第一讲-和倍问题

第一讲：和倍问题【知识点】已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的应用题，叫做和倍应用题。

基本数量关系：和÷倍数和=较小数【例1】学校有科技书和故事书共480本，科技书是故事书的3倍，两种书各有多少本？【思路导航】把故事书的本数看作1份，那么科技书的本数就是这样的3份，两种书的本数就是1+3=4份。

把480本书平均分成4份，1份就是故事书的本数，3份就是科技书的本数。

【练习1】用锡和铝制成的合金是720千克，其中铝的质量是锡的5倍，铝和锡各用了多少千克？【练习2】一块长方形黑板的周长是96分米，长是宽的3倍，这块长方形黑板的长和宽各是多少分米？【例2】果园里有梨树、桃树和苹果树共1200棵，其中梨树的棵树是苹果树的3倍，桃树的棵树是苹果树的4倍。

求梨树、桃树和苹果树各有多少棵？【思路导航】如果把苹果树的棵树看作1份，三种树的总棵树是1+3+4=8份。

所以，苹果树有1200÷8=150（棵），梨树有150×3=450（棵），桃树有150×4=600（棵）【练习1】专业户李大伯养鸭、鸡、鹅共960只，养鸡的只数是鹅的3倍，养鸭的只数是鹅的4倍。

鸡、鸭、鹅各养了多少只？【练习2】商店有铅笔、钢笔、圆珠笔共560支，圆珠笔的支数是钢笔的3倍，铅笔的支数和圆珠笔的支数同样多。

铅笔、钢笔、圆珠笔各有多少支？【例3】少先队员种柳树和杨树共216棵，杨树的棵树比柳树的棵树的3倍多20棵，两种树各种了多少棵？【思路导航】如果杨树少种20棵，那么杨树和柳树的总棵树是216-20=196棵，这时杨树的棵树恰好是柳树的3倍，柳树的棵树是196÷（3+1）=49棵，杨树的棵树是216-49=167（棵）。

【练习1】小华和小明两人参加数学竞赛，两人共得168分，小华的得分比小明的2倍少42分，两人各得了多少分？【练习2】学校购买了720本图书分给高、中、低三个年级段，高年级段分得的比低年级段的3倍多8本，中年级段分得的比低年级段的2倍多4本。

四年级奥数讲义本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March第一讲和倍问题知识点：已知两个量的和与这两个量的倍数关系，要我们求这两个量分别是几。

和÷（倍数+1）= 较小数；较小数 × 倍数= 较大数；和－较小数= 较大数例1：甲、乙两个仓库共存货物960吨，已知甲仓库所存货物是乙仓库的2倍，问甲、乙两个仓库各存货物多少吨？例2：果园里有梨树，苹果树和桃树共1800棵，其中梨树的棵数是苹果树的2倍，桃树的棵数是苹果树的2倍，问三种树各多少棵例3：学校里的足球只数是排球的3倍，篮球的只数是排球的5倍，足球和篮球共72只，问三种球各多少只？例4：三块钢板共重207千克，第一块的重量是第二块的3倍，第二块的重量是第三块的2倍，第三块钢板重多少千克？例5：某小学购进红粉笔和白粉笔共244盒，购进的白粉笔比红粉笔的7倍少12盒，问购进红粉笔、白粉笔各多少盒？例6：两箱茶叶共重88千克，如果从甲箱取15千克放入乙箱，那么乙箱的重量是甲箱的3倍，问两箱原有茶叶各多少千克？例7：甲水池有水1500升，乙水池有水1200升，每分钟从甲水池流入乙水池25升水，问多少分钟后乙水池的水是甲水池的2倍？自我检测：填空。

