( 人教A版)高中数学选修2-2：1.11.1.3导数的几何意义课件 (共35张PPT)

fx0＋Δx－fx0 Δx
＝liΔmx→0
－x0＋1Δx2＋x120 Δx
－x20＋x0＋Δx2
＝liΔmx→0
x20x0＋Δx2 Δx
＝liΔmx→0 x202xx00＋＋ΔΔxx2＝x230. ∵切线方程为 2x＋y＋3＝0，
∴切线斜率为－2.
∴x230＝－2.∴x0＝－1.
∴f(x0)＝f(－1)＝－1. ∴切点 P 为(－1，－1)．
＝liΔmx→0 (2＋Δx)＝2，
∴曲线 f(x)在(1,2)点处的切线 l1 的方程为 y－2＝2(x－1)，即 y＝2x. 令 y＝0，得 x＝0，即切线与 x 轴交于(0,0)．
又∵g′(1)＝liΔmx→0
g1＋Δx－g1 Δx
＝liΔmx→0
1＋Δx3＋1＋Δx－13＋1 Δx
＝liΔmx→0
1．求曲线 y＝1x在点12，2处的切线的斜率，并写出切线方程．
解析：因为 y′＝liΔmx→0
ΔΔxy＝liΔmx→0
x＋1Δx－1x Δx
＝liΔmx→0 x2＋－x1Δx＝－x12，
所以切线的斜率 k＝y′|x＝12＝－4.
所以切线方程为 y－2＝－4(x－12)，
即 4x＋y－4＝0.
探究二 求切点的坐标
线 PPn 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 PT 称为点 P 处的切线．显然割线 PPn fxn－fx0
的斜率 kn＝____x_n_－__x_0___.当点 Pn 无限趋近于点 P 时，kn 无限趋近于切线 PT 的斜率．
2．几何意义：函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数的几何意义是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，
3.根据导数的几何意义，会求曲 2.通过函数的图象理解导数的几何意义.
线上某点处的切线方程.
3.在某点处与过某点的切线方程的区别和求法.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
一、导数的几何意义
[自主梳理]
1．切线：如图，当点 Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)沿着曲线 f(x)趋近于点 P(x0，f(x0))时，割
3．求曲线 f(x)＝x2＋1 和 g(x)＝x3＋x 在其交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形 x3－x2＋x－1＝0，
即(x－1)(x2＋1)＝0，∴x＝1，∴交点为(1,2)．
∵f′(1)＝liΔmx→0
f1＋Δx－f1 Δx
＝liΔmx→0
1＋Δx2＋1－12＋1 Δx
4Δx＋3Δx2＋Δx3 Δx
＝liΔmx→0 (4＋3Δx＋(Δx)2)＝4，
∴曲线 g(x)在点(1,2)处的切线 l2 的方程为
y－2＝4(x－1)，即 y＝4x－2. 令 y＝0，得 x＝12，即切线与 x 轴交于12，0， ∴两条切线与 x 轴围成的三角形面积为 S＝12×12×2＝12.
A．不存在
B．与 x 轴平行或重合
C．与 x 轴垂直
D．与 x 轴斜交
解析：由导数的几何意义知，曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为 0，故 选 B.
答案：B
2．如果曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为 x＋2y－3＝0，那么( )
A．f′(x0)＞0
B．f′(x0)＜0
＝liΔmx→0 x2＋xΔx＋13Δx2 ＝x2，
∴y′|x＝2＝22＝4.
∴点 P 处切线的斜率为 4. (2)∵由(1)知点 P 处切线的斜率为 4，且点 P 的坐标为2，83， ∴在点 P 处的切线方程是 y－83＝4(x－2)，即 12x－3y－16＝0.
求曲线上一点处的切线方程的步骤： (1)求出该点的坐标． (2)求出函数在该点处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率． (3)利用点斜式写出切线方程．
[典例 2] (1)曲线 f(x)＝－x12在点 P 处的切线方程为 2x＋y＋3＝0，则点 P 的坐标为 ________． (2)曲线 f(x)＝2x2－x 在点 P 处的切线与直线 x＋y－1＝0 垂直，则点 P 的坐标为 ________．
[解析] (1)设切点 P 为(x0，y0)，则
k＝f′(x0)＝liΔmx→0
C．f′(x0)＝0
D．f′(x0)不存在
解析：根据导数的几何意义，f(x)在 x0 处的导数就是 f(x)在 x＝x0 处的切线的斜率，
故 f′(x0)＝－12<0，故选 B.
