2020届河南省天一大联考高三上学期期末考试文科数学简略答案

2020届河南省天一大联考高三上学期期末数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}1,1,3,5A =-，{}0,1,3,4,6B =，则A B =U （ ） A ．{}1,3B ．{}1C ．{}1,0,1,1,3,4,5,6-D ．{}1,0,1,3,4,5,6-【答案】D【解析】根据并集的定义可求出集合A B U . 【详解】依题意，{}{}{}1,1,3,50,1,3,4,61,0,1,3,4,5,6A B =-=-U U . 故选：D. 【点睛】本题考查并集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2．设复数()()312iz i i i-=+-+，则z =（ ） A ．22B 5C ．2D 2【答案】A【解析】利用复数的四则运算法则将复数z 表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出z . 【详解】依题意()()33112221221i i z i i i i i i -+=+-+=-+++=--， 故()222222z =+-=故选：A. 【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的四则运算，考查计算能力，属于基础题. 3．已知向量()3,0m =v ，()3,0n =-v ，()()q m q n -⊥-v v v v ，则q v为（ ） A ．7B ．5C ．3D ．1【答案】C【解析】由题意可知n m =-r u r，由()()q m q n -⊥-r u r r r 得出()()q m q m -⊥+r u r r u r ，可得出()()0q m q m -⋅+=r u r r u r ，由此可得出q m =r u r，进而得解.【详解】由题意可知n m =-r u r，由()()q m q n -⊥-r u r r r 得出()()q m q m -⊥+r u r r u r ，()()0q m q m ∴-⋅+=r u r r u r ，即22q m =r u r ，因此，22303q m ==+=r u r .故选：C. 【点睛】本题考查向量模长的计算，同时也考查了向量垂直的等价条件的应用，解题的关键就是得出n m =-r u r，考查计算能力，属于基础题.4．近年来，随着4G 网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app 相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用app 的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：①可以估计使用app 主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数； ②可以估计不足10%的大学生使用app 主要玩游戏； ③可以估计使用app 主要找人聊天的大学生超过总数的14. 其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】根据利用app 主要听音乐的人数和使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①的正误；计算使用app 主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用app 主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断③的正误.综合得出结论. 【详解】使用app 主要听音乐的人数为5380，使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数为4450，所以①正确；使用app 主要玩游戏的人数为8130，而调查的总人数为56290，81300.1456290≈，故超过10%的大学生使用app 主要玩游戏，所以②错误；使用app 主要找人聊天的大学生人数为16540，因为165401562904>，所以③正确.故选：C. 【点睛】本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题. 5．记正项等比数列{}n a 满足234253a a a -=，则公比q =( ) A ．13B ．13或2- C ．2 D ．19【答案】A【解析】根据等比数列通项公式以及条件列方程解得公比. 【详解】依题意，2222253a a q a q -=，即23520q q +-=，故()()3120q q -+=，解得13q =或2q =-，而0n a >，故13q =. 故选：A 【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 6．已知ABC ∆中，23AB =22sin A ，5tan C =，则BC =( ) A ．83B ．8C ．3D ．4【答案】B【解析】先根据同角三角函数关系得6sin C =，再根据正弦定理求结果. 【详解】 因为5tan 5C =，所以6sin 6C =. 在ABC ∆中，由正弦定理，可得sin sin AB BCC A=2362263=，解得8BC =. 故选：B 【点睛】本题考查同角三角函数关系以及正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题. 7．下列函数中，既是偶函数又在()2,+∞上单调递减的是（ ）A ．()11x x e f x e -=+B ．()1lg 1x f x x +⎛⎫=⎪-⎝⎭C ．()224,04,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩D ．()()2ln 11f x x =+-【答案】B【解析】分析每个选项中函数的奇偶性及各函数在区间()2,+∞上的单调性，由此可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，函数()11xx e f x e -=+的定义域为R ，()()()()111111x x x x x xx x e e e e f x f x e e e e --------====-+++，该函数为奇函数， 又()()122111xx x e f x e e +-==-++，该函数在区间()2,+∞上单调递增；对于B 选项，解不等式101x x +>-，得1x <-或1x >，该函数的定义域为()(),11,-∞-+∞U ，关于原点对称，()()1111lg lg lg lg 1111x x x x f x f x x x x x -+-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-===-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，该函数为偶函数，当2x >时，()121211111x x u x x x -++===+>---，则()1lg1x f x x +=-， 内层函数11x u x +=-在区间()2,+∞上为减函数，外层函数lg y u =为增函数， 所以，函数()1lg 1x f x x +⎛⎫=⎪-⎝⎭在()2,+∞上单调递减； 对于C 选项，作出函数()224,04,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩的图象如下图所示：由图象可知，该函数为偶函数，且在()2,+∞上单调递增； 对于D 选项，函数()(2ln 11f x x =-的定义域为(][),11,-∞-+∞U ，()()((()22ln 11ln 11f x x x f x -=--=+-=，该函数为偶函数.内层函数211u x =-在()2,+∞上单调递增，外层函数ln y u =也为增函数， 所以，函数()(2ln 11f x x =-()2,+∞上单调递增.故选：B. 【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的判断，熟悉函数奇偶性的定义以及单调性的一些判断方法是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.8．记双曲线1C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）与双曲线2C ：221162y x -=无交点，则双曲线1C 的离心率的取值范围是( )A ．32⎫+∞⎪⎪⎣⎭B ．32⎛ ⎝⎦C ．[)3,+∞D ．(]1,3【答案】D【解析】先求双曲线2C 渐近线方程，再结合图象确定双曲线1C 确定渐近线渐近线斜率范围，解得结果. 【详解】双曲线2C ：221162y x -=的渐近线方程为2y x =±，由题意可知22b a ≤(]2211,3c be a a==+. 故选：D 【点睛】本题考查双曲线渐近线与离心率，考查基本分析求解能力，属基础题.9．已知长方体1111ABCD A B C D -的表面积为208，118AB BC AA ++=，则该长方体的外接球的表面积为（ ） A ．116π B ．106πC ．56πD ．53π【答案】A【解析】由题意得出11118104AB BC AA AB BC BC AA AB AA ++=⎧⎨⋅+⋅+⋅=⎩，由这两个等式计算出2221AB BC AA ++，可求出长方体外接球的半径，再利用球体表面积公式可计算出结果.【详解】依题意，118AB BC AA ++=，11104AB BC BC AA AB AA ⋅+⋅+⋅=，所以，()()222211112116AB BC AA AB BC AA AB BC BC AA AB AA ++=++-⋅+⋅+⋅=，故外接球半径222129AB BC AA r ++==，因此，所求长方体的外接球表面积24116S r ππ==. 故选：A. 【点睛】本题考查长方体外接球表面积的计算，解题的关键就是利用长方体的棱长来表示外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.10．已知函数()2,4,x x mf x x x x m<⎧=⎨+≥⎩，且p m ∀<，q m ∃≥，使得()()0f p f q +=，则m 的取值范围为( ) A ．(],2-∞- B ．(),2-∞-C ．(],0-∞D ．(),0-∞【答案】C【解析】先将条件转化为对应函数值域包含关系，再根据分段函数求对应区间值域，最后根据集合包含关系列不等式，解得结果. 【详解】依题意，()()f q f p =-，即函数()y f x =-在(),m -∞上的值域是函数()y f x =在[),m +∞上的值域的子集.因为()y f x =在[),m +∞上的值域为[)4,-+∞（2m ≤-）或2[4,)m m ++∞（2m >-），()y f x =-在(),m -∞上的值域为(),m -+∞，故24m m ≤-⎧⎨-≥-⎩或22,4,m m m m >-⎧⎨-≥+⎩，解得0m ≤. 故选：C 【点睛】本题考查分段函数性质以及函数值域，考查等价转化思想方法以及分析求解能力，属中档题. 11．已知函数()()22sin cos cos 2cos1sin f x x x x ωωϕωϕ=+-，0ω≠，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.若()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()02f f ππω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则ϕ=（ ）A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】D【解析】利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()()sin 2f x x ωϕ=+，由()3f x f x π⎛⎫-=⎪⎝⎭可知函数()y f x =的一条对称轴方程为6x π=，可得出ϕ的表达式，再结合条件()02f f ππω⎛⎫+=⎪⎝⎭可求出ϕ的值. 【详解】依题意()()sin 2cos cos2sin sin 2f x x x x ωϕωϕωϕ=+=+. 因为()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以6x π=为函数()y f x =图象的一条对称轴，即32k πωπϕπ+=+，k ∈Z ，所以2366k πωππϕ=+-，①.因为()02f f ππω⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以()sin sin 2ϕπωϕ=+，②，结合①②可得sin sin 5ϕϕ=，又02πϕ<<，故5052πϕ<<，得5ϕϕπ+=或52ϕϕπ=+，解得6π=ϕ或2π（舍去）.故选：D. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，考查计算能力，属于中等题.12．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦点F ，直线l ：0bx ay -=与椭圆C 交于M 、N 两点，若tan 22MFN ∠=则椭圆C 的离心率为( ) A 5B 25C ．125D ．2225【答案】B【解析】先解得M,N 坐标，利用两点间距离公式得MNF ∆三边长，再根据余弦定理列方程，解得离心率. 【详解】不妨设M ，N 分别在第一、三象限，焦点(),0F c ，联立22220,1,bx ay x y ab -=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得22,22a b M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22,22a b N ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.故2222222222a b c MF c a ac ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222222222a b c NF c a ac ⎛⎫⎛⎫=--+-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22222222422222a a b b MN a c ⎛⎫⎛⎫=--+--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在MNF ∆中，由余弦定理可得2222cos MNMF NF MF NF MFN =+-⋅⋅∠，而tan 22MFN ∠=21cos 3MF N ∠=，代入化简得4224101340c a c a -+=，其中2232c a >，解得2254c a =或222c a =（舍去），故25c e a ==. 故选：B 【点睛】本题考查余弦定理、椭圆离心率以及直线与椭圆交点，考查综合分析求解能力，属中档题.二、填空题 13．已知3tan 4α=-，()1tan 4αβ+=，则tan β=______. 【答案】1613【解析】根据()βαβα=+-以及两角差正切公式求解. 【详解】13tan()tan 1644tan tan[()]31tan()tan 13116αβαβαβααβα++-=+-===++-故答案为：1613【点睛】本题考查两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.14．设实数x 、y 满足21323340y x x y x y ≥-⎧⎪+≥⎨⎪++≥⎩，则2z x y =+的最大值为______.【答案】173【解析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线2z x y=+，观察直线在y轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算可得出结果.【详解】作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示.观察可知，当直线2z x y=+过点C时，直线2z x y=+在y轴上的截距最大，此时，z取得最大值，联立21323y xx y=-⎧⎨+=⎩，解得5373xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故z的最大值为max57172333z=⨯+=.故答案为：173.【点睛】本题考查线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线法找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.15．已知长方体1111ABCD A B C D-的棱长为2，点E是线段11A B的中点，则1CD E∆在平面11BDD B上的正投影的面积为______.【答案】322【解析】根据条件作出1CD E∆在平面11BDD B上的正投影，确定正投影位置与形状，最后根据三角形面积公式求解. 【详解】作出图形如图所示，可知1CD E∆在平面11BDD B上的正投影仍然为一个三角形，点C在平面11BDD B上的正投影为线段BD的中点C'，点E在平面11BDD B上的正投影为线段11B D的靠近1B的四等分点E'，正投影的面积11332222242C E D S ''∆⎛⎫==⨯⨯⨯=⎪⎝⎭.32【点睛】本题考查正投影及其相关计算，考查空间想象与分析求解能力，属基础题.16．已知函数()f x 的定义域为R ，导函数为()f x '，若()()cos f x x f x =--，且()sin 02xf x '+<，则满足()()0f x f x π++≤的x 的取值范围为______.【答案】,2π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】构造函数()()cos 2xg x f x =-，再根据条件确定()g x 为奇函数且在R 上单调递减，最后利用单调性以及奇偶性化简不等式，解得结果. 【详解】 依题意，()()()cos cos 22x xf x f x --=--+， 令()()cos 2xg x f x =-，则()()g x g x =--，故函数()g x 为奇函数 ()()()cos sin 022x x g x f x f x '⎡⎤''=-=+<⎢⎥⎣⎦，故函数()g x 在R 上单调递减， 则()()()()()cos cos 0022x xf x f x f x f x πππ+++≤⇒+-+-≤ ()()()()()0g x g x g x g x g x ππ⇔++≤⇔+≤-=-，即x x π+≥-，故2x π≥-，则x 的取值范围为,2π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：,2π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性以及利用函数性质解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 满足()12347324n a a a n a n ++++-=L . (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}12n n a a ++的前n 项和为n S . 