62 点线面位置关系 高中数学讲义微专题Word版

高一数学下册《点、线、面之间的位置关系》知识点整理课件www.5y 1.直线在平面内的判定利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内.若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，则ABα.过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内，即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，则aα.过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内，即若Pα，P∈β，β∥α，P∈a,a∥α，则aβ.如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内，即若a∥α,A∈α，A∈b,b∥a,则bα.2.存在性和唯一性定理过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条;过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条;过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个;与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条;过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个;过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个;过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个;过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.3.射影及有关性质点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点.直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.和射影面垂直的直线的射影是一个点;不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段;当图形所在平面不与射影面垂直时，射影仍是一个图形.射影的有关性质从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长;相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长;垂线段比任何一条斜线段都短.4.空间中的各种角等角定理及其推论定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角相等.异面直线所成的角定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点o，分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角叫做异面直线a和b所成的角.取值范围：0°<θ≤90°.求解方法①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ;②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.5.直线和平面所成的角定义和平面所成的角有三种：垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.垂线与平面所成的角直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角.取值范围0°≤θ≤90°求解方法①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ.②解含θ的三角形，求出其大小.③最小角定理斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角，亦可说，斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.6.二面角及二面角的平面角半平面直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.二面角条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°<θ≤180°二面角的平面角①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.如图，∠PcD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PcD 的大小与顶点c在棱AB上的位置无关.②二面角的平面角具有下列性质：二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB⊥平面PcD.从二面角的平面角的一边上任意一点作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边上.二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PcD⊥α，平面PcD⊥β.③找二面角的平面角的主要方法.定义法垂面法三垂线法根据特殊图形的性质求二面角大小的常见方法①先找出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值.②利用面积射影定理S′=S·cosα其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小.③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.7.空间的各种距离点到平面的距离定义面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.求点面距离常用的方法：1)直接利用定义求①找到表示距离的线段;②抓住线段所在三角形解之.2)利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.3)体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥;②求出此三棱锥的体积V和所取三点构成三角形的面积S;③由V=S·h，求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.4)转化法将点到平面的距离转化为直线与平面的距离来求.8.直线和平面的距离定义一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离.求线面距离常用的方法①直接利用定义求证某线段为距离，然后通过解三角形计算之.②将线面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之.③作辅助垂直平面，把求线面距离转化为求点线距离.9.平行平面的距离定义个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.求平行平面距离常用的方法①直接利用定义求证某线段为距离，然后通过解三角形计算之.②把面面平行距离转化为线面平行距离，再转化为线线平行距离，最后转化为点线距离，通过解三角形或体积法求解之.10.异面直线的距离定义条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段.求两条异面直线的距离常用的方法①定义法题目所给的条件，找出两条异面直线的公垂线段，再根据有关定理、性质求出公垂线段的长.此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形.②转化法为以下两种形式：线面距离面面距离③等体积法④最值法⑤射影法⑥公式法课件www.5y。

