湖南省郴州市2021届高三上学期第一次质检数学试题

2025届高三第一次调研考试数学（答案在最后）本试题卷共4页.时量120分钟，满分150分.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}320,20A x x xB x x x =-==--<∣∣，则A B = （）A.{}0,1 B.{}1,0- C.{}0,1,2 D.{}1,0,1-【答案】A 【解析】【分析】由因式分解分别求出高次方程和二次不等式的解集，再由集合的运算得出两个集合的交集。

【详解】∵()()3110x x x x x -=+-=∴{}1,0,1A =-∵()()22210x x x x --=-+<∴()1,2B =-∴{}0,1A B = 故选：A2.已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则m ∥α的一个充分条件是（）A.m ∥,n n ∥αB.m ∥,βα∥βC.,,m n n m αα⊥⊥⊄D.,m n A n ⋂=∥,m αα⊄【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由空间中线面关系以及线面平行的判定定理逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A ，由m ∥,n n ∥α可得m α⊂或m ∥α，故A 错误；对于B ，由m ∥,βα∥β可得m α⊂或m ∥α，故B 错误；对于C ，由,,m n n m αα⊥⊥⊄可得m ∥α，故C 正确；对于D ，由,m n A n ⋂=∥,m αα⊄可得,m α相交或m ∥α，故D 错误；故选：C3.20252x ⎫-⎪⎭的展开式中的常数项是（）A.第673项B.第674项C.第675项D.第676项【答案】D 【解析】【分析】根据题意，求得展开式的通项公式，结合通项公式，即可求解.【详解】由二项式20252x ⎫-⎪⎭的展开式为20253202521202520252C ()(2)C rrrr r rr T x x--+=-=-⋅，令202530r -=，解得675r =，此时()67567567620252C T =-⋅，所以二项式20252x ⎫⎪⎭的展开式的常数项为第676项.故选：D.4.铜鼓是流行于中国古代南方一些少数民族地区的礼乐器物，已有数千年历史，是作为祭祀器具和打击乐器使用的.如图，用青铜打造的实心铜鼓可看作由两个具有公共底面的相同圆台构成，上下底面的半径均为25cm ，公共底面的半径为15cm ，铜鼓总高度为30cm.已知青铜的密度约为38g /cm ，现有青铜材料1000kg ，则最多可以打造这样的实心铜鼓的个数为（）（注：π 3.14≈）A .1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】先根据圆台的体积公式计算求解铜鼓的体积，然后根据材料体积求解即可.【详解】依题意圆台的上底面半径为15cm ，下底面半径为25cm ，高为15cm ，所以铜鼓的体积()221215251525π153V =⨯⨯++⨯⨯≈38465()3cm，又10000003.25384658≈⨯，故可以打造这样的实心铜鼓的个数为3.故选：C5.已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()()1f x x f x <-'（()f x '为()f x 的导函数），且()10f =，则（）A.()22f <B.()22f >C.()33f <D.()33f >【答案】D 【解析】【分析】由已知可得()()21xf x f x x x ->'，令()()ln f x g x x x=-，可得()g x 在(0,)+∞上单调递增，进而可得()n 33l 3f >，()n 22l 2f >，可得结论.【详解】由题意可得()()xf x f x x '->，即()()21xf x f x x x->'，令()()ln f x g x x x=-，则()()()210xf x f x g x x x-'=->'，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，因为()10f =，所以()()11ln10g f =-=，所以()()310g g >=，所以()3ln 303f ->，所以()3ln 333f >>，所以()()210g g >=，所以()2ln 202f ->，所以()n 22l 2f >，又2ln 22<，故()2f 与2的大小关系不确定.故选：D.6.已知过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 且倾斜角为π4的直线交C 于,A B 两点，M 是AB 的中点，点P 是C 上一点，若点M 的纵坐标为1，直线:3230l x y ++=，则P 到C 的准线的距离与P 到l 的距离之和的最小值为（）A.26 B.26C.13D.26【答案】D 【解析】【分析】首先联立AB 与抛物线方程，结合已知、韦达定理求得p ，进一步通过抛物线定义、三角形三边关系即可求解，注意检验等号成立的条件.【详解】由题得C 的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设倾斜角为π4的直线AB 的方程为2p y x =-，与C 的方程22(y px =联立得2220y py p --=，设1,1,2,2，则1222,1y y p p +===，故C 的方程为212,,02y x F ⎛⎫=⎪⎝⎭.由抛物线定义可知点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，联立抛物线2:2C y x =与直线:3230l x y ++=，化简得291090x x ++=，由Δ1004992240=-⨯⨯=-<得C 与l 相离.,,Q S R 分别是过点P 向准线、直线:3230l x y ++=以及过点F 向直线:3230l x y ++=引垂线的垂足，连接,FP FS ，所以点P 到C 的准线的距离与点P 到直线l 的距离之和PQ PS PF PS FS FR +=+≥≥,等号成立当且仅当点P 为线段FR 与抛物线的交点，所以P 到C 的准线的距离与P 到l 的距离之和的最小值为点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭到直线:323l x y ++=0的距离，即26FR ==.故选：D.7.已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，对于任意的x ∈R ，ππ1212f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()π02f x f x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭都恒成立，且函数()f x 在π,010⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的值为（）A.3B.9C.3或9D.【答案】A 【解析】【分析】根据正弦型函数的单调性先确定周期的取值范围，从而缩小ω的取值范围，结合正弦型三角函数的对称性可得符合的ω的取值为3ω=或9，分类讨论验证单调性即可得结论.【详解】设函数()f x 的最小正周期为T ，因为函数()f x 在π,010⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，所以π0102T⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，得2ππ5T ω=≥，因此010ω<≤．由ππ1212f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知()f x 的图象关于直线π12x =对称，则11πππ,122k k ωϕ⋅+=+∈Z ①．由()π02f x f x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭知()f x 的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，则22ππ,4k k ωϕ⋅+=∈Z ②．②-①得()2112πππ,,62k k k k ω⋅=--∈Z ，令21k k k =-，则63,k k ω=-∈Z ，结合010ω<≤可得3ω=或9．当3ω=时，代入①得11ππ,4k k ϕ=+∈Z ，又π2ϕ<，所以π4ϕ=，此时()π2sin 34f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为πππ32044x -<+<，故()f x 在π,010⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，符合题意；当9ω=时，代入①得1ππ4k ϕ=-+，1k ∈Z ，又π2ϕ<，所以π4ϕ=-，此时()π2sin 94f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为23πππ92044x -<-<-，故()f x 在π,010⎛⎫-⎪⎝⎭上不是单调递增的，所以9ω=不符合题意，应舍去．综上，ω的值为3．故选：A .8.如图，已知长方体ABCD A B C D -''''中，2AB BC ==，AA '=，O 为正方形ABCD 的中心点，将长方体ABCD A B C D -''''绕直线OD '进行旋转．若平面α满足直线OD '与α所成的角为53︒，直线l α⊥，则旋转的过程中，直线AB 与l 夹角的正弦值的最小值为（）（参考数据：4sin535︒≈，3cos535︒≈）A.310B.410- C.310+ D.310+【答案】A 【解析】【分析】求出直线OD '与C D ''的夹角，可得C D ''绕直线OD '旋转的轨迹为圆锥，求直线OD '与l 的夹角，结合图形可知，当l 与直线D E '平行时，C D ''与l 的夹角最小，利用三角函数知识求解即可.【详解】在长方体ABCD A B C D -''''中，//AB C D ''，则直线AB 与l 的夹角等于直线C D ''与l 的夹角．长方体ABCD A B C D -''''中，2AB BC ==，AA '=，O 为正方形ABCD 的中心点，则2OD OC ==''，又2C D ''=，所以OC D '' 是等边三角形，故直线OD '与C D ''的夹角为60︒．则C D ''绕直线OD '旋转的轨迹为圆锥，如图所示，60C D O ∠=''︒．因为直线OD '与α所成的角为53︒，l α⊥，所以直线OD '与l 的夹角为37︒．在平面C D O ''中，作D E '，D F '，使得37OD E OD F '∠=∠='︒．结合图形可知，当l 与直线D E '平行时，C D ''与l 的夹角最小，为603723C D E ∠=︒-︒=''︒，易知603797C D F ∠=︒+︒=''︒．设直线C D ''与l 的夹角为ϕ，则2390ϕ︒≤≤︒，故当23ϕ=︒时sin ϕ最小，而()sin23sin 6037sin60cos37cos60sin37︒=︒-︒=︒︒-︒︒433sin60sin53cos60cos5310-=︒︒-︒︒≈，故直线AB 与l 的夹角的正弦值的最小值为43310-.故选：A【点睛】关键点点睛：解题中在平面C D O ''中，作D E '，D F '，使得37OD E OD F '∠=∠='︒，结合图形可知，当l 与直线D E '平行时，C D ''与l 的夹角最小，为603723C D E ∠=︒-︒=''︒是关键.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某机械制造装备设计研究所为推进对机床设备的优化，成立,A B 两个小组在原产品的基础上进行不同方向的研发，A 组偏向于智能自动化方向，B 组偏向于节能增效方向，一年后用简单随机抽样的方法各抽取6台进行性能指标测试（满分：100分），测得A 组性能得分为：91,81,82,96,89,73，B 组性能得分为：737096799488，，，，，，则（）A.A 组性能得分的平均数比B 组性能得分的平均数高B.A 组性能得分的中位数比B 组性能得分的中位数小C.A 组性能得分的极差比B 组性能得分的极差大D.B 组性能得分的第75百分位数比A 组性能得分的平均数大【答案】AD 【解析】【分析】根据计算公式分别计算,A B 两个小组的平均数、中位数、极差、第75百分位数，再对各选项逐一判断即可.【详解】由题意可得A 组性能得分的平均数为91818296897385.36+++++≈，B 组性能得分的平均数为73709679948883.36+++++≈，所以A 组性能得分的平均数比B 组性能得分的平均数高，A 说法正确；A 组性能得分738182899196，，，，，的中位数为828985.52+=，B 组性能得分707379889496，，，，，的中位数为798883.52+=，所以A 组性能得分的中位数比B 组性能得分的中位数大，B 说法错误；A 组性能得分的极差为967323-=，B 组性能得分的极差为967026-=，所以A 组性能得分的极差比B 组性能得分的极差小，C 说法错误；B 组性能得分707379889496，，，，，共6个数据，60.75 4.5⨯=，所以B 组性能得分的第75百分位数为94，比A 组性能得分的平均数大，D 说法正确；故选：AD10.嫁接，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中,AC BD 分别为两个截面椭圆的长轴，且,,,A C B D 都位于圆柱的同一个轴截面上，AD 是圆柱截面圆的一条直径，设上､下两个截面椭圆的离心率分别为12,e e ，则能够保证CD ≥的12,e e 的值可以是（）A.12,32e e == B.121,25e e == C.12340,27e e == D.1232,34e e ==【答案】AD 【解析】【分析】根据勾股定理，结合离心率公式可得22222212111,1r r e n e m -=-=，即可根据n ≥得222111211e e -≥-，逐一代入即可求解.【详解】设2,2,2,AD r AB m CD n ===且n ≥，故BD AC ===故12e e ==，故22222212111,1r r e n e m-=-=，由于n ≥，故222n m ≥，故222222222111211r e n m r m e n -==≥-，即222111211e e -≥-，对于A，12,32e e ==，满足2221112211e e -=≥-，故A 正确，对于B，121,25e e ==，22211142131e e -=<-，故B 错误，对于B，12,27e e ==，2221112721401e e -=<-，故C 错误，对于D，12,34e e ==，22211172121e e -=>-，故D 正确，故选：AD11.对于任意实数,x y ，定义运算“⊕”x y x y x y ⊕=-++，则满足条件a b b c ⊕=⊕的实数,,a b c 的值可能为（）A.0.5log 0.3a =-，0.30.4b =，0.5log 0.4c =B.0.30.4a =，0.5log 0.4b =，0.5log 0.3c =-C.0.09a =，0.10.1b =e ，10ln 9c =D.0.10.1e a =，10ln 9b =，0.09c =【答案】BD 【解析】【分析】由a b b c ⊕=⊕，可得a b a b b c b c -++=-++，可得,b a b c ≥≥，故只需判断四个选项中的b 是否为最大值即可，利用函数函数0.5log y x =为减函数，0.4x y =为减函数可判断AB ；构造函数()()[)1e ,0,1x f x x x =-∈，利用单调性可得0.10.10.09e <，进而再构造函数()()[)ln 1,0,1ex x h x x x =+-∈，求导可得()()()21e e 1x xx h x x --'=-，再构造函数()()21e xx x ω=--，利用单调性可判断CD ．【详解】由a b b c ⊕=⊕，可得a b a b b c b c -++=-++，即a b b c c a ---=-，若,a b c b ≤≤，可得a b b c c a ---=-，符合题意，若,a b c b ≤>，可得2a b b c b a c ---=--，不符合题意，若,a b c b >≤，可得a b b c a c ---=-，不符合题意，若a b c b >>,，可得2a b b c c a b ---=+-，不符合题意，综上所述0a b -≤，0b c -≥，可得,b a b c ≥≥，故只需判断四个选项中的b 是否为最大值即可．对于A ，B ，由题知0.50.50.510log 0.3log log 103-=<=，而0.3000.40.41<<=，0.50.5log 0.4log 0.51>=，所以0.30.50.5log 0.30.4log 0.4-<<．（点拨：函数0.5log y x =为减函数，0.4x y =为减函数），对于A ，a b c <<；对于B ，c a b <<，故A 错误，B 正确．对于C ，D ，()0.10.10.10.090.9e 10.1e 0.1e ==-，（将0.9转化为10.1-，方便构造函数）构造函数()()[)1e ,0,1x f x x x =-∈，则()e xf x x '=-，因为[)0,1x ∈，所以()()0,f x f x '≤单调递减，因为()01f =，所以()0.11f <，即0.10.9e 1<，所以0.10.10.09e <．（若找选项中的最大值，下面只需判断0.10.1e 与10ln 9的大小即可）()10.10.10.10.10.1100.190.190.1ln ln ln ln 10.1e 9e 10e 10e -⎛⎫-=-=+=+- ⎪⎝⎭，构造函数()()[)ln 1,0,1e x x h x x x =+-∈，则()()()21e 11e 1e 1x x xx x h x x x ---=--'=-，因为[)0,1x ∈，所以()e 10xx ->，令()()21e x x x ω=--，则()()21e xx x ω=---'，当[)0,1x ∈时，()()0,x x ωω'<单调递减，因为()00ω=，所以()0x ω≤，即()()0,h x h x '≤单调递减，又()00h =，所以()0.10h <，即()0.10.1ln 10.10e+-<，所以0.10.110ln e 9<．综上，0.10.1100.09ln e 9<<．对于C ，a b c <<；对于D ，c a b <<，故C 错误，D 正确．（提醒：本题要比较0.09与10ln 9的大小关系的话可以利用作差法判断，即()11090.09ln 0.10.9ln 10.90.9ln0.9910-⎛⎫-=⨯-=-⨯+ ⎪⎝⎭，构造函数()()(]1ln ,0,1g x x x x x =-+∈，则()()()221112112x x x x g x x x x x+-+-++='=-+=，因为(]0,1x ∈，所以()()0,g x g x '≥单调递增，因为()10g =，所以()0.90g <，即100.09ln 09-<，所以100.09ln 9<）故选：BD.【点睛】方法点睛：本题考查定义新运算类的题目，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，构造函数，利用函数的单调性与最值比较数的大小.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在复平面内，复数z 对应的点为()1,1，则21zz-=+______．【答案】13i 55-【解析】【分析】根据复数的几何意义可得1i z =+，即可由复数除法运算求解.【详解】由于复数z 对应的点为()1,1，所以1i z =+，故()()()()1i 2i 21i 13i 13i12i 2i 2i 555z z -----=+++-===-，故答案为：13i55-13.写出一个同时满足下列条件①②③的数列的通项公式n a =______.①m na a m n--是常数，*,m n ∈N 且m n ≠；②652a a =；③的前n 项和存在最小值.【答案】4n -（答案不唯一）【解析】【分析】根据等差数列的特征，不妨选择等差数列，然后根据题目条件利用等差基本量的运算求解通项公式，即得解.【详解】由题意，不妨取数列为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，由②可知()61515224a a d a a d =+==+，则13a d =-，又m na a d m n-=-是常数，满足①，由③的前n 项和存在最小值，故等差数列单调递增，取1d =，则13a =-，故4n a n =-，此时当3n =或4n =时，的前n 项和取到最小值为6-，所以同时满足条件①②③的数列的一个通项公式4n a n =-.故答案为：4n -（答案不唯一）14.清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”（以比利时数学家欧仁･查理･卡特兰的名字命名）.有如下问题：在n n ⨯的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则共有多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数122C C nn n n --.如图，现有34⨯的格子，每一步只能往上或往右走一格，则从左下角A 走到右上角B 共有__________种不同的走法；若要求从左下角A 走到右上角B 的过程中只能在直线AC 的右下方，但可以到达直线AC ，则有__________种不同的走法.【答案】①.35②.14【解析】【分析】根据题意，由组合数的意义即可得到结果，结合卡特兰数的定义，即可得到结果.【详解】从左下角A 走到右上角B 共需要7步，其中3步向上，4步向右，故只需确定哪3步向上走即可，共有37C 35=种不同的走法；若要求从左下角A 走到右上角B 的过程中只能在直线AC 的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则由卡特兰数可知共有4388C C 14-=种不同的走法，又到达右上角D 必须最后经过B ，所以满足题目条件的走法种数也是14.故答案为：35；14四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知M 为圆229x y +=上一个动点，MN 垂直x 轴，垂足为N ，O 为坐标原点，OMN 的重心为G .（1）求点G 的轨迹方程；（2）记（1）中的轨迹为曲线C ，直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，点(0,1)Q ，若点)3,0H 恰好是ABQ的垂心，求直线l 的方程.【答案】（1）()22104x y xy +=≠（2）1635y x =-【解析】【分析】（1）设()()00,,,G x y M x y ，根据G 为OMN 的重心，得00233x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入22009x y +=，化简即可求解.（2）根据垂心的概念求得l k =l 方程，与椭圆联立韦达定理，利用AH BQ ⊥得2211y x -=-，将韦达定理代入化简即可求解.【小问1详解】设()()00,,,G x y M x y ，则()0,0N x ，因G 为OMN 的重心，故有：00233x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得003,32x x y y ==，代入22009x y +=，化简得2214x y +=，又000x y ≠，故0xy ≠，所以G 的轨迹方程为()22104x y xy +=≠.【小问2详解】因H 为ABQ 的垂心，故有,AB HQ AH BQ ⊥⊥，又33HQ k ==-，所以l k =，故设直线l的方程为()1y m m =+≠，与2214x y +=联立消去y得：2213440++-=x m ，由2Δ208160m =->得213m <，设()()1122,,,A x y B x y，则2121244,1313m x x x x --+==，由AH BQ ⊥2211y x -=-，所以()211210x x mm -+++-=，所以)()21212410x x m x x m m +-++-=，所以()()()22444241130m m m m m ---+-=，化简得2511160m m +-=，解得1m =（舍去）或165m =-（满足Δ0>），故直线l 的方程为165y =-.16.如图，四边形ABDC 为圆台12O O 的轴截面，2AC BD =，圆台的母线与底面所成的角为45°，母线长，E 是 BD的中点．（1）已知圆2O 内存在点G ，使得DE ⊥平面BEG ，作出点G 的轨迹（写出解题过程）；（2）点K 是圆2O 上的一点（不同于A ，C ），2CK AC =，求平面ABK 与平面CDK 所成角的正弦值．【答案】（1）答案见解析（2）47035【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，过B 作下底面的垂线交下底面于点G ，过G 作BE 的平行线，交圆2O 于1G ，2G ，即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，根据条件，求出平面ABK 和平面CDK ，利用面面角的向量法，即可求出结果.【小问1详解】E 是 BD的中点，DE BE ∴⊥．要满足DE ⊥平面BEG ，需满足DE BG ⊥，又DE ⊂ 平面BDE ，∴平面BEG ⊥平面BDE 如图，过B 作下底面的垂线交下底面于点G ，过G 作BE 的平行线，交圆2O 于1G ，2G ，则线段12G G 即点G 的轨迹．【小问2详解】易知可以2O 为坐标原点，2O C ，21O O 所在直线分别为y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系2O xyz -，，母线与底面所成角为45°，2AC BD =，22O A ∴=，11O B =，121O O =，取K 的位置如图所示，连接2O K，2CK AC = ，260CO K ∴∠=︒，即230xO K ∠=︒，则)K，()0,2,0A -，()0,1,1B -，()0,2,0C ，()0,1,1D ，则)AK =，)2,1BK =-，)1,0CK =-，)1DK =-．设平面ABK 的法向量为()111,,n x y z =，则00n AK n BK ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111113020y y z +=+-=，令1x =11z =，11y =-，)1,1n ∴=-．设平面CDK 的法向量为()222,,m x y z =，则00m CK m DK ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222200y z -=-=，令2x =，则23z =，23y =，)m ∴=．设平面ABK 与平面CDK 所成的角为θ，则cos 35n mn mθ⋅===⋅ ，470sin 35θ∴==．17.素质教育是当今教育改革的主旋律，音乐教育是素质教育的重要组成部分，对于陶冶学生的情操、增强学生的表现力和自信心、提高学生的综合素质等有重要意义．为推进音乐素养教育，培养学生的综合能力，某校开设了一年的音乐素养选修课，包括一个声乐班和一个器乐班，已知声乐班的学生有24名，器乐班的学生有28名，课程结束后两个班分别举行音乐素养过关测试，且每人是否通过测试是相互独立的．（1）声乐班的学生全部进行测试．若声乐班每名学生通过测试的概率都为p （01p <<），设声乐班的学生中恰有3名通过测试的概率为()fp ，求()f p 的极大值点0p ．（2）器乐班采用分层随机抽样的方法进行测试．若器乐班的学生中有4人学习钢琴，有8人学习小提琴，有16人学习电子琴，按学习的乐器利用分层随机抽样的方法从器乐班的学生中抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取3人进行测试，设抽到学习电子琴的学生人数为ζ，求ζ的分布列及数学期望．【答案】（1）18（2）分布列见解析，()127E ζ=【解析】【分析】（1）根据独立重复试验求出概率，再利用导数求极值；（2）先借助分层抽样确定随机变量ζ的所有可能取值，求出其分布列，最后求期望.【小问1详解】24名学生中恰有3名通过测试的概率()()213324C 1f p p p =⋅-，则()()()()()212020323322424C 31211C 3118f p p p p p p pp '⎡⎤=---=⋅--⎣⋅⎦，01p <<，令()0f p '=，得18p =，所以当108p <<时，()0f p '>，()f p 单调递增；当118p <<时，()0f p '<，()f p 单调递减，故()f p 的极大值点018p =．【小问2详解】利用分层随机抽样的方法从28名学生中抽取7名，则7名学生中学习钢琴的有1名，学习小提琴的有2名，学习电子琴的有4名，所以ζ的所有可能取值为0，1，2，3，()3337C 10C 35P ζ===，()213437C C 121C 35P ζ===，()123437C C 182C 35P ζ===，()3437C 43C 35P ζ===，则随机变量ζ的分布列为ζ0123P13512351835435()112184120123353535357E ζ=⨯+⨯+⨯+⨯=．18.已知数列为等比数列，为等差数列，且112a b ==，858a a =，48a b =.（1）求，的通项公式；（2）数列()1122241n n b ππ⎤⎛⎫-+ ⎪⎥⎝⎭⎦⎧⎫-⋅⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，集合*422N n n n S b A nt n n a ++⎧⎫⋅⎪⎪=≥∈⎨⎬⋅⎪⎪⎩⎭，共有5个元素，求实数t 的取值范围；（3）若数列{}n c 中，11c =，()22log 2114nn n a c n b =≥-，求证：1121231232n c c c c c c c c c c +⋅+⋅⋅++⋅⋅< .【答案】（1）2n n a =，2n b n =（2）147(25,]4.（3）证明见解析【解析】【分析】（1）设数列的公比为q ，数列的公差为d ，由已知易得38q =，82716b d =+=，可求n a ，n b ；（2）设数列()1122241n nn d b ππ⎤⎛⎫-+ ⎪⎥⎝⎭⎦=-⋅，可求得441424312848n n n n d d d d n ---+++=-，4nS =(6416)n n +，进而可得422(328)(2)2n n nn S b n n na ++++= ，可得(1)(2)(3)(4)()f f f f f n <>>>> ，可求t 的取值范围为147(25,]4.（3）123n c c c c ⋅⋅ 112[]!(1)!n n =-+，进而计算可得不等式成立.【小问1详解】设数列的公比为q ，数列的公差为d ，则由858a a =，38q =，所以2q =，所以112n nn a a q -==，416a =，即82716b d =+=，所以2=d ，所以1(1)2(1)22n b b n d n n =+-=+-⨯=；【小问2详解】设数列()1122241n nn d b ππ⎤⎛⎫-+ ⎪⎥⎝⎭⎦=-⋅，则22224414243441424312848n n n n n n n n d d d d b b b b n ------+++=+--=-，所以412344342314(1284880)()()2n n n n n n n S d d d d d d d d ----+=++++++++=(6416)n n =+，4222(6416)2(2)(328)(2)22n n n nn S b n n n n na +++++++== ，令(328)(2)()2n n n f n ++=，1(3240)(3)(328)(2)(1)()22n nn n n n f n f n ++++++-=-()22144113288822n nn n n n +--+---==，可得(1)(2)(3)(4)()f f f f f n <>>>> ，故当2n =时，()f n 最大，且147(1)60(5)(6)254f f f ===，，所以147254t <≤，即t 的取值范围为147(25,4.【小问3详解】由11,c =222log (2)11(1)(1)14n n n a n nc n n n n b ===≥-+--，则当2n ≥时，()()()1232311324113451n n n c c c c n n n n ⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯⨯+ 211112[]2[](1)!(1)!!(1)!n n n n n n +-===-+++，当1n =时，11c =也满足上式，所以12*3112[](N )!(1)!n n n c n c c c =-⋅⋅∈+ ，1121231231111112[1]222!2!3!!(1)!(1)!n c c c c c c c c c c n n n =-+-++-=-⋅<++⋅+⋅⋅+⋅++ ，所以原不等式成立.19.设有n 维向量12n a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ ，12n b b b b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ ，称1122,n n a b a b a b a b ⎡⎤=++⋅⋅⋅+⎣⎦ 为向量a 和b 的内积，当,0a b ⎡⎤=⎣⎦ ，称向量a 和b 正交．设n S 为全体由1-和1构成的n 元数组对应的向量的集合．（1）若1234a ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，写出一个向量b ，使得,0a b ⎡⎤=⎣⎦．（2）令[]{},,n B x y x y S =∈．若m B ∈，证明：m n +为偶数．（3）若4n =，()4f 是从4S 中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足,0a b ⎡⎤=⎣⎦ ，猜测()4f 的值，并给出一个实例．【答案】（1）1110b ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭（答案不唯一）（2）证明见解析（3）()44f =，答案见解析.【解析】【分析】（1）根据定义写出满足条件的即可；（2）根据,n x y S ∈，结合定义，求出[],x y ，即可得证；（3）利用反证法求证.【小问1详解】由定义，只需满足13420234b b b b +++=，不妨取1110b ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭（答案不唯一）．【小问2详解】对于m B ∈，1i =，2，⋅⋅⋅，n ，存在12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭ ，{}1,1i x ∈-，12n y y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，{}1,1i y ∈-，使得[],x y m = ．当=i i x y 时，1i i x y =；当≠i i x y 时，1=-i i x y ．令1,0,i i i ii x y x y λ=⎧=⎨≠⎩，1λ==∑n i i k ．所以[]()1,2n i i i x y x y k n k k n ===--=-∑ ．所以22+=-+=m n k n n k 为偶数．【小问3详解】当4n =时，可猜测互相正交的4维向量最多有4个，即()44f =．不妨取11111a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，21111a -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭ ，31111a -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，41111a ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭，则有[]12,0a a = ，[]13,0a a = ，[]14,0a a = ，[]23,0a a = ，[]24,0a a = ，[]34,0a a = ．若存在5a ，使[]15,0a a = ，则51111a -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ 或1111⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭或1111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭．当51111a -⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭时，[]45,4a a =- ；当51111a ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭时，[]25,4a a =- ；当51111a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭时，[]35,4a a =- ，故找不到第5个向量与已知的4个向量互相正交．。

