13.3.2 第2课时 含30°角的直角三角形的性质.pptx

∴ Rt△BDE中， DB=2DE=12
E
B
∵ AD是∠BAC的平分线, DE⊥AB, DC⊥AC
∴DC=DE=6
∴BD=DC+DB=18.
课后作业
教材83页习题13.3第14、15题．
解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A =30°，
∴ BC = 1 AB，DE = 1 AD．
2
2
B D
∴ BC =3.7（m）．
又 AD = 1 AB，
2
A EC
∴DE = 1 AD =1.85（m） ．
2
答：立柱BC 的长是3.7 m，DE 的长是1.85 m．
小试牛刀
1．如图，一棵树在一次强台风中于离地面8米
4
证明： ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴BC＝
1 2
AB，∠B＝60°
∵CD是高，
∴∠CDB＝90°,∠B＝60°，
∴∠BCD＝30°，
∴BD＝ 1 BC， ∴BD＝1 AB.
2
4
课堂小结
今天我们收获了哪些知识？ （畅所欲言）
1、含30°角的直角三角形的性质是什么？ 2、需要注意什么？
实战演练
1
∴ BC = 2 AB．
B
C
合作探究
B
A 归纳总结：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半.
符号语言：∵∠C =90°, ∠A=30°
1
C
∴ BC = 2 AB．
典例精析
例.如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB的中点，立柱BC、 DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多长？

∵∠ACB=∠ACM+∠BCM， ∴∠ACB=2∠B.
∵∠A=90°， ∴∠ACB+∠B=90°，即∠B=30°.
∴∠AMN=∠B=30°
∵∠A=90°，∠AMN=30°，AN=1, ∴MN=2.
∵AC=AN+NC=AN+MN=3，
∴BC=2AC=6.
A
M
N
C
第十三章 轴对称
13.3 等腰三角形 13.3.2等边三角形 课时二 含有30°角的直角三角形的性质
目 录
CONTENTS
1 学习目标 3 新课讲解 5 当堂小练 7 布置作业
2 新课导入 4 课堂小结 6 拓展与延伸
学习目标
1.掌握含有30°角的直角三角形的性质和应用.（重点） 2.探索并证明含有30°角的直角三角形性质的过程，并用以解决实际 问题.（难点）
2
A
证明：取AB的中点D，连接CD.
∵AB的中点为D， ∴AD=B1D= AB.
.D
∵BC1= AB,
∴BC=BD2=AD.
∵在R2t△ABC中，∠ACB=90°，AB的中点为D，
C
B
∴CD=1 AB=AD=BD. （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
∵CD=2BD=BC， ∴△BCD为等边三角形， ∴∠B=60°.
直角三角形中，如果一条直 角边等于斜边的一半，那么
它所对的角等于30°.
当堂小练
如图，一个等腰三角形的两个底角为15°，腰长为10cm，求这个等腰三角
形的面积.
解：过点C作AB边上的高，交BA的延长线于 点D.
D A
∵∠B=∠ACB=15°， ∴∠DAC=30°.
∵AB= 12AC=10cm，CD⊥AB，∠DAC=30°，B

自 学 例5
例５，下图是屋架设计图的一部分,点D是斜 梁AB的中点,立柱BC、 DE垂直于横梁AC, AB＝7.4m,∠A＝30°,立柱BC 、 DE要多长?
B
Dபைடு நூலகம்
30°
A EC
C
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
自学提纲
自学内容：课本55页探究. 自学时间：5分钟. 自学要求： ①当将两个三角尺摆在一起，新得到的△ABD是特
殊的三角形吗？请说明理由；
性质：在直角三角形中,如果一个锐角等
于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
几何语言： ∵在RT△ABC中，∠A＝30°
∴BC= 1 AB (或AB = 2BC)
2
B
C
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
②得出BC与AB之间的数量关系，说明理由.
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
A
30°
探究
数学化
B
C
D
B
A C
D
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用

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B
C
判断
1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半．
2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半。
3）直角三角形中最小的直角边是斜边的一半。
4）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．
√
1、如图，在Rt△ABC中∠C=900 ,∠B=2 ∠A，
AB=6cm，则BC=__3_cm_____.
• 探究2
①当将两个同样大小的三角板（含30 °和60 °的角）摆在一起，新得到的三角形是特殊的 三角形吗？请说明理由；
②得出300 角所对的直角边与斜边之间的数量 关系，说明理由.
验证：我们可以用两个同样大小的三角尺
（含30 °和60 °的角）拼接起来验证
A
B
C
D
A
A
30°
数学化

