福建省厦门市2018届高三上学期期末质检数学(理)试题 Word版 含答案

2018-2019学年福建省厦门市高三（上）数学期末试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{x|x2+x﹣6≤0}，N＝{x|x＞0}，则M∩N＝（）A．（0，2]B．[﹣3，2]C．（0，3]D．[﹣3，+∞）2．（5分）设a∈R，则“a＝﹣1”是“直线ax+y﹣1＝0与直线x+ay+5＝0平行”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）实数x，y满足x＞y，则下列不等式成立的是（）A．＜1B．2﹣x＜2﹣y C．lg（x﹣y）＞0D．x2＞y24．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+3y的最大值等于（）A．9B．12C．27D．365．（5分）已知角α的顶点为坐标原点始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点P（sin47°，cos47°），则sin（α﹣13°）＝（）A．B．C．D．6．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（log23））＝（）A．﹣9B．﹣1C．D．7．（5分）长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|＝10km/h，水流的速度v2的大小为|v2|＝4km/h．设v1和v2的夹角为θ（0°＜θ＜180°），北岸的点A′在A的正北方向，游船正好到达A′处时，cosθ＝（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）＝sin2x，若将其图象沿x轴向右平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于原点对称，则实数φ的最小值为（）A．πB．C．D．9．（5分）函数y＝cos x+ln（|x|+1）（x∈[﹣2π，2π]）的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）直线l与双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行，l过抛物线C：y2＝4x的焦点，交C于A，B两点，若|AB|＝5，则E的离心率为（）A．2B．C．D．11．（5分）已知圆锥的顶点为P，母线长为2，底面半径为r，点A，B，C，D在底面圆周上，当四棱锥P﹣ABCD体积最大时，r＝（）A．B．C．D．12．（5分）在平面四边形ABCD中，△ACD面积是△ABC面积的2倍，数列{a n}满足a1＝3，且＝（a n+1﹣3）+（a n﹣2），则a5＝（）A．31B．33C．63D．65二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知复数z满足（1+2i）z＝i，其中i为虚数单位，则|z|＝．14．（5分）《张丘建算经》卷上第22题有如下内容：今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织布5尺，现在一个月（按30天计算）共织布390尺．那么，该女子本月中旬（第11天到第20天）共织布尺．15．（5分）某三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱外接球的表面积为．16．（5分）已知偶函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）＝a x﹣1og a（x+1）﹣1（a＞1），若f（x）恰有三个零点，则a的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，已知a2+b2﹣c2＝4S．（1）求角C；（2）若c＝2，求b﹣a的取值范围．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣n﹣2．（1）求证：{a n+1}是等比数列；（2）数列{b n}满足b n＝数列{c n}满足c n＝b n+，求数列{c n}的前n项和T n．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥平面P AC，四边形ABCD为平行四边形，且AD＝AB＝4，∠BAD＝135°．（1）证明：AC⊥平面P AB；（2）当直线PC与平面P AB所成角的正切值为时，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．-baiduwenku**百度文库baiduwenku**百度文库--百度文库百度文库百度文库精品文库-baiduwenku**百度文库baiduwenku**20．（12分）已知圆E：（x+）2+y2＝16，点F（，0），动点P在E上，线段PF的垂直平分线与直线PE相交于点Q，Q的轨迹是曲线C．（1）求C的方程；（2）已知过点（2，﹣1）的直线l与C交于A，B两点，M是C与y轴正半轴的交点，设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，证明：k1+k2为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝ae x﹣e﹣x﹣（a+1）x（a＜1），若f（x）存在极大值点x1和极小值点x2．（1）求实数a的取值范围；（2）若f（x1）＞kf（x2），求实数k的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在同一直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2+y′2＝1，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为ρsin （θ﹣）＝．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）过点P（1，0）作l的垂线交C于A，B两点，点A在x轴上方，求．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．函数f（x）＝|ax+2|，不等式f（x）≤a的解集为{x|﹣2≤x≤0}．（1）求a的值；（2）求证：对任意x∈R，存在m＞1，使得不等式f（x﹣2）+f（2x）≥m+成立．2018-2019学年福建省厦门市高三（上）数学期末试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：∵x2+x﹣6≤0，∴﹣3≤x≤2，∴M＝{x|﹣3≤x≤2}∴M∩N＝{x|0＜x≤2}＝（0，2]故选：A．2．【解答】解：当a＝﹣1时，两直线方程分别为﹣x+y﹣1＝0与直x﹣y+5＝0，满足两直线平行．当a＝1时，两直线方程分别为x+y﹣1＝0与直x+y+5＝0满足平行，但a＝﹣1不成立，∴“a＝﹣1”是“直线ax+y﹣1＝0与直线x+ay+5＝0平行”的充分不必要条件．故选：A．3．【解答】解：对于选项A：当x＝﹣1，b＝﹣2时，＞1，故选项A错误，对于选项B：因为y＝2x在R上为增函数，又x＞y，所以﹣x＜﹣y，所以2﹣x＜2﹣y，故选项B正确，对于选项C：当x＝﹣1，b＝﹣2时，lg（x﹣y）＝0，故选项C错误，对于选项D：当x＝﹣1，b＝﹣2时，x2＜y2，故选项D错误，故选：B．4．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得：A（3，3），化目标函数z＝x+3y为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，z最大．此时z＝3+3×3＝12．故选：B．5．【解答】解：∵角α的顶点为坐标原点始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点P（sin47°，cos47°），∴sinα＝cos47°＝sin43°，cosα＝sin47°＝cos43°，∴α＝43°，则sin（α﹣13°）＝sin30°＝，故选：A．6．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（log23）＝﹣（）＝﹣，f（f（log23））＝f（﹣）＝3×（﹣）＝﹣1．故选：B．7．【解答】解：设船的实际速度为，v1和v2的夹角为θ，北岸的点A′在A的正北方向，游船正好到达A′处，则⊥，∴cosθ＝﹣cos（π﹣θ）＝﹣＝﹣＝﹣故选：D．8．【解答】解：因为，f（x）＝sin2x，由二倍角公式得：f（x）＝﹣cos2x，将其图象沿x轴向右平移φ（φ＞0）个单位，则所得图象对应的解析式为：g（x）＝﹣cos2（x﹣φ）＝﹣cos（2x﹣2φ），所得图象关于原点对称，即函数y＝g（x）为奇函数，即2φ＝k，又φ＞0，所以φ的最小值为，故选：D．9．【解答】解：函数是偶函数，关于y轴对称，f（2π）＝cos2π+ln（|2π|+1）＝1+ln（2π+1）＞0，排除D，f（0）＝cos0+ln1＝1，f（π）＝cosπ+ln（|π|+1）＝﹣1+ln（π+1）＝ln＜1，排除B，C故选：A．10．【解答】解：依题意，点F的坐标为（1，0），设直线l的方程为x＝my+1，联立方程组，消去x并整理得：y2﹣4my﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，则|AB|＝•＝4（m2+1）＝5，解得：m＝±，∴直线l的方程为2x+y﹣2＝0或2x﹣y﹣2＝0；直线的斜率为：±2．直线l与双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行，可得b＝2a，所以b2＝4a2＝c2﹣a2，e＞1，解得e＝．故选：C．11．【解答】解：圆锥的顶点为P，母线长为2，底面半径为r，点A，B，C，D在底面圆周上，设四棱锥P﹣ABCD的高为h，V P﹣ABCD＝＝＝＝﹣，0＜h＜2，令f（h）＝h2﹣4h，则f′（h）＝3h2﹣4＝0，解得h＝，f（h）在（0，）上是减函数，在（，2）上是增函数，∴f（x）min＝f（）＝﹣，此时r＝＝，（V P﹣ABCD）max＝．故选：C．12．【解答】解：根据题意，如图，连接AC、BD，设AC与BD交于点O，过点B作BE⊥AC与点E，过点D作DF⊥AC与点F，若△ACD面积是△ABC面积的2倍，即×|DF|×|AC|＝×|BE|×|AC|，则有|DF|＝2|BE|，又由△DOF～△BOE，则|DO|＝2|BO|，即＝2，则有（﹣）＝2（﹣），变形可得：＝+，设＝λ，则＝+，又由＝（a n+1﹣3）+（a n﹣2），则（a n+1﹣3）＝2（a n﹣2），变形可得（a n+1﹣1）＝2（a n﹣1），则数列{a n﹣1}是首项为a1﹣1＝2，公比为2的等比数列，则a n﹣1＝2×2n﹣1＝2n，则有a n＝2n+1；则a5＝25+1＝33，故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：由（1+2i）z＝i，得z＝，∴|z|＝．故答案为：．14．【解答】解：根据题意，该女子每天织的布的数量为等差数列，设该数列为{a n}，若该女子一个月）共织布390尺，则S30＝a1+a2+a3+……+a30＝390，该女子本月中旬织布的数量为S20﹣S10＝a11+a12+a13+……+a20＝（a1+a21）+（a12+a22）+……+（a10+a30）＝（a1+a2+a3+……+a30）＝130；故答案为：130．15．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为正三棱柱，底面边长为2，高为2．设三角形ABC的重心为G，则AG＝，设三棱柱外接球的球心为O，连接OG，则OG＝1，∴三棱柱外接球的半径满足．∴该三棱柱外接球的表面积为．故答案为：．16．【解答】解：∵f（0）＝a0﹣1og a1﹣1＝1﹣0﹣1＝0，即f（x）有一个零点0，∵f（x）是偶函数，∴要使f（x）恰有三个零点，则等价为当x＞0时，f（x）只有一个零点，由f（x）＝a x﹣1og a（x+1）﹣1＝0，得a x﹣1＝1og a（x+1）在x＞0时只有一个根，设y＝a x﹣1和y＝1og a（x+1）则两个函数互为反函数，图象关于y＝x对称，要使a x﹣1＝1og a（x+1）在x＞0时只有一个根，则只需要函数的y＝a x﹣1在x＝0处的导数y′＜1即可，即y′＝a x lna，则y′|x＝0＝a0lna＝lna＜1，得1＜a＜e，即实数a的取值范围是（1，e），故答案为：（1，e）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．【解答】解：（1）∵4S＝b2+a2﹣c2，∴2ab cos C＝4×ab sin C，∴cos C＝sin C，∴tan C＝，又0＜C＜π，∴C＝；（2）∵c＝2，C＝，由正弦定理＝＝＝4，可得：a＝4sin A，b＝4sin B，∴b﹣a＝4（sin B﹣sin A）＝4[sin（﹣A）﹣sin A]＝4（cos A+sin A）＝4sin（A+），∵A∈（0，），∴A+∈（，），∴∴sin（A+）∈（﹣，1），∴4sin（A+）∈（﹣2，4），即b﹣a的取值范围是（﹣2，4），18．【解答】解：（1）证明：S n＝2a n﹣n﹣2，可得a1＝S1＝2a1﹣3，即a1＝3；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣n﹣2﹣2a n﹣1+n﹣1+2，可得a n+1＝2（a n﹣1+1），即有{a n+1}是首项为4，公比为2的等比数列；（2）b n＝＝＝，c n＝b n+＝+＝2+﹣，前n项和T n＝2n+﹣+﹣+…+﹣＝2n+．19．【解答】证明：（1）∵四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥平面P AC，四边形ABCD为平行四边形，且AD＝AB＝4，∠BAD＝135°，∴AC⊥PB，AB＝2，BC＝4，∠ABC＝45°，∴AC＝＝＝2，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，又PB∩AB＝B，∴AC⊥平面P AB．解：（2）∵AC⊥平面P AB，∴∠APC是直线PC与平面P AB所成角，∵直线PC与平面P AB所成角的正切值为，∴tan∠APC＝＝，∴AC＝＝2，∴P A＝2，PC＝＝2，PB＝＝＝2，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），C（0，2，0），P（，0，），D（﹣2，2，0），＝（），＝（﹣，﹣），＝（﹣3，2，﹣），设平面APC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，0，﹣1），设平面PCD的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（0，1，2），设二面角A﹣PC﹣D的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角A﹣PC﹣D的余弦值为．20．【解答】解：（1）依题意得|QE|+|QF|＝|QE|+|QP|＝|PE|＝4＞|EF|＝2，根据椭圆的定义可得Q的轨迹曲线C是以E，F为焦点的椭圆，这里2a＝4，a＝2，2c＝2，c＝，所以b2＝a2﹣c2＝4﹣3＝1故C的方程为+y2＝1；（2）证明：根据题意，C的方程为+y2＝1，M是C与y轴正半轴的交点，则M（0，1），显然直线l有斜率，设直线l的方程为y+1＝k（x﹣2）与椭圆方程联立消去y可得：（k2+）x2﹣2k（2k+1）x+（2k+1）2﹣1＝0，变形可得：（1+4k2）x2﹣8k（2k+1）x+16k2+16k＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝，则k1＝，k2＝，则k1+k2＝（）+（）＝+＝＝2k﹣（2k+2）＝﹣1；故k1+k2为定值﹣1．21．【解答】解：（1）f′（x）＝ae x+e﹣x﹣（a+1）＝＝，∵f（x）存在极大值点x1和极小值点x2，∴0＜a＜1，令f′（x）＝0，解得x2＝﹣lna，或x1＝0，且﹣lna＞0，∴当x＜0或x＞﹣lna时，f′（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜﹣lna时，f′（x）＜0，函数单调递减，∴当x1＝0时，函数取得极大值，当x2＝﹣lna时，函数取得极小值，故a的范围为（0，1），（2）由（1）可知0＜a＜1，且f（x）的极大值点为x1＝0，极小值点为x2＝﹣lna，∴f（x2）＝f（﹣lna）＝1﹣a+（a+1）lna，f（x1）＝f（0）＝a﹣1，∵f（x1）＞kf（x2），∴a﹣1＞k[1﹣a+（a+1）lna]对任意0＜a＜1恒成立，由于此时f（x1）＜f（x2）＜0，故k＞0，故（a+1）lna＜（1+）（a﹣1），即lna＜（1+），设g（x）＝lnx﹣（1+），则g′（x）＝，令x2﹣+1＝0（*），①k≥1时，△＝﹣4≤0，故g′（x）＞0，g（x）在（0，1）递增，故g（a）＜g（1）＝0，即lna＜（1+），符合题意，②0＜k＜1时，△＝﹣4＞0，设（*）的两根为x3，x4，且x3＜x4，则x3+x4＝＞0，x3•x4＝1，故0＜x3＜1＜x4，则当x3＜x4＜1时，g′（x）＜0，g（x）在（x3，1）递增，故当x4＜a＜1时，g（a）＞g（1）＝0，即lna＞（1+），故f（x1）＜kf（x2），矛盾，不合题意，综上，k≥1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．【解答】（1）∵在同一直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2+y′2＝1，∴C的轨迹方程是，∵直线的极坐标方程为ρsin（θ﹣）＝，即ρsinθ﹣ρcosθ＝，∴直线的直角坐标方程是y﹣x＝，即y﹣x＝2；（2）由上解之l的斜率是，故其倾斜角是60°，所以其垂线的倾斜角是150°故直线l的垂线的方程可设为，将其代入整理得7t2﹣4t﹣12＝0∴t1t2＝﹣，t1+t2＝，由题意，点A在x轴上方，故可令|P A|＝t1＞0，|PB|＝﹣t2＞0，∴＝＝．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．【解答】解：（1）f（x）≤a⇔|ax+2|≤a⇔﹣a≤ax+2≤a⇔﹣1﹣≤x≤1﹣，∴﹣1﹣＝﹣2，a＝2（2）证明：由（1）得f（x）＝|2x+2|，∴f（x﹣2）+f（2x）＝|2x﹣2|+|4x+2|＝2|x﹣1|+2|2x+1|＝∴f（x）min＝3，当m＝2时，m+＝3，所以对任意x∈R，存在m＝2＞1，使得不等式f（x﹣2）+f（2x）≥m+＝3成立析，能在头脑里形成生动而清晰的物理情景，找到解决问题的简捷办法，才能顺利地、准确地完成解题的全过程。