2022届湖南省郴州市高三上学期第一次教学质量检测物理试题一、单选题 (共6题)第(1)题艺术体操中的彩带舞逐渐成为全民健身的项目，使用的体操彩带是由短杆和一定长度的彩带组成。

如图所示，某同学抖动短杆，使彩带的运动近似为简谐横波，彩带重力不计，下列说法正确的是（ ）A．为形成简谐横波，该同学必须保证短杆的顶端上下匀速摆动B．a点的振动方向向上C．再经过半个周期，b点将移动到c点D．该同学为了将波长变小，必须提高短杆的振动频率第(2)题如图所示，一根粗糙的水平横杆上套有A、B两个轻环，系在两环上的等长细绳拴住的书本处于静止状态，现将两环距离变小后书本仍处于静止状态，则A．杆对A环的支持力变大B．B环对杆的摩擦力变小C．杆对A环的力不变D．与B环相连的细绳对书本的拉力变大第(3)题X射线A．不是电磁波B．具有反射和折射的特性C．只能在介质中传播D．不能发生干涉和衍射第(4)题某次救援中，一质量为20kg的无人船在平静水面上从静止开始沿直线奔向目标地点，加速100m后关闭发动机，继续滑行一段距离后恰好到达救援地点，该过程中无人船运动的速度平方与位移x的关系如图所示。

假设无人船运行过程中受水的阻力恒定，不计空气阻力，g取。

该过程中（）A．无人船加速的时间为20sB．无人船平均速度的大小为15m/sC．减速过程中，无人船受水阻力的大小为20ND．加速过程中，牵引力对无人船做的功为第(5)题2023年3月，中国科学家通过冷冻电镜技术解析了晶态冰中蛋白质三维结构，电子显微镜是冷冻电镜中的关键部分，其中一种电子透镜的电场分布如图所示，虚线为等势面，相邻等势面间电势差相等，一电子仅在电场力作用下的运动轨迹如图中实线所示，a、b是轨迹上的两点，下列说法正确的是（ ）A．电子在b点受到的电场力方向竖直向下B．a点的电场强度小于b点的电场强度C．a点的电势高于b点的电势D．电子在a点的电势能小于在b点的电势能第(6)题为全面推进乡村振兴，某地兴建的小型水电站如图所示。

绝密★启用前郴州市2021届高三第一次教学质量监测试卷化学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科目。

2.学生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在本试题卷上作答无效。

考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。

3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

4.本试题卷共9页。

如缺页，考生须声明，否则后果自负。

相对原子质量：H1 C12 N14 O16 Na23 Mg24 S32 Cl35.5 Br80 Cu64 Ag108 Ba137第一卷(选择题共46分)一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

每小题只有一个选项符合题意。

1.下列关于古代化学的应用和记载的说明不合理．．．的是A.《本草纲目》中记载“(火药)乃焰消(KNO3)、硫磺、杉木炭所合，以烽燧铳机”，指的是黑火药爆炸，其主要反应的方程式为：S＋2KNO3＋3C＝K2S＋N2↑＋3CO2↑B.《梦溪笔谈》“熬胆矾铁釜，久之亦化为铜”是发生了氧化还原反应C.“自古书契多编以竹简，其用缣帛者(丝织品)谓之为纸”，文中“纸”的主要成分是纤维素D.“司南之杓(勺)，投之于地，其杓指南”，司南中“杓”的主要成分为Fe3O42.化学与生产、生活密切相关。

下列说法错误的是A.氯碱工业是电解熔融的NaCl，在阳极能得到Cl2B.电渗析法淡化海水利用了离子交换膜技术.C.硅橡胶既能耐高温又能耐低温，广泛应用于航天航空工业D.新型冠状病毒具有极强的传染性，可用84消毒液、过氧乙酸等进行环境消毒，是利用了其强氧化性3.用N A表示阿伏加德罗常数的值，下列叙述正确的是A.0.2 mol Fel2与足量氯气反应时转移电子数为0.4N AB.1 mol CaH2和1 mol CaO，晶体中所含离子数目均为3N AC.60 g HCHO与CH3COOH混合物中含C原子数为2N AD.0.5 mol雄黄(As4S4结构如右图)含有N A个S－S键4.从中草药中提取的一种有机物A(结构简式如下图)可用于治疗多种疾病。

