第八章理想流体有旋流动和无旋流动

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第八章理想流体有旋流动和无旋流动

y
vz z
z
vM xvx vxxx vyxy vzxz
v M x v x v x xx 1 2 v y xy 1 2 v y xy 1 2 v z xz 1 2 v z xz
1 vy y 1 vy y 1 v z z 1 v z
2 x 2 x 2 x 2 x
vx
vx x
dx 2
dx x 2
和x轴垂直的两个平面上的速度和密
度
vx
vx x
dx 2
vx
vx x
dx 2
dx
x 2
dx
x 2
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vx
vx x
dx 2
dx x 2
6
第八章理想流体的有旋流动和无旋流动
在x方向上，dt时间内通过左面流入的流体质量为：
xd 2xvx vxxd 2xdydzdt
vx y
单位时间二直角边旋转角速度代数和的平均值
精选版课件ppt
28
第八章理想流体的有旋流动和无旋流动
x
1 2
vz y
v y z
y
1 2
vx z
vz
x
z
1 vy
2
x
vx y
2 x
y2
z2
xiyjzk1 2v
精选版课件ppt
y
v y y
z
vz z
xyz
vx vy vz x y z
精选版课件ppt
23
第八章理想流体的有旋流动和无旋流动
xyz
vx vy vz x y z
对于不可压缩流体，上式等于零，是不可压缩流体的连续性方程，表明流体微团在运动中体积不变。

工程流体力学考研期末简答题名词解释汇总

工程流体力学考研期末简答题名词解释汇总1．理想流体：实际的流体都是有粘性的，没有粘性的假想流体称为理想流体。

2．水力光滑与水力粗糙管：流体在管内作紊流流动时（1分），用符号△表示管壁绝对粗糙度，δ0表示粘性底层的厚度，则当δ0＞△时，叫此时的管路为水力光滑管；（2分）当δ0＜△时，叫此时的管路为水力粗糙管。

（2分）3．边界层厚度：物体壁面附近存在大的速度梯度的薄层称为边界层；（2分）通常，取壁面到沿壁面外法线上速度达到势流区速度的99％处的距离作为边界层的厚度，以δ表示。

（3分）4．卡门涡街：流体绕流圆柱时，随着雷诺数的增大边界层首先出现分离，分离点不断的前移；（2分）当雷诺数大到一定程度时，会形成两列几乎稳定的、非对称性的、交替脱落的、旋转方向相反的旋涡，并随主流向下游运动，这就是卡门涡街。

（3分）1、雷诺数：是反应流体流动状态的数，雷诺数的大小反应了流体流动时，流体质点惯性力和粘性力的对比关系。

2、流线：流场中，在某一时刻，给点的切线方向与通过该点的流体质点的刘速方向重合的空间曲线称为流线。

3、压力体：压力体是指三个面所封闭的流体体积，即底面是受压曲面，顶面是受压曲面边界线封闭的面积在自由面或者其延长面上的投影面，中间是通过受压曲面边界线所作的铅直投影面。