福建省厦门市2018届高三上学期期末质检 数学（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}0,1,2,3A =，{}13B x x =-≤<，则A B =I （ ） A ．{}1,2 B ．{}0,1,2 C ．{}0,1,2,3 D ．∅2．已知命题:,21xp x ∀∈>R ，命题000:,sin cos q x x x ∃∈=R ，则下列命题中的真命题为（ ）A ．q ⌝B ．p q ∧C ．p q ⌝∧D ．p q ∨⌝ 3．已知2log 0.3a =，0.32b =，20.3c =，则（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．b c a >>4．已知3sin 24α=，42ππα<<，则sin cos αα-的值是（ ） A ．12 B ．12- C ．14 D ．14-5．若,x y 满足约束条件10,220,1,x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值是（ ）A ．1B ．3C ．5D ．76．设,a b 表示直线，,αβ表示平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若,a b αα∥∥，则a b ∥ B ．若,a ααβ⊥⊥，则a β∥ C ．若,a b αα⊥∥，则a b ⊥ D ．若,a ααβ⊥∥，则a β⊥ 7．已知数列{}n a 满足()1112n n n a a +++-=，则其前100项和为（ ）A ．250B ．200C ．150D ．1008．函数()sin 1cos 2y x x =+在区间[]2,2-上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为(),0F c -，O 为坐标原点，,P Q 为双曲线的渐近线上两点，若四边形PFQO 是面积为2c 的菱形，则该渐近线方程为（ ） A ．2y x =± B ．12y x =±C ．4y x =±D ．14y x =± 10．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛.如图，“大衍数列”：0,2,4,8,12^来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.下图是求大衍数列前n 项和的程序框图.执行该程序框图，输入8m =，则输出的S =（ ） A ．44 B ．68 C ．100 D ．14011．在ABC ∆中，2AB =，1AC =，120BAC ∠=︒，BD BC λ=uu u r uu u r .若14AD BC ⋅=uuu r uu u r ，则实数λ的值为（ ） A ．-2 B ．14 C ．12 D ．3412．函数()2cos 0y x x π=<<和函数3tan y x =的图象相交于,A B 两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积为（ ）A B C ． D 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．若复数满足2z i i ⋅=-，则z =．14．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为．15．已知函数()221,20,,0,x x x x f x e x ⎧--+-≤<⎪=⎨≥⎪⎩若函数()()g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为．16．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，且2PF 垂直x 轴，若直线1PF三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．在ABC ∆中，D 是边BC上的点，AB AD ==，1cos 7BAD ∠=. （1）求sin B ；（2）若4AC =，求ADC ∆的面积.18．已知等差数列{}n a 的公差0d >，其前n 项和为n S ，且520S =，358,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令11n n n b n a a +=+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PA PB =，24CD AB ==，CD AB ∥，90BPA BAD ∠=∠=︒.（1）求证：PB ⊥平面PAD ；（2）若三棱锥C PBD -的体积为2，求PAD ∆的面积.20．在直角坐标系xOy 中，()1,0F ，动点P 满足：以PF 为直径的圆与y 轴相切. （1）求点P 的轨迹方程； （2）设点P 的轨迹为曲线Γ，直线l过点()4,0M 且与Γ交于,A B 两点，当ABF ∆与AOF ∆的面积之和取得最小值时，求直线l的方程.21．已知函数()()22ln 12a f x a x x a x =+-+. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a >时，记函数()f x 的极小值为()g a ，若()()3212254g a b a a a <--+恒成立，求满足条件的最小整数b .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,sin ,x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，,A B 为C 上两点，且OA OB ⊥，设射线:OA θα=，其中02πα<<.（1）求曲线C 的极坐标方程； （2）求OA OB ⋅的最小值. 23．选修4-5：不等式选讲 函数()12f x x x a =-++.（1）当1a =时，求证：()13f x x +-≥； （2）若()f x 的最小值为2，求实数a 的值.厦门市2018届高三年级第一学期期末质检文科数学参考答案一、选择题1-5:BCDAD 6-10:CDBAC 11、12：DA 二、填空题13 14．83 15．13a ≤-或2a e ≥ 16三、解答题17．解：（1）在ABD ∆中，2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠=1772127+-=，得BD =由1cos 7BAD ∠=，得sin BAD ∠=在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AD BDB BAD=∠，所以sin B ==（2）因为sin B =，B 是锐角，所以cos B = 设BC x =，在ABC ∆中，2222cos AB BC AB BC B AC +-⋅⋅=即27216x x +-⋅=化简得：290x --=解得x =或x =则CD BC BD =-==由ADC ∠和ADB ∠互补，得sin sin sin ADC ADB B ∠=∠==所以ADC ∆的面积11sin 22S AD DC ADC =⋅⋅⋅∠== 18．解：（1）因为()1555202a a S +==，即158a a += 34a =即124a d +=，①因为358,,a a a 为等比数列，即2538a a a =所以()()()2111427a d a d a d +=++，化简得：12a d =② 联立①和②得：12a =，1d = 所以1n a n =+（2）因为()()11112n n n b n a a n n +=+=⋅++1112n n n n ⎛⎫+=-+ ⎪++⎝⎭所以111111123233445n T ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++-+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦1112n n n ⎡⎤⎛⎫++-+ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦L 1111111123344512n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ()123n +++++L()111222n n n +⎛⎫=-+⎪+⎝⎭()()1222n n nn +=++ 19．解：（1）∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB I 平面ABCD AB =，AD ⊂平面ABCD ，且AD AB ⊥，∴AD ⊥平面PAB .又∵PB ⊂平面PAB ，∴PB AD ⊥. 又∵PB PA ⊥，PA AD A =I ，,PA PD ⊂平面PAD ，∴PB ⊥平面PAD .（2）取AB 中点E ，连接PE . ∵PA PB =，∴PE AB ⊥.又∵PE ⊂平面PAB ，平面PAB ⊥平面ABCD ， 平面PAB I 平面ABCD AB =， ∴PE ⊥平面ABCD .∴PE 为三棱锥P BCD -的高，且112PE AB ==. 又∵CD AB ∥，AD CD ⊥，∴122BCD S CD AD AD ∆=⋅=. ∴12233C PBD P BCD BCD V V S PE AD --∆==⋅⋅==，得3AD =. cos 45PA AB =⋅︒=又∵AD ⊥平面PAB 且PA ⊂平面PAB ，∴PA AD ⊥.∴12PAD S PA AD ∆=⋅=.20．解：（1）设点(),P x y ，圆心()00,N x y ， 圆与y 轴相切于点C ，则2PF NC =，02x =，又点N 为PF 的中点，所以012x x +=，24y x =.所以点P 的轨迹方程为：24y x =.（2）（ⅰ）当直线l的斜率不存在时，方程为：4x =，易得14ABF AOF S S ∆∆+=. （ⅱ）当直线l的斜率存在时，设方程为：()4y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由()244y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去x 并整理得：24160ky y k --=， 所以124y y k+=，1216y y =-，所以1142ABF AOF AOM BFM S S S S y ∆∆∆∆+=+=⋅⋅211322y +⋅⋅≥⋅当且仅当1243y y =时等号成立，又1216y y =，所以1y =2y =或1y =-，2y =，所以124y y k +==，解得：k =±因为14≤，所以当两个三角形的面积和最小时，直线l的方程为：)4y x =±-.21．解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()()21a f x ax a x'=+-+=()()()2211ax a x a ax x a x x -++--= ①若0a ≤，当()0,x ∈+∞时，()0f x '≤， 故()f x 在()0,+∞单调递减， ②若0a >，由()0f x '=，得11x a=，2x a = （ⅰ）若01a <<，当1,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<， 当()10,,x a a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭U 时，()0f x '>， 故()f x 在1,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在()0,a ，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增（ⅱ）若1a =，()0f x '≥，()f x 在()0,+∞单调递增， （ⅲ）若1a >，当1,x a a ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<， 当()10,,x a a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭U 时，()0f x '>， 故()f x 在1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，(),a +∞单调递增（2）由（1）得：若1a >，()f x 在1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，(),a +∞单调递增 所以x a =时，()f x 的极小值为()()2ln 2a g a f a a a a ==-- 由()()212254g a b a a a <--+恒成立， 即2ln 24a ab a a >-+恒成立 设()()2ln 124x x h x x x x =-+>，()5ln 4h x x x '=-+ 令()()5ln 4x h x x x ϕ'==-+， 当()1,x ∈+∞时，()110x xϕ'=-<所以()h x '在()1,+∞单调递减，且()1104h '=>，()()3312ln 2ln16ln 044h e '=-=-< 所以()01,2x ∃∈，()0005ln 04h x x x '=-+=，且()01,x x ∈，()00h x '>，()0,2x x ∈，()00h x '< 所以()()200000maxln 24x x h x h x x x ==-+，因为005ln 4x x =- 得()200max 12h x x x =-其中()01,2x ∈， 因为212y x x =-在()1,2上单调递增 所以()max 1,02h x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭因为()max b h x >，b Z ∈，所以min 0b =22．解：（1）将1C的方程化为直角坐标方程为221y +=，即2212x y +=. 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入可得()()22cos sin 12ρθρθ+= 化简得2221sin ρθ=+ （2）根据题意：射线OB 的极坐标方程为2πθα=+或2πθα=-.1OA ρ==，2OB ρ===则12OA OB ρρ⋅=⋅==22241sin 1cos 32αα≥=+++， 当且仅当22sin cos αα=，即4πα=时，取得最小值43. 故OA OB ⋅的最小值为43. 23．解：（1）依题意：()1121f x x x x +-=-++12221x x x +-=-++ ()()22213x x ≥--+=， 当且仅当()2221x x -=-+，即14x =时，等号成立. （2）①当12a >-，即2a >-时，()31,,21,1,231,1,a x a x a f x x a x x a x ⎧-+-≤-⎪⎪⎪=++-<<⎨⎪+->⎪⎪⎩则当2a x =-时，()min 112222a a a f x f ⎛⎫=-=--=+= ⎪⎝⎭，故2a =.②当12a <-，即2a <-时，()31,1,1,1,231,,2x a x a f x x a x a x a x ⎧⎪-+-≤⎪⎪=---<<-⎨⎪⎪+-≥-⎪⎩ 则当2a x =-时，()min 112222a a a f x f ⎛⎫=-=--=--= ⎪⎝⎭，故6a =-. ③当12a =-时，即2a =-时，()31f x x =-有最小值0，不符合题意，舍去.。

