08-()分析力学基础-拉格朗日第二类方程的积分
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动力学普遍方程和拉格朗日方程页数:36
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第二类拉格朗日方程的初积分PPT课件
j 1
L q j
q j
L ) 0 q j
②
式②代入到式①
d
dt
k
(q j
j 1
L q j
)
dL dt
0
d
dt
[
k j 1
(q j
L q j
)
L]
0
得:
k j 1
(q j
L q j
)
L
常量
③
将L=T-V=T2+T1+T0-V代入式③
第4页/共29页
其中：
k
j 1
(q j
T2 q j
)
2T2
V mg(R r) cosj
因为 L T V L(j,j,q)
q为循环坐标，有
L
q
(J
2 3
mr2 )q
2 5
m(R
r)Rj
C1
又L中不显含时间t，且T=T2，存在能量积分，由
T2 V C2
即：
1 2
(JO
2 5
mR2
)q2
1 2
7 5
m(R
r)j
2
保守系统
2 m(R r)Rjq mg(R r) cosj 0
哈密尔顿力学是哈密尔顿于1833年 建立的经典力学的重新表述。它由拉格 朗日力学演变而来，那是经典力学的另 一表述，由拉格朗日于1788年建立。但 它可以使用辛空间不依赖于拉格朗日力 学表述。
第13页/共29页
哈密顿原理
哈密顿原理是一种积分形式的变分原理，是哈密顿于1834年建立的。
哈密顿原理为：在相同的 始终位置、相同，约束条件下， 完整、主动力有势的系统在所 有的可能运动中，真实运动使 哈密顿作用量取驻值。
L q j
q j
L ) 0 q j
②
式②代入到式①
d
dt
k
(q j
j 1
L q j
)
dL dt
0
d
dt
[
k j 1
(q j
L q j
)
L]
0
得:
k j 1
(q j
L q j
)
L
常量
③
将L=T-V=T2+T1+T0-V代入式③
第4页/共29页
其中：
k
j 1
(q j
T2 q j
)
2T2
V mg(R r) cosj
因为 L T V L(j,j,q)
q为循环坐标，有
L
q
(J
2 3
mr2 )q
2 5
m(R
r)Rj
C1
又L中不显含时间t，且T=T2，存在能量积分，由
T2 V C2
即：
1 2
(JO
2 5
mR2
)q2
1 2
7 5
m(R
r)j
2
保守系统
2 m(R r)Rjq mg(R r) cosj 0
哈密尔顿力学是哈密尔顿于1833年 建立的经典力学的重新表述。它由拉格 朗日力学演变而来，那是经典力学的另 一表述，由拉格朗日于1788年建立。但 它可以使用辛空间不依赖于拉格朗日力 学表述。
第13页/共29页
哈密顿原理
哈密顿原理是一种积分形式的变分原理，是哈密顿于1834年建立的。
哈密顿原理为：在相同的 始终位置、相同，约束条件下， 完整、主动力有势的系统在所 有的可能运动中，真实运动使 哈密顿作用量取驻值。
分析力学基础-拉格朗日方程
支持。
其他应用领域
要点一
机器人学
在机器人学中，拉格朗日方程被用于描述机器人的运动规 律。通过建立机器人运动的拉格朗日方程，可以求解出机 器人的关节角度和速度，为机器人的运动控制提供理论依 据。
要点二
生物力学
在生物力学中，拉格朗日方程也被应用于描述生物体的运 动规律。例如，在分析动物的运动行为或人体姿势控制时 ，可以使用拉格朗日方程来描述生物体的运动状态和变化 规律。
解析解法的优缺点分析
优点
解析解法可以得到系统的精确解，适用 于简单模型和特定条件下的复杂模型。
VS
缺点