小红和妈妈的年龄加在一起是40岁，妈妈的年龄是小红年龄的4倍。

妈妈岁，小红岁。

生产队养公鸡、母鸡共404只，其中公鸡是母鸡的3倍。

公鸡有只，母鸡有只。

小明买语文本和数学本共25本，其中语文本比数学本的2倍多4本，语文练习本买了本，数学练习本买了本。

师傅和徒弟一共生产零件190个，师傅生产的个数比徒弟的3倍少10个。

徒弟生产零件个，师傅生产零件个。

A、B两人同时从学校出发相背而行，2小时共行48千米，A的速度是B的2倍，求A的速度是，B的速度是。

一块长方形木板，长是宽的2倍，周长是54厘米。

这块长方形木板的长是厘米，宽是厘米，面积是平方厘米。

第一讲和倍问题➢点击例题1书架上，上下两层共有书180本，如果从上层取下15本放入下层，那么下层的本数正好是上层的2倍，两层原来各有多少本书？➢思路导航由“上,下两层80本,如果从上层取下15本放入下层,那么下层共有的本数是上层的2倍”可求出上层现在的本数,由此可求出上层原来的本数和下层原来的本数。

解：上层现在的本数：180÷（2＋1）=60（本）上层原来的本数：60+15=75（本）下层原来的本数：180-75=105（本）答：上层原来有75本，下层原来有105本。

练习1：1甲，乙两数的和是45，甲数是乙数的2倍，甲，乙两数各是多少？2 甲，乙两箱苹果共重96千克，如果从乙箱取出12千克放入甲箱，那些甲箱的重量是3倍，两箱原来各有苹果多少千克？3 养鸡场的种鸡和肉鸡共有2354只，后来卖了700只肉鸡，又买来150只种鸡，现在肉鸡比种鸡的5倍多88只。

原来种鸡和肉鸡各有多少只？➢点击例题2：1 师徒二人共同工作3小时，一共生产了450个零件，已知师傅的工作效率是徒弟的2倍，求师，徒每小时各生产了多少零件？➢思路导航本题没有直接告诉师徒每小时的效率“和”所以在解答时应先求出师徒二人的效率和。

解：根据题意：1)先求出师徒二人每小时一共生产了多少零件。

450÷3=150（个）2)徒弟每小时生产了多少零件。

150÷（2+1）=50（个）3)师傅每小时生产了多少零件。

50×2=100（个）答：师傅每小时生产了100个零件，徒弟每小时生产了50个零件。

练习2：1 甲、乙两车同时从县城向相反的方向行驶，6小时一共行驶了720千米，甲车速度是乙车的2倍，求甲、乙每小时各行驶多少千米？2一个长方形的周长是108厘米，长是宽的2倍，求这个长方形的长和宽各是多少厘米？➢点击例题3第一旅游团有78人，第二旅游团有82人，因为车程安排问题，要使第一旅游团的人数是第二旅游团人数的3倍，那么必须从第二旅游团调多少人到第一旅游团？➢思路导航第二旅游团调到第一旅游团，虽然两个旅游团的人数发生了变化，但总人数没有发生变化。

四年级奥数课堂第一讲和倍问题（专题讲解）已知两个数的和与两个数间的倍数关系，求出这两个数的应用题，叫“和倍问题”。

（解题技巧）根据题目所给的条件和问题，画出线段图，使数量关系一目了然。

正确列式的关键是，要找出两数和，以及与之对应的倍数和，先求出1倍数也就是每份的数（小的数）再求几倍数（大的数，）以下和倍问题常用的基本等量关系是：小的数（1倍数）=两数和÷（倍数+1）大的数（几倍数）=小的数（1倍数）×倍数两数和-小的数（1倍数）=大的数（几倍数）例题1：水果批发站有苹果和梨共48筐，苹果的筐数是梨的2倍，两种水果各有多少筐？例题2：甲仓库存粮104吨，乙仓库存粮140吨，要使甲仓库的存粮是乙仓库的3倍，那么必须从乙仓库运出多少吨，放入甲仓库？趁热打铁习题1.学校为培养孩子们的环保意识，组织全校循环利用课外读物。