福建省厦门市数学高三上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高三上·衡阳月考) 设集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二下·河池月考) “ ”是“ ”成立的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 既不充分也不必要条件D . 充要条件3. （2分） (2019高一下·三水月考) 下表是高一级甲，乙，丙三位同学在先后五次数学考试中的成绩折线图，那么下列说法正确的是（）A . 甲平均分比丙要高；B . 按趋势，第6次的考试成绩最高分必定是丙；C . 每个人五次成绩的标准差最大的是乙；D . 从第1次考试到第5次考试，进步幅度最大的是丙.4. （2分） (2016高一上·广东期末) 已知函数f（x）=x2+ex﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A . （﹣，）B . （﹣，）C . （﹣∞，）D . （﹣∞，）5. （2分）已知菱形的边长为， ,则=（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高一下·蕲春期中) 己知α为第二象限角，cosa=﹣，则sin2α=（）A . ﹣B . ﹣C .D .7. （2分） (2019高三上·广东月考) 已知非零向量满足且，则与的夹角为（）A .B .C .D .8. （2分）已知等比数列{am}的前m项和为Sm ，若S2n=4（a1+a3+a5+…+a2m-1）,a1a2a3=27,则a6=（）A . 27B . 81C . 243D . 7299. （2分）(2017·兰州模拟) 已知函数f（x）=cos（2x﹣φ）﹣ sin（2x﹣φ）（|φ|＜）的图象向右平移个单位后关于y轴对称，则f（x）在区间上的最小值为（）A . ﹣1B .C .D . ﹣210. （2分）(2018·南阳模拟) 已知双曲线的右焦点为 ,右顶点为，过作的垂线与双曲线交于分别作的垂线，两垂线交于点，若到直线的距离小于，则双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高一下·大连期末) 已知函数满足，且，当时，则（）A .B .C .D .12. （2分）(2018·株洲模拟) 已知双曲线的右焦点为，其中一条渐近线与圆交于两点，为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高三上·大庆期中) 不等式组表示平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点P（x，y），则P点的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为________．14. （1分） (2019高三上·天津月考) 展开式的常数项为________．（用数字作答）15. （1分） (2017高二下·成都期中) 四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点 A 为端点的三条棱长都相等，且两两夹角为60°．则线段 AC1与平面ABC所成角的正弦值为________．16. （1分） (2019高二上·南湖期中) 四面体的四个顶点都在球的球面上，平面，是等边三角形．若侧面的面积为，则球的表面积的最小值为________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2017高二上·张掖期末) 已知数列{an}的前n项和Sn= ，n∈N* ．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn= +（﹣1）nan ，求数列{bn}的前2n项和．18. （10分） (2015高三上·来宾期末) 进入冬季以来，我国北方地区的雾霾天气持续出现，极大的影响了人们的健康和出行，我市环保局对该市2015年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为（5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图．（1）求a的值；（2）如果空气质量指数不超过15，就认定空气质量为“特优等级”，则从今年的监测数据中随机抽取3天的数值，其中达到“特优等级”的天数为X．求X的分布列和数学期望．19. （10分）(2017·大连模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，试确定点M的位置，使二面角M﹣BQ﹣C大小为60°，并求出的值．20. （10分）(2017·郴州模拟) 已知函数f（x）=ax2﹣（2a﹣1）x﹣lnx．（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当a＜0时，求函数f（x）在上的最小值；（3）记函数y=f（x）的图象为曲线C，设点A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线C上的不同两点，点M为线段AB的中点，过点M作x轴的垂直交曲线C于点N，判断曲线C在点N处的切线是否平行于直线AB，并说明理由．21. （10分） (2017高二上·河北期末) 椭圆C：的左右焦点分别是F1 ， F2 ，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M （m，0），求m的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值．22. （10分）(2020·鹤壁模拟) 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.（1）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当时，求曲线，的极坐标方程；（2）若曲线与曲线交于，两点（不重合），求的取值范围.23. （10分） (2019高三上·西湖期中) 已知函数（1）解不等式；（2）若函数最小值为，且，求的最小值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分)17-1、18-1、答案：略18-2、答案：略19-1、20-1、答案：略20-2、答案：略20-3、答案：略21-1、答案：略21-2、答案：略21-3、答案：略22-1、22-2、23-1、答案：略23-2、答案：略第11 页共11 页。

福建省厦门市2018 届高三上学期期末质检数学（理）试题
答题卡
姓名： ______________班级： ______________
缺考标志
考生严禁填涂缺考标志！只好由监考老师负责用黑色笔迹的署名笔填涂。

注意事项
1、答题前，考生先将自己的姓名、准考据号码填写清楚。

2、请将准考据条码粘贴在右边的[ 条码粘贴处 ] 的方框内
3、选择题一定使用2B 铅笔填涂；非选择题一定用0.5 毫米黑色笔迹的署名笔填写，字体工整
4、请按题号次序在各题的答题区内作答，高出范围的答案无效，在厕纸、试卷上作答无效。

5、保持卡面洁净，不要折叠、不要弄破、弄皱，严禁使用涂改液、刮纸刀。

6、填涂样例正确[■]错误[--][√] [×]
一、选择题（请用2B 铅笔填涂）
1、[A][B][C][D]
2、[A][B][C][D]
3、[A][B][C][D]
4、[A][B][C][D]
5、[A][B][C][D]
6、[A][B][C][D]
7、[A][B][C][D]
8、[A][B][C][D]
9、[A][B][C][D]
10、[A][B][C][D]
11、[A][B][C][D]
12、[A][B][C][D]
二、填空题（请在横线上作答）
13、14、
15、16、
三、解答题（请在指定地区内作答）
17、
2
4
选做题：
6。