对于复杂模型，解析解法可能非常困难甚 至无法求解，需要借助数值方法或其他近 似方法。
04
拉格朗日方程的数值解法
数值解法的概念和步骤
概念
数值解法是一种通过数学计算来求解数学问 题的方法，它通过将问题离散化，将连续的 问题转化为离散的问题，然后使用计算机进 行计算求解。
步骤
1.建立数学模型：根据实际问题建立数学模 型，将实际问题转化为数学问题。2.离散化 ：将连续的问题离散化，将连续的时间和空 间划分为若干个小的单元，每个单元称为一 个网格点或节点。3.求解离散化后的方程： 使用数值方法求解离散化后的方程，得到每 个网格点的数值解。4.后处理：对计算结果 进行后处理，提取所需的信息，并进行分析
分析力学基础-拉格 朗日方程
目录
• 引言 • 拉格朗日方程的推导 • 拉格朗日方程的解析解法 • 拉格朗日方程的数值解法 • 拉格朗日方程的应用领域
01
引言
拉格朗日方程的背景和重要性
背景
拉格朗日方程是分析力学中的基 本方程，它描述了系统的运动规 律。
重要性
拉格朗日方程在理论物理、工程 技术和科学研究等领域有着广泛 的应用，是理解和研究复杂系统 运动行为的关键工具。
其他应用领域
要点一
机器人学
在机器人学中，拉格朗日方程被用于描述机器人的运动规 律。通过建立机器人运动的拉格朗日方程，可以求解出机 器人的关节角度和速度，为机器人的运动控制提供理论依 据。
要点二
生物力学
在生物力学中，拉格朗日方程也被应用于描述生物体的运 动规律。例如，在分析动物的运动行为或人体姿势控制时 ，可以使用拉格朗日方程来描述生物体的运动状态和变化 规律。
解析解法的优缺点分析
优点
解析解法可以得到系统的精确解，适用 于简单模型和特定条件下的复杂模型。
VS
缺点
对于复杂模型，解析解法可能非常困难甚 至无法求解，需要借助数值方法或其他近 似方法。
04
拉格朗日方程的数值解法
数值解法的概念和步骤
概念
数值解法是一种通过数学计算来求解数学问 题的方法，它通过将问题离散化，将连续的 问题转化为离散的问题，然后使用计算机进 行计算求解。
步骤
1.建立数学模型：根据实际问题建立数学模 型，将实际问题转化为数学问题。2.离散化 ：将连续的问题离散化，将连续的时间和空 间划分为若干个小的单元，每个单元称为一 个网格点或节点。3.求解离散化后的方程： 使用数值方法求解离散化后的方程，得到每 个网格点的数值解。4.后处理：对计算结果 进行后处理，提取所需的信息，并进行分析
分析力学基础-拉格 朗日方程
目录
• 引言 • 拉格朗日方程的推导 • 拉格朗日方程的解析解法 • 拉格朗日方程的数值解法 • 拉格朗日方程的应用领域
01
引言
拉格朗日方程的背景和重要性
背景
拉格朗日方程是分析力学中的基 本方程，它描述了系统的运动规 律。
重要性
拉格朗日方程在理论物理、工程 技术和科学研究等领域有着广泛 的应用，是理解和研究复杂系统 运动行为的关键工具。
分析力学基础8.5拉格朗日第二类方程0806
δ
T r& + Q j = 0 &k
& ∂rk ∂rk = & ∂w j ∂ w j
d ∂rk d t ∂w j
T
∂rk & = ∂w j
r& & k
T
∂rk ∑ mk ∂w j k =1
& & y = (l0 − vt )ψ cosψ − v sinψ
小球动能
1 1 1 & & 2 + y 2 ) = m(l0 − vt ) 2ψ 2 + mv 2 & T = m( x 2 2 2 V = mgx
主动力
r x
r mg
r mg
关于ψ 广义力
T2
T0
= mg (l0 − vt ) cosψ
rk = rk ( w, t )
导数
T n ∂rk − m && + Qj = 0 δwj ∑ k ∑ k=1 ∂w rk j =1 j
δ
