第四章 空间力系

∑ M x (F ) = 0, ∑ M y (F ) = 0, ∑ M z (F ) = 0
（3）平面任意力系的平衡方程（若力系在 Oxy 平面内） 基本式：
∑ X = 0, ∑Y = 0, ∑ M z (F ) = 0
4
7．重心
在重力场中，物体重力的合力作用点，称为物体的重心。物体的重心在物体
内只有确定的位置，与该物体在空间的位置无关。均质物体的重心与几何中心重
M O (F ) = Fh = 2ΔOAB
或用力对点的矢积式表示，即 i jk
MO (F) = r × F = x y z XYZ
= ( yZ − zY )i + (zX − xZ) j + (xY − yX )k
图 4-2
式中，x、y、z 为力 F 作用点的坐标，X、Y、Z 为力 F 在坐标轴上的投影。 z 力对轴的矩 力对轴的矩是一个代数量，可按下列三种方法计算。 （1） 定义法 先将力投影到垂直于轴的平面上，然后按平面力
∑ M z (FR ) = M z (F )
6．空间任意力系的平衡方程
空间任意力系平衡的充分必要条件是：力系的主矢和对任一点的主矩都等于 零。即
FR′ = 0 MO = 0 用解析式表示，即为空间任意力系的平衡方程：
∑ X = 0, ∑Y = 0, ∑ Z = 0 ∑ M x (F ) = 0, ∑ M y (F ) = 0, ∑ M z (F ) = 0
第一部分 静力学
第四章 空间力系
一、基本要求
1．掌握力对点的矩、力对轴的矩和空间力偶的基本概念及其性质。 2．熟练掌握力在空间坐标轴上的投影和力对轴的矩的计算。 3．熟悉空间力系的简化结果，能熟练地计算主矢和主矩。 4．能熟练应用空间任意力系的平衡方程求解物体的平衡问题。 5．掌握计算物体重心的各种方法。

Ｚ Ｆ
如力F对Z轴之矩表示为： M z ( F ) M o ( Fxy ) Fxy h
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴之矩为零。 方向：右手螺旋法则，与Z轴正方向一致时为正，反之为负。单位：N· m
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2.力对轴的矩
力对轴之矩合力矩定理：各力对任一轴之矩等于各分力对同一轴之矩的 代数和。 例：将Fxy再分解为Fx、Fy，根据合力矩定理则有：
z
即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于
力对该轴的矩.
7
空间汇交力系
1、力在直角坐标轴上的投影 直接投影法
Fx F cos
Fy F cos
Fz F cos
8Leabharlann 1.力在直角坐标轴上的投影 二次投影法 Fz Fy Fx
F xy F sin
Fx F sin cos
1、 力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢 三要素： (1）大小:力F与力臂的乘积 (2) 方向:转动方向 (3) 作用面：力矩作用面.
MO ( F ) r F
（4–8）
矢量方向：右手螺旋定则。（将右手四指握拳并以它们的弯曲 方向表示力使物体绕该轴转动的转向，而拇指的指向就是力对 3 点之矩矢量的指向）
3. 空间汇交力系的平衡：
空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零
即： R F
F
x 2
i
0
2 2
FR
F
Fy Fz
空间汇交力系的平衡方程
F 0 F 0 Fz 0
x y
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§4-2
空间力偶系
M mi 代数和
1.平面力偶系：

合力的大小
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
Fx 方向余弦 cos( FR , i ) FR
Fy Fz cos( FR , j ) cos( FR , k ) FR FR
7
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用 线通过汇交点.
M 为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和。
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力偶系的合成（与汇交力系的计算完全相同）
合力偶矩矢
M Mi
M x Mix M y Miy Mz Miz
M M xi M y j Mzk
合矢量投影定理：Βιβλιοθήκη 合力偶矩矢的大小和方向余弦:
M
M M M
2 2 ix iy iz
2
M ix cos M
cos
M iy M
M iz cos M
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空间力偶系平衡的充分必要条件是：合力偶矩矢等于零。
为代数量
z
即：力对轴之矩，等于力在垂直于
该轴的平面上的投影对轴与平面交 点之矩。 O x
y
特殊情况：
1、力与轴平行，矩为零。 2、力与轴相交，矩为零。
即： 力与轴位于同一平面内时，力对轴之矩为零。 16
合力矩定理
空间任意力系的合力对于任一轴的矩等于力系中所有各 力对于该轴的矩的代数和。（用于求力矩）
B
F
F
rBA rA
A
M rBA F
rB
O
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2、空间力偶等效定理
作用在同一刚体上的两个力偶，如果力偶矩矢相等， 则它们彼此等效。

r FR = 0
∑F = 0
x
∑F = 0
y
称为空间汇交力系的平衡方程. 称为空间汇交力系的平衡方程. 空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有 空间汇交力系平衡的充要条件： 充要条件 各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零. 各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零.
例 题 1
求： 绳的拉力和墙体的约束反力 。
=
=
F = F′ = F2 1 1
= F2′ = F3 = F3′
= =
定位矢量 滑移矢量 自由矢量 力偶矩矢是自由矢量 力偶矩相等的力偶等效 (5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡. 力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.
3．空间力偶系的合成与平衡条件
=
=
r r r r r r r r r M 1 = r1 × F1 , M 2 = r2 × F2 ,......, M n = rn × Fn
A
P
c a y
i
j k
O
MO ( P ) = r × P = 0 b 0 0 0 P = Pbi
（2）利用力矩关系
x
α
b
M OA ( P ) = M O ( P ) cos α = Pab a 2 + b2 + c 2
MO(P)
例 题 4
已知：OA=OB=OC =b, OA⊥OB⊥OC. 已知： 求： F 对OA边的中点 之矩在 方向的投影。 边的中点D之矩在 方向的投影。 力 边的中点 之矩在AC方向的投影
3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 r r r r M x ( F ) = M x ( Fx ) + M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = Fz ⋅ y − Fy ⋅ z