2012矩阵论复习题 1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ?=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 k x x k =? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为 ),(112211y x y x y x y x +++=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 )2 )1(,(2121x k k kx kx x k -+=? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3.设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=,试证明S 是3R 的子空间,并求S 的一组基和S dim . 4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间, )}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='= 证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5. 设T 是2R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有 j i i T +=)( j i j T -=2)( 1)确定T 在基},{j i 下的矩阵; 2)若j i e -=1 j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵. 6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有 k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++=
南京航空航天大学2012级硕士研究生
二、(20分)设三阶矩阵,,. ????? ??--=201034011A ????? ??=300130013B ???? ? ??=3003003a a C (1) 求的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan 标准形; A (2) 利用矩阵的知识,判断矩阵和是否相似,并说明理由. λB C 解答: (1)的行列式因子为;…(3分)A 2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλD D D 不变因子为; …………………(3分)2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλd d d 初等因子为;……………………(2分) 2)1(,2--λλJordan 标准形为. ……………………(2分) 200011001J ?? ?= ? ??? (2) 不相似,理由是2阶行列式因子不同; …………………(5分) 0,a = 相似,理由是各阶行列式因子相同. …………………(5分) 0,a ≠共 6 页 第 4 页
三、(20分)已知线性方程组不相容. ?? ???=+=+++=++1,12,1434321421x x x x x x x x x (1) 求系数矩阵的满秩分解; A (2) 求广义逆矩阵; +A (3) 求该线性方程组的极小最小二乘解. 解答:(1) 矩阵,的满秩分解为 ???? ? ??=110021111011A A . …………………(5分)10110111001101A ??????=?????????? (2) . ……………………(10分)51-451-41-52715033A +?? ? ?= ? ??? (3) 方程组的极小最小二乘解为. …………(5分)2214156x ?? ? ?= ? ??? 共 6 页 第 5 页
习题课答案 一 1). 设A 为n 阶可逆矩阵, λ是A 的特征值,则*A 的特征根之一是(b )。 (a) 1 ||n A λ - (b) 1||A λ- (c) ||A λ (d) ||n A λ 2). 正定二次型1234(,,,)f x x x x 的矩阵为A ,则( c )必成立. ()a A 的所有顺序主子式为非负数 ()b A 的所有特征值为非负数 ()c A 的所有顺序主子式大于零 ()d A 的所有特征值互不相同 3).设矩阵111 11A α αββ?? ?= ? ???与000010002B ?? ? = ? ??? 相似,则,αβ的值分别为( a )。 (a) 0,0 (b) 0,1 (c) 1,0 (d) 1,1 二 填空题 4)若四阶矩阵A 与B 相似,A 的特征值为1111 ,,,2345 ,则1B E --= 24 。 5)设532644445A -?? ?=- ? ?-?? ,则100 A = 10010010010010010010010010010010010010032(21)223312(23)442232(31)2(31)2(13)231?? +---- ? +---?- ? ?--?-? ? 三 计算题 3.求三阶矩阵1 261 725027-?? ? ? ?--? ? 的Jordan 标准型 解 1261725027E A λλλλ+--?? ?-=--- ? ?+??,将其对角化为210001000(1)(1)λλ?? ? ? ?+-??.故A 的若 当标准形为100110001-?? ? - ? ??? .■
习题二 1.化下列矩阵为Smith 标准型: (1)222211λλλλ λλλλλ?? -?? -????+-?? ; (2)2222 00 000 00(1)00000λλλλλλ ?? ?? -? ? ??-?? -?? ; (3)2222 232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ?? +--+-??+--+-????+---?? ; (4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ????++??????--????---?? . 解:(1)对矩阵作初等变换 23221311(1)100 10 000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--?-???????????→-???→? ??? ????-++???? , 则该矩阵为Smith 标准型为 ???? ? ?????+)1(1λλλ; (2)矩阵的各阶行列式因子为 44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=, 从而不变因子为 22 2341234123()()() ()1,()(1),()(1),()(1)()()() D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ== =-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为
2210000(1)0000(1)00 00(1)λλλλλλ?? ??-????-?? -??; (3)对矩阵作初等变换 故该矩阵的Smith 标准型为 ?? ?? ??????+--)1()1(112 λλλ; (4)对矩阵作初等变换 在最后的形式中,可求得行列式因子 3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===, 于是不变因子为 2541234534()() ()()()1,()(1),()(1)()() D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ==== =-==-故该矩阵的Smith 标准形为 2 1 0000 010 0000100000(1)00 00 0(1)λλλλ?????????? -?? ??-?? . 2.求下列λ-矩阵的不变因子: (1) 21 0021002λλλ--????--????-??; (2)100 1000 λαββλα λαββ λα+????-+? ???+??-+?? ;
矩阵论复习题 1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ?=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 k x x k =? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为 ),(112211y x y x y x y x +++=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 )2 )1(,(2121x k k kx kx x k -+=? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3.设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=,试证明S 是3R 的子空间,并求S 的一组基和S dim . 4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间, )}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='= 证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5. 设33:R R T →是线性变换, ()()321323213212,,2,,x x x x x x x x x x x T -++-+= 求T 的零空间)(T N 和像空间)(T R 的基和维数. 6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有 k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++= 1)确定T 在基},,{k j i 下的矩阵; 2)求T 的像空间的基与维数.