4、牛顿流体：把在作剪切运动时满足牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体。

5、欧拉法：研究流体力学的一种方法，是指通过描述物理量在空间的分布来研究流体运动的方法。

6、拉格朗日法：通过描述每一质点的运动达到了解流体运动的方法称为拉格朗日法。

7、湿周：过流断面上流体与固体壁面接触的周界称为湿周。

17水力当量直径——非圆截面的流道计算阻力损失时以水力当量直径代替圆管直径，其值为4倍的流道截面积与湿周之比。

8、恒定流动：流场中，流体流速及由流速决定的压强、粘性力、惯性力等也不随时间变化的流动。

9、附面层：粘性较小的流体在绕过物体运动时，其摩擦阻力主要发生在紧靠物体表面的一个流速梯度很大的流体薄层内，这个薄层即为附面层。

流体力学：第八章理想不可压缩流体平面流动

dq u ac v cb
因为：ac dy，cb dx，所以
dq udy vdx dy dx d
y x
积分， q
2 d
1
2
1
在论证流函数存在及说明其特性时，仅用了平面流动的条件，故以上结论对任何平面流动都适用，不论势流和涡流。
一、无旋流动（有势流动）旋转角速度为零，通常称为势流。
x
1 ( w 2 y
v ) z
0,
或 w y
v z
y
1 ( u 2 z
w ) 0, x
或 u z
w x
z
1 2
( v x
u ) y
0,
或 v u x y
流体质点本身是否发生旋转，与流体微团本身运动时的轨迹形状无关。
由数学分析知，上式是使udx vdy wdz为某一函数的
Cylinder with Circulation
引言
平面势流理论在流体力学中占有非常重要的地位 Why? Example
本章将简要地介绍平面势流的基本理论，分析绕流不同形状的物体势流长的压力分布，以及流体对被绕流物体的作用力。
§8–1 无旋流动和有旋流动
根据流体微团是否存在旋转，将流动分为两大类型：无旋流动和有旋流动。 Two examples
涡线
涡线的表达式：
dx dy dz
x y z 通过微元断面的涡线组成涡束，涡束的表面称为涡管。涡束断面面积和2倍旋转角速度的乘积称为涡通量，以 I表示，则微元涡通量为：
dI 2dA dA
2
速度环量：在流场中取一封闭曲线，流速沿该曲线的
积分称为沿流线L的速度环量，用表示：
全微分的必要充分条件。

有旋流动和无旋流动_1~9

v x dx v x dy x 2 y 2
vx
v x dx v x dy x 2 y 2
vy
vy
v y dx v y dy x 2 y 2
Y方向速度： vy
Z方向速度：
vx
vx
vx dt
y
v x dx v x dy x 2 y 2
vz
vx
v x dx vx dy v x dz x 2 y 2 z 2
vx vx
vx dx v x dy v x dz x 2 y 2 z 2
vy
vx vx dx vx dy vx dz x 2 y 2 z 2
E
vx
vx dx v x dy v x dz x 2 y 2 z 2
vy
vx
v y dx v y dy x 2 y 2
v x dx v x dy x 2 y 2
vx
v x dx v x dy x 2 y 2
Y方向速度：
y
vy
vy
v y dx v y dy x 2 y 2
vx
vx
v x dx v x dy x 2 y 2
(
(
y
v y dy dy )(v y )dzdx y 2 y 2
z轴方向流体的净流入量：
( v z dz v z dz )dxdy ( v z )dxdydz z z z
o
z
x
每秒流入微元六面体的净流体质量
x轴方向流体的净流入量：
( v x dx v x dx )dydz ( v x )dxdydz x x x
dz v dz )( v z z )dxdy z 2 z 2

第八章旋转水射流

第八章旋转水射流第一节概述所谓旋转射流是指在射流喷嘴不旋转的条件下产生的具有三维速度的、射流质点沿螺旋线轨迹运动而形成的扩散式射流，也称之为旋动射流。

这种射流与常规的普通圆射流的主要不同点在于其外形呈明显扩张的喇叭状，具有较强的扩散能力和卷吸周围介质参与流动的能力，并能够形成较大的冲击面积，产生良好的雾化效果。

旋转射流作为一种特殊射流，早巳被用于工农业生产中。

喷洒农药的雾化器就是一个典型实例，液体农药通过管道被压到一个装有旋流片的雾化器中，使农药液流产生高速旋转，并喷出雾化器，达到雾化农药的目的。

工程技术中常常利用旋风原理来组织燃烧炉中的燃烧过程，如旋风燃烧室、旋风预燃室等。

因为燃料的燃烧过程可分为三个基本阶段：燃料与助燃空气的混合、燃料与空气的混合物升温到藉火温度，以及燃烧反应过程。

燃烧反应过程也就是燃料和空气中氧气之间进行的氧化过程，这个阶段实际上是瞬间完成的。

而前两个阶段则需要较长的时间。

因此，组织混合的过程决定着整个燃烧过程和火焰的特性，从而决定着炉膛内的温度分布和对工艺要求的适应程度。

在旋风燃烧室或顶燃室中，由于旋转射流能使流体质点以较高的速度旋转前进，形成扩散，产生一定程度的雾化，并且在强旋射流的内部形成一个回流区．旋转射流不但从射流外侧卷吸周围介质，而且还从回流区中卷吸介质，故它有较好的“抽气”能力，使大量的高温烟气回流到火炬根部，使燃料与空气充分掺混，提高温度和浓度的均匀分布程度，保证燃料顺利着火和火炬稳定燃烧，提高燃烧效率。