§2.1.1 平面学习目标1. 了解平面的描述性概念；2. 掌握平面的表示方法和基本画法；3. 掌握平面的基本性质；4. 能正确地用数学语言表示点、直线、平面以及它们之间的关系.学习过程一、课前准备（预习教材P40~ P43，找出疑惑之处）引入：平面是构成空间几何体的基本要素.那么什么是平面呢?平面如何表示呢?平面又有哪些性质呢?二、新课导学※探索新知探究1：平面的概念与表示问题：生活中哪些物体给人以平面形象？你觉得平面可以拉伸吗？平面有厚薄之分吗？新知1：平面(plane)是平的；平面是可以无限延展的；平面没有厚薄之分.问题：通常我们用一条线段表示直线，那你认为用什么图形表示平面比较合适呢？新知2：如上图，通常用平行四边形来表示平面.平面可以用希腊字母,,αβγ来表示，也可以用平行四边形的四个顶点来表示，还可以简单的用对角线的端点字母表示.如平面α,平面ABCD,平面AC等.规定：①画平行四边形，锐角画成45°，横边长等于其邻边长的2倍；②两个平面相交时，画出交线，被遮挡部分用虚线画出来；③用希腊字母表示平面时，字母标注在锐角内.问题：点动成线、线动成面.联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系怎么表示？直线和平面呢?新知3：⑴点A 在平面α内，记作A α∈；点A 在平面α外，记作A α∉.⑵点P 在直线l 上，记作P l ∈，点P 在直线外，记作P l ∉.⑶直线l 上所有点都在平面α内,则直线l 在平面α内(平面α经过直线l ),记作l α⊂；否则直线就在平面外，记作l α⊄.探究2：平面的性质问题：直线l 与平面α有一个公共点P ,直线l 是否在平面α内?有两个公共点呢?新知4：公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.用集合符号表示为：,,A l B l ∈∈且,A B l ααα∈∈⇒⊂问题：两点确定一直线，两点能确定一个平面吗？任意三点能确定一个平面吗？新知5：公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 如上图,三点确定平面ABC .问题：把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于点B ?为什么?新知6：公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.如下图所示：平面α与平面β相交于直线l ，记作l αβ=.公理3用集合符号表示为,P a ∈且P β∈⇒l αβ=,且P l ∈※典型例题例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.例2 如图在正方体''''下列命题是否正确，并说明理由：⑴直线AC在平面ABCD内；⑵设上下底面中心为,O O'，则平面AA C C''与平面BB'D D'的交线为OO'；⑶点,,A O C'可以确定一平面；⑷平面AB C''与平面AC D'重合.※动手试试练用符号表示下列语句，并画出相应的图形：⑴点A在平面α内，但点B在平面α外；⑵直线a经过平面α外的一点M；⑶直线a既在平面α内，又在平面β内.三、总结提升※学习小结1. 平面的特征、画法、表示；2. 平面的基本性质(三个公理)；3. 用符号表示点、线、面的关系.※知识拓展平面的三个性质是公理(不需要证明,直接可以用),是用公理化方法证明命题的基础.O'O B'C'D'A'DCBA其中公理1可以用来判断直线或者点是否在平面内；公理2用来确定一个平面，判断两平面重合，或者证明点、线共面；公理3用来判断两个平面相交，证明点共线或者线共点的问题.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下面说法正确的是（）.①平面ABCD的面积为210cm②100个平面重合比50个平面重合厚③空间图形中虚线都是辅助线④平面不一定用平行四边形表示.A.①B.②C.③D.④2. 下列结论正确的是（）.①经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面②经过两条相交直线，可以确定一个平面③经过两条平行直线，可以确定一个平面④经过空间任意三点可以确定一个平面A.1个B.2个C.3个D.4个3.A.在直线DB上B.在直线AB上C.在直线CB上D.都不对4. 直线12,l l相交于点P，并且分别与平面 相交于点,A B两点，用符号表示为____________________.5. 两个平面不重合，在一个面内取4点，另一个面内取3点，这些点最多能够确定平面_______个.1. 画出满足下列条件的图形：⑴三个平面：一个水平，一个竖直，一个倾斜；⑵ ,,,l AB CD αβαβ=⊂⊂AB ∥l ，CD ∥l .2.如图在正方体中，A 是顶点，,B C 都是棱的中点，请作出经过,,A B C 三点的平面与正方体的截面.§2.1.2空间直线与直线之间的位置关系学习目标1. 正确理解异面直线的定义；2. 会判断空间两条直线的位置关系；3. 掌握平行公理及空间等角定理的内容和应用；4. 会求异面直线所成角的大小.学习过程一、课前准备（预习教材P 44~ P 47，找出疑惑之处） 复习1：平面的特点是______、 _______ 、_______.复习2：平面性质(三公理) 公理1___________________________________； 公理2___________________________________；公理3___________________________________.二、新课导学 ※ 探索新知探究1：异面直线及直线间的位置关系 问题：平面内两条直线要么平行要么相交（重合不考虑）,空间两条直线呢?观察：如图在长方体中，直线A B '与CC '的位置关系如何？结论：直线A B '与CC '既不相交，也不平行.