【答案】(1)432n a n =-；(2)434n nS n =+. 【解析】(1)利用作差相减法求数列{}n a 的通项公式，注意验证1n =的情况是否满足； (2)直接利用裂项相消法求和. 【详解】(1)当1n =时，14a =.当2n ≥时，()12347324n a a a n a n ++++-=L ，()()1231473541n a a a n a n -++++-=-L ，两式相减，可得()324n n a -=，故432n a n =-.因为14a =也适合上式， 所以432n a n =-.(2)依题意，()()12161611313433134n n a a n n n n ++⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，故233412n n n S a a a a a a ++=+++L16111111113477101013313+4n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪+⎝⎭L 16114343434nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查求数列通项以及裂项相消法求和，考查综合分析求解能力，属中档题.18．某品牌奶茶公司计划在A 地开设若干个连锁加盟店，经调查研究，加盟店的个数x 与平均每个店的月营业额y (万元)具有如下表所示的数据关系： x 2 4 6 8 10 y 20.920.21917.817.1(1)求y 关于x 的线性回归方程；(2)根据(1)中的结果分析，为了保证平均每个加盟店的月营业额不少于14.6万元，则A 地开设加盟店的个数不能超过几个?参考公式:线性回归方程y bx a =+$$$中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121nii i nii xx y ybxx==--=-∑∑$，a y bx =-$$【答案】(1)$0.522y x =-+；(2)14个.【解析】(1)先求均值，再代入公式求b a ，$$，即得结果；(2)根据线性回归方程列不等式，解得结果. 【详解】 (1)依题意，24681065x ++++==，20.920.21917.817.1195y ++++==.()()()()()()514 1.92 1.22 1.24 1.97.6 2.4 2.47.620iii x x y y =--=-⨯+-⨯+⨯-+⨯-=----=-∑，()52116441640i i x x=-=+++=∑，所以()()()515210.5iii ii x x y y bx x ==--==--∑∑$，所以$190.5622ay bx =-=+⨯=$， 故所求的线性回归方程为$0.522y x =-+. (2)依题意，令0.52214.6x -+≥，解得14.8x ≤. 因为x *∈N ，所以A 地开设加盟店的个数不能超过14个.【点睛】本题考查线性回归方程及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题. 19．如图，在四棱锥S ABCD -中，122AB AD SD SB SC =====，90DSC BSC DAB ∠=∠=∠=︒.(1)若点F 在棱SC 上且13SF FC =，证明：//SA 平面BDF ； (2)求三棱锥A SBC -的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2)169. 【解析】(1) 设AC 与BD 的交点为O ，根据计算以及平几知识得SA OF ∥，再根据线面平行判定定理得结果； (2)先利用线面垂直判定定理证明SC ⊥平面SBD ，再证明BD ⊥平面SAC ，最后根据锥体体积公式求结果. 【详解】(1)如图，连接AC ，记AC 与BD 的交点为O ，连接OF . 由题易知22BD =，25BC CD ==.所以可得ADC ABC ∆∆≌，所以ADO ABO ∆∆≌，所以2AO BO ==.而()()225232CO =-=，易知13AO OC =，故13AO SF OC FC ==，故SA OF ∥. 因为SA ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，所以//SA 平面BDF .(2)因为SC SB ⊥，SC SD ⊥，又SB SD S =I ，故SC ⊥平面SBD .所以SC BD ⊥ 如图，连接SO ，则SC SO ⊥，可知OSC ∆为直角三角形，222OS OC SC -= 易知点S 到直线AC 的距离为43，故148422233SAC S ∆=⨯=由(1)易知AC BD ⊥，又因为SC BD ⊥，AC SC C =I ，故BD ⊥平面SAC . 故11821623339A SBCB SAC SAC V V S OB --∆==⋅⋅=⨯=. 【点睛】本题考查线面平行判定定理、线面垂直判定定理以及锥体体积公式，考查综合分析论证与求解能力，属中档题. 20．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 到准线l 的距离为2，直线1l 过点F 且与抛物线交于M 、N 两点，直线2l 过坐标原点O 及点M 且与l 交于点P ，点Q 在线段MN 上. (1)求直线NP 的斜率； (2)若21FM，21FQ，21FN成等差数列，求点Q 的轨迹方程.【答案】(1)0；(2)()22214x y -+=（0y ≠）.【解析】(1)先求抛物线方程，再设直线1l 方程以及M,N 坐标，解得P 点坐标，根据斜率公式化简直线NP 的斜率，最后联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入化简即得结果； (2) 设()00,Q x y ，根据等差中项性质以及弦长公式化简条件得222012211y y y =+，再根据（1）中韦达定理化简右边式子，最后根据001x m y -=代入化简得点Q 的轨迹方程. 【详解】(1)依题意，可得2p =，所以抛物线C ：24y x =.设直线1l ：1x my =+，联立21,4,x my y x =+⎧⎨=⎩，得2440y my --=.设()11,M x y ，()22,N x y ，易知10x ≠，21x ≠-，则124y y m +=，124y y =-， 直线2l ：11y y x x =. 因为准线l ：1x =-，故111,y P x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故直线NP 的斜率为()()()121211121221212124401111y y x y x y my y y y m m x x x x x x x ++++-+====++++.(2)设()00,Q x y （00y ≠）.由(1)可得()22201FQ m y =+，()22211FMm y =+，()22221FN m y =+.由题可知222211FQFMFN=+，得222012211y y y =+. ()2212122222212122111681162y y y y m m y y y y +-++===+Q 因为001x m y -=，所以()2022001212x y y -=+化简可得()2200214x y -+=（00y ≠）.故点Q 的轨迹方程为()22214x y -+=（0y ≠）. 【点睛】本题考查抛物线方程、直线与抛物线位置关系以及动点轨迹方程，考查综合分析求解能力，属中档题. 21．已知函数()22ln f x m x x =-.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()y f x =的图象与直线y mx =交于(),M M M x y ，(),N N N x y 两点，且1M N x x >>，求实数m 的取值范围.【答案】(1)当0m =时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0m >时，()f x 在20,2m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在22m ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；当0m <时，()f x 在20,2m ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在22m ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；(2)341,02e ⎛⎫ ⎪- ⎪⎝⎭.【解析】(1)先求导数，根据0m =，0m >以及0m <三种情况讨论导函数符号，进而确定对应单调性；(2)先构造函数()22ln F x m x x mx =--，再求导数，根据0m >以及0m <两种情况讨论函数单调性，结合单调性确定满足条件的不等式，解得m 的取值范围，最后利用零点存在定理证明所求范围恰好保证函数有两个零点. 【详解】(1)依题意，()0,x ∈+∞，())22221211212mx mx m x f x m x x xx-+-'=-==.①若0m =，则()10f x x'=-<，故()f x 在()0,∞+上单调递减②若0m ≠，令()0f x '=，解得2x =或2x =. （i ）若0m >，则202m -<，202m >，则当20,2x m ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，当22x m ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；（ii ）若0m <，则202m ->，202m <，则当20,2x m ⎛∈- ⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，当2,2x m ⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增.综上所述，当0m =时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0m >时，()f x 在20,2m ⎛ ⎝⎭上单调递减，在22m ⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；当0m <时，()f x 在20,2m ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,2m ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增. (2)令22ln m x x mx -=，则由题意可知22ln 0m x x mx --=有两个大于1的实数根，显然0m ≠. 令()22ln F x m x x mx =--，则()()()221112mx mx F x m x m x x+-'=--=. 若0m >，则当10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0F x '<，当1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0F x '>，要满足已知条件，必有()210,11ln 0,11,F m m F m m m⎧⎪=->⎪⎪⎛⎫=-<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩此时无解； 若0m <，则当10,2x m ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0F x '<，当1,2x m ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0F x '>，要满足已知条件，必有()()210,13ln 20,2411,2F m m F m m m⎧⎪=->⎪⎪⎛⎫-=+-<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪->⎪⎩解得34102e m -<<. 当34102em -<<时，()F x 在11,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()1102F F m ⎛⎫⋅-< ⎪⎝⎭，故函数()F x 在11,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有一个零点.易知2112m m >-，且22222111111ln ln F m m m m m m ⎛⎫=-->- ⎪⎝⎭，下证：ln 0x x ->.令()ln g x x x =-，则()11g x x'=-，当01x <<时，()0g x '<， 当1x >时，()0g x '>，故()()11ln10g x g ≥=->，即ln 0x x ->， 故222111ln 0F m m m ⎛⎫>->⎪⎝⎭，故21102F F m m ⎛⎫⎛⎫-⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又()F x 在1,2m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()F x 在1,2m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上有一个零点.综上所述，实数m 的取值范围为341,02e ⎛⎫⎪- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及利用导数研究函数零点，考查分类讨论思想方法以及综合分析求解能力，属难题.22．已知平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为314x a ty t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为424πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点. （1）求实数a 的取值范围； （2）若2a =，点()2,1A ，求11AP AQ+的值. 【答案】（1）1110211102-+⎝⎭；（22191. 【解析】（1）将曲线C 的极坐标方程化为普通方程，将直线l 的参数方程化为普通方程，可知曲线C 为圆，利用圆心到直线l 的距离小于半径，列出关于实数a 的不等式，解出即可；（2）将直线l 的参数方程化为325415x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），将该参数方程与曲线C 的普通方程联立，列出韦达定理，并利用t 的几何意义可计算出11AP AQ+的值. 【详解】（1）曲线():4sin cos C ρθθ=+，故()24sin cos ρρθρθ=+，则2244x y x y +=+，即()()22228x y -+-=，直线:43340l x y a +--=， 故圆心()2,2到直线l 的距离114225a d -=<，解得1121110244a -+<<， 即实数a 的取值范围为111021110244⎛-+ ⎝⎭； （2）直线l 的参数方程可化为325415x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），代入()()22228x y -+-=中，得28705t t +-=.记P 、Q 对应的参数分别为1t 、2t ，则1285t t +=-，127t t =-. 故12121212121111219135t t t t AP AQ t t t t t t +-+=+===. 【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求参数，同时也考查了直线参数方程t 的几何意义的应用，考查计算能力，属于中等题.23．已知函数()2134f x x x =++-. （1）求不等式()22f x x >+的解集； （2）若()1f x k x ≥-在R 上恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）()5,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U ；（2）11,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【解析】（1）分21x <-、1423x -≤≤、43x >三种情况解不等式()22f x x >+，综合可得出该不等式的解集；（2）分0k ≤和0k >两种情况讨论，0k ≤时，()1f x k x ≥-在R 上恒成立；0k >时，作出函数()y f x =，1y k x =-的图象，利用数形结合思想找出临界位置，可得出关于k 的不等式，解出k 的范围，综合可得出结论.【详解】（1）依题意213422x x x ++->+.若21x <-，原式化为213422x x x ---+>+，解得17x <，故21x <-； 若1423x -≤≤，原式化为213422x x x +-+>+，解得1x <，故112x -≤<；若43x >，原式化为213422x x x ++->+，解得53x >，故53x >.综上所述，不等式()22f x x >+的解集为()5,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U ；（2）依题意21341x x k x ++-≥-， 显然0k ≤时该式成立.当0k >时，在同一直角坐标系中分别作出()y f x =，1y k x =-的图象，如图所示. 观察可知，临界状态为曲线1y k x =-过点111,22A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时113k =，故1103k <≤. 综上所述，实数k 的取值范围为11,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了函数不等式恒成立问题，考查数形结合思想与分类讨论思想的应用，属于中等题.。

然后再各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星回答问题，从10个关于长征的问题中随机抽取4个问题让幸运之星回答，全部答对的幸运之星获得一份纪念品.