湖南省郴州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知z是纯虚数，是实数，那么z等于（）A．2i B．i C．﹣i D．﹣2i2．已知命题p，q，则“￢p为假命题”是“p∧q是真命题”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（）A．B．C．2 D．34．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为30，则输入的n为（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知函数的图象经过点（0，﹣1），则该函数的一个单调递增区间为（）A．[﹣，]B．[，]C．[﹣，]D．[，]]6．一个三位自然数的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b且c＞b时称为“凹数”．若a，b，c∈{4，5，6，7，8}，且a，b，c互不相同，任取一个三位数，则它为“凹数”的概率是（）A．B．C．D．7．要得到函数f （x）=sin2x的导函数f′（x）的图象，只需将f （x）的图象（）A．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）B．向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）C．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）D．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）8．对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25）上的为一等品，在区间[15，20）和区间[25，30）上的为二等品，在区间[10，15）和[30，35）上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为（）aaA．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.459．若双曲线﹣=1的焦距为10，点P（﹣2，1）在其渐近线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=110．已知e是自然对数的底数，函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式成立的是（）A．f（1）＜f（a）＜f（b）B．f（a）＜f（b）＜f（1）C．f（a）＜f（1）＜f（b）D．f（b）＜f（1）＜f（a）11．若（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）5=a0+a1（1﹣x）+a2•（1﹣x）2+…+a5（1﹣x）5，则a1+a2+a3+a4+a5等于（）A．5 B．62 C．﹣57 D．﹣5612．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+4）=f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（2）=0；②y=f（x）在[8，10]单调递增；③x=4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8以上命题中不正确命题的序号为（）A．①B．②C．③D．④二、填空題：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设x，y满足约束条件，则z=的最大值为．14．如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为．15．已知⊙M：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1=0及圆外一点P（5，5），过P点作⊙M的切线PA，PB，切点分别为A，B，则弦AB的长为．16．对于两个实数a，b，min{a，b}表示a，b中的较小数．设f （x）=min{x，}（x＞0），则不等式f （x）≥log42的解集是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．在数列{a n}中，前n项和为S n，且．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前项和T n．18．已知△ABC的内角为A、B、C，其对边分别为a、b、c，已知B为锐角，向量，且∥．（Ⅰ）求角B的大小及当时，△ABC的外接圆半径R的取值范围；（Ⅱ）如果b=2，求S△ABC的最大值．19．若f（x）=cos2ax﹣sinaxcosax（a＞0）的图象与直线y=m（m＞0）相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列．（1）求a和m的值；（2）△ABC中a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．若（，）是函数f（x）图象的一个对称中心，且a=4，求△ABC周长的取值范围．20．如图，在△ABC中，记，∠B=，AB=8，点D在BC边上，且CD=2，cos∠ADC=．（Ⅰ）试用表示；（Ⅱ）若以B点为坐标原点，BC所在的直线为x轴（正方向为向右）建立平面直角坐标系，使得点A落在第一象限．点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上，设，求m﹣n的最大值．21．已知数列{a n}中，a1=1，且当x=时，函数f（x）=a n•x2+（2﹣n﹣a n+1）•x取得极值．（1）若b n=2n﹣1•a n，证明数列{b n}为等差数列；（2）设数列c n=，{c n}的前n项和为S n，若不等式mS n＜n+4（﹣1）n对任意的正整数n 恒成立，求m的取值范围．22．已知函数．（Ⅰ）若x=3是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围；（Ⅲ）设m，n为正实数，且m＞n，求证：．湖南省郴州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知z是纯虚数，是实数，那么z等于（）A．2i B．i C．﹣i D．﹣2i【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】设出复数z，代入，它的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式．【解答】解：由题意得z=ai．（a∈R且a≠0）．∴==，则a+2=0，∴a=﹣2．有z=﹣2i，故选D【点评】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．2．已知命题p，q，则“￢p为假命题”是“p∧q是真命题”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】复合命题的真假．【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．【分析】根据复合命题之间的关系结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若p∧q是真命题，则p，q都是真命题，则￢p是假命题，即必要性成立，若￢p是假命题，则p是真命题，此时p∧q是真命题，不一定成立，即充分性不成立，故“￢p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复合命题真假之间的关系是解决本题的关键．3．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（）A．B．C．2 D．3【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为四棱锥．【解答】解：该几何体为四棱锥，其底面为直角梯形，面积S=×（1+2）×2=3，则该几何体的体积V=•3•x=，故x=．故选A．【点评】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．4．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为30，则输入的n为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序，可得k=1，S=0，满足条件k≤n，S=2，k=2满足条件k≤n，S=6，k=3满足条件k≤n，S=14，k=4满足条件k≤n，S=30，k=5由题意，此时应该不满足条件5≤n，退出循环，输出S的值为30，则输入的n为4．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5．已知函数的图象经过点（0，﹣1），则该函数的一个单调递增区间为（）A．[﹣，]B．[，]C．[﹣，]D．[，]]【考点】正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由条件求得φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得该函数的单调递增区间．【解答】解：∵函数的图象经过点（0，﹣1），∴2sinφ=﹣1，求得sinφ=﹣，可得φ=﹣，∴f（x）=2sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．故选：A．【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．6．一个三位自然数的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b且c＞b时称为“凹数”．若a，b，c∈{4，5，6，7，8}，且a，b，c互不相同，任取一个三位数，则它为“凹数”的概率是（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】根据题意，分析“凹数”的定义，根据十位数分类讨论即可求出凹数的个数，再利用古典概型概率计算公式即可得到所求概率．【解答】解：根据题意，当且仅当a＞b且c＞b时称为“凹数”，在{4，5，6，7，8}的5个整数中任取3个不同的数组成三位数，有A53=60种取法，在{4，5，6，7，8}的5个整数中任取3个不同的数，将4放在十位上，再排2个数排在百、个位上，有A42=12种情况，将5放在十位上，再排2个数排在百、个位上，有A32=6种情况，将6放在十位上，再排2个数排在百、个位上，有A22=2种情况，根据分类计数原理可得12+6+2=20种，故它为“凹数”的概率是=．故选：C．【点评】本题考查组合数公式的运用，关键在于根据题干中所给的“凹数”的定义，再利用古典概型概率计算公式即得答案．7．要得到函数f （x）=sin2x的导函数f′（x）的图象，只需将f （x）的图象（）A．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）B．向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）C．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）D．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；导数的运算．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；导数的概念及应用；三角函数的图像与性质．【分析】求出导函数的解析式，由条件利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：∵f （x）=sin2x，f′（x）=2cos2x=2sin（2x+）=2sin[2（x+）]，∴将f （x）的图象向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到导函数f′（x）的图象．故选：D．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8．对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25）上的为一等品，在区间[15，20）和区间[25，30）上的为二等品，在区间[10，15）和[30，35）上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为（）A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45【考点】频率分布直方图．【分析】在频率分布表中，由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，根据频率的和等于1可求得二等品的概率．【解答】解：由频率分布直方图知识可知：在区间[15，20）和[25，30）上的概率为0.04×5+[1﹣（0.02+0.04+0.06+0.03）×5]=0.45．故选：D．【点评】本小题主要考查样本的频率分布直方图的知识和分析问题以及解决问题的能力．统计初步在近两年高考中每年都以小题的形式出现，基本上是低起点题．9．若双曲线﹣=1的焦距为10，点P（﹣2，1）在其渐近线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线C：﹣=1的焦距为10，点P（﹣2，1）在其渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线C：﹣=1的焦距为10，点P（﹣2，1）在其渐近线上，∴a2+b2=25，a=2b，∴b=，a=2∴双曲线的方程为﹣=1．故选：C．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．10．已知e是自然对数的底数，函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式成立的是（）A．f（1）＜f（a）＜f（b）B．f（a）＜f（b）＜f（1）C．f（a）＜f（1）＜f（b）D．f（b）＜f（1）＜f（a）【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】首先判断两个函数的单调性，再由定义知f（a）=0，f（1）=e+1﹣2＞0，g（b）=0，g（1）=0+1﹣2＜0，从而可判断0＜a＜1＜b；从而再利用单调性判断大小关系．【解答】解：易知函数f（x）=e x+x﹣2在R上是增函数，g（x）=lnx+x﹣2在（0，+∞）上也是增函数；又∵f（a）=0，f（1）=e+1﹣2＞0，g（b）=0，g（1）=0+1﹣2＜0，∴0＜a＜1＜b；故f（a）＜f（1）＜f（b）；故选C．【点评】本题考查了函数的单调性的判断与应用及函数零点的判定定理的应用，属于基础题．11．若（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）5=a0+a1（1﹣x）+a2•（1﹣x）2+…+a5（1﹣x）5，则a1+a2+a3+a4+a5等于（）A．5 B．62 C．﹣57 D．﹣56【考点】二项式定理的应用．【专题】转化思想；综合法；二项式定理．【分析】在所给的等式中，分别令x=1，可得a0=62；令x=0，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5 =5，从而求得a1+a2+a3+a4+a5 的值．【解答】解：∵（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）5=a0+a1（1﹣x）+a2•（1﹣x）2+…+a5（1﹣x）5，令x=1，可得a0=2+22+23+24+25=62，再令x=0，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5 =5，∴a1+a2+a3+a4+a5 =﹣57，故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于基础题．12．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+4）=f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：①f（2）=0；②y=f（x）在[8，10]单调递增；③x=4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8以上命题中不正确命题的序号为（）A．①B．②C．③D．④【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据条件，令x=﹣2便可得到f（2）=2f（2），从而得出f（2）=0，从而得出f（x）是周期为4的周期函数，而f（x）在[0，2]上单调递减，从而得到f（x）在[8，10]上单调递减．容易得到x=4和x=﹣4为f（x）的对称轴，从而便可以得到，即得到x1+x2=﹣8，这样便可得出不正确命题的序号．【解答】解：f（x）为R上的偶函数，且f（x+4）=f（x）+f（2），令x=﹣2得：f（2）=2f（2）；∴f（2）=0，∴①正确；∴f（x+4）=f（x）；∴f（x）为周期为4的周期函数；f（x）在[0，2]上单调递减，∴f（x）在[0+4×2，2+4×2]=[8，10]上单调递减，∴②错误；f（x）关于y轴对称，即x=0是f（x）的一条对称轴；∴x=4为函数f（x）图象的一条对称轴，∴③正确；x=﹣4为f（x）的一条对称轴，∴；∴x1+x2=﹣8，∴④正确；∴不正确的命题序号为②．故选B．【点评】考查偶函数的定义，周期函数的定义，周期函数的单调性，本题中f（x）的对称轴为x=4n，n∈Z，以及中点坐标公式．二、填空題：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设x，y满足约束条件，则z=的最大值为2．【考点】简单线性规划．【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式．【分析】由约束条件作出可行域，利用z=的几何意义，即可行域内的动点与原点连线的斜率求得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），，∴z=的最大值为2．故答案为：2．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．14．如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为．【考点】几何概型．【专题】综合题；概率与统计．【分析】利用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率．【解答】解：由题意，y=lnx与y=e x关于y=x对称，∴阴影部分的面积为2（e﹣e x）dx=2（ex﹣e x）=2，∵边长为e（e为自然对数的底数）的正方形的面积为e2，∴落到阴影部分的概率为．故答案为：．【点评】本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到．15．已知⊙M：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1=0及圆外一点P（5，5），过P点作⊙M的切线PA，PB，切点分别为A，B，则弦AB的长为3．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】数形结合；数形结合法；直线与圆．【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用半径r，圆心M到点P的距离MP以及切线长组成直角三角形，即可求出弦长AB．【解答】解：如图所示，⊙M：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1=0可化为（x﹣2）2+（y﹣2）2=9，∴圆心为M（2，2），半径为r=3；则圆心M到点P的距离为d=MP==3，∴切线长PA===3，∴弦AB的长为2×=2×=3．故答案为：3．【点评】本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了勾股定理的应用问题，是基础题目．16．对于两个实数a，b，min{a，b}表示a，b中的较小数．设f （x）=min{x，}（x＞0），则不等式f （x）≥log42的解集是[，2]．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】先根据，min{a，b}表示a，b中的较小数求得函数f（x），再按分段函数的图象解得用满足f（x）＜时x的集合．【解答】解：根据，min{a，b}表示a，b中的较小数，得到函数f（x）=min{x，}（x＞0）的图象，如图所示：当x=或2时，y=，由图象可知，f （x）≥log42的解集是[，2]，故答案为：[，2]【点评】本题考查了其他不等式的解法，是一道新定义题，首先要根据新定义求得函数图象，再应用函数图象解决相关问题，这类问题的解决，正确转化是关键．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．在数列{a n}中，前n项和为S n，且．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】综合题；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．．【分析】（I）由，可得n=1时，a1=S1=1；n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1（II）=，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．=﹣【解答】解：（I）∵，∴n=1时，a1=S1=1；n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n．n=1时也成立．∴a n=n．（II）=，∴数列{b n}的前项和T n=++…+，=+…++，∴=+…+﹣=﹣=，∴T n=2﹣．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知△ABC的内角为A、B、C，其对边分别为a、b、c，已知B为锐角，向量，且∥．（Ⅰ）求角B的大小及当时，△ABC的外接圆半径R的取值范围；（Ⅱ）如果b=2，求S△ABC的最大值．【考点】余弦定理；平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题；转化思想；解三角形；不等式的解法及应用；平面向量及应用．【分析】（Ⅰ）由平面向量共线（平行）的坐标表示可得2sinB•（2cos2﹣1）+cos2B=0，利用三角函数恒等变换的应用化简可得2sin（2B+）=0，结合B为锐角可求B，由正弦定理即可得解．（Ⅱ）由余弦定理可得ac=a2+c2﹣4，利用基本不等式可得ac≤4，根据三角形面积公式即可求其最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵∥，⇒2sinB•（2cos2﹣1）+cos2B=0，…⇒sin2B+cos2B=0⇒2sin（2B+）=0（B为锐角）⇒2B=⇒B=，…∴R=[1，2]…（Ⅱ）由cosB==，可得：ac=a2+c2﹣4，…∵a2+c2≥2ac，∴ac≤4，…∴S△ABC=acsinB≤=，即S△ABC的最大值为．…【点评】本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．19．若f（x）=cos2ax﹣sinaxcosax（a＞0）的图象与直线y=m（m＞0）相切，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列．（1）求a和m的值；（2）△ABC中a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．若（，）是函数f（x）图象的一个对称中心，且a=4，求△ABC周长的取值范围．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【专题】综合题；解三角形．【分析】（1）由题意，函数f（x）的周期为π，且最大（或最小）值为m，利用三角恒等变换可化简f（x），从而可求结果；（2）由（，）是函数f（x）图象的一个对称中心可求A，利用正弦定理可把周长化为三角函数，进而可求答案；【解答】解：（1）=，由题意，函数f（x）的周期为π，且最大（或最小）值为m，而m＞0，，∴a=1，；（2）∵（是函数f（x）图象的一个对称中心，∴，又∵A为△ABC的内角，∴，△ABC中，则由正弦定理得：，∴，∵，∴b+c+a∈（8，12]．【点评】该题考查正弦定理、两角和与差的正弦函数、倍角公式等知识，考查学生综合运用知识解决问题的能力．20．如图，在△ABC中，记，∠B=，AB=8，点D在BC边上，且CD=2，cos∠ADC=．（Ⅰ）试用表示；（Ⅱ）若以B点为坐标原点，BC所在的直线为x轴（正方向为向右）建立平面直角坐标系，使得点A落在第一象限．点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上，设，求m﹣n的最大值．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用；不等式．【分析】（Ⅰ）可设（0＜λ＜1），从而，这便可得到，而，根据条件即可得到，从而便可求出，这样便可解出，从而用表示出向量；（Ⅱ）根据题意便可求出点B，A，C三点的坐标，从而求出向量的坐标，这样根据便可求出，从而得到，这样即可求出，从而由线性规划的知识即可求出m﹣n的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意不妨设，则；∴；；又；∴；∴==，；∴=；解得；∴；（Ⅱ）由题意知；∴；∴=；又P（x，y），∴；∴；∴；∵点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上，由线性规划知识知，当点P处于点A（）位置时m﹣n最大，且最大值为1．【点评】考查向量数乘的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法：，以及向量夹角的余弦公式，完全平方式的运用，能求平面直角坐标系下点的坐标，根据点的坐标可求向量的坐标，向量坐标的加法和数乘运算，以及线性规划的方法求变量的最值．21．已知数列{a n}中，a1=1，且当x=时，函数f（x）=a n•x2+（2﹣n﹣a n+1）•x取得极值．（1）若b n=2n﹣1•a n，证明数列{b n}为等差数列；（2）设数列c n=，{c n}的前n项和为S n，若不等式mS n＜n+4（﹣1）n对任意的正整数n 恒成立，求m的取值范围．【考点】数列的求和；等差关系的确定．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）通过对f（x）=a n•x2+（2﹣n﹣a n+1）•x求导，利用，计算可知b n+1=b n+1，进而可知数列{b n}是首项、公差均为1的等差数列；（2）通过（1）可知b n=n，裂项可知c n=﹣，并项相加得S n=，进而问题转化为求f（n）=的最小值，进而计算可得结论．【解答】（1）证明：∵f（x）=a n•x2+（2﹣n﹣a n+1）•x，∴f′（x）=，∴，即a n+﹣a n+1=0，∴2n a n+1=2n﹣1a n+1，即b n+1=b n+1，又∵=1，∴数列{b n}是首项、公差均为1的等差数列；（2）解：由（1）可知b n=n，∴c n===﹣，∴S n=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，∵不等式mS n＜n+4（﹣1）n对任意的正整数n恒成立，∴m＜=1+n+对任意的正整数n恒成立，记f（n）=1+n+，则f（1）=﹣6，f（2）=9，f（3）=﹣，f（4）=10，…，显然当n=1时f（n）取最小值，∴m＜f（1）=﹣6，∴m的取值范围是（﹣∞，﹣6）．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．22．已知函数．（Ⅰ）若x=3是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围；（Ⅲ）设m，n为正实数，且m＞n，求证：．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）求出导数，由题意可得f′（3）=0，代入可得a=，可得切线的斜率和切点，进而得到切线的方程；（Ⅱ）由函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，可得f′（x）≥0在x＞0恒成立，即有x2+（2﹣2a）x+1≥0，当x＞0时，2a﹣2≤x+，求得右边函数的最小值，即可得到a的范围；（Ⅲ）运用分析法证明．要证，只需证＜，即证ln﹣＞0，设h（x）=lnx﹣，求出导数判断单调性，运用单调递增，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的导数为f′（x）=﹣=，由题意可得f′（3）=0，代入可得a=，检验成立．可得切线的斜率为f′（1）=﹣，切点为（1，0），可得切线的方程为x+3y﹣1=0；（Ⅱ）f′（x）=，由函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，可得f′（x）≥0在x＞0恒成立，即有x2+（2﹣2a）x+1≥0，当x＞0时，2a﹣2≤x+，由x+≥2=2，当且仅当x=1时，取得最小值2，即有2a﹣2≤2，可得a≤2，可得a的取值范围是（﹣∞，2]；（Ⅲ）证明：要证，只需证＜，即证ln＞，即证ln﹣＞0，设h（x）=lnx﹣，由（Ⅱ）知，h（x）在（1，+∞）递增，又＞1，可得h（）＞h（1）=0，即ln﹣＞0，故．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，考查不等式的证明，注意运用分析法，以及构造函数，判断单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。