厦门市2018届高三年级第一学期期末质检理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{(1)0}A x x x =+>，{B x y ==，则A B =（ ）A. {0}x x >B. {}1x x ≥C. {01}x x <≤D. ∅【答案】B 【解析】∵集合(){10}A x x x =+> ∴集合{1A x x =<-或}0x >∵集合{B x y ==∴集合{}1B x x =≥ ∴{}1A B x x ⋂=≥ 故选B.2. 命题“32000R,10x x x ∃∈-+≤”的否定是（ ） A. 32000R,10x x x ∃∈-+<B. 32000R,10x x x ∃∈-+≥C. 32R,10x x x ∀∈-+> D. 32R,10x x x ∀∈-+≤【答案】C 【解析】由特称命题的否定可得，所给命题的否定为“32R,10x x x ∀∈-+>”．选C ．3. 实数,x y 满足0x y >>，则（ ）A. 11x y>B.C. 1122x y⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 2x xy <【答案】B 【解析】选项A 中，由0x y >>得，110y x x y xy --=<，所以11x y<，故A 不正确． 选项B 中，将不等式两边平方得x y x y +-<-，整理得y ，<由于0x y >>，所以上式成立．故B 正确．选项C 中，由0x y >>得，11()()22x y<，故C 不正确．选项D 中，由0x y >>得，2()0x xy x x y -=->，所以2x xy >，故D 不正确． 综上选B ．4. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若αβ⊥，m β⊥，则//m α B. 若//m α，n m ⊥，则n α⊥C. 若//m α，//n α，m β⊂，n β⊂，则//αβD. 若//m β，m α⊂，n αβ=，则//m n【答案】D 【解析】 【分析】对于A ，B 选项均有可能为线在面内，故错误；对于C 选项，根据面面平行判定定理可知其错误；直接由线面平行性质定理可得D 正确.【详解】若αβ⊥，m β⊥，则有可能m 在面α内，故A 错误； 若//m α，n m ⊥，n 有可能在面α内，故B 错误；若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C 错误． 若//m β，m α⊂，n αβ=，则由直线与平面平行的性质知//m n ，故D 正确．故选D.【点睛】本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了空间中直线与平面的位置关系，属于中档题.5. 已知实数,x y 满足1,20,21,x y x x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则目标函数2z x y =+的最大值等于（ ）A. -7B. 52-C. 2D. 3【答案】C 【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示），由2z x y =+可得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图形得，当直线2y x z =-+经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最大值． 由题意得点A 的坐标为（1,0）， ∴max 2102z =⨯+=．选C ． 6. 如图所示，函数3tan 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的部分图象与坐标轴分别交于点,,D E F ，则DEF ∆的面积等于（ ）A.4π B.2π C. πD. 2π【答案】A 【解析】 在3tan 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭中，令0x =，得3tan 16y π==，故1OD =；又函数3tan 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为2T π=，所以2EF π=．∴1112224DEF S EF OD ππ∆=⋅⋅=⨯⨯=．选A ． 7. 已知正方形ABCD 的边长为2，对角线相交于点O ，P 是线段BC 上一点，则OP CP ⋅的最小值为（ ） A. -2 B. 12-C. 14-D. 2【答案】C 【解析】根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,1),(2,2)O C ，设(2,)(02)P t t ≤≤，则(1,1),(0,2)OP t CP t =-=-，∴2231(1)(2)32()24OP CP t t t t t ⋅=--=-+=--， ∴当32t =时，OP CP ⋅有最小值14-．选C ． 8. 函数()2xcosxf x x 1=+ []()x 2,2∈-的大致图象是（ ） A.B.C. D.【答案】C 【解析】由于()()f x f x -=-，故函数为奇函数，排除D选项，06f π⎛⎫>⎪⎝⎭，故排除B 选项，()22cos 205f =<排除A 选项，故选C . 9. ABC ∆中，2π3B ∠=，,A B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，若()0BA BC AC +⋅=，则E 的离心率为（ ）A.51-B.31+C.312- D.312+ 【答案】D 【解析】由题意得，点C 在双曲线的右支上．设AC 的中点为D ，由()0BA BC AC +⋅=得BD AC ⊥，所以2BA BC c ==，由双曲线的定义得222CA CB a c a =+=+． 在ABD ∆中，,3BD AD ABD π⊥∠=，∴sin32AD a c ABc π+==，即32a cc+=， 整理得31c e a +==．选D ． 10. 习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛.如图，“大衍数列”：0,2,4,8,12…来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.下图是求大衍数列前n 项和的程序框图.执行该程序框图，输入10m =，则输出的S =（ ）A. 100B. 140C. 190D. 250【答案】C 【解析】由题意得，当输入10m =时，程序的功能是计算并输出2222221123149110222222S ---=++++++． 计算可得11(8244880)(4163664100)19022S =++++++++=．选C ．11. 若锐角ϕ满足sin cos 2ϕϕ-=，则函数()()2sin f x x ϕ=+的单调增区间为（ ） A .()52,2Z 1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B. ()5,Z 1212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C. ()72,2Z 1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D. ()7,Z 1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】∵sin cos )4πϕϕϕ-=-=， ∴1sin()42πϕ-=． 又444πππϕ-<-<，∴46ππϕ-=，512πϕ=． ∴2515151()sin ()[1cos(2)]cos(2)1226262f x x x x πππ=+=-+=-++， 由5222,6k x k k Z ππππ≤+≤+∈， 得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， ∴函数的单调增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-++∈．选B ． 点睛：求正（余）弦型函数单调区间的注意点（1）将所给的函数化为形如()sin()f x A x ωϕ=+或()cos()f x A x ωϕ=+的形式，然后把x ωϕ+看作一个整体，并结合正（余）弦函数的单调区间求解．（2）解题时注意,A ω的符号对所求的单调区间的影响，特别是当A 或ω为负数时，要把x ωϕ+代入正（余）弦函数相对的单调区间内求解．12. 已知函数()()22log ,02,log 4,24,x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩若()12f a f a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（ ）A. 170,2,22⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B. 1770,,242⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C.1717 0,2,42⎛⎤-⎡⎫⋃⎥⎪⎢⎣⎭⎝⎦D.171770,,442⎛⎤-⎡⎫⋃⎥⎪⎢⎣⎭⎝⎦【答案】D【解析】画出函数()y f x=的图象（图中黑色部分），则函数()y f x=的图象向左平移12个长度单位，得到函数1()2y f x=+的图象（图中红色部分），设两图象交于点,A B，且横坐标分别为12,a a．由图象可得满足()12f a f a⎛⎫≥+⎪⎝⎭的实数a的取值范围为127(0,][,)2a a⋃．对于1a，由21211log log()2a a-=+，解得11112aa=+，所以211220a a--=，解得1117a-+=或11174a--=（舍去）．对于2a，由22221log log[4()]2a a=-+，解得274a=．综上可得实数a的取值范围为11777(0,][,)442-+⋃．选D．点睛：解答本题的技巧在于借助于数形结合增强了解题的直观性，利用图象的平移，将解不等式的问题转化为两函数图象的相对位置关系来处理，然后根据函数图象的交点情况，通过解方程的方法求得所求范围的端点值，最后根据图象写出不等式成立时参数的范围．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 复数z满足()1i2iz-=，则z=__________．2【解析】由题意得2i 2i(1i)i(1i)1i 1i (1i)(1i)z +===+=-+--+，∴|1i|z =-+=14. 设等比数列{}n a 满足11a =，356a a +=，则579a a a ++=__________． 【答案】28 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得1243511()6a a a a q q =⎧⎨+=+=⎩， ∴4260q q --=，解得23q =或22q =-（舍去）．∴4682345791()22228a a a a q q q ++=++=++=．答案：2815. 直线()1y k x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点,若163AB =,则k =__________．【答案】【解析】 由()214y k x y x⎧=-⎨=⎩消去y 整理得2222(24)0k x k x k -++=，∵直线与抛物线交于,A B 两点，∴()22402440k k k ≠⎧⎪⎨=+->⎪⎩，解得0k ≠． 设1122(,),(,)A x y B x y ，则212224k x x k++=． ∵121623AB x x =++=， ∴212224103k x x k ++==，∴23k =，k =．检验知3k =±满足条件． 答案：3±16. 某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为__________．【答案】1003π【解析】由三视图可得三棱锥为如图所示的三棱锥P ABC -，其中底面ABC ∆为直角三角形．将三棱锥还原为长方体，则长方体的长宽高分别为4,3,23则三棱锥外接球的球心在上下底面中心的连线12O O 上，设球半径为R ，球心为O ，且球心到上底面的距离为d ，则球心到下底面的距离为23d ．在如图所示的2Rt OO P ∆和1Rt OO C ∆中，由勾股定理可得2223)R d =+及222(23)(7)R d =+，解得2253R =． 所以三棱锥的外接球的表面积为210043S R ππ==．答案：1003π点睛：已知球与柱体（或锥体）外接求球的半径时，关键是确定球心的位置，解题时要根据组合体的特点，并根据球心在过小圆的圆心且与小圆垂直的直线上这一结论来判断出球心的位置，并构造出以球半径为斜边，小圆半径为一条直角边的直角三角形，然后根据勾股定理求出球的半径，进而可解决球的体积或表面积的问题．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 如图，单位圆O 与,x y 轴正半轴的交点分别为,A D ，圆O 上的点C 在第一象限.（1）若点C 的坐标为31,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，延长CD 至点B ，使得2DB =，求OB 的长；（2）圆O 上的点E 在第二象限，若23EOC π∠=，求四边形OCDE 面积的最大值.【答案】(1) 7OB =(2)3【解析】 【分析】试题分析：⑴由点312C ⎫⎪⎪⎝⎭，可得30AOC ∠=︒，故60COD ∠=︒，所以120CDB ∠=︒，由余弦定理求出OB 的长； ⑵设62COD ππθθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，则23DOE πθ∠=-，从而可得四边形OCDE 的面积()S θ，由θ的取值范围得当3πθ=时，四边形OCDE 3解析：（1）由点3122C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在单位圆上，可知30AOC ︒∠=，由图像可得60COD ︒∠=；在CDB ∆中，1OD =，120CDB ︒∠=，2DB =； 由余弦定理得222OB OD DB =+ 2cos120OD OB ︒-⋅⋅； 解得7OB =；（2）设62COD ππθθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，23DOE πθ∠=- 1sin 2COD S θ∆=，12sin 23EOD S πθ∆⎛⎫=-⎪⎝⎭四边形OCDE 的面积()EOD COD S S S θ∆∆=+ 112sin sin 223πθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 62ππθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭131sin sin 22θθθ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦33sin 44θθ=+36πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 62ππθ<<，2363πππθ∴<+<当62ππθ+=，即3πθ=时，四边形OCDE 的面积S 3. 【详解】18. 如图，直角梯形BDFE 中，//,,22EF BD BE BD EF ⊥=，等腰梯形ABCD 中，//,,24AB CD AC BD AB CD ⊥==，且平面BDFE ⊥平面ABCD ．（1）求证：AC ⊥平面BDFE ； （2）若BF 与平面ABCD 所成角为4π，求二面角B DF C --的余弦值．【答案】（1）见解析（2）23【解析】【详解】试题分析：（1）直接利用面面垂直的性质定理可证； （2）设ACBD O =，计算后可证OF//BE ，从而由已知可证OF ⊥平面ABCD ，因此可以OA ，OB ，OF为坐标轴建立空要间直角坐标系，利用向量法求二面角． 试题解析：（1）∵平面BDFE ⊥平面ABCD ，C A BD ⊥，平面BDFE 平面ABCD BD =，又AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥平面BDFE ； （2）设ACBD O =，∵四边形ABCD 为等腰梯形，,242DOC AB CD π∠===，∴2,22OD OC OB OA ====，∵//FE OB ，∴四边形BOFE 为平行四边形，∴//OF BE ， 又∵BE ⊥平面ABCD ，∴OF ⊥平面ABCD ， ∴FBO ∠为BF 与平面ABCD 所成的角，∴4FBO π∠=，又∵2FOB π∠=，∴22OF OB ==以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OF 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则()()()()()0,22,0,0,2,0,0,0,22,2,0,0,22,0,0B D F C A --，()()0,2,22,2,2,0DF CD ==-，∵AC ⊥平面BDFE ，∴平面BDF 的法向量为()1,0,0， 设平面DFC的一个法向量为(),,n x y z =，由·0·0DF n CD n ⎧=⎨=⎩得2220220y z x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，令2x =得，()2,2,1n =-，2222cos ,31?221n AC ==++，∴二面角B DF C --的余弦值为23．点睛：立体几何中求“空间角”，一种方法是根据“空间角”的定义作出它的“平面角”，再通过解三角形求得，其方法是一作二证三计算；第二种方法是在图形中有相互垂直的三条直线（或两条）时，可建立空间直角坐标系，利用空间向量法求角，这种方法主要的就是计算，减少了作辅助线，证明的过程，只要计算过关，一般都能求得正确结论．19. 数列{}n a 满足122311111n n na a a a a a n ++++=+(1)若数列{}n a 为公差大于0的等差数列，求{}n a 的通项公式；(2)若1(1)nn n n b a a +=-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S .【答案】(1)n a n =；(2)()221n S n n =+. 【解析】 试题分析：（1）由题意得12112a a =，12231123a a a a +=，从而得到122326a a a a ，==，设出等差数列{}n a 的公差d ，解方程组可得111a d ==，，从而得到n a n =．（2）由条件122311111n n na a a a a a n ++++=+，可得()1223111112n nn n a a a a a a n--+++=≥，，两式相减得()11(2n n a a n n n +=⋅+≥)，又122a a =，故()()*11N n n a a n n n +=⋅+∈，所以()()11nn b n n =-+，然后根据2124n n b b n -+=可求得2n S ．试题解析：（1）由已知得122311111n n na a a a a a n ++++=+ 当1n =时，12112a a =①，即122a a = 当2n =时，12231123a a a a +=② ②-①，得23116a a =；即236a a = 设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()()12112311226a a a a d a a a d a d ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩解得111a d =⎧⎨=⎩或111a d =-⎧⎨=-⎩．∵0d >， ∴111a d ==，． ∴()11n a n n =+-=． （2）∵122311111n n na a a a a a n ++++=+③∴122311111(2n nn n a a a a a a n--+++=≥，)④③-④得11(21n n nn a a n +=≥+)， 即()11(2n n a a n n n +=⋅+≥)， 又122a a =，∴()()*11N n n a a n n n +=⋅+∈，∴ ()()()1111n nn n n b a a n n +=-⋅=-+，∴()()212212221n n b b n n n n -+=--⋅+⋅+ 4n =． ∴()()()21234212n n n S b b b b b b -=++++++484n =+++()442n n +=()21n n =+．点睛：解答本题时注意以下几点（1）由递推关系解决数列的有关问题时，要注意数列中项的下标的限制．（2）求数列的前n 项和时，要根据数列通项的特点选择合适的方法．常用的求和方法有列项相消法、错位相减法、公式法、分组求和法等，对于通项中含有()1n-或()11n --等形式的数列的求和问题常选择分组求和法求解．20.已知点()1F，圆(222:16F x y -+=，点M 是圆上一动点， 1MF 的垂直平分线与2MF 交于点N .（1）求点N 的轨迹方程；（2）设点N 的轨迹为曲线E ，过点()0,1P 且斜率不为0的直线l 与E 交于,A B 两点，点B 关于y 轴的对称点为B '，证明直线AB '过定点，并求PAB '∆面积的最大值.【答案】(1) 22142x y +=.(2)2. 【解析】【试题分析】（1）由于24MN NF +=，所以N 的轨迹为椭圆，利用椭圆的概念可求得椭圆方程.（2）当直线l 的斜率存在时，设出直线方程和点,,A B B '的坐标，联立直线方程和椭圆方程，写出韦达定理，求得直线'AB 的方程，求得其纵截距为2，即过()0,2.验证当斜率不存在是也过()0,2.求出三角形面积的表达式并利用基本不等式求得最大值. 【试题解析】解：（1）由已知得：1NF NM =，所以1224NF NF MN NF +=+=又12F F =所以点N 的轨迹是以12,F F 为焦点，长轴长等于4的椭圆， 所以点N 轨迹方程是22142x y +=.（2）当k 存在时，设直线():10AB y kx k =+≠，()()1122,,,A x y B x y ，则()22,B x y '-，联立直线AB 与椭圆得22241x y y kx ⎧+=⎨=+⎩，得()2212420kxkx ++-=，∴()21221228140412212k k x x k x x k ⎧∆=+>⎪⎪-⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩，∴1212AB y y k x x '-=+，所以直线()121112:y y AB y y x x x x --=-+'， 所以令0x =，得122112x y x y y x x +=+，()()122112121211212x kx x kx kx x x x x x +++==+=++，所以直线AB '过定点()0,2Q ，（当k 不存在时仍适合）所以PAB ∆'的面积12221212PQB PQA k S S S x x k∆∆'=-=+=+2122k k=≤+，当且仅当2k =±时，等号成立.所以PAB ∆'面积的最大值是2.【点睛】本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查与圆锥曲线有关的三角形面积的最值.由于给定点()12,0F -，而圆心恰好是()2,0，由此考虑动点是否满足椭圆或者双曲线的的定义，结合垂直平分线的性质可知动点的轨迹为椭圆. 21. 已知函数2()()x f x ax x a e -=++()a R ∈. （1）若0a ≥，函数()f x 的极大值为5e，求实数a 的值； （2）若对任意的0a ≤，()ln(1)f x b x ≤+，在[0,)x ∈+∞上恒成立，求实数b 的取值范围. 【答案】（1）2a =；（2）1b ≥ 【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据导函数零点分类讨论，根据导函数符号变化规律确定函数极大值，最后根据绝对值求实数a 的值；（2）先求0a ≤，()f x 最大值，再变量分离得ln(1)xxe b x -≥+ ，最后根据导数研究函数ln(1)xxe y x -=+最大值，即得实数b 的取值范围.试题解析：（1）由题意，.①当时，， 令，得；，得，所以()f x 在(),1-∞单调递增()1,+∞单调递减. 所以()f x 的极大值为()151f e e=≠，不合题意. ②当时，，令，得；，得或，所以()f x 在11,1a ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增，1,1a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()1,+∞单调递减. 所以()f x 的极大值为()2151a f e e+==，得2a =. 综上所述2a =.（2）令，当时，，故()(]-0g a ∞于，上递增， ()()()0,0xg a g xe x -∴≤=≥ ∴原问题()[)ln 10,x xe b x x -⇔≤+∈+∞于上恒成立①当时，，，，此时，不合题意.②当时，令，，则，其中，，令，则()p x 在区间[)0,+∞上单调递增（ⅰ）时，，所以对，，从而在上单调递增，所以对任意，，即不等式在上恒成立. （ⅱ）时，由，及在区间上单调递增，所以存在唯一的使得，且时，.从而时，，所以在区间上单调递减， 则时，，即，不符合题意.综上所述，. 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为,sin ,x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，,A B 为C 上两点，且OA OB ⊥，设射线:OA θα=，其中02πα<<.（1）求曲线C 的极坐标方程； （2）求OA OB ⋅的最小值. 【答案】(1)2221sin ρθ=+；(2)43.【解析】试题分析：（1）利用已知条件把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化． （2）利用三角函数关系式的恒等变换，基本不等式求出结果． 试题解析：（1）将1C的方程化为直角坐标方程为221y +=，即2212x y +=. 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入可得()()22cos sin 12ρθρθ+=化简得2221sin ρθ=+ （2）根据题意：射线OB 的极坐标方程为2πθα=+或2πθα=-.1OA ρ==2OB ρ===则12OA OB ρρ⋅=⋅==22241sin 1cos 32αα≥=+++，当且仅当22sin cos αα=，即4πα=时，取得最小值43. 故OA OB ⋅的最小值为43. 23. 函数()12f x x x a =-++.（1）当1a =时，求证：()13f x x +-≥；（2）若()f x 的最小值为2，求实数a 的值. 【答案】(1)证明见解析；(2)2a =或6a =-.【解析】试题分析：（1）当1a =时，利用绝对值三角不等式可证：()13f x x +-≥； （2）分①当12a >-，②当12a <-，③当12a=-时，三种情况分类讨论，去掉绝对值符号，即可得到实数a 的值.试题解析：（1）依题意：()1121f x x x x +-=-++ 12221x x x +-=-++()()22213x x ≥--+=，当且仅当()2221x x -=-+，即14x =时，等号成立. （2）①当12a >-，即2a >-时，()31,,21,1,231,1,a x a x a f x x a x x a x ⎧-+-≤-⎪⎪⎪=++-<<⎨⎪+->⎪⎪⎩则当2a x =-时，()min 112222a a a f x f ⎛⎫=-=--=+= ⎪⎝⎭，故2a =.②当12a<-，即2a <-时，()31,1,1,1,231,,2x a x a f x x a x a x a x ⎧⎪-+-≤⎪⎪=---<<-⎨⎪⎪+-≥-⎪⎩则当2a x =-时，()min 112222a a a f x f ⎛⎫=-=--=--= ⎪⎝⎭，故6a =-.③当12a=-时，即2a =-时，()31f x x =-有最小值0，不符合题意，舍去.21。

