福州市2018年度届高三上学期期末质检数学理试题

⊂ ≠福州市2018—2018学年度高三第一学期期末质量检查数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两分部.共150分，考试时间120分钟. 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合A {2，3，7}，且A 中元素至少有一个为奇数，则这样的集合共有 （ ）A ．2个B ．4个C ．5个D ．6个 2．复数Z 1=－3+i ，Z 2=1+ i ，则Z =Z 1·Z 2在复平面内对应点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．“a =1”是“函数y =cos ax ·sin ax 的最小正周期为π”的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件4．曲线23-+=x x y 在点P 0处的切线平行于直线14-=x y ，则点P 0的坐标为 （ ）A ．（1，0）或（0，－2）B ．（0，－2）或（2，8）C ．（2，8）或（－1，－4）D ．（1，0）或（－1，－4）5．若函数b a x f x+=)(的图象过点（1，7），且0)4(1=-f ，则)(x f 的表达式是（ ）A ．43)(+=xx f B ．34)(+=xx f C ．52)(+=xx f D ．25)(+=xx f6．椭圆短轴长为52，离心率32=e ，两焦点为F 1、F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点， 则△ABF 2的周长为（ ）A ．6B ．12C ．24D ．487．若1830,0=+>>yx y x 且，则xy 有 （ ）A ．最大值96B ．最小值961 C ．最小值48 D ．最小值968．从0、3、4、5、7中任取三个不同的数，分别作一元二次方程的二次项系数，一次项系 数及常数项，则可以作出的不同方程的个数是 （ ） A ．10 B ．24 C ．48 D ．60 9．将一个函数的图象按)2,4(π=a 平移后得到的图象的函数解析式2)4sin(++=πx y ，那么原来的函数解析式是（ ）A ．x y sin =B ．x y cos =C ．x y sin =+2D ．x y cos =+410．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任取3个，那么其中至少有1个一等品的概率是 （ ）A ．32024116C C C B ．320219116C C C C ．32031624116C C C C + D ．320341C C - 11．若9)222(-x的展开式的第7项为421，则)(lim 32n n x x x x ++++∞→ 等于 （ ）A ．43B ．41 C ．－41 D ．－43 12．国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家和地区人民的生活水平，它的计算公式:(x yxn =人均食品支出总额，y :人均个人消费支出总额），且.4502+=x y王先生居住地2018年食品价格比2000年下降了7.5%，该家庭在2018年购买食品和2000年完全相同的情况下人均少支出75元，则该家庭2018年属于 （ ） A ．富裕 B ．小康 C ．温饱 D ．贫困第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13．设随机变量ξ分布列为P （===k k k ,10)ξ1、2、3、4，则=≤≤)2521(ξP . 14．数列}{n a 是等比数列，若)0(1752≠=⋅⋅m m a a a ，则=⋅97a a . 15．圆1)1(22=++y x 在不等式组⎩⎨⎧≤+≤-00y x y x 所表示的平面区域中所围成的图形的面积为.16．在△ABC 中，有命题：（1）BC AC AB =- （2）0=++CA BC AB （3）若0)()(=-⋅+，则△ABC 为等腰三角形， （4）若0>⋅，则△ABC 为锐角三角形.其中真命题的编号为 （写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）某种圆形射击靶由三个同心圆构成（如图），从里到外的三个区域分别记为A 、B 、C ，（B 、C 为圆环），某射手一次射击中，击中A 、B 、C 区域的概率分别为P （A ）=0.4， P （B ）=0.25，P （C ）=0.2，没有中靶的概率为P （D ）.（1）求P （D ）；（2）该射手一次射击中，求击中A 区或B 区的概率； （3）该射手共射击三次，求恰有两次击中A 区的概率.18．（本小题满分12分） 解关于x 的不等式1|232|≥---ax ax .已知△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量)2sin ,2(cosCC =， )2sin ,2(cosC C n -=，且与的夹角为.3π（1）求角C 的值； （2）已知27=c ，△ABC 的面积233=S ，求b a +的值.各项均为正数的数列{}n a ，对于任意正整数n ，都有.22n n n a a S +=（1）求证数列{}n a 是等差数列；（2）若数列{}n b 满足n n n a b 2⋅=，求数列{}n b 的前n 项和.n T已知函数t R x x x t x g ,,)2(4)2(2)(3∈---=为常数，函数)(x f y =的图象与)(x g y =的图象关于直线1=x 对称.（1）求)(x f 的解析式；（2）是否存在常数),4[+∞∈t ，使得)(x f 在区间（0，1]上有最大值8？若存在，求出t 值；若不存在，说明理由.在△ABC 中，0,3||,4||=⋅==BC AB BC AB ，若双曲线经过点C ，且以A 、B 为焦点.