2021年高三数学第一次诊断性考试试题理（含解析）【试卷综析】本套试卷能从学科结构上设计试题，已全面覆盖了中学数学教材中的知识模块，同时，试卷突出了学科的主干内容，集合与函数、不等式、数列、概率统计、解析几何、导数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例，也达到了必要的考查深度．本套试卷没有刻意追求覆盖面，还有调整和扩大的空间，注重了能力的考查，特别是运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力的强调比较突出，实践能力和创新意识方面也在努力体现.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）。

第I卷1至2页，第II 卷2至4页.共4页。

满分150分。

考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。

考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.第I卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．【题文】1.已知集合A={x∈Z|x2-1≤0}，B={x|x2-x-2=0}，则A∩B=(A) (B) {2} (C) {0} (D) {-1}【知识点】集合运算. A1【答案解析】D 解析：因为A={-1，0，1}, B={-1，2}，所以，故选B.【思路点拨】化简集合A、B,从而求得.【题文】2．下列说法中正确的是(A) 命题“，”的否定是“，≤1”(B) 命题“，”的否定是“，≤1”(C) 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”(D) 命题“若，则”的逆否命题是“若≥，则≥”【知识点】四种命题A2【答案解析】B 解析：根据命题之间的关系可知命题的否定是只否定结论，但全称量词要变成特称量词，而逆否命题是即否定条件又否定结论，所以分析四个选项可知应该选B.【思路点拨】根据命题之间的关系可直接判定.【题文】3．设各项均不为0的数列{a n}满足(n≥1)，S n是其前n项和，若，则S4=(A) 4 (B)(C) (D)【知识点】等比数列. D3【答案解析】D 解析：由知数列是以为公比的等比数列，因为，所以，所以，故选D. 【思路点拨】由已知条件确定数列是等比数列，再根据求得，进而求.【题文】4．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则=(A) -3 (B)(C) 3 (D)【知识点】向量的数量积. F3【答案解析】A 解析：因为,所以()2+⋅=⋅+⋅=-=-,故选 A.AB BD DB AB DB BD DB BD03【思路点拨】利用向量加法的三角形法则，将数量积中的向量表示为夹角、模都易求的向量的数量积.【题文】5．已知，那么=(A) (B) (C) (D)【知识点】二倍角公式；诱导公式.C2,C6【答案解析】C 解析：因为，所以27cos 22cos 14425x x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，故选C. 【思路点拨】利用二倍角公式求得值，再用诱导公式求得sin2x 值.【题文】6．已知x ，y 满足则2x -y 的最大值为(A) 1(B) 2 (C) 3 (D) 4http//【知识点】简单的线性规划.E5 【答案解析】B 解析：画出可行域如图：平移直线z=2x-y 得 ，当此直线过可行域中的点A （1,0）时 2x-y 有最大值2，故选B.【思路点拨】设目标函数z=2x-y ，画出可行域平移目标函数得点A （1,0）是使目标函数取得最大值的最优解.【题文】7.已知x ∈[，]，则“x ∈”是“sin(sin x )<cos(cos x )成立”的(A) 充要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分不必要条件(D) 既不充分也不必要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 A2【答案解析】C 解析：解：（1）∵x∈[﹣，]，∴sinx+cosx≤，即＜sinx ＜﹣cosx ， ∴sin（sinx ）＜sin （﹣cosx ），即sin （sinx ）＜cos （cosx ）成立，（2）∵sin（sinx ）＜cos （cosx ）∴s in （sinx ）＜sin （﹣cosx ），sinx ＜﹣cosxsinx+cosx ＜，x ∈[﹣π，π]，∴x∈[，]，不一定成立，根据充分必要条件的定义可判断：“x∈[﹣，]是“sin（sinx ）＜cos （cosx ）成立”的充分不必要条件，故选：C【思路点拨】利用诱导公式，结合三角函数的单调性判断，命题成立，再运用充分必要条件定义判断【题文】8．是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记，则(A) (B)(C) (D)【知识点】函数的单调性.B3【答案解析】C 解析：因为对任意两个不相等的正数，都有，即对任意两个不相等的正数，都有，所以函数是上的减函数，因为，所以b>a>c,故选C. 【思路点拨】构造函数，根据条件可以判断它是上的减函数，由此可以判断a,b,c的大小关系.【题文】9．已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是(A) (B) (C) (D)【知识点】分段函数的应用B1【答案解析】D 解析：解：若x＞0，则﹣x＜0，∵x＜0时，f（x）=sin（）﹣1，∴f（﹣x）=sin（﹣）﹣1=﹣sin（）﹣1，则若f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称，则f（﹣x）=﹣sin（）﹣1=f（x），即y=﹣sin（）﹣1，x＞0，设g（x）=﹣sin（）﹣1，x＞0作出函数g（x）的图象，要使y=﹣sin（）﹣1，x＞0与f（x）=log a x，x＞0的图象至少有3个交点，则0＜a＜1且满足g（5）＜f（5），即﹣2＜log a5，即log a5＞，则5，解得0＜a＜，故选：A【思路点拨】求出函数f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论【题文】10．已知R，且≥对x∈R恒成立，则的最大值是(A) (B) (C) (D)【知识点】分类讨论 E8【答案解析】A 解析：由≥对x ∈R 恒成立，显然a ≥0，b ≤-ax ．若a =0，则ab =0．若a >0，则ab ≤a -a 2x ．设函数，求导求出f (x )的最小值为．设，求导可以求出g(a )的最大值为，即的最大值是，此时．【思路点拨】利用导数证明不等关系第II 卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。