∂r ∂r &k = ∑ k w j + k & r ∂t j =1 ∂w j
δ
& ∂rk ∂rk = & ∂wj ∂wj
1 & T& T = ∑ mk rk rk k =1 2
n
(
)
d ∂ = d t ∂w j &
2011年1月6日
1 ∂ T & & mk rk rk − ∑2 ∂w j k =1
n
T r& + Q j = 0 &k
& ∂rk ∂rk = & ∂w j ∂ w j
d ∂rk d t ∂w j
T
∂rk & = ∂w j
r& & k
T
∂rk ∑ mk ∂w j k =1
& & y = (l0 − vt )ψ cosψ − v sinψ
小球动能
1 1 1 & & 2 + y 2 ) = m(l0 − vt ) 2ψ 2 + mv 2 & T = m( x 2 2 2 V = mgx
主动力
r x
r mg
r mg
关于ψ 广义力
T2
T0
= mg (l0 − vt ) cosψ
rk = rk ( w, t )
导数
T n ∂rk − m && + Qj = 0 δwj ∑ k ∑ k=1 ∂w rk j =1 j
δ
∂r ∂r &k = ∑ k w j + k & r ∂t j =1 ∂w j
δ
& ∂rk ∂rk = & ∂wj ∂wj
1 & T& T = ∑ mk rk rk k =1 2
n
(
)
d ∂ = d t ∂w j &
2011年1月6日
1 ∂ T & & mk rk rk − ∑2 ∂w j k =1
n
分析力学基础
牛顿的《原理》只提供了分析质点受力与运动的原型，对于复杂的力学系 统，甚至对一个简单的刚体的运动方程也还没有弄清楚。刚体的运动方程是 1765年由欧拉（Euler）最后弄清楚的。 按照当时已有的力学知识,要分析一个稍许复杂的机构,例如一个有五级 齿轮的传动系统的运动,也还是无能为力的.如果拿这个问题去请教牛顿,牛顿 只会处理自由质点运动,不会处理刚体运动,何况还是带约束的呢.而转去请教 欧拉呢?他不得不将整个系统化归为五个”隔离体”即五个刚体,分别列出五个 刚体的运动方程,而不同刚体之间又有作用力和反作用力的耦合,所以得面对 数十个方程联立的微分方程组.这样处理问题是太复杂了. 拉格朗日自有他的高招,他将这个系统简化为一个广义坐标的系统,因 为这个虽然有五个轮子的系统只要有一个参数便可以描述它的例如随便以 其中某一个轮子的转角为参数,这个参数知道了,整个齿轮系统的状态也便 知道了.然后再计算当系统动起来后系统的动能.这时便可以列出一个广义 坐标满足的二阶方程,这是何等的简便啊! 拉格朗日是怎么作到这一点的呢?
O
x
1
自由度： 2
a A
2
广义坐标： 1 2
二、受力分析：
y
b
B
F
计算广义坐标 1 、 2 对应 的 广义力
FA
FB
以下分两种方法进行计算
O
x
1
第一种方法： 解析法
xi yi zi Qk X i q Yi q Z i q i 1 k k k
即用质点系的平衡条件是： 所有的广义力都等于零
利用广义坐标表示的平衡条件求解实际问题时，关健在 于如何表达其广义力。
通常求广义力的方法有两种：
方法一：是采用公式计算
振动理论08(2)-分析力学基础
分析力学是从能量的观点建立起来的 动能，势能
利用广义坐标来描述系统的运动
基于物理坐标的能量原理只能提供一个方程
首先讨论动能和势能
概念 与广义坐标及其导数之间的关系 动能、势能和功之间的本质联系
拉格朗日方程 哈密尔顿原理
2
动能
对于 个自由度系统，可以用广义坐标 和时间 来描 述它的运动，即系统中任意一点 的位置用坐标矢量 表示为
上式对时间求导，则速度可以表示为
速点的动能 系统的总动能
考虑到速度与广义速度的如下关系
动能将是广义速度的零次、一次、二次函数
