厦门市2020届高三市质检理科数学模拟试题资料

绝密★启用前福建省厦门市普通高中2020届高三毕业班下学期教学质量检查数学(理)试题(解析版)2020年5月注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填在答题卡和试卷的指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知i 是虚数单位，复数z 满足(1)2i z i +=，则复平面内与z 对应的点在（ ）．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】利用得数的除法运算化简复数z ，再利用复数的几何意义，即可得答案； 【详解】(1)2i z i +=，∴22(1)112i i i z i i -===++， ∴复平面内与z 对应的点在第一象限，故选：A.【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.2. 已知集合{|12}A x x =<<，集合{|B x y =，若A B A =，则m 的取值范围是（ ）．A. (0,1]B. (1,4]C. [1,)+∞D. [4,)+∞ 【答案】D【解析】【分析】根据A B A =可得A B ⊆，从而得到关于m 的不等式，解不等式即可得答案； 【详解】A B A A B ⋂=⇒⊆，{|12}A x x =<<，∴B ≠∅,∴0m ≥,∴{|{|B x y x x ===≤≤，∴1,2,⎧-⎪≥，解得：4m ≥， 故选：D.【点睛】本题考查集合间的基本关系求参数取值范围，考查运算求解能力，求解时注意借助数轴进行分析求解.3. 已知双曲线C经过点，其渐近线方程为y =，则C 的标准方程为（ ）． A. 2213x y -= B. 2213y x -= C. 2213x y -= D.2213y x -= 【答案】D【解析】【分析】 根据双曲线的渐近线方程可设其方程为22(0)3y x λλ-=≠，再根据双曲线过点，可求出λ的值，即可得到答案； 【详解】双曲线的渐近线方程为y =，。

2020年福建省厦门市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|−3<x <6}，B ={x|2<x <7}，则A ∩(∁R B)=( )A. (2,6)B. (2,7)C. (−3,2]D. (−3,2)2. 复数z 的共轭复数z −满足(2+i)z −=|3+4i|，则z =( )A. 2+iB. 2−iC. 1+2iD. 1−2i3. 某学校有男运动员100名，女运动员有50名，用分层抽样的方法从这150名运动员中抽一个容量为12的样本，那么应该抽男运动员( )A. 4人B. 6人C. 8人D. 10人4. 已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 10=100，则a 8的值为( )A. 16B. 15C. 14D. 135. 函数f(x)=xe x +2，x ∈[0,6]的最小值为( )A. 0B. 2C. 1e +2D. 6e 6+26. 已知正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，侧棱长为底面边长的2倍，E 点为AD 的中点，则三棱锥D −BEC 1的体积为( )A. 83 B.4 C. 43 D. 87. 设a =3x 2−x +2，b =2x 2−x −1，则a 与b 的大小关系为( )A. a >bB. a =bC. a <bD. 与x 有关8. 已知函数f(x)=asinx −√3cosx 的一条对称轴为x =−π6，若f(x 1)·f(x 2)=−4，则|x 1+x 2|的最小值为( )A. π3B. π2C. 2π3D. 3π49. 已知AB 为圆C 的弦，C 为圆心，且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −2 B. 2 C. √3D. −√310.中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法：若函数y=f(x)在x=x1，x=x2，x=x3(x1<x2<x3)处的函数值分别为y1=f(x1)，y2=f(x2)，y3=f(x3)，则在区间[x1,x3]上f(x)可以用二次函数来近似代替：f(x)≈y1+k1(x−x1)+k2(x−x1)(x−x2)，其中k1=y2−y1x2−x1，k=y3−y2x3−x2，k2=k−k1x3−x1.若令x1=0，x2=π2，x3=π，请依据上述算法，估算sinπ5的值是()A. 1425B. 35C. 1625D. 172511.已知双曲线C：x216−y2b2=1(b>0)的右焦点与抛物线y2=20x的焦点重合，则双曲线C的渐近线方程为()A. 4x±3y=0B. 3x±4y=0C. 16x±9y=0D. 9x±16y=012.若函数f(x)=ax3−5ax2−｜x｜有四个不同的零点，则实数a的取值范围是()A. (−254,0) B. (−1,−425) C. (−∞,−254) D. (−∞,−425)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若(2x−1x)n展开式中各项的二项式系数之和为32，则该展开式中含x3的项的系数为______ ．14.要将甲、乙、丙、丁四位老师分配到A、B、C、D四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到A班，则共有分配方案的种数为______．15.已知圆C1：(x−1)2+(y−2)2=9，C2：(x+3)2+(y−1)2=1，则两圆的外公切线段长等于______ ．16.如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边形EFGH上及其内部运动，则当点M满足条件________时，有MN//平面B1BDD1．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且bsin2A=asinB．(1)求A；(2)求cos(B+π6)+sin(C+π3)的最大值．18.如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AD//BC，PD:DC:BC=1:1:√2.求直线PB与平面PDC所成角的大小．19.某产品的广告费用x万元与销售额y万元之间的对应数据如下：x24568y1030405070(1)画出上表数据的散点图(2)求出样本中心，(3)已知b̂=2.5，求y关于x的回归方程(â=y−−b̂x−)(4)已知x =10万元时，求销售收入y ．20. 已知定点A(−2,0)，B(2,0)，M 为动点，且满足直线MA 与直线MB 的斜率之积为−14．(Ⅰ)设动点M 的轨迹为曲线N ，求曲线N 的方程；(Ⅱ)过点(1,0)的直线与曲线N 交于两个不同的点C ，D ，直线CA ，DA 分别与直线x =−4交于点E ，F ，求S △ACDS△AEF的最大值．21. 已知函数f(x)=alnx −x 2+x 有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2).(1)若x 2−x 1=14，求实数a 的值； (2)若−325<a <−19，求f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2的取值范围．22.平面直角坐标系中，已知曲线C1：x2+y2=1。

厦门市2020届高中毕业班第一次质量检查数学（理科）试题满分150分 考试时间120分钟注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}260A x N x x =∈+-≤，{}R 13B x x =∈-≤≤，则A B =I （ ） A. {}12x x -≤≤B. {}0,1,2C. {}13x x -≤≤D. {}0,1,2,3 【答案】B【解析】【分析】解不等式化简集合A ，再进行交集运算，即可得答案；【详解】Q {}{}2600,1,2A x N x x =∈+-≤=， ∴{}0,1,2A B ⋂=.故选：B.【点睛】本题考查集合的交运算，考查运算求解能力，求解时注意x ∈N 这一条件的应用.2.若复数z 满足11z i -+=，z 在复平面内对应的点为(),x y ，则（ ）A. ()()22111x y +++=B. ()()22111x y ++-= C. ()()22111x y -+-=D. ()()22111x y -++= 【答案】D【解析】【分析】设(,)z x yi x y R =+∈，代入11z i -+=中，再利用模的运算，即可得答案； 【详解】设(,)z x yi x y R =+∈，代入11z i -+=得：()()22111x y -++=，故选：D.【点睛】本题考查复数模的运算、复数对应点的轨迹方程，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，属于基础题. 3.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若37a =，880S =，则6a =（ ）A. 17B. 15C. 13D. 11 【答案】C【解析】【分析】根据37a =，880S =求得1,a d 的值，再代入通项公式，即可得答案； 【详解】Q 37a =，880S =，∴11127,3,872,880,2a d a d a d +=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨⨯=⋅+=⎩⎪⎩∴61513a a d =+=，故选：C.【点睛】本题考查等差数列基本量运算，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.4.A 、B 两名同学6次的跳高成绩如图所示，且这6次成绩的平均分分别为A x ，B x ，标准差分别为A σ，B σ，则（ ）A. >A B x x ，A B σσ<B. <A B x x ，A B σσ<C. >A B x x ，A B σσ>D. <A B x x ，A B σσ>【答案】A【解析】【分析】根据图形中的数据，易得A 同学的平均值较高，且数据比较集中，即可得答案；【详解】根据图形中的数据知A 同学只是第3次成绩低于B 同学，可直观看出A 同学的平均成绩较高，故A B x x >；由于B 同学的成绩波动较大，所以A B σσ<；故选：A.【点睛】本题考查统计中的平均数与标准差，考查数据处理能力，属于基础题.5.1618年德国物理学家开普勒在《宇宙谐和论》上提出：绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其各自椭圆轨道半长轴长（单位：米）的立方()3a 与它的公转周期（单位：秒）的平方()2T 之比是一个常量，即32a k T=，24GM k π=（其中k 为开普勒常数，M 为中心天体质量，G 为引力常量）．已知地球轨道的半长轴长约为1.5亿千米，地球的运行周期约为1年，距离太阳最远的冥王星轨道的半长轴长约为60亿千米，则冥王星的运行周期约为（ ）A. 150年B. 200年C. 250年D. 300年【答案】C【解析】【分析】地球轨道的半长轴长和运行周期可求得k 的值，再进一步利用公式计算冥王星的运行周期. 【详解】由题意得：321.51k =， ∴3332222360 1.560(365243600)(365243600) 1.5T T ⨯⨯⨯=⇒=⨯⨯， 365225436000T ⨯⨯≈⨯（秒）∴250T ≈年.故选：C.【点睛】本题考查数学文化，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，求解时注意对时间单位的理解，可减少计算量.6.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是（ ）A. 3-B. 12-C. 13D. 2【答案】D【解析】【分析】 根据程序框图可知S 是一个周期数列，求出当2020i =时，对应S 的值，即可得答案；【详解】1,3i S ==-，212,42i S -===-， 1123,332i S ===， 434,223i S ===， 5,3i S ==-，L L2020,2i S ==，2021i =，输出2S =，故选：D.