（1）求双曲线的方程； （2）若点G 满足21=，问是否存在不平行于AB 的直线l 与双曲线交于不同两点 M 、N ，是||||=，若存在，求出直线l 的斜率的取值范围；若不存在，说明理由.福州市2018—2018学年度高三第一学期期末质量检查数学试卷（理科）参考答案一、选择题1．C 2．C 3．A 4．D 5．B 6．B 7．D 8．C 9．B 10．D 11．C 12．B 二、填空题13．103；14．32m ；15．12+π；16．（2）（3）三、解答题 17．解：（1）415.02.025.04.01)()()(1)('=---=---=C P B P A P D P（2）P=P （A ）+P （B ）=0.4+0.25=0.65 答：击中A 区或B 区的概率为0.65…………………………8′（3）288.0)4.01()4.0(223=-=C P答：恰有两次击中A 区的概率为0.288…………………………12′ 18．解法1： 由原不等式得1232≥---a x a x ……（1）或1232-≤---a x ax ……（2）……2′由（1）得：0)3(≥-+-a x a x 解得a x <或3+≥a x ………………6′ 由（2）得0333≤---a x a x ，即0)1(≤-+-ax a x解得1+≤<a x a …………………………………………10′∴ 原不等式的解为a x <或1+≤<a x a 或3+≥a x …………………………12′解法2：由原不等式得⎩⎨⎧-≥--≠|||232|a x a x ax ……………………………………2′⇒⎩⎨⎧-≥--≠22)()232(a x a x ax ⇒0)()232(22≥⎩⎨⎧----≠a x a x ax⇒⎩⎨⎧≥-+--+---≠0)232)(232(a x a x a x a x ax …………………………6′ ⇒⎩⎨⎧≥+-+-≠0)]1()][3([3a x a x ax ⇒⎩⎨⎧+≥+≤≠31a x a x ax 或……………………………………10′∴原不等式的解为a x <或1+≤<a x a 或3+≥a x …………………………12′19．解：（1）1||||,3cos ||||==⋅⋅=⋅n m n m n m 且π…………………………2′3cos )2sin (2sin 2cos 2cos π=-+∴C C C C 即3cos cos π=C ………………4′又3),0(ππ=∴∈∴C C ………………………………6′ （2）由C ab b a c cos 2222-+= 得ab b a -+=22449………………① 由6sin 21=⋅=∆ab c ab S 得………………②………………………………10′由（1）（2）得4121)(2=+b a a 、+∈R b211=+∴b a ………………………………………………………………12′20．解：（1）当1=n 时，12112a a a += 1011=∴>a a ……………………1′当2≥n 时，)(2212121---+-+=-n n n n n n a a a a S S12122---+-=⇒n n n n n a a a a a ………………………………………………3′)())((111---+=+-⇒n n n n n n a a a a a a由已知得01≠+-n n a a 11=-∴-n n a a （常数）∴数列}{n a 是首项为1，公差为1的等差数列…………………………6′（2）由（1）得n n n n b na 2⋅=∴=n n n T 22322232⋅++⋅+⋅+= ……………………………………8′2143222)1(23222+⋅+-++⋅+⋅+=n n n n n T两式相减得－13222222+⋅-++++=n n n n T …………………………10′112)21(2221)21(2++⋅---=⋅---=n n n n n n 22)1(1+⋅-=∴+n n n T ……………………………………………………12′21．解：（1）设),(y x P 是)(x f y =图象上任一点，点P 关于直线1=x 的对称点为),2(y x P -'，由已知点P '在)(x g y =的图象上……………………2′3342)]2(2[4)]2(2[2)2(x tx x x t x g y -=-----=-=∴ 即342)(x tx x f -=………………………………………………4′（2）当),4[],1,0(+∞∈∈t x 时2122)(x t x f -='，由0)(='x f 得60t x ±=……………………6′ 当60t x <<时)(,0)(x f x f >'在（0，6t ）内单调递增； 当6t x >时)(,0)(x f x f <'在（6t ，+∞）内单调递减； 6t x =∴是)(x f 的极大点.…………………………8′ 若16<t ，即64<≤t 时，)(x f 在（0，1]上只有一个极值，即为最大值.8)6()(max ==∴t f x f 解得6=t此时不存在满足要求的t 值.………………………………10′ 若16≥t ，即6≥t 时，)(x f 在（0，1]上单调递增.842)1()(max =-==∴t f x f ∴6=t 综上，存在常数6=t ，使得)(x f 在区间（0，1]上有最大值8………………12′22．