4
考虑定常约束情况（坐标不显含时间t） 速度的点积
5
把速度的点积代入动能表达式 交换求和次序
6
• 引入广义质量系数
具有对称性，
当 包含刚体位移时， 不为零时也会出现U等于零的 情况，因此U为半正定二次型，其系数矩阵 也是半正 定的
19
动力学普遍方程
利用D ‘Alembert原理，将虚位移原理推广到动力学问 题
D ‘Alembert原理
在质点系运动的任意瞬时，作用于各质点的外力与虚加于 各质点的惯性力组成一平衡力系，这些力的矢量和等于零 ，对任意点的力矩矢量和等于零
11
对比用广义力表示的虚位移原理
可以得到 系统在有势场仅有有势力作为主动力时，系统平衡的
条件是势能取驻值
12
例：重力场
当质量 的质点在重力场中运动时，在任意位置都受 到大小和方向都确定的重力 的作用
重力场内沿任意闭路重力所做功之和等于零
13
例：重力场
重力所做功的负值定义为A点的势能 广义力
主动力 反力
惯性力
20
动力学普遍方程（续）
利用广义坐标来描述系统的运动
基于物理坐标的能量原理只能提供一个方程
首先讨论动能和势能
概念 与广义坐标及其导数之间的关系 动能、势能和功之间的本质联系
拉格朗日方程 哈密尔顿原理
2
动能
对于 个自由度系统，可以用广义坐标 和时间 来描 述它的运动，即系统中任意一点 的位置用坐标矢量 表示为
上式对时间求导，则速度可以表示为
速点的动能 系统的总动能
考虑到速度与广义速度的如下关系
动能将是广义速度的零次、一次、二次函数
4
考虑定常约束情况（坐标不显含时间t） 速度的点积
5
把速度的点积代入动能表达式 交换求和次序
6
• 引入广义质量系数
具有对称性，
当 包含刚体位移时， 不为零时也会出现U等于零的 情况，因此U为半正定二次型，其系数矩阵 也是半正 定的
19
动力学普遍方程
利用D ‘Alembert原理，将虚位移原理推广到动力学问 题
D ‘Alembert原理
在质点系运动的任意瞬时，作用于各质点的外力与虚加于 各质点的惯性力组成一平衡力系，这些力的矢量和等于零 ，对任意点的力矩矢量和等于零
11
对比用广义力表示的虚位移原理
可以得到 系统在有势场仅有有势力作为主动力时，系统平衡的
条件是势能取驻值
12
例：重力场
当质量 的质点在重力场中运动时，在任意位置都受 到大小和方向都确定的重力 的作用
重力场内沿任意闭路重力所做功之和等于零
13
例：重力场
重力所做功的负值定义为A点的势能 广义力
主动力 反力
惯性力
20
动力学普遍方程（续）
第六章 分析力学基础
第六章 分析力学基础本章是动力学问题的引深，将介绍解决刚体和刚体系统动力学问题中经常采用的分析方法，这些方法将在某个方面使动力学问题的解决得以方便或简化，有的方法将直接涉及到动力学分析的计算机应用，这些方法包括达朗贝尔原理、虚位移原理、第一类拉格朗日方程和第二类拉格朗日方程。
第一节 达朗贝尔原理达朗贝尔原理（有的书称之为达朗伯原理）的核心是引入惯性力和惯性力矩的概念，从而将动力学问题转化为静力学问题解决。
（一） 达朗贝尔惯性力我们已经知道，牛顿第二定律描述了一个质点的运动规律，即F r m = （6.1.1）这里，r表示该质点在惯性参考基中的位置，F 则表示该质点所受外力的主矢量。
如果将上式改写为0=-r m F（6.1.2）再定义r m F -=* （6.1.3）称为该质点的达朗贝尔惯性力，则牛顿第二定律可以改写为如下形式：0=+*F F （6.1.4）上式可以这样理解：质点的达朗贝尔惯性力与该质点所受到所有真实的外力的矢量和等于零，或者说，质点的达朗贝尔惯性力与该质点所受到所有真实的外力组成一个平衡力系。
这个结论称之为质点的达朗贝尔原理。
下面就（6.1.4）式作出讨论：① 所谓所有真实外力包括主动力和理想约束力。