【点睛】本题考查程序框图中的循环结构，考查运算求解能力，求解时注意何时终止循环.7.如图是某圆锥的三视图，其正视图是一个边长为1的正三角形，圆锥表面上的点M ，N 在正视图上的对应点分别是A 、B ．则在此圆锥的侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ）A. 1B. 2C. 2D. π 【答案】B【解析】【分析】由三视图可知几何体的直观图为圆锥，则圆锥的侧展图如图所示，再根据三视图中的数据，即可得答案；【详解】由三视图可知几何体的直观图为圆锥， Q 圆锥的底面周长为122ππ⨯=，∴圆锥侧展图的圆心角为π，由三视图可得，点,A B 在侧展图的位置，如图所示，Q 1OA OB ==，OA OB ⊥，∴2AB =.故选：B.【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图、圆锥表面上两点间的最短距离，考查空间想象能力、运算求解能力.8.在直角ABC V 中，90A =︒，6AB =，8AC =，D 是ABC V 的内心，则BD =u u u r（ ） A. 2134AB AC -+u u u r u u u r B. 2134AB AC -u u u r u u u r C. 2133AB AC -+u u u r u u u r D. 2133AB AC -u u u r u u u r 【答案】A【解析】【分析】根据图形的特点建立直角坐标系，写出相关点的坐标，再利用平面向量基本定理的坐标运算，即可得答案；【详解】以A 为坐标原点，,AB AC 分别为,x y 轴建立直角坐标系，则(6,0)B ，(0,8)C ，Q 90A =︒，∴10BC =，设内切圆的半径为r ，则11(6810)68222r r ⋅++⋅=⋅⋅⇒=， ∴(2,2)D ，∴(6,0),(0,8),(4,2)AB AC BD ===-u u u r u u u r u u u r ， 设BD x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r ，∴2,46,328,1,4x x y y ⎧=-⎪-=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩∴2134BD AB AC =-+u u u r u u u r u u u r . 故选：A.【点睛】本题考查平面向量基本定理的坐标运算、三角形的内切圆半径求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.9.关于函数()cos sin f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数；②()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数；③()f x 的最大值为2；④()f x 的周期为2π． 其中所有正确结论的编号是（ ）A. ①②B. ①④C. ①③④D. ②③④ 【答案】B【解析】【分析】对①，根据偶函数定义可判断；对②，去绝对值并利用导数判断；对③，直接根据同角三角函数的基本关系判断；对④，利用排除法可排除选项.【详解】对①，Q 函数的定义域为R 关于原点对称，且()()f x f x -=，∴()f x 为偶函数，故①正确； 对②，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos f x x x =+，则'()cos sin f x x x =-，Q '()0f x ≥在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭不恒成立，∴()f x 在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数错误，故②错误； 对③，若()f x 的最大值为2，则cos 1,sin 1x x ==，显然不可能同时取到，故③错误；利用排除法，可选排除选项ACD.故选：B.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意排除法的运用.10.已知点()1,2M ，点P 在抛物线28y x =上运动，点Q 在圆()2221x y -+=上运动，则PM PQ +的最小值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】 先根据圆外一点到圆上一点距离的最小值得PM PQ PM PF r +≥+-，再利用抛物线的定义，即可得答案；【详解】如图所示，过P 作准线的垂线交于N ， Q 11PM PQ PM PF r PM PF PM PN +≥+-=+-=+-，∴当,,P M N 三点共线时，PM PN +取得最小值3， ∴PM PQ +的最小值为2.故选：A.【点睛】本题考查圆外一点到圆上一点距离的最小值、抛物线的定义，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意线段之间转换的应用.11.在四面体ABCD 中，2AB CD ==，5AC BD ==7AD BC ==α同时与直线AB 、直线CD 平行，且与四面体的每一个面都相交，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为（ ） A. 338 B. 32 C. 538 D. 38【答案】B【解析】【分析】根据题意可得截面为平行四边形，求出异面直线,AB CD 所成的角，再代入三角形的面积公式，利用基本不等式可求得面积的最值.【详解】如图所示，在四面体ABCD 中，截面为EFGH ，由线面平行的性质定理可得//,////AB EF AB HG EF HG ⇒，同理可得：//EH FG ；∴四边形EFGH 为平行四边形；当,,,E F G H 分别为边的棱的中点时， Q 2222211(2)2()4AE BC AB AC AE +=+⇒=， Q G 为AD 中点，AE DE =，∴EG AD ⊥， ∴22117144EG AE AG =-=-=， Q 1EF FG ==，∴3EFG π∠=；设CF x =，则5EF x EF x AB AC =⇒=，5(5)5FG x FG x CD AC -=⇒=-， ∴334533(5)555x x S EF FG x x ⎛⎫+-=⋅⋅=⋅-⋅≤⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，等号成立当且仅当52x =， ∴多边形截面面积的最大值为3， 故选：B.【点睛】本题考查线面平行性质定理的运用、截面的面积最值、基本不等式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意基本不等式求最值的运用.12.已知直线2y x =-+分别与函数x y e =和ln y x =的图象交于点()11,A x y ，()22,B x y ，则下列结论错误的是（ ）A. 122x x +=B. 122x x e e e +>C. 1221ln ln 0x x x x +<D. 122e x x > 【答案】D【解析】【分析】对A ，分别作出函数2y x =-+，x y e =，ln y x =的图象，通过图象观察易得122x x +=成立；利用基本不等式可证B 成立；构造函数()ln x f x x=可证C 成立；构造函数()2ln g x x x =--可得21x e <<再利用函数ln y x x =的单调性，可证得D 不成立；【详解】对A ，如图，作出函数xy e =、ln y x =和y x =的草图，因为A ，B 关于C 对称，且1201x x <<<，因为()1,1C ，所以122x x +=，故A 正确；对B ，由基本不等式，121222x x x x e e e e ++≥=，因为12x x ≠，所以等号不成立，故B 正确；对C ，因为21212012x x x x +⎛⎫<<= ⎪⎝⎭，所以12101x x <<<，记()ln x f x x =， 则()21ln x f x x -'=，故01x <<时，()0f x '>，所以()ln x f x x=在()0,1上单调递增，所以()121f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即1222121lnln ln 1x x x x x x <=-，即1221ln ln 0x x x x +<，故C 正确； 对D ，记()2ln g x x x =--，则()110g =>，132022g e e e ==<，则21x e <<()1222222ln x x x x x x =-=，易知ln y x x =在()1,e 上单调递增，故1222ln e x x x x e e =<=，故D 错误．故选：D ．【点睛】本题考查利用导数研究不等式问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意函数构造法的应用.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且92n n S a =-，则3a =________． 【答案】43 【解析】【分析】根据递推关系令1,2,3n n n ===，即可求得3a 的值.【详解】当1n =时，1111923S a a a =-=⇒=，当2n =时，22122922S a a a a =-=+⇒=，当3n =时，3312334923S a a a a a =-=++⇒=， 故答案为：43. 【点睛】本题考查数列递推关系的运用，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.14.()6112x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为________．（用数字作答） 【答案】128-【解析】【分析】 利用二项式定理求出612x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭通项公式，再根据r 的取值，即可得答案； 【详解】Q 612x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式61612(),0,,6r r r r T C r x -+==L 当0r =和1r =时，可得展开式中常数项为06156622128C C -=-， 故答案为：128-.【点睛】本题考查二项式定理求指定项的系数，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意符号问题. 15.设函数()f x 的定义域为R ，满足()()2f x f x +-=，且当0x >时，()221f x x x =--+．若()234f m -≤，则实数m 的取值范围是________．【答案】[)1,+∞【解析】【分析】由题意得函数()f x 关于(0,1)呈中心对称，由0x >的解析式可得函数在(0,)+∞单调递减，并求出()f x 的解析式，可得(1)4f -=，从而得到关于m 的不等式，即可得答案.【详解】Q ()()2f x f x +-=，∴()f x 关于(0,1)中心对称，当0x <时，设(,)x y 为图象上任意一点，则(,)x y 关于(0,1)对称点为(,2)x y --， ∴222()2()121y x x y x x -=----+⇒=-+，()()2f x f x +-=中，当0x =时，(0)1f =，∴2221,0,()1,0,21,0,x x x f x x x x x ⎧--+>⎪==⎨⎪-+<⎩所以()f x 在R 上单调递减，且(1)4f -=，∴()()23423(1)231f m f m f m -≤⇔-≤-⇔-≥-，解得m 1≥，故答案为：[)1,+∞.【点睛】本题考查函数的性质、利用函数的单调性解不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 16.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，P 是双曲线上一点，且OP =，点M 满足12F M MP =u u u u r u u u r ，20OP MF ⋅=u u u r u u u u r ，则双曲线的离心率为________．