解：（1）由已知得△ABC 为直角三角形，以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，（如图），设双曲线方程为： )0,0(12222>>=-b a by a x ……………………2′双曲线过点c ，2||||2=-=∴a ,1=∴a 又3,2222=-=∴=a c b c∴双曲线方程为1322=-y x ………………6′ （2）依题意，可设直线l 方程为)0(≠+=k m kx y由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=1322y x m kx y 得0)3(2)3(222=+---m kmx x k ……………………8′∵直线l 与双曲线交于不同两点M 、N ，设M （),(),,2211y x N y x0)3)(3(44,0322222>+-+=∆≠-∴m k m k k 且 解得：3,322->±≠k m k 且……………………① 2213k km x x -=+…………………………9′又设MN 中点为F （),00y x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-=+=2002210333)(21k m m kx y k km x x x ……………………10′ 由已知得G （0，3），又kx y l GF 13,||||00-=-⊥∴=即 消去0x 、0y 得4392k m -=……………………② 把②代入①得（3)439222->-k k ………………………………12′ 解得034333343≠><<--<k k k k 但或或综上：存在直线l ，它的斜率取值范围为),343()0,3()343,(+∞⋃-⋃--∞∈k …………………………………………14′。

福建省福州市2018届高三上学期期末质检试题文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合）D.【答案】C所以C.2. ）B. C. 1 D. 2【答案】A,故选A.3. 已知）B. C. D.【答案】BB.（）【答案】DD.5.）【答案】CC.6. 已知圆柱的高为2，底面半径为，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于（）D.【答案】DD.7. 如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的《孙子剩余定理》.图中的执行该程序框图，则输出的（）A. 23B. 38C. 44D. 58【答案】A【解析】本题框图计算过程要求找出一个数除以3余数为2；除以5余数为3；除以7余数为2，那么这个数首先是238. ）【答案】DD.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）C. D.【答案】A【解析】A.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查棱锥的体积公式、棱锥的表面积以及学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.10. ）B. 3C. 或3D. 3【答案】AA.11.和上顶点.若以为直径的圆与）C.【答案】A【解析】半径为与圆有公共点，A.【方法点晴】本题主要考查利用椭圆的简单性质及求椭圆的离心率范围，属于难题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率范围问题应先将. 本题是利用点到直线的距离小于圆半的不等式，最后解出.12. 已知函数3个整数解，则实数小值为（）【答案】C【解析】个整数解，递增，，合题意，时，不等式无解；合题意，时，的最小值为 C.【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式、排除法解选择题，属于难题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4项和公式问题等等.第Ⅱ卷（共90分）二.填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某商店随机将三幅分别印有福州三宝（脱胎漆器、角梳、纸伞）的宣传画并排贴在同一面墙上，则角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是__________．【解析】福州三宝的全排列共有14. __________．，故答案为__________．，故答案为.16. 某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序.已知生产一把椅子需要木工4个工作时，漆工2个工作时；生产一张桌子需要木工8个工作时，漆工1个工作时.生产一把椅子的利润为1500元，生产一张桌子的利润为2000元.该厂每个月木工最多完成8000个工作时、漆工最多完成1300个工作时.根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是__________元.【答案】2100000【解析】【方法点晴】本题主要考查利用线性规划解决现实生活中的最佳方案及最大利润问题，属于难题题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列项和为（1（2【答案】（12为公比的等比数列. （2）【解析】试题分析：（1时，（2）由（1试题解析：（12为公比的等比数列.（2）由（1（1）2）（1）-（2）得：，【方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式以及错位相减法求数列的的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，解,”的表达式.18. 随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现.某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据；（2）计算所抽到的10（3）在（2用样本估计总体的思想，（精【答案】（1）样本的评分数据为92,84,86,78,89,74,83,78,77,89. （2）（3）【解析】试题分析：（1的编号为法先抽取样本的编号，再对应抽取评分数据即可；（2）先根据样本平均值公式直接求出抽到再根据方差公式求出方差即可；（3）级”的用户所占的百分比约为试题解析：（1）由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为4,8,12,16,20,24,28,32,36,40的评分数据为样本，则样本的评分数据为92,84,86,78,89,74,83,78,77,89.