C
D
B
C
D
可得：
则∠DCB=∠B=600
A
∴△ADC是等腰三角形， △BCD是等边三角形
∴AD=CD=BD=BC
∴ BC 1 AB
C
2
D B
A
证法三：
证明： 在BA上截取BE=BC，连接EC E
∵ ∠B= 60° ，BE=BC
∴ △BCE是等边三角形
∴ ∠BEC= 60°，BE=EC
∵ ∠A= 30°
B
C
∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°
二、 等边三角形的判定
1．三个边都相等的三角形是等边三角形； 2．三个角都相等的三角形是等边三角形； 3．有一个内角等于60 °的等腰三角形是等边三角形．

注：这个性质的前提是“在直角三角形中”，通常用于证明边的倍 数关系，在应用时，要注意找准30°角所对的直角边，点明斜边．
典例精讲 【题型】含30°角的直角三角形的性质
例1：如图，一水库迎水坡AB的长度为20 m，斜坡与水平面的夹角α为 30°，则迎水坡的高度是____1_0__m.
例2：如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点
（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么 它所对的直角边等于斜边的一半）
2.它能解决什么样问题呢？ （计算和证明线段的倍分问题等）
课堂小结
【教材习题】完成课本81页练习. 【作业本作业】完成相应练习.
（1）画出礁石C的大致位置； （2）轮船继续航行多久，测得礁石C在正西方向？
自主探究
1.请同学们证明猜想，写出已知、求证，完成证明.
已知：在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，求证：BC＝12AB. 证法一(补短法)：延长 BC 至 D，使 CD＝BC，连接 AD.证△ABC≌△ADC，可得 AB＝AD，再证△ABD 是等边三角形，可得 BC＝12BD＝12AB； 证法二(截长法)：在 BA 上截取 BD＝BC，连接 CD，证△BCD 是等边三角形，可 得 BC＝BD＝CD，再证△ACD 是等腰三角形，可得 AD＝CD，所以 BC＝12AB； 证法三：在△ABC 内部作∠ACD＝30°交 AB 于点 D，可得 AD＝CD，证△BCD 是 等边三角形，可得 BC＝BD＝CD，所以 BC＝12AB
旧知回顾 1.等边三角形有什么性质？
（①三条边都相等；②三个角都相等，都为60°；③三线合一； ④是轴对称图形，有3条对称轴） 2.如何判定一个三角形是等边三角形？
（①定义；②三个角都相等；③有一个角是60°的等腰三角形）

解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°，
∴BC＝12AB，DE＝12AD. ∴BC＝12×7.4＝3.7(m)． 又 AD＝12AB， ∴DE＝12AD＝12×3.7＝1.85(m)． 答：立柱 BC 的长是 3.7 m，DE 的长是 1.85 m.
教师引导学生寻找图中含有30°角的直角三角形，并选择 BC，DE所在直角三角形．
13．3 等腰三角形
13．3.2 等边三角形(2课时)
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
掌握含30°角的直角三角形的性质与应用．
重点 含30°角的直角三角形的性质． 难点 含30°角的你能借助这个图形， 找出Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的关系吗？
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2021/02/24
10
二、探究新知 由题意可判定△ABD是等边三角形，且AC为边BD上的 高，可得BC＝CD＝AB. 教师归纳： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对 的直角边等于斜边的一半． 你能证明这一结论吗？
让学生从以下两个途径探索： (1)△ABD 是等边三角形，AC⊥BD 于点 C，则∠BAD＝____ 度，BC＝____BD＝____AB. (2)在△ABC 中，若 AC⊥BC，∠A＝30°，则∠B＝____ 度，延长 BC 到点 D，使 BD＝AB，连接 AD，则△ABD 是等边 三角形，BC＝12____＝12____． 以上结论是直角三角形的性质之一，在以后的证明和计算 中经常用到． 思考：逆命题：“在直角三角形中，如果一条直角边等于 斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 30°”是否成立？

30°∵DA⊥BA，∴∠CAD＝
120°﹣90°＝30°，∴∠CAD＝
∠C，∴AD＝CD，在Rt△ABD中，
∵∠B＝30°，BD＝10，

∴AD= BD=5

∴CD＝AD＝5．
一半，反之亦然．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，AC＝8，点D在边AB
上，且BD＝ ，点P是△ABC边上的一个动点，若AP＝2PD时，则PD的
长是 3
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是△ABC的高，
且BD＝1，则AD的长是 3 ．
图1
图3
当堂测试
4.如图,已知△ABC是等边三角形,D,E分别为BC、AC上的点,且CD=AE,AD、
证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
1
∴∠BAC＝60°，AC= AB
2
∵DE是AB的垂直平分线

∴AD=DB= AB

∴AD＝AC，∴△ADC是等边三角形；
分层作业
【基础达标作业】
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，DE是AB的垂直平分线，交AB、
BC于点D、E连接CD、AE．求证：点E在线段CD的垂直平分线上．
∵∠C=90º，
1
1
∴AC= 2 AE=2
BE=2.5.
B
E
C
随堂练习
2.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120º,D是BC的中点,DE⊥AB于E
点,求证：BE=3EA.
证明∵AB=AC,∠BAC=120º,
∴∠B=∠C=30º.
∵D是BC的中点, ∴AD⊥BC
B
∴∠ADC=90º,∠BAD=∠DAC=60º.