答案：B
3．设 f(x)在定义域内的每一点处都存在导数，且满足 liΔmx→0 f1－Δfx1－Δx＝－1，则 曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为________． 解析：由题意得 liΔmx→0 f[1＋－－ΔΔxx]－f1＝f′(1)＝－1，则曲线 y＝f(x)在(1，f(1))处的 切线的斜率为 f′(1)＝－1. 答案：－1
(1)∵切线与直线 y＝4x－3 平行， ∴2x0＝4，x0＝2， y0＝x20＋6＝10， 即过曲线 y＝x2＋6 上点(2,10)的切线与直线 y＝4x－3 平行． (2)∵切线与直线 2x－y＋5＝0 垂直， ∴2x0×2＝－1， 得 x0＝－14，y0＝9176， 即过曲线 y＝x2＋6 上点(－14，9176)的切线与直线 2x－y＋5＝0 垂直．
数．这样，当 x 变化时，f′(x)便是 x 的一个函数，我们称它为 f(x)的导函数(简称
fx＋Δx－fx _导__数__)．y＝f(x)的导函数有时也记作 y′，即 f′(x)＝y′＝_l_iΔ_mx_→_0_______Δ_x________.
[双基自测]
1．设 f′(x0)＝0，则曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
∴f(x0)＝f12＝2×122－12＝0. ∴切点 P 为12，0.
[答案] (1)(－1，－1) (2)12，0
求切点坐标的一般思路： (1)先设切点坐标(x0，y0)． (2)求导函数 f′(x)． (3)求切线的斜率 f′(x0)． (4)由斜率间的关系列出关于 x0 的方程，解方程，求 x0. (5)由于点(x0，y0)在曲线 y＝f(x)上，将 x0 代入求 y0，得切点坐标．
(2)设切点 P 为(x0，y0)，则 k＝f′(x0)
＝liΔmx→0
2x0＋Δx2－x0＋Δx－2x02－x0 Δx
＝liΔmx→0
4x0Δx＋2Δx2－Δx Δx
＝liΔmx→0 (4x0＋2Δx－1)＝4x0－1. ∵在点 P 处的切线与 x＋y－1＝0 垂直，
∴4x0－1＝1.∴x0＝12.
探究一 求曲线上一点处的切线方程
[典例 1] 已知曲线 y＝13x3 上一点 P2，83， (1)求点 P 处切线的斜率； (2)写出点 P 处的切线方程．
[解析] (1)∵y＝13x3，
∴y′＝liΔmx→0
ΔΔxy＝liΔmx→0
13x＋Δx3－13x3 Δx
＝liΔmx→0
x2Δx＋xΔx2＋13Δx3 Δx
4．曲线 y＝12x2 在点(1，12)处的切线方程为________．
解析：∵f′(1)＝liΔmx→0
121＋Δx2－12 Δx
＝liΔmx→0 Δx＋Δ12xΔx2＝liΔmx→0 (1＋12Δx)＝1，
∴曲线在点(1，12)处的切线的斜率为 1，则切线
方程为 y－12＝1×(x－1)，即 y＝x－12. 答案：y＝x－12
1.1 变化率与导数
1.1.3 导数的几何意义
考纲定位
重难突破
1.了解导函数的概念，理解导数 重点：1.导数的几何意义，利用导数的几何意义
的几何意义.
求曲线上某点处的切线方程.
2.弄清函数在 x＝x0 处的导数 f′(x0)与导函数 f′(x)的区别 与联系．会求导函数.
2.导数的概念，求导函数. 难点：1.平均变化率与割线之间、瞬时变化率与 切线之间的关系.
导数几何意义应用问题的解题策略： (1)导数几何意义的应用问题往往涉及解析几何的相关知识，如直线斜率与方 程以及直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题． (2)解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可 以求切点，切点的坐标是常设的未知量． (3)一定要区分曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线与过点 P(x0，f(x0))的切线 的不同，前者 P 为切点，后者 P 不一定为切点．
＝liΔmx→0
x2·Δx＋x·Δx2＋13Δx3 Δx
＝x2.…………………………………………………………………………4 分
(1)∵y′|x＝2＝22＝4＝k， ∴切线方程为 y－4＝4(x－2)，即 4x－y－4＝0.
………………………………………………………………………………6 分
(2)设切点为(x0，y0)，则 y′|x＝x0＝x20＝k， ∴切线方程为 y－y0＝x20(x－x0)， 又 y0＝13x30＋43，切线过点(2,4)， ∴4－13x30＋43＝x20(2－x0)， 解得 x0＝－1 或 x0＝2， ∴切点为(－1,1)或(2,4)， ∴切线方程为 y－1＝x＋1，即 x－y＋2＝0 或切线方程 y－4＝4(x－2)，即 4x－y －4＝0.……………………………………………………………………………9 分
探究三 导数几何意义的综合应用
[典例 3] 求曲线 y＝1x和 y＝x2 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形的面积．
[解析]
联立两曲线方程，得y＝1x， y＝x2，
解得xy＝＝11，，
即交点坐标为(1,1)．
曲线 y＝1x在点(1,1)处的切线斜率为
f′(1)＝liΔmx→0 1＋1ΔΔxx－11＝liΔmx→0 1＋－Δ1x＝－1，
2．已知曲线 y＝x2＋6 的切线分别符合下列条件，求切点．