第四章
空间力系
一、要求
1、能熟练地计算力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。
2、对空间力偶的性质及其作用效应要有清晰的理解。
3、了解空间力系向一点简化的方法和结果。
4、能应用平衡条件求解空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力
系的平衡问题。
5、能正确地画出各种常见空间约束的约束反力。
二、重点、难点
本章重点：力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系的平衡方程的应用。各种常见的空间约束及约束反力。b5E2RGbCAP
2、本章难点：空间矢量的运算，空间结构的几何关系与立体图。
三、学习指导
1、空间力系的基本问题及其研究方法
空间力系研究的基本问题仍然是静力学的三个基本问题，即：物体的受力分析、力系的等效替换和力系的平衡条件。空间力系是力系中最普遍的情形，其它各种力系都是它的特殊情形。按由浅入深、由特殊到一般的认识规律研究空间力系，是从理论上对静力学作一个系统而完整的总结。p1EanqFDPw
与平面力系的研究方法相似，这里也采用力向一点平移的方法将空间任意力系分解为空间汇交力系和空间力偶系，再应用这两个力系
的合成方法来简化原力系，然后根据简化结果推导出平衡条件。由于空间力系各力作用线分布在空间，因而使问题复杂化。出现了力在坐标轴上的二次投影法、力对轴的矩以及用向量表示力对点的矩和力偶矩等新问题，简化的结果和平衡方程也复杂了。DXDiTa9E3d
2、各类力系的平衡方程
各类力系的独立的平衡方程的数目不变。但是平衡方程的形式可以改变。上表列出的是一般用形式。
解题指导
对于解力在直角坐标轴上投影或力沿直角坐标轴分解这类问题，重要的是确定力在空间的位置。一般解题的思路如下：RTCrpUDGiT
认清题意，仔细查看结构<或机构）的立体图，它由哪些部
件组成，各部件在空间的位置，以及它们和坐标轴的关系。
5PCzVD7HxA
认清力的作用线在结构<或机构）的哪个平面内，寻找它与
坐标面的交角，然后找力与坐标平面的夹角及力与坐标轴的
夹角。jLBHrnAILg
（3）考虑用一次投影或二次投影的方法求解。
2、计算力对轴之矩，一般令矩轴位于一个坐标面内，寻找与矩轴垂直
的平面，然后按题意选择以下两种方法：
将力投影到垂直于轴的平面上，然后按平面上力对点的矩计
算。怎样将力投影到平面上呢？可先由力的作用点向平面作
垂线，再寻找力和垂线所在平面与该平面的交线，然后将力
向交线投影。xHAQX74J0X
将力沿直角坐标轴分解，然后根据合力之矩定理计算。怎样
选择分解方向呢？一般让两个分力在与矩轴垂直的平面内，
一个分力平行于矩轴。LDAYtRyKfE
3、空间力系的解题技巧有以下两点：
平衡力系在任意轴上的投影等于零，在选择三个投影轴时，
可不相交，可不相互垂直，但三轴不能共面，任意二轴也不
能平行。如果所选投影轴垂直于未知力或它所在的平面，则
可减少平衡方程中未知力的数量，便于求解方程。
Zzz6ZB2Ltk
平衡力系对任意轴的力矩都必须等于零，在选择三个力矩轴
时，可不相交。可不相互垂直。另外，用力矩方程也能保证
合力为零，可用力矩方程代替投影方程。因此，空间力系的
平衡方程可以有四矩式、五矩式、六矩式。如果所选取的矩
轴与未知力平行或通过几个未知力<或力的作用线）的交
点，则可使平衡方程中的未知力的数量减少，便于求解方
程。dvzfvkwMI1
四、典型例题解读
例题4. 1 空间平行力系简化的结果是什么？可能合成为力螺旋吗？
解答：空间平行力系简化的中间结果仍为一主矢和主矩<主矢与主矩垂直），简化的最后结果可为一合力、合力偶或平衡，唯独不可能是力螺旋。因主矢与主矩相垂直。rqyn14ZNXI