图形 性边 质角
三线 合一
对称 性
等腰三角形
两条边相等 两个底角相等 底边上的中线、高和顶角 的平分线互相重合
1条对称轴
等边三角形
三条边都相等 三个角都相等， 且都是60º 每一边上的中线、高和这一边 所对的角的平分线互相重合
3条对称轴
新课导入
图形 判 边（定义） 定
角
特殊法
等腰三角形
两条边相等的三角 形是等腰三角形
解：∵CM平分∠ACB，MN平分∠AMC,
∴∠NCM=∠BCM，∠AMN=∠NMC.
∵MN//BC，∴∠AMN=∠B，∠NMC=∠BCM.
B
A
M
N
C
∴∠AMN=∠B=∠NMC=∠BCM=∠NCM.
∴NM=NC.
∵∠ACB=∠NCM+∠BCM，∴∠ACB=2∠B.
课堂训练
9.如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN//BC交
新知探究
知识点 含30°角的直角三角形的性质
例1 如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，
DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BC,DE要多长？
解：∵DE⊥AC,BC ⊥AC,∠A=30 °，
B
∴BC= 1
2
AB,DE=
1
2 AD.∴BC=
1 ×7.4=3.7(m).
新知探究
知识点 含30°角的直角三角形的性质 常见的模型有如下几种（图中所标的红色的角均为30°）：
60°
60°
120°
120°
60°
15°
15°
课堂小结
含 30° 角的 直角 三角 形的 性质

C
B D
性质运用
例 如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC、DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm， ∠A =30°，立柱BC、DE 要多长？
思考 图中BC、DE 分 别是哪个直角三角形的直角 边？它们所对的锐角分别是
B D
多少度？
A EC
性质运用
例 如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC、DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm， ∠A =30°，立柱BC、DE 要多长？
• 学习重点： 探索并理解含30°角的直角三角形的性质.
创设情境，导入新知
问题 已知△ABC 中，∠A =60°,（
）.
请你在括号内补充一个条件，使△ABC 能成为等边三角
形.
A
∠B =60°（或∠C =60°） AB =BC、AC =BC、AB =BC =AC
B
C
创设情境，导入新知
思考1 等边三角形是轴对称图形，若沿着其中一 条对称轴折叠，能产生什么特殊图形？
解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A =30°，
∴
BC
=
1 2
AB，DE
=
1 2
AD．
B
∴ BC =3.7（m）．
D
又 AD = 1 AB，
∴
DE =
2 1 2
A
答：立柱BC 的长是3.7 m，DE 的长是1.85 m．
课堂小结
（1）本节课学习了哪些内容？ （2）在应用含30°角的直角三角形的性质时，能解决
它所对的直角边等于斜边的一半. A
符号语言：
∵ 在Rt△ABC 中，
∠C =90°，∠A =30°，
∴1

人教版八年级(上)
导入新课 如图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点， 立柱 BC，DE 垂直于横梁 AC，AB = 7.4 m，∠A = 30°， 立柱 BC，DE 的长是多少？
数学抽象
在 30° 的直角三角形中， 探究边长之间的关系.
探究新知知识点:含 30° 角的直角三角形的性质
新知一览
轴对称
轴对称 线段的垂直平分线的性质与判定 线段的垂直平分线的有关作图
轴 画轴对称图形
画轴对称图形
对
用坐标表示轴对称
称
等腰三角形
等腰三角形的性质 等腰三角形的判定
课题学习
等边三角形的性质与判定
最短路径问题 含 30° 角的直角三角形的性质
第十三章 轴对称
13.3.2 等边三角形
第 2 课时 含 30° 角的直角三角形的性质
∴在Rt△BAE 中：BE = 2AB = 6. A
E
∵△BED 是等腰三角形，
B1
∴S△BED
= 1·DE×AB = 1×6×3 = 9cm2.
2
2
C 2D
3.如图，在等边三角形 ABC 中，点 D、E 分别在边 AC、
BC 上，将 △CED 沿着 DE 折叠，使点 C 落在边 AB 上
的点 F 处，且 DF⊥AB，求证：BF = 2BE.
∴∠AGB = 60°.
(2)证明：由 (1) 可知，∠GAB = 60°， 由折叠可知， ∠GAH = ∠BAH = ∠GAB = 30°. ∠AHB = ∠AHG =∠CHI = ×180° = 60°. ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴∠DAB = 90°， ∴∠IAH = 90°－∠BAH = 90°－30° = 60°.