泉港一中2017-2018学年上学期期末考试高三数学（理科）试题（考试时间：120分钟 总分：150分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知i 为虚数单位，若复数2i z i =-，则（ ） A ． B ．C ．D ．2. 设常数a ∈R ，集合A ＝{x|(x －1)(x －2)≥0}，B ＝{x|x ≥a}．若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为( )．(－∞，1) B ．(－∞，1] C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)3. 我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（ ）. 104人 B. 108人 C. 112人 D. 120人 4.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若，则ABC ∆为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形 C.等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形5. 已知数列{}n a 满足：时，2p p q a a +=，则{}n a 的前12项和（ ）A ． 94B ．-94 C. -126 D ．126 6.设α、β、γ为平面，为m 、n 、l 直线，则m β⊥的一个充分条件是 A 、,,l m l αβαβ⊥=⊥ B 、,,m αγαγβγ=⊥⊥C 、,,n n m αβα⊥⊥⊥D 、,,m αγβγα⊥⊥⊥7.按下图所示的程序框图运算：若输出2k =，则输入x 的取值范围是（ ）A. (]20,25 B ．(]30,57 C.(]30,32 D ．(]28,578.已知变量,x y 满足条件23033010x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若目标函数z ax y =+仅在点()3,0处取得最大值，则a 的取值范围是（ ）A ． 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ． 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭9. 如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点B ，C 在圆O 上，点B 的坐标为()1,2-，点C 位于第一象限，AOC α∠=，若BC =，则2sin cos222ααα=（ ） A． B．10. 已知,,A B P 是双曲线22221x y a b-=上的不同三点，且AB 连线经过坐标原点，若直线,PA PB 的斜率乘积23PA PB k k =，则该双曲线的离心率e =（ ）A11.一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积为（ ）ABC D12.已知函数()2x f x e =，()1ln 2g x x =+，对a R ∀∈，()0,b ∃∈+∞，使得()()f a g b =，则b a -的最小值为（ ） A ．ln 212+B ．ln 212-C.1- D1- 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13. 设()()()25501251111x a a x a x a x +=+-+-++-…，则125a a a +++=… ．14.如图，平面内有三个向量15. 设{a n }是等比数列，公比q =S n 为{a n }的前n 项和。

福建省厦门市高三上学期质检检测数学理【试卷综述】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。

【题文】一、选择题【题文】1、{}=⋂⎭⎬⎫⎩⎨⎧==>+==B A B A ，则，设集合x -31y x 02x x （ ） .{}2.->x x A {}3.<x x B {}32.>-<x x x C 或 {}32.<<-x x D【知识点】集合运算. A1【答案】【解析】D 解析：∵A={x|x>-2},B={x|x<3},∴A ∩B={x|-2<x<3},故选D. 【思路点拨】化简两已知集合，再求它们的交集. 【题文】2、是，则，：已知命题p 21sinx x p 00⌝≥∈∃R （ ） . 21sin ,.00≤∈∃x R x A 21sin ,.00<∈∃x R x B21sin ,.≤∈∀x R x C 21sin ,.<∈∀x R x D【知识点】含量词的命题的否定. A3【答案】【解析】D 解析：根据特称命题的否定方法得选项D 正确，故选 D. 【思路点拨】根据特称命题的否定方法确定结论.【题文】3、()2a m 1b m ,2,a b 0m R λλ==∈+==已知向量（，），，若存在使得，则（ ） .A.0B.2C.0或2D.0或-2 【知识点】向量的坐标运算. F2【答案】【解析】C 解析：根据题意得：()()()()22,1,2,120,0m m m m l l l+=++=即20120m m l l ìï+=ïíï+=ïïî解得m=0或2，故选C. 【思路点拨】利用向量的坐标运算得，关于,m l 的方程组求解.【题文】4、面积等于轴所围成的封闭图形的及，与直线曲线x 2x 1x x 3y 2===（ ） .A.1B.3C.7D.8【知识点】定积分的应用. B13 【答案】【解析】C 解析：所求=2232113|7x dx x ==ò，故选C.【思路点拨】根据定积分的几何意义求解. 【题文】5、()过点的图像的一条对称轴经函数R ∈⎪⎭⎫⎝⎛+=x 1-32x cos 2y 2π（ ） . ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,6.πA ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,6.πB ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,3.πC ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,3.πD【知识点】二倍角公式；函数()cos y A x w j =+的性质. C4 C6【答案】【解析】D 解析：已知函数为2cos 3y x p 骣÷ç÷=+ç÷÷ç桫，经检验在A 、B 、C 、D 四个选项中，只有选项D 中横坐标使已知函数取得最值，故选D. 【思路点拨】弦函数的对称轴是使函数取得最值的x 值. 【题文】6、确的是表示平面，下列说法正表示两条不同的直线，已知αm l ,（ ） ..,m ,A l l m a a ^^P 若则 .,,B l m m la a ^蘜若则ααl m m l C 则若,,.⊂ m l m l D 则若,,.αα【知识点】线面位置关系的判定与性质. G4 G5【答案】【解析】A 解析：对于选项A ：设过直线m 的平面交平面a 于n ，因为m a P , 所以m ∥n, 又l a ^，所以l n ^，所以l m ^，故选A. 【思路点拨】根据线面位置关系的判定与性质得选项A 正确.【题文】7、等差数列{}n a 中，3a 和9a 是关于方程()216064x x c c -+=<的两根，则该数列的前11项和11S （ ） .A.58B.88C.143D.176【知识点】等差数列及其前n 项和. D2【答案】【解析】B 解析：因为3a +9a =16，所以()39111116118822aa S +?´===， 故选B.【思路点拨】利用等差数列的性质求解.【题文】 8. 在直角坐标系中，函数xx x f 1sin )(-=的图像可能是（ ） .【知识点】函数的图像与性质. B8【答案】【解析】A 解析：因为f(x)是奇函数，所以排除选项C 、D.又21()cos f x x x ¢=+在x ∈0,2p 骣÷ç÷ç÷ç÷桫大于零恒成立，所以f(x)在 0,2p 骣÷ç÷ç÷ç÷桫上是增函数，故选A. 【思路点拨】利用函数的奇偶性、单调性确定结论.【题文】9.椭圆E ：13222=+y a x 的右焦点为F,直线m x y +=与椭圆E 交于A,B 两点。