另外，在石油钻并工程中使用的固控设备(如除砂器、除泥器、离心机等)，也是利用旋转流体的离心力原理将流体中的因相颗粒进行分离清除，以保持洗井浓的性能，满足钻井过程中的安全快速钻进之需要，旋转射流的流动见图8·1所示。

通常用圆柱坐标来描述旋转射流的运动，将射流各质点的流速分解为三个v w分量：轴向流速u，径向流速和切向流速，这三个流速分量的时均流场和脉动流场就可表示旋转射流的运动状态。

08章b 理想流体的有旋和无旋流动

2rb
涡束内部的速度分布为:
vr 0
p
v v r
(r rb ) （8-28）
1 2 ( x 2 y 2 ) C 2 1 2 r 2 C 2 1 2 v C 2
r 在与环流区交界处， rb , p pb , v vb rb ，代入上式，得积分 2 2 C pb vb p vb 常数：
2 0
r
外围区的流动
流速分布
r0 u u0 r
y y x x u x u r0u0 2 , u y u r0u0 2 r r r r
u y
y Γ0
C
u x 外围区是无旋流动 z 0 x y
绕任一 r r0 的圆周（任意包住 r r0 的封闭曲线也可）的速度环量都等于Γ0
速度环量Γ：速度在某一封闭周线切线上的分量沿该封闭周线的线积分。
vds
第六节速度环量斯托克斯定理
代入，得：
规定沿封闭周线绕行的正方向为逆时针方向，即封闭周线所包围的面积总在前进方向的左侧；被包围面积的法线的正方向应与绕行的正方向形成右手螺旋系统。
第六节速度环量斯托克斯定理
等压面是旋转抛物面，如果存在自由面，
自由面是旋转抛物面，如图。
（２）自由涡旋
简称自由涡，其流线也是同心圆。但
速度变化关系式为：即与半径成反比。。（C为常数），
虽然流线是圆，但它是无旋运动，流
体微团并未旋转。根据伯努利定理，沿流线，在自由涡
中，各条流线H均相等。所以流场中的压
力分布关系式为：因而在自由涡中，当我们向中心移动
2、亥姆霍兹第二定理（涡管守恒定理）：正压性的理想流体在有势的质量力作用下，涡管永远保持为由相同流体质点组成的涡管。

第8章_理想流体的有旋和无旋流动

f x x, y y, z z f x, y, z x y z f ( x, y, z ) y z x
1 2! x

x
y
y
z
z f ( x, y, z )
第八章理想流体的无旋和有旋流动
II
第一节微分形式的连续方程
C
dx v v dydz x x x 2
G
B
vy
D
vz
vx
F
dx v v dydz x x x 2
dy
dz
E H
y
z
A
dx
x
( vx ) 单位时间内x方向净质量流量 dxdydz x
v y 1 v z 【解】由于 x 2 y z
0
1 v x v z y 0 2 z x
1 v y v x 1 z a0 2 x y 2
所以该流动是有旋运动。

2 x 2 y
2 z
写成矢量形式为：
1 xi y j z k V 2 i j k 1 2 x y z vx v y vz
有旋运动和无旋运动
根据流体微团在流动中是否旋转，可将流体的流动分为两类：有旋流动和无旋流动。数学条件：当当
4.旋转运动
流体微团的旋转角速度的定义为每秒内绕同一转轴的两条互相垂直的微元线段旋转角度的平均值。规定逆时针旋转角度为正： BC边旋转的角度为：
A
d
d
C B
x vx BA边旋转的角度为： d － dt y