高二数学试卷（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一、二册占60%，选择性必修第一册第一章至第二章第4节占40%.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，{}1,4,5B =，则()UB A ⋂=ð（）A.{}3B.{}4C.{}1,4 D.{}1,5【答案】D 【解析】【分析】利用补集与交集的定义可求解.【详解】因为全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，所以{}U 1,3,5A =ð，又因为{}1,4,5B =，(){}{}{}U 51,3,51,4,51,A B == ð.故选：D.2.已知复数1i z a =+（0a >），且3z =，则a =（）A.1B.2C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用复数的模的定义即可求解.【详解】因为1i z a =+，3z =3=，解得a =±，因为0a >，所以a =故选：D,3.已知1sin 3α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πcos 22α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.9B.19-C.79-D.9-【答案】A 【解析】【分析】根据同角三角函数关系得出余弦值，再结合诱导公式化简后应用二倍角正弦公式计算即可.【详解】因为221sin ,sin cos 13ααα=+=,又因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以cos 3α===,所以π12242cos 2sin22sin cos 22339αααα⎛⎫-===⨯⨯ ⎪⎝⎭.故选：A.4.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，且当0x ≤时，()22x af x =+，则()1f =（）A.2B.4C.2- D.4-【答案】A 【解析】【分析】利用题意结合奇函数的定义判断()f x 是奇函数，再利用奇函数的性质求解即可.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，所以()f x 是奇函数，且()00f =，故0202a+=，解得2a =-，故当0x ≤时，()222x f x =-+，由奇函数性质得()()11f f =--，而()121222f --=-+=-，故()()112f f =--=，故A 正确.故选：A5.在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1B AC B --的正切值为（）A.2B.3C.3D.【答案】D 【解析】【分析】取AC 的中点M ，连接1,MB MB ，可得1B MB ∠是二面角1B AC B --的平面角，求解即可.【详解】取AC 的中点M ，连接1,MB MB ，由正方体1111ABCD A B C D -，可得11,AB B C AB BC ==，所以1,B M AC BM AC ⊥⊥，所以1B MB ∠是二面角1B AC B --的平面角，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，可得AC =，所以BM =在1Rt B B M 中，11tan B B B MB BM =∠==,所以二面角1B AC B --.故答案为：D.6.已知线段AB 的端点B 的坐标是()3,4，端点A 在圆()()22124x y -+-=上运动，则线段AB 的中点P的轨迹方程为（）A.()()22232x y -+-= B.()()22231x y -+-=C.()()22341x y -+-= D.()()22552x y -+-=【答案】B 【解析】【分析】设出动点P 和动点A 的坐标，找到动点P 和动点A 坐标的关系，再利用相关点法求解轨迹方程即可.【详解】设(,)P x y ，11(,)A x y ，由中点坐标公式得1134,22x y x y ++==，所以1123,24x x y y =-=-，故(23,2)A x y --4，因为A 在圆()()22124x y -+-=上运动，所以()()222312424x y --+--=，化简得()()22231x y -+-=，故B 正确.故选：B7.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵111ABC A B C -中，π2ABC ∠=，1AB BC AA ==，,,D E F 分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足BF DE ⊥的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明逐个判断即可.【详解】在从左往右第一个图中，因为π2ABC ∠=，所以AB BC ⊥，因为侧棱垂直于底面，所以1AA ⊥面ABC ，如图，以B 为原点建立空间直角坐标系，设12AB BC AA ===，因为,,D E F 分别是所在棱的中点，所以(0,0,0),(0,1,0),(1,0,2),(1,1,0)B E D F所以(1,1,0)BF = ，(1,1,2)DE =-- ，故110BF DE ⋅=-+=，即BF DE ⊥得证，在从左往右第二个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，此时(0,0,0),(1,1,0),(1,0,2),(0,1,1)B E D F ，所以(0,1,1)BF = ，(0,1,2)DE =-，故121BF DE ⋅=-=-，所以,BF DE 不垂直，在从左往右第三个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，此时(0,0,0),(1,1,0),(1,0,0),(1,1,2)B E D F ，故(1,1,2)BF = ，(0,1,0)DE = ，即1BF DE ⋅=，所以,BF DE 不垂直，则下列3个直观图中满足BF DE ⊥的有1个，故B 正确.故选：B8.已知过点()1,1P 的直线l 与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，O 为坐标原点，则22OA OB+的最小值为（）A.12B.8C.6D.4【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知直线l 的斜率存在设为(0)k k <，分别解出,A B 两点的坐标，表示出22OA OB +的表达式由基本不等式即可求得最小值.【详解】由题意知直线l 的斜率存在．设直线的斜率为(0)k k <，直线l 的方程为1(x 1)y k -=-，则1(1,0),(0,1)A B k k--，所以222222121(1)(1)112OA OB k k kk k k+=-+-=-++-+22212(2)28k k k k =+--++≥++=，当且仅当22212,k k k k-=-=，即1k =-时，取等号.所以22OA OB +的最小值为8.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分.9.已知函数()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于直线π85x =对称C.()f x 的图象关于点π,18⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D.()f x 的值域为[]1,1-【答案】ABD 【解析】【分析】求得最小正周期判断A ；求得对称轴判断B ；求得对称中心判断C ；求得值域判断D.【详解】因为()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以的最小正周期为2ππ2T ==，故A 正确；由ππ2π,Z 42x k k +=+∈，可得ππ,Z 28k x k =+∈，所以()f x 图象的对称轴为ππ,Z 28k x k =+∈，当1k =时，图象的关于π85x =对称，故B 正确；由Z 2ππ,4k x k =∈+，可得ππ,Z 28k x k =-∈，所以()f x 图象的对称中心为ππ(,0),Z 28k k -∈，当0k =时，图象的关于点()π8,0-对称，故C 不正确；由()πsin 2[1,1]4f x x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，故()f x 的值域为[]1,1-，故D 正确.故选：ABD.10.若数据1x ，2x ，3x 和数据4x ，5x ，6x 的平均数、方差、极差均相等，则（）A.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的平均数相等B.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的方差相等C.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的极差相等D.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的中位数相等【答案】ABC 【解析】【分析】运用平均数，方差，极差，中位数的计算方法和公式计算，通过已知两组数据的平均数、方差、极差均相等这个条件，来分析这两组数据组合后的相关统计量与原数据的关系.【详解】设数据123,,x x x 的平均数为x ，数据456,,x x x 的平均数也为x .那么数据123456,,,,,x x x x x x 的平均数为123456()()3366x x x x x x x xx ++++++==，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的平均数相等，A 选项正确.设数据123,,x x x 的方差为2s ，数据456,,x x x 的方差也为2s .对于数据123456,,,,,x x x x x x ，其方差计算为2222221234561[()((()()()]6x x x x x x x x x x x x -+-+-+-+-+-2222221234561[3(()(())3(((())]6x x x x x x x x x x x x =⨯-+-+-+⨯-+-+-2221(33)6s s s =+=,所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的方差相等，B 选项正确.设数据123,,x x x 的极差为R ，数据456,,x x x 的极差也为R .对于数据123456,,,,,x x x x x x ，其极差是这六个数中的最大值减去最小值，由于前面两组数据的极差相等，所以组合后数据的极差依然是R ，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的极差相等，C 选项正确.设数据123,,x x x 按从小到大排列为123x x x ≤≤，中位数为2x .设数据456,,x x x 按从小到大排列为456x x x ≤≤，中位数为5x .对于数据123456,,,,,x x x x x x 按从小到大排列后，中位数不一定是2x ，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的中位数不一定相等，D 选项错误.故选：ABC11.已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为6的菱形，1AA ⊥平面ABCD ，13AA =，π3DAB ∠=，点P 满足1AP AB AD t AA λμ=++，其中λ，μ，[]0,1t ∈，则（）A.当P 为底面1111D C B A 的中心时，53t λμ++=B.当1t λμ++=时，AP 长度的最小值为2C.当1t λμ++=时，AP 长度的最大值为6D.当221t λμλμ++==时，1A P为定值【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，利用空间向量进行逐项进行分析求解判断.【详解】对于A ，当P 为底面1111D C B A 的中心时，由1AP AB AD t AA λμ=++ ，则11,,122t λμ===故2t λμ++=，故A 错误；对于B ，当1t λμ++=时，()22222222112·AP AB AD t AA AB AD t AA AB ADλμλμλμ=++=+++()()222223693636936t t λμλμλμλμ=+++=++-22245723636457236362t t t t λμλμ+⎛⎫=-+-≥-+- ⎪⎝⎭223273654273644t t t ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭当且仅当13,84t λμ===，取最小值为2，故B 正确;对于C ，当1t λμ++=时，1AP AB AD t AA λμ=++，则点P 在1A BD 及内部，而AP是以A 为球心，以AP 为半径的球面被平面1A BD 所截图形在四棱柱1111ABCD A B C D -及内的部分，当=1=0t λμ=，时，=6AP ，当=0=10t λμ=，，时，=6AP ，可得1A P最大值为6，故C 正确；对于D ，221t λμλμ++==，()22223693636945AP t λμλμ=+++=+= ，而11=A P A A AP +，所以()22222111111=+2·=+2A P A A AP A A AP A A AP A A AB AD t AA λμ++⋅++ 22211=29452936A A AP t A A +-=+-⨯= ，则16A P = 为定值，故D 正确.故答案选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量()1,2a =- ，(),4b m =-.若()a ab ⊥+ ，则m =__________.【答案】3-【解析】【分析】利用平面向量的坐标运算结合平面向量垂直的性质建立方程，求解参数即可.【详解】因为向量()1,2a =- ，(),4b m =- ，所以()1,2a b m +=--，因为()a ab ⊥+，所以(1)40m ---=，解得3m =-.故答案为：3-13.已知在正四棱台1111ABCD A B C D -中，()0,4,0AB = ，()13,1,1CB =- ，()112,0,0A D =-，则异面直线1DB 与11A D 所成角的余弦值为__________.【答案】19【解析】【分析】利用向量的线性运算求得1DB，根据向量的夹角公式可求异面直线1DB 与11A D 所成角的余弦值.【详解】111(0,4,0)(3,1,1)(3,3,1)DB DC CB AB CB =+=+=+-=，所以111111111·cos ,19·DB A D DB A D DB A D ==-，所以异面直线1DB 与11A D所成角的余弦值为19.故答案为：1914.已知函数()21xg x =-，若函数()()()()()2121f x g x a g x a =+--+⎡⎤⎣⎦有三个零点，则a 的取值范围为__________.【答案】()2,1--【解析】【分析】令()0f x =，可得()2g x =或()1g x a =--，函数有三个零点，则需方程()1g x a =--有两个解，则=与1y a =--的图象有两个交点，数形结合可求解.【详解】令()0f x =，可得()()()()21210g x a g x a ⎡⎤+--+=⎣⎦，所以()()()[2][1]0g x g x a -++=，所以()2g x =或()1g x a =--，由()2g x =，又()21xg x =-，可得212x -=，解得21x =-或23x =，方程21x =-无解，方程23x =有一解，故()2g x =有一解，要使函数()()()()()2121f x g x a g x a ⎡⎤=+--+⎣⎦有三个零点，则()1g x a =--有两解，即=与1y a =--的图象有两个交点，作出函数=的图象的示图如下：由图象可得011a <--<，解得21a -<<-.所以a 的取值范围为(2,1)--.故答案为：(2,1)--.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos c b a B +=．（1）若π2A =，求B ；（2）若a =1b =，求ABC V 的面积.【答案】（1）π4（2）12【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合内角和定理与两角和与差的正弦公式化简等式得sin sin()B A B =-，代入π2A =求解可得；（2）由sin sin()B A B =-根据角的范围得2A B =，由正弦定理结合二倍角公式可得2cos 2B =，从而得π4B =，再利用余弦定理求边c ，由面积公式可求结果.【小问1详解】因为2cos c b a B +=，所以由正弦定理得，sin sin 2sin cos C B A B +=，又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+代入上式得，所以()sin sin cos cos sin sin =-=-B A B A B A B ，由π2A =，则B 为锐角，且c sin s os n π2i B B B ⎛⎫-= ⎭=⎪⎝，所以π4B =.【小问2详解】由（1）知，()sin sin B A B =-，因为a =1b =，所以A B >，则0πA B <-<，π02B <<，故B A B =-，或πB A B A +-==（舍去）.所以2A B =，又a =1b =，由正弦定理得sin sin 22cos sin sin A B aB B B b====，则2cos 2B =，则π4B =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，则2122c =+-，化简得2210c c -+=，解得1c =，所以111sin 2222ABC S ac B === .故ABC V 的面积为12.16.甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环.设甲、乙、丙三人水平相当，每场比赛双方获胜的概率都为12.（1）求甲连续打四局比赛的概率；（2）求在前四局中甲轮空两局的概率；（3）求第四局甲轮空的概率.【答案】（1）18（2）14（3）38【解析】【分析】（1）由题意知甲前三局都要打胜，计算可得甲连续打四局比赛的概率；（2）甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，计算即可；（3）分析可得甲第四轮空有两种情况：第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，计算即可.【小问1详解】若甲连续打四局，根据比赛规则可知甲前三局都要打胜，所以甲连续打四局比赛的概率311(28=；【小问2详解】在前四局中甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，故在前四局中甲轮空两局的概率111(1(1)224-⨯-=；【小问3详解】甲第四轮空有两种情况：第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，第1种情况的概率111(1)(1224-⨯-=；第2种情况的概率1111(12228⨯⨯-=；由互斥事件的概率加法公式可得第四局甲轮空的概率为113488+=.17.如图，在几何体PABCD 中，PA ⊥平面ABC ，//PA DC ，AB AC ⊥，2PA AC AB DC ===，E ，F 分别为棱PB ，BC 的中点.（1）证明：//EF 平面PAC ．（2）证明：AB EF ⊥.（3）求直线EF 与平面PBD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）6【解析】【分析】（1）构造线线平行，证明线面平行.（2）先证AB ⊥平面PACD ，得到AB PC ⊥，结合（1）中的结论，可得AB EF ⊥.（3）问题转化为直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.设1CD =，表示CP 的长，利用体积法求C 到平面PBD 的距离，则问题可解.【小问1详解】如图，连接CP .在BCP 中，E ，F 分别为棱PB ，BC 的中点，所以//EF CP ,，又EF ⊄平面PAC ，CP ⊂平面PAC .所以//EF 平面PAC .【小问2详解】因为PA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以PA AB ⊥，又AB AC ⊥,,PA AC ⊂平面PAC ，且PA AC A = ，所以AB ⊥平面PAC .因为CP ⊂平面PAC ，所以AB CP ⊥.又因为//EF CP ，所以AB EF ⊥.【小问3详解】因为//EF CP ，所以直线EF 与平面PBD 所成角与直线PC 与平面PBD 所成角相等，设为θ.不妨设1CD =，则=PC 设C 到平面PBD 的距离为h .则13C PBD PBD V S h -=⋅ .又11212333C PBDB PCD PCD V V S AB --==⋅=⨯⨯= .在PBD △中，PB =BD PD ==，所以12PBD S =⨯= .所以33C PBD PBD V h S -=== .所以63sin θ6h PC ===.故直线EF 与平面PBD.18.设A 是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a ，b ，c A Î，使得a b b c -=-，则称A 为“等差集”．（1）若集合{}1,3,5,9A =，B A ⊆，且B 是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B ；（2）若集合{}21,,1A m m =-是“等差集”，求m 的值；（3）已知正整数3n ≥，证明：{}23,,,,nx x x x ⋅⋅⋅不是“等差集”．【答案】（1）答案见解析（2）2m =（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差集的定义结合子集的定义求解即可；（2）根据等差集定义应用a b b c -=-，即2a c b +=逐个计算判断即可；（3）应用反证法证明集合不是等差集.【小问1详解】因为集合{}1,3,5,9A =，B A ⊆，存在3个不同的元素a ，b ，c B ∈，使得a b b c -=-，则{}1,3,5,9B =或{}1,3,5B =或{}1,5,9B =.【小问2详解】因为集合{}21,,1A m m =-是“等差集”，所以221m m =+-或2211m m =+-或()2221m m +=-,计算可得12m -±=或0m =或2m =或14m =，又因为m 正整数,所以2m =.【小问3详解】假设{}22,,,,nx x x x⋅⋅⋅是“等差集”，则存在{},,1,2,3,,,m n q n m n q ∈<< ,2n m q x x x =+成立，化简可得2m n q n x x --=+,0m n x ->因为*N ,1x q n ∈-≥,所以21q n x x ->≥≥,所以=1与{}22,,,,nx x x x ⋅⋅⋅集合的互异性矛盾，所以{}22,,,,nx x x x⋅⋅⋅不是“等差集”．【点睛】方法点睛：解题方法是定义的理解，应用反证法设集合是等差集，再化简计算得出矛盾即可证明.19.过点()00,A x y 作斜率分别为1k ，2k 的直线1l ，2l ，若()120k k μμ=≠，则称直线1l ，2l 是()A K μ定积直线或()()00,x y K μ定积直线．（1）已知直线a ：()0y kx k =≠，直线b ：13y x k=-，试问是否存在点A ，使得直线a ，b 是()A K μ定积直线？请说明理由．（2）在OPM 中，O 为坐标原点，点P 与点M 均在第一象限，且点()00,M x y 在二次函数23y x =-的图象上．若直线OP 与直线OM 是()()0,01K 定积直线，直线OP 与直线PM 是()2P K -定积直线，直线OM 与直线PM 是()00,202x y K x ⎛⎫-⎪⎝⎭定积直线，求点P 的坐标．（3）已知直线m 与n 是()()2,44K --定积直线，设点()0,0O 到直线m ，n 的距离分别为1d ，2d ，求12d d 的取值范围．【答案】（1）存在，理由见解析（2）()1,2（3）[)0,8【解析】【分析】（1）由定积直线的定义运算可求结论；（2）设直线OM 的斜率为()0λλ≠，则直线OP 的斜率为1λ，利用定积直线的定义可得01x λ=或1-，进而2003x x λ-=，计算即可；（3）设直线():42m y t x -=+，直线()4:42n y x t-=-+，其中0t ≠，计算得12d d =，利用基本不等式可求12d d 的取值范围.【小问1详解】存在点()0,0A ，使得a ，b 是()A K μ定积直线，理由如下：由题意可得1133k k ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，由()013y kx k y x k ⎧=≠⎪⎨=-⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，故存在点()0,0A ，使得a ，b 是()A K μ定积直线，且13μ=-．【小问2详解】设直线OM 的斜率为()0λλ≠，则直线OP 的斜率为1λ，直线PM 的斜率为2λ-．依题意得()2022x λλ⋅-=-，得2201x λ=，即01x λ=或1-．直线OM 的方程为y x λ=，因为点()200,3M x x -在直线OM 上，所以2003x x λ-=．因为点M 在第一象限，所以20031x x λ-==，解得02x =或2-（舍去），12λ=，()2,1M ，所以直线OP 的方程为12y x x λ==，直线PM 的方程为()2213y x x λ=--+=-+，由23y x y x =⎧⎨=-+⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，即点P 的坐标为()1,2．【小问3详解】设直线():42m y t x -=+，直线()4:42n y xt-=-+，其中0t ≠，则12d d ===2216171725t t ++≥=，当且仅当2216t t =，即24t =时，等号成立，所以08≤<，即1208d d ≤<，故12d d 的取值范围为[)0,8．【点睛】思路点睛：理解新定义题型的含义，利用定积直线的定义进行计算求解，考查了运算求解能力，以及基本不等式的应用.。

郴州市2023届高三第一次教学质量监测试卷数 学一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}2560A x x x =+-<，120232023xB x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A ．（3-，1-） B ．（2-，1）C ．（1-，1）D ．（1-，6）2．已知复数z 满足13i1i z+=-（i 为虚数单位），z 是z 的共轮复数，则z z ⋅=（ ） A ．5 B 5C ．10 D ．103．△ABC 中，D 为BC 中点，设向量AB a =，AC b =，32AE BC =，则DE =（ ）A ．2a b -+B ．2a b -C ．2a b -D ．2a b -+4．某种疾病的患病率为5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人诊断为阳性，患者中有2%的人诊断为阴性随机抽取一人进行验血，则其诊断结果为阳性的概率为（ ） A ．0.46 B ．0.046 C ．0.68 D ．0.068 5．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若321238S a a =+，8722S S =+，则2a =（ ） A ．4B ．3C ．2D ．16．设函数()sin 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭（0ω>），已知()f x 在区间[]0,π上有且仅有3个零点，下列结论正确的是（ ）A ．直线76x πω=是函数()f x 的图象的一条对称轴 B ．ω的取值范围是1319,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()f x 的图象向右平移3πω个单位后所得图象的函数是奇函数 D ．()f x 在区间()0,π上有且仅有2个极值点7．F 1、F 2是双曲线C ：22221x y a b-=（0a b >>）的左、右焦点，过左焦点F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，若|AB|：|BF 2|：|AF 2|=12：5：13，则双曲线的离心率为（ ） A 5B ．2 C 6D 10 8．某村计划修建一条横断面为等腰梯形（上底大于下底）的水渠，为了降低建造成本，必须尽量减少水与渠壁的接触面．已知水渠横断面面积设计为6平方米，水渠深2米，水渠壁的倾角为α（02πα<<），则当该水渠的修建成本最低时α的值为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．512π二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9．如图1，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是菱形，且∠DAB =60°，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，则下列说法正确的是（ ）A ．在棱AD 上存在点M ，使AD ⊥平面PMB B ．异面直线PA 与DC 所成的角的余弦值为14C ．直线PB 与平面PAD 所成的角为45° D ．BD ⊥平面PAC10．已知无穷等差数列{}n a 的首项为1，它的前n 项和为n S ，且89S S <，910S S >，则（ ）A ．数列{}n a 是单调递减数列B ．116S S =C ．数列{}n a 的公差的取值范围是11,89⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．当16n ≤时，0n S >11．已知抛物线24x y =的焦点为F ，M （4，0y ）在抛物线上，延长MF 交抛物线于点N ，抛物线准线与y 轴交于点Q ，则下列叙述正确的是（ ） A ．6MF =B ．点N 的坐标为（1-，14） C ．94QM QN ⋅=D ．在x 轴上存在点R ，使得∠MRF 为钝角 12．已知函数()f x ，()g x 的定义域为R ，()'g x 为()g x 的导函数，且()()'100f x g x +-=，()()'4100f x g x ---=，若()g x 为偶函数，则下列一定成立的有（ ） A ．()()130f f += B ．()40f =C ．()()13f f -=-D ．()20220f =三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若()3sin cos 0θπθ--=，则2sin 2cos θθ-=________．14．已知12nx x ⎫⎪⎭（n *∈N ）展开式中第5项和第6项的二项式系数最大，则其展开式中常数项是________． 15．如图2，已知△ABC 的外接圆为圆O ，AB 为直径，PA 垂直圆O 所在的平面，且PA =AB =1，过点A 作平面PB α⊥，分别交PB 、PC 于点M 、N ，则三棱锥P −AMN 的外接球的体积为________．16．已知函数()x f x e =，()1ln33x g x =+，对任意m ∈R ，存在()0,n ∈+∞，使()()f m g n =，则n m -的最小值为________．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为n S ，131n n S S +=+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设31log n n b a +=，若数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：34n T <．18．（本小题满分12分）△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos cos sin 2sin A C Ba c C+=． （1）求a ；（2）若AD ⊥BC 于D ，且AD 3A 的最大值．19．（本小题满分12分） 在图3（1）五边形ABCDE 中，ED =EA ，AB△CD ，CD =2AB ，∠CDE =150°，将△ADE 沿AD 折起到△SAD 的位置，得到如下图3（2）所示的四棱锥S −ABCD ，F 为线段SC 的中点，且BF ⊥平面SCD ．（1）求证：CD ⊥平面SAD ；（2）若CD =2SD ，求直线BF 与平面SBD 所成角的正弦值．20．2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕。