习题三 1.证明下列问题: (1)若矩阵序列{}m A 收敛于A ,则{}T m A 收敛于T A ,{} m A 收敛于A ; (2)若方阵级数∑∞ =0m m m A c 收敛,则∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 证明:(1)设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m 则 ,)()(n n m ji T m a A ?=,)()(n n m ij m a A ?=,,2,1 =m 设 ,)(n n ij a A ?= 则 n n ji T a A ?=)(,,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ,即对任意的n j i ,,2,1, =,有 ij m ij m a a =∞ →) (lim , 则 ji m ji m a a =∞ →)(lim ,ij m ij m a a =∞ →)(lim ,n j i ,,2,1, =, 故{} T m A 收敛于T A ,{} m A 收敛于A . (2)设方阵级数 ∑∞ =0 m m m A c 的部分和序列为 ,,,,21m S S S , 其中m m m A c A c c S +++= 10.
若 ∑∞ =0 m m m A c 收敛,设其和为S ,即 S A c m m m =∑∞ =0 ,或S S m m =∞ →lim , 则 T T m m S S =∞ →lim . 而级数∑∞ =0 )(m m T m A c 的部分和即为T m S ,故级数∑∞ =0 )(m m T m A c 收敛,且其和为T S , 即 ∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 2.已知方阵序列{}m A 收敛于A ,且{} 1-m A ,1 -A 都存在,证明: (1)A A m m =∞ →lim ;(2){}1 1 lim --∞ →=A A m m . 证明:设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m ,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ,即对任意的n j i ,,2,1, =,有 ij m ij m a a =∞ →) (lim . (1) 由于对任意的n j j j ,,,21 ,有 ,lim ) (k k kj m kj m a a =∞ → n k ,,2,1 =, 故 ∑-∞ →n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a 2121)()(2)(1) ()1(lim τ = ∑-n n n j j j nj j j j j j a a a 21212121) ()1(τ , 而 ∑-= n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a A 2121) ()(2)(1)()1(τ,
《矩阵理论》第一二章 典型例题 一、 判断题 1.A n 为阶实对称矩阵,n R x 对中的列向量, ||x |A x =定义, ||x ||x 则为向量 的范数. ( ) 2.设A n 为阶Hermite 矩阵,12,,,n λλλ 是矩阵A 的特征值,则22 2 1 ||||n m i i A λ==∑ . ( ) 3. 如果m n A C ?∈,且0A ≠,()H AA AA --=, 则2||||A A n - =. ( ) 4. 若设n x R ∈,则212||||||||||||x x x ≤≤. ( ) 5. 设m n A R ?∈的奇异值为12n σσσ≥≥≥ ,则222 1 ||||n i i A σ==∑. ( ) 6. 设n n A C ?∈,且有某种算子范数||||?,使得||||1A <,则11||()||1|||| E A A --> -, 其中E 为n 阶单位矩阵. ( ) 7. 设2H A E uu =-(其中,E 为n 阶单位矩阵,2||||1n u C u ∈=且),则2 ||||m A = ( ) 8. 设n n A C ?∈为正规矩阵,则矩阵的谱半径2()||||r A A =. ( ) 9.设n n C A ?∈可逆,n n C B ?∈,若对算子范数有1 ||||||||1A B -?<,则B A +可逆. ( ) 10. 设A 为m n ?矩阵,P 为m 阶酉矩阵, 则PA 与A 有相同的奇异值. ( ) 11. 设n n A C ?∈,且A 的所有列和都相等,则()r A A ∞ =. ( ) 12. 如果12(,,,) T n n x x x x C =∈,则1||||m in i i n x x ≤≤=是向量范数. ( ) 13. 设,n n A C ?∈则矩阵范数 m A ∞ 与向量的1-范数相容. ( ) 14、设n n A C ?∈是不可逆矩阵,则对任一自相容矩阵范数 有1I A -≥, 其中I 为单位矩 阵. ( )