三、四年级共捐书1200本，四年级是三年级捐书数目的2倍。

三、四年级各捐书多少本？2.诺贝尔文学奖获得者莫言准备和某小学的学生座谈。

学校组织了240名学生，其中女生是男生的3倍。

那么，女生和男生各有多少名？3.有两车间，甲车间有85人，乙车间有65人，甲车间调出一部分人到乙车间，使乙车间人数正好是甲车间的4倍，那么甲车间调出多少人到乙车间？4.甲水池有水2600立方米，乙水池有水1200立方米，如果甲水池里的水以每分钟23立方米的速度流入乙水池，那么多少分钟后，乙水池的水是甲水池的4倍？5.“中国好声音”海选时，原计划一天共有231人参加，如果把第二天的21人移到第一天下午，那么第一天下午的人数正好是上午的2倍。

第一天上午和下午原计划各有多少人参加？例题3：水果店里有苹果和梨共123筐，已经卖出8筐苹果和15筐梨，剩下苹果的筐数正好比梨多3倍，水果店原有苹果和梨各多少筐？例题4：动物园里有猴子和长颈鹿共180只，其中猴子的只数比长颈鹿的3倍少8只。

动物园里有猴子和长颈鹿各多少只？例题5：两数之和为20，大数的3倍与小数的5倍的和为74，求这两数。

精心整理（本第一讲和倍问题和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数的应用题为了帮助我们理解题意，弄清两种量彼此间的关系，常采用画线段图的方法来表示两种量间的这种关系，以便于找到解题的途径。

例甲班和乙班共有图书本甲班的图书本数是乙班的倍，甲班和乙班各有图书多少 本？分析设乙班的图书本数为份，则甲班图书为乙班的倍，那么甲班和乙班图书本数的和相当于乙班图书本数的倍还可以理解为份的数量是本，求出份的数量也就求出了乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数用下图表示它们的关系：解：乙班：-F （）（本） 甲班：X （本） 或（本）答：甲班有图书本，乙班有图书本。

这道应用题解答完了，怎样验算呢？可把求出的甲班本数和乙班本数相加，看和是不是本；再把甲班的本数除以乙班本数,看是不是等于倍如果与条件相符，表明这题作对了注意验算决不是把原式再算一遍。

验算：+（本）F （倍）。

例甲班有图书本，乙班有图书本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的 倍？分析解这题的关键是找出哪个量是变量，哪个量是不变量从已知条件中得出，不管甲班给乙班多少本书，还是乙班从甲班得到多少本书，甲、乙两班图书总和是不变的量最后要求甲班图书是乙班图书的倍，那么甲、乙两班图书总和相当于乙班现有图书的倍依据解和倍问题的方法，先求出乙班现有图书多少本，再与原有图书本数相比较，可以求出甲班给乙班多少本书（见上图）。

解：①甲、乙两班共有图书的本数是： +（本）② 甲班给乙班若干本图书后，甲、乙两班共有的倍数是： +二（倍）③ 乙班现有的图书本数是：F④甲班给乙班图书本数是：（本）综合算式：（+）4-（）（本）（本）答：甲班给乙班本图书后，甲班图书是乙班图书的倍。

验算：（）4（）=（倍）（）（）=（本）。

例光明小学有学生人，其中男生比女生的倍少人，男、女生各有多少人？分析把女生人数看作一份，由于男生人数比女生人数的倍还少人，如果用男、女生人数总和人再加上人，就等于女生人数的倍（见下图）。