绝密★启用前郴州市2021届高三第一次教学质量监测试卷生物一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。

每小题只有一个选项符合题目要求。

1.2018年中国科学院首次人工创建了自然界不存在的生命——人造单染色体酵母，其与天然酵母细胞形态结构、功能相似，但仅含有一条“超级染色体”。

下列关于人造单染色体酵母的叙述正确的是A.没有以核膜为界的细胞核B.应该具备生物膜系统C.葡萄糖是其直接能源物质D.遗传信息储存在RNA中2.β－淀粉样蛋白可由多种细胞产生，循环于血液、脑脊液和脑间质液中，对神经细胞有一定损伤作用，在脑内积累可诱发老年痴呆。

下列相关叙述错误的是A.β－淀粉样蛋白的产生需要核糖体和内质网参与B.β－淀粉样蛋白可被唾液淀粉酶水解C.β－淀粉样蛋白分泌过程体现了细胞膜的流动性D.抑制相关细胞高尔基体的功能有可能缓解老年痴呆症状3.薄荷油可以促进皮肤对药物的吸收。

为研究其作用机理，科研人员将HaCaT细胞的膜蛋白进行某种荧光标记，用激光对膜的特定区域进行照射，使之淬灭(荧光消失)一段时间后测定相关指标如下表所示。

下列说法错误的是A.应设置只加入DSMO的对照组B.薄荷油处理可以增加细胞膜的流动性C.细胞膜Ca2+载体能够将Ca2+由细胞外运输到细胞内D.薄荷油可能通过影响物质的跨膜运输促进对药物的吸收4.科学家从动物的胰脏中分离到一类低分子量的蛋白质(Ub)，能对细胞中的异常蛋白(靶蛋白)贴上“标签”，被贴标签的靶蛋白随即被蛋白酶水解，其过程如图所示，相关说法错误的是A.Ub为靶蛋白贴标签的过程需要消耗能量B.Ub在靶蛋白水解过程中起到催化的作用C.AMP是RNA的基本组成单位之一，AMP分子不含有高能磷酸键D.靶蛋白水解过程与人消化道内蛋白质水解过程不同5.细胞周期检验点是细胞周期调控的一种机制，当细胞周期中某一节点出现“异常事件”，调节机制就被激活，排除“故障”或使细胞周期中断。

如G2期末检验点主要检测复制后的DNA 是否损伤，细胞中合成的物质是否够多，细胞的体积是否足够大；纺锤体组装检验点(SAC)能够检查纺锤体是否正确组装，纺锤丝是否正确连接在染色体的着丝点上。

2024届湖南省郴州市高三上学期第一次教学质量监测全真演练物理试题一、单项选择题（本题包含8小题，每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题用带正电的导体球去接触不带电的验电器，验电器的金属箔片会张开，是因为验电器（ ）A．失去质子而带负电B．失去电子而带正电C．得到电子而带负电D．得到质子而带正电第(2)题如图所示，金属导轨上的导体棒ab在匀强磁场中沿导轨做下列哪种运动时，线圈c中将有感应电流产生（ ）A．向右做匀速运动B．向右做加速运动C．静止不动D．向左做匀速运动第(3)题为探讨磁场对脑部神经组织的影响及临床医学应用，某小组查阅资料知：“将金属线圈放置在头部上方几厘米处，给线圈通以上千安培、历时约几毫秒的脉冲电流，电流流经线圈产生瞬间的高强度脉冲磁场，磁场穿过头颅对脑部特定区域产生感应电场及感应电流，而对脑神经产生电刺激作用，其装置如图所示。

”同学们讨论得出的下列结论不正确的是（ ）A．脉冲电流流经线圈会产生高强度的磁场是电流的磁效应B．脉冲磁场使脑部特定区域产生感应电流是电磁感应现象C．若将脉冲电流改为恒定电流，可持续对脑神经产生电刺激作用D．若脉冲电流最大强度不变，但缩短脉冲电流时间，则在脑部产生的感应电场及感应电流会增强第(4)题如图1所示，先使开关S与1端相连，给电容器充电。

然后把开关S掷向2端，电容器通过电阻R放电，电流传感器将电流信息传入计算机，屏幕上显示出电流随时间变化的I-t图像，如图2所示。

若第5s末时电容器电荷等于零，图2中1s~2s内图线下的面积为S，第1s末和第2s末电压传感器的示数分别为4.5V和3.0V，则1s~5s内图线下的面积为（）A．1.5S B．2S C．3S D．4.5S第(5)题两种单色光a和b，a光照射某金属时有光电子逸出，b光照射该金属时没有光电子逸出，则（ ）A．水对b光的折射率较大B．当光从水中斜射入空气中时，b光比a光更容易发生全反射C．以相同角度斜射到同一玻璃板透过平行表面后，b光侧移量大D．用同样的装置做双缝干涉实验，b光的干涉条纹间距大第(6)题如图所示，t时刻神舟十六号载人飞船从A点开始沿顺时针方向运动，运动半个椭圆到B点变轨，恰好与天和核心舱成功对接，则t时刻，天和核心舱可能在轨道II上的（）A．B点B．C点C．D点D．E点第(7)题如图所示，A、B是绕地球做圆周运动的两颗卫星，A、B两卫星与地心的连线在相等时间内扫过的面积之比为，则A、B两卫星的周期的比值为（ ）A．B．k C．k2D．k3第(8)题一个LC振荡电路中，线圈的自感系数为L，电容器电容为C，一个振荡周期内电容器上电压能达到的最大值为U m，则从电容器上电压达到最大值U m开始计时（ ）A．至少经过π，磁场能达到最大B ．在时间内，电路中的平均电流是C．经过π时间，线圈的自感电动势达到最大D．在时间内，电容器放电电荷量为二、多项选择题（本题包含4小题，每小题4分，共16分。

2024届湖南省郴州市高三上学期第一次质检高效提分物理试题（强化版）一、单项选择题（本题包含8小题，每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题原子处于磁场中，某些能级会发生劈裂。

如图甲，XX代表激发态1，X代表激发态2，G代表基态，由于能级劈裂，如图乙，X 态劈裂为两支，分别为、两个能级。

原子劈裂前辐射出光谱线①和②，劈裂后辐射出光谱线③、④、⑤和⑥，下列说法正确的是（ ）A．①和⑤的能量相等B．③的频率大于⑤的频率C．若用④照射某种金属能发生光电效应，则用⑥照射也一定能发生D．①和②的频率之和等于⑤和⑥的频率之和第(2)题如图所示，半径分别为R、的两个同心圆，圆心为O，大圆和小圆之间有垂直于纸面向外的匀强磁场、磁感应强度为B，一重力不计的比荷为k的带正电粒子从大圆边缘的A点沿与连线成（）角以速度v射入磁场，要使粒子不进入小圆，则v最大为（ ）A．B．C．D．第(3)题小车由静止开始沿直线运动，其速度与位移的关系图线如图所示，下列图像描述关系正确的是（ ）A．B．C．D．第(4)题一轻弹簧竖直固定在桌面上，将一小球从弹簧正上方的O点由静止释放。

以开始下落的位置为坐标原点，以竖直向下为x轴正方向，不计空气阻力，则关于小球运动过程中的速度v或加速度a随位移x变化的关系图像中，可能正确的是（）A．B．C．D．第(5)题一质量为1kg的物体受水平拉力F作用，在粗糙水平面上做加速直线运动时的a－t图像如图所示，t=0时其速度大小为2m/s，滑动摩擦力大小恒为2N，则（ ）A．t=3s时，水平拉力F的大小为3NB．在0~6 s内，合力对物体做的功为200JC．在0~6 s内，合力对物体的冲量为36N·sD．t=6s时，拉力F的功率为120W第(6)题一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B。

支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。

湖南省2021届高三上学期六校联考（一）数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集。

= {0,1,2,3,4},集合A = {1,2,3}, 8 = {2,4},则（G；4）U8为（）A. {1,2,4}B. {2,3,4}C. {0,2,4}D. {0,2,3,4）2.下列命题中，为真命题的是（）A.若 ,则。

B.若a>b, c>d,则ac〉bdC.若a>b,则D.若ac? >be?,则a b3.已知等比数列{q}中，/卬=4%，数列{'}是等差数列，且伪=%,则么+d=（）A. 8B.4C. 16D. 24.对于任意两个正整数m , 〃，定义某种运算“㊉”如下：当团,〃都为正偶数或正奇数时,加㊉〃 = 〃?+ 〃；当加，〃中一个为正偶数，另一个为正奇数时，团㊉〃=〃〃?，则在此定义下，集合M ={（a,Z?）la㊉〃nlZMwN'/eN”}中的元素个数是（）A.10 个B.15 个C.16 个D. 18 个5. AABC的三内角4,3 , C的对边分别为。

，〃，c ,且满足‘一=/一，则AABC的形状是（）cos B cos AA,正三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形/ \56.设常数。

£/?.若的二项展开式中『项的系数为-15,则〃=（）A. -2B. 2C.3D. -37.唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平而直角坐标系中，设军营所在区域为寸+ >2<1,若将军从点4（3,0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y = 4,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A. 717-1B. y/n-y/2C. 2y/5D. 3-5/28.已知小E是椭圆与双曲线的公共焦点，户是它们的一个公共点，且号，线段PE的垂直平分线过F,,若椭圆的离心率为4,双曲线的离心率为的，则区的最小值为（）-♦。