② 达朗贝尔惯性力与非惯性基下的牵连惯性力和科氏惯性力是有区别的，后者仅仅是为了将非惯性基下的动力学方程写成类似于惯性基的形式而采用的，显然，它们取决于惯性基的运动，而达朗贝尔惯性力与非惯性基存在与否没有关系，达朗贝尔惯性力的定义为了将相对惯性基的动力学方程改写为另外一种形式，即一种力的平衡形式。
③ 达朗贝尔原理也称为动静法，即动力学问题的静力学处理方法。
④ 达朗贝尔惯性力是描述相对惯性基的运动，所以，它也直接简称为惯性力。
对于一个由n 个质点组成的质点系统，每个质点的外力中显然包含了系统内其他质点的作用力，但是对于整个系统而言，它们之间的作用力相互抵消，因此，该质点系的外力仅仅是系统外部的作用力，当然包括主动力和理想约束力。
分析力学-8--拉格朗日方程-能量积分
0
L q qK L Const. K K
T q qK L Const. K K
物理意义： 依据体系均受稳定约束与否，分为：
物理能量积分 广义能量积分
物理能量积分：
L t 0 约束均为定常，即： ri 0 T T 0， T T 0 1 2 t 由于稳定约束，T仅是广义速度的二次齐次函数，由欧拉齐次函数 s s 定理得： T L
v v r ( x i yj z k ) k ( x i yj z k )
得出质点的绝对速度在三个动坐标轴上的分量
v x x y v y y x v z z
因而质点相对于静止坐标系的动能是
T 1 2 m ( x y z ) m ( x y yx )
2 2 2
1 2
m 2 ( x 2 y 2 )
代入基本形式的拉格朗日方程得：
m ( 2 y 2 x ) F x x
m ( 2 x 2 y ) F y y
2 1 1 2 2 2
1
1
2
x1 x2
m2
m1 l x r 1 1
l2 r [ x2 (l1 x1 r )]
m3
m x m3 (2x1 x2 ) 2 T mx 2 2 2
2 1 1 2 2 2
1
1
1
V m1 gx1 m2 gx2 m3 g (2l1 l2 3 r 2 x1 x2 )
2 w ( w ) cos wt cos ( wt )]
拉格朗日方程
d ∂L ∂L ( )− =0 & dt ∂θ ∂θ
d ∂L 1 2 && & = 3 ml θ d t ∂θ
∂L = −kb 2θ ∂θ
1 2 && ( ml )θ + kb 2θ = 0 3
3kb 2 & θ& + 2 θ = 0 ml
3kb 2 2 ωn = ml 2
n
ωn为圆频率
2 2
ωn 频率：f n = 2π
ri = ri ( q1 , q 2 , L , q k , t ) 则： v i = dri = 因： dt & & & 即： vi = vi (q1 , q2 , L , qk , q1 , q2 , L , qk , t )
广义速度
∂ri ∂r &j + i ∑ ∂q q ∂t j =1 j
k
'
m2 g
δθ
B
δ Wθ Qθ = =0 δθ
δθ ≠ 0
代入拉格朗日方程： 代入拉格朗日方程：
& & (m1 + m2 )&& + m2 Lθ&cosθ − m2 Lθ 2 sinθ + kx = F (t ) x 1 & m2 (2l )2θ& + m2 L&&cosθ + m2 gLsinθ = 0 x 3
动力学的基本方法
牛顿定律
•动量定理 动量定理 •动量矩定理 动量矩定理 •动能定理 动能定理
达朗贝尔原理//动静法 达朗贝尔原理 动静法
虚位移原理
动力学普遍方程
理论力学：第二类拉格朗日方程的总结
θ&&(θ ) = ? x&(θ ) = ?
L中无 x, t
∂T ∂x&
=
5 2
mx& +
1 2
mLθ& cosθ
=
C
&x&(θ ) = ?