新知1：像直线A B '与CC '这样不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线(skew lines).试试：请在上图的长方体中，再找出3对异面直线.问题：作图时，怎样才能表示两条直线是异面的？新知2：异面直线的画法有如下几种(,a b 异面)：试试：请你归纳出空间直线的位置关系.探究2：平行公理及空间等角定理问题：平面内若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行，空间是否有类似规律?观察：如图2-1,在长方体中，直线C D ''∥A B ''，AB ∥A B ''，那么直线AB 与C D ''平行吗?图2-1新知3: 公理4 (平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行.问题：平面上,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或者互补，空间是否有类似结论?观察：在图2-1中,ADC ∠与A D C '''∠,ADC ∠与A B C '''∠的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何?baαbaα βαab新知4: 定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.探究3：异面直线所成的角问题：平面内两条直线的夹角是如何定义的?想一想异面直线所成的角该怎么定义?图2-2新知5: 如图2-2,已知两条异面直线,a b，经过空间任一点O作直线a'∥a,b'∥b，把a'与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线,a b 所成的角(夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作a b⊥.反思：思考下列问题.⑴作异面直线夹角时，夹角的大小与点O的位置有关吗?点O的位置怎样取才比较简便?⑵异面直线所成的角的范围是多少?⑶两条互相垂直的直线一定在同一平面上吗?⑷异面直线的夹角是通过什么样的方法作出来的?它体现了什么样的数学思想?※典型例题例1 如图2-3,,,,E F G H分别为空间四边形ABCD各边,,,AB BC CD DA的中点，若对角线2,BD=4AC=，则22EG HF+的值为多少?(性质：平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和).图2-3例2 如图2-4，在正方体中，求下列异面直线所成的角.⑴BA'和CC'⑵B D''和C A'图2-4※动手试试练正方体ABCD A B C D''''-的棱长为a，求异面直线AC与A D''所成的角.三、总结提升※学习小结1. 异面直线的定义、夹角的定义及求法；2. 空间直线的位置关系；3. 平行公理及空间等角定理.※知识拓展异面直线的判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.如图，,,,a A B B aααα⊂∉∈∉，则直线AB与直线α是异面直线.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. ,,a b c为三条直线，如果,a cb c⊥⊥，则,a b 的位置关系必定是（）.A.相交B.平行C.异面D.以上答案都不对2. 已知,a b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b（）.A.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线 3. 已知l αβ=,,a b αβ⊂⊂，且,a b 是异面直线，那么直线l （ ）. A.至多与,a b 中的一条相交B.至少与,a b 中的一条相交C.与,a b 都相交D.至少与,a b 中的一条平行4. 正方体ABCD A B C D ''''-的十二条棱中，与直线AC '是异面直线关系的有___________条.5.长方体1111ABCD A B C D -中,3AB =,2,BC =1AA=1，异面直线AC 与11A D 所成角的余弦值是______.课后作业1. 已知,E E '是正方体AC '棱AD ，A D ''的中点，求证：CEB C E B '''∠=∠.2. 如图2-5，在三棱锥P ABC -中，PA BC ⊥，E 、F 分别是PC 和AB 上的点，且32PE AF EC FB ==，设EF 与PA 、BC 所成的角分别为,αβ， 求证：90αβ+=°.图2-5§2.1.3空间直线与平面之间的位置关系§2.1.4平面与平面之间的位置关系学习目标1. 掌握直线与平面之间的位置关系，理解直线在平面外的概念,会判断直线与平面的位置关系；2. 掌握两平面之间的位置关系，会画相交平面的图形.学习过程一、课前准备（预习教材P48~ P50，找出疑惑之处）复习1：空间任意两条直线的位置关系有_______、_______、_______三种.复习2：异面直线是指________________________的两条直线,它们的夹角可以通过______________ 的方式作出,其范围是___________.复习3：平行公理：__________________________________________；空间等角定理：__________________________________________________ _____.二、新课导学※探索新知探究1：空间直线与平面的位置关系问题：用铅笔表示一条直线，作业本表示一个平面，你试着比画，它们之间有几种位置关系?观察：如图3-1,直线A B 与长方体的六个面有几种位置关系?