m ＋1，m ∈N ， ∵f (x )的最小正周期大于2π，∴T ＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x 3＋φ. 由2sin ⎝⎛⎭⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z. 又|φ|＜π，∴取k ＝0，得φ＝π12. 答案：23 π124．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π5，若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为______．解析：由f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)对任意x ∈R 成立，知f (x 1)，f (x 2)分别是函数f (x )的最小值和最大值．又要使|x 1－x 2|最小，∴|x 1－x 2|的最小值为f (x )的半个周期，即为2.答案：2 [方法归纳]1．三角函数的单调区间y ＝sin x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)，单调递减区间是⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z)；y ＝cos x 的单调递增区间是[]2k π－π，2k π(k ∈Z)，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z)；y ＝tan x 的递增区间是⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z)． 2．三角函数的奇偶性与对称性y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z)时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)求得．y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z)时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)求得． y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z)时为奇函数．[题组练透]1．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，则函数f (x )的最小正周期为________，f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 解析：周期T ＝2π2＝π，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin 2π3＝ 3. 答案：π32．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． 解析：依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]， 因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1. 答案：13．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω＞0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，则f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的单调递增区间为________． 解析：依题意知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，于是有T ＝2πω＝2×π2＝π，ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.当2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z 时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6单调递增．因此，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π6，π3. 答案：⎣⎡⎦⎤－π6，π3[方法归纳]1．正弦定理及其变形在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝a2R，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等． 2．余弦定理及其变形在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.3．三角形面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .[题组练透]1．(2017·盐城期中)在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则此三角形的最大内角的大小为________．解析：由正弦定理及sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7知，a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，可设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k ，且角C 是最大内角，由余弦定理知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9k 2＋25k 2－49k 22×3k ×5k ＝－12，因为0°<C <180°，所以C ＝120°.答案：120°2．在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝2，D 为AB 的中点，△BCD 的面积为334，则AC ＝________.解析：因为S △BCD ＝12BD ·BC sin B ＝12×1×BC ×sin π3＝334，所以BC ＝3.由余弦定理得AC 2＝4＋9－2×2×3×cos π3＝7，所以AC ＝7.答案：73．(2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C＝513，a ＝1，则b ＝________. 解析：在△ABC 中，∵cos A ＝45，cos C ＝513，∴sin A ＝35，sin C ＝1213，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365. 又∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin Bsin A ＝1×636535＝2113.答案：2113[方法归纳][A 组——抓牢中档小题]1．(2017·苏北四市期末)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωπx －π6(ω>0)的最小正周期为15，则f ⎝⎛⎭⎫13的值为________．解析：因为f (x )的最小正周期为2πωπ＝15，所以ω＝10，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫10πx －π6，所以f ⎝⎛⎭⎫13＝sin ⎝⎛⎭⎫10π3－π6＝sin 19π6＝－sin π6＝－12. 答案：－122．在平面直角坐标系xOy 中，角θ的终边经过点P (－2，t )，且sin θ＋cos θ＝55，则实数t 的值为________．解析：∵角θ的终边经过点P (－2，t )， ∴sin θ＝t4＋t 2，cos θ＝－24＋t 2， 又∵sin θ＋cos θ＝55， ∴t 4＋t 2＋－24＋t 2＝55，即t －24＋t2＝55， 则t ＞2，平方得t 2－4t ＋44＋t 2＝15，即1－4t 4＋t 2＝15，即4t 4＋t 2＝45， 则t 2－5t ＋4＝0，则t ＝1(舍去)或t ＝4. 答案：43．(2017·南京、盐城一模)将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位后，所得函数为偶函数，则φ＝____________.解析：将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位后，所得函数为f (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2(x －φ)＋π3，即f (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2x ＋⎝⎛⎭⎫π3－2φ.因为f (x )为偶函数，所以π3－2φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝－π12－k π2，k ∈Z ，因为0＜φ＜π2，所以φ＝5π12. 答案：5π124．设函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(0＜x ＜π)，当且仅当x ＝π12时，y 取得最大值，则正数ω的值为________．解析：由条件得sin ⎝⎛⎭⎫π12ω＋π3＝1，又0＜x ＜π，ω＞0，故π12ω＋π3＝π2，ω＝2. 答案：25．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2b ＝a ＋c ，若sin B ＝45，cos B ＝9ac，则b 的值为________．解析：∵2b ＝a ＋c ，sin B ＝45，cos B ＝9ac ，sin 2B ＋cos 2B ＝1，∴ac ＝15，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－18＝(a ＋c )2－48＝4b 2－48，得b ＝4.答案：46．(2017·扬州期末)已知cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝130<α<π2，则sin(π＋α)＝________. 解析：因为cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝13⎝⎛⎭⎫0<α<π2， 所以π3<π3＋α<5π6，有sin ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫π3＋α＝223，所以sin(π＋α)＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π3＋α＋2π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋αcos 2π3＋cos ⎝⎛⎭⎫π3＋αsin 2π3 ＝223×⎝⎛⎭⎫－12＋13×32＝3－226. 答案：3－2267．(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝________.解析：因为角α与角β的终边关于y 轴对称， 所以α＋β＝2k π＋π，k ∈Z ，所以cos(α－β)＝cos(2α－2k π－π)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝－⎣⎡⎦⎤1－2×⎝⎛⎭⎫132＝－79. 答案：－798．在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，则b c ＝________.解析：∵在△ABC 中，A ＝2π3， ∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 2π3，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .∵a ＝3c ，∴3c 2＝b 2＋c 2＋bc ，∴b 2＋bc －2c 2＝0， ∴(b ＋2c )(b －c )＝0，∴b －c ＝0，∴b ＝c ，bc ＝1.答案：19．若f (x )＝3sin(x ＋θ)－cos(x ＋θ)⎝⎛⎭⎫－π2≤θ≤π2是定义在R 上的偶函数，则θ＝________.解析：因为f (x )＝3sin(x ＋θ)－cos(x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋θ－π6为偶函数，所以θ－π6＝k π＋π2，k ∈Z.即θ＝k π＋2π3.因为－π2≤θ≤π2，所以θ＝－π3.答案：－π310．在△ABC 中，设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若a ＝5，A ＝π4，cos B ＝35，则c ＝________.解析：根据题意得，sin B ＝45，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝22(sin B ＋cos B )＝22×75＝7210，由a sin A ＝c sin C ，得5sinπ4＝c 7210，解得c ＝7. 答案：711．(2017·无锡期末)设f (x )＝sin 2x －3cos x ·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，则f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调递增区间为________．解析：f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x ＝12(1－cos 2x )＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12，当2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z 时，函数f (x )单调递增，令k ＝0，得－π6≤x ≤π3，所以函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π3. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π3 12．函数y ＝a sin(ax ＋θ)(a ＞0，θ≠0)图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值为________．解析：易知函数y ＝a sin(ax ＋θ)(a ＞0，θ≠0)的最大值为a ，最小值为－a ，最小正周期T ＝2πa ，所以相邻的最高点与最低点的距离为⎝⎛⎭⎫πa 2＋4a 2≥2×πa×2a ＝2π，当且仅当πa ＝2a ，即a ＝2π2时等号成立．答案：2π13．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是________． 解析：由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435， 可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435， 即32sin α＋32cos α＝435，∴3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. 答案：－4514．(2017·苏锡常镇一模)已知sin α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝________. 解析：∵sin α＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝3sin αcos π6＋3cos α·sin π6＝332sin α＋32cos α，∴tan α＝32－33.又tan π12＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－π4＝tan π3－tan π41＋tan π3tanπ4＝3－13＋1＝2－3， ∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝tan α＋tanπ121－tan αtanπ12 ＝32－33＋2－31－32－33×()2－3＝23－4.答案：23－4[B 组——力争难度小题]1．如图，已知A ，B 分别是函数f (x )＝3sin ωx (ω＞0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB ＝π2，则该函数的最小正周期是________．解析：设函数f (x )的最小正周期为T ，由图象可得A ⎝⎛⎭⎫T 4，3，B ⎝⎛⎭⎫3T 4，－3，则OA ―→·OB ―→＝3T 216－3＝0，解得T ＝4. 答案：42．(2017·南京考前模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－cos ωx (ω＞0)．若函数f (x )的图象关于直线x ＝2π对称，且在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是单调函数，则ω的取值集合为____________． 解析：f (x )＝32sin ωx ＋12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －12cos ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6， 因为f (x )的图象关于直线x ＝2π对称，所以f (2π)＝±1，则2πω－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，所以ω＝k 2＋13，k ∈Z.因为函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是单调函数， 所以最小正周期T ≥2⎣⎡⎦⎤π4－⎝⎛⎭⎫－π4， 即2πω≥π，解得0＜ω≤2，所以ω＝13或ω＝56或ω＝43或ω＝116.当ω＝13时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π6， x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，13x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π4，－π12， 此时f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上为增函数； 当ω＝56时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫56x －π6， x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，56x －π6∈⎣⎡⎦⎤－3π8，π24， 此时f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上为增函数； 当ω＝43时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫43x －π6， x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，43x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π2，π6， 此时f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上为增函数； 当ω＝116时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫116x －π6， x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，116x －π6∈⎣⎡⎦⎤－5π8，7π24， 此时f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上不是单调函数； 综上，ω∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，56，43.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，56，433．△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，若3cos A ＋sin A 3sin A －cos A＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π12，则tan A ＝________.解析：3cos A ＋sin A3sin A －cos A＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π32sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝－tan ⎝⎛⎭⎫A ＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－A －π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π12， 所以－A －π3＝－7π12，所以A ＝7π12－π3＝π4，所以tan A ＝tan π4＝1.答案：14．已知函数f (x )＝A sin(x ＋θ)－cos x2cos ⎝⎛⎭⎫π6－x 2(其中A 为常数，θ∈(－π，0))，若实数x 1，x 2，x 3满足：①x 1＜x 2＜x 3，②x 3－x 1＜2π，③f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)，则θ的值为________．解析：函数f (x )＝A (sin x cos θ＋cos x sin θ)－cos x 2·⎝⎛⎭⎫32cos x 2＋12sin x 2＝A (sin x cos θ＋cos xsin θ)－32×1＋cos x 2－14sin x ＝⎝⎛⎭⎫A cos θ－14sin x ＋⎝⎛⎭⎫A sin θ－34cos x －34，故函数f (x )为常数函数或为周期T ＝2π的周期函数．又x 1，x 2，x 3满足条件①②③，故f (x )只能为常数函数，所以⎩⎨⎧A cos θ－14＝0，A sin θ－34＝0，则tan θ＝3，又θ∈(－π，0)，故θ＝－2π3.答案：－2π3第2课时平面向量(基础课)[常考题型突破][必备知识](1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向，不能盲目转化．