工程流体力学的名词解释

一、名词解释。

1、雷诺数：是反应流体流动状态的数，雷诺数的大小反应了流体流动时，流体质点惯性力和粘性力的对比关系。

2、流线：流场中，在某一时刻，给点的切线方向与通过该点的流体质点的刘速方向重合的空间曲线称为流线。

4、牛顿流体：把在作剪切运动时满足牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体。

5、欧拉法：研究流体力学的一种方法，是指通过描述物理量在空间的分布来研究流体运动的方法。

6、拉格朗日法：通过描述每一质点的运动达到了解流体运动的方法称为拉格朗日法。

7、自由紊流射流：当气体自孔口、管嘴或条缝以紊流的形式向自由空间喷射时，形成的流动即为自由紊流射流。

8、流场：充满流体的空间。

9、无旋流动：流动微团的旋转角速度为零的流动。

10、有旋流动：运动流体微团的旋转角速度不全为零的流动。

11、自由射流：气体自孔口或条缝向无限空间喷射所形成的流动。

12、稳定流动：流体流动过程与时间无关的流动。

13、不可压缩流体：流体密度不随温度与流动过程而变化的液体。

14、驻点：流体绕流物体迎流方向速度为零的点。

15、流体动力粘滞系数u：表征单位速度梯度作用下的切应力，反映了粘滞的动力性质。

16、压力管路的定义。

---凡是液流充满全管在一定压差下流动的管路都称为压力管路。

17、作用水头的定义。

----任意断面处水的能量，等于比能除以。

含位置、压力水头和速度水头。

单位为m。

18、层流：当流体运动规则，各部分分层流动互不掺混，流体质点的迹线是光滑的，而且流场稳定时，此种流动形态称为层流。

19、湍流：当流体运动极不规则，各部分流体相互剧烈掺混，流体质点的迹线杂乱无章，流场极不稳定时。

此种流动形态称为“湍流”。

20、表面张力：液体表面任意两个相邻部分之间的垂直与它们的分界线的相互作用的拉力。

第八章-理想流体的有旋流动和无旋流动

' '
y x
t
同理，在δt时间内，D较点A纵向多移动
x t 线段 A D 逆时针旋转了 y
' '
x y t x
角变形速度（剪切变形速度）：单位时间内直角的变化量
直角的变化量：

角变形速度：
x y 2 z / t y x
1 z 1 z z z 2 x 2 x
z
x 1 y x x x x 2 x y 1 y x 2 x y
1 y x z 2 z x
同理
1 y x z z 2 z x 1 1 My y y y z y z y x x y 2 y x 2 z z y 1 1 x z y x x 2 y x 2 z z z 1 x z 1 y z Mz z z y x z 2 z x 2 z y
流体微团在发生角变形的同时，还要发生旋转运动
1 y x z z / t 2 x y
有旋流动、无旋流动：流体微团的旋转角速度是否为零。
x y z 0
z y y z
z x x z
x x x x y z x 2 x 2
z
x z y
z z z z x y z 2 z 2
y
z z z z x y z 2 z 2

《流体力学》第八章绕流运动解析

x y
( x, y ) d u dy u y dx C
x
实际上ψ(x,y)表示流场中的流线，C为任意常数。不同的C，则对应不同的流线。 d dx dy ux , uy x y y x
ux , uy y x
第八章

绕流运动
在自然界和实际工程中，存在着大量的流体绕流物体的流动问题，即绕流问题。我们研究时，都是把坐标固结于物体，将物体看作是静止的，而探讨流体相对于物体的运动。在大雷诺数的绕流中，由于流体的惯性力远大于粘性力，可将流体视为理想流体。在靠近物体的一薄层内，可以用附面层理论处理。
d ( x, y, z) ux dx uy dy uz dz
展开势函数的全微分
d dx dy dz x y x
比较上两式的对应系数，得出：
ux uy uz x y z 即速度在三坐标上的投影，等于速度势函数对于相应坐标的偏导数
工业液槽边侧吸气
平面无旋运动是旋转角速度为零的平面运动。在平面运动中，仅只有一个坐标方向上的旋转角速度分量ωz，当ωz=0时，则满足： u u
y
x

x
y
这时速度势函数全微分为：
d ux dx u y dy
对应的拉普拉斯方程为： 0 2 2 x y
流函数与势函数间关系为：
ux x y
两者交叉相乘得：
uy y x
0 y y x x
由高等数学得到，上式表明， φ(x,y)=C1和 ψ(x,y)=C2是互为正交的。由此表明：流线与等势线是相互垂直的。当给出不同的常数C1，C2时，就可得到一系列等势线和流线，它们间构成相互正交的流网，应用流网的正交性，借助数值计算方法和计算机，可以解决复杂的流场问题。