图3-1新知1：直线与平面位置关系只有三种：⑴直线在平面内——⑵直线与平面相交——⑶直线与平面平行——其中，⑵、⑶两种情况统称为直线在平面外.反思：⑴从交点个数方面来分析，上述三种关系对应的交点有多少个？请把结果写在新知1的——符号后面⑵请你试着把上述三种关系用图形表示出来，并想想用符号语言该怎么描述.探究2：平面与平面的位置关系问题：平面与平面的位置关系有几种？你试着拿两个作业本比画比画.观察：还是在长方体中，如图3-2，你看看它的六个面两两之间的位置关系有几种?图3-2新知2：两个平面的位置关系只有两种：⑴两个平面平行——没有公共点⑵两个平面相交——有一条公共直线试试：请你试着把平面的两种关系用图形以及符号语言表示出来.※典型例题例1 下列命题中正确的个数是（）①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l ∥α.②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行.③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.A.0B.1C.2D.3例 2 已知平面,αβ，直线,a b，且α∥β,aα⊂，bβ⊂，则直线a与直线b具有怎样的位置关系?※动手试试练 1. 若直线a不平行于平面α，且aα⊄，则下列结论成立的是（）A.α内的所有直线与a异面B.α内不存在与a平行的直线C.α内存在唯一的直线与a平行D.α内的直线与a都相交.练2. 已知,,a b c为三条不重合的直线，,,αβγ为三个不重合的平面：①a∥c,b∥c⇒a∥b；②a∥γ,b∥γ⇒a∥b；③a∥c,c∥α⇒a∥α；④a∥γ,a∥αα⇒∥γ；⑤aα⊄,bα⊂,a∥b⇒a∥α.其中正确的命题是（）A.①⑤B.①②C.②④D.③⑤三、总结提升※学习小结1. 直线与平面、平面与平面的位置关系；2. 位置关系用图形语言、符号语言如何表示；3. 长方体作为模型研究空间问题的重要性.※知识拓展求类似确定空间的部分、平面的个数、交线的条数、交点的个数问题,都应对相应的点、线、面的位置关系进行分类讨论，做到不重不漏.分类讨论是数学中常用的重要数学思想方法，可以使问题化难为易、化繁为简.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 直线l在平面α外，则（）.A.l∥αB.l与α至少有一个公共点C.l Aα= D.l与α至多有一个公共点2. 已知a∥α，bα⊂，则（）.A.a∥bB.a和b相交C.a和b异面D.a与b平行或异面3. 四棱柱的的六个面中，平行平面有（）.A.1对B.1对或2对C.1对或2对或3对D.0对或1对或2对或3对4. 过直线外一点与这条直线平行的直线有____条；过直线外一点与这条直线平行的平面有____个.5. 若在两个平面内各有一条直线，且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是______.1. 已知直线,a b及平面α满足: a∥α,b∥α,则直线,a b的位置关系如何?画图表示.2. 两个不重合的平面，可以将空间划为几个部分？三个呢？试画图加以说明.§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系（练习）1. 理解和掌握平面的性质定理，能合理运用；2. 掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；3. 会判断异面直线，掌握异面直线的求法；4. 会用图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系.一、课前准备（预习教材P40~ P50，找出疑惑之处）复习1：概念与性质⑴平面的特征和平面的性质(三个公理)；⑵平行公理、等角定理；⑶直线与直线的位置关系⎧⎪⎨⎪⎩平行相交异面⑷直线与平面的位置关系⎧⎪⎨⎪⎩在平面内相交平行⑸平面与平面的位置关系⎧⎨⎩平行相交复习2：异面直线夹角的求法：平移线段作角，解三角形求角.复习3：图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系⑴点与线、点与面的关系；⑵线与线、线与面的关系； ⑶面与面的关系.二、新课导学 ※ 典型例题例 1 如图4-1,ABC ∆在平面α外，AB P α=，BCQ α=，AC R α=，求证：P ,Q ,R 三点共线.图4-1小结：证明点共线的基本方法有两种 ⑴找出两个面的交线，证明若干点都是这两个平面的公共点，由公理3可推知这些点都在交线上，即证若干点共线.⑵选择其中两点确定一条直线，证明另外一些点也都在这条直线上.例2 如图4-2,空间四边形ABCD 中，E ,F 分别是AB 和CB 上的点，G ,H 分别是CD 和AD上的点，且EH FG 与相交于点K .求证：EH ,BD ,FG 三条直线相交于同一点.图4-2小结：证明三线共点的基本方法为：先确定待证的三线中的两条相交于一点,再证明此点是二直线所在平面的公共点，第三条直线是两个平面的交线，由公理3得证这三线共点.例 3 如图4-3,如果两条异面直线称作“一对”，那么在正方体的12条棱中，共有异面直线多少对?图4-3反思：分析清楚几何特点是避免重复计数的关键，计数问题必须避免盲目乱数，分类时要不重不漏.※动手试试练1. 如图4-4,是正方体的平面展开图,图4-4则在这个正方体中：①BM与ED平行②CN与BE是异面直线③CN与BM成60°角④DM与BN是异面直线其中正确命题的序号是（）A.①②③B.②④C.③④D.②③④练2. 如图4-5，在正方体中，E,F分别为AB、AA'的中点，求证：CE,D F',DA三线交于一点.图4-5练 3. 由一条直线和这条直线外不共线的三点,能确定平面的个数为多少?小结：分类讨论的数学思想三、总结提升※学习小结1. 平面及平面基本性质的应用；2. 点、线、面的位置关系；3. 