第一讲和倍问题1.欢欢和迎迎共有图书480本,迎迎的图书本书是欢欢的3倍,迎迎有图书多少本?2.欢欢和迎迎共有图书100本,迎迎的图书本数比欢欢的3倍多8本,迎迎有图书多少本?3.一块长方形黑板的周长是96分米,长是宽的3倍,这块黑板的长和宽各是多少?4.水果店运来苹果和梨共240千克,其中苹果比梨的4倍还少40千克,水果店运来苹果和梨各多少千克?5.有甲﹑乙﹑丙三数之和是360,又知甲为乙的3倍,丙为乙的2倍,求甲﹑乙﹑丙各是多少?6.有甲﹑乙两个粮库共存粮360吨,甲粮库运出40吨粮给乙粮库后,甲粮库存粮的吨数是乙粮库的2倍,甲粮库原来存粮多少吨?7.两数相除的商是5,被除数﹑除数的和是180，被除数﹑除数各是多少？8.两数相除的商是5，余数是10，被除数﹑除数的和是190，被除数﹑除数各是多少？9.有两堆棋子，第一堆有87个，第二堆有69个，从第一堆拿多少个棋子到第二堆，就能使第二堆的棋子个数是第一堆的3倍？10.有甲﹑乙﹑丙三数之和是400，又知甲是乙的3倍，丙为甲的4倍，求有甲﹑乙﹑丙各是多少？11.有两堆棋子，第一堆有87个，第二堆有69个，每次从第一堆拿8个棋子到第二堆，多少次后第二堆棋子的个数是第一堆的3倍？12.三个数的和是1540，甲数是丙数的7倍，乙数比甲数多40。

求甲﹑乙﹑丙各是多少？13.小强有邮票20张，大伟有邮票25张，大伟给小强多少张后，小强的邮票张数是大伟的4倍？14.有这样的两个整数，它们的和是616，如果将其中一个数的最后一位数字0去掉，那么这个数字就与另一个数一样去，这两个数各是多少？15.两数相除的商是5，余数是10，，被除数﹑除数﹑商的和是195，，被除数﹑除数各是多少？16.两数相除的商是5，余数是10，，被除数﹑除数﹑商数﹑余数的和是205，，被除数﹑除数各是多少？。

第一讲和倍问题一．定义已知大小两个数的和与他们的倍数关系，求大小两个数的应用题叫和倍问题二．公式小数=和÷（倍数+1）大数=和—小数或大数=小数×倍数三．例题1.乡政府要投资12万元兴建希望小学，第一期工程投资款是第二期工程投资款的2倍。