【答案】2【解析】【分析】取1PF 另一三等分点N ，则有2//ON MF ，又M 是PN 中点，则有Q 是OP 中点，再由平行四边形的对角线平方和等于四边的平方和，列出关于,a c 的方程，即可得答案；【详解】因为点M 满足12F M MP =u u u u r u u u r ，所以M 是1PF 一个三等分点，取1PF 另一三等分点N ，则有2//ON MF ，又M 是PN 中点，则有Q 是OP 中点，因为220OP MF OP MF FQ OP ⋅=⇒⊥⇒⊥u u u r u u u u r u u u r u u u u r ， 所以22PF OF c ==，则12PF a c =+，Q 由平行四边形对角线平方和等于四边的平方和， ∴22221212224PF PF F F PO +=+，∴22222(2)2(2)46a c c c a ++=+⋅，化简得2e =．故答案为：2.【点睛】本题考查双曲线的离心率求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意平面几何知识的运用.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cossin 2A C a b A +=． （1）求B ；（2）若6A π=，AB 边上的中线27CM =，求ABC V 的面积．【答案】（1）23B π=（2）43【解析】【分析】 （1）由正弦定理可得sin cossin sin 2A C A B A +=，再利用诱导公式和倍角公式，求得23B π=，即可得答案； （2）利用余弦定理求出4a =，再代入三角形的面积公式，即可得答案；【详解】（1）依题设及正弦定理可得，sin cossin sin 2A C AB A +=， 因为sin 0A >，所以cos cos sin 222A CB B π+-==， 所以sin 2sin cos 222B B B =， 又sin 02B >，所以1cos 22B =， 又022B π<<，所以23B π=，即23B π=. （2）因为23B π=，6A π=， 所以6C A B ππ=--=，故ABC V 为等腰三角形． 则c a =，2a BM =在MBC △中由余弦定理可得，2222cos MC BM BC BM BC B =+-⋅⋅， 即()2222272cos 223a a a a π⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，解得4a =， 所以113sin 4443222ABC S ac B ==⨯⨯⨯=V .【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式和三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想.18.如图，平行四边形ABCD 中，26AD AB ==，E 、F 分别为AD ，BC 的中点．以EF 为折痕把四边形EFCD 折起，使点C 到达点M 的位置，点D 到达点N 的位置，且NF NA =．（1）求证：AF ⊥平面NEB ；（2）若3BE =N BE M --的余弦值．【答案】（1）见解析（2）22． 【解析】【分析】 （1）记AF BE O =I ，连接NO ，证明,,AF BE AF NO ⊥⊥即可证明结论；（2）先证明NO ⊥平面ABFE ，再以直线OE 为x 轴，直线OA 为y 轴，直线ON 为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面MBE 的法向量()0,1,1a =r ，平面NBE 的一个法向量()6,0OA =u u u r ，代入向量的夹角公式，即可求得二面角N BE M --的余弦值．【详解】（1）证明：记AF BE O =I ，连接NO ，可知四边形ABFE 是菱形，所以AF BE ⊥，且O 为AF ，BE 的中点，又NF NA =，所以AF NO ⊥，又因为NO BE O =I ，NO ，BE ⊂平面NEB ，所以AF ⊥平面NEB .（2）因为23BE =，所以3EO =，23NF =，所以226FO EF EO =-=， 所以226NO NF FO =-=，所以2229NO EO NE +==，所以NO BE ⊥，又由（1）可知：NO AF ⊥，且AF BE O =I ，AF ，BE ⊂平面ABFE ，所以NO ⊥平面ABFE ，以直线OE 为x 轴，直线OA 为y 轴，直线ON 为z 轴建立空间直角坐标系，则()0,6,0A ，()3,0,0B -，()3,0,0E，()0,6,0F -，()0,0,6N ，Q OM ON NM ON AB =+=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ()()0,0,63,6,0=+--()3,6,6=--所以()3,6,6M --，所以()0,6,6BM =-u u u u r ，()23,0,0BE =u u u r ， 设(),,a x y z =r是平面MBE 的法向量，则 0660000230y z x a BM y z a BE x ⎧⎧-+==⎧⋅=⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=⋅==⎩⎪⎪⎩⎩u u u u v v u u u v v ，取1y =，得()0,1,1a =r ， 又平面NBE 的一个法向量为()0,6,0OA =u u u r ， 所以62cos ,226a OA a OA a OA⋅===⨯⋅u u u r r u u u r r u u u r r ， 所以二面角N BE M --的余弦值为22．【点睛】本题考查直线与平面垂直、二面角、空间向量等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想等.19.已知椭圆22:12x C y +=，A 为C 的上顶点，过A 的直线l 与C 交于另一点B ，与x 轴交于点D ，O 点为坐标原点．（1）若2AB =，求l 的方程； （2）已知P 为AB 的中点，y 轴上是否存在定点Q ，使得0OP DQ ⋅=u u u r u u u r ？若存在，求Q 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）:12l y x =±+（2）存在()0,2Q 【解析】【分析】（1）对直线的斜率进行讨论，当斜率不存在时显然不满足，当直线斜率存在时，设出直线方程，代入弦长公式求出斜率的值，即可得答案；（2）利用中点坐标公式求得2221,2121k P k k -⎛⎫⎪++⎝⎭，根据0OP DQ ⋅=u u u r u u u r 求出，DQ 的方程，即可得到定点坐标.【详解】（1）①当直线的斜率不存在时，:0l x =，2AB =，舍去；②当直线的斜率存在时，:1l y kx =+，0k ≠， 联立方程22122y kx x y ⎧=+⎨+=⎩，化简得()222140k x kx ++=， 解得0x =或2421k x k -=+，所以222412,2121k k B k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，所以240212k AB k -=-=+，化简得4244150k k +-=，解得232k =或252k =-（舍去），即k =所以:1l y x =+.（2）①:1l y kx =+，由（1）得2221,2121k P k k -⎛⎫⎪++⎝⎭，1,0D k ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以12OP k k=-，又因为0OP DQ ⋅=u u u r u u u r ，所以OP DQ ⊥，所以2DQ k k =， 所以1:222DQ l y k x kx k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 即存在定点()0,2Q 满足条件．②:0l x =，则O ，P 重合，()0,2Q 也满足条件综上，存在()0,2Q 满足条件．【点睛】本题考查直线的方程、直线与椭圆的位置关系等知识；考查运算求解能力、推理论证能力等；考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等.20.小明和爸爸玩亲子游戏，规则如下：袋中装有3个大小相同的球，1个白球，2个红球，每次摸出一个球，记下颜色后放回，若摸出白球，则下一次由原摸球人继续摸球；若摸出红球，则下一次由对方摸球，规定摸球m 次，最后一次由谁摸球就算谁获胜．第一次由小明摸球．（1）求前3次摸球中小明恰好摸2次的概率；（2）设第n 次()n m ≤由小明摸球的概率为n P ，则11P =．（ⅰ）求4P ；（ⅱ）在19m =与20m =之中选其一，小明应选哪个？（只写结果，不必说明理由！）【答案】（1）23（2）（ⅰ）1327（ⅱ）选19次． 【解析】【分析】（1）设事件A ={前3次摸球中小明恰好摸2次球}，事件i B ={第i 次由小明摸球}，利用相互独立事件的概率计算，即可得答案；（2）（ⅰ）第4次由小明摸球有4种情况，分别计算概率，即可得到4P 的值：（ⅱ）由（ⅰ），猜测192012P P >>，所以选19次. 【详解】（1）设事件A ={前3次摸球中小明恰好摸2次球}，事件i B ={第i 次由小明摸球}，所以()()()()1231231231231222233333P A P B B B B B B P B B B P B B B =+=+=⨯+⨯=. （2）第4次由小明摸球有以下情况：则4,1111133327P =⨯⨯=， 则4,2122433327P =⨯⨯=， 则4,3221433327P =⨯⨯=， 则4,4212433327P =⨯⨯=， 所以44,14,24,34,41327P P P P P =+++=. （ⅱ）由（ⅰ），猜测192012P P >>，所以选19次. 【点睛】本题考查概率的性质和概率与数列的综合应用等知识；考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算素养；考查统计与概率、或然与必然思想等.21.已知函数()ln 1f x a x x =+-，()31g x x =-． （1）若直线:1l y x =-+与曲线()y f x =相切，求实数a 的值；（2）用{}min ,m n 表示m ，n 中的最小值，设函数()()(){}()min ,0h x f x g x x =>，讨论()h x 零点的个数．【答案】（1）2a =-．（2）当1a ≥-时，()h x 有1个零点；当1a <-时，()h x 有2个零点．【解析】【分析】（1）设切点()00,P x y 利用切点既在曲线上又在切线上，导数的几何意义，可得方程组0011,ln 11,a x a x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩消去0x 得ln 10222a a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭（*），利用导数解方程，即可得答案； （2）对x 分三种情况考虑，即01x <<、1x =、1x >，可得01x <<时无零点，1x =时一个零点，1x >时，()0g x >，()h x 的零点即为()f x 的零点，再利用零点存在定理，即可得答案；【详解】（1）依题意，()1a f x x'=+， 则曲线()y f x =在点()00,P x y 处的切线方程为()0001a y y x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭， 又000ln 1y a x x =+-，代入整理得001ln 1a y x a x a x ⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭，此直线与:1l y x =-+重合，得0011,ln 11,a x a x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩消去0x 得ln 10222a a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭（*）， 记()ln 1r x x x x =-+-，则()ln r x x '=-，当01x <<时，()0r x '>，()r x 单调递增；当1x >时，()0r x '<，()r x 单调递减；所以()()10r x r ≤=，当且仅当1x =时取等号．