异面直线的判定及夹角问题.※知识拓展异面直线的判定方法：①定义法：利用异面直线的定义，说明两直线不平行，也不相交，即不可能在同一个平面内.②定理法：利用异面直线的判定定理说明.③反证法(常用)：假设两条直线不异面，则它们一定共面，即这两条直线可能相交，也可能平行，然后根据题设条件推出矛盾.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 直线1l∥2l,在1l上取3个点，在2l上取2个点，由这5个点确定的平面个数为（）.A.1个B.3个C.6个D.9个2. 下列推理错误的是（）.A.A l∈,Aα∈,B l∈,Bα∈lα⇒⊂B.Aα∈,Aβ∈,Bα∈,Bβ∈ABαβ⇒=C.lα⊄,A l Aα∈⇒∉D.A,B,Cα∈, A,B,Cβ∈,且A,B,C 不共线αβ⇒与重合3. a,b是异面直线,b,c是异面直线，则a,c的位置关系是（）.A.相交、平行或异面B.相交或平行C.异面D.平行或异面4. 若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则它与另一平面____________.5. 垂直于同一条直线的两条直线位置关系是__________________；两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，则另一条和这条直线______.课后作业1. 如图4-6,在正方体中M ,N 分别是AB 和DD '的中点，求异面直线B M '与CN 所成的角.图4-62. 如图4-7,已知不共面的直线a ,b ,c 相交于O 点，M ,P 点是直线α上两点，N ,Q 分别是直线b ,c 上一点.求证：MN 和PQ 是异面直线.图4-7§2.2.1 直线与平面平行的判定学习目标1. 通过生活中的实际情况，建立几何模型，了解直线与平面平行的背景；2. 理解和掌握直线与平面平行的判定定理，并会用其证明线面平行.学习过程一、课前准备（预习教材P 54~ P 55，找出疑惑之处）复习：直线与平面的位置关系有______________，_______________，_________________.讨论：直线和平面的位置关系中，平行是最重要的关系之一，那么如何判定直线和平面是平行的呢？根据定义好判断吗？二、新课导学※ 探索新知QPNMOcba探究1：直线与平面平行的背景分析实例1：如图5-1，一面墙上有一扇门，门扇的两边是平行的.当门扇绕着墙上的一边转动时，观察门扇转动的一边l与墙所在的平面位置关系如何？图5-1实例2：如图5-2，将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线l与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？图5-2结论：上述两个问题中的直线l与对应平面都是平行的.探究2：直线与平面平行的判定定理问题：探究1两个实例中的直线l为什么会和对应的平面平行呢？你能猜想出什么结论吗？能作图把这一结论表示出来吗？新知：直线与平面平行的判定定理定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 如图5-3所示，a∥ .图5-3反思：思考下列问题⑴用符号语言如何表示上述定理；⑵上述定理的实质是什么？它体现了什么数学思想？⑶如果要证明这个定理，该如何证明呢？※典型例题例 1 有一块木料如图5-4所示，P为平面BCEF内一点，要求过点P在平面BCEF内作一条直线与平面ABCD平行，应该如何画线？图5-4例2 如图5-5，空间四边形ABCD中，,E F分别是,AB AD的中点，求证：EF∥平面BCD.图5-5※动手试试练1. 正方形ABCD与正方形ABEF交于AB，M和N分别为AC和BF上的点，且AM FN=，如图5-6所示.求证：MN∥平面BEC.图5-6练2. 已知ABC∆,,D E分别为,AC AB的中点，沿DE将ADE∆折起，使A到A'的位置，设M 是A B'的中点，求证：ME∥平面A CD'.三、总结提升NMFEDCBA※学习小结1. 直线与平面平行判定定理及其应用,其核心是线线平行⇒线面平行；2. 转化思想的运用：空间问题转化为平面问题.※知识拓展判定直线与平面平行通常有三种方法：⑴利用定义：证明直线与平面没有公共点.但直接证明是困难的，往往借助于反正法来证明.⑵利用判定定理，其关键是证明线线平行.证明线线平行可利用平行公理、中位线、比例线段等等.⑶利用平面与平面平行的性质.(后面将会学习到)※自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 若直线与平面平行，则这条直线与这个平面内的（）.A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.任意一条直线都不相交D.无数条直线不相交2. 下列结论正确的是（）.A.平行于同一平面的两直线平行B.直线l与平面α不相交，则l∥平面αC.,A B是平面α外两点，,C D是平面α内两点，若AC BD=，则AB∥平面αD.同时与两条异面直线平行的平面有无数个3. 如果AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是（ ）.A.平行B.相交C.AC 在此平面内D.平行或相交4. 在正方体1111ABCD A B C D -的六个面和六个对角面中，与棱AB 平行的面有________个.5. 若直线,a b 相交，且a ∥α，则b 与平面α的位置关系是_____________.课后作业1. 如图5-7，在正方体中，E 为1DD 的中点，判断1BD 与平面AEC 的位置关系，并说明理由.图5-72. 如图5-8，在空间四边形ABCD 中，P 、Q 分别是ABC ∆和BCD ∆的重心.求证：PQ ∥平面ACD .图5-8§2.2. 