（1）求此活动中各公园幸运之星的人数；
（2）若乙公园中每位幸运之星中任选两人接受电视台记者的采访，求这两人均自乙公园的概率；
（3）电视台记者对乙公园的签名人进行了是否有兴趣研究“红军长征”历史的问卷调查，统计结果如下（单位：人）：
天一大联考
2019-2020学年高三年级上学期期末考试
数学（文科）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.已知集合 ，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ集合 的子集个数为
A.8 B. 7 C. 6 D. 4
2.设 为虚数单位，复数 为纯虚数，则实数 的值为
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
12.已知 是定义在 上的函数 的导函数，若方程 无解，且 ，设 ，则 的大小关系是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知平面向量 ，且 ，则 .
14.已知 ， ，则 .
15.已知抛物线 的焦点F也是椭圆 的一个焦点，点 分别为曲线 上的点，则 的最小值为.
A. B. C. 1 D.
9.如图，已知长方体 的体积为6， 的正切值为，当 的值最小时，长方体 外接球的表面积为
A. B. C. D.
10.已知函数 的图象在 轴上的截距为1，且关于直线 对称，若对任意的 ，都有 ，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

2020届河南省天一大联考高三上学期期末数学（文）试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知集合{}1,1,3,5A =-，{}0,1,3,4,6B =，则AB =（ ） A ．{}1,3B ．{}1C ．{}1,0,1,1,3,4,5,6-D ．{}1,0,1,3,4,5,6- 2．设复数()()312i z i i i -=+-+，则z =（ ）A ．BC ．2D 3．已知向量()3,0m =，()3,0n =-，()()q m q n -⊥-，则q 为（ ）A ．7B ．5C ．3D ．14．近年来，随着4G 网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app 相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用app 的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法： ①可以估计使用app 主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数；②可以估计不足10%的大学生使用app 主要玩游戏；③可以估计使用app 主要找人聊天的大学生超过总数的14. 其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．记正项等比数列{}n a 满足234253a a a -=，则公比q =( )A ．13B ．13或2-C ．2D ．196．已知ABC ∆中，AB =sin A =，tan C =，则BC =( )A ．B ．8C ．D ．47．下列函数中，既是偶函数又在()2,+∞上单调递减的是（ ）A ．()11x x e f x e -=+B ．()1lg 1x f x x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭C ．()224,04,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩D ．()(ln 1f x = 8．记双曲线1C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）与双曲线2C ：221162y x -=无交点，则双曲线1C 的离心率的取值范围是( )A ．⎫+∞⎪⎪⎣⎭B ．1,4⎛ ⎝⎦C ．[)3,+∞D ．(]1,39．已知长方体1111ABCD A B C D -的表面积为208，118AB BC AA ++=，则该长方体的外接球的表面积为（ ）A ．116πB ．106πC ．56πD ．53π10．已知函数()2,4,x x m f x x x x m<⎧=⎨+≥⎩，且p m ∀<，q m ∃≥，使得()()0f p f q +=，则m 的取值范围为( )A ．(],2-∞-B ．(),2-∞-C ．(],0-∞D ．(),0-∞11．已知函数()()22sin cos cos 2cos 1sin f x x x x ωωϕωϕ=+-，0ω≠，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.若()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()02f f ππω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则ϕ=（ ） A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π 12．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦点F ，直线l ：0bx ay -=与椭圆C 交于M 、N两点，若tan MFN ∠=C 的离心率为( )ABC ．12D第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．已知3tan 4α=-，()1tan 4αβ+=，则tan β=______. 14．设实数x 、y 满足21323340y x x y x y ≥-⎧⎪+≥⎨⎪++≥⎩，则2z x y =+的最大值为______.15．已知长方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 是线段11A B 的中点，则1CD E ∆在平面11BDD B 上的正投影的面积为______.16．已知函数()f x 的定义域为R ，导函数为()f x '，若()()cos f x x f x =--，且()sin 02x f x '+<，则满足()()0f x f x π++≤的x 的取值范围为______. 三、解答题 17．已知数列{}n a 满足()12347324n a a a n a n ++++-=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}12n n a a ++的前n 项和为n S .18．某品牌奶茶公司计划在A 地开设若干个连锁加盟店，经调查研究，加盟店的个数x 与平均每个店的月营业额y (万元)具有如下表所示的数据关系：(1)求y 关于x 的线性回归方程；(2)根据(1)中的结果分析，为了保证平均每个加盟店的月营业额不少于14.6万元，则A 地开设加盟店的个数不能超过几个?参考公式:线性回归方程y bx a =+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ()()()121n i i i n i i x x y yb xx ==--=-∑∑，a y bx =- 19．如图，在四棱锥S ABCD -中，122AB AD SD SB SC =====，90DSC BSC DAB ∠=∠=∠=︒.(1)若点F 在棱SC 上且13SF FC =，证明：//SA 平面BDF ； (2)求三棱锥A SBC -的体积.20．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 到准线l 的距离为2，直线1l 过点F 且与抛物线交于M 、N 两点，直线2l 过坐标原点O 及点M 且与l 交于点P ，点Q 在线段MN 上.(1)求直线NP 的斜率；(2)若21FM ，21FQ ，21FN 成等差数列，求点Q 的轨迹方程.21．已知函数()22ln f x m x x =-. (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()y f x =的图象与直线y mx =交于(),M M M x y ，(),N N N x y 两点，且1M N x x >>，求实数m 的取值范围.22．已知平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为314x a t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点. （1）求实数a 的取值范围；（2）若2a =，点()2,1A ，求11AP AQ+的值. 23．已知函数()2134f x x x =++-.（1）求不等式()22f x x >+的解集；（2）若()1f x k x ≥-在R 上恒成立，求实数k 的取值范围.参考答案1．D【解析】【分析】根据并集的定义可求出集合A B . 【详解】依题意，{}{}{}1,1,3,50,1,3,4,61,0,1,3,4,5,6AB =-=-. 故选：D.【点睛】本题考查并集的计算，考查计算能力，属于基础题.2．A【解析】【分析】利用复数的四则运算法则将复数z 表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出z .【详解】依题意()()33112221221i i z i i i i i i -+=+-+=-+++=--，故z ==故选：A.【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的四则运算，考查计算能力，属于基础题. 3．C【解析】【分析】由题意可知n m =-，由()()q m q n -⊥-得出()()q m q m -⊥+，可得出()()0q m q m -⋅+=，由此可得出q m =，进而得解.【详解】由题意可知n m =-，由()()q m q n -⊥-得出()()q m q m -⊥+，()()0q m q m ∴-⋅+=，即22q m =，因此，233q m ==+=.故选：C.【点睛】本题考查向量模长的计算，同时也考查了向量垂直的等价条件的应用，解题的关键就是得出n m =-，考查计算能力，属于基础题.4．C【解析】【分析】根据利用app 主要听音乐的人数和使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①的正误；计算使用app 主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用app 主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断③的正误.综合得出结论.【详解】使用app 主要听音乐的人数为5380，使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数为4450，所以①正确；使用app 主要玩游戏的人数为8130，而调查的总人数为56290，81300.1456290≈，故超过10%的大学生使用app 主要玩游戏，所以②错误；使用app 主要找人聊天的大学生人数为16540，因为165401562904>，所以③正确. 故选：C.【点睛】本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题.5．A【解析】【分析】根据等比数列通项公式以及条件列方程解得公比.【详解】依题意，2222253a a q a q -=，即23520q q +-=，故()()3120q q -+=，解得13q =或2q =-，而0n a >，故13q =. 故选：A【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题.6．B【解析】【分析】先根据同角三角函数关系得sin 6C =，再根据正弦定理求结果. 【详解】因为tan C =，所以sin C =. 在ABC ∆中，由正弦定理，可得sin sin AB BC C A=3=，解得8BC =. 故选：B【点睛】 本题考查同角三角函数关系以及正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题. 7．B【解析】【分析】分析每个选项中函数的奇偶性及各函数在区间()2,+∞上的单调性，由此可得出正确选项.【详解】对于A 选项，函数()11x x e f x e -=+的定义域为R ，()()()()111111x x x xx xx x e e e e f x f x e e e e --------====-+++，该函数为奇函数， 又()()122111x x x e f x e e +-==-++，该函数在区间()2,+∞上单调递增；对于B 选项，解不等式101x x +>-，得1x <-或1x >，该函数的定义域为()(),11,-∞-+∞，关于原点对称，()()1111lg lg lg lg 1111x x x x f x f x x x x x -+-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-===-==⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，该函数为偶函数，当2x >时，()121211111x x u x x x -++===+>---，则()1lg 1x f x x +=-， 内层函数11x u x +=-在区间()2,+∞上为减函数，外层函数lg y u =为增函数， 所以，函数()1lg 1x f x x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭在()2,+∞上单调递减； 对于C 选项，作出函数()224,04,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩的图象如下图所示：由图象可知，该函数为偶函数，且在()2,+∞上单调递增；对于D 选项，函数()(ln 1f x =的定义域为(][),11,-∞-+∞，()((()ln 1ln 1f x f x -=+==，该函数为偶函数.内层函数1u =()2,+∞上单调递增，外层函数ln y u =也为增函数，所以，函数()(ln 1f x =()2,+∞上单调递增. 故选：B.【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的判断，熟悉函数奇偶性的定义以及单调性的一些判断方法是解答的关键，考查推理能力，属于中等题. 8．D 【解析】 【分析】先求双曲线2C 渐近线方程，再结合图象确定双曲线1C 确定渐近线渐近线斜率范围，解得结果. 【详解】双曲线2C ：221162y x -=的渐近线方程为y =±，由题意可知b a ≤(]1,3c e a ==. 故选：D 【点睛】本题考查双曲线渐近线与离心率，考查基本分析求解能力，属基础题. 9．A 【解析】 【分析】由题意得出11118104AB BC AA AB BC BC AA AB AA ++=⎧⎨⋅+⋅+⋅=⎩，由这两个等式计算出2221AB BC AA ++，可求出长方体外接球的半径，再利用球体表面积公式可计算出结果.【详解】依题意，118AB BC AA ++=，11104AB BC BC AA AB AA ⋅+⋅+⋅=，所以，()()222211112116AB BC AA AB BC AA AB BC BC AA AB AA ++=++-⋅+⋅+⋅=，故外接球半径r ==，因此，所求长方体的外接球表面积24116S r ππ==. 故选：A.【点睛】本题考查长方体外接球表面积的计算，解题的关键就是利用长方体的棱长来表示外接球的半径，考查计算能力，属于中等题. 