湖南省郴州市2025届高三第一次教学质量监测试卷一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合A=x|(x−1)(x−6)<0,B=x|x²<9,则A∩B=A.(6,+∞)B. (-3,1)C. (-3,6)D. (1,3)2.设复数z=1−ii2024+i,则z的共轭复数z在复平面内对应点的坐标为A. (0,1)B. (1,0)C. (-1,0)D. (0,-1)3.设x∈R, 向量a=(x,−1),b=(x,4),则x=-2是ā⊥b的A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知sinα+cosβ=32,cosα=sinβ,则sin(α-β)=A.12B.14C.18D.1165.函数f(x)=e x+e−xln(x2+1−x)的图像大致为6.已知函数f(x)={x2−2ax+a,x<01e x−ln(x+1),x≥0在R上单调递减，则a的取值范围是A. (-∞,0]B. [-l,0]C. [-1,1]D. [l,+∞)7.已知正方体ABCD−A₁B₁C₁D₁中, 点E、F满足BE=2EB1C1F=2FD1,则平面AEF截正方体ABCD−A₁B₁C₁D₁形成的截面图形为A. 六边形B. 五边形C. 四边形D. 三角形高三数学试题第1页(共5页)8.已知 f (x )=meᵐˣ−lnx (m ≥0)若 f (x ) 有两个零点，则实数m 的取值范围为A.(0,1e )B.(0,1e 2)C.(1e ,+∞)D.[1e 2,+∞)二、多项选择题(本题共3小题，每小6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.下列命题中正确的是A . 已知随机变量 X ∼B (3,12), 则 E (2X +1)=4B . 已知随机变量 X ∼N (1,14),f (x ≤0)=f (x ≥2)C . 数据1, 3, 4, 5, 7, 8, 10的第80百分位数是8D . 样本甲中有m 件样品，其方差为s ²，样本乙中有n 件样品，其方差为： s 22,，则由甲乙组成的总体样本的方差为 m m +n ⋯21+n m +n ⋯2210.已知曲线 C:x²cosθ+y²sinθ=1,θ∈(0,π),则下列说法正确的是A . 若 cosθ=0, 则曲线 C 表示两条直线B . 若 cosθ>0, 则曲线C 是椭圆C . 若 cosθ<0, 则曲线 C 是双曲线D . 若 cosθ=-sinθ, 则曲线 C 的离心率为 . 211.在正三棱台 ABC -DEF 中, AB =6, DE =2, 且等腰梯形所在的侧面与底面ABC 所成夹角的正切值均为2，则下列结论正确的有A . 正三棱台 ABC -DEF 的高为 43B . 正三棱台 ABC -DEF 的体积为 523C . AD 与平面ABC 所成角的正切值为 lD . 正三棱台 ABC -DEF 外接球的表面积为 160π3高三数学试题第2页(共5页)三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12.已知S n为等差数列{a n的前n项和，若S₃+S₇=24,则19a3+a11=.−_____13.从数字1，2，3，4中随机取一个数字，第一次取到的数字为i(i=1,2,3,4),,再从数字1,…,i中随机取一个数字，则第二次取到数字为3的概率是 .14.已知抛物线y²=4x,从抛物线内一点A(2,2)发出平行于x轴的光线经过抛物线上点B反射后交抛物线于点C，则△ABC的面积为 .四、解答题(本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分)若锐角△ABC中, A、B、C所对的边分别为a、b、c, 且△ABC的面积为312(a2+c2−b2)(1)求B;(2)求ca的取值范围.16. (本小题满分15分)如图, 在四面体 A -BCD 中, AD =BD =3,AC =BC =2,ADₖDB,∠CAD =30∘,M 是AD 的中点，P 是B M 的中点，点Q 在线段AC 上，且 AQ =3QC.(1)证明: PQ ∥平面BCD ;(2)求二面角A -PC -M 的余弦值.17.(本小题满分15分)已知椭圆E 的离心率为22,椭圆E 上一点P 到左焦点的距离的最小值为 2−1.(1)求椭圆E 的方程；(2)已知直线l 与椭圆E 交于M 、N 两点， 且( OM ⊥ON,求 △OMN 面积的取值范围.18.(本小题满分17分)x2−(a+2)x,其中a为常数.已知函数f(x)=2a ln x+12(1)当a>0时, 试讨论f(x) 的单调性;(2)若函数f(x) 有两个不相等的零点.x₁,x₂,(i)求a的取值范围；( ii)证明: x₁+x₂>4.19.(本小题满分17分)已知数列A n:a1,a2,⋯,a n(n≥2,n∈N∗)是正整数1，2，3，…，n的一个全排列，若对每个k∈{2,3,⋯n}都有|a n−a n₋₁|=2或3，则称A n为H数列(1)列出所有H数列.A₅的情形；(2)写出一个满足a5k=5k(k=1,2,⋯,405)的H数列A₂₀₂₅的通项公式；(3)在H数列A₂₀₂₅中，记b k=a5k=(k=1,2,⋯,405),若数列b n是公差为d的等差数列，求证：d=5或d=−5.郴州市2025届高三第一次教学质量监测试卷数学参考答案一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1-5DABCC6-8DBA二、选择题(本题共3小题，每小6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9-11ABC、ACD、BCD6.【解】因为f(x)在R上单调递减, 且x≥0时,f(x)=1−ln(x+1)单调递减，有最大值1; 当x<0时, 函e x数.y=x²−2ax+a的对称轴a≥0，单调递减有最小值a, 则要满足a≥1, 故a≥1即a的范围是[1,+∞).故选: D.7【解】如图, 设AB=6, 分别延长AE、A₁B₁交于点G, 此时B₁G=3,连接FG交B₁C₁于H ,连接EH ,设平面AEF与平面DCC₁D₁的交线为l, 则F∈l,因为平面ABB₁A₁∥平面DCC₁D₁,平面AEF∩平面,ABB₁A₁=AE,平面AEF∩平面DCC₁D₁=l,所以l∥AE, 设l∩D₁D=I, 则FI∥AE,此时△FD₁I∽△ABE ,故I,连接AI,所以五边形AIFHE为所求截面图形，D1=43故选: B.8.【解】由f(x)=0, 得meᵐˣ=lnx,即mxeᵐˣ=(lnx)eˡⁿˣ∵m≥0,∴lnx≥0,mx≥0,∴x≥1设ℎ(t)=te′(t≥0),∴ℎ(mx)=ℎ(lnx)ℎ′(t)=(t+1)eᵈ>0,∴ℎ(t)在[0,+∞)上单调递增∴mx= lnx,即 m =ln x x 设 g (x )=ln x x (x ≥1),g ′(x )=1−ln x x 2令g'(x)>0,解得1<x<e;令g'(x)<0,解得x>e∴g (x )在(1, e )上单调递增, 在(e ,+∞)上单调递减,g (1)=0,g (e )=1e ,∴x >e 时，g(x)>0∴0<m <1e 时, f (x )有两个零点.故选: A .11.【答案】BCD【详解】解: 取EF 的中点G , BC 的中点H , 连接DG , GH , AH , 过D 点作垂线与AH 相交于点 X ，过G 点作垂线与AH 相交于点 Y ，过F 点作垂线与BC 相交于点I由题可知： DG =3,AH =33,设正棱台的高为h ，即| |GY|=|DX|=ℎ,设 |HY|=x,则 |AX|=23−x ∵ GH ⊥ BC,AH ⊥ BC∴∠GHY 为等腰梯形 EFBC 与底面 ABC 所成角的平面有∴tan ∠GHY =GYHY =ℎx =2在直角三角形ADX 中， AX =23−xℎ2+(23−x )2=AD 2在直角三角形FIC 中，FI²+IC²=x²+ℎ²+2²=FC²又 FC²=DA²∴ℎ2+(23−x )2=x 2+ℎ2+4解得： x =233,b =433故A 错；S DEF =12×2×2×32=3;S ABC =12×6×6×32=93=14×0+14×0+14×13+14×14=74814.【解】 ∵A (2,2),∴B (12,2),由抛物线的光学性质可知，BC 过焦点F ，又F (1，0)，直线BF 的斜率为. −22∴直线 BC 的方程为 y =−22(x−1),联立 y²=4x 可得点 C (2,−22)∴S ABC =12|AB|⋅|AC|=924.四、解答题(本题共5小题，共77分.)15.【解】 1)∵S ABC =312(a 2+c 2−b 2)=12ac sin B, ·2分 ∴a 2+c 2−b 22ac =3sin B, 即 cos B =3sin B, 4分∴tan B =sin B cos B =33 5分 又 0<B <π2,∴B =π6 6分(2)∵A +B +C =π:A +C =5π6∴C =5π6−A 7分 则 c a =sin Csin A =sin (5π6−A )sin A=12cos A +32sin A sin A , 8分 ∴c a =32+12tan A 10分∵△ABC 为锐角三角形∴{0<A <π20<C <π2{0<A <π20<5π6−A <π2⇒π3<A <π2 11分 ∴tan A ∈(3,+∞)⇒1tan A ∈(0,33) 12分∴c a =32+12tan A ∈(32,233) 13 分16.【解】(1)取BD 中点E ,在线段CD 上取点F ,使得DF =3FC ,连接EP ,EF ,FQ ,∵AQ =3QC ,∴QF ∥AD ,且QF =14AD 2分又E ,P 分别为BD ,BM 的中点, ∴PE ∥DM ,且 PE =12DM 3分{n ⋅MP =32x 2−34z 2=0,n .MC =y 2−32z 2=0. 令 x₂=1,得 y 2=3,z 2=2, 所以平面 DEF 的一个法向量为 n =(1,3,2). 12分所以 cos <m ,n >=m n |m ||n |=135×22=13220. 14分由图可知，二面角A -PC -M 为锐角，故二面角A -PC -M 的余弦值为 13220. … ………………15分17. 解:(1)椭圆E 的离心率为 22,椭圆E 上一点P 到左焦点的距离的最小值为 2−1 则 c a =22,a−c =2−1. …2分∴a =2,c =1· ……4分∵a²=b²+c² ∴b =1 …5 分 所以椭圆E 的方程为 x 22+y 2=1 …6分(2) 当直线斜率不存在时，设直线l ：x =m代入 x 22+y 2=1由OM ⊥ON 得 m =±63, 此时△OMN 的面积为 23…… ………………………8分当斜率存在时, 设直线l : y = kx +m , 设M (x ₁,y ₁), N (x ₂,y ₂)由 {y =kx +m x 22+y 2=1 得 (1+2k²)x²+4kmx +2m²−2=0,△=8(2k²−m²+1)>0,解得 2k²>m²−1x 1+x 2=−4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2−21+2k 2 9分因为OM ⊥ON , 所以 x₁x₂+y₁y₂=0 10分即 (1+k²)x₁x₂+km (x₁+x₂)+m²−2=0化简得 3m²=2k²+2…… 11分MN|=(1+k 2)Δ1+2k 2=8(1+k 2)(2k 2−m 2+1)1+2k 2,d =|m|1+k 2 · · ·12分 S OMN =12|MN|⋅d =2m 2(2k 2+1−m 2)(2k 2+1)令2k ²+1=t , t ∈[1,+∞), ………13分 则可化为 S OMN =2(t +1)(2t−1)9t 2=29(−1t 2+1t +2) 14 分当t =2时△OMN 面积有最大值，最大为 S OMN =22,当∵ t >1,∴S OMN >23综上所以S △OMN 的取值范围是 [23,22] 15分(请阅卷老师严格按照得分点给分到位)18.【解】(1) 解: f ′(x )=2ax +x−(a +2)=(x−2)(x−a )x(x⟩0)…2分①当0<a <2时,当x ∈(0,a )∪(2,+∞)时, f '(x )>0;当x ∈(a ,2)时, f '(x )<0;∴x ∈(0,a )和x ∈(2,+∞), 函数f (x )单调递增; x ∈(a ,2), 函数f (x )单调递减;…………………………………3分②当a =2时, f '(x )≥0恒成立, 所以f (x )在(0,+∞)上单调递增; ……4分③当a >2时, 当x ∈(0,2)∪(a ,+∞), f '(x )>0; 当x ∈(2,a )时, f ′(x )<0;∴x ∈(0,2)和x ∈(a ,+∞), 函数f (x )单调递增; x ∈(a ,2), 函数f (x )单调递减;…………………………………5 分(2) 解: 若函数有两个不同的零点x ₁,x ₂,由(1) 知:当0<a <2时, f (x )棱锥侧=f (a )=2a (ln a−1)−a 22<0,不合题意…6分当a =2时, f (x )在(0,+∞)上单调递增, 不合题意当a =2时, f (x )棱锥侧=f (2)=2a (ln 2−1)−2<0不合题意…7分∴a <0, 函数f (x )在x ∈(0,2)时单调递减, 在x ∈(2,+∞)|时单调递增，在x =2处取得极小值，………………………………………………………………………8分当 f (x )棱锥侧=f (2)=2a ln 2−2−2a <0,满足题意∴1ln 2−1<a <0, …………9分不妨令 0<x₁<2<x₂;令： F (x )=f (x )−f (4−x )=2a ln x +12x 2−(a +2)x−2a ln(4−x )−12(4−x )2+(a +2)(4−x ),(0<x <2)=2alnx -2aln (4-x )+4x +4a -2(a +2)x · 10分F ′(x )=2a (1x +14−x −1)=2a (x−2)2x (4−x )<0; 11分∴ 函数F (x )在x ∈(0,2)上单调递减;∴F (x )>F (2)=0, ………………12分∴f (x )>f (4−x )∴f (x₁)>f (4−x₁); …13分∵f (x₂)=f (x₁);∴f (x₂)>f (4−x₁)… ………14分 ∵0<x₁<2;∴4−x₁>2, 又因为函数f (x )在x ∈(2,+∞)上单调递增; …16分∴x₂>4−x₁,即 x₁+x₂>4………………………17分19. 解:(1) 4₅:3,1,4,2,5或A ₅:5,2,4,1,3A ₅:2,4,1,3,5或A ₅:5,3,1,4,2A ₅:1,3,5,2,4或A ₅:4,2,5,3,1A₅:2,5,3,1,4或A ₅:4,1,3,5,2A ₅:3,5,2,4,1或A ₅:1,4,2,5,3……5分 说明：每个0.5分(2) 由(1) 可知将A ₅:3,1,4,2,5记为A ₂₀₂₅的第一组数构造数列满足 aₖ₊₅=aₖ+5,……………………………………6分则对任意的k ∈{1,2,3…,405}, i ∈{2,3,4,5}|a₅ₖ₊ᵢ−a₅ₖ₊ᵢ₋₁|=|(aᵢ+5k )−(aᵢ₋₁+5k )|=|aᵢ−aᵢ₋₁|=2或3…7 分当i =1时, |a₅ₖ₊₁−a₅ₖ|=|(a₁+5k )−(a₅+5k−5)|=|a₁−a₅+5|=3 符合要求…8分∴ a₅ₖ₊₁=a₁+5k =3+5k;a₅ₖ₊₂=a₂+5k =1+5k;a₅ₖ₊₃=a₃+5k =4+5i k a₅ₖ₊₄=a₄+5k =2+5k;a₅ₖ₊₅=a₅+5k =5+5k x …9分综上所述： a n ={n +2,n−5k +1n−1n−5k +2n +1n−5k +3,k ≤N n−2,n−5k +4n n ,n =5k +5…10分。