2 平面与平面平行的判定学习目标1. 能借助于长方体模型讨论直线与平面、平面与平面的平行问题； 2. 理解和掌握两个平面平行的判定定理及其运用；3. 进一步体会转化的数学思想.学习过程一、课前准备（预习教材P 56~ P 57，找出疑惑之处） 复习1：直线与平面平行的判定定理是______________________________________________________.复习2：两个平面的位置关系有___种，分别为_______和_______.讨论：两个平面平行的定义是两个平面没有公共点,怎样证明两个平面没有公共点呢?你觉得好证吗?二、新课导学※探索新知探究：两个平面平行的判定定理问题1：平面可以看作是由直线构成的.若一平面内的所有直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行吗？由此你可以得到什么结论？结论：两个平面平行的问题可以转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题.问题2：一个平面内所有直线都平行于另外一个平面好证明吗？能否只证明一个平面内若干条直线和另外一个平面平行，那么这两个平面就平行呢？试试：在长方体中，回答下列问题⑴如图6-1，AA AA B B'''⊂面,AA'∥面BB C C''，则面AA B B''∥面BB C C''吗？图6-1⑵如图6-2，AA'∥EF，AA'∥DCC D''面，EF ∥DCC D''面，则A ADD''面∥DCC D''面吗？图6-2⑶如图6-3，直线A C''和B D''相交，且A C''、B D''都和平面ABCD平行(为什么)，则平面A BC D''''∥平面ABCD吗？图6-3反思：由以上3个问题，你得到了什么结论？新知：两个平面平行的判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.如图6-4所示，α∥β.图6-4反思：⑴定理的实质是什么?⑵用符号语言把定理表示出来.⑶如果要证明定理，该怎么证明呢？※典型例题例1 已知正方体1111ABCD A B C D-，如图6-5，求证：平面11AB D∥1CB D.图6-5例2 如图6-6，已知,a b是两条异面直线，平面α过a，与b平行，平面β过b，与a平行，求证：平面α∥平面β图6-6βαba小结：证明面面平行，只需证明线线平行，而且这两条直线必须是相交直线.※ 动手试试练. 如图6-7，正方体中，,,,M N E F 分别是棱A B ''，A D ''，BC ''，CD ''的中点，求证：平面AMN∥平面EFDB .图6-7三、总结提升 ※ 学习小结1. 平面与平面平行的判定定理及应用；2. 转化思想的运用.※ 知识拓展判定平面与平面平行通常有5种方法⑴根据两平面平行的定义(常用反证法)；⑵根据两平面平行的判定定理；⑶垂直于同一条直线的两个平面平行(以后学习)；⑷两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(平行的传递性)； ⑸一个平面内的两条相交直线分别平行于另外一个平面内的两条直线，则这两个平面平行(判定定理的推论).※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 平面α与平面β平行的条件可以是（ ）.A.α内有无穷多条直线都与β平行B.直线a与,αβ都平行，且不在α和β内C.直线aα⊂,直线bβ⊂,且a∥β,b∥αD.α内的任何直线都与β平行2. 经过平面α外的一条直线a且与平面α平行的平面（）.A.有且只有一个B.不存在C.至多有一个D.至少有一个3. 设有不同的直线,a b，及不同的平面α、β，给出的三个命题中正确命题的个数是（）.①若a∥α,b∥α,则a∥b②若a∥α,α∥β,则a∥β③若,aαα⊂∥β,则a∥β.A.0个B.1个C.2个D.3个4. 如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，则这两个平面的位置关系是________________.5. 若两个平面都平行于两条异面直线中的每一条,则这两平面的位置关系是_______________.课后作业1.如图6-8，在几何体ABC A B C'''-中，1∠+ 2180∠=°,34180∠+∠=°,求证：平面ABC ∥平面A B C'''.图6-82. 如图6-9，A'、B'、C'分别是PBC∆、PCA∆、PAB∆的重心.求证：面A B C'''∥ABC面.图6-9§2.2.3 直线与平面平行的性质学习目标1. 掌握直线和平面平行的性质定理；2. 能灵活运用线面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”平行的转化.学习过程一、课前准备（预习教材P58~ P60，找出疑惑之处）复习1：两个平面平行的判定定理是_________________________________________________；它的实质是由__________平行推出__________平行.复习2：直线与平面平行的判定定理是________________________________________________.讨论：如果直线a与平面α平行，那么a和平面α内的直线具有什么样的关系呢？二、新课导学※探索新知探究：直线与平面平行的性质定理问题1：如图7-1，直线a与平面α平行.请在图中的平面α内画出一条和直线a平行的直线b.图7-1问题2：我们知道两条平行线可以确定一个平面(为什么?)，请在图7-1中把直线,a b确定的平面画出来，并且表示为β.问题3：在你画出的图中，平面β是经过直线,a b的平面，显然它和平面α是相交的，并且直线b是这两个平面的交线，而直线a和b 又是平行的.因此，你能得到什么结论?请把它用符号语言写在下面.问题4：在图7-2中过直线a再画另外一个平。