问：第二期工程投资是多少元？2.池塘里有鸭和鹅共20只，鸭的只数是鹅的3倍。

问：池塘里有鸭和鹅各有多少只？3.学校开联欢会，买果糖，酥糖，奶糖共66千克。

其中果糖是酥糖的2倍，奶糖是酥糖的3倍。

问：果糖，酥糖，奶糖各有多少千克？‘4.哥哥有书69本，妹妹有书15本。

问：要使哥哥的书是妹妹的5倍，妹妹应该给哥哥多少本？5.三（1）班图书角有图书60本，借走的比剩下的2倍少12本。

问：剩下了多少本书？6.新丰果园有苹果树，梨树，桃树共100棵。

苹果树的棵树是桃树的2倍，梨树比苹果树少15棵。

问：苹果树，桃树，梨树各有多少克？7.甲，乙两个车间共有工人60名，因工作需要把乙车间12名工人调到甲车间，这时甲车间的人数是乙车间的2倍。

问：甲，乙车间原来各有工人多少名？8.某钢厂年生产量是200万吨，第二季度是第一季度的2倍，第三季度是第一季度的3倍。

第四季度是第一季度的4倍。

问：四个季度的生产量各是多少万吨？9.有两层书架，共有书137本。

从第一层拿走28本书后，第二层的书比第一层的2倍还少5本。

问：第二层有多少本书？10.15名同学参加航模比赛，其中女生人数的6倍是男生人数的3倍。

问：参加航模拟比赛的男，女人数各是多少？11.一个长方形，周长是60分米，长是宽的2倍。

问：这个长方形的面积是多少平方分米？12.师傅和徒弟3小时共生产90个零件，师傅的工作速度是徒弟的工作速度的2倍。

问：师傅和徒弟每小时各生产多少个零件？。

〖课前练习〗1、直接写得数6×15= 253-199= 8×15= 0×15= 99+58= 9×15= 4×25= 202+197= 374-98= 8×25= 8×125= 16×15=2、列竖式计算620×5= 309×8= 675+269= 1000-348=3、已知每张正方形卡片的周长是28厘米，将两个正方形拼成一个长方形，它的周长是多少厘米？4、一根铁丝刚好围成一个长4米，宽2米的长方形，如果用这根铁丝围成一个正方形，那么正方形的边长是多少？第一讲和倍问题（一）〖专题简析〗已知两个数的和与两个数间的倍数关系，求这两个数分别是多少，像这样的问题，通常叫做“和倍问题”。

要想顺利地解答和倍应用题，必须理解题意，理清数量关系，有时也可以根据题意画出线段图，帮助我们正确列示解答。

解答和倍应用题的关键是要找出两数的和以及与其对应的倍数和，从而先求出1倍数，再求出几倍数。

数量关系可以这样表示：〖王牌例题〗例1：小刚家养了公鸡和母鸡一共45只，公鸡的只数是母鸡的4倍，小刚家养的公鸡和母鸡各多少只？〖举一反三〗1、学校将36本图书分给二、三两个年级，已知三年级所分得的本数是二年级的5倍。

问二、三两个年级各分得多少本图书？2、水果店运来苹果和梨共540千克，苹果是梨的一半，两种水果各运来多少千克？3、小强在文具店买了一枝钢笔和一枝铅笔，共用去3元6角，买一枝钢笔的钱可以买三枝铅笔，铅笔、钢笔各多少钱一枝？例2：师徒两人共同工作3小时，一共生产了45个零件，已知师傅每小时生产的零件是徒弟的2倍，问师、徒每小时各生产了多少个零件？〖举一反三〗1、甲、乙两人同时从县城向相反的方向骑自行车行驶，6小时一共行驶了72千米，甲每小时行驶的是乙每小时行驶的2倍，求甲、乙两车每小时各行驶多少千米？2、育英小学买了2套校服，花了120元，上衣的价钱是裤子价钱的2倍，买一件上衣和一条裤子各需多少钱？3、三（5）班同学做了50朵纸花，红花是白花的4倍，红花比白花多多少朵？〖课后巩固〗1、小红和小明共有压岁钱80元，小红的压岁钱数是小明的3倍。

四年级奥数专题三专题四：应用题（二）第一讲：和倍问题教学目的和倍问题就是已知两个（或几个）数量的和，以及这两个（或几个）数量之间的倍数关系，求这两个（或几个）数各是多少的应用题。

1.和倍数特征：和倍问题的主要特征是已知两个数的“和”与这两个数中以一个数为一倍数，另一个数是这个数的几倍而构成两数和与两数倍数的已知条件为特征的应用题。

2.数量之间的关系：和÷（倍数+1）=1倍数1倍数×倍数=几倍数=和-1倍数3.解题方略：根据题目中所给的已知条件和问题，画出线段图使数量关系一目了然，以达到正确迅速求解的目的。