由（*）式可知02a r ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以12a -=，即2a =-． （2）①当01x <<时，()310g x x =-<，所以()()0h x g x ≤<，无零点，②当1x =时，()()110f g ==，从而()10h =，故1x =为()h x 的一个零点，③当1x >时，()0g x >，则()h x 的零点即为()f x 的零点，令()10a x a f x x x+=+=='，得x a =-， （ⅰ）若1a -≤，即1a ≥-时，()0x a f x x +'=>， 从而()f x 在()1,+∞上单调递增，进而()()10f x f >=，又()()10g x g >=，所以()0h x >，此时()h x 在()1,+∞上无零点.（ⅱ）若1a ->，即1a <-时，因为()f x 在()1,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增，因为()10f =，()()10f a f -<=，故()f x 在()1,a -上无零点.另外，由（1）可知()110r r x ⎛⎫≤=⎪⎝⎭恒成立，即ln 1x x ≤-对0x >恒成立， 则()()()2ln 42ln 2221a a a =-≤--，所以()()()22224ln 44122141210f a a a a a a a a =+-≥⨯--+-=-->，故存在()20,4x a a ∈-，进而存在()0,x a ∈-+∞，使得()00f x =，即()00h x =， 此时()h x 在()1,+∞上存在唯一零点.综上可得，当1a ≥-时，()h x 有1个零点；当1a <-时，()h x 有2个零点．【点睛】本题考查函数的单调性、导数几何意义及其应用、不等式等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等；考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为2x =-，曲线C 的方程为22(1)1x y -+=，动点P 到原点O 的距离与到l 的距离相等．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求C 的极坐标方程和P 点轨迹的极坐标方程；（2）若Q 是曲线C 上一点，且4OP OQ =u u u r u u u r ，求||OP ．【答案】（1）2cos ρθ=，21cos ρθ=-.（2）4 【解析】 【分析】（1）利用222,cos x y x ρρθ=+=，代入圆的方程2220x y x +-=，即可得到圆的极坐标方程；对点P 在y 轴右侧时，P 在y 轴，y 轴左侧时，三种情况进行讨论，均可得到21cos ρθ=-； （2）因为4OP OQ =u u u r u u u r，所以设点()()12,,,P Q ρθρθ，且124ρρ=，求出cos θ的值，即可得答案； 【详解】（1）由22(1)1x y -+=得，2220x y x +-=.因为222,cos x y x ρρθ=+=，所以2cos ρθ=，即为C 的极坐标方程. 当P 在y 轴右侧时，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，作y 轴的垂线，垂足为N ，设l 与x 轴的交点为R ， 因为点P 到原点距离与到l 距离相等，所以||||||||||OP PN MR OR OM ===+.在RT OPM V 中，||||cos cos OM OP θρθ==，所以2cos ρρθ=+.因为0θ≠，所以21cos ρθ=-. 当P 在y 轴或y 轴左侧时，满足21cos ρθ=-. 综上，P 点轨迹的极坐标方程为21cos ρθ=-. （2）因为4OP OQ =u u u r u u u r ，所以设点()()12,,,P Q ρθρθ，且124ρρ=.又122,2cos 1cos ρρθθ==-，所以28cos 1cos θθ=-， 解得1cos 2θ=，所以2||4112OP ==-. 【点睛】本题考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想等．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()f x x a x b x c =+++++．（1）若a ，b ，0c >，()01f =，证明：13ab bc ac ++≤； （2）若1a b ==，对于任意的(,2]x ∈-∞-，()4f x ≥恒成立，求c 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）0c ≤或4c ≥【解析】【分析】（1）由已知得()01f a b c =++=，两边平方再利用基本不等式，即可得答案；（2）对于任意的(],2x ∈-∞-，()4f x ≥恒成立，取()24f -≥得到c 的范围，进而验证0c ≤或4c ≥符合题意.【详解】（1）由已知得，()01f a b c a b c =++-=++=，所以()2222222a b c a b c ab bc ac ++=+++++ ()()()22222212222a b b c a c ab bc ac ⎡⎤=++++++++⎣⎦ ()12222222ab bc ac ab bc ac ≥+++++ ()3ab bc ac =++ . 所以13ab bc ac ++≤. （2）当1a b ==时，()21f x x x c =+++，因为对于任意的(],2x ∈-∞-，()4f x ≥恒成立，所以()2224f c -=+-+≥，解得0c ≤或4c ≥，①当0c ≤时，()()2132f x x x c x c =+++=-++在(],2x ∈-∞-为减函数，所以()()min 244f x f c =-=-+≥，即0c ≤，②当4c ≥时，()()2,22132,x c c x f x x x c x c x c ⎧--+-<≤-⎪=+++=⎨-++≤-⎪⎩在(],2x ∈-∞-为减函数， 所以()()min 24f x f c =-=≥，即4c ≥，综上所述，0c ≤或4c ≥.【点睛】本题考查基本不等式、含绝对值不等式等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查数形结合、转化与化归、函数与方程、分类与整合等数学思想方法．。

厦门市2020届高中毕业班第一次质量检查数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．己知集合A={x ∈N|x 2+x-6<0}，B={x ∈R|-1≤x ≤3}，则A ∩B= A. {x|-l<x<2} B.{0,1,2} C ．{x|-1≤x ≤3} D.{0,1,2,3} 2．若复数z 满足|z-l+i|=l ，z 在复平面内对应的点为(x ，y)，则 A. (x+1)2+(y+1)2=1 B. (x+1)2+(y-1)2=1 C ．(x-1)2+(y-1)2=1 D ． (x-1)2+(y+1)2=13.己知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 3 =7，S 8=80，则a 6= A ．17 B ．15 C ．13 D ．114．A 、B 两名同学6次的跳高成绩如图所示，且这6次成绩的平均分分别为B A x x ,，标准差分别为σA ，σB ，则A. ,A x >,B x σA <σBB. ,A x <,B x σA <σBC. ,A x >,B x σA >σBD. ,A x <,B x , σA >σB5. 1618年德国物理学家开普勒在《宇宙谐和论》上提出：绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星， 其各自椭圆轨道半长轴长（单位：米）的立方（a 3）与它的公转周期（单位：秒）的平方（T 2）之比是一个常量，即2234,πGM k k T a ==（其中k 为开普勒常数，M 为中心天体质量，G 为引力常量）。

已知地球轨道的半长轴长约为1.5亿千米，地球的运行周期约为1年，距离太阳最远的冥王星轨道的半长轴长约为60亿千米，则冥王星的运行周期约为A. 150年B. 200年 C ．250年 D. 300年6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是A. -3B. 21-C ．31D ．27．如图是某圆锥的三视图，其正视图是一个边长为1的正三角形，圆锥表面上的点M 、N 在正视图上的对应点分别是A 、B ．则在此圆锥的侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A. 1B.2 C. 2 D.π8．在直角△ABC 中，A=90°，AB=6，AC=8，D 是△ABC 的内心，则BD =A. AC AB 4132+-B ．AC AB 4132- C ．AC AB 3132+- D ．AC AB 3132-9．关于函数f(x)=|cos x|+|sin x|有下述四个结论： ①f(x)是偶函数；②f(x)在区间(0，2π)上是增函数；③f(x)的最大值为2；④f(x)的周期为2π其中所有正确结论的编号是A.①② B ．①④ C ．①③④ D.②③④10.己知点M(1，2)，点P 在抛物线y 2= 8x 上运动，点Q 在圆(x-2)2+y 2 =1上运动，则|PM|+|PQ|的最小值为A ．2B ．3C ．4D ．511．在四面体ABCD 中，AB=CD=2，AC=BD=5，AD=BC=7．若平面α同时与直线AB 、直线CD 平行，且与四面体的每一个面都相交，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为 A ．833 B ．23 C ．835 D ．837 12．己知直线y=-x+2分别与函数y=e x 和y=lnx 的图象交于点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则下列结论错误的是 A. x 1 +x 2=2 B. 21x x e e +> 2e C.11ln x x +x 2lnx 2 < 0 D. x 1x 2 >2e二、填空题：本大题共4小题。

福建省厦门市2020届理数高三毕业班第一次质量检测试卷一、单选题 (共12题；共24分)1．（2分）已知A={x||x|≤1}，B={x|(x−12)2≤0}，则A∩C R B=（）A．[−1,1]B．ϕC．[−1,12)∪(12,1]D．(−1,1)2．（2分）设z=−i+3，则z̅+|z̅|=（）A．i−3+√10B．i+3+√10C．−i+3+√10D．−i−3+√10 3．（2分）中国武汉于2019年10月18日至2019年10月27日成功举办了第七届世界军人运动会.来自109个国家的9300余名运动员同台竞技.经过激烈的角逐，奖牌榜的前3名如下：某数学爱好者采用分层抽样的方式，从中国和巴西获得金牌选手中抽取了22名获奖代表.从这22名中随机抽取3人，则这3人中中国选手恰好1人的概率为（）A．2257B．191540C．571540D．17115404．（2分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为-2，且a7是a3与a9的等比中项，则S10的值为（）A．－110B．－90C．90D．1105．（2分）已知函数f(x)=e x+e−x，给出以下四个结论：⑴f(x)是偶函数；⑵f(x)的最大值为2；⑶当f(x)取到最小值时对应的x=0；⑷f(x)在(−∞,0)单调递增，在(0,+∞)单调递减.正确的结论是（）A．⑴B．⑴⑵⑷C．⑴⑶D．⑴⑷6．（2分）已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为1，高为2，M为B1C1的中点，过M 作平面α平行平面A1BD，若平面α把该正四棱柱分成两个几何体，则体积较小的几何体的体积为（）A．18B．116C．124D．1487．（2分）设a=e−12，b=4e−2，c=2e−1，d=3e−32，则a,b,c,d的大小关系为（）A．c>b>d>a B．c>d>a>b C．