点线面的位置关系（１）四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ⇒ ∈且。

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面② 经过两条相交直线,有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线,有且只有一个平面 它给出了确定一个平面的依据。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线(两个平面的交线)。

符号语言:,,P P l P l αβαβ∈∈⇒=∈且。

公理4:（平行线的传递性)平行与同一直线的两条直线互相平行。

符号语言：//,////a l b l a b ⇒且。

(2)空间中直线与直线之间的位置关系1.概念 异面直线及夹角:把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

已知两条异面直线,a b ,经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的角(或直角)叫异面直线,a b 所成的夹角。

（易知：夹角范围090θ<≤︒）公理4：(平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。

符号语言://,////a l b l a b ⇒且。

定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。

(注意:会画两个角互补的图形)2.位置关系：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点;异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（3）空间中直线与平面之间的位置关系直线与平面的位置关系有三种://l l A l ααα⊂⎧⎪=⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内（）有无数个公共点直线与平面相交（）有且只有一个公共点直线在平面外直线与平面平行（）没有公共点（４）空间中平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系有两种：//l αβαβ⎧⎨=⎩两个平面平行（）没有公共点两个平面相交（）有一条公共直线考点1:点，线，面之间的位置关系例１.(20１4辽宁,4,5分)已知m,n 表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( )Ａ.若m ∥α，n ∥α,则m ∥nB.若m ⊥α,n ⊂α，则m ⊥n C.若m ⊥α，m ⊥n ，则ｎ∥αD.若m ∥α,m ⊥n ，则n ⊥α [答案] 1.B[解析] １.A 选项m 、ｎ也可以相交或异面,C 选项也可以n ⊂α,D 选项也可以n ∥α或n 与α斜交．根据线面垂直的性质可知选B.例2.(20１４山东青岛高三第一次模拟考试, ５) 设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面,则下列命题正确的是（ )Ａ.若则 B.若则C ．若则 D.若则[答案] 2. D[解析] 2.A 选项不正确,因为是可能的;ﻫＢ选项不正确，因为,时,,都是可能的；C选项不正确，因为,时，可能有；D选项正确,可由面面垂直的判定定理证明其是正确的.ﻫ故选D例3. (２０１4广西桂林中学高三２月月考,4) 设、是两条不同的直线,、是两个不同的平面.下列命题中正确的是（ )(A) (B)（C) （D)[答案] 3. D[解析] 3．若，则平面与垂直或相交或平行，故（A) 错误；若,则直线与相交或平行或异面，故（B) 错误;若，则直线与平面垂直或相交或平行，故(C) 错误; 若,则直线，故（D）正确. 选D．例４.(2014周宁、政和一中第四次联考,7）设表示不同的直线，表示不同的平面,给出下列四个命题：①若∥，且则；②若∥,且∥. 则∥;③若,则∥∥;④若且∥，则∥.其中正确命题的个数是 （ )A ．1 Ｂ．2 C.3 D ．4 [答案] 4． B[解析] 4. ①正确；②直线或，错误;③错误，因为正方体有公共端点的三条棱两两垂直；④正确. 故真正确的是①④，共2个.2. 空间几何平行关系转化关系:直线、平面平行的判定及其性质归纳总结1. 证明线线平行的方法：定理 定理内容 符号表示分析解决问题的常用方法 直线与平面平行的判定平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒且在已知平面内“找出”一条直线与已知直线平行就可以判定直线与平面平行。

高中数学-点线面位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.11平面含义：平面是无限延展的 2平面的画法及表示(1) 平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45°，且横边画成邻边的2倍长(如 图)(2) 平面通常用希腊字母a 、B 、丫等表示，如平面a 、平面B 等，也可以用表示平面的平行四边形的 四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 平面ABCD 等。

3 三个公理：(1) 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为A € LB € L l=> L A €a B €a -公理1作用：判断直线是否在平面内(2) 公理2 :过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A 、B 、C 三点不共线=> 有且只有一个平面a, 使 A €a 、B €a 、C €a 。

公理2作用：确定一个平面的依据。

(3) 公理3 :如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有 符号表示为：P €aA3 => aA3 =L ,且P € L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 1空间的两条直线有如下三种关系：共面直线 r2公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设 a 、b 、c 是三条直线a //bc // b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4注意点：①a'与b'所成的角的大小只由 a 、b 的相互位置来确定，与 0的选择无关，为简便，点 0 —般取在两直线中的一条上；② 两条异面直线所成的角9€(0 , ;③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 a 丄b ;④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

课 题： 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系一、内容讲解知识点1 平面的概念: 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性 常见的桌面，黑板面都是平面的局部形象 指出: 平面的两个特征：①_薄厚一致___ ②_无限延伸_。

平面的表示：__1.在每个顶点处写大写字母____2.小写的希腊字母,,αβχ______________。

点的表示：大写字母 点A 点B线的表示：小写英文字母 线l,线a 线b平面的画法：在立体几何中，通常画成水平放置的平行四边形来表示平面;锐角画成45ο, 2倍长。