5 mx&2 + 1 mL2θ&2 + 1Lmg(1− cosθ ) = E
4
6
2
2014-3-25
8
理论力学
习题课
∂T ∂x&
2014-3-25
根据对z轴的动量矩守恒和初始条件，可得关系式： ϕ&
=
1
sin2 θ
15
理论力学
习题课
问题：B 点的运动轨迹？
θ0
=
π
4
=
0.7854,ϕ0
=
0,θ&0
=
0,ϕ&0
=
2.0rad/s
m = 1kg L = 1m k = 10N/m
∂T
∂ϕ&
=
1 mL2 3
sin2 θϕ&
=
C1
2014-3-25
mL&x&cosθ
+
1 mL2θ&&+
3
1 2
mgL sinθ
=
0
2014-3-25
10
理论力学
习题课
x
A
aA
θ&&= −15 2 g,
17L
&x&
=3g 17
求地面的约束力
F
aCt A
拉格朗日第二类方程
这就是拉格朗日第二类方程。
( j 1,2,, k )
(6.2.5)
适用范围：完整系统。
14
j , q j ,t) (1) T T (q
（2）有势力、非有势力都适用
(3) Q j
AF q j
（4）不含约束力。 二、保守系统的拉格朗日方程 如果作用于质点系的力是有势力，则：
V Qj q j
n 1 1 2 2 ( m v ) ( m v i i i i ) k d i 1 2 i 1 2 [ ]q j j q q j j 1 dt n
d T T [ ]q j j q j j 1 dt q
k
( m)
13
将（d）（m）代入（c）得：
d T T ) q j 0 Q jq j ( j 1 j 1 dt q j q j k d T T 或： （Q j ) q j 0 j 1 j q j dt q
k k
由于δqj彼此独立，所以：
d T T Qj j q j dt q
1 2 P 9Q 0 M (R r)2 6 g 6M g 2 ( 2 P 9Q )( R r )
积分，得：
3M 2 gt C1t C 2 2 ( 2 P 9Q )( R r )
0 0 得 C1 C2 0 代入初始条件，t =0 时， 0 0 ,
由于V=V（q1，q2，...，qk），不含广义速度，所以
保守系统的拉格朗日第二类方程。
16
应用拉氏方程解题的步骤： 1. 判定质点系的自由度 f，选取适宜的广义坐标。必须注意： 不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。 2. 计算质点系的动能T，表示为广义速度和广义坐标的函数。 3. 计算广义力 Q j
( j 1,2,, k )
(6.2.5)
适用范围：完整系统。
14
j , q j ,t) (1) T T (q
（2）有势力、非有势力都适用
(3) Q j
AF q j
（4）不含约束力。 二、保守系统的拉格朗日方程 如果作用于质点系的力是有势力，则：
V Qj q j
n 1 1 2 2 ( m v ) ( m v i i i i ) k d i 1 2 i 1 2 [ ]q j j q q j j 1 dt n
d T T [ ]q j j q j j 1 dt q
k
( m)
13
将（d）（m）代入（c）得：
d T T ) q j 0 Q jq j ( j 1 j 1 dt q j q j k d T T 或： （Q j ) q j 0 j 1 j q j dt q
k k
由于δqj彼此独立，所以：
d T T Qj j q j dt q
1 2 P 9Q 0 M (R r)2 6 g 6M g 2 ( 2 P 9Q )( R r )
积分，得：
3M 2 gt C1t C 2 2 ( 2 P 9Q )( R r )
0 0 得 C1 C2 0 代入初始条件，t =0 时， 0 0 ,
由于V=V（q1，q2，...，qk），不含广义速度，所以
保守系统的拉格朗日第二类方程。
16
应用拉氏方程解题的步骤： 1. 判定质点系的自由度 f，选取适宜的广义坐标。必须注意： 不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。 2. 计算质点系的动能T，表示为广义速度和广义坐标的函数。 3. 计算广义力 Q j
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N
d L L L q q q dt qk k qk k qk k k 1
N
d L L L k k k q q qk q dt k 1 qk qk k 1
Q L T P Q Px x scos C2 x x g g
t = 0时 x s 0 ，故上式中C2 = 0 ，可得
( P Q ) x Qs cos 0