c>b>a>d D．c>d>b>a. 8．（2分）函数f(x)=sinx⋅|cosx|的最小正周期与最大值之比为（）A．πB．2πC．4πD．8π9．（2分）已知三角形ABC为直角三角形，点E为斜边AB的中点，对于线段AB上的任意一点D都有CE⇀⋅CD⇀=|BC⇀+AC⇀|=4，则|CD⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是（）A．[2,2√6]B．[2,2√6)C．[2,2√2]D．[2,2√2)10．（2分）中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法——二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年）：对于函数y=f(x)在x1,x2,x3(x1<x2<x3)处的函数值分别为y1=f(x1),y2=f(x2),y3=f(x3)，则在区间[x1,x3]上f(x)可以用二次函数f(x)=y1+k1(x−x1)+k2(x−x1)(x−x2)来近似代替，其中k1=y2−y1x2−x1,k=y3−y2x3−x2,k2=k−k1 x3−x1.若令x1=0，x2=π2，x3=π，请依据上述算法，估算sin2π5的近似值是（）A．2425B．1725C．1625D．3511．（2分）已知双曲线x2a2−y2b2=1的右支与抛物线x2=2py相交于A,B两点，记点A到抛物线焦点的距离为d1，抛物线的准线到抛物线焦点的距离为d2，点B到抛物线焦点的距离为d3，且d1,d2,d3构成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±√22x B．y=±√2x C．y=±√3x D．y=±√33x 12．（2分）已知方程xe x−a(e2x−1)=0只有一个实数根，则a的取值范围是（）A．a≤0或a≥12B．a≤0或a≥13C．a≤0D．a≥0或a≤−13二、填空题 (共4题；共4分)13．（1分）(2x+3y)4的展开式中二项式系数最大的项为.14．（1分）高三年段有四个老师分别为a,b,c,d，这四位老师要去监考四个班级A,B,C,D，每个老师只能监考一个班级，一个班级只能有一个监考老师.现要求a老师不能监考A班，b老师不能监考 B 班， c 老师不能监考 C 班， d 老师不能监考 D 班，则不同的监考方式有 种.15．（1分）已知圆 O ： x 2+y 2=1 ， 圆 N ： (x −a +2)2+(y −a)2=1 . 若圆 N 上存在点Q ，过点 Q 作圆 O 的两条切线. 切点为 A,B ，使得 ∠AQB =60∘ ，则实数 a 的取值范围是16．（1分）已知正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 的棱长为3. 点 N 是棱 A 1B 1 的中点，点 T 是棱 CC 1上靠近点 C 的三等分点. 动点 Q 在正方形 D 1DAA 1 (包含边界)内运动， 且 QB// 面 D 1NT ，则动点 Q 所形成的轨迹的长度为三、解答题 (共7题；共70分)17．（10分）已知函数 f(x)=sinx(cosx −sinx)+12.（1）（5分）求 f(x) 的单调递减区间；（2）（5分）在锐角 △ABC 中， a ， b ， c 分别为角 A ， B ， C 的对边，且满足 acos2B =acosB −bsinA ，求 f(A) 的取值范围.18．（10分）在三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 中，已知 AB =AC =AA 1=√5 ， BC =4 ， O 为 BC 的中点， A 1O ⊥ 平面 ABC（1）（5分）证明四边形 BB 1C 1C 为矩形；（2）（5分）求直线 AA 1 与平面 A 1B 1C 所成角的余弦值.19．（10分）根据养殖规模与以往的养殖经验，某海鲜商家的海产品每只质量（克）在正常环境下服从正态分布 N(280, 25) ．附：若随机变量 Z ～N(1,4) ，则 P(−5<Z <7)=0.9974 ， 0.998710≈0.9871 ；对于一组数据 (u 1,v 1) ， (u 2,v 2) ， ⋅⋅⋅ ， (u n ,v n ) ，其回归线 v =α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 β̂=∑(u i −u ̅)(v i−v ̅)ni=1∑(u i −u̅)2n i=1， α̂=v ̅−β̂u ̅ ． （1）（5分）随机购买10只该商家的海产品，求至少买到一只质量小于 265 克该海产品的概率．（2）（5分）2020年该商家考虑增加先进养殖技术投入，该商家欲预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．现用以往的先进养殖技术投入 x i （千元）与年收益增量 y i （千元）（ i =1,2,3,⋅⋅⋅,8 ）的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线 y =a +b √x的附近，且 x ̅=46.6 ， y ̅=563 ， t =6.8 ， ∑8i=1(x i −x ̅)2=289.8 ， ∑8i=1(t i −t )2=1.6 ， ∑(x i −x ̅)i=18(y i −y ̅)=1469 ， ∑(t i −t )8i=1(y i −y ̅)=108.8 ，其中 t i =√x i ， t = 18∑8i=1t i ．根据所给的统计量，求 y 关于 x 的回归方程，并预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．20．（10分）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 A:(x −1)2+y 2=16 ，点 B(−1,0) ，过 B 的直线 l与圆 A 交于点 C,D ，过 B 做直线 BE 平行 AC 交 AD 于点 E ． （1）（5分）求点 E 的轨迹 τ 的方程；（2）（5分）过 A 的直线与 τ 交于 H 、 G 两点，若线段 HG 的中点为 M ，且 MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求四边形 OHNG 面积的最大值． 21．（10分）已知函数 f(x)=lnx +ax +1 有两个零点 x 1,x 2 .（1）（5分）求 a 的取值范围；（2）（5分）记 f(x) 的极值点为 x 0 ，求证： x 1+x 2>2ef(x 0) .22．（10分）在直角坐标系xOy 下，曲线C 1的参数方程为 {x =cosα,y =sinα （ α 为参数），曲线C 1在变换T ： {x ′=2xy ′=y 的作用下变成曲线C 2． （1）（5分）求曲线C 2的普通方程；（2）（5分）若m>1，求曲线C 2与曲线C 3：y=m|x|-m 的公共点的个数．23．（10分）已知函数 f(x)=|x −2|+|3x +1|−m ．（1）（5分）当 m =5 时，求不等式 f(x)>0 的解集；（2）（5分）若当 x ≠14 时，不等式 f(x)+16|4x−1|>0 恒成立，求实数m 的取值范围．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵A ={x||x|≤1} ， B ={x|(x −12)2≤0} ，∴A =[−1,1] ， B ={12} ，∴A ∩C R B = [−1,12)∪(12,1] ，故答案为：C ．【分析】先求出集合 A ， B ，再根据交集和补集的定义求解即可．2．【答案】B【解析】【解答】解：∵z =−i +3 ， ∴z̅=i +3 ， ∴z ̅+|z ̅|=i +3+√10 ， 故答案为：B ．【分析】根据共轭复数的定义以及复数的模直接运算即可．3．【答案】C【解析】【解答】解：中国和巴西获得金牌总数为154，按照分层抽样方法，22名获奖代表中有中国选手19个，巴西选手3个， 故这3人中中国选手恰好1人的概率 P =C 191C 32C 223=571540， 故答案为：C ．【分析】先根据分层抽样确定中国选手的人数，再利用组合数根据古典概型的概率计算公式求解即可．4．【答案】D【解析】【解答】解：∵a 7 是 a 3 与 a 9 的等比中项，∴a 72=a 3a 9 ，又数列 {a n } 的公差为 −2 ，∴(a 1−12)2=(a 1−4)(a 1−16) ，解得 a 1=20 ， ∴a n =20+(n −1)×(−2)=22−2n ， ∴S 10=10(a 1+a 10)2=5×(20+2)=110 ，故答案为：D ．【分析】根据等比中项的定义得 a 72=a 3a 9 ，结合公差可求出首项，从而可得答案．5．【答案】C【解析】【解答】解：∵f(x)=e x +e −x ，∴f(−x)=e −x +e x =f(x) ， ∴函数 f(x) 为偶函数，故（1）对；又 f′(x)=e x −e −x =e 2x −1ex ， ∴当 x ≥0 时， e 2x ≥e x ≥1 ，则 f′(x)≥0 ， ∴f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增，结合偶函数的性质可知 f(x) 在 (−∞,0) 单调递减，∴函数 f(x) 在 x =0 处取得最小值 f(x)min =f(0)=2 ，无最大值， 故（3）对，（2）（4）错， 故答案为：C ．【分析】根据偶函数的定义可判断（1），再利用导数研究函数的单调性与最值．6．【答案】C【解析】【解答】解：设 N 为 C 1D 1 的中点， P 为 CC 1 的中点，连接 MN ， MP ， NP ，连接 CB 1 ，在四棱柱 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，易证 A 1B 1//CD ，则 DA 1//CB 1 ， ∵M 为 B 1C 1 的中点， P 为 CC 1 的中点， ∴MP//CB 1 ，∴DA 1//MP ，∵MP ⊄ 平面 A 1BD ， DA 1⊂ 平面 A 1BD ，∴MP// 平面 A 1BD ， 同理可证： NP// 平面 A 1BD ， MN// 平面 A 1BD ，∵MP ∩NP =P ， MP ， NP ⊂ 平面 MNP ，∴平面 MNP// 平面 A 1BD ， 即平面 MNP 为平面 α ，∴体积较小的几何体为三棱锥 P −C 1MN ， 则体积 V P−C 1MN =13⋅12⋅|C 1M|⋅|C 1N|⋅|C 1P| =16×12×12×1=124， 故答案为：C ．【分析】设 N 为 C 1D 1 的中点， P 为 CC 1 的中点，连接 MN ， MP ， NP ，连接 CB 1 ，利用面面平行的判定定理可证得平面 MNP// 平面 A 1BD ，从而平面 MNP 为平面 α ，从而可得体积较小的几何体为三棱锥，再根据棱锥的体积计算公式求解即可．7．【答案】B【解析】【解答】解： a 2=1e =e 3e 4 ， b 2=16e 4 ， c 2=4e 2=4e 2e4 ， d 2=9e e 4 ，由于 e ≈2.7 ， e 2≈7.39 ， e 3≈20.09 ，所以 c >d >a >b ， 故答案为：B ．【分析】利用指数幂的运算性质化成同分母，再求出分子的近似值即可判断大小．8．【答案】C【解析】【解答】解：去绝对值 f(x)={12sin2x,−π2+2kπ≤x ≤π2+2kπ−12sin2x,π2+2kπ≤x ≤3π2+2kπ (k ∈Z) ， 作出图象得由图可知，函数的最小正周期为 2π ，最大值为 f(x)max =12，所以最小正周期与最大值之比为 4π ， 故答案为：C ．【分析】去掉绝对值作出函数的图象即可求出函数的周期与最值，从而得出答案．9．【答案】C【解析】【解答】解：由已知可得 AB =4， CE =AE =BE =2 ，设 θ=〈CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 ，当 D 与 E 重合时， CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2⋅2⋅cos0=4 ，符合题意； 当 D 与 A 重合时， ∠BDC =θ ， CD =4cosθ ，代入 CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4 ， 得 2⋅4cosθ⋅cosθ=4 ，此时 θ=π4 ，同理，当 D 与 B 重合时 θ=π4 故 θ∈[0，π4] ，由 CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4 ，得 2⋅CD ⋅cosθ=4 ， 即 CD =2cosθ，结合 θ∈[0，π4] 可得 CD ∈[2,2√2] ， 故答案为：C ．