(2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，和向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，减向量的方向是指向被减向量．(3)A ，B ，C 三点共线的充要条件是存在实数λ，μ，有OA ―→＝λOB ―→＋μOC ―→，且λ＋μ＝1.(4)C 是线段AB 中点的充要条件是OC ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)．G 是△ABC 的重心的充要条件为GA ―→＋GB ―→＋GC ―→＝0.[题组练透]1．(2017·盐城期中)设向量a ＝(2，－6)，b ＝(－1，m )，若a ∥b ，则实数m ＝________. 解析：因为a ∥b ，所以2m －(－1)×(－6)＝0，所以m ＝3. 答案：32．(2017·镇江模拟)已知△ABC 和点M 满足MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0.若存在实数m 使得AB ―→＋AC ―→＝mAM ―→成立，则m ＝________.解析：由MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为底边BC 的中点，则AM ―→＝23AD ―→＝23×12(AB ―→＋AC ―→)＝13(AB ―→＋AC ―→)，∴AB ―→＋AC ―→＝3AM ―→，故m ＝3.答案：33.(2017·南京考前模拟)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AB ＝2CD ，M 为CD 的中点，N 为线段BC 上一点(不包括端点)，若AC ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，则1λ＋3μ的最小值为________．解析：以AB 为x 轴，A 为坐标原点建立直角坐标系如图所示，设B (2,0)，C (1，t )，M ⎝⎛⎭⎫12，t ，N (x 0，y 0)， 因为N 在线段BC 上，所以y 0＝t1－2(x 0－2)， 即y 0＝t (2－x 0)， 因为AC ―→＝λAM ―→＋μAN ―→， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝12λ＋μx 0，t ＝λt ＋μy 0，即t ＝λt ＋μy 0＝λt ＋μt (2－x 0)，因为t ≠0，所以1＝λ＋μ(2－x 0)＝λ＋2μ－μx 0＝λ＋2μ－⎝⎛⎭⎫1－12λ， 所以3λ＋4μ＝4，这里λ，μ均为正数，所以4⎝⎛⎭⎫1λ＋3μ＝(3λ＋4μ)⎝⎛⎭⎫1λ＋3μ＝3＋12＋4μλ＋9λμ≥15＋236＝27, 所以1λ＋3μ≥274当且仅当4μλ＝9λμ，即λ＝49，μ＝23时取等号．所以1λ＋3μ的最小值为274.答案：274[方法归纳][必备知识]1．数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ. 2．三个结论：(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB ―→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. [题组练透]1．(2017·山东高考)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．解析：因为(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2|·|e 1＋λe 2|＝3－λ21＋λ2，故3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33.答案：33 2．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 解析：易知|a ＋2b |＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝4＋4×2×1×12＋4＝2 3.答案：2 33．已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(tm ＋n )，则实数t的值为________．解析：∵n ⊥(tm ＋n )，∴n ·(tm ＋n )＝0， 即tm ·n ＋|n |2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0. 又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4. 答案：－44．(2017·南京、盐城二模)已知平面向量AC ―→＝(1,2)，BD ―→＝(－2,2)，则AB ―→·CD ―→的最小值为________．解析：设A (a ，b )，B (c ，d )， ∵AC ―→＝(1,2)，BD ―→＝(－2,2)， ∴C (a ＋1，b ＋2)，D (c －2，d ＋2)，则AB ―→＝(c －a ，d －b )，CD ―→＝(c －a －3，d －b )，∴AB ―→·CD ―→＝(c －a )(c －a －3)＋(b －d )2＝(c －a )2－3(c －a )＋(b －d )2＝⎝⎛⎭⎫c －a －322－94＋(b －d )2≥－94.∴AB ―→·CD ―→的最小值为－94.答案：－945．已知边长为6的正三角形ABC ，BD ―→＝12BC ―→，AE ―→＝13AC ―→，AD 与BE 交于点P ，则PB ―→·PD ―→的值为________．解析：由题意可得点D 为BC 的中点，以点D 为坐标原点，BC ，AD所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则D (0,0)，A (0，33)，B (－3,0)，C (3,0)，E (1,23)，直线BE 的方程为y ＝32(x ＋3)与AD (y 轴)的交点为P ⎝⎛⎭⎫0，332，所以PB ―→·PD ―→＝⎝⎛⎭⎫－3，－332·⎝⎛⎭⎫0，－332＝274.答案：274[方法归纳]1．(2017·南京三模)在四边形ABCD 中，BD ＝2，且AC ―→·BD ―→＝0，(AB ―→＋DC ―→)·(BC ―→＋AD ―→)＝5，则四边形ABCD 的面积为________．解析：因为AC ―→·BD ―→＝0，所以AC ―→⊥BD ―→，所以以BD 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，建立直角坐标系，因为BD ＝2，所以可设B (b,0)，D (2＋b,0)，A (0，a )，C (0，c )，所以AB ―→＝(b ，－a )，DC ―→＝(－2－b ，c )，BC ―→＝(－b ，c )，AD ―→＝(2＋b ，－a )，所以AB ―→＋DC ―→＝(－2，c －a )，BC ―→＋AD ―→＝(2，c －a )，因为(AB ―→＋DC ―→)·(BC ―→＋AD ―→)＝5，所以－4＋(c －a )2＝5，即(c －a )2＝9，所以|AC ―→|＝| c －a |＝3，所以四边形ABCD 的面积为12×AC ×BD ＝12×3×2＝3.答案：32．已知圆O 的半径为2，AB 是圆O 的一条直径，C ，D 两点都在圆O 上，且|CD ―→|＝2，则|AC ―→＋BD ―→|＝________.解析：如图，连结OC ，OD ，则AC ―→＝AO ―→＋OC ―→，BD ―→＝BO ―→＋OD ―→， 因为O 是AB 的中点， 所以AO ―→＋BO ―→＝0， 所以AC ―→＋BD ―→＝OC ―→＋OD ―→， 设CD 的中点为M ，连结OM ， 则AC ―→＋BD ―→＝OC ―→＋OD ―→＝2OM ―→， 显然△COD 是边长为2的等边三角形， 所以|OM ―→|＝3，故|AC ―→＋BD ―→|＝|2OM ―→|＝2 3. 答案：2 33.(2017·南通三模)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝DC ＝2.若E ，F 分别是线段DC 和BC 上的动点，则AC ―→·EF ―→的取值范围是________．解析：法一：因为AC ―→＝AB ―→＋BC ―→，EF ―→＝EC ―→＋CF ―→，所以AC ―→·EF ―→＝(AB ―→＋BC ―→)·(EC ―→＋CF ―→)＝AB ―→·EC ―→＋BC ―→·CF ―→＝3|EC ―→|－2|CF ―→|，因为E ，F 分别是线段DC 和BC 上的动点，且BC ＝DC ＝2，所以|EC ―→|∈[0,2]，|CF ―→|∈[0,2]，所以由不等式的性质知AC ―→·EF ―→的取值范围是[－4，6]．法二：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则C (3,2)，因为E ，F 分别是线段DC 和BC 上的动点，且BC ＝DC ＝2，所以可设E (x ，2)，F (3，y )，所以AC ―→＝(3,2)，EF ―→＝(3－x ，y －2)，且x ∈[1,3]，y ∈[0,2]，所以AC ―→·EF ―→＝3(3－x )＋2(y －2)＝5－3x ＋2y ∈[－4,6]，即AC ―→·EF ―→的取值范围是[－4,6]．答案：[－4,6] [方法归纳]1．利用平面向量解决几何问题的两种方法2．求解向量数量积最值问题的两种方法[课时达标训练] [A 组——抓牢中档小题]1．(2017·南京学情调研)设向量a ＝(1，－4)，b ＝(－1，x )，c ＝a ＋3b .若a ∥c ，则实数x ＝________.解析：因为a ＝(1，－4)，b ＝(－1，x )，c ＝a ＋3b ＝(－2，－4＋3x )．又a ∥c ，所以－4＋3x －8＝0，解得x ＝4.答案：42．(2017·无锡期末)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)，若a －b 与ma ＋b 垂直，则m 的值为________．解析：因为a ＝(2,1)，b ＝(1，－1)，所以a －b ＝(1,2)，ma ＋b ＝(2m ＋1，m －1)，因为a －b 与ma ＋b 垂直，所以(a －b )·(ma ＋b )＝0，即2m ＋1＋2(m －1)＝0，解得m ＝14.答案：143．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 解析：由题意知a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎨⎧k ＝13，λ＝－13.答案：－134．已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为________． 解析：∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝1－2cos 〈a ，b 〉＝0，∴cos 〈a ，b 〉＝22，∴〈a ，b 〉＝π4.答案：π45．若单位向量e 1，e 2的夹角为π3，向量a ＝e 1＋λe 2(λ∈R)，且|a |＝32，则λ＝________.解析：由题意可得e 1·e 2＝12，|a |2＝(e 1＋λe 2)2＝1＋2λ×12＋λ2＝34，化简得λ2＋λ＋14＝0，解得λ＝－12.答案：－126．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.解析：由题意得c ·a |c ||a |＝c ·b |c ||b |⇒c ·a |a |＝c ·b |b |⇒5m ＋85＝8m ＋2025⇒m ＝2. 答案：27．(2017·常州模拟)已知点G 是△ABC 的重心，过G 作一条直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM ―→＝x AB ―→，AN ―→＝y AC ―→，则xy x ＋y的值为________．解析：由已知得M ，G ，N 三点共线，即AG ―→＝λAM ―→＋(1－λ)AN ―→＝λx AB ―→＋(1－λ)y AC ―→， ∵点G 是△ABC 的重心，∴AG ―→＝23×12(AB ―→＋AC ―→)＝13(AB ―→＋AC ―→)，∴⎩⎨⎧λx ＝13，(1－λ)y ＝13，即⎩⎨⎧λ＝13x，1－λ＝13y，得13x ＋13y＝1， 即1x ＋1y ＝3，通分变形得，x ＋y xy ＝3，∴xy x ＋y ＝13.答案：138．已知A ，B ，C 三点不共线，且AD ―→＝－13AB ―→＋2AC ―→，则S △ABD S △ACD＝________.解析：如图，取AM ―→＝－13AB ―→，AN ―→＝2AC ―→，以AM ，AN 为邻边作平行四边形AMDN ，此时AD ―→＝－13AB ―→＋2AC ―→.由图可知S △ABD ＝3S △AMD ，S △ACD ＝12S △AND ，而S △AMD ＝S △AND ，所以S △ABDS △ACD＝6. 答案：69．(2017·苏锡常镇一模)在△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，若点P 满足AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→，且BP ―→·CP ―→＝1，则实数λ的值为________.解析：法一：由题意可得AP ―→－AB ―→＝BP ―→＝λAC ―→.又CP ―→ ＝AP ―→－AC ―→＝AB ―→＋(λ－1)AC ―→，所以BP ―→·CP ―→＝λAB ―→·AC ―→＋λ(λ－1)|AC ―→|2＝1，即λ＋(λ2－λ)×4＝1，所以有4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－14.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，所以A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，32，C (2，0)，设P (x ，y )．所以AP ―→＝(x ，y )，AB ―→＝⎝⎛⎭⎫12，32，AC ―→＝(2,0)．又因为AP ―→＝AB ―→＋λAC ―→，所以有⎩⎨⎧x ＝2λ＋12，y ＝32，所以BP ―→＝(2λ，0)，CP ―→＝⎝⎛⎭⎫2λ－32，32.由BP ―→·CP ―→＝1可得4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－14.答案：1或－1410．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(0，t 2＋1)，则当t ∈[－3，2]时，⎪⎪⎪⎪a －t b|b |的取值范围是________．解析：由题意，b |b |＝(0,1)，根据向量的差的几何意义，⎪⎪⎪⎪a －t b |b |表示同起点的向量t b|b |的终点到a 的终点的距离，当t ＝3时，该距离取得最小值1，当t ＝－3时，该距离取得最大值13，即⎪⎪⎪⎪a －t b|b |的取值范围是[1，13 ]． 答案：[1，13 ]11.(2017·南通二调)如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5.若AB ―→·AD ―→＝－7，则BC ―→·DC ―→的值是________．解析：法一：由AB ―→·AD ―→＝－7得，(OB ―→－OA ―→)·(OD ―→－OA ―→)＝－7，即(OB ―→－OA ―→)·(OB ―→＋OA ―→)＝7，所以OB ―→2＝7＋OA ―→2＝7＋9＝16，所以|OB ―→|＝|OD ―→|＝4.所以BC ―→·DC ―→＝(OC ―→－OB ―→)·(OC ―→－OD ―→)＝(OC ―→－OB ―→)·(OC ―→＋OB ―→)＝OC ―→2－OB ―→2＝25－16＝9.法二：以O 为原点，OC 为x 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则C (5,0)，设B (x 1，y 1)，A (x 2，y 2)，则D (－x 1，－y 1)，x 22＋y 22＝9，由AB ―→·AD ―→＝－7，得(x 1－x 2，y 1－y 2)·(－x 1－x 2，－y 1－y 2)＝－7，得x 21＋y 21＝16，而BC ―→·DC ―→＝(5－x 1，－y 1)·(5＋x 1，y 1)＝25－x 21－y 21＝25－16＝9.答案：912．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠DAB ＝60°，EC ―→＝2DE ―→，则AE ―→·DB ―→的值为________．解析：如图所示，∵EC ―→＝2DE ―→，∴DE ―→＝13DC ―→.∵菱形ABCD 的边长为a ， ∠DAB ＝60°， ∴|DA ―→|＝|DC ―→|＝a ，DA ―→·DC ―→＝|DA ―→||DC ―→|cos 120°＝－12a 2，∵DB ―→＝DA ―→＋DC ―→，∴AE ―→·DB ―→＝(AD ―→＋DE ―→)(DA ―→＋DC ―→) ＝⎝⎛⎭⎫AD ―→＋13 DC ―→(DA ―→＋DC ―→)＝－DA ―→2＋13DC ―→2－23DA ―→·DC ―→＝－a 2＋13a 2＋13a 2＝－a 23.答案：－a 2313．在矩形ABCD 中，边AB ，AD 的长分别为2和1，若E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，且满足|BE ―→||BC ―→|＝|CF ―→||CD ―→|，则AE ―→·AF ―→的取值范围是________． 解析：法一：取A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图所示直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (2，1)．∵|BE ―→||BC ―→|＝|CF ―→||CD ―→|，得2|BE ―→|＝|CF ―→|，设E (2，y )(0≤y ≤1)，则F (2－2y,1)．∴AE ―→·AF ―→＝(2，y )·(2－2y,1)＝2(2－2y )＋y ＝4－3y ∈[1,4]． 法二：∵|BE ―→||BC ―→|＝|CF ―→||CD ―→|，则|CF ―→|＝2|BE ―→|. ∵0≤|BE ―→|≤1，∴AE ―→·AF ―→＝(AB ―→＋BE ―→)·(AD ―→＋DF ―→) ＝AB ―→·DF ―→＋BE ―→·AD ―→＝2|DF ―→|＋|BE ―→| ＝2(2－|CF ―→|)＋|BE ―→|＝4－3|BE ―→|∈[1,4]． 答案：[1,4]14．(2017·全国卷Ⅱ改编)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)的最小值是________．解析：如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)，设P (x ，y )，则PA ―→＝(－x, 3－y )，PB ―→＝(－1－x ，－y )，PC―→＝(1－x ，－y )，所以PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2⎝⎛⎭⎫y －322－32，当x ＝0，y ＝32时，PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)取得最小值，为－32. 答案：－32[B 组——力争难度小题]1.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，AM ―→＝2MD ―→.若AC ―→·BM ―→＝－3，则AB ―→·AD ―→＝________.解析：由题意可得AC ―→＝AD ―→＋DC ―→＝AD ―→＋12AB ―→，BM ―→＝AM ―→－AB ―→＝23AD ―→－AB ―→，则AC ―→·BM ―→＝⎝⎛⎭⎫AD ―→＋12 AB ―→ ·⎝⎛⎭⎫23 AD ―→－AB ―→＝－3， 则23|AD ―→|2－12|AB ―→|2－23AB ―→·AD ―→＝－3， 即6－8－23AB ―→·AD ―→＝－3，解得AB ―→·AD ―→＝32.答案：322．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ，b 是互相垂直的单位向量，且(a －c )·(3b －c )＝1，则|c |的最大值为________．解析：法一：由题意可得(a －c )·(3b －c )＝－a ·c －3b ·c ＋|c |2＝1，则|c |2－(a ＋3b )·c －1＝0.又|a ＋3b |＝2，设a ＋3b 与c 的夹角为θ，θ∈[0，π]， 则|c |2－2|c |cos θ－1＝0，－2≤2cos θ＝|c |－1|c |≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧|c |2－2|c |－1≤0，|c |2＋2|c |－1≥0， 解得2－1≤|c |≤2＋1，则|c |max ＝2＋1.法二：不妨设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )，则(a －c )·(3b －c )＝(1－x ，－y )·(－x ，3－y )＝1，化简得⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y －322＝2，圆心⎝⎛⎭⎫12，32到坐标原点的距离为1，则|c |max ＝2＋1.答案：2＋13．(2017·苏州考前模拟)已知点A (1，－1)，B (4,0)，C (2，2)．平面区域D 由所有满足AP ―→＝λAB ―→＋μAC ―→(1<λ≤a,1<μ≤b )的点P (x ，y )组成的区域．若区域D 的面积为16，则a ＋b 的最小值为________．解析：如图，延长AB 至点N ，延长AC 至点M ，使得AN ＝aAB ，AM ＝bAC .四边形ABEC 、四边形ANGM 、四边形EHGF 均为平行四边形． 由条件知，点P (x ，y )组成的区域D 为图中的阴影部分，即四边形EHGF (不含边界EH ，EF )．∵AB ―→＝(3,1)，AC ―→＝(1,3)，BC ―→＝(－2,2)． ∴|AB |＝10，|AC |＝10，|BC |＝22，cos ∠CAB ＝10＋10－82×10×10＝35，sin ∠CAB ＝45.∴四边形EHGF 的面积为(a －1)10×(b －1)10×45＝16.∴(a －1)(b －1)＝2，a ＋b ＝a ＋⎝⎛⎭⎫2a －1＋1＝(a －1)＋2a －1＋2.由a >1，b >1知，当且仅当a －1＝2，即a ＝b ＝2＋1时，a ＋b 取得最小值22＋2. 答案：22＋24．(2017·江苏高考)如图，在同一个平面内，向量OA ―→，OB ―→，OC ―→的模分别为1,1，2，OA ―→与OC ―→的夹角为α，且tan α＝7，OB ―→与OC ―→的夹角为45°.若OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R)，则m ＋n ＝________.解析：法一：如图，以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (1，0)，由tan α＝7，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 得sin α＝752，cos α＝152，设C (x C ，y C )，B (x B ，y B )， 则x C ＝|OC ―→|cos α＝2×152＝15，y C ＝|OC ―→|sin α＝2×752＝75，即C ⎝⎛⎭⎫15，75. 又cos(α＋45°)＝152×12－752×12＝－35，sin(α＋45°)＝752×12＋152×12＝45，则x B ＝|OB ―→|cos(α＋45°)＝－35，y B ＝|OB ―→|sin(α＋45°)＝45，即B ⎝⎛⎭⎫－35，45. 由OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，可得⎩⎨⎧15＝m －35n ，75＝45n ，解得⎩⎨⎧m ＝54，n ＝74，所以m ＋n ＝54＋74＝3.法二：由tan α＝7，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 得sin α＝752，cos α＝152，则cos(α＋45°)＝152×12－752×12＝－35，所以OB ―→·OC ―→＝1×2×22＝1，OA ―→·OC ―→＝1×2×152＝15，OA ―→·OB ―→＝1×1×⎝⎛⎭⎫－35＝－35， 由OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，得OC ―→·OA ―→＝m OA ―→2＋n OB ―→·OA ―→，即15＝m －35n .①同理可得OC ―→·OB ―→＝m OA ―→·OB ―→＋n OB ―→2， 即1＝－35m ＋n .②①＋②得25m ＋25n ＝65，即m ＋n ＝3.答案：3第3课时解三角形(能力课)[常考题型突破][例1] (2016·江苏高考)在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫A －π6的值． [解] (1)因为cos B ＝45，0＜B ＜π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35.由正弦定理知AC sin B ＝ABsin C，所以AB ＝AC ·sin Csin B＝6×2235＝5 2.(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， 所以A ＝π－(B ＋C )，于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4 ＝－cos B cos π4＋sin B sin π4.又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.因为0＜A ＜π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210. 因此，cos ⎝⎛⎭⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6 ＝－210×32＋7210×12＝72－620. [方法归纳][变式训练]1．(2017·南京、盐城一模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b sin 2C ＝c sin B .(1)求角C ；(2)若sin ⎝⎛⎭⎫B －π3＝35，求sin A 的值． 解：(1)由正弦定理及b sin 2C ＝c sin B ， 得2sin B sin C cos C ＝sin C sin B ， 因为sin B >0，sin C >0，所以cos C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)因为C ＝π3，所以B ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3， 所以B －π3∈⎝⎛⎭⎫－π3，π3， 又sin ⎝⎛⎭⎫B －π3＝35， 所以cos ⎝⎛⎭⎫B －π3＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫B －π3＝45. 又A ＋B ＝2π3，即A ＝2π3－B ， 所以sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝sin ⎣⎡⎦⎤π3－⎝⎛⎭⎫B －π3＝sin π3cos ⎝⎛⎭⎫B －π3－cos π3sin ⎝⎛⎭⎫B －π3＝32×45－12×35＝43－310. 2．(2017·苏北四市一模)在△ABC 中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan B ＝2，tan C ＝3.(1)求角A 的大小； (2)若c ＝3，求b 的长．解：(1)因为tan B ＝2，tan C ＝3，A ＋B ＋C ＝π，所以tan A ＝tan [π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－2＋31－2×3＝1.又A ∈(0，π)，所以A ＝π4.(2)因为tan B ＝sin Bcos B＝2，且sin 2B ＋cos 2B ＝1， 又B ∈(0，π)，所以sin B ＝255.同理可得sin C ＝31010.由正弦定理，得b ＝c sin Bsin C ＝3×25531010＝2 2.[例2] ，b ，c ，且△ABC 面积的大小为S ，3AB ―→·AC ―→＝2S .(1)求sin A 的值；(2)若C ＝π4，AB ―→·AC ―→＝16，求b .[解] (1)由3AB ―→·AC ―→＝2S ，得3bc cos A ＝2×12bc sin A ，即sin A ＝3cos A .整理化简得sin 2A ＝9cos 2A ＝9(1－sin 2A )， 所以sin 2A ＝910.又A ∈(0，π)，所以sin A >0，故sin A ＝31010. (2)由sin A ＝3cos A 和sin A ＝31010， 得cos A ＝1010， 又AB ―→·AC ―→＝16，所以bc cos A ＝16， 得bc ＝1610. ① 又C ＝π4，所以sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝31010×22＋1010×22＝255. 在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C ，得b 255＝c 22， 即c ＝104b . ② 联立①②得b ＝8.[方法归纳]1．(2017·南通三调)已知△ABC 是锐角三角形，向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3，sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3，n ＝(cos B ，sin B )，且m ⊥n .(1)求A －B 的值；(2)若cos B ＝35，AC ＝8，求BC 的长．解：(1)因为m ⊥n ，所以m ·n ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3cos B ＋sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3－B ＝0， 又A ，B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以A ＋π3－B ∈⎝⎛⎭⎫－π6，5π6， 所以A ＋π3－B ＝π2，即A －B ＝π6.(2)因为cos B ＝35，B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin B ＝45. 所以sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6 ＝sin B cos π6＋cos B sin π6＝45×32＋35×12＝43＋310. 由正弦定理，得BC ＝sin Asin B ×AC ＝43＋31045×8＝43＋3.2．(2017·镇江调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，向量m ＝(a －c ，b ＋c )，n ＝(b －c ，a )，且m ∥n .(1)求B ；(2)若b ＝13，cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝33926，求a .解：(1)因为m ∥n ，所以a (a －c )－(b ＋c )(b －c )＝0，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12， 又B ∈(0，π)，故B ＝π3. (2)由(1)得A ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，所以A ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6， 又cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝33926，所以sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝51326，所以sin A ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫A ＋π6－π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6cos π6－cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π6sin π6＝51326×32－33926×12＝3926. 在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B， 可得a ＝b ·sin A sin B ＝13×392632＝1.[例3] (2017·南通调研)如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b (sin C ＋cos C )．(1)求∠ABC ；(2)若∠A ＝π2，D 为△ABC 外一点，DB ＝2，DC ＝1，求四边形ABDC 面积的最大值．[解] (1)在△ABC 中，因为a ＝b (sin C ＋cos C )，所以sin A ＝sin B (sin C ＋cos C )，所以sin(B ＋C )＝sin B (sin C ＋cos C )，所以sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B sin C ＋sin B cos C,所以cos B sin C ＝sin B sin C ，又因为C ∈(0，π)，故sin C ≠0，所以cos B ＝sin B ，即tan B ＝1.又B ∈(0，π)，所以B ＝π4. (2)在△BCD 中，DB ＝2，DC ＝1，BC 2＝12＋22－2×1×2×cos D ＝5－4cos D .又A ＝π2，由(1)可知∠ABC ＝π4， 所以△ABC 为等腰直角三角形，S △ABC ＝12×BC ×12×BC ＝14BC 2＝54－cos D ， 又S △BDC ＝12×BD ×DC ×sin D ＝sin D, 所以S 四边形ABDC ＝54－cos D ＋sin D ＝54＋2sin ⎝⎛⎭⎫D －π4. 所以当D ＝3π4时，四边形ABDC 的面积有最大值，最大值为54＋ 2. [方法归纳](2017·苏北三市模拟)如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，且∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列．(1)求sin ∠CED ；(2)求BE 的长．解：设∠CED ＝α.因为∠CBE ，∠BEC ，∠BCE 成等差数列，所以2∠BEC ＝∠CBE ＋∠BCE ，又∠CBE ＋∠BEC ＋∠BCE ＝π，所以∠BEC ＝π3.(1)在△CDE 中，由余弦定理得EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ，由题设知7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD －6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理得EC sin ∠EDC ＝CD sin α， 于是sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217， 即sin ∠CED ＝217. (2)由题设知0<α<π3， 由(1)知cos α＝1－sin 2α＝ 1－2149＝277， 又∠AEB ＝π－∠BEC －α＝2π3－α， 所以cos ∠AEB ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3·sin α＝－12cos α＋32sin α＝－12×277＋32×217＝714. 在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE ＝714， 所以BE ＝47.[课时达标训练]1．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)设BC ―→·CA ―→＝CA ―→·AB ―→，求证：△ABC 是等腰三角形；(2)设向量s ＝(2sin C ，－3)，t ＝(cos 2C ，cos C )，且s ∥t ，sin A ＝13，求sin ⎝⎛⎭⎫π3－B 的值．解：(1)证明：由BC ―→·CA ―→＝CA ―→·AB ―→，得ab cos C ＝bc cos A .化简且由正弦定理得，sin A cos C ＝sin C cos A ，∴sin(A －C )＝0.∴A ＝C .故△ABC 是等腰三角形．。

专题 3：三角函数与解三角形问题归类篇类型一：同角三角函数求值一．前测回忆1．(1)假设sinα＝－5，且α为第四象限角，那么 tanα的值等于_____________ ．135答案：－12．2〔 2〕 tan ＝ 2，那么sin cos ＋ cos 2＝， sin 2－2sin cos ＋ 2＝．2sin cos ＋ sin3答案：8； 2．(3) sinα＋ cosα＝1，α∈ (0 ，π)，那么 cosα－ sinα＝， tanα＝．57 4 答案：－5；－3解析： sinα＋ cosα＝1，α∈ (0，π)，且 sin2α＋cos2α＝ 1，得到 sinα＝4， cosα＝－3 555二、方法联想1．三角函数求值(1) 知一求其余三角函数值；(2) 关于 sinα与 cosα的齐次式，同除cos 或 cos2，如果不是齐次，借助1＝ sin2α＋ cos2α构造齐次．(3)sinα＋ cosα， sinα－ cosα， sinαcosα间关系式注意根据角的范围确定三角函数值正负．无法确定正负时可根据三角函数值的正负(或与特殊角的三角函数值 )缩小角的范围．三、归类稳固*1 ． sinα＝4，并且α是第二象限角，那么 cosα的值为．5(三角函数正弦值，求余弦值)3答案：－．3π**2 ． tanα＝ 3，且π＜α＜2，那么 cosα－ sinα＝．〔三角函数正切值，求正弦、余弦值〕答案：10．5解析：sinα2＝ 3 且 sin2α＋ cos α＝ 1，得到 sinα与 cosα的值．cosα***3 ．假设 cosα＋ 2sinα＝－5，那么 tanα＝．(构造方程组求解sin α，cosα)答案： 2．解析：结合sin2α＋ cos2α＝ 1，得到 sinα与 cosα的值．类型二：三角函数的图像与性质一、前测回忆1．〔 1〕函数 y＝sin(2x－3 )的定义域为．答案： [kπ＋π2π6， kπ＋3 ](k∈Z )．π〔 2〕函数 y＝ sin(2x＋6 )， x∈ [0，3]的值域为．答案： [－12，1] ．〔 3〕＞ 0，在函数 y＝2sin x 与 y＝ 2cos x 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为 2 3，那么的值为．π答案：2．〔 4〕函数 y＝ 2cos(3x－)单调减区间为．32k π π 2k π 4π答案： [＋ ，＋]( k ∈ Z )．3 9 3 9〔 5〕函数 y ＝ sin(2x ＋ 4 ) 的对称轴为 ；中心对称点为．答案： x ＝k π πk π π2＋ (k ∈ Z )； (2－ ， 0)(k ∈ Z )；882．〔 1〕函数 y ＝ 2sin 2x ＋ 3sinxcosx ＋3cos 2 x 的值域为．1 5答案： [ 2， 2]．〔 2〕函数 y ＝ 4sin 2x － 12cosx － 1， x ? [π 2π．－ ，] 的值域为63答案： [ －13， 8]．〔 3〕函数 y ＝ sinx ＋ cosx ＋ 2sinxcosx ＋ 2, x ? [0， π]的值域为．答案： [ 3， 3＋ 2]．4sinx ＋1 的值域为．〔 4〕函数 y ＝ cosx － 1答案： [0，＋ ∞)．提示：方法一：看作斜率，数形结合处理；方法二：导数法处理．π ．3．〔 1〕函数 y ＝Asin(2x ＋ φ)的对称轴为，那么 φ的值为x ＝6π答案： k π＋ 6(k ∈ Z )．〔 2〕函数y ＝ cos(2x ＋φ)为奇函数，求 φ的值为 ．π答案： k π＋ 2(k ∈ Z )．二、 方法联想1．三角函数的定义域方法：根据式子有意义的条件，列不等式组，解不等式求定义域．2．三角函数的值域方法 1：转化为 y ＝Asin(ωx＋ φ)形式，先求 ωx＋ φ的范围，再根据正弦函数的图象求出值域如 y ＝ asin 2ωx＋bsin ωx cos ωx＋ ccos 2ωx 的形式，先利用降幂公式化为一次形式，将用辅助角公式化为y ＝ Asin(2ωx＋φ)形式求值域．方法 2：利用换元法转化为二次函数值域问题．22如 :含有 sin x ，cosx(或 sinx) 和 cos x ， sinx(或 cosx)形式；含有 sinx ±cosx ， sinxcosx ： 形如分子、分母含有sinx ， cosx 的一次形式：方法 1：化为 sin(ωx＋ φ)＝ M 形式，再得用三角函数的有界性 (|sinx| ≤1，|cosx| ≤1)求值域．方法 2：导数法3．三角函数对称问题方法：对于函数 y ＝ Asin(ωx＋ φ)或 y ＝Acos(ωx＋ φ)假设 x ＝ x 0 为对称轴 f(x 0)＝ ±A ．若 (x 0， 0)为中心对称点f(x 0)＝ 0．推论：对于函数 y ＝ Asin( ωx＋ φ)或 y ＝Acos(ωx＋ φ)假设函数 y ＝ f(x)为偶函数f(0)＝ ±A ． 假设函数 y ＝ f(x)为奇函数 f(0) ＝ 0．4．求 f(x)＝ Asin( x ＋ )＋B(A ＞ 0)的解析式方法：待定系数法2π步骤：〔 1〕由周期 T ＝|ω|得 ；A ＝ y max － y min，A ＋B ＝ y max ，2〔 2〕由 － A ＋ B ＝ y min ， 得，B ＝ y max ＋ y min ，2〔 3〕将点代入求(尽量代入最高点或最低点) ．三、归类稳固*1 ．在同一平面直角坐标系中，函数 y ＝ cos(x＋3πy ＝1的交点个数22)(x? [0,2π]) 的图象和直线2是．答案： 2．〔利用三角函数图像〕解析： y cos( x3)( x [ 0，2]) ，得到y＝sinx，做出图像．222**2 ．定义在区间 [0,3π]上的函数 y=sin2x 的图象与y=cosx 的图象的交点个数是．［答案］ 7(考查三角函数图像 )．*3 ．函数 y＝ |sinx|， (x∈ [ ， 2 ]) 的单调递增区间是．答案： [ ，3π2 ]； (考查三角函数的图像和性质 )．**4 ．函数 f(x) ＝2sin (2 x＋φ)(|φ|＜π〕的局部图象如下图，那么f(0)＝ ________．答案：－ 1； (考查三角函数的图象 )．***5．将函数 f (x)2sin2x的图像向右平移(0) 个单位，再将图像上每一点横坐标缩短到原来的1 倍，所得图像关于直线x对称，那么的最小正值为．24答案：3π8 (考查三角函数图像变换 )．π π*6 ．函数 y＝ 2sin(6x－3)(0 ≤x≤ 9)的最大值与最小值之差为．答案： 2＋ 3；( 考查三角函数的最值 ) ．ππ**7 ．假设函数 f(x)＝ sin(x＋θ)(0＜θ＜2)的图象关于直线x＝6对称，那么θ＝．π答案：3； (考查三角函数的对称性)．π***8 ．假设将函数 f(x)＝sin〔 2x＋4)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，那么φ的最小正值是________．3π答案：8； (考查三角函数图象变换，三角函数的奇偶性)．π2π．*9 ．函数 f(x)＝ sinx〔≤x≤〕的值域为63答案： [1， 1]( 考查三角函数值域 )．2sin x2．**1- ．设 0＜ x＜，那么函数y的最小值为2sin x答案：5〔考查正弦函数、余弦函数的图象和性质〕．2t2解析：令t＝ sinx 〔0， 1〕，利用 y＝2＋t的单调性得到最小值．***11．将函数f(x)＝ sin2x 的图像向右平移(0)个单位后得到函数g(x)的图像，假设对满足2f ( x1)g (x2 ) 2 的x1， x2，有x1x2 min3，那么．答案：π12(考查三角函数图像变换，最值 )．π*12 ．假设 f(x)＝ 2sin ωx(0< ω<1)在区间 [0，3] 上的最大值是2，那么ω＝________．3答案：4(考查三角函数单调性 ,最值 )．ππ**13 ．将函数 f( x)＝ 2sin(2x－6)的图象向左平移m 个单位 (m＞ 0)，假设所得的图象关于直线x＝对称，那么 m6的最小值为．π答案：6； ( 考查三角函数的图象与对称性 )．***14 ．过原点的直线与函数 y＝ |sin x|(x≥ 0)的图像有且只有三个交点，α是交点中横坐标的最大值，那么2α＋αsin 22α的值为 ________．答案： 1(考查三角函数图像)．类型三：两角和与差的三角函数一、前测回忆1．sin 200cos100cos1600 sin100=．答案：1．22．sin()1,sin()1,那么 tan a=．210tan b答案：3．2解析：把两角和与差的正弦公式中的sin a cos b, cos a sin b分别看成一个整体，通过解方程组，求出sin a cos b和 cos a sin b，作比，即可求出tan a=3 .tan b23．