1 P Q 2 3 Q 2 Q x s xs cos Q s sin 0 2 g 4 g g
n
n
N
其中
mkl
ri ri mi qk ql
i 1
n
是广义坐标的函数，称为广义质量
M1-2
很容易证明
T q 2T q k k k 1
N
注意势能 V 不含 qi 项，可得
L q k T qk 2T q k qk k 1 k 1
M1-7
[例]
楔形体重P，斜面倾角，置于光滑水平面上。均质圆柱体重
Q，半径为 r ，在楔形体的斜面上只滚不滑。初始系统静止，且圆 柱体位于斜面最高点。
试求：(1)系统的运动微分方程；(2)楔形体的加速度；(3)系统的能
量积分与循环积分。
解：研究楔形体与圆柱体组成 的系统。系统受理想、完整、 定常约束，具有两个自由度。 取广义坐标为x, s ；各坐标原点
N N
d L L 0 两边乘 qk 对k求和 将方程 dt qk qk
d L L dt qk qk qk qk 0 k 1
M1-3
N
d L L dt qk qk qk qk 0 k 1
1
显含t ，则
vi ri
k 1 N
ri qk
qk
N
N
1 ri ri 1 1 T mi vi vi mi qk ql mkl qk ql 2 2 2 qk ql k , l 1 i 1 i 1 l 1 k 1
qk (k N )
为系统的循环坐标时，必有
L 0 qk
d L L ( ) 0 dt qk qk
于是拉氏方程成为
积分得：
L C qk
(k N )
称为拉格朗日方程的循环积分
M1-6
因L = T - V，而V中不显含 qk ，故上式可写成
L T (T V ) pk C qk qk qk
3-6
拉格朗日第二类方程的积分
拉格朗日第二类方程的求解需要对拉格朗日第二类方程进行 积分。
对于保守系统，可以得到拉格朗日方程的某些统一形式的
首次积分，从而使得保守系统动力学问题的求解过程进一步简 化。
保守系统拉格朗日方程的首次积分包括：能量积分、循环
积分。
M1-1
一、能量积分 设系统所受的约束为定常约束，则 ri ri ( q , q2 , ... qN ) 中不
均在初始位置。
M1-8
我们已知道系统动能和势能为
1 V Ph Q (h s sin r cos ) 3
1 P Q 2 3 Q 2 Q T x s xs cos 2 g 4 g g
1 P Q 2 3 Q 2 Q 1 x s xs cos Ph Q ( h s sin r cos ) C1 2 g 4 g g 3
当t =0时， x s 0 ，x = s = 0 , 代入上式中，得
1 C1 Ph Q ( h rcos ) 3
1 P Q 2 3 Q 2 Q x s xs cos Q s sin 0 2 g 4 g g
M1-9
由于拉格朗日函数L中不显含广义坐标x，故 x 为系统循环 坐标，故有循环积分：
上两 式即为系统的能量积分和循环积分。 第二式实际上是
系统的机械能守恒方程。 第一式实质上是系统的动量在x方向 守恒。
M1-10
M1-11
M1-12
M1-13
M1-14
M1-15
1 T 2
mkl qk ql
k , l 1 N
N
T mkl ql qk
l 1NN Nhomakorabead dT dL 2 (2T L) 0 dt dt dt
积分上式，可得。
2T L C T V C
M1-4
积分上式，可得。
T V C
上式是保守系统的机械能守恒定律，也称为保守系统的广义能
量守恒。也称为保守系统的拉格朗日方程的能量积分。
M1-5
二、循环积分 如果拉格朗日函数L中不显含某一广义坐标 qk , 则该坐标 称为保守系统的循环坐标或可遗坐标。 当
T 1 1 mkl qk ql (2m21q1 2m22 q2 ) m21q1 m22 q2 m2 l ql q2 2 k , l 1 2 l 1
2 2
2
2
2
T mkl ql qk
l 1
N
M1-17
N T qk qk mkl ql qk k 1 k 1 l 1
N N
T qk qk
k 1
N
mkl qk ql
k ,l 1
N
2T
M1-16
1 1 T mkl qk ql (m11q1q1 m12 q1q2 m21q2 q1 m22 q2 q2 ) 2 k , l 1 2 T 1 1 mkl qk ql (2m11q1 2m12 q2 ) m11q1 m12 q2 m1l ql q1 2 k , l 1 2 l 1
pk称为广义动量，因此循环积分也可称为系统的广义动量 积分。 保守系统对应于循环坐标的广义动量守恒。 能量积分和循环积分都是由保守系统拉格朗日方程积分一 次得到的，它们都是比拉格朗日方程低一阶的微分方程。 一个系统的能量积分只可能有一个；而循环积分可能不止 一个，有几个循环坐标，便有几个相应的循环积分。