（2）由（1则有（3）由题意知评分在之间，即由（1）中容量为105另解：由题意知评分在，即，从调查的40名用户评分数据2119. 如图，在四棱锥点.（1）证明：（2.【答案】（1）见解析（2【解析】试题分析：（1）取，根据三角形中位线定理可得（2试题解析：（1）取的中点，连接，（22.三棱锥的体积【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于中档题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.20.（1上，求直线（2.【答案】（12【解析】试题分析：（1）（2都过定点试题解析：（1）由题意得（2）由（1）知，点，解得.故可设圆的圆心为，的半径为的一般方程为.都过定点.21. 已知函数（1（2【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1的范围，可得函数（2）1，所以试题解析：（1，在；当为増函数；在上，.（2）因为由（1）知，当在上为增函数，在请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程（为参数，.在以为极点，.（1没有公共点，求的取值范围；（2）若曲线距离的最大值为.【答案】（12【解析】试题分析：（1）将曲线与直线转为直角坐标系方程，然后联立直线与方程组求得结果（2）利用三角函数求出点到直线的距离表达式解析：（1，即；所以（2）由（1的直角坐标方程为.点睛：本题考查了参数方程的知识点，先将参数方程或者极坐标方程转化为直角坐标系的方程，然后根据在直角坐标系的方法求得结果，在计算点到线的距离时，由三角函数的方法在计算中更为简单23. 选修4-5：不等式选讲（1（2的不等式.【答案】（12【解析】试题分析：（1）根据题目进行分类讨论的化简2）解析：（1解得或或，（2时，由题意，知。

福建省福州市高级中学2018年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 给出下列四个命题：①如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么；②过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；③如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直；④若两个相交平面都垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面.其中真命题的个数为A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C2. 已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）A. B. C. 或 D. 或7参考答案：C3. 已知，(0，π)，则=(A) 1 (B) (C)(D) 1参考答案：A故选A【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力，属于容易题。

4. 设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为A．B． C．D．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m参考答案：C5. 在△ABC中,A=60，若a,b,c成等比数列，则A. B． C.D．参考答案：B6. 设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】由P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，推导出∠F1PF2=90°．再由|PF1|=2|PF2|，知|PF1|=4a，|PF2|=2a，由此求出c=a，从而得到双曲线的离心率．【解答】解：∵P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，∴点P到原点的距离|PO|=，∴∠F1PF2=90°，∵|PF1|=2|PF2|，∴|PF1|﹣|PF2|=|PF2|=2a，∴|PF1|=4a，|PF2|=2a，∴16a2+4a2=4c2，∴c=a，∴．故选A．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．7. 的值等于（）A． B．0 C．8 D．10参考答案：【知识点】指数运算性质对数运算性质B6 B7A因为所以选A.【思路点拨】熟记指数的运算性质及对数的运算性质是解题的关键.8. 已知，则曲线和有（）A．相同的准线 B.相同的焦点 C.相同的离心率 D.相同的长轴参考答案：B略9. 在中，已知，，若点在斜边上，，则的值为（▲ ）。