2011矩阵论复习题 1.设+ =R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为y x y x ?=⊕对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 k x x k =?问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为 ) ,(112211y x y x y x y x +++=⊕对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 )2)1(,(2121x k k kx kx x k ?+ =?问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3.设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=,试证明S 是3 R 的子空间,并求S 的 一组基和S dim . 4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间,)} ()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈=′=证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5.设T 是2 R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有j i i T +=)(j i j T ?=2)(1)确定T 在基},{j i 下的矩阵; 2)若j i e ?=1j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵.敬告:本资源来自网络,如有侵权,请发邮件至liwdedy@https://www.doczj.com/doc/7d17805510.html, ,收到后立即删除,谢谢!
6.设T 是3 R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有k j k j i T ?=++)(i k j T =+)(k j i k T 532)(++=1)确定T 在基},,{k j i 下的矩阵; 2)求T 的零空间和像空间的维数. 7.设线性空间3R 的两个基为(I):321,,x x x ,(II):321,,y y y ,由基(I)到基(II)的过度矩阵为 ???? ????????=101010101C ,3R 上的线性变换T 满足 2 1321)32(y y x x x T +=++12323 (24)T x x x y y ++=+3 1321)43(y y x x x T +=++1)求T 在基(II)下的矩阵; 2)求)(1y T 在基(I)下的坐标. 8.在线性空间)(3R P 中 321)(x x x a x f +++=3221)(x x ax x f +++=3 2321)(x x x x f +++=讨论)(),(),(321x f x f x f 的线性相关性. 9.在22R ×中求由基(I)12101A ??=????20122A ??=????32112A ???=????41312A ??=????到基(II)11210B ??=?????21111B ???=????31211B ???=????41101B ????=???? 的过渡矩阵. 10.已知1(1,2,1,0)α=2(2,1,0,1)α=?1(1,1,1,1)β=?2(1,1,3,7) β=?设1212(,)(,)V L L ααββ=∩,求线性空间V 的维数和基.
中国矿业大学 级硕士研究生课程考试试卷 考试科目矩阵论 考试时间年月 研究生姓名 所在院系 学号 任课教师
一(15分)计算 (1) 已知A 可逆,求 10 d At e t ? (用矩阵A 或其逆矩阵表示) ; (2)设1234(,,,)T a a a a =α是给定的常向量,42)(?=ij x X 是矩阵变量,求T d()d X αX ; (3)设3阶方阵A 的特征多项式为2(6)I A λλλ-=-,且A 可对角化,求k k A A ??? ? ??∞→)(lim ρ。
二(15分)设微分方程组 d d (0)x Ax t x x ?=???? ?=?,508316203A ?? ?= ? ?--??,0111x ?? ? = ? ??? (1)求A 的最小多项式)(λA m ; (3)求At e ; (3)求该方程组的解。
三(15分)对下面矛盾方程组b Ax = 312312 111x x x x x x =?? ++=??+=? (1)求A 的满秩分解FG A =; (2)由满秩分解计算+A ; (3)求该方程组的最小2-范数最小二乘解LS x 。