【分析】设 θ=〈CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉 ，再分类讨论，结合三角函数的性质即可得出结论．10．【答案】A【解析】【解答】解：函数 y =f(x)=sinx 在 x =0 ， x =π2 ， x =π 处的函数值分别为y 1=f(0)=0 ， y 2=f(π2)=1 ， y 3=f(π)=0 ，故 k 1=y 2−y 1x 2−x 1=2π ， k =y 3−y 2x 3−x 2=−2π ， k 2=k−k 1x 3−x1=−4π2 ， 故 f(x)=2πx −4π2x(x −π2)=−4π2x 2+4πx ，即 sinx ≈−4π2x 2+4πx ，∴sin2π5≈−4π2×(2π5)2+4π×2π5=2425 ， 故答案为：A ．【分析】直接按照所给算法逐步验算即可得出最终结论．11．【答案】A【解析】【解答】解：设 A(x 1,y 1) ， B(x 2,y 2) ，抛物线焦点为 F ，由已知有 AF +BF =2p ，即 y 1+y 2=p ，由{ x 12a 2=1+y 12b2x 22a 2=1+y 22b2 ，两式相减得 x 12−x 22a 2=(y 1−y 2)(y 1+y 2)b 2 ， 即 2py 1−2py 2a 2=(y 1−y 2)(y 1+y 2)b 2 ，故 b 2a 2=12， ∴渐近线方程为 y =±√22x ，故答案为：A ．【分析】设 A(x 1,y 1) ， B(x 2,y 2) ，抛物线焦点为 F ，由已知可得 AF +BF =2p ，根据抛物线定义可得 y 1+y 2=p ，利用点差法可得 2py 1−2py 2a 2=(y 1−y 2)(y 1+y 2)b2 ，从而可求得渐近线方程．12．【答案】A【解析】【解答】解：令t=e x,t>0,x=lnt，则原方程转化成tlnt−a(t2−1)=0，即lnt−a(t−1t)=0，令f(t)=lnt−a(t−1t)，显然f(1)=0，问题转化成函数f(t)在(0,+∞)上只有一个零点1，f′(t)=1t−a(1+1t2)=−at2+t−at2，若a=0，则f(t)=lnt在(0,+∞)单调递增，f(1)=0，此时符合题意；若a<0，则f′(t)>0，f(t)在(0,+∞)单调递增，f(1)=0，此时符合题意；若a>0，记ℎ(t)=−at2+t−a，则函数ℎ(t)开口向下，对称轴t=12a>0，过(0,−a)，Δ=1−4a2，当Δ≤0即1−4a2≤0即a≥12时，f′(t)≤0，f(t)在(0,+∞)单调递减，f(1)=0，此时符合题意；当Δ>0即1−4a2>0即0<a<12时，设ℎ(t)=0有两个不等实根t1,t2，0<t1<t2，又ℎ(1)>0，对称轴t=12a>1，所以0<t1<1<t2，则f(t)在(0,t1)单调递减，(t1,t2)单调递增，(t2,+∞)单调递增，由于f(1)=0，所以f(t2)>0，取t0=e1a，f(t0)=1−a2e1a+a2e−1aa，记φ(a)=1−a2e1a+a2e−1a令t=1a,t>2，则φ(a)=m(t)=t 2−e t+e−tt2<0，所以f(t0)<0，结合零点存在性定理可知，函数f(t)在(t2,t0)存在一个零点，不符合题意；综上，符合题意的a的取值范围是a≤0或a≥12，故答案为：A．【分析】令t=e x,t>0,x=lnt，则原方程转化成lnt−a(t−1t)=0，令f(t)=lnt−a(t−1t)，显然f(1)=0，问题转化成函数f(t)在(0,+∞)上只有一个零点1，求导后再利用导数研究函数的单调性与最值，由此可得答案．13．【答案】216x2y2【解析】【解答】解：由题意可知二项式系数最大的项为第三项，T3=C42(2x)2(3y)2=216x2y2，故答案为：216x2y2．【分析】(2x+3y)4的展开式中二项式系数最大的项为第三项，根据公式求解即可．14．【答案】9【解析】【解答】解：当a老师监考B班时，剩下的三位老师有3种情况，同理当a老师监考C 班时，也有3种，当a老师监考D班时，也有3种，共9种，故答案为：9．【分析】以a老师监考的班级分类讨论即可求出答案．15．【答案】[1−√142,1+√142]【解析】【解答】解：已知有|QO|=2，即点Q的轨迹方程为圆T：x2+y2=4，问题转化为圆N和圆T有公共点，则1≤√a2+(a−2)2≤3，故1−√142≤a≤1+√142，故答案为：[1−√142,1+√142]．【分析】由已知可得问题转化为圆N和圆x2+y2=4有公共点，从而根据几何法即可求出答案．16．【答案】√10【解析】【解答】解：由于QB//平面D1NT，所以点Q在过B且与面D1NT平行的平面上，取DC中点E1，取A1G=1，则平面BGE1//平面D1NT，延长BE1，延长AD，交于点E，连接EG交DD1于点I，显然，平面BGE∩平面D1DAA1=GI，所以点Q的轨迹是线段GI，由中位线定理可证得DI=12AG=1，∴GI=√(2−1)2+32=√10，故答案为：√10．【分析】取DC中点E1，取A1G=1，则平面BGE1//平面D1NT，延长BE1，延长AD，交于点E，连接EG交DD1于点I，可证得点Q的轨迹是线段GI，从而可求出答案．17．【答案】（1）解：f(x)=12sin2x−12(1−cos2x)+12=12(sin2x+cos2x)=√22sin(2x+π4 )，由2kπ+π2≤2x+π4≤2kπ+3π2,k∈Z,得kπ+π8≤x≤kπ+5π8,所以f(x)的单调递减区间为[kπ+π8,kπ+5π8],k∈Z；（2）解：由正弦定理得sinAcos2B=sinAcosB−sinBsinA，∵sinA≠0,∴cos2B=cosB−sinB，即(cosB−sinB)(cosB+sinB)=cosB−sinB，(cosB−sinB)(cosB+sinB−1)=0，得cosB−sinB=0，或cosB+sinB=1，解得B=π4，或B=π2（舍），∵△ABC为锐角三角形，A+C=3π4,∴{0<A<π2,0<3π4−A<π2,解得π4<A<π2,∴3π4<2A+π4<5π4,−√22<sin(2A+π4)<√22,∴f(A)=√22sin(2A+π4)的取值范围为(−12,12)．【解析】【分析】（1）根据降幂公式化简f(x)的解析式，再用整体代入法即可求出函数的单调递减区间；（2）由正弦定理边化角，从而可求得B=π4，根据锐角三角形可得π4<A<π2,从而可求出答案．18．【答案】（1）解：连接AO，因为O为BC的中点，可得BC⊥AO，∵A 1O ⊥ 平面 ABC ， BC ⊂ 平面 ABC ，∴A 1O ⊥BC ， 又∵AO ∩A 1O =O ，∴BC ⊥ 平面 AA 1O ，∴BC ⊥AA 1 ， ∵BB 1//AA 1 ， ∴BC ⊥BB 1 ， 又∵四边形 BB 1C 1C 为平行四边形， ∴四边形 BB 1C 1C 为矩形；（2）解：如图，分别以 OA,OB,OA 1 所在直线为 x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，则 A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,−2,0),Rt △AOB 中， AO =√AB 2−BO 2=1 ， Rt △AA 1O 中， A 1O =√AA 12−AO 2=2 ，A 1(0,0,2) ，∴AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,2) ， A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,−2) ， A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,0) ， 设平面 A 1B 1C 的法向量是 n⃗ =(x,y,z) ， 由 {n ⇀⋅AB⇀=0,n ⇀⋅A 1C ⇀=0, 得 {−x +2y =0,−2y −2z =0, 即 {x =2y,z =−y, ，可取 n ⃗ =(2,1,−1) ， 设直线 AA 1 与平面 A 1B 1C 所成角为 θ ，则 θ∈[0,π2] ，sinθ=|cos <AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n⃗ >| =|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=45⋅6=215√30 ，∵θ∈[0,π2] ，∴cosθ=√1−sin 2θ=√10515，即直线 AA 1 与平面 A 1B 1C 所成角的余弦值为 √10515．【解析】【分析】（1）连接 AO ，可得 BC ⊥AO ，易证 A 1O ⊥BC ，则 BC ⊥ 平面 AA 1O ，从而可证 BC ⊥BB 1 ，由此即可得出结论；（2）以 OA,OB,OA 1 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系，利用法向量解决问题．19．【答案】（1）解：由已知，单只海产品质量 ξ～N(280,25) ，则 μ=280 ， σ=5 ，由正态分布的对称性可知，P(ξ<265)=12[1−P(265<ξ<295)] =12[1−P(μ−3σ<ξ<μ+3σ)] =12(1−0.9974)=0.0013 ，设购买10只该商家海产品，其中质量小于 265 g 的为 X 只，故 X ～B(10,0.0013) ， 故 P(X ≥1)=1−P(X =0)=1−(1−0.0013)10≈1−0.9871=0.0129 ，所以随机购买10只该商家的海产品，至少买到一只质量小于 265 克的概率为 0.0129（2）解：由 t =6.8 ， y ̅=563 ， ∑(t i −t )8i=1(y i −y ̅)=108.8 ， ∑8i=1(t i −t )2=1.6 ，有 b̂= ∑(t i −t ̅)8i=1(y i−y ̅)∑8i=1(t i −t ̅)2=108.81.6=68 ，且 a ̂=y ̅−b̂t =563−68×6.8=100.6 ， 所以 y 关于 x 的回归方程为 y ̂=100.6+68√x ，当 x =49 时，年销售量 y 的预报值 y ̂=100.6+68√49=576.6 千元， 所以预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量为 576.6 千元．【解析】【分析】（1）由正态分布的对称性可知， P(ξ<265) =12(1−0.9974)=0.0013 ，设购买10只该商家海产品，其中质量小于 265 g 的为 X 只，故 X ～B(10,0.0013) ，由此可求出答案；（2）根据最小二乘法可求出回归方程，由此可求出答案．20．【答案】（1）解：因为 |EB||AC|=|ED||AD| ，又因为 |AC|=|AD|=4 ，所以 |EB|=|ED| ，所以 |EB|+|EA|=|ED|+|EA|=|AD|=4>|AB|=2 ， 所以 E 的轨迹是焦点为 A ， B ，长轴为 4 的椭圆的一部分，设椭圆方程为 x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0) ，则 2a =4 ， 2c =2 ，所以 a 2=4 ， b 2=a 2−c 2=3 ，所以椭圆方程为 x 24+y 23=1 ，又因为点 E 不在 x 轴上，所以 y ≠0 ，所以点 E 的轨迹 τ 的方程为 x 24+y 23=1(y ≠0)（2）解：因为直线 HG 斜率不为0，设为 x =ty +1 ，设 G(x 1,y 1) ， H(x 2,y 2) ，联立 {x =ty +1,x 24+y 23=1 整理得 (3t 2+4)y 2+6ty −9=0 ， 所以 Δ=36t 2+36(3t 2+4)=144(t 2+1)>0 ， y 1+y 2=−6t 3t 2+4 ， y 1y 2=−93t 2+4，所以 S △OHG =12|OA||y 1−y 2|=6√t 2+13t 2+4，∵MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴S △GHN =2S △OHG ， 设四边形 OHNG 的面积为 S ， 则 S =S△OHG+S △GHN =3S △OHG =18√t 2+13t 2+4=183t 2+4√t +1=183√t +1+1√t 2+1，令 √t 2+1=m(m ≥1) ， 再令 y =3m +1m ，则 y =3m +1m在 [1,+∞) 单调递增， 所以 m =1 时， y min =4 ，此时 t =0 ， 3√t 2+1+1√t +1 取得最小值 4 ，所以 S max =92． 