厦门市2018届高中毕业班质量检查考数学理试题 2018一、选择题（50分）1．设复数z 满足（1＋i ）＝2（i 为虚数单位），则z ＝ A.1一i B.1＋i C ．一1一i D.一1＋i 2.某程序框图如图所示，则输出的S 的值为A.11B. 19C. 26D. 573．设集合A ＝｛x ｜x ＜a ｝，B ＝｛x ｜x ＜3｝，则“a ＜3”是“A⊆C B ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.如图，函数f(x)＝()sin(2)(0,||)2f x A x A πϕϕ=+><的图象过点(0，，则 f(x)的图象的一个对称中心是A 、（－3π，0） B 、（－6π，0） C 、（6π，0） D 、（4π，0）5．高三年上学期期末考试中，某班级数学成绩的频率分布直方图如图所示，数据分组依次如下：［70，90），［90，110），［110，130），［130，150］． 估计该班级数学成绩的平均分等于A. 112 B ．114 C ．116 D.120 6.长方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2AD ，G 为CC 1中点，则直线A 1C 1与 BG 所成角的大小是A. 30°B. 45°C. 60°D. 120° 7、数列{n a ｝满足11111,1(*)211n n a n N a a +==-∈--学科网，则10a ＝A.910B. 109C, 1011D. 11108.如图，正六边形ABCDEF中，AB ＝2，则()()BC BA AF BC -+＝A. -6B. －D. 69.已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且f （x －2）＝f （x ＋2），当0＜x ＜2时,f(x)＝1一log 2(x ＋1），则当0 <x <4时，不等式（x 一2）f （x ）＞0的解集是A. (0，1） (2,3）B. (0，1） （3,4）C.（1,2） （3,4） D （1,2） （2，3）10.已知函数 f (x)＝321(23)()3x mx m x m R +++∈存在两个极值点12,x x ，直线l 经过点211(,)A x x ，222(,)B x x ，记圆221(1)5x y ++=上的点到直线l 的最短距离为g （m ）， g （m ）的取值范围是A. [0,2]B. [0,3]C. [0，5D 、[0）第II 卷（非选择题共100分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 11、62()x x-的展开式中的常数项是 （用数字作答）．12.设变量,x y 满足约束条件260240x y y x +-≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩学科网，则yx 的最小值为＿＿＿13.等比数列{n a ｝的前n 项和为Sn ，已知S 3二a 1十3a 2，则公比q ＝＿＿＿．14.利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a 和b ，在a ＋b 为偶数的条件下｜a －b ｜＞2发生的概率是＿．15.如图，在平面直角坐标系xoy 中，将直线2x y =与直线x ＝1及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积据此类比：将曲线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V ＝＿＿＿三、解答题：本大题共6小题：共80分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分13分）在2014-2018赛季CB A常规赛中，某篮球运动员在最近5场比赛中的投篮次数及投中次数如下表所示：（I)分别求该运动员在这5场比赛中2分球的平均命中率和3分球的平均命中率；（II）视这5场比赛中2分球和3分球的平均命中率为相应的概率，假设该运动员在第6场比赛终场前一分钟分别获得1次2分球和1次3分球的投篮机会，求该运动员在最后一分钟内得分 的分布列和数学期望．17．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xoy中，点P（x，y）满足a·b=3，其中向量a＝（2x +3，y），b＝（2x －3，y）．（I）求点P的轨迹方程；（II）过点F（0,1）的直线l交点P的轨迹于A，B两点，若｜AB｜＝16，求直线l的方程．518．（本小题满分13分）π，AC=3，BC＝2，P是△如图，在Rt △ABC中，∠ACB＝2ABC内的一点．（I)若P是等腰直角三角形PBC的直角顶点，求PA的长；π，设∠PCB＝θ，求△PB C的面积S（θ）（II）若∠BPC＝23的解析式，并求S(θ)的最大值·19．（本小题满分13分）已知等边三角形PAB的边长为2，四边形ABCD为矩形，AD =4,平面PAB⊥平面ABCD,E，F，G分别是线段AB，CD，OD上的点·（I ）如图（（1），若G 为线段PD 的中点，BE ＝DF ＝23，证明：PB ∥平面EFG;（II ）如图(2），若E, F 分别为线段AB ，CD 的中点，DG = 2 GP ，试问：矩形ABCD 内（包括边界）能否找到点H ，使之同时满足下列两个条件，并说明理由．（i ）点H 到点F 的距离与点H 到直线AB 的距离之差大于4；（ii ）GH ⊥PD ．20．（本小题满分14分） 已知函数2411()(,())222x f x f x m =+在处的切线方程为8x －9y ＋t ＝0.（,m N t R ∈∈)（I ）求m 和t 的值；（II ）若关于x 的不等式f(x) 89ax ≤+在［1,2+∞）恒成立，求实数a 的取值范围，21．本题有（1）、（2）、（3)三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂 黑，并将所选题号填人括号中．(1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵M ＝11a b ⎛⎫⎪⎝⎭ 的一个属于特征值3的特征向量11α⎛⎫⎪⎝⎭＝，正方形区域OABC 在矩阵N 对应的变换作用下得到矩形区域OA'B'C’，如图所示． （I ）求矩阵M;（II ）求矩阵N 及矩阵（MN ）－1．(2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 平面直角坐标系xoy 中，圆C 1的参数方程为22cos (y=2sin ϕϕϕ⎧⎨⎩x=＋为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为ρ＝4sin9.（I）写出圆C1的普通方程及圆C2的直角坐标方程；（II)圆C1与圆C2是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．(3）（本小题满分7分）选修4一5：不等式选讲已知函数f(x)＝｜x一m｜，关于x的不等式f(x) ≤3的解集为［一1,5］．（I）求实数m的值；（B）已知a，b，c∈R，且a－2b＋2c＝m，求a2＋b2＋c2的最小值．。