练一1、学校田径场的男生、女生一共有40人，其中男生的人数是女生人数的4倍，求男生、女生各有多少人？2、甲乙两班共有图书315本，其中甲班的本数是乙班的2倍，求甲乙两班各有图书几何本？练二1、北京夏令营共有560个同学，其中男生人数比女生人数的2倍少40人，男生、女生各有几何人？2、植树节到了，学校准备植桂花树、杉树共400棵，其中桂花树的棵树是杉树的5倍少44棵，桂花树和杉树各有几何棵？练三1、果园里有苹果树、梨树、桃树共840棵，梨树的棵树是桃树的2倍，苹果数的棵树是桃树的3倍，三种果树各有多少棵？2、一个牧场有牛、羊、兔共234只，羊的只数是兔的2倍，牛的只数是兔的3倍，求牧场牛、羊、兔各有几何只？练四1、新华商场与永兴商场的总面积为9800平方米，已知新华商场的面积比永兴商场的面积多3倍，求新华商场和永兴阛阓的面积各是几何平方米？2、学校买回足球和排球共98个，已知足球的个数比排球的个数多5倍，学校买回足球、排球各多少个？练五1、甲、乙水泥堆栈共存水泥124吨，从甲堆栈拿出15吨放入乙堆栈，这是乙堆栈的水泥是甲堆栈的3倍，甲、乙两堆栈原来各存水泥几何吨？2、学校体育室共有垒球102个，同时借给三年级甲、乙两个班，如果甲班取10个给乙班，则甲班球的个数正好是乙班的2倍，原来两个班各有垒球几何个？作业1、甲桶有油25千克，乙桶有油17千克，乙桶倒入多少千克油给甲桶，甲桶油是乙桶油的五倍？2、某水果超市运来XXX和香蕉共350千克，其中XXX 的质量比香蕉的3倍多还22千克，问XXX和香蕉各运来了多少千克？3、盒中有红球、白球、黑球共42个，白球的个数是黑球的2倍，红球的个数是黑球的一半，求盒中有红球、黑球、白球各几何个？4、XXX和爸爸的年岁和是45岁，爸爸的年岁比XXX的年岁多3倍，求爸爸和XXX各是几何岁？5、甲班有图书225本，乙班有图书90本，甲班给乙班多少本，甲班的本数就是乙班的2倍？第二讲：差倍问题教学目的两个数的差以及两个数之间的倍数关系，求这两个数各是几何的使用题，我们称之为“差倍问题”。

应用问题《和倍问题1》教学内容：（浙教版数学）小学三年级上册P28，P29适用对象：小学三年级学生教学背景:这节课学生主要学习a+a×b两步复合应用题，借助线段图帮助学生理解抽象数量关系，并初步掌握不同的计算方法，这节课的另一个重点是让学生掌握解决问题的一般方法：先整理信息，分析关系，再列式计算，最后回顾检验。

这种解题方法将对学生日后解决多步复合应用题有重要的作用，因此在教学时也要注意这种数学思想方法的渗透。

教学目标：1、经历体验、概括的过程，掌握两初步学会两步应用题的解题方法。

2、能正确解答两步复合计算应用题教学重难点：让学生掌握解决应用题的一般方法，整理信息、分析关系——列式解答——回顾与检验。

教学关键：借助线段图，从问题出发，思考先求什么，再求什么？教学方法：自主学习法、练习法、讨论法。

教学过程：一、创设情境，导入新课1、师：正逢金秋时节，你们看小猴子们也正在忙呢。

从图中你获取了哪些数学信息？（生：黄桃摘了86千克，摘得的水蜜桃的质量是黄桃的2倍。

）2、你想提什么数学问题？(生：黄桃和水蜜桃一共摘了多少千克？黄桃和水蜜桃相差多少千克？)二、自主探究，合作交流1、师：先来解决第一个问题，首先我们把题目中的信息整理一下：师：题目已知什么？（生：已知黄桃摘了86千克，摘得的水蜜桃的质量是黄桃的2倍。

）师：水蜜桃该怎么画？生：要画这样的2份师：为什么要画这样的2份？（生：看关键句，摘得的水蜜桃的质量是黄桃的2倍。

说明把黄桃的质量看作1份，水蜜桃有这样的2份师评：很好，能抓住关键句分析数量关系。

师：求的是（生：黄桃和水蜜桃一共摘了多少千克？）2、师：你能列式解答吗？试一试386+386×2=386+772=1158（千克）（1）师：有这样2种方法，你是怎么想的？生1：第一种先求出水蜜桃的质量，再加上黄桃的质量=总质量生2：第二种把黄桃的质量看作1份，水蜜桃有这样的2份，先求出一共是几份，再拿每份386千克×3份=总质量师：能不能直接列成386×3生：不能，因为题目中总共3份没有直接告诉你，所以必须先列式求出来。