泉港一中2017-2018学年上学期期末考试高三数学（理科）试题（考试时间：120分钟 总分：150分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知i 为虚数单位，若复数2i z i =-，则（ ） A ． B ．C ．D ．2. 设常数a ∈R ，集合A ＝{x|(x －1)(x －2)≥0}，B ＝{x|x ≥a}．若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为( )．(－∞，1) B ．(－∞，1] C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)3. 我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（ ）. 104人 B. 108人 C. 112人 D. 120人 4.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若，则ABC ∆为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形 C.等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形5. 已知数列{}n a 满足：时，2p p q a a +=，则{}n a 的前12项和（ ）A ． 94B ．-94 C. -126 D ．126 6.设α、β、γ为平面，为m 、n 、l 直线，则m β⊥的一个充分条件是 A 、,,l m l αβαβ⊥=⊥ B 、,,m αγαγβγ=⊥⊥C 、,,n n m αβα⊥⊥⊥D 、,,m αγβγα⊥⊥⊥7.按下图所示的程序框图运算：若输出2k =，则输入x 的取值范围是（ ）A. (]20,25 B ．(]30,57 C.(]30,32 D ．(]28,578.已知变量,x y 满足条件23033010x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若目标函数z ax y =+仅在点()3,0处取得最大值，则a 的取值范围是（ ）A ． 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ． 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭9. 如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点B ，C 在圆O 上，点B 的坐标为()1,2-，点C 位于第一象限，AOC α∠=，若BC =，则2sin cos222ααα=（ ） A． B．10. 已知,,A B P 是双曲线22221x y a b-=上的不同三点，且AB 连线经过坐标原点，若直线,PA PB 的斜率乘积23PA PB k k =，则该双曲线的离心率e =（ ）A11.一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积为（ ）ABC D12.已知函数()2x f x e =，()1ln 2g x x =+，对a R ∀∈，()0,b ∃∈+∞，使得()()f a g b =，则b a -的最小值为（ ） A ．ln 212+B ．ln 212-C.1- D1- 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13. 设()()()25501251111x a a x a x a x +=+-+-++-…，则125a a a +++=… ．14.如图，平面内有三个向量15. 设{a n }是等比数列，公比q =S n 为{a n }的前n 项和。

福建省福州市 2018 届高三上学期期末质检数学试题（文）第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合 A. 【答案】C 【解析】因为 所以 2. 若复数 A. 【答案】A 【解析】复数 为纯虚数，所以 B. ，故选 C. 为纯虚数，则实数 C. 1 D. 2 （ ） , , B. C. ， D. ，则 （ ）,故选 A.3. 已知 A. 【答案】B 【解析】 4. B.， C.，则 D.（）， （ ），故选 B.A.B.C. 1D.【答案】D 【解析】 ，故选 D.5. 已知双曲线 的两个焦点 且 ，都在 轴上， 对称中心为原点， 离心率为 ，则 的方程为（ ）.若点在 上，到原点的距离为A. 【答案】C 【解析】B.C.D.由直角三角形的性质可得，又，的方程为，故选 C.6. 已知圆柱的高为 2，底面半径为 这个球的表面积等于（ A. 【答案】D 【解析】设球半径为 B. C. ） D.，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上， ，故选 D.可得，球的表面积为7. 如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的 .图中的 《孙子剩余定理》 示正整数 于（ ） 除以正整数 后的余数为 ，例如表.执行该程序框图，则输出的 等A. 23B. 38C. 44D. 58【答案】A 【解析】本题框图计算过程要求找出一个数除以 3 余数为 2；除以 5 余数为 3；除以 7 余数 为 2，那么这个数首先是 23，故选 8. 将函数 A. C. 【答案】D 【解析】 得到 函数 的周期为 函数 向右平移 个周期后， B. D. 的图象向右平移 个周期后，所得图象对应的函数为（ ），故选 D.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表 面积为（ ）A. 【答案】A 【解析】B.C.D.由三视图可知，该多面体是如图所示的三棱锥，其中三棱锥的高为 ，底面为等腰直角三角形，直角边长为 ，表面积为 ，故选 A.10. 已知函数若，则（）A. 【答案】A 【解析】 若B. 3C.或3D.或3， 得， 若，不合题意，，故选 A.11. 过椭圆的右焦点作 轴的垂线， 交 于两点， 直线 过 的左焦点和上顶点.若以 A. 【答案】A B.为直径的圆与 存在公共点，则 的离心率的取值范围是（ C. D.）【解析】直线 的方程为，圆心坐标为，半径为与圆有公共点，，可得，，，故选 A.12. 已知函数 最小值为（ A. 1 B. ） C.，若关于 的不等式恰有 3 个整数解，则实数 的D.【答案】C 【解析】 数解，即 有 个整数解， ， 当 ，等价于 ， 时， 由 ， ， ，即 恰有 个整 时， 递减， ，不等 ， ，时，不等式无解， 可得 在 时， 时， 的最小值为不等式只有一个整数解 ， 排除选项 由 式无解； 不等式无解； 故 故选 C. 