例题4. 2 <1）空间力系中各力的作用线平行于某一固定平面；<2）空间力系中各力的作用线分别汇交于两个固定点。试分析这两种力系各有几个平衡方程？EmxvxOtOco
解答：<1）空间力系中各力的作用线平行于某一固定平面，取某轴垂直于此固定平面，则各力在此轴的投影均为零，此方程失去使用价值，所以此力系的平衡方程个数等于或小于五个。<2）空间力系中各力的作用线分别汇交于两个固定点，过这两点做一轴，此力系各力对此轴的力矩均为零，此方程失去求解价值，所以此力系的平衡方程个数等于或小于五个。SixE2yXPq5
例题4. 3 传动轴用两个止推轴承支持，每个轴承有三个未知力，共6个未知量。而空间任意力系的平衡方程恰好有6个，是否为静定问题？6ewMyirQFL
解答：此问题为静不定问题，因为六个轴承约束反力对此轴的力矩均为零，此力系的独立方程为五个。
例题4. 4 空间任意力系向两个不同点简化，试问下述情况是否可能：<1）主矢相等，主矩也相等；<2）主矢不相等，主矩相等；<3）主矢相等，主矩不相等；<4）主矢、主矩都不相等。kavU42VRUs
解答：空间任意力系的主矢与简化中心无关，所以若向不同的点简化，主矢不相等是不可能的，因此<2）、<4）两种情况是不可能的。空间任意力系的主矩一般与简化中心有关，所以<3）是可能的。<1）主矢相等、主矩也相等也是可能的<两点均在主矢作用线上）。y6v3ALoS89
例题4. 5 一均质等截面直杆的重心在哪里？若把它弯成半圆形，重心的位置是否改变？
解答：在几何形心上<杆长一半处），若把它弯成半圆形，重心的位置改变。
例题4.6 当物体质量分布不均匀时，重心和几何中心还重合吗？为什么？
解答：一般不重合。因为几何中心只与物体的几何形状有关，而物体的重心与物体的质量分布有关，这是两个不同的概念与不同的度量。M2ub6vSTnP 例题4. 7 计算一物体重心的位置时，如果选取的坐标系不同，重心的坐标是否改变？重心在物体内的位置是否改变？0YujCfmUCw 解答：同一点在不同的坐标系里，其坐标是不同的，所以，计算物体的重心位置时，如果选取的坐标系不同，重心的坐标要改变。重心在物体内的位置不会因坐标系的选择不同而改变。eUts8ZQVRd 例题4. 8 已知 ，，，作用位置及尺寸如
下图所示；求 力系向点简化的结果。
解：力系主矢在轴上的投影为：
力系对点的主矩在轴上的投影为：
力系向点简化所得的力和力偶的各个分量如图所示。
例题4. 9已知小正方格的边长为，各力的大小及作用线位置如
解：该平行力系的合力为
1
设合力与平面的交点为，由合力矩定理有：
由，解出：
,
力系的合力如图中所示。
例题4. 10 已知处受力作用，板和杆的自重不计；求各杆的内力。
解：板的受力如图，由、以及，分别得，，
再由，
，
，，得
<压），，<压）
例题4. 11 下图所示均质矩形板重为和碟形铰
链<活页）固定在墙上，并用绳索维持在水平位置。已知
。试求绳索所受张力及、sQsAEJkW5T
解：分析矩形板的受力。由于蝶形铰水平放置，可认为它不能限制板沿轴的轴向位移，故；球铰处的约束力
。于是板所受未知力GMsIasNXkA
知力，需要灵活选用平衡方程，特别是力对轴之矩形式的平衡方程：
，
<1）TIrRGchYzg
⑦ P78 例题3-7
，，
<2），，
<3）
将式<2）代入式<3），得。进而有
，，
< 4），，
< 5）
，，
<6）
灵活选用平衡方程，往往可以避免求解联立方程。与考察二维刚体的平衡问题相似，最好采用力对轴之矩形式的平衡方程。因此，选择哪一根轴便很有考究。例如，为求可选为取矩轴，于是有
7EqZcWLZNX
，
显然，此式比式<3）简单。由计算结果可知，。这样，矩形板就可看成在平面内只受三力作用的系统，这时空间力系化为平面力系。当然，此三力应汇交于该平面内一点，如图所
示。lzq7IGf02E 例题4. 12 已知力偶与，曲杆自重不计；求使曲杆保持平衡