有旋流动和无旋流动.ppt

dΓ 0 dt
对于非粘性的不可压缩流体和可压缩正压流体，在有势质量力作用下速度环量和旋涡都是不能自行产生、也是不能自行消灭的。
❖ 正压流体
❖
内部任一点的压力只是密度的函数的流体。
❖ 斜压流体
❖
若流体压力不仅是密度的函数，而且还和其他热力学参量（例
如温度等）有关，则称为斜压流体。
❖
广义地说，正压流体是其力学特性与热学特性无关的流体。
第5章_有旋流动和无旋流动
在许多工程实际问题中，流动参数不仅在流动方向上发生变化，而且在垂直于流动方向的横截面上也要发生变化。要研究此类问题，就要用多维流的分析方法。本章主要讨论理想流体多维流动的基本规律，为解决工程实际中类似的问题提供理论依据，
也为进一步研究粘性流体多维流动奠定必要的基础。
但在更多的情况下，流体运动的有旋性并不是一眼就能看得出来的，如当流体绕流物体时，在物体表面附近形成的速度梯度很大的薄层内，每一点都有旋涡，而这些旋涡肉眼却是观察不到的。
至于工程中大量存在着的紊流运动，更是充满着尺度不同的大小旋涡。
流体的无旋流动虽然在工程上出现得较少，但无旋流动比有旋流动在数学处理上简单得多，因此，对二维平面势流在理论研究方面较成熟。
v
y
d dt
(dy) vz
d dt
(dz)]
[vxdvx vydvy vzdvz ]
d ( vx2 vy2 vz2 ) d ( v2 )
2
2
由理想流体的欧拉运动微分方程，等号右端第二项积分式可表
示为:
( dvx dx dvy dy dvz dz)
dt
dt
dt
[(
fx
1
p )dx ( x

理想流体运动的有旋和无旋

对于不可压缩流体， const 对于密度仅是压强的函数的流体 ( p)
方程组的定解条件定解条件 1.初始条件
初始条件边界条件
初始条件是指在起始瞬时t＝0所给定的流场中每一点的流动参数。
定常流动不需要给定初始条件。
2、边界条件
边界条件是指任一瞬时运动流体所占空间的边界上必须满足的条件。
数学条件：
当

1

V

0
当

2
1

V

0
2
在笛卡儿坐标系中：
无旋流动有旋流动
V

vz y

v y z
i

vx z

vz x

j

v y x
vx y
k
即当流场速度同时满足：
vz v y y z

vx x
dx 2
[ 1 ( vx 2 y

vy ) dy x 2

1 ( vx 2 z

vz ) dz ] x 2
移动线变形运动
角变形运动
[ 1 (vx vy ) dy 1 ( vx vz ) dz ] 2 y x 2 2 z x 2
旋转运动
H
dz
A
dx
E
将加速度的表达式代入
fx

1

p x

v x t
vx
vx x
vy
v x y
vz
vx z

fy

1

p y

v y t

第八章理想流体的有旋流动和无旋流动

vx vy vz 0
x
y
z
vx vy vz 0 x y z
vx vy 0
x
y
vx vy 0 x y
第二节流体微团运动分解
刚体的一般运动可以分解为移动和转动两部分。流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变
形。因此，任一流体微团在运动过程中不但与刚体一样
可以移动和转动，而且还会发生变形运动。所以，在一般情况下流体微团的运动可以分解为移
动、转动和变形运动三部分。
vMx
vx
vx x
x
vx y
y
vx z
z
vMy
vy
vy x
x
vy y
y
vy z
z
vMz
vz
vz x
x
vz y
y
vz z
z
图8-2 平行六面体微小流体质团
vMx
vx
vx x
x
1 2
v y x
vx y
y
1 vx 2 z
vz x
z
1 vx 2 z
vz x
z
1 2
v y x
vx
vx x
δ
x δ t
vx
δt
vx x
δ
x
δt
v y
vy y
δ
y t
vy
δt
vy x
δ
y
δt
vx x
δ xδt
vx
δ x δt x
vy y
δ
yδt
vy
δ y δ t y
vMx
vx
vx x
x
zy yz
yz zy