两个相交平面：画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画。

图形 符号语言 文字语言（读法）A a A ∈a 点A 在直线a 上A aA ∉a 点A 在直线a 外 Aα A ∈α 点A 在平面α上（内） A αA ∉α 点A 在平面α外 b a A a b A =I直线a,b 交于点A a αa α⊂线a 在面α内 aα a α⊄ 线a 在面α外a Aα a A α=I 直线a 交α于点Al αβ=I平面α交β于线l与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言。

知识点2 公理1 ：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内指出：（1）符号语言：____________________________________．（2）应用：这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面。

知识点3 公理2 ：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线指出：（1）符号语言：____________________________________（2）应用：确定两相交平面的交线位置；判定点在直线上 知识点4 公理3 ：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 指出：（1）符号语言：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.指出：推论1的符号语言：_____________________________-推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面指出：推论2的符号语言：____________________________________推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面指出：推论3的符号语言：________________________________三、典例解析例1 用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.例2 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C∩平面BDC 1=O ，AC 、BC 交于点M ，求证：点C 1、O 、M 共线．五、备选习题1. 画图表示下列由集合符号给出的关系：(1) A ∈α,B ∉α,A ∈l ,B ∈l ; (2) a ⊂α,b ⊂β,a ∥c ,b ∩c =P ,α∩β=c .2. 根据下列条件，画出图形.（1）平面α∩平面β=l ，直线AB ⊂α，AB ∥l ，E ∈AB ，直线EF∩β=F ，F ∉l ;（2）平面α∩平面β=a ，△ABC 的三个顶点满足条件:A ∈a ，B ∈α，B ∉a ，C ∈β，C ∉a .3. 画一个正方体ABCD —A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由.4. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为8 cm ，M 、N 、P 分别是AB 、A 1D 1、BB 1的中点，(1) 画出过M 、N 、P 三点的平面与平面A 1B 1C 1D 1的交线，以及与平面BB 1C 1C 的交线.(2) 设过M 、N 、P 三点的平面与B 1C 1交于点Q ，求PQ 的长.5.已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P 、Q 、R 三点，求证：P 、Q 、R 三点共线.6. 点A ∉平面BCD ，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点，若EH 与FG 交于P （这样的四边形ABCD 就叫做空间四边形）求证：P 在直线BD 上G H AC D E P空间点、线、面位置关系练习题1、下列命题：其中正确的个数为（ ）①若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α；②若直线a 在平面α外，则a ∥α； ③若a ∥b ，α⊂b ，那么直线a 平行于平面α内的无数条直线；A ．1B ．2C ．3D ．02、若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线（ ）A ．平行B ．异面C ．相交D ．平行或异面3、如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中判断下列位置关系：（1）AD 1所在直线与平面BCC 1的位置关系是 ；（2）平面A 1BC 1与平面ABCD 的位置关系是 ；4、如果直线l 在平面α外，那么直线l 与平面α（ ）A ．没有公共点B ．至多有一个公共点C ．至少有一个公共点D ．有且只有一个公共点5、以下四个命题：其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①③ ①三个平面最多可以把空间分成八部分；②若直线⊂a 平面α，直线⊂b 平面β，则“a 与b 相交”等价于“α与β相交”；③若l =⋂βα，直线⊂a 平面α，直线⊂b 平面β，且P b a =⋂，则l P ∈；④若n 条直线中任意两条共面，则它们共面，6、若一条直线上有两点到一个平面的距离相等，那么这条直线和这个平面的位置关系是（ ）A ．在平面内B ．相交C ．平行D ．以上均有可能7、若直线m 不平行于平面α，且α⊄m ，则下列结论中正确的是（ ）A ．α内的所有直线与m 异面B ．α内不存在与m 平行的直线C ．α内存在唯一一条直线与m 平行D ．α内的直线与m 都相交8、在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的六个表面与六个对角面（面AA 1C 1C ，面BB 1D 1D ，面ABC 1D 1，面ADC 1B 1，面A 1BCD 1及面A 1B 1CD ）所在平面中，与棱AA 1平行的平面共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个9、两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上均有可能10、下列命题：其中正确的个数是（ ）A ．0 B ．1 C ．2 D ．3①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线异面；③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面，11、下列命题中正确的个数是（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．4①四边相等的四边形是菱形；②若四边形有两个对角都是直角，则这个四边形是圆内接四边形； ③“直线不在平面内”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”；④若两平面有一条公共直线，则这两个平面的所有公共点都在这条公共直线上；12、若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点，则（ ）A ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行B ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直C ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交D ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面13、与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是14、经过平面外两点可作这个平面的平行平面的个数是15、设有不同的直线a ，b 和不同的平面γβα,,，给出下列三个命题：其中正确命题的序号是 ①若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；②若a ∥α，a ∥β，则α∥β；③若α∥β，β∥γ，则α∥γ。

高中数学-点线面位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为A ∈LB ∈L => L ∈ α A ∈α B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。

2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。