的力偶矩和支座、的反力。
解曲杆整体受力如图，由平衡方程
，
，
，
，
，
，
解得：
，
，
，
，
例题4. 13
已知等边三角形板的边长为，在板内作用一矩为的
力偶，板、杆的自重不计；求各杆的内力。
解：三角形板
受力如图，由 ， ， ，
，
解得：
<压），
<拉）
例题4. 14 已知均质杆、分别重为与，、、均为球铰，端靠在铅直光滑的墙上，，求 求球铰、的约束反力及点墙面的法向反力。 zvpgeqJ1hk 解：先研究
杆，受力图如图
所示，由
，
， 得
c
再取、两杆为一体来研究，受力如图
所示，由
，
，
，
，
，
，
解得：
，
，，，，
4. 15
已知工字钢截面尺寸如图所示；求此截面的几何中心。解：
，
，
，
由对称性，
，而
申明：
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2
3
第四章 空间力系 一、要求 1、能熟练地计算力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。 2、对空间力偶的性质及其作用效应要有清晰的理解。 3、了解空间力系向一点简化的方法和结果。 4、能应用平衡条件求解空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力 系的平衡问题。 5、能正确地画出各种常见空间约束的约束反力。 二、重点、难点 本章重点：力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系的平衡方程的应用。各种常见的空间约束及约束反力。b5E2RGbCAP 2、本章难点：空间矢量的运算，空间结构的几何关系与立体图。 三、学习指导 1、空间力系的基本问题及其研究方法 空间力系研究的基本问题仍然是静力学的三个基本问题，即：物体的受力分析、力系的等效替换和力系的平衡条件。空间力系是力系中最普遍的情形，其它各种力系都是它的特殊情形。按由浅入深、由特殊到一般的认识规律研究空间力系，是从理论上对静力学作一个系统而完整的总结。p1EanqFDPw 与平面力系的研究方法相似，这里也采用力向一点平移的方法将空间任意力系分解为空间汇交力系和空间力偶系，再应用这两个力系
的合成方法来简化原力系，然后根据简化结果推导出平衡条件。由于空间力系各力作用线分布在空间，因而使问题复杂化。出现了力在坐标轴上的二次投影法、力对轴的矩以及用向量表示力对点的矩和力偶矩等新问题，简化的结果和平衡方程也复杂了。DXDiTa9E3d 2、各类力系的平衡方程 各类力系的独立的平衡方程的数目不变。但是平衡方程的形式可以改变。上表列出的是一般用形式。 解题指导
对于解力在直角坐标轴上投影或力沿直角坐标轴分解这类问题，重要的是确定力在空间的位置。一般解题的思路如下：RTCrpUDGiT 认清题意，仔细查看结构<或机构）的立体图，它由哪些部 件组成，各部件在空间的位置，以及它们和坐标轴的关系。 5PCzVD7HxA 认清力的作用线在结构<或机构）的哪个平面内，寻找它与 坐标面的交角，然后找力与坐标平面的夹角及力与坐标轴的 夹角。jLBHrnAILg （3）考虑用一次投影或二次投影的方法求解。 2、计算力对轴之矩，一般令矩轴位于一个坐标面内，寻找与矩轴垂直 的平面，然后按题意选择以下两种方法： 将力投影到垂直于轴的平面上，然后按平面上力对点的矩计 算。怎样将力投影到平面上呢？可先由力的作用点向平面作 垂线，再寻找力和垂线所在平面与该平面的交线，然后将力 向交线投影。xHAQX74J0X 将力沿直角坐标轴分解，然后根据合力之矩定理计算。怎样 选择分解方向呢？一般让两个分力在与矩轴垂直的平面内， 一个分力平行于矩轴。LDAYtRyKfE 3、空间力系的解题技巧有以下两点： 平衡力系在任意轴上的投影等于零，在选择三个投影轴时， 可不相交，可不相互垂直，但三轴不能共面，任意二轴也不 能平行。如果所选投影轴垂直于未知力或它所在的平面，则 可减少平衡方程中未知力的数量，便于求解方程。 Zzz6ZB2Ltk 平衡力系对任意轴的力矩都必须等于零，在选择三个力矩轴 时，可不相交。可不相互垂直。另外，用力矩方程也能保证 合力为零，可用力矩方程代替投影方程。因此，空间力系的 平衡方程可以有四矩式、五矩式、六矩式。如果所选取的矩