8-第8讲理想流体的有旋与无旋流动

21 2 2 0 x 2 y 2 2 2 2 2 0 x 2 y 2
则 1 2 也满足拉普拉斯方程，即有
2 2 0 x 2 y 2
同理，对于无旋运动的流函数也有这一特性，两个流函数叠加后可构成新的流函数。这一结论推广的有限个势函数或流函数的叠加仍然成立。 3、流函数与势函数满足科希-黎曼关系式由（6-31）和（6-33）可知，势函数与流函数满足关系式
x y x y
此式称为科希-黎曼关系式。 4、等流函数线与等势线正交对于等流函数线，有 C ，即有
（6-35）
d
dx dy 0 x y
在等流函数线上一点 ( x, y ) 处曲线切线的斜率为
（6-53）

q q ( A B ) P 2 2
（6-54）
注：设常数，得到流线方程为如图 6-13 所示。
这是一个经过点 A 和点 B 的圆线簇， P 常数，
y
等流函数线
☉ A
☉
B
x
图 6-13
点源与点汇的叠加流线
如果点源和点汇无限接近，即令 a 0 ，可得到一个无旋流动，称为偶极流。偶极流的流函数与势函数的推导如下。点源与点汇叠加后的势函数为
即流动一定是无旋的。对于二元流动，不管是有旋还是无旋流动，我们都可以定义另外一个函数，称为流函数，记作，定义如下
v x u y
这样的函数是天然满足连续性方程的，即有
（6-32）
u v 2 2 0 x y xy xy
流函数与势函数有如下基本特性。 1、对于有势流动，流函数与势函数均为调和函数若流场是有势的，即（6-31）式成立，则由连续性方程，有

理想流体的有旋流动和无旋流动

A
Ω
S
C
n
速度环量(velocity circulation):速度在某一封闭周线切线上的分量沿该封闭周线的积分。
K v ds vx dx v y dy vz dz
K
速度环量是标量，其正负号与速度和线积分绕行方向有关，规定：其绕行正方向为逆时针方向，面积的法线与正方向形成右手螺旋系统。
v yB v yC v xA v xB d dx dy 2 2 v v yA v xC v xD dx yD dy 2 2
0
x
将各点速度代入，并忽略高阶小量，得到
v y vx d x y dxdy
v y vx d 2 z dxdy x y
是研究非定常流动必不可少的定解条件 • 2、边界条件：方程组的解在流场边界上应当满足的条件。
A、固体壁面：壁面上流体质点的法向速度应等于对应点上壁面的法向速度
流体与固体壁面的作用力也必沿壁面法线方向；
B、流体交界面：在交界面同一点，两种流体法向速度相等，对于平面，压力相等； C、无穷远处：一般给定参数； D、流道进、出口处，可根据具体情况确定。
v v v x y z x y z
v M i vi
vi xj x j
i 1, 2, 3
亥姆霍兹运动分解定理
平移运动
vM i
v vi i x j x j
vi 1 vi v j 1 vi v j ij ij ( ) ( ) x j 2 x j xi 2 x j xi
不可压缩流体定常流动
即
常数
divv 0
vx v y vz 0 x y z

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dx 2

v
x

vx x
dx 2

dydzdt
则dt时间内沿x轴通过微元体表面的质量净通
量为

vx x
dx

vx
x
dx

dydzdt

x
(vx
)dxdydzdt
过程装备与控制工程教研室
vx

vx t
dx 2
dx t 2
x
y
z
vr div vr 0
不可压缩定常 const
vx vy vz 0 x y z
vr divvr 的体积流量等于零，也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相等。
y
y
vy vx
x
v
y

v y x

x

v y y

y
vx

v x x

x

v x y

y
vy

v y x

x
vx

v x x

x
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20
第八章理想流体的有旋流动和无旋流动
平移运动
矩形ABCD各角点具有相同的速度分量 vx 、 vy 。导致矩形 ABCD 平移 vxδt, 上移 vyδt, ABCD的形状不变。
流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变形。
流体微团在运动过程中不但象刚体那样可以有移动和转动，而且还会发生变形运动。
一般情况下，流体微团的运动可以分解为移动，转动和变形运动。
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15
第八章理想流体的有旋流动和无旋流动
在流场中任取一微元平行六面体
边长分别为dx、dy、dz。
v x z

vz x

x

1
2

vz y

v y z

y

1
2

v x z

vz x

x

1
2

vz y

v y z

y
线速度 vx vy vz
线变形速率
x

v x x
y

v y y
z

vz z
vr 1 v vz vr 0 r r z r
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第八章理想流体的有旋流动和无旋流动
球坐标系中微分形式的连续性方程
t