tan230tan370 3 tan 230 tan 370．答案： 3 ．00000) =tan230+ tan37解析：因为 23+37= 60，联想公式 tan(23 + 3700 ,逆用两角和正切公式，并进行1 - tan23 tan37变形得： tan230+ tan370+3tan230 tan370 = 3．二、方法联想如何根据题目中的三角函数结构形式，选择适宜的方法来解决问题？1.分析结构：认真分析式子和所求式子的整体结构之间的异同点，帮助我们找到变形的方向；2. 寻找规律：寻求函数名之间、角之间的差异和联系为我们选用正确的方法做好前期准备；3. 巧用方法：熟练掌握解决三角求值、化简的常用方法：切化弦法、升降幂法、辅助元素法、法等，熟悉角的拆拼、变换的技巧．“ 1的〞代换三、归类稳固**1 ． (1+ tan22 0 )(1+ tan230 ) = ．答案： 2．***2 ．,那么sin 2a．tan(a + b) = 2,tan(a - b) = 3=cos2b答案： 5．7解析：观察和所求式子的特点，利用2a = (a + b )+ (a - b ),2b = (a + b ) - (a - b ) ,再利用弦化切，sin2 a tan(a +b ) + tan(a - b ) 5.求出 cos2 b = 1+ tan( + b )tan( a - b ) =7a类型四：三角恒等变换一、前测回忆1． cos(π 1π ＝π ；， cos(2 π．＋ ) ＝ ，∈ (0， )，那么 cos； sin( ＋)＝＋ )＝63236答案： 1〔 3＋ 2 2〕； 1； 1〔 2 2－ 3〕．6 3 6π 3 17π7π sin2x ＋ 2sin 2x．2．cos(＋ x)＝ ，＜ x ＜，那么1－ tanx＝4512428 答案： 75．二、方法联想1．三角变换根本想法（ 1〕角：观察角的联系，实现角的统一．（ 2〕名：弦切互化，异名化同名．形：公式变形与逆用．幂：平方降幂，根式升幂．解题前先观察角的联系，分析角的变化，实现角的统一，从而决定解题方向，再结合三角函数名、公式的变形、幂的升降，做出公式的选择．常见的角的变形有： 〔 1〕可化为特殊角； 〔 2〕可以化为同角； 〔 3〕可分析角与角之间的关系，如和，差，倍等等；〔 4〕可实现条件、结论中角的转化．注意点：判断角的范围，确定三角函数值的正负或角的值．假设在范围内不能确定时，利用三角函数值的正负或大小来缩小角的范围．三、 归类稳固2sin50 ＋°sin80 (1°＋ 3tan10 )°．**1 ．计算 1＋ cos10 ° ＝答案： 2．π 1 sin2 － cos 2．**2 ． tan( ＋ )＝ ．那么＝421＋ cos2答案：－ 5．6**3 ． sin α＝5， sin(α－β)＝－ 10， α， β均为锐角，那么角 β＝________．510π 答案：．422π**4 ．函数f(x)＝cos x ＋cos (x ＋ 3)．（ 1〕求 f(x)最小正周期和单调递增区间；π π（ 2〕求 f(x)在区间 [－ ， ]上的最大值和最小值．3 61 cos2 x解析：〔 1〕 f(x)1 cos2x31 1 cos2x cos2 x2222 31 1 cos2 x1 cos2 x 3sin 2x11cos 2x2 2226周期 T单调递增区间：2k2x25kx112k k61212所以 f x 单调递增区间：511k ,k Z ．k,1212〔 2〕x,2x, c o s x20 , 1 36622．6类型五：解三角形一、前测回忆1．〔 1〕在△ ABC 中， b＝ 3， B＝ 60°， c＝ 1，那么 C＝；a＝．答案： 30°； 2．〔 2〕在△ABC 中， A＝ 1200， a＝7， b＋ c＝8，那么 b＝；c＝．答案： 3 或 5； 5 或 3．（3〕如图，在四边形 ABCD 中， AD CD， AD ＝ 10， AB＝ 14，BDA＝ 60 ，BCD＝ 135，那么BC＝．答案： 8 2．2．〔 1〕在△ ABC 中， acosA＝ bcosB，那么△ABC 的形状为．答案：等腰或直角三角形．〔 2〕在△ABC 中， sinA＝ 2cosBsinC，那么△ ABC 的形状为．答案：等腰三角形．二、方法联想1．解三角形〔 1〕三角形的几个关系①角角关系： A＋ B＋ C＝π；②边角关系：正弦定理和余弦定理，大边对大角；③边边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．（2〕解三角形方法①三角形的六个量中只要知道其中三个量〔至少一条边〕便可以求出其他三个量；②正弦定理运用的条件是：两角一边，两边和其中一边说对的角；余弦定理运用的有条件是：两边一夹角，三边；其中两边和其中一边说对的角的条件，既可以用正弦定理也可以用余弦定理，但都必须注意“一解〞和“两解〞的问题．2．与三角形有关的三角函数问题具体做法：（1〕 A＋B＋ C＝π可消元；（2〕遇到正弦要留神！优先考虑可能出现的一解和两解问题；b2＋ c2－ a21〕 a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝ 2RsinC 或〔 2〕cosA＝等进行边角互 2bc 化，即边化角或角化边．说明：在解答题中，由于考三角函数的变形较为常见，所以，常常“边化角〞，而在填空题中，随意．三、归类稳固*1 ．在△ABC 中，内角 A， B， C 的对边依次为a， b， c，假设 3a＝ 2b，那么2sin2B－ sin2A＝．sin2 A答案：7；(考查正弦定理 )．2**2 ．在△ ABC 中，角 A， B，C 的对边依次为a，b，c，假设角 A，B，C 依次成等差数列，且a＝ 1，b＝3，，那么△ ABC 的面积为．答案：23；(考查正弦定理)．***3 ．在△ ABC 中，内角 A，B，C 的对边依次为a，b，c，假设 a2－c2＝ 3b，且 sinB＝ 8cosAsinC，那么边 b＝．答案： 4；(考查两角和差的三角函数关系，正余弦定理)．1，AB ＝ 1， BC＝ 2 ，那么 AC＝．*4 ．钝角△ ABC 的面积是2答案：5； (考查正、余弦定理 )．**5 ．在△ABC 中，内角 A，B， C 所对的边分别为 a， b， c，△ ABC 的面积为 3 15， b－ c＝ 2，1，那么 a 的值为 ________．cos A＝－4答案： 8； (考查余弦定理，三角形面积 )．π1， BC 边上的高等于***6 ．在△ ABC 中， B＝43BC，那么 cos A＝ ________．答案：－ 10)．10 ( 考查解三角形，三角变换综合应用篇一、例题分析πππ例 1．设函数 f( x)＝ sin( x－ )－ 2cos2 x＋ 1．468〔 1〕求 f(x)的最小正周期；〔 2〕假设函数 y＝g(x)与 y＝ f( x)的图象关于直线x＝ 1 对称，求当 x? [0 ，4] 时 y＝ g(x)的最大值．3答案：〔 1〕 f(x)的最小正周期为8；〔 2〕最大值为3．2〖教学建议〗〔 1〕主要问题归类与方法：1．求三角函数周期问题，必须先将解析式化为y＝ A sin( ωx＋φ)＋B 或 y＝Acos(ωx＋φ)＋ B 的形式．2．求三角函数的最值(值域 )问题．因为函数 y＝ g(x)与 y＝ f(x)的图象关于直线x＝ 1 对称，所以问题可以转化为求f(x)＝Asin( ωx＋φ)在区间 [23，2] 上的最值．〔 2〕方法选择与优化建议：1．采用展开、降幂等方法“化一〞．将f(x)化为y＝Asin(ωx＋φ)形式，再使用周期公式．2．求三角函数的最值(值域 )问题．三角函数的最值既是高考中的一个重点，也是一个难点，其类型丰富，解决的方法比拟多．但是归纳起来常见的有下面三种类型：①化为只含有一个一次的三角函数y＝ Asin(ωx＋φ)＋ B 或 y＝ Acos(ωx＋φ)＋B 的形式，根据题中x 的范围求出ωx＋φ的范围，再确定 sin( ωx＋φ)或 cos(ωx＋φ)的最值 (值域 )；②借助公式将函数先化为y＝ f(sinx)型，通过换元法，即令t＝sinx，构造关于 t 的函数，并根据x 的范围确定 t 的取值范围，再求f(t)的最值 ( 值域 )；③函数表达形式中同时出现sinx＋ cosx (sinx－ cosx)与 sinxcosx 时，可以利用 (sinx＋ cosx)2＝ 1＋2sinxcosx 或 (sinx－ cosx)2＝ 1－ 2sinxcosx 的关系进行换元，即令t＝ sinx±cosx＝π2sin(x± )，转化为4关于 t 的函数，再求 f( t)的最值 (值域 )．3π例 2．函数 f(x)＝ sin( ωx＋φ)(ω＞ 0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M〔4，0〕对称，且在π区间 [0， ] 上是单调函数．2〔 1〕求φ的值；〔2〕求ω的值．π2答案： (1) φ＝2； (2)ω＝3或 2．〖教学建议〗〔 1〕主要问题归类与方法：1．三角函数图象轴对称问题．函数 f(x)＝ sin(ωx＋φ)(ω＞ 0， 0≤φ≤π)是R上的偶函数，说明f(x)的图象关于y 轴对称．2．三角函数图象中心对称问题．3π函数 f( x)＝ sin( ωx＋φ)( ω＞ 0， 0≤φ≤π)图象关于点M〔4，0〕对称．方法选择与优化建议：π1．从 f(x)为偶函数很容易得到f(0) ＝ sinφ＝±1，从而有φ＝kπ＋2(k∈ Z)．常用的结论有：①假设 y ＝ A sin(ωx＋ φ)为偶函数，那么有 π φ＝ k π(k ∈ Z )；φ＝ k π＋ (k ∈ Z )；假设为奇函数那么有 2π②假设 y ＝ A cos(ωx＋ φ)为偶函数，那么有 φ＝ k π(k ∈ Z )；假设为奇函数那么有φ＝ k π＋ 2(k ∈ Z )；③假设 y ＝ A tan(ωx＋ φ)为奇函数那么有 φ＝ k π(k ∈ Z )．这个结论要让学生理解并推理，不需要记忆．2．从 f 〔3π3πω 3πω π4 2(k ∈Z )．再结合函数的单调性〕＝ 0，可以得到cos＝ 0，于是＝ k π＋ ， ω＝ k ＋4442 3 3推导出 ω的值；3．对于 y ＝ A sin(ωx＋ φ)和 y ＝A cos(ωx＋ φ)来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系；πy ＝ A sin( ωx＋ φ)的图象有无穷多条对称轴，可由方程 ωx＋ φ＝ k π＋ 2(k ∈ Z )解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与x 轴的交点，可由 ωx＋ φ＝k π k(∈ Z )解出．4．对于 y ＝ A sin(ωx＋ φ)和 y ＝A cos(ωx＋ φ)来说，相邻两对称轴间的距离为T ，相邻两对称中心间的2距离也为 T，函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．2例 3．向量 a ＝ (2sin( x ＋23 )，2)，b ＝ (2cos x ，0)( ＞ 0)，函数 f(x)＝ a ·b 的图象与直线y ＝－ 2＋ 3的相邻两个交点之间的距离为． [来源 :． Com]〔 1〕求函数 f(x)在 [0， 2 ] 上的单调递增区间；〔 2〕将函数 f(x)的图象向右平移 πy ＝ g(x)的图象．假设 y ＝ g( x)在 [0，b] 上至少含有 10 个12个单位，得到函数零点，求正数 b 的最小值．答案：〔 1〕 f(x)＝ π3，单调递增区间为 [ 5， 11 ]和 [ 17 ，23]；2cos(2x ＋ ) ＋12 1212126（ 2〕g(x)＝ 2cos2x ＋ 3，令 g(x)＝ 0，得 x ＝ k ＋5 或 x ＝k ＋ 7( k ?Z )，那么 g(x)在每个周期上有两个1212零点，所以 b 不小于第 10 个零点的横坐标即可，即，b 的最小值为 4 ＋ 75512＝12 ．【教学建议】〔 1〕主要问题归类与方法：1．求三角函数单调区间问题，先将解析式化为y＝ A sin( ωx＋φ)＋B 或 y＝Acos(ωx＋φ)＋ B 的形式，具体步骤为：①将ω化为正；②将ωx＋φ成一个整体，由三角函数的单调性求解．2．三角函数的周期与零点问题，先求出g(x)在每个周期上的零点个数，再确定区间端点的最小值．（2〕方法选择与优化建议：1．解决三角函数单调性问题时务必注意防止以下错误：①ω没有化为正数；②存在多个单调区间时错用“∪ 〞联结；③遗漏“k∈Z〞；④求解三角函数的单调区间时忘记考虑函数自身的定义域．2．首先要注意到函数的最小正周期为，确定函数在每个周期内的的零点个数，这里容易将b的最小值错求为第五个周期的终点．例4．a＝ (1，－ sinα)，b＝ (sin( α+2β)， 2)，a·b＝ 0．〔 1〕假设 sinβ＝3，β是钝角，求tanα的值；〔2〕求证：tan(α+β)＝3tanβ．5解答： a＝(1，－sinα)， b＝(sin(α+2β)，2)， a·b＝0，所以 sin( α+2β)－ 2 sinα＝ 0．（1〕－24 43；（2〕因为 sin(α+2 β)＝ 2 sinα，即 sin[( α+β)+β]＝ 2sin[( α+β)－β]得sin( α+β)cosβ+ cos (α+β)sin β＝ 2[sin( α+β)cosβ－ cos(α+β)sin β]移项得 sin(α+β)cosβ＝3 cos(α+β)sinβ，等式两边同时除以cos(α+β)cosβ得tan(α+β)＝ 3tanβ〖教学建议〗（1〕主要问题归类与方法：1．三角恒等变形主要是变角，变式，这个顺序也就决定解题的大的思路；2．变角是三角恒等变形中重要的第一步，根据问题的特征，主要是角的形式的统一．〔 2〕方法选择与优化建议：1．三角函数的求值问题与代数问题的求知一致，根据问题的特点可以直接计算，也可以间接计算〔解方程〕．2．三角恒等变形，首先应该变角，此题解题的关键，就是实现角中的形式，向未知角中的形式转化．例 5： a , b ? (0,p ),且 tan a = 2,cos b = -7 2． 10（ 1〕求 cos2a 的值；（ 2〕求 2a - b 的值．3解 〔 1〕 cos2a = -．（ 2〕 2a - b = -p．42 2 22 2cos a - sin a= 2- tan a解析： cos2a =cos a - sin a =222 ，cos a +sin a 1+tan a因为 tan a = 2,所以 cos2a = -3．5（ 2〕因为 a ? (0,p )，且 tan a = 2,所以 a ? (0, p) 2 又 cos2a = - 3，∴ 2a ? (p,p ) , sin 2a = 4， 52 57 2因为 b ? (0,p )， cos b = -．所以 sin2, b ? (p , p ) ，1022所以 sin(2a - b ) = sin2 a cos b - cos2a sin b = -2又 2a - b ? (-p , p) ， 2 2∴ 2a - b = -p． 4〖教学建议〗〔 1)主要问题归类与方法：问题 1、 cos2α＝cos 2α－ sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α．问题 2、由于 cos2α＝ cos 2α－sin 2 α， 这可以化为tan α的齐次式．方法选择与优化建议：对于问题 1，选择以上三个公式中的任何一个都可以，但在从α∈ (0，π)，tan α＝2 求 cos α、sin α时要注意判断它们的符号．对于问题 2，cos2α＝ cos 22cos 2α－sin 2α 1－tan 2α，处理起来更加便捷．α－ sin α＝ sin 2 α＋ cos 2α＝tan 2α＋1（ 2)主要问题归类与方法：求角的问题求角就需要选择一个关于 2α－ β的三角函数，它可以是正弦、余弦，也可以是正切，关键在于这个三角函数值可以求．另外， 2α－ β的范围不仅影响角的结果，也影响着选择正弦、余弦、正切中的哪个三角函数．方法选择与优化建议：π π通过推理，我们得到 2α－ β∈( －2， 2)，所以可以选择计算 sin(2α－β)值，也可以选择计算tan(2α－ β)的π π值，但不宜选择计算 cos(2α－β)，因为在 (－ 2，2) 上，正弦函数、正切函数都是单调的，而余弦函数却是不单调的．例 6：在 △ABC 中，内角 A ，B ， C 的对边分别为a ，b ，c ， cosA － 2cosC ＝ 2c － a ．cosBb（ 1〕求sinCsinA 的值；（ 2〕假设 cosB ＝ 1， △ ABC 的周长为 5，求 b 的大小．4答案：〔 1〕sinCsinA＝ 2；〔 2〕 b＝2．〖教学建议〗〔 1〕主要问题归类与方法：1．边角互化问题，方法有：①利用 a ＝2RsinA ， b ＝2RsinB ， c ＝ 2RsinC 将边化为角；②利用 cosA ＝ b 2＋ c 2－ a 2等将余弦化为边；2bc③ ccosB ＋ bcosC ＝ a 等化角为边．2．求边长问题，方法有：①利用正弦定理求边；②利用余弦定理求边．〔 2〕方法选择与优化建议：1．对于等式cosA － 2cosC＝2c －a的右边，我们可以选择方法①，化变为角，推导出sinC ＝ 2sinA ；cosBbb2＋ c 2－ a 2 cosA －2cosC 2c －a如果利用 cosA ＝2bc 等将等式cosB＝ b 的左边余弦化为边来做，运算量较大，所以不选择方法②．cosA － 2cosC 2c － a由于等式cosB＝b可以化为 bcosA ＋ acosB ＝ 2(bcosC ＋ccosB)，即 c ＝2a ，所以也可以选择方法③．2．因为从第一问已经可以得到c ＝ 2a ，又 a ＋ b ＋ c ＝ 5，所以三边可以转化为只含有一个未知量 b ，利用减元消元解方程的方法解决问题，因此选择方法②的余弦定理解决问题比拟方便．例 7： △ ABC 的内角 A ，B ， C 的对边依次为a ，b ，c ，假设满足 3tanAtanB － tanA － tanB ＝ 3．（ 1〕求∠ C 的大小；（ 2〕假设 c ＝ 2，且 △ ABC 为锐角三角形，求 a 2＋ b 2 的取值范围．π 〔 2〕 (20， 8)] ．答案：〔1〕 ；33〖教学建议〗〔 1)主要问题归类与方法：1．求三角形中的某个角的大小：利用三角公式求这个角的某一三角函数．2．求代数式的范围问题．利用函数的知识，转化为求函数值域．1．由于此题中涉及到的三角函数为正切，所以考虑求角的正切值，从而求角的大小；三角恒等变形中应注意公式的变形使用，解三角形问题时要注意利用隐含条件A＋ B＋ C＝．2．利用正弦定理将a2＋ b2表示为角 A 或角 B 的三角函数关系式，并将之变形整理为f(x) ＝Asin( x ＋)＋ B 的形式求范围．此题中需注意的是“△ ABC为锐角三角形〞必须保证所有的角都是锐角，这是求范围的关键所在．例 8：如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径．一种是从A 是先从 A 沿索道乘缆车到B，然后从 B 沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从步行，速度为50 m/min ．在甲出发 2 min 后，乙从 A 乘缆车到B，在 B 处停留沿直线步行到 C，另一种A 处下山，甲沿 AC 匀速1 min 后，再从 B 匀速步行到 C．假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路 AC 长为 1260 m，经测量 cos A＝1213，cos C＝35．(1)求索道 AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3) 为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？答案： (1) AB 的长为 1 040 m ．；35(2)当 t＝37 min 时，甲、乙两游客距离最短．1 250， 625(3)乙步行的速度应控制在4314( 单位：m/min)范围内．〖教学建议〗〔 1)主要问题归类与方法：1．求角及边长问题，方法为先利用两角和差关系求sin B，再利用正弦定理求边长AB．2．余弦定理应用问题，其中涉及二次函数最值问题．方法为利用余弦定理和函数思想，将甲乙距离表示为乙出发后时间t 的函数．3．解三角形的实际应用问题，方法为利用正弦定理求BC，将两位游客互相等待的时间不超过 3 分钟用不等式表示，利用两者的时间差所在范围求解速度范围．1．两角一边或两边和一边对角利用正弦定理解三角形．注意点有：利用两边和一边对角求另一边的对角时容易无视解的情况的判断．2．两边和夹角，常用余弦定理求出第三边．3．求解三角形的实际问题，首先要准确理解题意，分清与所求，关注应用题中的有关专业名词、术语，如方位角、俯角等；其次根据题意画出其示意图，示意图起着关键的作用；再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型，从而正确求解，演算过程要简练，计算要准确；最后作答．二、稳固练习*1 ．函数y(sin x cos x) cos x 的最小正周期为．答案：( 考查三角函数周期)．ππ*2 ．函数 f(x)＝ cos2xcos2(x－ 1)的最小正周期为．答案： 2；(考查三角函数的周期性)．**3 ．假设 tanα＝3，那么 cos2α＋ 2sin2α＝．464答案：〔三角函数正切值，求二次齐次式值〕解析：根据正切，求正余弦；或者添分母1＝ sin2α＋cos2α构造齐次分式．**4 ．θ是第三象限角，且sin θ－ 2cosθ＝－2，那么 sinθ＋cosθ＝．5答案：－3125( 构造方程组求解 sinθ， cosθ)解析：构造方程组，求解 sinθ， cosθππ*5 ．函数 f(x)＝ sin(2 x＋6)－ cos(2x＋3)的最小正周期和最大值分别为_______和 _______．答案：π； 3 (考查两角和差的正余弦公式)*6 ．函数y sin x3cos x ，且x,，那么函数的值域是_________．6答案：3, 2(考查三角函数单调性)．*7 ．函数ππf(x)＝ sin(2 x＋6)－ cos(2x＋ 3)的最小正周期和最大值分别为_______和 _______．答案：π；3〔考查两角和差的正余弦公式和三角函数的最值〕解析：展开后得到y＝ 3sin2x3π2sin2 x 的最小正周期为*8 ．函数 f(x)＝ cos(2x－4 )－ 2答案：π〔考查两角和差的余弦公式和降幂公式〕解析：展开并利用降幂公式，得到π2y＝sin〔 2x＋〕－4ππ**9 ．假设动直线 x＝ a(a∈R )与函数 f(x)＝3sin( x＋6)，g(x)＝ cos(x＋6) 的图象分别交于M， N 两点，那么MN长的最大值为．答案： 2；(考查两角和差的正余弦公式，三角函数的最值)．**10 ．假设sin α－sinβ＝－3，cos α－cos β＝1，那么 cos(α－β)的值为________．1223答案： 2 (考查两角和与差的三角函数)．sin 47 sin17 cos30**11 ．的值是；cos17答案：1(考查两角和与差的三角函数)．2**12 ．设(0, ),1sin；(0, ) ，且 tan，那么 222cos答案：(考查弦切互化)．2**13 ．