第4章平面一般力系 1、图示平面机构，正方形平板与直角弯杆ABC 在C 处铰接。平板在 板面内受矩为M=8N ·m 的力偶作用，若不计平板与弯杆的重量，则当系统平衡时，直角弯杆对板的约束反力大小为( C )。 A.2N B.4N C.2N D.4N 2、悬臂梁承受均匀分布载荷，支座A 处的反力有四种结果，正确的是( B )。 A.R A =ql, M A =0 B.R A =ql, M A =q l 2 C.R A =ql, M A =q l 2 D.R A =ql, M A =q l 2 3、图示平面结构，由两根自重不计的直角弯杆组成，C 为铰链。不计各接触处摩擦，若在D 处作用有水平向左的主动力，则支座 A 对系统的约束反力为（ C ）。 A.F ，方向水平向右 B.，方向铅垂向上 C.F ，方向由A 点指向C 点 D.F ，方向由A 点背离C 点 4、图示平面直角弯杆ABC ，AB=3m ，BC=4m ，受两个力偶作用，其力偶矩分别为M 1=300N ·m 、M 2=600N ·m ，转向如图所示。若不计杆重及各接触处摩擦，则A 、C 支座的约束反力的大小为（ D ）。 A.F A =300N ，F C =100N B.F A =300N ，F C =300N C.F A =100N ，F C =300N D.F A =100N ，F C =100N 2221 31 F 2F 22 22
5、力系向某点平移的结果，可以得到( D )。 A.一个主矢量 B.一个主矩 C.一个合力 D.一个主矢量和一个主矩 6、平面一般力系向一点O简化结果，得到一个主矢量R′和一个主矩m0，下列四种情况，属于平衡的应是( B )。 A.R′≠0 m0=0 B.R′=0 m0=0 C.R′≠0 m0≠0 D.R′=0 m0≠0 7、以下有关刚体的四种说法，正确的是( D )。 A.处于平衡的物体都可视为刚体 B.变形小的物体都可视为刚体 C.自由飞行的物体都可视为刚体 D.在外力作用下，大小和形状看作不变的物体是刚体 8、力的作用线都相互平行的平面力系称（D ）力系。 A.空间平行 B：空间一般 C：平面一般 D：平面平行 9、力的作用线既不汇交于一点，又不相互平行的力系称（B ）力系。A：空间汇交 B：空间一般 C：平面汇交 D：平面一般 10、平面力偶系合成的结果是一个（B ）。 A：合力 B：合力偶 C：主矩 D：主矢和主矩11、平面汇交力系合成的结果是一个（A ）。 A：合力 B：合力偶 C：主矩 D：主矢和主矩12、平面平行力系合成的结果是（D ）。 A：合力 B：合力偶 C：主矩 D：主矢和主矩 13、图示力F=2KN对Ａ点之矩为（A ）kN·m。 A：2 B：4 C：－2 D：－4
第四章 空间力系和重心 基本概念： 空间力系——作用于物体上各力的作用线不在同一平面内时，称为空间力 系。 ? ???????空间一般力系 空间汇交力系空间平作力系空间基本力系分类 §4-1 力在空间坐标轴上的投影 一．一次投影法 已知力F 与x 、y 、z 三个从标的正向夹角分别为γβα,,。 ?? ? ??===γβαcos cos cos F Z F Y F X F Z F Y F X ===γβαcos ,cos ,cos 二．二次投影法 先将F 投影到期xoy 平面内Fxy 。（Fxy 与x 夹角?）F 与Z 夹角γ。 ???? ???===γ ?γ?γcos sin sin cos sin F Z F Y F X F 可沿X ，Y ，Z 三轴分别为F x ，F y ，F z 。 §4-2 力对轴的矩 一．力对轴的矩：即此力在垂直于该轴的平面上的投影对轴与平面交点之矩。 表示力：()()d F F M F M S S O Z ?±=== 符号规定。