10．C 【解析】 【分析】先将条件转化为对应函数值域包含关系，再根据分段函数求对应区间值域，最后根据集合包含关系列不等式，解得结果. 【详解】依题意，()()f q f p =-，即函数()y f x =-在(),m -∞上的值域是函数()y f x =在[),m +∞上的值域的子集.因为()y f x =在[),m +∞上的值域为[)4,-+∞（2m ≤-）或2[4,)m m ++∞（2m >-），()y f x =-在(),m -∞上的值域为(),m -+∞， 故24m m ≤-⎧⎨-≥-⎩或22,4,m m m m >-⎧⎨-≥+⎩，解得0m ≤. 故选：C 【点睛】本题考查分段函数性质以及函数值域，考查等价转化思想方法以及分析求解能力，属中档题. 11．D 【解析】 【分析】利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()()sin 2f x x ωϕ=+，由()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭可知函数()y f x =的一条对称轴方程为6x π=，可得出ϕ的表达式，再结合条件()02f f ππω⎛⎫+= ⎪⎝⎭可求出ϕ的值. 【详解】依题意()()sin 2cos cos2sin sin 2f x x x x ωϕωϕωϕ=+=+.因为()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以6x π=为函数()y f x =图象的一条对称轴，即32k πωπϕπ+=+，k ∈Z ，所以2366k πωππϕ=+-，①.因为()02f f ππω⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以()sin sin 2ϕπωϕ=+，②，结合①②可得sin sin 5ϕϕ=，又02πϕ<<，故5052πϕ<<，得5ϕϕπ+=或52ϕϕπ=+，解得6π=ϕ或2π（舍去）.故选：D. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，考查计算能力，属于中等题. 12．B 【解析】 【分析】先解得M,N 坐标，利用两点间距离公式得MNF ∆三边长，再根据余弦定理列方程，解得离心率. 【详解】不妨设M ，N 分别在第一、三象限，焦点(),0F c ，联立22220,1,bx ay x y ab -=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得,22M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,22N ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.故MF ==，NF ==MN ==在MNF ∆中，由余弦定理可得2222cos MNMF NF MF NF MFN =+-⋅⋅∠，而tan MFN ∠=21cos 3MF N ∠=，代入化简得4224101340c a c a -+=，其中2232c a >，解得2254c a =或222c a =（舍去），故c e a ==. 故选：B 【点睛】本题考查余弦定理、椭圆离心率以及直线与椭圆交点，考查综合分析求解能力，属中档题. 13．1613【解析】 【分析】根据()βαβα=+-以及两角差正切公式求解. 【详解】13tan()tan 1644tan tan[()]31tan()tan 13116αβαβαβααβα++-=+-===++- 故答案为：1613【点睛】本题考查两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 14．173【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线2z x y =+，观察直线在y 轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算可得出结果. 【详解】作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示.观察可知，当直线2z x y =+过点C 时，直线2z x y =+在y 轴上的截距最大，此时，z 取得最大值，联立21323y x x y =-⎧⎨+=⎩，解得5373x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故z 的最大值为max 57172333z =⨯+=. 故答案为：173. 【点睛】本题考查线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线法找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 15．2【解析】 【分析】根据条件作出1CD E ∆在平面11BDD B 上的正投影，确定正投影位置与形状，最后根据三角形面积公式求解. 【详解】作出图形如图所示，可知1CD E ∆在平面11BDD B 上的正投影仍然为一个三角形，点C 在平面11BDD B 上的正投影为线段BD 的中点C '，点E 在平面11BDD B 上的正投影为线段11B D 的靠近1B 的四等分点E '，正投影的面积1132242C E D S ''∆⎛==⨯⨯⨯= ⎝.故答案为：2【点睛】本题考查正投影及其相关计算，考查空间想象与分析求解能力，属基础题. 16．,2π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】构造函数()()cos 2xg x f x =-，再根据条件确定()g x 为奇函数且在R 上单调递减，最后利用单调性以及奇偶性化简不等式，解得结果. 【详解】 依题意，()()()cos cos 22x xf x f x --=--+， 令()()cos 2xg x f x =-，则()()g x g x =--，故函数()g x 为奇函数 ()()()cos sin 022x x g x f x f x '⎡⎤''=-=+<⎢⎥⎣⎦，故函数()g x 在R 上单调递减， 则()()()()()cos cos 0022x xf x f x f x f x πππ+++≤⇒+-+-≤ ()()()()()0g x g x g x g x g x ππ⇔++≤⇔+≤-=-，即x x π+≥-，故2x π≥-，则x 的取值范围为,2π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：,2π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性以及利用函数性质解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.17．(1)432n a n =-；(2)434n nS n =+. 【解析】 【分析】(1)利用作差相减法求数列{}n a 的通项公式，注意验证1n =的情况是否满足； (2)直接利用裂项相消法求和. 【详解】(1)当1n =时，14a =. 当2n ≥时，()12347324n a a a n a n ++++-=，()()1231473541n a a a n a n -++++-=-，两式相减，可得()324n n a -=，故432n a n =-.因为14a =也适合上式， 所以432n a n =-.(2)依题意，()()12161611313433134n n a a n n n n ++⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，故233412n n n S a a a a a a ++=+++16111111113477*********+4n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪+⎝⎭16114343434nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查求数列通项以及裂项相消法求和，考查综合分析求解能力，属中档题.18．(1)0.522y x =-+；(2)14个. 【解析】 【分析】(1)先求均值，再代入公式求b a ，，即得结果； (2)根据线性回归方程列不等式，解得结果. 【详解】 (1)依题意，24681065x ++++==，20.920.21917.817.1195y ++++==.()()()()()()514 1.92 1.22 1.24 1.97.6 2.4 2.47.620iii x x y y =--=-⨯+-⨯+⨯-+⨯-=----=-∑，()52116441640i i x x=-=+++=∑，所以()()()515210.5iii ii x x y y b x x ==--==--∑∑，所以190.5622a y bx =-=+⨯=， 故所求的线性回归方程为0.522y x =-+. (2)依题意，令0.52214.6x -+≥，解得14.8x ≤. 因为x *∈N ，所以A 地开设加盟店的个数不能超过14个. 【点睛】本题考查线性回归方程及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题. 19．(1)证明见解析；(2)169. 【解析】 【分析】(1) 设AC 与BD 的交点为O ，根据计算以及平几知识得SA OF ∥，再根据线面平行判定定理得结果；(2)先利用线面垂直判定定理证明SC ⊥平面SBD ，再证明BD ⊥平面SAC ，最后根据锥体体积公式求结果. 【详解】(1)如图，连接AC ，记AC 与BD 的交点为O ，连接OF .由题易知BD =BC CD ==所以可得ADC ABC ∆∆≌，所以ADO ABO ∆∆≌，所以AO BO ==.而CO ==易知13AO OC =，故13AO SF OC FC ==，故SA OF ∥. 因为SA ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，所以//SA 平面BDF .(2)因为SC SB ⊥，SC SD ⊥，又SB SD S =，故SC ⊥平面SBD .所以SC BD ⊥如图，连接SO ，则SC SO ⊥，可知OSC ∆为直角三角形，OS =， 易知点S 到直线AC 的距离为43，故1423SAC S ∆=⨯=由(1)易知AC BD ⊥，又因为SC BD ⊥，AC SC C =，故BD ⊥平面SAC .故11163339A SBCB SAC SAC V V S OB --∆==⋅⋅=⨯=.【点睛】本题考查线面平行判定定理、线面垂直判定定理以及锥体体积公式，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.20．(1)0；(2)()22214x y -+=（0y ≠）. 【解析】 【分析】(1)先求抛物线方程，再设直线1l 方程以及M,N 坐标，解得P 点坐标，根据斜率公式化简直线NP 的斜率，最后联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入化简即得结果；(2) 设()00,Q x y ，根据等差中项性质以及弦长公式化简条件得222012211y y y =+，再根据（1）中韦达定理化简右边式子，最后根据001x m y -=代入化简得点Q 的轨迹方程. 【详解】(1)依题意，可得2p =，所以抛物线C ：24y x =.设直线1l ：1x my =+，联立21,4,x my y x =+⎧⎨=⎩，得2440y my --=. 设()11,M x y ，()22,N x y ，易知10x ≠，21x ≠-，则124y y m +=，124y y =-， 直线2l ：11y y x x =. 因为准线l ：1x =-，故111,y P x ⎛⎫--⎪⎝⎭. 故直线NP 的斜率为()()()121211121221212124401111y y x y x y my y y y m m x x x x x x x ++++-+====++++. (2)设()00,Q x y （00y ≠）.由(1)可得()22201FQ m y =+，()22211FMm y =+，()22221FN m y =+.由题可知222211FQFMFN=+，得222012211y y y =+. ()2212122222212122111681162y y y y m m y y y y +-++===+ 因为001x m y -=，所以()2022001212x y y -=+化简可得()2200214x y -+=（00y ≠）.故点Q 的轨迹方程为()22214x y -+=（0y ≠）. 【点睛】本题考查抛物线方程、直线与抛物线位置关系以及动点轨迹方程，考查综合分析求解能力，属中档题.21．(1)当0m =时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0m >时，()f x 在0,2m ⎛ ⎝⎭上单调递减，在2m ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；当0m <时，()f x 在0,2m ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在2m ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；(2)341,02e ⎛⎫ ⎪- ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】(1)先求导数，根据0m =，0m >以及0m <三种情况讨论导函数符号，进而确定对应单调性；(2)先构造函数()22ln F x m x x mx =--，再求导数，根据0m >以及0m<两种情况讨论函数单调性，结合单调性确定满足条件的不等式，解得m 的取值范围，最后利用零点存在定理证明所求范围恰好保证函数有两个零点. 【详解】(1)依题意，()0,x ∈+∞，())222111212m x f x m x x xx-+-'=-==.①若0m =，则()10f x x'=-<，故()f x 在()0,∞+上单调递减 ②若0m ≠，令()0f x '=，解得2x m =-或2x m=. （i ）若0m >，则02m -<，02m >，则当0,2x m ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，当2x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增； （ii ）若0m <，则02m ->，02m <，则当0,x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，当2x m ⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增. 综上所述，当0m =时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0m >时，()f x在0,2m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在2m ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；当0m <时，()f x在0,2m ⎛- ⎝⎭上单调递减，在2m ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增. (2)令22ln m x x mx -=，则由题意可知22ln 0m x x mx --=有两个大于1的实数根，显然0m ≠.令()22ln F x m x x mx =--，则()()()221112mx mx F x m x m x x+-'=--=. 