湖南省郴州市2021-2022学年高一上学期期末教学质量监测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{1},{0,1,2}A xx B =≥=∣，则A B =（ ） A ．{0} B ．{1，2} C ．{1} D ．{0，1，2}2．cos120= A ．12BC ．12-D． 3．已知函数()()12,(3)log ,3x xx f x x x -⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，则()1f =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．已知正数a ，b 满足1a b +=，则19a b+的最小值为（ ） A ．6B ．8C ．16D ．205．若0.22021a =，0.2log 2021b =，20210.2c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．a c b >>D ．c a b >>6．函数()cos f x x x =⋅的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．7．现将函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ）A ．()sin 43g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()sin g x x =C ．()sin 12g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭8．函数()f x 为偶函数，且对任意()1212,[0,)∈+∞≠x x x x 都有()()12120f x f x x x ->-，则不等式()25(3)xf f -<的解集为（ ）A ．(,1)(3,)-∞+∞B ．(1,3)C ．(3),-∞D ．(1,)+∞二、多选题9．设, , a b c R ∈，a b <，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．a c b c +<+ B ．a b e e --> C ．22ac bc <D ．11a b> 10．下列命题正确的是（ ）A ．函数()()2ln f x x x =-的定义域为（1，+∞）B ．命题“20,0x x x ∀>+>”的否定是“20,0x x x ∃>+≤”C ．“α为锐角”是“sin 0α>”的必要不充分条件D ．方程3log 30x x +-=在区间()2,3上有实数根11．已知函数()|sin |f x x =，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小值为0 B ．()f x 的最小正周期为π C ．67f f ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()f x 是奇函数12．已知函数f （x ）对,x y R ∀∈都有()()()()++-=f x y f x y f x f y ，且()00f ≠.则下列结论正确的是（ ） A ．f （x ）为偶函数B ．若()0f e =，则()20f e =C ．()()222f x f x =-D ．若()10f =，则()()4f x f x +=三、填空题13．已知幂函数()f x kx α=的图象过点()2,4，则k α+=__________. 14．写出一个最小正周期为π的函数___________.15．为了提高员工的工作积极性，某外贸公司想修订新的“员工激励计划”新的计划有以下几点需求：①奖金随着销售业绩的提高而提高；②销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐上升；③必须和原来的计划接轨：销售业绩在10万元或以内时奖金为0，超过10万元则开始计算奖金，销售业绩为20万元时奖金为1千元.设业绩为x （10300x ≤≤）万元时奖金为f （x ）千元，下面给出三个函数模型：①()f x k x b =⋅+；②2()log f x k x b =⋅+；③2()f x k x b =⋅+.其中0,k b R >∈.请选择合适的函数模型，并计算：业绩为100万元时奖金为___________千元.16．已知函数()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=->><<的部分图像如图所示，设函数()266g x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 的值域为___________.四、解答题17．（1）求值：1382log 3lg2lg502+++；（2）已知x 是第三象限角，且tan 2x =，cos cos()2()sin()x x f x x ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-，先化简()f x ，再求()f x 的值.18．已知集合{26},{04},{121}A xx B x x C x m x m =<≤=<<=+<<-∣∣∣. （1）求A B ，()R A B ⋂；（2）B C C =，求实数m 的取值范围.19．已知0,1a a >≠，且log 101a >，若函数()log a f x x =在区间[a ，2a ]上的最大值与最小值之差为1. （1）求a 的值；（2）解不等式211327x ax-⎛⎫>⎪⎝⎭； （3）求函数()2()log 2a g x x x =-的单调区间.20．已知函数()2cos (sin )f x x x x =+（1）求f （x ）的最小正周期；（2）当,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数f （x ）的值域.21．习近平总书记指出：“我们既要金山银山，更要绿水青山.绿水青山就是金山银山.”某精细化工厂在生产时，对周边环境有较大的污染，该工厂每年的利润()f x （万元）与年产量x （吨）之间的函数关系为：()20.120700(60)4100(060)x x x f x x x ⎧-+->=⎨-<≤⎩（1）求该工厂利润最大时的年产量x （吨）的值，并求出最大利润；（2）某项环境污染物指数y （ppm ）与年产量x （吨）和环境治理费t （万元）之间的关系为：1y =-.其中0 6.39ppm y =为污染物指数安全线.该工厂按利润最大时的年产量进行生产，同时环境污染物指数不能超过安全线，则至少需要投入多少万元环境治理费？ 参考：234e 2.71818,e 7.39,e 20.09,e 54.60=≈≈≈，ppm 是百万分比浓度22．对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[,]m n D ⊆，同时满足：① ()f x 在[m ，n ]内是单调函数；② 当定义域是[m ，n ]时，()f x 的值域也是[m ，]n ；则称[m ，n ]是该函数的“美好区间”. （1）判断函数()13(0)f x x x=->是否存在“美好区间”，若存在，则求出m ，n 的值，若不存在，请说明理由；（2）已知函数()()2246(,0)aa x h x a R a a x+-=∈≠有“美好区间”[m ，n ]，当a 变化时，求出n m -的最大值.参考答案1．B 【分析】根据集合交集定义运算即可． 【详解】由于{1},{0,1,2}A xx B =≥=∣，所以{}1,2A B = 故选：B 2．C 【详解】()1cos120cos 18060cos602=-=-=-，故选C.3．A 【分析】可直接根据分段函数，求得()11f = 【详解】根据分段函数()f x 可知：()11121f -==故选：A 4．C 【分析】运用的“1的妙用”和基本不等式即可求解. 【详解】 由已知条件得()1919910b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭1016≥=， 当且仅当9b aa b =，1a b +=时，即14a =，34b =时等号成立.故选：C . 5．C 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与0、1的大小关系，由此可得出a 、b 、c 三个数的大小关系.【详解】0.20202120211a =>=，0.20.2log 2021log 10b =<=，2021000.20.21c <=<=，因此，a c b >>. 故选：C. 6．A 【分析】先求函数()f x 的定义域，并判断函数()f x 的奇偶性，从函数图像对称性角度排除部分选项，再以特殊值排除部分选项即可解决. 【详解】函数()cos f x x x =⋅定义域为R ，由()()cos()cos ()f x x x x x f x -=-⋅-=-⋅=-可知，函数()f x 为R 上奇函数，其图像关于原点中心对称，排除BD ； 由cos 0x x ⋅=可得，0x =或,Z 2x k k ππ=+∈,则0x =是函数()f x 的一个零点，2x π=是函数()f x 的第一个正值零点，由(0)0f =，()cos 0444f πππ==>可排除C ，选A.故选：A 7．D 【分析】根据三角函数的图象变换原则，由题中条件，即可得出结果. 【详解】将函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位，可得sin 2sin 2366y x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，再将sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数()g x 的图象，所以()sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：D. 8．B 【分析】先由题意判断出函数()f x 的单调性，再把关于偶函数()f x 的抽象不等式转化成整式不等式，解之即可. 【详解】由对任意()1212,[0,)∈+∞≠x x x x ，都有()()12120f x f x x x ->-，可知12x x <时，有()()12f x f x <，则函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，又函数()f x 为偶函数，则不等式()25(3)x f f -<可化为253x-<即228x <<，解之得13x << 故选：B 9．AB 【分析】由不等式的性质，x y e =的单调性及特殊值法，即可判断选项的正误. 【详解】A ：由不等式性质：不等式两边同时加上或减去同一个数，不等式符号不变，即a c b c +<+，正确；B ：因为x y e =在定义域内为增函数，由题意知a b ->-，故有a b e e -->，正确；C ：当0c 时，22ac bc =，故错误；D ：当0a b <<时，11a b<，故错误； 故选：AB. 10．BD 【分析】求出()f x 的定义域即可判断选项A ，根据命题的否定可以判断选项B ,举反例1sin 2α=时，π6α=或5π6即可判断选项C 不正确，利用零点存在性定理即可判断选项D . 【详解】对于选项A ，()f x 的定义域为20x x ->，故定义域为()(),01,-∞⋃+∞，则选项A 不正确； 对于选项B ，命题“20,0x x x ∀>+>”的否定是“20,0x x x ∃>+≤”, 则选项B 正确；对于选项C ，若“α为锐角”⇒“sin 0α>”，若“sin 0α>” 推不出“α为锐角”，例如：1sin 2α=时，π6α=或5π6，即“α为锐角”是“sin 0α>”的充分不必要条件；则选项C 不正确； 对于选项D ，令函数()3log 3f x x x =+-，其中()332log 223log 210f =+-=-<，()33log 33310f =+-=>，即()()230f f ⋅<，且()3log 3f x x x =+-在区间()2,3上单调递增，故存在0x 使()00f x =，方程3log 30x x +-=在区间()2,3上只有一个实数根0x x =,则选项D 正确. 故选：BD . 11．ABC 【分析】对选项A ，结合正弦函数的值域和绝对值直接可得；对选项B ，根据周期函数的定义可得到()()f x f x π=+即可；对选项C ，根据正弦函数的单调性，可得67f f ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；对选项D ，根据定义判别函数的奇偶性，可得()f x 为偶函数.【详解】对选项A ，1sin 1x -≤≤，则0|sin |1x ≤≤，故选项A 正确；对选项B ，()|sin ||sin |x x π=+，即有：()()f x f x π=+，故选项B 正确；对选项C ，sin 66f ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，sin 77f ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由正弦函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则有：67f f ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项C 正确； 对选项D ，()()|sin |,()|sin ||sin |,f x x f x x x =-=-=故()f x 为偶函数，故选项D 错误. 故选：ABC 12．ACD 【分析】根据条件，利用赋值法逐一判断即可. 【详解】因为函数f （x ）对,x y R ∀∈都有()()()()++-=f x y f x y f x f y ，且()00f ≠.所以令0x y ==可得()()()2000f f f +=，所以()02f =令0x =可得()()()(0)()2f y f y f f y f y +-==，所以()()f y f y =-，所以()f x 为偶函数，故A 正确；令x y e ==可得(2)(0)()()f e f f e f e +=，所以(2)2f e =-，故B 错误；令y x =可得()()222f x f x =-，故C 正确；若()10f =，则(1)(1)()(1)0f x f x f x f ++-==，所以(1)(1)f x f x +=-- 所以()()()42f x f x f x +=-+=，故D 正确； 故选：ACD 13．3 【分析】先由幂函数定义1k =，再代入点的坐标即可求解. 【详解】解：由幂函数定义知，1k =，又过()2,4，所以422,αα==，3k α+=， 故答案为：3 【点睛】考查幂函数定义的应用，基础题. 14．()sin2f x x =（答案不唯一） 【分析】直接利用周期的公式写出解答. 【详解】解：由于正弦型函数的最小正周期2,2||T w w ππ==∴=±， 所以这个函数可以是()sin2f x x =（答案不唯一）. 故答案为：()sin2f x x =（答案不唯一） 15．33 【分析】根据“销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐上升”可知，给出的模型中只有2()f x k x b =⋅+满足，“必须和原来的计划接轨”表明，当10x =时，0y =，再结合“销售业绩为20万元时奖金为1千元”可知，当20x 时，1y =，然后解出方程即可【详解】根据题意，当0,k b R >∈时，给出三个函数模型均满足“奖金随着销售业绩的提高而提高”，而只有模型“2()f x k x b =⋅+”满足“销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐上升”，故模型选择：2()f x k x b =⋅+根据题意，则有：10004001k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得：130013k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩则模型为：21()30130f x x =- 当100x =时，21()1001033330f x -==⨯ 故答案为：3316．9[,4]4-【分析】根据给定图象结合“五点法”作图求出函数()f x 的解析式，再求出函数()g x ，利用二倍角公式化简，借助二次函数即可求解作答. 【详解】观察函数()f x 图象知，令函数()f x 周期为T ，则22362T πππ=-=，即T π=，22T πω==，而当6x π=时，()cos(2)f x A x ϕ=-取得最大值，则22,Z 6k k πϕπ⨯-=∈，又0ϕπ<<，则有0,3k πϕ==，又1(0)cos()cos()132f A A A πϕ=-=-==，解得2A =，因此，()2cos(2)3f x x π=-，则()2cos[2()]2cos[2(2)]2cos 22cos 46363g x x x x x ππππ=+-++-=+22194cos 22cos 224cos 244x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，因1cos21x -≤≤，则当1cos 24x =-时，()min 94g x =-，当cos21x =时，max ()4x g =，所以()g x 的值域为9[,4]4-. 故答案为：9[,4]4- 【点睛】方法点睛：求含sin x 或cos x 的二次型函数的值域或最值问题，可以直接配方整体思想求解； 也可以换元转化成二次函数在闭区间上的值域或最值问题求解.17．（1）7；（2）()cos f x x =-【分析】（1）以实数指数幂的运算性质和对数运算性质解之即可；（2）先以三角函数诱导公式化简函数()f x ，再以同角三角函数关系解之即可.【详解】（1）1382log 3lg2lg502+++133(2)lg(252370)23=++++==⨯（2）()cos cos()sin cos 2()cos sin()sin x x x x f x x x x ππ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭===-- ∵ tan 2x =，∴ sin 2cos x x =代入22sin cos 1x x +=得25cos 1=x∵ x 是第三象限角，∴cos x =故()cos f x x =-=18．（1）{06}A B xx ⋃=<≤∣，{}()24R A B x x x ⋂=≤≥或（2）5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【分析】（1）利用集合并集、交集和补集的运算法则直接求解即可；（2）由已知条件B C C =可知C B ⊆，则对集合C 分成C =∅和C ≠∅两类进行讨论，最后两者结果求并集即可.（1）由已知得{06}A B xx ⋃=<≤∣； ∵{}24A B x x ⋂=<<，∴{}()24R A B x x x ⋂=≤≥或；（2）∵B C C =，∴C B ⊆，当集合C =∅时，121m m +≥-，即2m ≤；.当集合C ≠∅时，12110214m m m m +<-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，即522m <≤，综上所述，实数m 的取值范围为5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 19．（1）2（2）()1,3-（3）增区间为(2,+∞），减区间为(,0)-∞【分析】（1）由log 101a >可知1a >，知函数()log a f x x =在区间[a ，2a ]上单调递增，据题意列方程即可求得参数a 的值；（2）由13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，可以把所求指数不等式转化成整式不等式，解之即可； （3）由“同增异减”的复合函数单调性判断规则解之即可.（1） 1log 100lg a a =>，∴ lg 0a >，∴ 1a >. ∴ log a y x =在[a ，2a ]上为增函数，函数()log a f x x =在区间[a ，2a ]上的最大值为log (2)a a ，最小值为log a a则log (2)log 1,2a a a a a -=∴=（2）由（1）可知，不等式211327x ax -⎛⎫> ⎪⎝⎭即2231113273x x -⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减， ∴223x x -<，解之可得13x∴ 所求不等式的解集为()1,3-（3）由（1）知函数()2()log 2a g x x x =-即()22()log 2g x x x =-要使函数有意义，有220x x ->，即(,0)(2,)x ∞∞∈-⋃+，令22,()u x x y u x =-=在(,0)-∞单调递减，在(2,)+∞单调递增；因为函数2log y u =在(0,)+∞单调递增，.由复合函数的单调性可知：()y g x =的增区间为(2,+∞），减区间为(,0)-∞20．（1）π（2）[2]【分析】（1）利用降幂公式及辅助角公式化简三角函数解析式，然后由周期公式即可求解； （2）利用整体思想，结合正弦函数的图象，即可求解函数f （x ）的值域.（1）解：因为21cos 2()2sin cos sin 22x f x x x x x +=++sin22sin 23x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 所以函数()y f x =的最小正周期为22T ππ==； （2）解：当,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，52336x πππ-≤+≤，∴sin 23x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，()2sin 2[2]3y f x x π⎛⎫∴==+∈ ⎪⎝⎭，所以()y f x =的值域为[2].21．（1）年产量100（吨）时，有最大利润300万元（2）53.60万元【分析】（1）分别在两个区间(]0,60和()60,∞+求函数的最大值，两个最大值之中的较大者为分段函数()f x 的最大值；（2）把指数不等式转化成对数不等式，再转化成整式不等式即可得解.（1）当060x <≤时，()4100(60)140f x x f =-≤=，当60x >时，()()220.1207000.1100300300f x x x x =-+-=--+≤，综上可知max ()(100)300f x f ==（万元）；即年产量100（吨）时，有最大利润300万元；（2）由（1）可知100x =，则有101ln(1)0e1 6.39t y y ++=-≤=. 即()101ln 12e 7.39e t ++≤≈，可得1021ln(1)t ≤++ 整理得4ln(1)4ln e t +≥=，则4153.60t e ≥-≈即：至少需要投入53.60万元环境治理费才满足要求.22．（1）存在，m n ==（2【分析】 （1）按函数()13(0)f x x x=->的单调区间分类讨论()f x 在区间[m ，n ]上的值域，根据题目要求列方程解之即可；（2）由数()h x 有“美好区间”[m ，n ]，可推导出参数a 需满足的条件，进而求出以参数a 表示的n m -的代数式的最大值.（1）函数()f x 存在美好区间.假设存在美好区间[m ，n ]，由函数f （x ）的定义域为(0,)+∞，∴ n >m >0∵()13,(0)f x x x =->∴()113,3 113,03x x f x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩ 由“美好区间”的定义可知：1）当1,0,3m n ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1()3f x x =-在（0，13）上为减函数， 故有()()f m n f n m =⎧⎨=⎩，即1313n m m n⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，此时实数m ，n 的值不存在 2）当1,,3m n ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭时，1()3f x x =-在1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数. 故有()()f m m f n n =⎧⎨=⎩，即1313m m n n ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩由此可得m ，n 是方程2310x x -+=的根.解得x =13>，所以此时成立 综上所述，函数()f x存在美好区间，其中m n ==（2）设[m ，n ]是()()2246(0)a a x h x x a x +-=≠的美好区间，则[,](,0)m n ∞⊆-或[,](0,)m n ∞⊆+，.故函数()()2224646a a x a h x a x a a x+-+==-在[m ，n ]上单调递增. 由[m ，n ]是函数()h x 的“美好区间”，则()()f m m f n n =⎧⎨=⎩， 故m ，n 是方程246a x a a x +-=，即()222460a x a a x -++=的同号的相异实数根. 由260mn a =>，可知m n ，同号，只须()22880a a a ∆=+->，即4a >-+4a <--()h x 有“美好区间”[m ，n ]. 此时()()()2222211124n m x x x x x x -=-=+- 2228811832a a a a +-⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭由4a >-+4a <--1a ⎫⎛∈⋃⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭故当112a =即2a =时，n m -。

2023届湖南省郴州市高三上学期第一次教学质量检测物理试题一、单选题 (共7题)第(1)题绿色环保低碳出行已经成为一种时尚，新能源汽车越来越受市民的喜爱，正在加速“驶入”百姓家，某家用交流充电桩的供电电路如图所示。

已知总电源的输出电压为U1=250V，输电线的总电阻r=20Ω，变压器视为理想变压器，其中升压变压器原副线圈的匝数比为n1：n2=1：8，汽车充电桩的额定电压为U4=220V，额定功率为9.5kW。

当汽车以额定电压充电时，下列说法中正确的是（ ）A．通过输电线的电流为5AB．电源的输出功率为10.5kWC．输电线因发热而损失的功率为输送功率的4%D．降压变压器原、副线圈的匝数之比为100：11第(2)题如图所示，质量分别为m1=1kg和m2=2kg的两个大小完全相同的物块，通过轻绳相连，并连接在装有定滑轮的小车上，不计一切摩擦。

在水平推力F1的作用下m1紧贴着小车，且小车和两个物块恰好一起向右做初速度为零的匀加速运动，若将图中两个小物块的位置互换，在水平推力F2的作用下m2紧贴着小车，使得小车和两个物块恰好一起向右做初速度为零的匀加速运动，若两次运动的时间相同，则两次小车运动的位移之比为（）A．1：1B．2：1C．1：4D．以上都有可能，与小车的质量有关第(3)题下列说法正确的是（ ）A．质子的德布罗意波长与其动能成正比B．天然放射的三种射线，穿透能力最强的是射线C．光电效应实验中的截止频率与入射光的频率有关D．电子束穿过铝箔后的衍射图样说明电子具有波动性第(4)题如果把重庆看成一幅大型立体山水画，那么在长江上划破天际的两组索道就是这幅画作里的“点睛之笔”。

如题图所示，索道轿厢通过四根等长的吊臂吊在钢丝上，取每根吊臂的张力沿吊臂方向，每根吊臂与水平方向的夹角接近45°，轿厢和乘客的总重力为。

轿厢匀速运动时，与的关系最接近（ ）A．B．C．D．第(5)题宇宙世界含有大量的未知星体，判断星体的物质组成需要估算该星体的平均密度，现在发射航天器在该星体表面绕球心飞行，假定该星体是质量分布均匀的球体，引力常量为，则要估算该星体的平均密度，只需测量出（）A．航天器的质量B．航天器的体积C．未知星体的质量D．航天器飞行一周的时间第(6)题如图所示，一根玻璃管上端开口下端封闭，上管的内径小于下管的内径。

2023届湖南省郴州市高三上学期第一次教学质量监测物理试题一、单项选择题（本题包含8小题，每小题4分，共32分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题把墨汁用水稀释后取出一滴放在高倍显微镜下观察，可以看到悬浮在液体中的小炭粒在不同时刻的位置，每隔一定时间把炭粒的位置记录下来，最后按时间先后顺序把这些点进行连线，得到如图所示的图像，对于这一现象，下列说法正确的是（ ）A．炭粒的无规则运动，说明碳分子运动也是无规则的B．越小的炭粒，受到撞击的分子越少，作用力越小，碳粒的不平衡性表现得越不明显C．观察炭粒运动时，可能有水分子扩散到载物片的玻璃中D．将水的温度降至零摄氏度，炭粒会停止运动第(2)题2022年2月5日，中国队获得北京冬奥会短道速滑项目混合团体接力冠军。

短道速滑是在长度较短的跑道上进行的冰上竞速运动。

如图所示，将运动员在短时间内的某一小段运动看作匀速圆周运动，则关于该小段运动下列说法正确的是（ ）A．运动员受到冰面的恒力作用，做匀速运动B．运动员受到冰面的恒力作用，做匀变速运动C．运动员受到冰面的变力作用，做变加速运动D．运动员受到冰面的变力作用，做匀变速运动第(3)题某一质检部门为检测一批矿泉水的质量，利用干涉原理测定矿泉水的折射率。

方法是将待测矿泉水填充到特制容器中（不考虑器壁对光的影响），放置在双缝与荧光屏之间（之前为空气），如图所示，特制容器未画出，通过比对填充后的干涉条纹间距x2和填充前的干涉条纹间距x1就可以计算出该矿泉水的折射率。

若实验测得双缝间距d=0.4mm，缝屏间距L=0.6m，x1=0.75mm，x2=0.60mm，则该矿泉水的折射率为（ ）A．1.25B．1.35C．1.45D．1.50第(4)题如图所示，王亚平在天宫课堂上演示了水球光学实验，在失重环境下，往大水球中央注入空气，形成了一个空气泡，气泡看起来很明亮，其主要原因是（ ）A．气泡表面有折射没有全反射B．光射入气泡衍射形成“亮斑”C．气泡表面有折射和全反射D．光射入气泡干涉形成“亮纹”第(5)题力学范围内，国际单位制规定的三个基本单位是（ ）A．N、kg、m/s2B．m/s、kg、sC．m、kg、s D．s、N、kg第(6)题斜面ABC固定在水平面上，AB面光滑，BC面粗糙，AB长度是BC长度的3倍。