在ABC 中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.假设c2(a b)26,C, 那么ABC 的面积3是；答案：33(考查正 ,余弦定理 )．2π11，那么角β的大小为 ________．*14 ．α，β∈ [0，2] ，且 tan α＝ 43， cos(α＋β)＝－14答案：π3(考查角的变换 ) ．*15 ．钝角三角形ABC 的面积是1,AB1,BC 2 ,那么AC；2答案： 5 (考查正,余弦定理)．**16．在,A, B,C所对的边分别是a,b,c.又 a2, (2 b)(sin A sinB)(c b)sinC , ABC 中内角且那么ABC 的面积的最大值是；答案： 3 (考查正,余弦定理)．*17 ．ABC的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，假设 cos A 451 ，那么 b．， cosC， a513答案：21(考查正弦定理 ,两角和与差公式 )．13**18 ．△ ABC 中， B＝ 45°， AC＝ 4，那么△ ABC 面积的最大值为 ________．答案：4＋ 42(考查余弦定理 ,根本不等式 )．**19．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．bcos C＋ccos B＝2b，那么ab＝________．答案： 2(考查正弦定理,两角和与差公式)．**20 ．设函数 f(x)＝ Asin( ωx＋φ)(A ＞ 0,π π,且f ( )2f ( ) ,＞ 0)假设 f( x)在区间 [， ] 上具有单调性 f ( )62236那么 f(x)的最小正周期为．答案：(考查三角函数图像性质及周期性)．π***21 ．假设函数 y＝cos2x＋3sin2x＋ a 在 [0，2]上有两个不同的零点，那么实数a的取值范围为____________．答案： (－ 2，－ 1)； (考查两角和差的三角函数关系式，三角函数的零点)．22．cos 1, cos()13，且 0. 7142*〔 1〕求tan 2的值；**〔 2〕求.答案：〔1〕8 3〔2〕(考查两角和与差公式,二倍角公式 )．47323．在ABC 中，AB2, AC 3, A 60 ．*〔 1〕求BC的长；**〔 2〕求sin 2C的值． [答案：〔 1〕3(考查余弦定理 )．（2〕4 3(考查正弦定理，二倍角公式 )．724．在△ABC 中，内角A，B， C 所对的边分别为a， b， c． b+c=2a cos B．**〔 1〕证明： A=2B；**〔 2〕假设△ ABC 的面积S=a2，求角 A 的大小．4解析：〔 1〕由正弦定理得：sinB+ sinC = 2sin AcosB ,故2sin AcosB = sinB+ sin(A+ B) = sinB+sinAcosB+ cosAsinB,于是 sinB=sin(A- B)．又A, B ? (0,p ),故 0 < A - B < p,所以B = p - (A - B) 或B = A- B，因此 A = p(舍去)或A = 2B,所以， A = 2B．〔 II 〕由S a2得1ab sin C a2，故有4241sin sin C sin 2sin cos，2因 sin0 ，得 sin C cos．又， C0,，所以 C．2当C时，；22当 C时，．24综上，或．( 考查正弦定理，两角和与差公式)．2425．在△ABC 中， A、 B、C 为三个内角，2π B)＋ 3cos 2B－ 2cos B．f(B)＝ 4cos B·sin〔＋24* (1) 假设 f(B)＝ 2，求角B；* * (2) 假设 f(B)－ m＞ 2 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)f( B) ＝2cos B(1＋ sin B)＋ 3cos 2B－ 2cos B＝2cos Bsin B＋ 3cos 2Bπ＝sin 2B＋ 3cos 2B＝ 2sin〔2B ＋3) ．π∵ f(B)＝ 2，∴ 2sin〔 2B＋3)＝ 2，π ππ∵ 0＜B ＜ π，∴ 2B ＋ 3＝2．∴ B ＝ 12． (考查两角和与差公式,二倍角公式 )．π(2)f(B)－ m ＞ 2 恒成立，即 2sin 〔 2B ＋3)＞ 2＋ m 恒成立．π∴ 2sin 〔 2B ＋ 3)∈ [－ 2,2] ，∴ 2＋ m ＜－ 2．∴ m ＜－ 4． (考查两角和与差公式 )．4 26． 在 △ABC 中， AC6,cosB,C．54* 〔 1〕求 AB 的长；** 〔 2〕求 cos( A - π) 的值． 6解〔 1〕因为 cosB4 ,0 B , 所以 sin B1 cos2 B1 ( 4 )23 ,55 5ACABAC sin C6 2由正弦定理知25 2.sin B，所以 ABsin B 3sinC5〔 2〕在 △ABC 中 A B C ，所以 A( B C).于是 cosAcos(B C)cos() cos B cos sin B sin ,B44 4又 cosB4,sin B3, ，故 cos A4 2 3 22555 2 5210因为 0A，所以 sin A1 cos2 A 7 210因此 cos(A) cos Acos sin Asin23 7 2 1 7 2 6 .666 10 210220(考查正弦定理，两角和与差公式)．π27． 函数f( x)＝ 4cos ωx·sin( ωx＋ 4)(ω>0) 的最小正周期为 π．π(1) 求 ω 的值；(2) 讨论 f(x)在区间 [0 ，2]上的单调性．解 (1) ω＝1．π π π (2) f(x) 在区间 [0，]上上单调递增,在区间 [ ， ] 上单调递减．88 2解析：〔 1〕 f (x) = 4cos w xsin(wx + p) = 2 2sin wxcoswx+ 2 2 cos 2 wx4= 2(sin2wx+ cos2wx) + 2= 2sin(2wx + p) + 24所以 T =2p= p , w = 1．2w(2) 由〔 1〕知： f (x) = 2sin(2 x+ p)+2 ,4因为 0 ￡x ￡p,所以 p￡2x + p5p， ￡2 4 4 4当p￡2x + p ￡p时，即 0 ￡x ￡p时， f (x)是增函数；4 4 2 8 当p￡2x + p 5p时，即 p ￡x ￡p时， f (x)是减函数； ￡ 4 2 4 8 2éùé,pù所以 f ( x) 在区间0, p上单调递增；f (x)在区间 p上单调递减ê8 úê2 ú? ??8 ?说明：考查正弦函数的图象和性质，方法为“化一 〞．28．某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在为充分利用现有材料，边BC ，CD 用一根 5 米长的材料弯折而成，边折而成，要求∠ A 和∠ C 互补，且 AB ＝ BC ．l 上的四边形电气线路，如下图，BA 、AD 用一根 9 米长的材料弯(1) 设AB ＝ x 米，cos A ＝ f(x)，求f(x)的解析式，并指出x 的取值范围；(2) 求四边形 ABCD 面积的最大值．解(1) 在 △ABD2AB ·AD ·cos A ．中，由余 弦定理得BD 2 ＝ AB 2 ＋ AD 2 －同理，在 △ CBD 中， BD 2＝ CB 2＋ CD 2－ 2CB ·CD ·cos C ．因为∠ A 和∠ C 互补，所以AB 2＋ AD 2 － 2AB ·AD ·cos A ＝ CB 2＋ CD 2－ 2CB ·CD ·cos C ＝ CB 2＋ CD 2＋2CB·CD·cos A．即x2＋(9－ x)2－2x(9－ x)cos A＝ x2＋ (5－ x)2＋ 2x(5－x) ·cos A．解得 cos A＝2，即 f(x)＝2，其中 x∈(2,5) ．(考x x查角的变换 ,余弦定理 )．112(2) 四边形 ABCD的面积S＝2 (AB ·AD ＋ CB·CD )sin A ＝2[x(9 － x) ＋ x(5 － x)]1－ cos A ＝ x(7－ x)2 222221－x＝x－－ x＝x－x－14x＋．记g(x)＝ (x2－ 4)( x2－ 14x＋ 49)， x∈ (2,5)．由g′(x)＝ 2x(x2－ 14x＋ 49)＋ (x2－ 4)(2x－ 14)＝2(x－ 7)(2x2－ 7x－ 4)＝0，解得 x＝4．函数 g(x)在区间 (2,4)内单调递增，在区间(4,5)内单调递减．因此g(x)的最大值为g(4) ＝12×9＝ 108．所以 S 的最大值为108＝ 6 3． (考查角的变换,导数求最值 )．答：所求四边形ABCD 面积的最大值为 6 3 m2．π29．函数 (x) ＝2cos(2x＋3)－ cos2x＋ 1．〔 1〕求 f(x)的对称中心〔 2〕假设锐角△ ABC 中角 A,B,C 所对的边分别为a，b，c，且 f(A)＝ 0，求b的取值范围．c13解析：〔1〕 f x 2 cos2 x sin 2x cos2 x 1 223sin 2 x cos2 x 12sin 2x16对称中心为： 2x kxkZ 12k62对称中心为：k ,112南京市2018届高三数学二轮专题复习资料专题3：三角函数与解三角形〔 2〕由可得：2sin 2 A10 sin 2 A16262 A〔舍〕或 2A5A66663bsin C3cosC1sin C31 sin B322c sin C sin C sin C2tan C2因为ABC 为锐角三角形0C2C,26 0B 2C32tan C3b 1,2 (考查三角的变换,正弦定理，三角函数的性质)．3c2。

专题限时集训(二) 解三角形问题(对应学生用书第83页)(限时：40分钟)1．(2017·湖南长郡中学六模)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b sin 2A ＝a sin B ，且c ＝2b ，则ab等于( ) A ．2 B ．3 C. 2D ． 3A [由2b sin 2A ＝a sinB ，得4b sin A ·cos A ＝a sin B ，由正弦定理得4sin B ·sin A ·cosA ＝sin A ·sinB ，∵sin A ≠0，且sin B ≠0，∴cos A ＝14，由余弦定理得a 2＝b 2＋4b 2－b 2，∴a 2＝4b 2，∴a b＝2.故选A.]2．(2017·合肥一模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( )【导学号：07804015】A ．4πB ．8πC ．9πD ．36πC [c ＝b cos A ＋a cos B ＝2，由cos C ＝223得sin C ＝13，再由正弦定理可得2R ＝csin C ＝6，即R ＝3，所以△ABC 的外接圆面积为πR 2＝9π，故选C.] 3．(2017·长沙一模)△ABC 中，C ＝2π3，AB ＝3，则△ABC 的周长为( )A ．6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3B ．6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3C ．23sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3 D ．23sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3 C [设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝3sin2π3＝23，于是BC ＝2R sin A ＝23sin A ，AC ＝2R sin B ＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－A ，于是△ABC 的周长为23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－A ＋3＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3.选C.]4．(2016·河北武邑中学期中)在△ABC 中，c ＝3，b ＝1，∠B ＝π6，则△ABC 的形状为( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形D [根据余弦定理有1＝a 2＋3－3a ，解得a ＝1或a ＝2，当a ＝1时，三角形ABC 为等腰三角形，当a ＝2时，三角形ABC 为直角三角形，故选D.]5．(2016·海口调研)如图2­3，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A ＝( )图2­3A.223 B ．24 C.64D ．63C [∵DE ＝22，∴BD ＝AD ＝DE sin A ＝22sin A .∵∠BDC ＝2∠A ，在△BCD 中，由正弦定理得BCsin∠BDC ＝BD sin C ，∴4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A，∴cos A ＝64，故选C.]6．(2016·湖南十三校3月联考)在△ABC 中，①若B ＝60°，a ＝10，b ＝7，则该三角形有且仅有两解；②若三角形的三边的比是3∶5∶7，则此三角形的最大角为120°；③若△ABC 为锐角三角形，且三边长分别为2,3，x ，则x 的取值范围是5＜x ＜13.其中正确命题的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0B [对于①，由正弦定理得sin A ＝a sin Bb ＝537＞1，所以该三角形无解，①错；对于②，设三边分别为3k,5k,7k (k ＞0)，最大角为θ，由余弦定理知cos θ＝k2＋k 2－k22×3k ×5k＝－12，所以θ＝120°，②对；对于③，当x ≥3时，设最大边所对的内角为θ，由题意及余弦定理知cos θ＝22＋32－x22×2×3＞0，解得3≤x ＜13；当0＜x ＜3时，设最大边所对的内角为α，则cos α＝22＋x 2－324x ＞0，解得5＜x ＜3，所以5＜x ＜13，③对．故选B.]7．(2017·合肥二模)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(a －b )(sinA ＋sinB )＝(c －b )sinC ．若a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围是( )A ．(3,6]B ．(3,5)C ．(5,6]D ．[5,6]C [由正弦定理可得，(a －b )·(a ＋b )＝(c －b )·c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝12，又A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝π3.∵b sin B ＝c sin C ＝3sinπ3＝2，∴b 2＋c 2＝4(sin 2B ＋sin 2C )＝4[sin 2B ＋sin 2(A ＋B )]＝4⎩⎨⎧⎭⎬⎫1－cos 2B 2＋1－A ＋B2＝3sin 2B －cos 2B ＋4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6＋4. ∵△ABC 是锐角三角形，∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，即2B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，∴12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6≤1，∴5＜b 2＋c 2≤6.故选C.]8．(2017·南昌十校二模)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A －sin B ＝cA －sin Ca ＋b，b ＝3，则△ABC 的面积的最大值为( )A ．334B ．34 C ．332D ．32A [根据正弦定理由sin A －sinB ＝cA －sin C a ＋b 可得a －b ＝c a －c a ＋b，得a 2－b 2＝c (a －c )，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，故a 2＋c 2－b 22ac ＝12＝cos B ，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.又由b ＝3，可得a 2＋c 2＝ac ＋3，故a 2＋c 2＝ac ＋3≥2ac ，即ac ≤3，当且仅当a ＝c ＝3时取等号，故ac 的最大值为3，这时△ABC 的面积取得最大值，为12×3×sin π3＝334.]二、填空题9．(2016·云南第一次统一检测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果△ABC 的面积等于8，a ＝5，tan B ＝－43，那么a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________.【导学号：07804016】5654[在△ABC 中， ∵tan B ＝－43，∴sin B ＝45，cos B ＝－35.又S △ABC ＝12ac sin B ＝2c ＝8，∴c ＝4，∴b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝65，∴a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝b sin B ＝5654.] 10．(2017·山西五校联考)如图2­4所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25 m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得∠DAC ＝15°，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得∠DBC ＝45°，根据以上数据可得cos θ＝________.图2­43－1 [由∠DAC ＝15°，∠DBC ＝45°可得∠BDA ＝30°，∠DBA ＝135°，∠BDC ＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，由内角和定理可得∠DCB ＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根据正弦定理可得50sin 30°＝DB sin 15°，即DB ＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°)＝252(3－1)，又25sin 45°＝2523－＋θ，即25sin 45°＝2523－cos θ，得到cos θ＝3－1.]11．(2017·福建八校最后一卷)如图2­5所示，在圆内接四边形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD ＝5，则四边形ABCD 的面积为________．图2­5610 [如图所示，连接BD ，因为ABCD 为圆内接四边形，所以A ＋C ＝180°，则cos A ＝－cos C ，利用余弦定理得cos A ＝ 62＋52－BD 22×6×5，cos C ＝32＋42－BD 22×3×4，解得BD 2＝2477，所以cos C ＝－37.由sin 2C ＋cos 2C ＝1，得sin C ＝2107，因为A ＋C ＝180°， 所以sin A ＝sin C ＝2107，S四边形ABCD＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×5×6×2107＋12×3×4×2107＝610.]12．(2017·唐山石家庄联考)已知在三角形ABC 中，角A ，B 都是锐角，且sin(B ＋C )＋3sin(A ＋C )cos C ＝0，则tan A 的最大值为________.【导学号：07804017】34[因为sin(B ＋C )＋3sin(A ＋C )cos C ＝0，所以sin(B ＋C )＝－3sin B cos C ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝－3sin B cos C ，sin C cos B ＝－4sin B cos C ．易知C ≠90°，所以tan C ＝－4tan B ，所以tan(A ＋B )＝4tan B ，所以tan A ＝tan[(A ＋B )－B ]＝A ＋B －tan B 1＋A ＋B B ＝3tan B1＋4tan 2B＝113tan B ＋43tan B ≤1249＝34(B 是锐角，tan B ＞0)，当且仅当1tan B ＝4tan B ，即tan B ＝12时取等号，所以tan A 的最大值为34.]三、解答题13．(2017·湖南五市十校联考)如图2­6所示，已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＋3asin C －b －c ＝0.图2­6(1)求A ；(2)若AD 为BC 边上的中线，cos B ＝17，AD ＝1292，求△ABC 的面积．[解] (1)a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0，由正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin B ＋sin C ， 即sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin(A ＋C )＋sin C ， 又sin C ≠0，所以化简得3sin A －cos A ＝1， 所以sin(A －30°)＝12.在△ABC 中，0°＜A ＜180°，所以A －30°＝30°，得A ＝60°. (2)在△ABC 中，因为cos B ＝17，所以sin B ＝437.所以sin C ＝sin(A ＋B )＝32×17＋12×437＝5314. 由正弦定理得，a c ＝sin A sin C ＝75. 设a ＝7x ，c ＝5x (x ＞0)，则在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ，即1294＝25x 2＋14×49x2－2×5x ×12×7x ×17，解得x ＝1，所以a ＝7，c ＝5， 故S △ABC ＝12ac sin B ＝10 3.14．(2017·洛阳一模)如图2­7，平面四边形ABDC 中，∠CAD ＝∠BAD ＝30°.图2­7(1)若∠ABC ＝75°，AB ＝10，且AC ∥BD ，求CD 的长； (2)若BC ＝10，求AC ＋AB 的取值范围.【导学号：07804018】[解] (1)由已知，易得∠ACB ＝45°， 在△ABC 中，10sin 45°＝CBsin 60°⇒BC ＝5 6.因为AC ∥BD ，所以∠ADB ＝∠CAD ＝30°，∠CBD ＝∠ACB ＝45°， 在△ABD 中，∠ADB ＝30°＝∠BAD ，所以DB ＝AB ＝10.在△BCD 中，CD ＝CB 2＋DB 2－2CB ·DB cos 45°＝510－4 3. (2)AC ＋AB ＞BC ＝10，cos 60°＝AB 2＋AC 2－1002AB ·AC⇒(AB ＋AC )2－100＝3AB ·AC ，而AB ·AC≤⎝⎛⎭⎪⎫AB ＋AC 22，所以AB ＋AC2－1003≤⎝ ⎛⎭⎪⎫AB ＋AC 22， 解得AB ＋AC ≤20，故AB ＋AC 的取值范围为(10,20]．。