厦门外国语学校2018届高三上学期第三次阶段考试（1月）理科数学试题1. 设1(z i i =+是虚数单位），则复数22z z+在平面内对应 （） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.已知集合{}1|11,|22x A x x B x y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=+<==-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则R A C B =I （）.A ()1,0- .B [)1,0- .C (]2,1-- .D ()2,1--3．将函数()2sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位，得到函数()g x 的图象，则()0g =（ ） A ．2 B ．2C. 2- D ．04．执行下面的程序框图，如果输入的02.0=t ，则输出的n 为 （ ）A ．7B ．6C ． 5D ．45．若等差数列{}n a 的公差为2，且5a 是2a 与6a 的等比中项，则该数列的前n 项和n S 取最小值时，n 的值等于 （ ）A ．7B ．6C ． 5D ．46.已知函数()3,02sin cos ,0x x x f x x x x ⎧+>=⎨≤⎩ ，则下列结论正确的是 （ ）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是增函数C ．()f x 是周期函数D ．()f x 的值域为[1,)-+∞ 7. 实数x ，y 满足1|1|12x y x +≤≤-+时，目标函数z x my =+的最大值等于5，则实数m 的值为 A ．2 B ．3C ．4D ．5 ( )8. 在ABC ∆中， ,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边， 且2223323sin a b c bc A =+-，则C =（） A.3π B. 6π C. 4π D. 23π 9．已知抛物线22x y =的焦点为F ，其上有两点()()1122,,,A x y B x y 满足2AF BF -=，则221122y x y x +--= （ ）A ．4B ．6C.8D ．1010.已知实数0a >，0b >，11111a b +=++，则2a b +的最小值是 （） A ．32B ．22C ．3D ．211．已知圆M ：4)3()3(22=-+-y x ，四边形ABCD 为圆M 的内接正方形，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，当正方形ABCD 绕圆心M 转动时，OF ME ⋅的取值范围是 （ ）A. []24,28- B.]6,6[- C. ]23,23[- D. []4,8-12.已知函数()y f x =的定义域为R ，当0x <时， ()1f x >，且对任意的实数,x y R ∈，等式()()()f x f y f x y =+成立，若数列{}n a 满足()()*1111n n f a f n N a +⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭，且()10a f =，则下列结论成立的是 （ ） A. ()()20132016f a f a > B. ()()20142017f a f a >C. ()()20162015f a f a >D. ()()20132015f a f a >13．若函数()y f x =的图象在4x =处的切线方程是29y x =-+，则()()44f f '-= ．14. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是_________.15．在平面直角坐标系xoy 中，已知点A 是半圆()224024x y x x +-=≤≤上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC =u u u r u u u rg时，则点C 的纵坐标的取值范围是 ．16．已知函数2ln )(bx x a x f -=，R b a ∈,．若不等式x x f ≥)(对所有的]0,(-∞∈b ，],(2e e x ∈都成立，则a 的取值范围是17. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()2cos cos cos sin A C A C B -+=g ．（1）证明：,,a b c 成等比数列；（2）若角B 的平分线BD 交AC 于点D ，且6,2BAD BCD b S S ∆∆==，求BD ．18. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，01≠a ，常数0>λ，且n n S S a a +=11λ对一切正整数n 都成立.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设100,01=>λa ，当n 为何值时，数列}1{lg na 的前n 项和最大？19．如图，三棱台111ABC A B C -中， 侧面11A B BA 与侧面11A C CA 是全等的梯形， 若1111,A A AB A A A C ⊥⊥,且11124AB A B A A ==.（Ⅰ）若12CD DA =u u u r u u u u r ，2AE EB =u u u r u u u r，证明：DE ∥平面11BCC B ；（Ⅱ）若二面角11C AA B --为3π，求平面11A B BA 与平面11C B BC 所成的锐二面角的余弦值.20. 已知O 为坐标原点，11(,)M x y ，22(,)N x y 是椭圆22142x y +=上的点，且121220x x y y +=，设动点P 满足2OP OM ON =+u u u r u u u u r u u u r.（1）求动点P 的轨迹C 方程；（2）若直线:(0)l y x m m =+≠与曲线C 相交于A ，B 两个不同点，求OAB ∆面积的最大值.21．设函数2()ln(1)f x x a x =++．（1）若函数()y f x =在区间[1,)+∞内是单调递增函数，求实数a 的取值范围； （2）若函数()y f x =有两个极值点12,x x ，且12x x <，求证：21()10ln 22f x x <<-+． 22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）；在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=．（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若射线:(0)l y kx x =≥与曲线12,C C 的交点分别为,A B （,A B 异于原点），当斜率k ∈时，求OA OB ⋅的取值范围．23. 已知函数()21f x x a =--，()g x x m =-+（,a m R ∈），若关于x 的不等式()1g x >-的整数解有且仅有一个值为3-.（1）求实数m 的值； （2）若函数()y f x =的图象恒在函数()y g x =的图象上方，求实数a 的取值范围.1-12A A CB B D B B B B B D13 1-1431115()()[]5sin 055sin 2sin 5,522cos 1cos cos 1C y θθθθθθ-=⋅⋅==∈-++--16. ),2[2+∞e17解:（1）因为()2cos cos cos sin A C A C B -+=g ，所以()2cos cos cos cos sin sin sin A C A C A C B --=g ，化简可得2sin sin sin A C B =，由正弦定理得，2b ac =，故,,a b c 成等比数列. （2）由题意2BAD BCD S S ∆∆=，得11sin 2sin 22BA BD ABD BC BD CBD ∠=⨯∠g g g g ， 又因为BD 是角平分线，所以ABD CBD ∠=∠，即sin sin ABD CBD ∠=∠，化简得，2BA BC =，即2c a =. 由（1）知，2ac b =，解得a c == 再由2BAD BCD S S ∆∆=得，11222AD h CD h ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭g g （h 为ABC ∆中AC 边上的高）， 即2AD CD =，又因为6AC =，所以4,2AD CD ==.18. 解：（1）令1=n ，得0)2(,22111121=-==a a a S a λλ，因为01≠a ，所以λ21=a ，当2≥n 时，n n S a +=λ22，1122--+=n n S a λ，两式相减得)2(221≥=--n a a a n n n ，所以)2(21≥=-n a a n n ，从而数列}{n a 为等比数列， 所以λnn n a a 2211=⋅=-.（2）当01>a ，100=λ时，由（1）知，2lg 22lg 100lg 1002lg 1lg ,1002n a b a n nn n n n -=-====，所以数列}{n b 是单调递减的等差数列，公差为2lg -， 所以01lg 64100lg 2100lg 6621=>==>>>b b b Λ当7≥n 时，01lg 2100lg77=<=≤b b n ，所以数列}1{lg na 的前6项和最大. 19.（Ⅰ）证明：连接11,AC BC ，梯形11A C CA ，112AC A C =,易知：111,2AC AC D AD DC ==u u u r u u u u rI ……2分； 又2AE EB =u u u r u u u r，则DE ∥1BC ……4分；1BC ⊂平面11BCC B ，DE ⊄平面11BCC B ，可得：DE ∥平面11BCC B ……6分； （Ⅱ）侧面11A C CA 是梯形，111A A AC ⊥，1AA AC ⇒⊥,1A A AB ⊥,则BAC ∠为二面角11C AA B --的平面角， BAC ∠=3π……7分； 111,ABC A B C ⇒∆∆均为正三角形，在平面ABC 内，过点A 作AC 的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设11AA =，则11112,A B AC ==4AC AC ==,故点1(0,0,1)A ，(0,4,0),C1(23,2,0),(3,1,1)B B ……9分；设平面11A B BA 的法向量为111(,,)m x y z =u r，则有：111111030(1,3,0)030m AB x y m m AB x y z ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⇒=⎨⋅=++=⎪⎩u r u u u ru r ur u u u u r ……10分；设平面11C B BC 的法向量为222(,,)n x y z =r，则有：2212220303,23)0330m CB x y n m CB x y z ⎧⎧⋅=-=⎪⎪⇒⇒=⎨⋅=-+=⎪⎩u r u u u rr ur u u u r ……11分； 1cos ,4m n m n m n⋅<>==-u r ru r r u ur u u r ，故平面11A B BA 与平面11C B BC 所成的锐二面角的余弦值为14……12分； 20. 解：（1）设点(,)P x y ，则由2OP OM ON =+u u u r u u u u r u u u r，得1122(,)(,)2(,)x y x y x y =+，即122x x x =+，122y y y =+，因为点M ，N 在椭圆22142x y +=，所以221124x y +=，222224x y +=，故222212122(44)x y x x x x +=+++2212122(44)y y y y ++，22221122(2)4()x y x y =++++121212124(2)204(2)x x y y x x y y +=++，由题意知，121220x x y y +=，所以22220x y +=，即动点P 的轨迹C 的方程为2212010x y +=. （2）由曲线C 与直线l 联立得22220x y y x m ⎧+=⎨=+⎩，消y 得22342200x mx m ++-=，因为直线l 与曲线C 交于A ，B 两点， 所以221643(220)0m m ∆=-⨯⨯->，又0m ≠，所以2030m <<.设33(,)A x y ，44(,)B x y ，则3443mx x +=-，2342203m x x -=，因为点O 到直线AB ：0x y m -+=的距离d =，34|||AB x x =-===，12ABC S ∆==322(30)2m m +-≤=，当且仅当2230m m =-，即215m =时取等号，所以OAB ∆面积的最大值为21. 解：（1）由题意知222()2011a x x af x x x x ++'=+=>++在区间[1,)+∞内恒成立 即222a x x >--在区间[1,)+∞内恒成立，解得4a >-当4a =-时，22242(2)(1)()011x x x x f x x x +-+-'==>++，当[1,)x ∈+∞时，()0f x '≥， 且仅当1x =时，()0f x '=，所以函数()f x 单调递增，所以a 的取值范围是[4,)-+∞（2）函数()f x 的定义域为(1,)-+∞，222()1x x a f x x ++'=+，即2()22g x x x a =++，则有480(1)0112a g a ⎧⎪∆=->⎪-=>⎨⎪⎪->-⎩，解得102a <<证法一：因为2122222111,220,,0222x x x x a x x +=-++==-+-<<， 所以222222212()(22)ln(1)=1f x x x x x x x -++--， 令22(22)ln(1)1(),,012x x x x k x x x -++⎛⎫=∈- ⎪--⎝⎭则2223262()2ln(1),()(1)(1)x x x k x x k x x x ++'''=++=++，因为()4,(0)2k x k ''''=-=， 所以存在01,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，使得()0k x ''=，列表如下：又(0)0,12ln 202k k ⎛⎫''=-=-< ⎪⎝⎭，所以1()0,,02k x x ⎛⎫'<∈- ⎪⎝⎭， 所以函数()k x 在1,02⎛⎫-⎪⎝⎭内为减函数， 所以1(0)()2k k x k ⎛⎫<<- ⎪⎝⎭，即21()10ln 22f x x <<-+． 证法二：因为2x 是方程2220x x a ++=的解，所以22222a x x =--．因为122110,0,222a x x x <<<<=-+，所以2102x -<<． 先证21()0f x x >，因为120x x <<，即证2()0f x <， 在区间12(,)x x 内，()0f x '<，在区间2(,0)x 内，()0f x '>， 所以2()f x 为极小值，2()(0)0f x f <=，即2()0f x <，所以21()0f x x >成立． （8分） 再证21()1ln 22f x x <-+，即证22211()ln 2(1)ln 2(1)22f x x x ⎛⎫⎛⎫>-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．令2211()(22)ln(1)ln 2(1),,022g x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-++--+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（10分） 则1()2(21)ln(1)ln 22g x x x ⎛⎫'=-++--⎪⎝⎭，因为1ln(1)0,210,ln 202x x +<+>-<，所以()0g x '>，函数()g x 在区间1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭内为增函数， 所以111111()ln ln 20242242g x g ⎛⎫>-=+-+= ⎪⎝⎭， 所以221()ln 2(1)2f x x ⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭成立． 得21()10ln 22f x x <<-+成立． （12分） 22. 解：（1）曲线1C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=，即2220x x y -+=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入并化简得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，由2cos sin ρθθ=，两边同时乘以ρ，得22cos sin ρθρθ=，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得曲线2C 的直角坐标方程为2x y =．（2）设射线:(0)l y kx x =≥的倾斜角为ϕ，则射线的极坐标方程为θϕ=，且tan k ϕ=∈． 联立2cos ρθθϕ=⎧⎨=⎩，得12cos OA ρϕ==，联立2cos sin ρθθθϕ⎧=⎨=⎩，得22sin cos OB ϕρϕ==所以122sin 2cos 2tan 2(2,cos OA OB k ϕρρϕϕϕ⋅=⋅=⋅==∈，即OA OB ⋅的取值范围是(2, 23. 3=m()4,∞-。