若0m >，则当10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0F x '<，当1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0F x '>，要满足已知条件，必有()210,11ln 0,11,F m m F m m m⎧⎪=->⎪⎪⎛⎫=-<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩此时无解；若0m <，则当10,2x m ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0F x '<，当1,2x m ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0F x '>，要满足已知条件，必有()()210,13ln 20,2411,2F m m F m m m⎧⎪=->⎪⎪⎛⎫-=+-<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪->⎪⎩解得34102e m -<<. 当34102em -<<时，()F x 在11,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()1102F F m ⎛⎫⋅-< ⎪⎝⎭，故函数()F x 在11,2m ⎛⎫-⎪⎝⎭上有一个零点. 易知2112m m >-，且22222111111ln ln F m m mm m m ⎛⎫=-->- ⎪⎝⎭，下证：ln 0x x ->. 令()ln g x x x =-，则()11g x x'=-，当01x <<时，()0g x '<， 当1x >时，()0g x '>，故()()11ln10g x g ≥=->，即ln 0x x ->， 故222111ln 0F m m m ⎛⎫>->⎪⎝⎭，故21102F F m m ⎛⎫⎛⎫-⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又()F x 在1,2m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()F x 在1,2m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上有一个零点.综上所述，实数m 的取值范围为341,02e ⎛⎫⎪- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及利用导数研究函数零点，考查分类讨论思想方法以及综合分析求解能力，属难题.22．（1）1111,44⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭；（2）35. 【解析】 【分析】（1）将曲线C 的极坐标方程化为普通方程，将直线l 的参数方程化为普通方程，可知曲线C为圆，利用圆心到直线l 的距离小于半径，列出关于实数a 的不等式，解出即可；（2）将直线l 的参数方程化为325415x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），将该参数方程与曲线C 的普通方程联立，列出韦达定理，并利用t 的几何意义可计算出11AP AQ+的值. 【详解】（1）曲线():4sin cos C ρθθ=+，故()24sin cos ρρθρθ=+，则2244x y x y +=+，即()()22228x y -+-=，直线:43340l x y a +--=， 故圆心()2,2到直线l的距离1145a d -=<a <<即实数a的取值范围为111144⎛-+⎝⎭； （2）直线l 的参数方程可化为325415x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），代入()()22228x y -+-=中，得28705t t +-=.记P 、Q 对应的参数分别为1t 、2t ，则1285t t +=-，127t t =-.故1212121212111135t t t t AP AQ t t t t t t +-+=+===. 【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求参数，同时也考查了直线参数方程t 的几何意义的应用，考查计算能力，属于中等题. 23．（1）()5,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；（2）11,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【解析】 【分析】（1）分21x <-、1423x -≤≤、43x >三种情况解不等式()22f x x >+，综合可得出该不等式的解集；（2）分0k ≤和0k >两种情况讨论，0k ≤时，()1fx k x ≥-在R 上恒成立；0k >时，作出函数()y f x =，1y k x =-的图象，利用数形结合思想找出临界位置，可得出关于k 的不等式，解出k 的范围，综合可得出结论. 【详解】（1）依题意213422x x x ++->+.若21x <-，原式化为213422x x x ---+>+，解得17x <，故21x <-； 若1423x -≤≤，原式化为213422x x x +-+>+，解得1x <，故112x -≤<；若43x >，原式化为213422x x x ++->+，解得53x >，故53x >.综上所述，不等式()22f x x >+的解集为()5,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；（2）依题意21341x x k x ++-≥-， 显然0k ≤时该式成立.当0k >时，在同一直角坐标系中分别作出()y f x =，1y k x =-的图象，如图所示. 观察可知，临界状态为曲线1y k x =-过点111,22A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时113k =，故1103k <≤. 综上所述，实数k 的取值范围为11,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了函数不等式恒成立问题，考查数形结合思想与分类讨论思想的应用，属于中等题.。

2020-2021学年河南省天一大联考高三（上）期末数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−5x<0}，B=Z，则A∩B中元素的个数为()A. 3B. 4C. 5D. 62.若z+2z−=3−i，则|z|=()A. 1B. √2C. √3D. 23.在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，若袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为15，则袋中球的总个数为()A. 5B. 8C. 10D. 124.如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔.塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为()A. √32B. √22C. √33D. √345.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是()A. 15B. 29C. 72D. 1856.已知1a >1b>0，则下列不等式：①ba>1；②|a|>|b|；③a3>b3；④(12)a>(12)b.其中正确的是()A. ①②B. ③④C. ②③D. ①④7.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)，点A，B是曲线y=f(x)相邻的两个对称中心，点C是f(x)的一个最值点，若△ABC的面积为1，则ω=()A. 1B. π2C. 2D. π8.已知函数f(x)=e x+e−x−x2，则不等式f(2m)>f(m−2)的解集为()A. (−∞,−2)∪(23,+∞) B. (−∞,−23)∪(2,+∞)C. (−2,23) D. (−23,2)9.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C的大小成等差数列，且b=7，a+c=13，则△ABC的面积为()A. 20√3B. 40√3C. 10√3D. 50√310.已知球O的半径为5，球面上有A，B，C三点，满足AB=AC=2√14,BC=2√7，则三棱锥O−ABC的体积为()A. 7√7B. 14√2C. 7√14D. 14√711.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+3)=f(x+1)，当0<x<1时，f(x)=2−x，则f(log21257)= ()A. −8B. −1256C. 256257D. −25625712.已知点A在直线3x+y−6=0上运动，点B在直线x−3y+8=0上运动，以线段AB为直径的圆C与x轴相切，则圆C面积的最小值为()A. π4B. 3π2C. 9π4D. 5π2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.平面向量a⃗=(2,2),b⃗ =(−1,3)，若(a⃗−b⃗ )⊥(λa⃗+b⃗ )，则λ=______ ．14.若实数x，y满足约束条件{x−2y+3≥02x−y−3≤0x+y−3≥0，则x−y的取值范围是______ ．15.若函数f(x)=|e x−a|−1有两个零点，则实数a的取值范围是______ ．16.设双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点是F，左、右顶点分别是A，B，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于P，Q两点，若AP⊥BQ，则双曲线的离心率为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S na n 和2a n的等差中项为1．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=log4a n+1，求数列{1b n b n+1}的前n项和T n．18.某企业招聘，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在[40,100]内，按照[40,50)，[50,60)，…，[90,100]分组，得到如图频率分布直方图：(Ⅰ)求图中a的值；(Ⅱ)求全体应聘者笔试成绩的平均数；(每组数据以区间中点值为代表)(Ⅲ)该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取150人，估计应该把录取的分数线定为多少．19. 如图，直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为平行四边形，AD =3，AB =5，cos∠BAD =35,BD =DD 1，E 是CC 1的中点． (Ⅰ)求证：平面DBE ⊥平面ADD 1；(Ⅱ)求点C 1到平面BDE 的距离．20. 已知椭圆C 1的离心率为√63，一个焦点坐标为(0,2√2)，曲线C 2上任一点到点(94,0)和到直线x =−94的距离相等．(Ⅰ)求椭圆C 1和曲线C 2的标准方程；(Ⅱ)点P 为C 1和C 2的一个交点，过P 作直线l 交C 2于点Q ，交C 1于点R ，且Q ，R ，P 互不重合，若PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =RP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线l 与x 轴的交点坐标．21. 已知函数f(x)=xlnx +1−x −lnx ．(Ⅰ)设函数y =f(x)在x =1和x =e 处的切线交直线y =1于M ，N 两点，求|MN|；(Ⅱ)设f(x 0)为函数y =f(x)的最小值，求证：−12<f(x 0)<0．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{x =−3−45ty =3+35t(t 为参数)，直线l 2的参数方程为{x =−3−√1010s y =3+3√1010s(s 为参数)．(Ⅰ)设l 1与l 2的夹角为α，求tanα；(Ⅱ)设l 1与x 轴的交点为A ，l 2与x 轴的交点为B ，以A 为圆心，|AB|为半径作圆，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆A 的极坐标方程．23. 已知函数f(x)=|x −1|+|ax +1|．(Ⅰ)当a =2时，解不等式f(x)≤5；(Ⅱ)当a =1时，若存在实数x ，使得2m −1>f(x)成立，求实数m 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A={x|0<x<5}，B=Z，∴A∩B={1,2，3，4}，∴A∩B中元素的个数为：4．故选：B．可求出集合A，然后进行交集的运算求出A∩B，从而可得出A∩B中元素的个数．本题考查了描述法和列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：设z=a+bi，则z−=a−bi，因为z+2z−=3−i，所以a+bi+2(a−bi)=3−i，所以3a−bi=3−i，所以3a=3，−b=−1，所以a=1，b=1，所以z=1+i，故|z|=√1+1=√2．故选：B．利用利用复数相等，求出z，再利用复数模的计算公式，求解即可．本题考查了复数的模、复数相等的应用，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，设袋中球的总数为n，∵袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为15，∴2n =15，解得n=10．则袋中球的总个数为10．故选：C．设袋中球的总数为n，由袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为15，利用古典概型概率计算公式能求出n．本题考查袋中球的总个数的求法，考查古典概型概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】D【解析】解：塔顶是正四棱锥P−ABCD，如图，PO是正四棱锥的高，设底面边长为a，底面积为S1=a2，因为AO=√22a,∠PAO=45°，所以PA=√2×√22a=a，所以△PAB 是正三角形，面积为S 2=√34a 2，所以S 2S 1=√34a 2a 2=√34． 故选：D ．利用正四棱锥的几何结构特征，设底面边长为a ，则底面是正三角形，求出底面面积，再利用侧棱与底面所成的角为45°，求出PA ，得到△PAB 是正三角形，求出其面积，然后计算比值即可．本题考查了正四棱锥的应用，涉及了正四棱锥几何结构的应用、三角形面积公式的应用，解题的关键是掌握正四棱锥的性质，属于中档题． 5.【答案】C【解析】解：i =0，a =1，b =1；第一次执行循环体后，a =3，b =2，不满足退出循环的条件，i =1； 第二次执行循环体后，a =7，b =5，不满足退出循环的条件，i =2； 第三次执行循环体后，a =15，b =14，不满足退出循环的条件，i =3； 第四次执行循环体后，a =31，b =41，满足退出循环的条件； 故输出a +b 值为72， 故选：C ．