WORD 格式专业资料整理它们的变形形式有：a 2R sin A ，sin A a ， cos Ab 2c 2 a 2 . sin B b 2bc5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点.〔 1〕角的变换因为在 VABC 中， A B C ，所以 sin( A B) sin C ； cos( A B)cosC ； A B cos C A B sin Ctan( A B)tan C . sin A 2 2 , cos 2 2 ；2〔 2〕三角形边、角关系定理及面积公式面积公式r 为三角形内切圆半径， p 为周长之半 .〔 3〕在V ABC 中，熟记并会证明：A, B,C 成等差数列的充分必要条件是B 60 ； V ABC 是正三角形的充分必要条件是A, B, C 成等差数列且a, b, c 成等比数列.【规律方法技巧】依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：1．利用正、余弦定理把条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；2．利用正、余弦定理把条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用如何利用余弦定理判定三角形的形状A B C 这个结论． 由于 cos A 与 b 2c 2 a 2同号， 故当 b 2c 2 a 20 时，角 A 为锐角； 当 b 2 c 2 a 20 时，三角形为直角三角形；当 b 2 c 2 a 20 时，三角形为钝角三角形．三角形中常见的结论(1)A B C .(2) 在三角形中大边对大角，反之亦然．(3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4) 在V ABC 中，sin Asin B 是 A B 的充要条件WORD格式它们的变形形式有： a 2R sin A ，sin A a， cos A b 2 c 2a2. sin B b2bc5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点.〔 1〕角的变换因为在 VABC中， A B C，所以 sin( A B)sin C ； cos( A B)cosC ；A Bcos C A BsinCtan( A B)tan C . sin A22, cos22；2〔 2〕三角形边、角关系定理及面积公式面积公式r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半 .〔 3〕在V ABC中，熟记并会证明：A, B,C 成等差数列的充分必要条件是B60 ； V ABC 是正三角形的充分必要条件是A, B, C 成等差数列且a, b, c 成等比数列.【规律方法技巧】依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：1．利用正、余弦定理把条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；2．利用正、余弦定理把条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用如何利用余弦定理判定三角形的形状A B C这个结论．由于 cos A与 b2c2a2同号，故当 b2c2a20 时，角 A 为锐角；当 b2c2a20 时，三角形为直角三角形；当 b2c2a20 时，三角形为钝角三角形．三角形中常见的结论(1)A B C.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4) 在V ABC中，sin Asin B 是 A B 的充要条件sin B b2bc5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点.〔 1〕角的变换因为在 VABC中， A B C，所以 sin( A B)sin C ； cos( A B)cosC ；A Bcos C A BsinCtan( A B)tan C . sin A22, cos22；2〔 2〕三角形边、角关系定理及面积公式面积公式r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半 .〔 3〕在V ABC中，熟记并会证明：A, B,C 成等差数列的充分必要条件是B60 ； V ABC 是正三角形的充分必要条件是A, B, C 成等差数列且a, b, c 成等比数列.【规律方法技巧】依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：1．利用正、余弦定理把条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；2．利用正、余弦定理把条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用如何利用余弦定理判定三角形的形状A B C这个结论．由于 cos A与 b2c2a2同号，故当 b2c2a20 时，角 A 为锐角；当 b2c2a20 时，三角形为直角三角形；当 b2c2a20 时，三角形为钝角三角形．三角形中常见的结论(1)A B C.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4) 在V ABC中，sin Asin B 是 A B 的充要条件sin B b2bc5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点.〔 1〕角的变换因为在 VABC中， A B C，所以 sin( A B)sin C ； cos( A B)cosC ；A Bcos C A BsinCtan( A B)tan C . sin A22, cos22；2〔 2〕三角形边、角关系定理及面积公式面积公式r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半 .〔 3〕在V ABC中，熟记并会证明：A, B,C 成等差数列的充分必要条件是B60 ； V ABC 是正三角形的充分必要条件是A, B, C 成等差数列且a, b, c 成等比数列.【规律方法技巧】依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：1．利用正、余弦定理把条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；2．利用正、余弦定理把条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用如何利用余弦定理判定三角形的形状A B C这个结论．由于 cos A与 b2c2a2同号，故当 b2c2a20 时，角 A 为锐角；当 b2c2a20 时，三角形为直角三角形；当 b2c2a20 时，三角形为钝角三角形．三角形中常见的结论(1)A B C.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4) 在V ABC中，sin Asin B 是 A B 的充要条件sin B b2bc5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点.〔 1〕角的变换因为在 VABC中， A B C，所以 sin( A B)sin C ； cos( A B)cosC ；A Bcos C A BsinCtan( A B)tan C . sin A22, cos22；2〔 2〕三角形边、角关系定理及面积公式面积公式r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半 .〔 3〕在V ABC中，熟记并会证明：A, B,C 成等差数列的充分必要条件是B60 ； V ABC 是正三角形的充分必要条件是A, B, C 成等差数列且a, b, c 成等比数列.【规律方法技巧】依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：1．利用正、余弦定理把条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；2．利用正、余弦定理把条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用如何利用余弦定理判定三角形的形状A B C这个结论．由于 cos A与 b2c2a2同号，故当 b2c2a20 时，角 A 为锐角；当 b2c2a20 时，三角形为直角三角形；当 b2c2a20 时，三角形为钝角三角形．三角形中常见的结论(1)A B C.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4) 在V ABC中，sin Asin B 是 A B 的充要条件sin B b2bc5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点.〔 1〕角的变换因为在 VABC中， A B C，所以 sin( A B)sin C ； cos( A B)cosC ；A Bcos C A BsinCtan( A B)tan C . sin A22, cos22；2〔 2〕三角形边、角关系定理及面积公式面积公式r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半 .〔 3〕在V ABC中，熟记并会证明：A, B,C 成等差数列的充分必要条件是B60 ； V ABC 是正三角形的充分必要条件是A, B, C 成等差数列且a, b, c 成等比数列.【规律方法技巧】依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：1．利用正、余弦定理把条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；2．利用正、余弦定理把条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用如何利用余弦定理判定三角形的形状A B C这个结论．由于 cos A与 b2c2a2同号，故当 b2c2a20 时，角 A 为锐角；当 b2c2a20 时，三角形为直角三角形；当 b2c2a20 时，三角形为钝角三角形．三角形中常见的结论(1)A B C.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4) 在V ABC中，sin Asin B 是 A B 的充要条件sin B b2bc5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点.〔 1〕角的变换因为在 VABC中， A B C，所以 sin( A B)sin C ； cos( A B)cosC ；A Bcos C A BsinCtan( A B)tan C . sin A22, cos22；2〔 2〕三角形边、角关系定理及面积公式面积公式r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半 .〔 3〕在V ABC中，熟记并会证明：A, B,C 成等差数列的充分必要条件是B60 ； V ABC 是正三角形的充分必要条件是A, B, C 成等差数列且a, b, c 成等比数列.【规律方法技巧】依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：1．利用正、余弦定理把条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；2．利用正、余弦定理把条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用如何利用余弦定理判定三角形的形状A B C这个结论．由于 cos A与 b2c2a2同号，故当 b2c2a20 时，角 A 为锐角；当 b2c2a20 时，三角形为直角三角形；当 b2c2a20 时，三角形为钝角三角形．三角形中常见的结论(1)A B C.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4) 在V ABC中，sin Asin B 是 A B 的充要条件sin B b2bc5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点.〔 1〕角的变换因为在 VABC中， A B C，所以 sin( A B)sin C ； cos( A B)cosC ；A Bcos C A BsinCtan( A B)tan C . sin A22, cos22；2〔 2〕三角形边、角关系定理及面积公式面积公式r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半 .〔 3〕在V ABC中，熟记并会证明：A, B,C 成等差数列的充分必要条件是B60 ； V ABC 是正三角形的充分必要条件是A, B, C 成等差数列且a, b, c 成等比数列.【规律方法技巧】依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：1．利用正、余弦定理把条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；2．利用正、余弦定理把条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用如何利用余弦定理判定三角形的形状A B C这个结论．由于 cos A与 b2c2a2同号，故当 b2c2a20 时，角 A 为锐角；当 b2c2a20 时，三角形为直角三角形；当 b2c2a20 时，三角形为钝角三角形．三角形中常见的结论(1)A B C.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4) 在V ABC中，sin Asin B 是 A B 的充要条件。

专项限时集训(一) 与三角变换、平面向量综合的三角形问题(对应学生用书第113页)(限时：60分钟)1．(本小题满分14分)(2015·江苏高考)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60˚.(1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．[解] (1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.4分(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BCsin A，所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60˚7＝217.因为AB ＜BC ，所以C 为锐角， 则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277. 因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437. 14分2．(本小题满分14分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c . (1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．[解] (1)由已知及正弦定理得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， 即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ， 故2sin C cos C ＝sin C . 可得cos C ＝12，所以C ＝π3.6分(2)由已知，12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.10分由已知及余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝7， 故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25.所以△ABC 的周长为5＋7. 14分3．(本小题满分14分)(江苏省南通市如东高中2017届高三上学期第二次调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos C ＝310.(1)若CA →·CB →＝92，求△ABC 的面积；(2)设向量x ＝(2sin B ，－3)，y ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2B ，1－2sin 2B 2，且x ∥y ，求角B 的值.【导学号：56394091】[解] (1)根据题意，∵CB →·CA →＝92，∴ab cos C ＝92，∴ab ＝15，又∵cos C ＝310，C ∈(0，π)，sin C ＝9110.所以S △ABC ＝12ab sin C ＝3914.6分(2)根据题意，∵x ∥y ，∴2sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2sin 2B 2－(－3)·cos 2B ＝0，即2sin B ⎝⎛⎭⎪⎫1－2sin 2B 2＋3cos 2B ＝0，2sin B cos B ＋3cos 2B ＝0，即sin 2B ＋3cos 2B ＝0，显然cos 2B ≠0， 所以tan 2B ＝－3，10分 所以2B ＝2π3或5π3，即B ＝π3或5π6，因为cos C ＝310＜32，所以C ＞π6，所以B ＝5π6(舍去)，即B ＝π3.14分 4．(本小题满分16分)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k sin x3，cos 2x 3，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x3，－k ，实数k 为大于零的常数，函数f (x )＝a ·b ，x ∈R ，且函数f (x )的最大值为2－12. (1)求k 的值；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若π2<A <π，f (A )＝0，且a＝210，求AB →·AC →的最小值．[解] (1)由已知f (x )＝a ·b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k sin x3，cos 2x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x3，－k＝k sin x 3cos x 3－k cos 2x 3＝12k sin 2x 3－k ·1＋cos2x 32＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x3－cos 2x 3－k 2＝2k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2x 3－22cos 2x 3－k 2 ＝2k 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3－π4－k 2. 5分因为x ∈R ，所以f (x )的最大值为2－1k2＝2－12， 则k ＝1.7分(2)由(1)知，f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3－π4－12， 所以f (A )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A 3－π4－12＝0， 化简得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A 3－π4＝22.9分因为π2<A <π，所以π12<2A 3－π4<5π12.则2A 3－π4＝π4，解得A ＝3π4. 因为cos A ＝－22＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－402bc ，所以b 2＋c 2＋2bc ＝40，则b 2＋c 2＋2bc ＝40≥2bc ＋2bc ， 所以bc ≤402＋2＝20(2－2).14分则AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 3π4＝－22bc ≥20(1－2)．所以AB →·AC →的最小值为20(1－2).16分5．(本小题满分16分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a cosB .(1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．[解] (1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ， 故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B ) ＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， 于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0<A －B <π， 所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ， 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B . 8分(2)由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin A ＝12sin 2B ＝sin B cos B .因为sin B ≠0，所以sin C ＝cos B ． 12分 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B . 当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.16分6．(本小题满分16分)(江苏省苏州市2017届高三上学期期中)如图2，有一块平行四边形绿地ABCD ，经测量BC ＝2百米，CD ＝1百米，∠BCD ＝120°，拟过线段BC 上一点E 设计一条直路EF (点F 在四边形ABCD 的边上，不计路的宽度)，将绿地分为面积之比为1∶3的左右两部分，分别种植不同的花卉，设EC ＝x 百米，EF ＝y 百米．图2(1)当点F 与点D 重合时，试确定点E 的位置； (2)试求x 的值，使路EF 的长度y 最短．[解] (1)∵S 平行四边形ABCD ＝2×12×1×2sin 120°＝3，当点F 与点D 重合时，由已知S △CDE ＝14S 平行四边形ABCD ＝34，又∵S △CDE ＝12CE ·CD ·sin 120°＝34x ＝34⇒x ＝1，E 是BC 的中点.6分(2)①当点F 在CD 上，即1≤x ≤2时，利用面积关系可得CF ＝1x，再由余弦定理可得y ＝x 2＋1x2＋1≥3；当且仅当x ＝1时取等号．②当点F 在DA 上时，即0≤x ＜1时，利用面积关系可得DF ＝1－x ，10分(ⅰ)当CE ＜DF 时，过E 作EG ∥CD 交DA 于G (图略)，在△EGF 中，EG ＝1，GF ＝1－2x ，∠EGF ＝60°，利用余弦定理得y ＝4x 2－2x ＋1.(ⅱ)同理当CE ≥DF ，过E 作EG ∥CD 交DA 于G (图略)，在△EGF 中，EG ＝1，GF ＝2x －1，∠EGF ＝120°，利用余弦定理得y ＝4x 2－2x ＋1.由(ⅰ)、(ⅱ)可得y ＝4x 2－2x ＋1，0≤x ＜1， ∴y ＝4x 2－2x ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋34， ∵0≤x ＜1，∴y min ＝32，当且仅当x ＝14时取等号， 由①②可知当x ＝14时，路EF 的长度最短为32.16分。