2018-2019学年福建省厦门市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{x|x2+x﹣6≤0}，N＝{x|x＞0}，则M∩N＝（）A．（0，2]B．[﹣3，2]C．（0，3]D．[﹣3，+∞）2．（5分）设a∈R，则“a＝﹣1”是“直线ax+y﹣1＝0与直线x+ay+5＝0平行”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）实数x，y满足x＞y，则下列不等式成立的是（）A．＜1B．2﹣x＜2﹣y C．lg（x﹣y）＞0D．x2＞y24．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+3y的最大值等于（）A．9B．12C．27D．365．（5分）已知角α的顶点为坐标原点始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点P（sin47°，cos47°），则sin（α﹣13°）＝（）A．B．C．D．6．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（log23））＝（）A．﹣9B．﹣1C．D．7．（5分）长江某地南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度v1的大小为|v1|＝10km/h，水流的速度v2的大小为|v2|＝4km/h．设v1和v2的夹角为θ（0°＜θ＜180°），北岸的点A′在A的正北方向，游船正好到达A′处时，cosθ＝（）A．B．C．D．8．（5分）已知函数f（x）＝sin2x，若将其图象沿x轴向右平移φ（φ＞0）个单位，所得图象关于原点对称，则实数φ的最小值为（）A．πB．C．D．9．（5分）函数y＝cos x+ln（|x|+1）（x∈[﹣2π，2π]）的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）直线l与双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行，l过抛物线C：y2＝4x的焦点，交C于A，B两点，若|AB|＝5，则E的离心率为（）A．2B．C．D．11．（5分）已知圆锥的顶点为P，母线长为2，底面半径为r，点A，B，C，D在底面圆周上，当四棱锥P﹣ABCD体积最大时，r＝（）A．B．C．D．12．（5分）在平面四边形ABCD中，△ACD面积是△ABC面积的2倍，数列{a n}满足a1＝3，且＝（a n+1﹣3）+（a n﹣2），则a5＝（）A．31B．33C．63D．65二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知复数z满足（1+2i）z＝i，其中i为虚数单位，则|z|＝．14．（5分）《张丘建算经》卷上第22题有如下内容：今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织布5尺，现在一个月（按30天计算）共织布390尺．那么，该女子本月中旬（第11天到第20天）共织布尺．15．（5分）某三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱外接球的表面积为．16．（5分）已知偶函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）＝a x﹣1og a（x+1）﹣1（a＞1），若f（x）恰有三个零点，则a的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，已知a2+b2﹣c2＝4S．（1）求角C；（2）若c＝2，求b﹣a的取值范围．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣n﹣2．（1）求证：{a n+1}是等比数列；（2）数列{b n}满足b n＝数列{c n}满足c n＝b n+，求数列{c n}的前n项和T n．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥平面P AC，四边形ABCD为平行四边形，且AD＝AB＝4，∠BAD＝135°．（1）证明：AC⊥平面P AB；（2）当直线PC与平面P AB所成角的正切值为时，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．20．（12分）已知圆E：（x+）2+y2＝16，点F（，0），动点P在E上，线段PF的垂直平分线与直线PE相交于点Q，Q的轨迹是曲线C．（1）求C的方程；（2）已知过点（2，﹣1）的直线l与C交于A，B两点，M是C与y轴正半轴的交点，设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，证明：k1+k2为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝ae x﹣e﹣x﹣（a+1）x（a＜1），若f（x）存在极大值点x1和极小值点x2．（1）求实数a的取值范围；（2）若f（x1）＞kf（x2），求实数k的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在同一直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2+y′2＝1，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为ρsin （θ﹣）＝．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）过点P（1，0）作l的垂线交C于A，B两点，点A在x轴上方，求．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．函数f（x）＝|ax+2|，不等式f（x）≤a的解集为{x|﹣2≤x≤0}．（1）求a的值；（2）求证：对任意x∈R，存在m＞1，使得不等式f（x﹣2）+f（2x）≥m+成立．2018-2019学年福建省厦门市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：∵x2+x﹣6≤0，∴﹣3≤x≤2，∴M＝{x|﹣3≤x≤2}∴M∩N＝{x|0＜x≤2}＝（0，2]故选：A．2．【解答】解：当a＝﹣1时，两直线方程分别为﹣x+y﹣1＝0与直x﹣y+5＝0，满足两直线平行．当a＝1时，两直线方程分别为x+y﹣1＝0与直x+y+5＝0满足平行，但a＝﹣1不成立，∴“a＝﹣1”是“直线ax+y﹣1＝0与直线x+ay+5＝0平行”的充分不必要条件．故选：A．3．【解答】解：对于选项A：当x＝﹣1，b＝﹣2时，＞1，故选项A错误，对于选项B：因为y＝2x在R上为增函数，又x＞y，所以﹣x＜﹣y，所以2﹣x＜2﹣y，故选项B正确，对于选项C：当x＝﹣1，b＝﹣2时，lg（x﹣y）＝0，故选项C错误，对于选项D：当x＝﹣1，b＝﹣2时，x2＜y2，故选项D错误，故选：B．4．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得：A（3，3），化目标函数z＝x+3y为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，z最大．此时z＝3+3×3＝12．故选：B．5．【解答】解：∵角α的顶点为坐标原点始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点P（sin47°，cos47°），∴sinα＝cos47°＝sin43°，cosα＝sin47°＝cos43°，∴α＝43°，则sin（α﹣13°）＝sin30°＝，故选：A．6．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（log23）＝﹣（）＝﹣，f（f（log23））＝f（﹣）＝3×（﹣）＝﹣1．故选：B．7．【解答】解：设船的实际速度为，v1和v2的夹角为θ，北岸的点A′在A的正北方向，游船正好到达A′处，则⊥，∴cosθ＝﹣cos（π﹣θ）＝﹣＝﹣＝﹣故选：D．8．【解答】解：因为，f（x）＝sin2x，由二倍角公式得：f（x）＝﹣cos2x，将其图象沿x轴向右平移φ（φ＞0）个单位，则所得图象对应的解析式为：g（x）＝﹣cos2（x﹣φ）＝﹣cos（2x﹣2φ），所得图象关于原点对称，即函数y＝g（x）为奇函数，即2φ＝k，又φ＞0，所以φ的最小值为，故选：D．9．【解答】解：函数是偶函数，关于y轴对称，f（2π）＝cos2π+ln（|2π|+1）＝1+ln（2π+1）＞0，排除D，f（0）＝cos0+ln1＝1，f（π）＝cosπ+ln（|π|+1）＝﹣1+ln（π+1）＝ln＜1，排除B，C故选：A．10．【解答】解：依题意，点F的坐标为（1，0），设直线l的方程为x＝my+1，联立方程组，消去x并整理得：y2﹣4my﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，则|AB|＝•＝4（m2+1）＝5，解得：m＝±，∴直线l的方程为2x+y﹣2＝0或2x﹣y﹣2＝0；直线的斜率为：±2．直线l与双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行，可得b＝2a，所以b2＝4a2＝c2﹣a2，e＞1，解得e＝．故选：C．11．【解答】解：圆锥的顶点为P，母线长为2，底面半径为r，点A，B，C，D在底面圆周上，设四棱锥P﹣ABCD的高为h，V P﹣ABCD＝＝＝＝﹣，0＜h＜2，令f（h）＝h2﹣4h，则f′（h）＝3h2﹣4＝0，解得h＝，f（h）在（0，）上是减函数，在（，2）上是增函数，∴f（x）min＝f（）＝﹣，此时r＝＝，（V P﹣ABCD）max＝．故选：C．12．【解答】解：根据题意，如图，连接AC、BD，设AC与BD交于点O，过点B作BE⊥AC与点E，过点D作DF⊥AC与点F，若△ACD面积是△ABC面积的2倍，即×|DF|×|AC|＝×|BE|×|AC|，则有|DF|＝2|BE|，又由△DOF～△BOE，则|DO|＝2|BO|，即＝2，则有（﹣）＝2（﹣），变形可得：＝+，设＝λ，则＝+，又由＝（a n+1﹣3）+（a n﹣2），则（a n+1﹣3）＝2（a n﹣2），变形可得（a n+1﹣1）＝2（a n﹣1），则数列{a n﹣1}是首项为a1﹣1＝2，公比为2的等比数列，则a n﹣1＝2×2n﹣1＝2n，则有a n＝2n+1；则a5＝25+1＝33，故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：由（1+2i）z＝i，得z＝，∴|z|＝．故答案为：．14．【解答】解：根据题意，该女子每天织的布的数量为等差数列，设该数列为{a n}，若该女子一个月）共织布390尺，则S30＝a1+a2+a3+……+a30＝390，该女子本月中旬织布的数量为S20﹣S10＝a11+a12+a13+……+a20＝（a1+a21）+（a12+a22）+……+（a10+a30）＝（a1+a2+a3+……+a30）＝130；故答案为：130．15．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为正三棱柱，底面边长为2，高为2．设三角形ABC的重心为G，则AG＝，设三棱柱外接球的球心为O，连接OG，则OG＝1，∴三棱柱外接球的半径满足．∴该三棱柱外接球的表面积为．故答案为：．16．【解答】解：∵f（0）＝a0﹣1og a1﹣1＝1﹣0﹣1＝0，即f（x）有一个零点0，∵f（x）是偶函数，∴要使f（x）恰有三个零点，则等价为当x＞0时，f（x）只有一个零点，由f（x）＝a x﹣1og a（x+1）﹣1＝0，得a x﹣1＝1og a（x+1）在x＞0时只有一个根，设y＝a x﹣1和y＝1og a（x+1）则两个函数互为反函数，图象关于y＝x对称，要使a x﹣1＝1og a（x+1）在x＞0时只有一个根，则只需要函数的y＝a x﹣1在x＝0处的导数y′＜1即可，即y′＝a x lna，则y′|x＝0＝a0lna＝lna＜1，得1＜a＜e，即实数a的取值范围是（1，e），故答案为：（1，e）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．【解答】解：（1）∵4S＝b2+a2﹣c2，∴2ab cos C＝4×ab sin C，∴cos C＝sin C，∴tan C＝，又0＜C＜π，∴C＝；（2）∵c＝2，C＝，由正弦定理＝＝＝4，可得：a＝4sin A，b＝4sin B，∴b﹣a＝4（sin B﹣sin A）＝4[sin（﹣A）﹣sin A]＝4（cos A+sin A）＝4sin（A+），∵A∈（0，），∴A+∈（，），∴∴sin（A+）∈（﹣，1），∴4sin（A+）∈（﹣2，4），即b﹣a的取值范围是（﹣2，4），18．【解答】解：（1）证明：S n＝2a n﹣n﹣2，可得a1＝S1＝2a1﹣3，即a1＝3；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣n﹣2﹣2a n﹣1+n﹣1+2，可得a n+1＝2（a n﹣1+1），即有{a n+1}是首项为4，公比为2的等比数列；（2）b n＝＝＝，c n＝b n+＝+＝2+﹣，前n项和T n＝2n+﹣+﹣+…+﹣＝2n+．19．【解答】证明：（1）∵四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥平面P AC，四边形ABCD为平行四边形，且AD＝AB＝4，∠BAD＝135°，∴AC⊥PB，AB＝2，BC＝4，∠ABC＝45°，∴AC＝＝＝2，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，又PB∩AB＝B，∴AC⊥平面P AB．解：（2）∵AC⊥平面P AB，∴∠APC是直线PC与平面P AB所成角，∵直线PC与平面P AB所成角的正切值为，∴tan∠APC＝＝，∴AC＝＝2，∴P A＝2，PC＝＝2，PB＝＝＝2，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），C（0，2，0），P（，0，），D（﹣2，2，0），＝（），＝（﹣，﹣），＝（﹣3，2，﹣），设平面APC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，0，﹣1），设平面PCD的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（0，1，2），设二面角A﹣PC﹣D的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角A﹣PC﹣D的余弦值为．20．【解答】解：（1）依题意得|QE|+|QF|＝|QE|+|QP|＝|PE|＝4＞|EF|＝2，根据椭圆的定义可得Q的轨迹曲线C是以E，F为焦点的椭圆，这里2a＝4，a＝2，2c＝2，c＝，所以b2＝a2﹣c2＝4﹣3＝1故C的方程为+y2＝1；（2）证明：根据题意，C的方程为+y2＝1，M是C与y轴正半轴的交点，则M（0，1），显然直线l有斜率，设直线l的方程为y+1＝k（x﹣2）与椭圆方程联立消去y可得：（k2+）x2﹣2k（2k+1）x+（2k+1）2﹣1＝0，变形可得：（1+4k2）x2﹣8k（2k+1）x+16k2+16k＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝，则k1＝，k2＝，则k1+k2＝（）+（）＝+＝＝2k﹣（2k+2）＝﹣1；故k1+k2为定值﹣1．21．【解答】解：（1）f′（x）＝ae x+e﹣x﹣（a+1）＝＝，∵f（x）存在极大值点x1和极小值点x2，∴0＜a＜1，令f′（x）＝0，解得x2＝﹣lna，或x1＝0，且﹣lna＞0，∴当x＜0或x＞﹣lna时，f′（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜﹣lna时，f′（x）＜0，函数单调递减，∴当x1＝0时，函数取得极大值，当x2＝﹣lna时，函数取得极小值，故a的范围为（0，1），（2）由（1）可知0＜a＜1，且f（x）的极大值点为x1＝0，极小值点为x2＝﹣lna，∴f（x2）＝f（﹣lna）＝1﹣a+（a+1）lna，f（x1）＝f（0）＝a﹣1，∵f（x1）＞kf（x2），∴a﹣1＞k[1﹣a+（a+1）lna]对任意0＜a＜1恒成立，由于此时f（x1）＜f（x2）＜0，故k＞0，故（a+1）lna＜（1+）（a﹣1），即lna＜（1+），设g（x）＝lnx﹣（1+），则g′（x）＝，令x2﹣+1＝0（*），①k≥1时，△＝﹣4≤0，故g′（x）＞0，g（x）在（0，1）递增，故g（a）＜g（1）＝0，即lna＜（1+），符合题意，②0＜k＜1时，△＝﹣4＞0，设（*）的两根为x3，x4，且x3＜x4，则x3+x4＝＞0，x3•x4＝1，故0＜x3＜1＜x4，则当x3＜x4＜1时，g′（x）＜0，g（x）在（x3，1）递增，故当x4＜a＜1时，g（a）＞g（1）＝0，即lna＞（1+），故f（x1）＜kf（x2），矛盾，不合题意，综上，k≥1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．【解答】（1）∵在同一直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2+y′2＝1，∴C的轨迹方程是，∵直线的极坐标方程为ρsin（θ﹣）＝，即ρsinθ﹣ρcosθ＝，∴直线的直角坐标方程是y﹣x＝，即y﹣x＝2；（2）由上解之l的斜率是，故其倾斜角是60°，所以其垂线的倾斜角是150°故直线l的垂线的方程可设为，将其代入整理得7t2﹣4t﹣12＝0∴t1t2＝﹣，t1+t2＝，由题意，点A在x轴上方，故可令|P A|＝t1＞0，|PB|＝﹣t2＞0，∴＝＝．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．【解答】解：（1）f（x）≤a⇔|ax+2|≤a⇔﹣a≤ax+2≤a⇔﹣1﹣≤x≤1﹣，∴﹣1﹣＝﹣2，a＝2（2）证明：由（1）得f（x）＝|2x+2|，∴f（x﹣2）+f（2x）＝|2x﹣2|+|4x+2|＝2|x﹣1|+2|2x+1|＝∴f（x）min＝3，当m＝2时，m+＝3，所以对任意x∈R，存在m＝2＞1，使得不等式f（x﹣2）+f（2x）≥m+＝3成立。