可得 在 ， 递增， 合题意，合题意， 合题意，当时， 有且只有 个整数解， 又第Ⅱ卷（共 90 分） 二.填空题（每题 5 分，满分 20 分） 13. 某商店随机将三幅分别印有福州三宝（脱胎漆器、角梳、纸伞）的宣传画并排贴在同一 面墙上，则角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是__________． 【答案】【解析】福州三宝的全排列共有种排法，角梳与纸伞相邻的排法，有种排法，根据古典概型概率公式可得，角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是，故答案为 .14. 曲线 【答案】 【解析】由 切点坐标为 15. 的内角在处的切线方程为__________．，得 ，由点斜式得切线方程为 的对边分别为 ，已知 ，即，所以切线斜率为 ， ，故答案为 .，则 的大小为__________． 【答案】 【解析】由 ，根据正弦定理得 ，即，，又，，故答案为.16. 某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序.已知生产一把椅子需要木工 4 个工作时，漆工 2 个工作时；生产一张桌子需要木工 8 个工作时，漆工 1 个工作时.生产一 把椅子的利润为 1500 元， 生产一张桌子的利润为 2000 元.该厂每个月木工最多完成 8000 个 工作时、漆工最多完成 1300 个工作时.根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大 利润是__________元. 【答案】2100000 【解析】三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 （1）证明数列 （2）设 解： （1）当 当 所以 所以数列 时， ， 是以 为首项，以 2 为公比的等比数列. ， ， （1） （2） （1）-（2）得： 前 项和为 ，且 .是等比数列； ，求数列 时， 的前 项和 ，所以 ， . ，（2）由（1）知， 所以 所以， 所以 .18. 随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现.某运营公司为 了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了 40 个用户，得到用户的满意度 评分如下：用系统抽样法从 40 名用户中抽取容量为 10 的样本， 且在第一分段里随机抽到的评分数据为 92. （1）请你列出抽到的 10 个样本的评分数据； （2）计算所抽到的 10 个样本的均值 和方差 ； （3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在 之间，则满意度等级为“ 级”.试应用样本估计总体的思想，估计该地区满意度等级为“ 级”的用户所占的百分比是多少？（精 确到 ) .参考数据：解： （1）由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40 的评分数据为 样本，则样本的评分数据为 92,84,86,78,89,74,83,78,77,89. （2） 由 （1） 中的样本评分数据可得 ，则有（3）由题意知评分在 由（1）中容量为 10 的样本评分在 的用户所占的百分比约为之间，即之间，之间有 5 人，则该地区满意度等级为“ 级” .另解：由题意知评分在 数据中在 . 19. 如图，在四棱锥 中点. 中，，即之间， ，从调查的 40 名用户评分共有 21 人，则该地区满意度等级为“ 级”的用户所占的百分比约为,，点 为棱的（1）证明： （2）若 （1）证明：取 因为点 为棱 所以 因为 所以 所以四边形 且 且 且平面； ，求三棱锥 的体积.的中点 的中点，，连接.， ， ， 为平行四边形，所以 因为 所以， 平面 平面 . ， 平面 ，（2）解：因为 所以 因为 所以 因为 所以 平面 ， , . 的中点，且 的距离为 2. 平面 . ，所以，，，平面,因为点 为棱 所以点 到平面，.三棱锥的体积.20. 抛物线 （1）若点与两坐标轴有三个交点，其中与 轴的交点为 . 在 上，求直线 斜率的取值范围；（2）证明：经过这三个交点的圆 过定点. （1）解：由题意得 .故 （2）证明：由（1）知，点 坐标为 .令，解得，故.故可设圆的圆心为，由得，，解得，则圆的半径为. 所以圆的方程为，所以圆的一般方程为，即.由得或，故都过定点.21. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：.解：（1），①若，则，在上为増函数；②若，则当时，；当时，故在上，为増函数；在上，为减函数.（2）因为，所以只需证，由（1）知，当时，在上为增函数，在上为减函数，所以.记，则，所以，当时，，为减函数；当时，，为增函数，所以.所以当时，，即，即.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线（为参数，）.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线.（1）若与曲线没有公共点，求的取值范围；（2）若曲线上存在点到距离的最大值为，求的值.解：（1）因为直线的极坐标方程为，即，所以直线的直角坐标方程为；因为（参数，）所以曲线的普通方程为，由消去得，，所以，解得，故的取值范围为.（2）由（1）知直线的直角坐标方程为，故曲线上的点到的距离，故的最大值为由题设得，解得.又因为，所以.23. 选修4-5：不等式选讲设函数.（1）求不等式的解集；（2）已知关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围.解：（1）因为，所以，，或或解得或或，所以，故不等式的解集为.（2）因为，所以当时，恒成立，而，因为，所以，即，由题意，知对于恒成立，所以，故实数的取值范围.。