1 r2
(vrr2 ) r

1 r sin
(v sin )

1 r sin
(v )

z

1
2

v y x

vx y

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第八章理想流体的有旋流动和无旋流动
vMx vx x x (&z y &y z) ( y z z y) vMy vy y y (&x z &z x) (z x x z) vMz vz z z (&y x &x y) (z y y x) 在一般情况下，流体微团的运动可分解为三部分：
9
第八章理想流体的有旋流动和无旋流动
vx vy vz 0
t x
y
z
vr div vr 0
t
t
定常
0 t
vx vy vz 0
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2
第八章理想流体的有旋流动和无旋流动
本章内容
微分形式的连续方程流体微团运动分解理想流体运动方程定解条件理想流体运动微分方程的积分涡线涡管涡束涡通量速度环量斯托克斯定理汤姆孙定理亥姆霍兹定理
平面涡流速度势流函数流网几种简单的平面势流简单平面势流的叠加均匀等速流绕过圆柱体的平面
为vx、vy、vz 密度为ρ
vx

v x x
dx 2
dx x 2
和x轴垂直的两个平面上的速度和密
度
vx

v x x
dx 2
vx

v x x
dx 2
dx x 2
dx x 2
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vx

vx x
dx 2
dx x 2
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第八章理想流体的有旋流动和无旋流动
vMx

vx

v x x

x

1
2

v y x

v x y

y
1
2

v x z

vz x

z

1
2

v y x

v x y

y

1
2

v x z

vz x

z
t瞬时A点的速度为
r
v
A
(
x,
y,
z) r
r
r
vx ( x, y, z)i vy ( x, y, z) j vz ( x, y, z)k
顶点M速度为
r vM
(x

x,
y

y,
z

z)

vx
(
x

x,
y

y,
z

r z)i r
vy(x x, y y, z z) j
流动均匀等速流绕过圆柱体有环流
的平面流动
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3
第八章理想流体的有旋流动和无旋流动
第一节微分形式的连续方程
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4
第八章理想流体的有旋流动和无旋流动
当把流体的流动看作是连续介质的流动，它必然遵守质量守恒定律。

对于一定的控制体，必须满足
t
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第八章理想流体的有旋流动和无旋流动
柱坐标系中微分形式的连续性方程
t

1 r
r
(r vr
)
1 r

( v
)

z
(vz
)

0
定常
1 r
r
(r vr
)

1 r

( v
)

z
(vz
)

0
不可压缩定常
以流体微团中某点的速度作整体平移运动——线速度绕通过该点轴的旋转运动——旋转角速度微团本身的变形运动——线变形速率、剪切变形速率
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第八章理想流体的有旋流动和无旋流动
oxy坐标面内，t时刻矩形ABCD的运动
vy

v y y

y
vx

v x y

v
y

v y y

y
vx

v x y

y
v
y

v y x

x

v y y

y
vx

v x x

x

v x y

y
y vy vx x
vx t
v
y

v y x

x
vx

v x x

x
v y t
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第八章理想流体的有旋流动和无旋流动
【例】已知不可压缩流体运动速度v在x，y两个轴方向的分量为vx=2x2+y，vy=2y2+z。且在z=0处，有vz=0。试求z轴方向的速度分量vz。
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第八章理想流体的有旋流动和无旋流动
第二节流体微团运动分解
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第八章理想流体的有旋流动和无旋流动

z

vMx

vx

v x x

x

v x y

y

v x z

z
vMx

vx

vx x

x

1 2
vx y

y

1 2
vx y

y

1 2
vx z

z

1 2
vx z

z
1 vy y 1 vy y 1 vz z 1 vz
2 x
6
第八章理想流体的有旋流动和无旋流动
在x方向上，dt时间内通过左面流入的流体质量为：

x
dx 2

v
x

vx x
dx 2

dydzdt
dt时间通过右面流出的流体质量为：
vx

v x t
dx 2

第八章理想流体有旋流动和无旋流动

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