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a +b 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，得出正确的结论，是基础题． 6.【答案】D【解析】解：因为1a >1b >0，所以b >a >0， 所以ba >1，故①正确； |b|>|a|，故②错误；b 3>a 3，故③错误；由指数函数f(x)=(12)x 为减函数，又b >a ，所以f(a)>f(b)，即(12)a >(12)b ，故④正确， 故正确的是①④． 故选：D ．由不等式的基本性质逐一判断即可．本题主要靠考查不等式的基本性质，属于基础题． 7.【答案】D【解析】解：∵点A ，B 是曲线y =f(x)相邻的两个对称中心， ∴AB = T2，点C 是f(x)的一个最值点，则△ABC 的高为2， ∴三角形的面积S =12×T2×2=1， ∴T =2，∴2πω=2，∴ω=π，故选：D．根据三角函数的性质，求出三角形的底和高，结合三角形的面积是进行计算即可．本题主要考查三角形面积的计算，三角函数的图象和性质是解决本题的关键，是基础题．8.【答案】A【解析】解：因为函数f(x)=e x+e−x−x2，所以f(−x)=e−x+e x−(−x)2=e x+e−x−x2=f(x)，所以函数为偶函数，又f′(x)=e x−e−x−2x，故f″(x)=e x+e−x−2≥0，所以f′(x)在R上单调递增，又f′(0)=0，所以f′(x)>0，故f(x)在(0,+∞)上单调递增，则不等式f(2m)>f(m−2)等价于|2m|>|m−2|，解得m>23或m<−2．故选：A．利用函数奇偶性的定义判断函数f(x)为偶函数，再利用导数判断出函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，从而将所求解的不等式进行等价转化，求解即可得到答案．本题考查了函数与不等式的综合应用，涉及了函数奇偶性的判断、利用导数研究函数的性质，解题的关键是利用函数的单调性和奇偶性去掉“f”，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：△ABC中，因为A，B，C成等差数列，所以2B=A+C，又A+B+C=π，所以B=π3．有余弦定理，可得b2=a2+c2−2accos60°=(a+c)2−3ac，即72=132−3ac，所以ac=40．所以△ABC的面积S=12acsinB=10√3．故选：C．由条件求得B的值，利用余弦定理求得ac的值，再利用三角形的面积公式，求出△ABC的面积．本题主要考查三角恒等变换，余弦定理，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：由AB=AC=2√14,BC=2√7，得cos∠BAC=2×2√14×2√14=34，则sin∠BAC=√74，设OABC的外接圆半径为r，则2r=BCsin∠BAC=√7√74=8，所以r=4，则球心O到平面ABC的距离等于√52−42=3，则△ABC的面积S=12×2√14×2√14×√74=7√7，故三棱锥O −ABC 的体积为13×3×7√7=7√7．故选：A ．根据条件先求出△ABC 的面积以及球心O 到平面ABC 的距离，利用三棱锥的体积公式进行计算即可． 本题主要考查三棱锥体积的计算，利用与球的关系，求出底面积和高是解决本题的关键，是中档题． 11.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f(x)满足f(x +3)=f(x +1)，则f(x +2)=f(x)，即f(x)是周期为2的周期函数，又由f(x)为奇函数，则f(log 21257)=f(−log 2257)=f(8−log 2257)=−f(log 2257−8)， 而8=log 2256<log 2257<log 2512=9，则0<log 2257−8=log 2257256<1， 且当0<x <1时，f(x)=2−x ， 则f(log 21257)=−f(log 2257256)=−(2log 2256257)=−256257，故选：D ．根据题意，分析可得f(x +2)=f(x)，即f(x)是周期为2的周期函数，结合函数的奇偶性，可得f(log 21257)=f(log 2257−8)，又由对数的运算性质和函数的解析式计算可得答案．本题考查函数的奇偶性、周期性的性质以及应用，注意分析函数的周期，属于基础题． 12.【答案】C【解析】解：∵直线3x +y −6=0与直线x −3y +8=0垂直，且交点为(1,3)，∴以AB 为直径的圆过点(1,3)，又圆C 与x 轴相切，∴圆C 的面积最小时，其直径恰好为点(1,3)到x 轴的距离，此时圆的直径为3，则圆C 面积的最小值为π×(32)2=94π．故选：C ．由题意画出图形，可知所求的圆恰好过两直线的交点，再由题意得到圆的半径的最小值，则答案可求．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想，是中档题．13.【答案】32【解析】解：∵向量a ⃗ =(2,2),b ⃗ =(−1,3)， ∴a ⃗ −b ⃗ =(3,−1)，λa ⃗ +b ⃗ =( 2λ−1,2λ+3)．∵(a ⃗ −b ⃗ )⊥(λa ⃗ +b ⃗ )，∴3(2λ−1)−1×(2λ+3)=0， 解得λ=32， 故答案为：32．由题意利用两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，求得λ的值． 本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，属于基础题． 14.【答案】[−1,1]【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{2x −y −3=0x +y −3=0，解得A(2,1)，联立{x −2y +3=0x +y −3=0，解得B(1,2)，令z =x −y ，化为y =x −z ，作出直线x −y =0，把直线平移，由图可知，当直线经过A 时，直线y =x −z 在y 轴上的截距最小，z 有最大值1， 当直线经过B 时，直线y =x −z 在y 轴上的截距最大，z 有最小值−1， ∴x −y 的取值范围是[−1,1]． 故答案为：[−1,1]．由约束条件作出可行域，令z =x −y ，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题． 15.【答案】(1,+∞)【解析】解：f(x)的零点个数等价于曲线y =|e x −a|与直线y =1的交点个数， 作出函数图象如图所示，由题意可知a >1． 故答案为：(1,+∞)．根据f(x)的零点个数等价于曲线y =|e x −a|与直线y =1的交点个数，作出函数图象即可求出a 的取值范围．本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了数形结合的思想和转化的能力，属于中档题． 16.【答案】√2【解析】解：由题意知，A(−a,0)，B (a,0)，F(−c,0)， 把x =−c 代入双曲线方程中，有c 2a−y 2b =1，∴y =±b 2a，∴P(−c,b 2a )，Q(−c,−b 2a )， ∵AP ⊥BQ ，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−c +a,b 2a)⋅(−c −a,−b 2a)=c 2−a 2−(b 2a)2=0， 化简得，a 2=b 2，即a =b ，∴双曲线的离心率e =√a 2+b 2a 2=√1+(b a)2=√2． 故答案为：√2．把x =−c 代入双曲线方程可得P ，Q 两点的坐标，由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可推出a =b ，再由e =√1+(ba)2，得解． 本题考查双曲线的方程与几何性质，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 17.【答案】解：(Ⅰ)由题意，可得S na n +2a n =2， 整理，得S n =2a n −2，当n =1时，a 1=S 1=2a 1−2，解得a 1=2， 当n ≥2时，由S n =2a n −2， 可得S n−1=2a n−1−2．两式相减，可得a n =2a n −2a n−1， 化简整理，得a n =2a n−1，∴数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴a n =2×2n−1=2n ，n ∈N ∗，(Ⅱ)由(Ⅰ)，可得b n =log 4a n+1=log 42n+1=n+12，则1bn b n+1=4(n+1)(n+2)=4(1n+1−1n+2)，∴T n =1b 1b 2+1b 2b 3+⋯+1b n b n+1=4×(12−13)+4×(13−14)+⋯+4×(1n +1−1n +2)=4×(12−13+13−14+⋯+1n +1−1n +2)=4×(12−1n +2)=2nn+2．【解析】(Ⅰ)先根据等差中项的性质写出S n =2a n −2，然后根据公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2代入进行计算即可发现数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，从而可计算出数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)根据第(Ⅰ)题计算出b n 的表达式，进一步计算出数列{1bn b n+1}的通项公式，再运用裂项相消法计算出前n项和T n ．本题主要考查数列求通项公式，以及运用裂项相消法求前n 项和．考查了分类讨论思想，转化与化归思想，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)由题意(0.005+0.010+a +0.030+a +0.015)×10=1， 解得a =0.020．(Ⅱ)这些应聘者笔试成绩的平均数为：45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.2+95×0.15=74.5． (Ⅲ)根据题意，录取的比例为0.75，设分数线定为x ，根据频率分布直方图可知x ∈[60,70)， 且(70−x)×0.02+0.3+0.2+0.15=0.75， 解得x =65．故估计应该把录取的分数线定为65分．【解析】(Ⅰ)由频率分布直方图列方程能求出a ．(Ⅱ)由频率分布直方图能求出这些应聘者笔试成绩的平均数．(Ⅲ)根据题意，录取的比例为0.75，设分数线定为x ，根据频率分布直方图可知x ∈[60,70)，列出方程能估计录取的分数线．本题考查与频率分布直方图有关的计算，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】(Ⅰ)证明：由题意可得BD 2=AD 2+AB 2−2AB ×ADcos∠BAD =16， 所以AD 2+BD 2=AB 2，因此AD ⊥BD. (2分)在直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，DD 1⊥平面ABCD ，所以DD 1⊥BD. (3分) 又因为AD ∩DD 1=D ，AD ⊂平面ADD 1，DD 1⊂平面ADD 1，所以BD ⊥平面ADD 1，(4分) 因为BD ⊂平面DBE ，所以平面DBE ⊥平面ADD 1. (5分) (Ⅱ)解：如图，在平面BCC 1内作C 1F ⊥BE ，垂足为F. (6分) 由(Ⅰ)知BD ⊥平面ADD 1，因为平面ADD 1//平面BCC 1， 所以BD ⊥平面BCC 1，所以BD ⊥C 1F ，(7分) 又因为BD ∩BE =B ，所以C 1F ⊥平面BDE ．所以线段C 1F 的长就是点C 1到平面BDE 的距离． (8分)因为CC 1=DD 1=BD =4，BC =3，所以CE =C 1E =2,BE =√13. (9分) 在平面BCC 1内，可知△BCE∽△C 1FE ，(10分) 所以C 1FC1E=BCBE =√13C 1F =6√1313， 所以点C 1到平面BDE 的距离为6√1313. (12分)【解析】(Ⅰ)证明AD ⊥BD ，DD 1⊥BD ，推出BD ⊥平面ADD 1，然后证明平面DBE ⊥平面ADD 1．(Ⅱ)在平面BCC 1内作C 1F ⊥BE ，垂足为F.说明线段C 1F 的长就是点C 1到平面BDE 的距离．通过△BCE∽△C 1FE ，转化求解点C 1到平面BDE 的距离即可．本题考查空间的垂直关系以及距离的计算，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)设椭圆C 1：x 2b 2+y2a 2=1(a >b >0)， 根据条件可知√a 2−b 2=2√2，且√a 2−b 2a=√63， 解得a 2=12，b 2=4， 所以椭圆C 1的标准方程为x 24+y 212=1，曲线C 2是以(94,0)为焦点，x =−94为准线的抛物线， 故C 2的标准方程为y 2=9x ；(Ⅱ)联立{3x 2+y 2=12y 2=9x，解得x =1，y =±3，不妨取P(1,3)，若直线l 的斜率不存在，Q 和R 重合，不符合条件； 故可设直线l ：y =k(x −1)+3，由题意可知k ≠0， 联立{y =kx +3−k y 2=9x ，解得y Q =9−3kk ，联立{y =kx +3−k 3x 2+y 2=12，解得y R =9−3k 2−6k3+k 2，因为PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =RP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以P 是QR 的中点， 所以y Q +y R2=3，即9−3k k+9−3k 2−6k 3+k 2=6，解得k =1，所以直线l 的方程为y =x +2，其与x 轴的交点坐标为(−2,0)．【解析】(Ⅰ)设椭圆的标准方程，利用焦点坐标和离心率得到关于a 和b 的关系式，求解即可得到a 2=12，b 2=4，从而得到椭圆的方程；利用抛物线的焦点以及准线即可求出抛物线的方程；(Ⅱ)联立椭圆和抛物线的方程，求出其中一个交点P(1,3)，设直线l 的方程，分别联立直线l 与抛物线和椭圆的方程，得到Q 和R 的纵坐标，然后利用PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =RP⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出直线方程，令y =0，即可得到答案． 本题考查了圆锥曲线的综合应用，涉及了椭圆标准方程的求解、抛物线标准方程的求解、直线与椭圆以及抛物线的位置关系，综合性强，涉及知识点多，对学生分析问题和解决问题的能力以及运算能力都有较高的要求，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)的导函数为f′(x)=1+lnx−1−1x =lnx−1x.(1分)所以f′(1)=−1,f′(e)=1−1e.又因为f(1)=0，f(e)=0，因此y=f(x)在x=1和x=e处的切线方程分别为y=−x+1和y=e−1e(x−e).(4分)令y=1，可得M和N的坐标分别为(0,1)和(e2e−1,1)，故|MN|=e2e−1.(6分)(Ⅱ)因为f′(x)=lnx−1x 在(0,+∞)上单调递增，而f′(1)=−1<0,f′(2)=ln2−12>0，所以必然存在x0∈(1,2)，满足f′(x0)=0，(8分)且当x∈(0,x0))时，f′(x)<0，当x∈(x0,+∞)时，f′(x)>0.(9分)即f(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，当x=x0时，f(x)取得最小值f(x0)=x0lnx0+1−x0−lnx0.