【解析】【分析】（1）由题意可得 |EB|=|ED| ，可得 |EB|+|EA|=4>|AB|=2 ，则 E 的轨迹是焦点为 A ， B ，长轴为 4 的椭圆的一部分，再用待定系数法即可求出方程；（2）由题意设直线方程为 x =ty +1 ，设 G(x 1,y 1) ， H(x 2,y 2) ，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理表示出 S △OHG ，可得 S △GHN =2S △OHG ，设四边形 OHNG 的面积为 S ，则 S =3S △OHG ，再根据基本不等式即可求出答案．21．【答案】（1）解：因为 f ′(x)=1x +a =ax+1x，当 a ≥0 时， f ′(x)>0 ， f(x) 在 (0,+∞) 单调递增，至多只有一个零点，不符合题意，舍去；当 a <0 时，若 0<x <−1a ，则 f ′(x)>0 ；若 x >−1a ，则 f ′(x)<0 ，所以 f(x) 在 (0,−1a ) 单调递增，在 (−1a ,+∞) 单调递减，所以 f(x)max =f(−1a )=ln(−1a) ，因为 f(x) 有两个零点，所以必须 f(x)max >0 ，则 ln(−1a )>0 ，所以 −1a>1 ，解得 −1<a <0 ，又因为 x →0 时， f(x)<0 ； x →+∞ 时， f(x)<0 ，所以当 −1<a <0 时， f(x) 在 (0,−1a ) 和 (−1a,+∞) 各有一个零点，符合题意，综上， −1<a <0（2）解：由（1）知 −1<a <0 ，且 x 0=−1a，因为 f(x) 的两个零点为 x 1,x 2 ，所以 {f(x 1)=0f(x 2)=0，所以 {lnx 1+ax 1+1=0lnx 2+ax 2+1=0 ， 解得 ln x 1x 2+a(x 1−x 2)=0 ，令 x 1>x 2, 所以 a =−ln x1x 2x 1−x 2 ， 令函数 ℎ(x)=lnx −xe ，则 ℎ′(x)=1x −1e，当 0<x <e 时， ℎ′(x)>0 ；当 x >e 时， ℎ′(x)<0 ； 所以 ℎ(x) 在 (0,e) 单调递增，在 (e,+∞) 单调递减，所以 ℎ(x)max =ℎ(e)=0 ，所以 ℎ(x)≤0 ，所以 lnx ≤xe ，因为 f(x 0)=f(−1a )=ln(−1a ) ，又因为 −1a >1 ，所以 ln(−1a )≤−1ea ，所以 2eln(−1a )≤−2a ，即 2ef(x 0)≤−2a ，要证 x 1+x 2>2ef(x 0) ，只需 x 1+x 2≥−2a，即证 x 1+x 2≥2(x 1−x 2)ln x 1x 2 ，即证 ln x 1x 2≥2(x 1−x 2)x 1+x 2 ，即证 ln x 1x 2≥2(x1x 2−1)x 1x 2+1， 令 x 1>x 2 ，再令 t =x 1x 2(t >1) ，即证 lnt ≥2(t−1)t+1 ，令 ℎ(t)=lnt −2(t−1)t+1(t >1) ，则 ℎ′(t)=1t −4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2>0 ， 所以 ℎ(t) 在 (1,+∞) 单调递增，所以 ℎ(t)>ℎ(1)=0 ，所以 lnt >2(t−1)t+1，原题得证．【解析】【分析】（1）求导得 f ′(x)=1x +a =ax+1x，分类讨论求出函数的单调性，从而可求出答案；（2）由题意得 {lnx 1+ax 1+1=0lnx 2+ax 2+1=0 ，则 a =−ln x1x 2x 1−x 2 ，令函数 ℎ(x)=lnx −x e ，则 ℎ′(x)=1x −1e，利用导数可求得 lnx ≤x e ，从而可得 ln(−1a )≤−1ea ，可得 2ef(x 0)≤−2a ，要证 x 1+x 2>2ef(x 0) ，只需 ln x 1x 2≥2(x1x 2−1)x 1x 2+1，令 t =x 1x 2(t >1) ，即证 lnt ≥2(t−1)t+1 ，令 ℎ(t)=lnt −2(t−1)t+1(t >1) ，求导后得函数的单调性与最值，由此可证结论． 22．【答案】（1）解：因为曲线C 1的参数方程为 {x =cosα,y =sinα, 所以曲线C 1的普通方程为 x 2+y 2=1 ，将变换T ： {x′=2x,y′=y, 即 {x =12x′,y =y′,代入 x 2+y 2=1 ，得 x′24+y′2=1 ， 所以曲线C 2的普通方程为 x 24+y 2=1 ．（2）解：因为m>1，所以 C 3 上的点 A(0,−m) 在在椭圆E ： x 24+y 2=1 外，当x>0时，曲线 C 3 的方程化为 y =mx −m ，代入 x 24+y 2=1 ，得 (4m 2+1)x 2−8m 2x +4(m 2−1)=0 ，（*）因为 Δ=64m 4−4(4m 2+1)⋅4(m 2−1) =16(3m 2+1)>0 ， 所以方程（*）有两个不相等的实根x 1，x 2， 又 x 1+x 2=8m 24m 2+1>0 ， x 1x 2=4(m 2−1)4m 2+1>0 ，所以x 1>0，x 2>0，所以当x>0时，曲线C 2与曲线C 3有且只有两个不同的公共点， 又因为曲线C 2与曲线C 3都关于y 轴对称，所以当x<0时，曲线C 2与曲线C 3有且只有两个不同的公共点， 综上，曲线C 2与曲线C 3：y=m|x|-m 的公共点的个数为4．【解析】【分析】（1）先求出曲线C 1的普通方程，再根据图象变换可求出曲线C 2的普通方程；（2）由题意可得 C 3 上的点 A(0,−m) 在椭圆E ： x 24+y 2=1 外，当 x >0 时，曲线 C 3 的方程化为y =mx −m ，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理可得当 x >0 时，曲线C 2与曲线C 3有且只有两个不同的公共点，又曲线C 2与曲线C 3都关于y 轴对称，从而可得结论．23．【答案】（1）解：当m=5时， f(x)>0 ⇔ |x −2|+|3x +1|−5>0 ， ⇔{x ≤−13,−x +2−3x −1−5>0, 或 {−13<x <2,−x +2+3x +1−5>0, 或 {x ≥2,x −2+3x +1−5>0, ⇔{x ≤−13,x <−1, 或 {−13<x <2,x >1, 或 {x ≥2,x >32, ⇔x <−1 或 1<x <2 或 x ≥2⇔x <−1 或 x >1 ，所以不等式 f(x)>0 的解集为{x| x <−1 或 x >1 }（2）解：由条件，有当 x ≠14 时，不等式 f(x)+16|4x−1|>0 ，即 m <|x −2|+|3x +1|+16|4x−1| 恒成立， 令 g(x)=|x −2|+|3x +1|+16|4x−1| ，则因为 g(x)≥|(x −2)+(3x +1)|+16|4x−1| =|4x −1|+16|4x−1| ≥2√|4x −1|⋅16|4x−1|=8 ，且g(−34)=8，所以[g(x)]min=8，所以m<8，即实数m的取值范围为（−∞，8）．【解析】【分析】（1）分类讨论去掉绝对值后再解不等式；（2）由题意可得m<|x−2|+|3x+1|+16 |4x−1|恒成立，令g(x)=|x−2|+|3x+1|+16|4x−1|，利用绝对值三角不等式以及基本不等式可得[g(x)]min=8，从而得出结论．。

2020届福建省厦门市高三（6月份）高考数学（理科）模拟试题一、单选题1．复数2i等于（ ） A ．2i -B ．2iC ．2D ．2- 2．设,,αβγ是三个互不重合的平面，l 是直线，给出下列命题①若αβ⊥，βγ⊥，则αγ⊥；②若l 上有两个点到α的距离相等，则l α；③若l α⊥，l β∥，则αβ⊥；④若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥.其中正确的命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④3．某超市销售的甲、乙两种品牌的腊肉各占25，35的份额，出厂时已知两种品种腊肉亚硝酸盐超标的概率分别为110，19.现一市民在该超市随机挑选了一块腊肉，则该块腊肉亚硝酸盐超标的概率为（ ）A ．875B ．1990C ．125D ．1154．若直线//a 平面α，//a 直线平面β，b αβ=，则（ ） A ．//a b 或a 与b 异面B ．//a bC ．a 与b 异面D ．a 与b 相交 5．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且n ，n a ，n S 成等差数列()n +∈N ，则4a =（ ）． A ．1B ．4C ．7D ．15 6．已知函数(),0,sin ,? 0.x x f x x x >⎧=⎨≤⎩则下列结论错误．．的是( ) A ．()f x 不是周期函数 B ．()f x 在2π⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦，上是增函数 C ．() f x 的值域为[)1,∞-+ D ．()f x 的图象上存在不同的两点关于原点对称7．函数()3f x x ax =+，若对任意两个不等的实数()1212,x x x x >，都有()()121233f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()2,-+∞B ．[)3,+∞C ．(],2-∞-D ．(),3-∞8．已知0.430.43,0.4,log 3a b c ===，则（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<9．设A ={x|x 2−x −2<0},B ={0,a},若A ∩B =B ,则实数a 的取值范围是（ ）A ．(−1，2)B ．C ．(−∞,−1)∪(2,+∞)D ．(0，2)10．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，则()()()()2222132243354201720192018a a a a a a a a a a a a ----=（ ）A ．1B ．2019C ．1-D ．2019-11．经过椭圆22x 2y 2+=的一个焦点作倾斜角为45的直线l ，交椭圆于M ，N 两点，设O 为坐标原点，则OM ON ⋅等于( )A ．3-B ．13±C ．13-D ．12- 12．定义在上的函数是减函数，且函数的图像关于原点中心对称，若满足不等式，其中，则当时，的取值范围是A ．B ．C ．D ．二、填空题 13．已知A 为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右顶点，B 1,B 2分别为虚轴的两个端点，F 为右焦点，若B 2F ⊥AB 1，则双曲线C 的离心率是__________．14．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若24S ,4S ,32S -成等差数列,且232a a +=,则6a 的值是_______．15．已知向量a =（2，1），=（－1，2），若a ，在向量上的投影相等，且（－a ）（－）=－，则向量的坐标为_______ . 16．某篮球队有12名队员，其中有6名队员打前锋，有4名队员打后卫，甲、乙两名队员既能打前锋又能打后卫.若出场阵容为3名前锋，2名后卫，则不同的出场阵容共有______种．三、解答题17．2020年春节期间，新型冠状病毒（2019﹣nCoV ）疫情牵动每一个中国人的心，危难时刻全国人民众志成城．共克时艰，为疫区助力．我国S 省Q 市共100家商家及个人为缓解湖北省抗疫消毒物资压力，募捐价值百万的物资对口输送湖北省H 市．（1）现对100家商家抽取5家，其中2家来自A 地，3家来自B 地，从选中的这5家中，选出3家进行调研．求选出3家中1家来自A 地，2家来自B 地的概率．