四(10分)设 11 13A ?=?? 求矩阵A 的QR 分解(要求R 的对角元全为正数,方法不限)。 五(10分) 设(0,,2)T n A R n αβαβ=≠∈≥ (1)证明A 的最小多项式是2 ()tr()m A λλλ=-; (2)求A 的Jordan 形(需要讨论)。
六(10分)设m n r A R ?∈, (1)证明rank()n I A A n r + -=-; (2)0Ax =的通解是(),n n x I A A y y R +=-?∈。 七(10分)证明矩阵 21212123 111222222243333 33644421(1)(1)n n n n n n n n n n ---? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ?+++? ? A (1)能与对角矩阵相似;(2)特征值全为实数。
1.了解坐标变换和基变换,熟悉过度矩阵的概念,会求过度矩阵以及一个向量在不同基下的坐标。 例1 三维空间的一组基为I :(1,0,0)、(1,1,0)、(1,1,1),另一组基为II :(1,0,1)、(1,2,1)、(3,1,4),求由I 到II 的过度矩阵,并求向量(2,2,3)在这两组基下的坐标。并用过度矩阵检验你计算的正确性。 112113114A -?? ?=-- ? ??? (2,2,3)= 0(1,0,0)-1(1,1,0)+3(1,1,1) (2,2,3)=-1.5(1,0,1)+0.5(1,2,1)+(3,1,4) 例2 在4维线性空间22R ?中,向量组, 123401101111,,,11110110εεεε???????? ====???????? ???????? 与向量组 123410111111,,,00001011μμμμ???????? ====? ??????????????? 为其两组基,求从基 1234,,,εεεε 到基1234,,,μμμμ 的过渡矩阵,并求向 量 1234A ?? =?? ?? 在这两组基下的坐标。 2.熟悉子空间的和与交,会用子空间的基本概念来证明子空间的性质。 例1. 子空间的和与交都是子空间. 设1V 和2V 是数域P 上线性空间V 的任 意两个子空间,试证明 (1){}1212,V V x x V x V =∈∈ (2){}12121122:,V V x x x x x V x V +==+∈∈ 都是线性空间V 的子空间。 例2.向量组12,,,s ααα 和12,,,r βββ 都是线性空间V 中的向量,试证明 12121212(,,,)(,,,)(,,,,,,,)s r s L L L αααβββαααβββ+= 例3.判断矩阵 311201112A -?? ?= ? ?-?? 是否可以对角化? 例4.试将λ-矩阵 22221()1A λλλλλ λλλλλ?? - ? =- ? ?+-?? 化成Smith 标准形。
1. 假设A,B 都是实正规矩阵, 证明A,B 可同时正交对角化(即存在正交矩阵Q,使得Q T AQ 和Q T BQ 都是对角矩阵)的充分必要条件是A,B 可交换(即AB=BA). 2. 证明矩阵AB 和BA 的特征值都相同, 而且非零特征值的代数重数也相同. 并利用这个结论证明: (1) tr(AB)=tr(BA), (2) det(I+xy T )=1+y T x, 其中x,y 都是n 维向量. 3. 假设A,B 都是实对称矩阵, 且A 正定, 证明A,B 可同时对角化, 即存在非奇异矩阵C,使得C T AC 和C T BC 都是对角矩阵. 4. 证明若矩阵X 满足AX-XB=0, 且矩阵A,B 没有相同的特征值, 则必有X=0. 5. 设H=A+iB 是一个正定Hermite 矩阵, 其中A,B 是n 阶实矩阵, 证明矩阵A B B A -?? ???? 是对称正定的. 6. 设n 阶矩阵A 满足A 3 =I, 试导出A 的Jordan 标准型可能具有的形状. 7. 证明矩阵F 范数与向量2范数相容, 即2 2 .F Ax A x ≤ 8. 设v 是n 维非零实向量, E 是n 阶实矩阵, 证明1 22 2 2 (()).F T F T T Ev v E E I v vv v v --=+ ‖‖‖‖ 9. 设200011,20 1A π??? ?= ?????? 证明2 20 0044sin 011.00 1A A A ππ ?? ??= -=?????? 10. 设6 222 20,0 2A ?? ? ? =-?????? 计算ln .A 11. 证明对任意n 阶矩阵A, 有2 1,sin(2cos(2))2sin cos . 2cos A A A A A =-= 12. 形如 (,)T k N y k I ye =-的矩阵称为Gauss-Jordan 变换, 其中y 是n 维实向量. (1) 假定 N(y,k)非奇异, 给出计算其逆的公式. (2) n 维实向量x 满足什么条件才能保证存在n 维实向量 y 使得N(y,k)x=e k . 13. 证明222x y x y +=+‖‖‖‖‖‖当且仅当x 与y 线性相关, 且 0.T x y ≥