(10分)由f′(x0)=0，可得lnx0=1x0，所以f(x0)=2−(x0+1x).(11分)当x0∈(1,2)时，x0+1x0∈(2,52)，所以−12<f(x0)<0.(12分)【解析】(Ⅰ)求出导函数，得到切线的斜率，求出切线方程，然后求MN的距离即可．(Ⅱ)判断函数的单调性，求出函数的最小值，利用导函数的最大值结合基本不等式，即可证明−12<f(x0)<0成立．本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数性质，考查转化思想以及计算能力，是难题．22.【答案】解：(Ⅰ)设直线l1和l2的倾斜角分别为β和γ，由参数方程知tanβ=−34,tanγ=−3，则tanα=tan(β−γ)=tanβ−tanγ1+tanβtanγ=913．(Ⅱ)令3+35t=0，得−3−45t=1，所以A(1,0)，令3+3√1010s=0，得−3−√1010s=−2，所以B(−2,0)，所以圆A的直角坐标方程为(x−1)2+y2=9，即x2+y2−2x=8，所以圆A的极坐标方程为ρ2−2ρcosθ=8．【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(Ⅱ)利用已知条件求出圆的方程．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，圆的方程的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(Ⅰ)当a =2时，f(x)=|x −1|+|2x +1|={3x,x ≥1x +2,−12<x <1−3x,x ≤−12； 当x ≥1时，不等式f(x)≤5化为3x ≤5，解得1≤x ≤53；当−12<x <1时，不等式f(x)≤5化为x +2≤5，解得−12<x <1； 当x ≤−12时，不等式化为−3x ≤5，解得−53≤x ≤−12． 综上所述，不等式f(x)≤5的解集为{x|−53≤x ≤53}．(Ⅱ)当a =1时，f(x)=|x −1|+|x +1|≥|x +1+1−x|=2， 当且仅当−1≤x ≤1时，等号成立，即f(x)的最小值为2． 因为存在实数x ，使得2m −1>f(x)成立，所以2m −1>2． 解得m >32，所以m 的取值范围是(32,+∞)．【解析】(Ⅰ)a =2时利用分类讨论法求出不等式f(x)≤5的解集．(Ⅱ)利用绝对值不等式求出a =1时f(x)的最小值，再不等式2m −1>f(x)成立时m 的取值范围．本考查绝对值不等式的解法和性质的运用：求最值，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。

20-20学年河南省天一大联考高三上学期期末数学复习卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1,2，3}，集合B={2,3，4}，则A∪B=()A. {1,4}B. {2,3}C. {1,2，3，4}D. {1,2，2，3，3，4}2.复数z满足(1+i)z=|−4i|，则z=()A. 2+2iB. 1+2iC. 2−2iD. 1−2i3.已知向量m⃗⃗⃗ =(3,0)，n⃗=(−3,0)，，则|q⃗|为()A. 7B. 5C. 3D. 14.近年来，随着4G网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app相继出世，其功能也是五花八门．某大学为了调查在校大学生使用app的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：①可以估计使用app主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数；②可以估计不足10%的大学生使用app主要玩游戏；③可以估计使用app主要找人聊天的大学生超过总数的14．其中正确的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 35.等比数列{a n}中，a3−3a2=2且5a4为12a3和2a5的等差中项，则{an}的公比等于()A. 3B. 2或3C. 2D. 66.在△ABC中，A=π6,BC=4√33，AB=4，则C=()A. π6B. 2π3C. π3或2π3D. π27. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( )A. y =ln|x|B. y =cosxC. y =1xD. y =−x 2+18. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√52，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A. 2x ±y =0B. x ±2y =0C. √3x ±y =0D. √3x ±y =09. 在体积为6的长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，已知AB =2，AC 1⊥B 1C ，则该长方体的外接球表面积为( )A. 14πB. 12πC. 10πD. π10. 函数f(x)={2x −x 2(0≤x ≤3)x 2+6x(−2≤x ≤0)的值域是( ) A. R B. [−8,1] C. [−9,+∞) D. [−9,1]11. 已知函数f(x)=sin(ωx +2φ)−2sinφcos(ωx +φ)(ω>0.φ∈R)的图象的相邻两条对称轴相距π2个单位，则ω=( )A. 1B. 12C. 13D. 212. 椭圆x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的左焦点为F ，斜率为√3的直线过F 与椭圆交于M 、N 两点，且MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则椭圆的离心率为( ) A. 12B. √22 C. √23D. 23二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知tanα=−34，tan (α+β)=14，则tanβ=________． 14. 设实数x ，y 满足{y ≥2x −1,3x +2≥3y,x +3y +4≥0,则z =2x +y 的最大值为________． 15. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 是线段A 1B 1的中点，则△CD 1E 在平面BDD 1B 1上的正投影的面积为________．16. 已知函数f(x)的导函数f′(x)=5+cosx ，x ∈(−1,1)，f(0)=0，若f(1−x)+f(1−x 2)<0，则实数x 的取值范围__________． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n >0，a n2+a n =2S n +2． (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n =1an a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．18. 某地植被面积x(公顷)与当地气温下降的度数y(°C)之间有如下的对应数据：x(公顷) 20 40 50 60 80 y(°C)34445(1)请用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^=b ^x +a^； (2)根据(1)中所求线性回归方程，如果植被面积为200公顷，那么下降的气温大约是多少°C ？ 参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：b ̂=x i ni=1y i −nx·y ∑x 2n −nx2，a ^=y −b ^x ．19. 如图，已知三棱柱ABC −A′B′C′的所有棱长都是2，且∠A′AB =∠A′AC =60°．(1)求证：点A′在底面ABC 内的射影在∠BAC 的平分线上； (2)求棱柱ABC −A′B′C′的体积．20.已知直线y=x−p与抛物线C：y2=2px(p>0)交于B，D两点，线段BD的中点为A，点F2为C的焦点，且△OAF(O为坐标原点)的面积为1．(1)求抛物线C的标准方程；(2)过点G(2,2)作斜率为k(k≥2)的直线l与C交于M，N两点，直线OM，ON分别交直线y=x+2于P，Q两点，求|PQ|的最大值．21.已知函数f(x)=lnx+ax+1．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)若函数f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围．22.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为2ρsin(θ+π6)−3=0，曲线C的参数方程是{x=2cosφy=2sinφ(φ为参数)．(1)求直线l和曲线C的普通方程；(2)直线l与x轴交于点P，与曲线C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．23.已知函数f(x)=|2x−2|+|2x+3|．(1)求不等式f(x)<15的解集；(2)若f(x)≥a−x2+x对于x∈R恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A∪B={1,2，3，4}．故选：C．进行并集的运算即可．考查列举法的定义，以及并集的运算．2.答案：C解析：解：由(1+i)z=|−4i|=4，得z=41+i =4(1−i)(1+i)(1−i)=2−2i．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：C解析：本题考查平面向量的模长、平面向量的坐标运算，考查数学推理能力以及计算能力．根据(q⃗−m⃗⃗⃗ )·(q⃗−n⃗)=0可以求出答案．解：设q⃗=(x,y)，则q⃗−m⃗⃗⃗ =(x−3,y)，q⃗−n⃗=(x+3,y)．依题意，(q⃗−m⃗⃗⃗ )·(q⃗−n⃗)=0，故x2+y2=9，故|q⃗|=3．故选C．4.答案：C解析：本题考查统计图表的应用，考查数据分析能力．属于基础题．根据各主要用途与对应人数的结果统计图对三种说法逐一判断即可得解．解：使用app主要听音乐的人数为5380，使用app主要看社区、新闻、资讯的人数为4450，所以①正确；使用app主要玩游戏的人数为8130，而调查的总人数为56290，813056290≈0.14，故超过10%的大学生使用app主要玩游戏，所以②错误；使用app主要找人聊天的大学生人数为16540，因为1654056290>14，所以③正确．故选C．5.答案：C解析：本题考查等比数列的通项公式，属基础题．解：设公比为q，由已知可得a3−2a2=a2q−2a2=2，又可得10a4=12a3+2a5，∴10a2q2=12a2q+2a2q3，化简可得q2−5q+6=0，解得q=2或q=3，但当q=2时，与a2q−2a2=2矛盾，应舍去，故选C．6.答案：C解析：解：∵在△ABC中，A=π6，BC=4√33，AB=4，∴由正弦定理BCsinA =ABsinC得：sinC=ABsinABC=4×124√33=√32，则C=π3或2π3，故选：C．利用正弦定理列出关系式，把各自的值代入求出C即可．此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．7.答案：D解析：本题考查考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的单调性和奇偶性的性质，根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．解：y=ln|x|是偶函数，则(0,+∞)上单调递增，不满足条件．y=cosx是偶函数，则(0,+∞)上不单调，不满足条件．y=1x是奇函数，则(0,+∞)上单调递减，不满足条件．y=−x2+1是偶函数，则(0,+∞)上单调递减，满足条件．故选D．8.答案：B解析：解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√52，可得：ca =√52，即1+b2a2=54，可得ba =12，则双曲线C的渐近线方程为：x±2y=0．故选：B．通过双曲线的离心率求出b与a的关系，然后求解双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．9.答案：C解析：解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设AD=x，则AA1=3x，∵A(x,0，0)，C1(0,2，3x )，B1(x,2，3x)，C(0,2，0)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,2，3x )，B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,0，−3x )， ∵AC 1⊥B 1C ，∴AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2−9x 2=0，解得x =√3，∴AD =√3，AA 1=√3， ∴该长方体的外接球半径R =√3+3+42=√102， ∴该长方体的外接球表面积： S =4πR 2=4π×104=10π．故选：C ．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设AD =x ，则AA 1=3x ，由AC 1⊥B 1C ，求出AD =√3，AA 1=√3，从而该长方体的外接球半径R =√102，由此能求出该长方体的外接球表面积．本题考查长方体的外接球的表面积的求法，考查长方体及其外接球的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．10.答案：B解析：本题主要考查了分段函数的值域的求法，属于基础题．分别求出f(x)=2x −x 2，f(x)=x 2+6x 在其定义域上的值域，故得到答案． 解：f(x)=2x −x 2=−(x −1)2+1，开口向下，最大值为f(1)=1， 而f(0)=0，f(3)=−3，故函数f(x)=2x −x 2的值域为[−3,1]， f(x)=x 2+6x =(x +3)2−9，开口向上，函数f(x)=x 2+6x 在[−2,0]上单调递增，f(−2)=−8，f(0)=0， 故函数f(x)=x 2+6x 的值域为[−8,0]，故函数f(x)={2x −x 2(0≤x ≤3)x 2+6x(−2≤x ≤0)的值域为[−8,1]．故选：B ．11.答案：D解析：本题考查两角和与差的三角函数及函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，利用两角和与差的三角函数化简f(x)，然后利用正弦函数的周期性求解即可．解： 函数f(x)=sin(ωx +2φ)−2sinφcos(ωx +φ)=sin(ωx +φ+φ)−2sinφcos(ωx +φ)=sin(ωx +φ)cosφ+cos(ωx +φ)sinφ−2sinφcos(ωx +φ)=sin(ωx +φ)cosφ−cos(ωx +φ)sinφ=sinωx ，(其中ω>0.φ∈R)， 由f(x)的图象相邻两条对称轴相距π2个单位， 则，解得ω=2． 故选D ．12.答案：D解析：直线MN 的方程为y =√3(x +c)，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2).与椭圆方程联立化为(b 2+3a 2)x 2+6a 2cx +3a 2c 2−a 2b 2=0.由MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得−c −x 1=2(x 2+c)，再利用根与系数的关系、离心率计算公式即可得出．本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 解：直线MN 的方程为y =√3(x +c)，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2). 联立{x 2a 2+y 2b 2=1y =√3(x +c)，化为(b 2+3a 2)x 2+6a 2cx +3a 2c 2−a 2b 2=0． ∴x 1+x 2=−6a 2cb 2+3a 2，x 1x 2=3a 2c 2−a 2b 2b 2+3a 2．∵MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴−c −x 1=2(x 2+c)，化为x 1+2x 2=−3c ． 联立化为：(3a 2c−3b 2c)(3b 2c+3a 2c)(b 2+3a 2)2=3a 2c 2−a 2b 2b 2+3a 2，设b 2a 2=x ≠0，化为9(1−x)(1−x)(1+x)=(3−4x)(x +3)，化为9x 3−5x 2=0， 解得x =59．∴椭圆的离心率e =c a=√1−b 2a2=√1−59=23．故选：D ．13.答案：1613解析：本题考查两角和差的正切公式，考查数学运算能力以及化归转化思想.属于基础题．把β变为(α+β)−α，然后利用两角差的正切函数公式化简后，将tan(α+β)和tanα的值代入即可求出值．解：依题意，tanβ=tan[(α+β)−α] =11−316=1613．故答案为1613．14.答案：173解析：本题考查二元一次不等式组与平面区域、线性规划，考查直观想象能力以及数形结合思想.属于中档题目．由约束条件作出可行域，平移目标函数得出最大值即可． 解：作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示．观察可知，当直线z =2x +y 过点C 时，z 取得最大值． 联立{y =2x −1.3x +2=3y,解得{x =53,y =73,故z 的最大值为173．故答案为173．15.答案：3√22解析：本题考查正投影，考查空间想象能力以及计算能力.属于中档题目． 作出△CD 1E 在平面BDD 1B 1上的正投影，求出面积即可． 解析：解：作出图形如图所示，可知△CD 1E 在平面BDD 1B 1上的正投影仍然为一个三角，点C 在平面BDD 1B 1上的正投影为线段BD 的中点C′，点E 在平面BDD 1B 1上的正投影为线段B 1D 1靠近B 1的四等分点E ， 正投影的面积．16.答案：(1,√2)解析：f′(x)=5+cosx >0,f(x)是增函数，f(x)=5x +sinx +a ，由f(0)=0得a =0，所以f(x)=5x +sinx ，函数为奇函数；所以不等式f(1−x)+f(1−x 2)<0转化为f(1−x)<−f(1−x 2)=f(x 2−1)∴{−1<1−x <1−1<x 2−1<11−x <x 2−1，解不等式得1<x <√2．17.答案：解：(1)S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n >0，a n 2+a n =2S n +2①．当n =1时，解得：a 1=2或−1(负值舍去)，当n ≥2时，a n−12+a n−1=2S n−1+2②．①−②得：a n −a n−1=1(常数)，所以：数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列． 所以：a n =n +1(首项符合通项)， 故：a n =n +1． (2)由于a n =n +1， 所以：b n =1an a n+1=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2，所以：T n =12−13+13−14+⋯+1n+1−1n+2， =12−1n+2， =n 2n+4．解析：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． (1)首项利用已知条件求出数列的通项公式．(2)利用(1)的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．18.答案：解：(1)∵x −=20+40+50+60+805=50，y −=3+4+4+4+55=4．∑x i 5i=1y i =20×3+40×4+50×4+60×4+80×5=1060，∑x i 25i=1=202+402+502+602+802=14500．∴b ̂=1060−5×50×414500−5×502=0.03，a ̂=4−0.03×50=2.5． 故y 关于x 的线性回归方程ŷ=0.03x +2.5； (2)由(1)得：当x =200时，ŷ=0.03×200+2.5=8.5． ∴植被面积为200公顷时，下降的气温大约是8.5°C ．解析：(1)由已知表格中的数据求得b ^与a ^的值，则线性回归方程可求； (2)在(1)中求得的线性回归方程中，取x =200，得到y 值即可． 本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．19.答案：证明：(1)设A′在底面ABC 上的射影为O ，连接A′O ，过A′分别作A′D ⊥AB 于D ，A′E ⊥AC 于E ，连接OD ，OA ，OE ．∵∠A′AB =A′AC =60°，∠A′DA =∠A′EA =90°，AA′=2，∴AD =AE =1，A′D =A′E =√3．∵A′O ⊥平面ABC ，OD ⊂平面ABC ，OE ⊂平面ABC ， ∴A′O ⊥OD ，A′O ⊥OE ，又A′O 为公共边， ∴△A′OD≌△A′OE ，∴OD =OE ．又∵AC ⊥A′E ，AC ⊥A′O ，A′O ∩A′E =A′， ∴AC ⊥平面A′OE ，∵OE ⊂平面A′OE ， ∴AC ⊥OE ． 同理可得OD ⊥AB ． ∴O 到AB ，AC 的距离相等． ∴O 在∠BAC 的角平分线上．(2)由(1)知AD =1，∠OAD =30°，OD ⊥AB ， ∴OA =2√33，∴A′O =√AA′2−AO 2=2√63． ∴V ABC−A′B′C′=S △ABC ⋅A′O =12×2×2×sin60°×2√63=2√2．解析：(1)设A′在底面ABC 上的射影为O ，连接A′O ，过A′分别作A′D ⊥AB 于D ，A′E ⊥AC 于E ，连接OD ，OA ，OE.通过证明AC ⊥平面A′OE 得出AC ⊥OE ，同理得出OD ⊥AB ，利用三角形全等得出OD =OE ，结论得证；(2)利用勾股定理计算A′O ，代入棱柱的体积公式计算．本题考查了棱柱的结构特征，线面垂直的判定，棱柱的体积计算，属于中档题． 20.答案：解：(1)直线l 的方程为y =x −p2代入抛物线方程得x 2−3px +p 24=0，设D(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=3p ，x A =32p 所以|AF|=√1+12⋅|x A −x F |=√2p. 坐标原点O 到直线l 的距离d =p2√2=√2p4， 所以△OAB 的面积为12×√2p ×√2p4=1，解得p =2；∴抛物线方程为y 2=4x ．(2)设直线l 的方程为y −2=k(x −2)．由方程组{y =k(x −2)+2y 2=4x 得ky 2−4y +8−8k =0．设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则y 1+y 2=4k ，y 1y 2=8k −8，直线OM 的方程y =4y 1x ，代入y =x +2，解得x =2y 14−y 1，y =84−y 1．∴P(2y 11,81). 同理得N(2y 24−y 2,84−y 2).∴|PQ|=√2|84−y 1−84−y 2|=8√2|y 1−y 2(4−y 1)(4−y 2)|=|8√2×√(y 1+y 2)2−4y 1y 216−4(y 1+y 2)+y 1y 2|=|8√2×√16k2−32k +3216−16k +8k−8|=32√2√(1k−1)2+18(1−1k )|=4√2⋅√(1k−1)2+11−1k，令1−1k =t ，则12≤t <1， ∴|PQ|=4√2⋅√t 2+1t=4√2⋅√1+1t 2，∵12≤t <1， ∴1<1t ≤2，∴2<1+1t ≤3，∴|PQ|≤4√2⋅√3=4√6解析：(1)求得抛物线的焦点，以及直线l 的方程，代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式可得|AF|，由点到直线的距离公式和三角形的面积公式，解方程可得p ；(2)设直线l 的方程为y −2=k(x −2)，由方程组{y =k(x −2)+2y 2=4x 得ky 2−4y +8−8k =0，再分别求出点P ，Q 的坐标，根据两点间的距离可得|PQ|，化简整理，根据函数的性质即可求出|PQ|的最大值本题考查了直线和抛物线的位置关系，直线和直线位置关系，考查了运算求解能力，函数与方程的思想，考查了转化与化归，分类与整合的思想，属于中档题．21.答案：解：(Ⅰ)f′(x)=1x +a ，(x >0)．a ≥0时，f′(x)>0，∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增．a <0时，令f′(x)=a(x−1−a)x =0，可得：函数f(x)在(0,−1a )上单调递增，在(−1a ,+∞)上单调递减． (Ⅱ)由(Ⅰ)可知：a ≥0时不满足题意，舍去．a <0时，函数f(x)≤0在(0,+∞)上恒成立，∴f(x)max =f(−1a )=ln(−1a )−1+1≤0， ∴0<−1a ≤1，解得a ≤−1． ∴实数a 的取值范围是(−∞,−1]．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力计算能力，属于中档题．(Ⅰ)f′(x)=1x +a ，(x >0)，对a 分类讨论即可得出单调性．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：a ≥0时不满足题意，舍去．a <0时，函数f(x)≤0在(0,+∞)上恒成立，可得f(x)max =f(−1a )≤0，即可得出．22.答案：解：(1)直线l 的极坐标方程2ρsin(θ+π6)−3=0，化为√3ρsinθ+ρcosθ−3=0， 即l 的普通方程为x +√3y −3=0， 曲线C 的参数方程是{x =2cosφy =2sinφ(φ为参数)． 消去φ，得C 的普通方程为x 2+y 2=4． (2)在x +√3y −3=0中， 令y =0得P(3,0)， ∵k =−√33， ∴倾斜角α=5π6，∴l 的参数方程可设为{x =3+tcos 5π6y =0+tsin5π6即{x =3−√32ty =12t(t 为参数)，代入x 2+y 2=4得t 2−3√3t +5=0，Δ=7>0， ∴方程有两解，t 1+t 2=3√3，t 1t 2=5>0， ∴t 1，t 2同号，|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=|t 1+t 2|=3√3．解析：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线与圆的位置关系，一元二次方程根与系数的关系的应用，难度适中．(1)直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(2)将直线的普通方程转化为参数方程，与圆的普通方程联立整理，利用一元二次方程根与系数的关系的应用求出结果．23.答案：解：(1)函数f(x)=|2x −2|+|2x +3|={−4x −1,x ≤−325,−32<x <14x +1,x ≥1；当x ≤−32时，有−4x −1<15，解得x >−4，即−4<x ≤−32； 当−32<x <1时，5<15恒成立，即−32<x <1； 当x ≥1时，有4x +1<15，解得x <72，即1≤x <72； 综上，不等式f(x)<15的解集为(−4,72)；(2)由f(x)≥a −x 2+x 恒成立，得a ≤|2x −2|+|2x +3|+x 2−x 恒成立， ∵|2x −2|+|2x +3|≥|(2x −2)−(2x +3)|=5，当且仅当(2x −2)⋅(2x +3)≤0，即−32≤x ≤1是等号成立； 又因为x 2−x ≥−14，当且仅当x =12时等号成立， 又因为12∈(−32,1)，所以|2x −2|+|2x +3|+x 2−x ≥5−14=194，所以a 的取值范围是a ≤194．解析：(1)利用分类讨论法去掉绝对值，再求不等式f(x)<15的解集；(2)由题意得出a≤|2x−2|+|2x+3|+x2−x恒成立，求出|2x−2|+|2x+3|+x2−x的最小值即可．本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，是中档题．。

2020届河南省天一大联考高三上学期阶段性测试（二）数学（文）试卷(含答案)考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

―、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有上项是符合题目要求的.1.已知集合A={0<31|xx -}，B={1|2+=x y y }，则=B A A.{ 3<1|x x ≤} B.{ 1<<0|x x }C.{ 3<0|x x ≤ }D.{ 3<<1|x x } 2.下列命题中，真命题是A.命题“若1y >+x ，则y >x ，的逆否命题为“若y ≤x ，则1y >+xB.若12≥x ，则1-≤x 或1≥xC.若020192=-x x ,则2019=xD.若b a >，则b 1<1a 3.已知20191.05.01.01.0log ,5.0,2===c b a ,则 A. a >b >c B.c>a>b C. a>c>b D.c>b>a4.函数x x x f cos )(-=在2π=x 处的切线方程为 A. 042=--πy x B. 02=-y x π C. 014=--y x π D. 024=--πy x5.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问有如下表述今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升其大意为“官府 陆续派遣1 864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，则前3天共分发大米A.234 升B.468 升C.639 升D.903 升6.函数||ln 10)(3x x x f -=的图象大致为7.已知0)2cos(21)37sin(=---x x ππ，则=-)3tan(x π A. 51 B. 53 C. 532 D.3 8.已知)(x g 函数是R 上的奇函数，当0<x 时，)1ln()(x x g --=，且⎩⎨⎧≤=0>),(0,)(3x x g x x x f ，若)(>)2(2x f x f -，则实数x 的取值范围是 A. (-1,2) B. (1,2) C. (-2,-1) D. (-2,1)9.已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≥+-02203042y x y x y x ,则目标函数y x z 2-2=的最大值为A.128B.64C. 641D. 1281 10.要想得到函数)62sin(π+=x y 的图象,只需将函数)sin (cos )sin (cos x x x x y +⋅-=的图像。