??? ? ?? ??????为负负向为正 正向轴的姆指力的转动方向四指右手螺旋法则M M :: 讨论：????? ?? ?????==. ,200:1面的交点的矩平面上的分力对轴和平的可以看成力在垂直于轴力时轴的矩平行相交当力与转轴共面时Z Z M M 二．合力矩定理 合力对任一轴的矩等于各分力对同一轴之矩的代教和， ()()Fi M R M Z Z ∑= 三．力对点之矩的矢量表示 1、矢量表达式()F r F M ?=0 2、判断表达式： ()Z Y X F F F z y x k j i F r F M ?=0 ()()()k yFx xFy j xFi zFx i zFy yFi -+-+-= 力矩在三个坐标轴上的投影 ()[]()()[]()()[]()??? ??=-==-==-=F m yF xF F M F m xF zF F M F m zF yF F M z x y z O y z x Y O x y z X O 即：力对点之矩在通过该点的任一轴上的投影等于该力对此轴之矩。 例4-1 （精讲） §4-3 空间系的平衡条件及其应用 一．空间力系向任一点消化结果 主矢： F R ∑=0 主矩： ()F M m 00∑= 用投影表示（常用） ??? ??∑=∑=∑=Z R Y R X R z y x 000 ??? ??∑=∑=∑=mz M my M mx M Z Y X 000 （三个坐标轴上的投影） （外力对轴之矩的代数和）
第四章 空间任意力系和重心 4-2．在边长为a 的正方体物体，沿对角线DA 方向作用一个 力F 。则该力对x 轴的力矩为。对z 轴的力矩为 0。对O 。 4-2水平圆盘的半径为r ，外缘C 处作用有已知力F 。力F 位于圆盘C 处的切平面内， 且与C 处圆盘切线夹角为60o ，其他尺寸如图所示。求力F 对x ，y ，z 轴之矩。 解：力F 的作用点C 的坐标为(,)2r r h 力F 沿三个坐标轴的投影为： 00cos60sin 60x F F F == 001 cos 60cos 604 y F F F =-=- 0sin 60z F F =-= 则有： 1()()(3)2244x z y F M yF zF r F h F h r =-= ?--?-=- ())2y x z r M zF xF h r h =-=-?=+ 1()242 z y x r Fr M xF yF F =-=?-=- x 图4-2
4-3 图示空间构架由三根无重直杆组成，在D 端用球铰链连接，如图所示。A ，B 和C 端则用球铰链固定在水平底板上。如果挂在D 端的物重P=10KN ，求铰链A ，B 和C 的 解：整体受力分析如图所示(空间汇交力系)： 0 x F =∑；00cos45cos450A B F F -= 0 y F =∑；00000sin 45cos30sin 45cos30cos150A B C F F F +-= 0 z F =∑；00000sin 45sin30sin 45sin30sin150A B C F F F P +--= 解得：26.39A B F F kN ==，33.46C F kN = 4-4 图示六杆支撑一水平板，在板角处受铅直力F 作用。设板和杆自重不计，求各杆的 内力。 解：所有杆件均为二力杆，假设所有杆件均受拉，水平板受力如图所示： 对3杆所在的轴取矩： 3 0M =∑；4340F d ?= 即得：40F =（1，5杆与3杆平行，6杆与3杆相交） 对1杆所在的轴取矩： 1 0M =∑；6614410F d F d ?+?= 即得：60F =（3，5杆与1杆平行） 图4-4