14个填空题专项强化练(六) 三角恒等变换与解三角形A 组——题型分类练题型一 同角三角函数的基本关系与诱导公式 1．sin 240°＝________.解析：sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 答案：－322．已知cos α＝－513，角α是第二象限角，则tan(2π－α)＝________.解析：因为cos α＝－513，角α是第二象限角，所以sin α＝1213，所以tan α＝－125，故tan(2π－α)＝－tan α＝125.答案：1253．已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－25，则sin θ＋cos θ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ＋cos 2θ＝1，sin θ－2cos θ＝－25，且θ为第三象限角，得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－2425，cos θ＝－725，故sin θ＋cos θ＝－3125.答案：－3125题型二 三角恒等变换1．若1＋cos 2αsin 2α＝12，则tan 2α＝________.解析：因为1＋cos 2αsin 2α＝2cos 2α2sin αcos α＝cos αsin α＝12，所以tan α＝2，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43.答案：－432．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos α的值为________． 解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3. 又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝35，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝45， ∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310. 答案：43－3103．若f (x )＝2tan x －2sin 2x2－1sin x 2cos x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值为________． 解析：因为f (x )＝2tan x ＋1－2sin2x212sin x ＝2tan x ＋2cos x sin x ＝2sin x cos x ＝4sin 2x，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝4sinπ6＝8.答案：84．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝233，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π6的值是________． 解析：由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝233， 得32cos α－32sin α＝233， 即－⎝⎛⎭⎪⎫32sin α－12cos α＝23，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－23.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6－π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝23. 答案：235．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝13，则tan(2α＋β)的值为________． 解析：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π12.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 2α＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2425，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 2α＋π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1＝－725， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－247.又2α＋β＝⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3， 所以tan(2α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π31－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝－247＋131＋247×13＝－139.答案：－139题型三 正弦定理和余弦定理1．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C ＝________.解析：由正弦定理得sin A sin C ＝ac，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∵a ＝4，b ＝5，c ＝6， ∴sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2·sin Asin C·cos A＝2×46×52＋62－422×5×6＝1.答案：12．在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4.若△ABC 的面积为33，则BC 的长是________． 解析：因为S △ABC ＝12AB ·AC sin A ，所以33＝12×3×4×sin A ，所以sin A ＝32，因为△ABC 是锐角三角形，所以A ＝60°，由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ，解得BC ＝13.答案：133．已知在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝2，角B 的平分线BD ＝3，则BC ＝________. 解析：在△ABD 中，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝BDsin A，∴sin ∠ADB ＝AB ·sin A BD ＝22，∴∠ADB ＝45°， ∴∠ABD ＝15°，∴∠ABC ＝30°，∠ACB ＝30°， ∴AC ＝AB ＝ 2.在△ABC 中，由余弦定理得BC ＝ AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝ 6.答案： 64．在斜三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若1tan A ＋1tan B ＝1tan C ，则abc2的最大值为________．解析：由1tan A ＋1tan B ＝1tan C 可得，cos A sin A ＋cos B sin B ＝cos Csin C ， 即sin B cos A ＋cos B sin A sin A sin B ＝cos Csin C，∴B ＋A sin A sin B ＝cos Csin C，即sin C sin A sin B ＝cos Csin C，∴sin 2C ＝sin A sin B cos C . 根据正弦定理及余弦定理可得，c 2＝ab ·a 2＋b 2－c 22ab，整理得a 2＋b 2＝3c 2.∴ab c 2＝ab a 2＋b 23＝3ab a 2＋b 2≤3ab 2ab ＝32，当且仅当a ＝b 时等号成立． 答案：32B 组——高考提速练1．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝________.解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－φ＝sin φ＝32， 又|φ|<π2，则cos φ＝12，所以tan φ＝ 3.答案： 32．已知sin 2α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<2α<π，tan(α－β)＝12，则tan(α＋β)等于________．解析：由题意，可得cos 2α＝－45，则tan 2α＝－34，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝tan 2α－α－β1＋tan 2αα－β＝－2.答案：－23．已知sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin αcos α＝________. 解析：由sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α， 得sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－25. 答案：－254．若tan β＝2tan α，且cos αsin β＝23，则sin(α－β)的值为________．解析：由tan β＝2tan α得，2sin αcos β＝cos αsin β，所以2sin αcos β＝23，所以sin αcos β＝13， 所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝13－23＝－13.答案：－135．若tan 2α＋1cos 2α＝3，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝________. 解析：由tan 2α＋1cos 2α＝3，得2tan α1－tan 2α＋1＋tan 2α1－tan 2α＝3，解得tan α＝12.所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－13.答案：－136．已知sin(α－45°)＝－210，且0°<α<90°，则cos 2α的值为________． 解析：∵sin(α－45°)＝－210，0°＜α＜90°， ∴－45°＜α－45°＜45°，cos(α－45°)＝7210，∴cos 2α＝－sin(2α－90°)＝－2sin(α－45°)cos(α－45°)＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－210×7210＝725. 答案：7257.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C ＝________.解析：设BD ＝1，则AB ＝AD ＝32，BC ＝2.在△ABD 中，由余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AD 2－BD22·AB ·AD ＝13，所以sin A ＝223，在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BC sin A ，得sin C ＝66. 答案：668．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高的长度为________． 解析：设AB ＝x ，则由AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，知7＝x 2＋4－2x ，即x 2－2x －3＝0，所以x ＝3(负值舍去)．所以BC 边上的高为AB ·sin B ＝3×32＝332. 答案：3329．已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，则 sin 2αcos 2β的值为________．解析：sin 2αcos 2β＝α＋β＋α－βα＋β－α－β＝α＋βα－β＋α＋βα－βα＋βα－β＋α＋βα－β＝α＋β＋α－β1＋α＋βα－β＝2＋31＋2×3＝57. 答案：5710.2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是________．解析：原式＝－－sin 20°sin 70°＝＋－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.答案： 311．已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连结CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.解析：在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝2，由余弦定理得cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝42＋22－422×4×2＝14，则sin ∠ABC ＝sin ∠CBD ＝154， 所以S △BDC ＝12BD ·BC sin ∠CBD ＝12×2×2×154＝152.因为BD ＝BC ＝2，所以∠CDB ＝12∠ABC ，则cos ∠CDB ＝ cos ∠ABC ＋12＝104. 答案：15210412．已知sin α－m cos αcos α＋m sin α＝tan β，且α－β＝π3，则m ＝________.解析：由题意得sin α－m cos αcos α＋m sin α＝tan α－m1＋m tan α＝tan β，又α－β＝π3，所以tan β＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝tan α－31＋3tan α， 所以tan α－m 1＋m tan α＝tan α－31＋3tan α，所以m ＝ 3.答案： 313．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin αsin β，则tan α的最大值是________．解析：因为α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin αsin β，则cos(α＋β)sin β＝sin α＝sin[(α＋β)－β]，即cos(α＋β)sin β＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β， 转化为tan(α＋β)＝2tan β，即tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan β，则2tan αtan 2β－tan β＋tan α＝0， 所以Δ≥0，且两根x 1，x 2均大于0. 即x 1＋x 2＞0.x 1x 2＞0，即1－8tan 2α≥0，tan α＞0，解得0<tan α≤24. 则tan α的最大值为24. 答案：2414．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 为锐角三角形，且满足b 2－a 2＝ac ，则1tan A －1tan B的取值范围是________．解析：由余弦定理得b 2－a 2＝(a 2＋c 2－2ac cos B )－(b 2＋c 2－2bc cos A )＝a 2－b 2＋2c (b cos A －a cos B )，即b 2－a 2＝c (b cos A －a cos B )＝ac ⇒b cos A －a cos B ＝a ⇒sin(B －A )＝sin A ⇒B ＝2A .又△ABC 为锐角三角形，所以π3<B <π2.则1tan A －1tan B ＝B －A sin A sin B＝1sin B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫1，233。

专题限时集训(五) 三角函数与解三角形(对应学生用书第89页) (限时：120分钟)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．) 1．(江苏省苏州市2017届高三上学期期中)已知tan α＝－43，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________. 7 [∵tan α＝－43，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－43－11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝7.]2．(江苏省南通市如东高中2017届高三上学期第二次调研)函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的单调增区间为________．⎝⎛⎭⎪⎫k π－π6，k π＋5π6，k ∈Z [由k π－π2＜x －π3＜k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6＜x ＜k π＋5π6，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π－π6，k π＋5π6，k ∈Z .]3．(贵州遵义市2017届高三第一次联考)已知倾斜角为α的直线l 过x 轴上一点A (非坐标原点O )，直线l 上有一点P (cos 130°，sin 50°)，且∠APO ＝30°，则α等于________．100°或160° [因为P (cos 130°，sin 50°)＝P (cos 130°，sin 130°)，所以∠POx ＝130°，因此α＝130°＋30°或130°－30°，即α＝160°或100°.]4．(山东省枣庄市2017届高三上学期期末)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，tan(α－π)＝－34，则sin α＋cos α的值是________．－15 [tan(α－π)＝tan α＝－34，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以sin α＝35，cos α＝－45，所以sin α＋cos α＝－15.]5．(山东省枣庄市2017届高三上学期期末)已知函数f (x )＝cos ωx (ω＞0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值为________.【导学号：56394033】6 [将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度，得y ＝cos ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ3，又因为所得的图象与原图象重合，所以ωπ3＝2k π，即ω＝6k (k ∈Z ) ，因为ω＞0，所以ω的最小值为6.]6．(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足2b cos A ＝2c －3a ，则角B 的大小为________．π6[∵2b cos A ＝2c －3a ， ∴cos A ＝2c －3a 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc，整理可得：c 2＋a 2－b 2＝3ac ，∴cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π6.]7．(天津六校2017届高三上学期期中联考)将函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象．则y ＝g (x )图象一条对称轴是________．x ＝π3[函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再向右平移π6个单位长度，得y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，对称轴为2x －π6＝π2＋k π(k ∈Z )，x ＝π3＋k π2(k ∈Z )．]图5－78．(四川省2016年普通高考适应性测试)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图5－7所示，则函数f (x )的解析式为________.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 [A ＝2，T 4＝5π12－π6⇒T ＝π，ω＝2πT ＝2,2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝2⇒5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )⇒φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，∵|φ|＜π2，∴φ＝－π3.]9．