（2）该市一商家考虑增加先进生产技术投入，该商家欲预测先进生产技术投入为49千元的月产增量．现用以往的先进技术投入x i （千元）与月产增量y i （千件）（i ＝1，2，3，…，8）的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线y a =+46.6563 6.8x y t ===，，，()821 289.9i i x x =-=∑，()8211.6i i t t=-=∑，()()81 1469i i i x x y y =--=∑，()()81 108.8i i i t t y y =--=∑，其中，i t =811 8i i t t ==∑，根据所给的统计量，求y 关于x 回归方程，并预测先进生产技术投入为49千元时的月产增量． 附：对于一组数据（u 1，v 1）（u 2，v 2），其回归直线v ＝α+βu 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为()()()121 ni ii n i i u u v v v u u u βαβ==--==--∑∑， 18．已知函数()22xf x e ax a =--，a R ∈. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若函数()f x 有两个零点12,x x ，求a 的取值范围，并证明：()()12111x x ++<.19．选修4-5：不等式选讲若0a >， 0b >， 4a b ab +=.（Ⅰ）求a b +的最小值；（Ⅱ）当a b +取得最小值时， a ， b 的值满足不等式22x a x b t t -+-≥-对任意的x R ∈恒成立，求t 的取值范围.20．过抛物线()2:20C y px p =>的焦点且斜率为1的直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，8AB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）点()00,P x y 为抛物线C上一点，且(02y ∈-+，求PAB ∆面积的最大值. 21．ABC 的内角A B C 、、的对边分别为,,a b c ，已知(2)cos cos c a B b A -=. （1）求角B 的大小；（2）若ABC 为锐角三角形，且2c =，求ABC 面积的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ<<），曲线2C的参数方程为11x y φφ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（φ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）设曲线1C 与曲线2C 的交点分别为,,(20)A B M ，，求22MA MB +的最大值及此时直线1C 的倾斜角.23．（本小题满分12分）右图是一个直三棱柱（以A 1B 1C 1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ．已知A 1B 1＝B 1C 1＝l ，∠A l B l C 1＝90°，AA l ＝4，BB l ＝2，CC l ＝3．（1）设点O 是AB 的中点，证明：OC ∥平面A 1B 1C 1；（2）求二面角B —AC —A 1的大小；（3）求此几何体的体积．【答案与解析】1．A给复数的分子分母同乘以i ，化简即可2222i i i i==- 故选：A此题考查复数的运算化简，属于基础题2．D根据空间直线与平面，平面与平面的关系对四个命题分别进行判断，得到答案.命题①，若αβ⊥，βγ⊥，则平面α和平面γ可能平行，也可能相交，所以不正确；命题②，若l 上两个点A 、B 满足线段AB 的中点在平面内，则A 、B 到α的距离相等，但l 与α相交，所以不正确；命题③，因为l β∥，则在平面内β内一定存在一条直线m ，满足m l ，因为l α⊥，所以m α⊥，而m β⊂，所以αβ⊥，所以正确；命题④，如图，在平面内γ内任取一点P ，过P 作1PA l ⊥于A ，2PB l ⊥于B ，因为1l αγ=，αγ⊥，PA γ⊂，所以PA α⊥，而l α⊂，所以PA l ⊥，同理，PB l ⊥，而,PA PB γ⊂，PAPB P =，所以l γ⊥，所以正确.故选：D.本题考查空间中线面关系命题的判断，面面关系命题的判断，属于简单题.3．A分别求出该块亚硝酸盐超标的腊肉来自甲、乙品牌的概率，相加即可得到所求事件的概率. 设一市民在该超市随机挑选了一块腊肉，该块腊肉来自甲品牌且亚硝酸盐超标为事件A ， 该块腊肉来自乙品牌且亚硝酸盐超标为事件B ，则211()51025P A =⨯=， 311()5915P B =⨯=，则所求概率为()()P A P B +=875. 故选：A本题考查互斥事件的概率，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.4．B过a 作平面γ交平面α于c ，过α作平面ε交平面β于d ，通过线面平行的性质定理、判定定理、平行公理可以判断出,a b 的位置关系.如图，过a 作平面γ交平面α于c ，过α作平面ε交平面β于d ，因为//a α，所以//a c . 因为//a β，所以//a d .所以//c d ，又,c d ββ⊄⊂，所以//c β，又,c b ααβ⊂⋂=，所以//c b ，所以//a b . 故选：B本题考查了线面平行的性质定理和判定定理，考查了平行公理，考查了推理论证能力.5．D∵n ，n a ，n S 成等差数列，∴2n n a n S =+，当1n =时，1121a S =+，11a =，当2n ≥时，1211n n a n S -=-+-，∴1221n n n a a a --=+，即121n n a a -=+，∴112(1)n n a a +-=+，∴1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，∴12n n a +=，∴21n n a =-，∴442115a =-=，故选D6．D函数的图像如下图所示：由图可知，选项A 、B 、C 正确，对于D 选项，当02x π<<时，x>sinx,当2x π≥时，-1≤sinx≤1，而x>1,所以x>sinx,∴当x>0时，y=sinx 与y=x 无交点.故f(x)的图像上不存在不同的两点关于原点对称，所以选项D 错误.故选D.7．B将()()121233f x f x x x ->-恒成立，变形为()()112233f x x f x x ->-恒成立，可构造函数()()3g x f x x =-，有()g x 单调递增，则()0g x '≥恒成立，从而求得a 的取值范围.对任意两个不等的实数()1212,x x x x >，都有()()121233f x f x x x ->-恒成立，则()()112233f x x f x x ->-恒成立，即令()()3g x f x x =-，则()g x 单调递增，则2()330g x x a '=+-≥恒成立，则233a x -≥-恒成立，得30-≥a ，则3a ≥.故选：B本题考查了构造函数的思想，函数单调性与导函数的关系的应用，属于中档题.8．D分析得到1,01,0a b c ><<<，即得解.由题得0.40331a =>=， 300.40.41b <==，且300.4b =>.0.40.4log 3log 10c =<=.所以c b a <<.故选：D本题主要考查指数对数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．B试题分析：由题意A ={x|−1<x <2}，因为A ∩B =B ，所以a ∈A ，又a ≠0，所以−1<a <2且a ≠0，故选B ．考点：集合的运算，集合的概念．10．A计算部分数值，归纳得到2211,1,n n n n a a a n ++⎧-=⎨-⎩为奇数为偶数，计算得到答案. 21321a a a -=；22431a a a -=-；23541a a a -=；24651a a a -=-… 归纳总结：2211,1,n n n n a a a n ++⎧-=⎨-⎩为奇数为偶数 故()()()()22221322433542017201920181a a a a a a a a a a a a ----=故选：A 本题考查了数列的归纳推理，意在考查学生的推理能力.11．C 椭圆化标准方程为2212x y +=，求得,,a b c ，设直线方程为1y x =-， 代入椭圆方程，求得交点坐标41(0,1),(,)33M N --，由向量坐标运算求得OM ON ⋅． 椭圆方程为2212x y +=，1,1a b c ===，取一个焦点(1,0)F ,则直线方程为1y x =-，代入椭圆方程得2340x x -=，41(0,1),(,)33M N --， 所以OM ON ⋅13=-，选C. 本题综合考查直线与椭圆相交问题，及向量坐标运算，由于本题坐标好求所以直接求坐标，代入向量坐标运算．一般如果不好求坐标点，都是用韦达定理设而不求．12．C试题分析:定义在R 上的函数是减函数,且函数的图象关于原点中心对称,故为奇。

厦门市高三理科数学质量测试题厦门市2020届高三〔上〕质量检查数学〔理科〕试卷本卷须知1.本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷指定位置上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、考号、姓名．2.本试卷分为第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分，全卷总分值150分，考试时刻120分钟．参考公式柱体体积公式：V Sh=，其中S为底面面积，h为高．锥体体积公式：13V Sh=，其中S为底面面积，h为高．第一卷〔选择题共50分〕一.选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1．全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={1，3}，那么A∩UB等于A．{1} B．{2} C．{4} D．{1,2,4}2．一个组合体的三视图如右，那么其体积为A．12π B．16π C．20π D．28π3．点P在边长为1的正方形ABCD内运动，那么动点P到定点A的距离|PA|<1的概率为A．14B．12C．π4. sin10°=a，那么sin7A．1-2a2 B. 1+2a2 C. 1-a2 D. a2- 15．函数y=2(0)21(0)xx xx<⎧⎨-≥⎩的图象大致是俯视图(第2题图)6．函数f (x )=5sin 1x +,依照函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求22()f x dx ππ-⎰的值，结果是A ．162π+ B ．π C ．1 D ．0 7．双曲线22x a -22y b=1(a >0,b >0)的两条渐近线为l 1﹑l 2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与l 1﹑l 2所围成的三角形面积为A. 3322a b a +B. 2322a b b a +C. 33a b a +8．在右侧程序框图中，输入n=60,按程序运行后输出的结果是 A ．0 B ．3 C ．4 D. 59．函数f (x +1)是偶函数，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)- f (x 1)]( x 2-x 1)>0恒成立，设a =f (-12),b =f (2),c =f那么a ,b ,c 的大小关系为 A ．b <a <c B ．c <b<a C ．b <c <a D ．a<b <c10．定义一个法那么:(,)(0)f m n m n →≥，在法那么f 的作用下，点P (m ,n )对应点P '(m ).现有(1,2)A -，(1,0)B 两点，当点P 在线段AB 上运动时，其对应点P '的轨迹为G ,那么G 与线段AB 公共点的个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3第二卷〔非选择题 共100分〕二．填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分，把答案填写在答题卡的相应位置。