(江苏省苏州市2017届高三上学期期中)若函数y ＝tan θ＋cos 2θ＋1sin 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2，则函数y 的最小值为________．2 [由题意：函数y ＝tan θ＋cos 2θ＋1sin 2θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2， 化简：y ＝sin θcos θ＋2cos 2θ－1＋12sin θcos θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝2sin 2θ；∵0＜θ＜π2，∴0＜2θ＜π，所以：0＜sin 2θ≤1.当sin 2θ＝1时，函数y 取得最小值，即y min ＝21＝2.]10．(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)已知函数f (x )＝3sin 2ωx －cos 2ωx (其中ω∈(0,1))，若f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则f (x )在区间[0，π]上的单调递增区间为________． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3 [函数f (x )＝3sin 2ωx －cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6，∵f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3ω－π6＝0，∴π3ω－π6＝k π，k ∈Z ，解得ω＝3k ＋12，∵ω∈(0,1)，∴ω＝12，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，∴f (x )的增区间为：－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，整理，得－π3＋2k π≤x ≤2π3＋2k π，k ∈Z ，∴f (x )在区间[0，π]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3.]11．(2017·江苏省盐城市高考数学二模)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos α的值为________．43－310 [∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝45， 那么cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310.]12．(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32B ＋π4＝－22，且a ＋c ＝2，则△ABC 周长的取值范围是________.[2＋3，4) [∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32B ＋π4＝－22，且B 为三角形的内角，∴32B ＝π，∴B ＝2π3，又b 2＝a 2＋c 2－2ac cosB ＝(a ＋c )2－ac ＝4－ac ≥4－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝3，当且仅当a ＝c ＝1时，取等号，所以b ≥3，所以a ＋c ＋b ≥2＋3；又a ＋c ＝2＞b ，所以a ＋c ＋b ＜4，所以△ABC 周长的取值范围是[2＋3，4)．]13．(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)已知△ABC 中，sin A ＋2sin B cos C ＝0，则tanA 的最大值是________．33[∵sin A ＋2sin B cos C ＝0，∴a ＋2b cos C ＝0. ∴a ＋2b a 2＋b 2－c 22ab＝0，∴2a 2＋b 2－c 2＝0；由于tan 2A ＝1cos 2A－1.又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3b 2＋c 24bc ≥23bc 4bc ＝32，当且仅当3b ＝c 时，等号成立．即cos A 的最小值为32.故tan 2A 的最大值为13，故tan A 的最大值为33.]14．(广东2017届高三上学期阶段测评(一))函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＋1的最小正周期为π，当x ∈[m ，n ]时，f (x )至少有12个零点，则n －m 的最小值为________．16π3 [由题知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1，f (x )＝0,2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－12.由周期性可知n －m ≥5π＋π3＝16π3，∴(n －m )min ＝16π3.] 二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15．(本小题满分14分)(2017·江苏省盐城市高考数学二模)如图5－8，在△ABC 中 ，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2.① ②图5－8(1)若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小；(2)若∠ABC ＝π4，求△ADC 的面积．[解] (1)设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β. 因为AD ⊥BC ，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2， 所以tan α＝12，tan β＝13，2分所以tan ∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1.4分又∠BAC ∈(0，π)， 所以∠BAC ＝π4.6分 (2)设∠BAD ＝α.在△ABD 中，∠ABC ＝π4，AD ＝6，BD ＝3.由正弦定理得ADsinπ4＝BD sin α，解得sin α＝24.8分 因为AD ＞BD ，所以α为锐角，从而cos α＝1－sin 2α＝144. 因此sin ∠ADC ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫24＋144＝1＋74. △ADC 的面积S ＝12×AD ×DC ·sin∠ADC ＝12×6×2×1＋74＝32(1＋7).14分16．(本小题满分14分)(江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b sin 2C ＝c sin B . (1)求角C ；(2)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝35，求sin A 的值．[解] (1)由b sin 2C ＝c sin B ，根据正弦定理，得2sin B sin C cos C ＝sin C sin B ，2分 因为sin B ＞0，sin C ＞0，所以cos C ＝12，4分 又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.6分(2)因为C ＝π3，所以B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以B －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝45. 8分又A ＋B ＝2π3，即A ＝2π3－B ，所以sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝sin π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3－cos π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3 ＝32×45－12×35＝43－310. 14分17．(本小题满分14分)(江苏省南京市2017届高三上学期学情调研)如图5－9，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A ，B .若点A 的横坐标是31010，点B 的纵坐标是255.图5－9(1)求cos(α－β)的值； (2)求α＋β的值.【导学号：56394034】[解] 因为锐角α的终边与单位圆交于A ，且点A 的横坐标是31010，所以，由任意角的三角函数的定义可知，cos α＝31010，从而sin α＝1－cos 2α＝1010. 2分因为钝角β的终边与单位圆交于点B ，且点B 的纵坐标是255，所以sin β＝255，从而cos β＝－1－sin 2β＝－55. 4分(1)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55＋1010×255＝－210. 8分(2)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝1010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55＋31010×255＝22. 11分因为α为锐角，β为钝角，故α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，所以α＋β＝3π4.14分18．(本小题满分16分)(湖北省荆州市2017届高三上学期第一次质量检测)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x －12.(1)求函数f (x )的对称中心 ；(2)求f (x )在[0，π]上的单调递增区间． [解] (1)f (x )＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，4分令2x －π6＝k π，得x ＝k π2＋π12，故所求对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π12，－1，k ∈Z .8分 (2)令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z10分又由于x ∈[0，π]，所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π，故所求单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π. 16分19．(本小题满分16分)(天津六校2017届高三上学期期中联考 )已知函数f (x )＝2sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋32.(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2) 求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值及最小值．[解] (1)f (x )＝2sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋32＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x ＋32＝sin x cos x －3sin 2x ＋32＝12sin 2x －32＋32cos 2x ＋32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 3分由π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z . 即f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z .6分 (2)由0≤x ≤π2得π3≤2x ＋π3≤4π3，8分 所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1.12分所以当x ＝π2时，f (x )取得最小值－32；当x ＝π12时，f (x )取得最大值1.16分20．(本小题满分16分)(山东潍坊2017届高三上学期期中联考)已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a －b ，sin A ＋sin C )与向量n ＝(a －c ，sin(A ＋C ))共线． (1)求角C 的值；(2)若AC →·CB →＝－27，求|AB →|的最小值． [解] (1)∵向量m 与向量n 共线，∴(a －b )·sin(A ＋C )＝(a －c )(sin A ＋sin C )， 2分由正弦定理可得：(a －b )b ＝(a －c )(a ＋c )， ∴c 2＝a 2＋b 2－ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∵0＜C ＜π，∴C ＝π3.7分(2)∵AC →·CB →＝－27，∴CA →·CB →＝27，∴CA →·CB →＝|CA →|·|CB →|cos C ＝12|CA →|·|CB →|＝27，10分 ∴|CA →|·|CB →|＝54，∵|AB →|2＝|CB →－CA →|2＝|CB →|2＋|CA →|2－2CB →·CA →， ∴|AB →|2≥2|CB →|·|CA →|－2×27 ＝2×54－54＝54.∴|AB →|≥36，(当且仅当|CA →|＝|CB →|＝36时，取“＝”) ∴|AB →|的最小值为3 6. 16分。

6个解答题专项强化练(一) 三角函数与解三角形1、已知向量m ＝(cos α,－1),n ＝(2,sin α),其中α∈⎝⎛⎭⎫0，π2,且m ⊥n 、 (1)求cos 2α的值；(2)若sin(α－β)＝1010,且β∈⎝⎛⎭⎫0，π2,求角β的值、 解：法一：(1)由m ⊥n 得,2cos α－sin α＝0,即sin α＝2cos α,代入sin 2α＋cos 2α＝1,得cos 2α＝15, 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2, 所以cos α＝55,sin α＝255, 所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝⎝⎛⎭⎫552－⎝⎛⎭⎫2552＝－35、 (2)由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2,β∈⎝⎛⎭⎫0，π2,得α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2、 因为sin(α－β)＝1010,所以cos(α－β)＝31010、 所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝255×31010－55×1010＝22、 因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2,所以β＝π4、 法二：(1)由m ⊥n 得,2cos α－sin α＝0,tan α＝2,故cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－41＋4＝－35、 (2)由(1)知,2cos α－sin α＝0,且sin 2α＋cos 2α＝1,α∈⎝⎛⎭⎫0，π2, 所以sin α＝255,cos α＝55, 由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2,β∈⎝⎛⎭⎫0，π2,得α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2、因为sin(α－β)＝1010,所以cos(α－β)＝31010、 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝55×31010＋255×1010＝22、 因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2,所以β＝π4、 2、在△ABC 中,∠A ＝60°,c ＝37a 、 (1)求sin C 的值；(2)若a ＝7,求△ABC 的面积、解：(1)在△ABC 中,因为∠A ＝60°,c ＝37a , 所以由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝37×32＝3314、 (2)因为a ＝7,所以c ＝37×7＝3、 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ,得72＝b 2＋32－2b ×3×12, 解得b ＝8或b ＝－5(舍去)、所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×8×3×32＝63、 3、已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R)、(1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间、解：(1)由题意,f (x )＝－cos 2x －3sin 2x＝－2⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6, 故f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－2sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋π6＝－2sin 3π2＝2、 (2)由(1)知f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6、 则f (x )的最小正周期是π、由正弦函数的性质：令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π,k ∈Z, 解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π,k ∈Z, 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)、 4、如图,在△ABC 中,D 为边BC 上一点,AD ＝6,BD ＝3,DC ＝2、(1)若AD ⊥BC ,求∠BAC 的大小；(2)若∠ABC ＝π4,求△ADC 的面积、 解：(1)设∠BAD ＝α,∠DAC ＝β、因为AD ⊥BC ,AD ＝6,BD ＝3,DC ＝2,所以tan α＝12,tan β＝13, 所以tan ∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β ＝12＋131－12×13＝1、 又∠BAC ∈(0,π),所以∠BAC ＝π4、 (2)设∠BAD ＝α、在△ABD 中,∠ABC ＝π4,AD ＝6,BD ＝3、 由正弦定理得AD sin π4＝BD sin α,解得sin α＝24、 因为AD ＞BD ,所以α为锐角,从而cos α＝1－sin 2α＝144、因此sin ∠ADC ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝22×⎝⎛⎭⎫24＋144＝1＋74、 所以△ADC 的面积S ＝12×AD ×DC ×sin ∠ADC ＝12×6×2×1＋74＝3(1＋7)2、 5、设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2,其中0<ω<3、已知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0、 (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移π4个单位,得到函数y ＝g (x )的图象,求g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值、 解：(1)因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2, 所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝⎛⎭⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3、 因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝0,所以ωπ6－π3＝k π,k ∈Z 、 故ω＝6k ＋2,k ∈Z 、又0<ω<3,所以ω＝2、(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3, 所以g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π12、 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4, 所以x －π12∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3, 当x －π12＝－π3,即x ＝－π4时,g (x )取得最小值－32、 6、在△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边、若向量m ＝(a ,cos A ),向量n ＝(cos C ,c ),且m ·n ＝3b cos B 、(1)求cos B 的值；(2)若a ,b ,c 成等比数列,求1tan A ＋1tan C的值、 解：(1)因为m ·n ＝3b cos B ,所以a cos C ＋c cos A ＝3b cos B 、由正弦定理,得sin A cos C ＋sin C cos A ＝3sin B cos B , 所以sin(A ＋C )＝3sin B cos B ,所以sin B ＝3sin B cos B 、因为B 是△ABC 的内角,所以sin B ≠0,所以cos B ＝13、(2)因为a ,b ,c 成等比数列,所以b 2＝ac 、由正弦定理,得sin 2B ＝sin A sin C 、因为cos B ＝13,B 是△ABC 的内角,所以sin B ＝223、所以1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos Csin C＝cos A sin C ＋sin A cos C sin A sin C ＝sin (A ＋C )sin A sin C＝sin B sin A sin C ＝sinB sin 2B ＝1sin B ＝324、。