矩阵论(华中科技大学)课后习题问题详解(1)

习题一1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11{()|0}nij n n iii V A a a⨯====∑，对矩阵加法和数乘运算；（2）2{|,}n n T V A A R A A ⨯=∈=-，对矩阵加法和数乘运算；（3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3,,0R k R k αα∀∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。

解： （1）、（2）为R 上线性空间（3）不是，由线性空间定义，对0α∀≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。

2.求线性空间{|}n nT V A R A A ⨯=∈=的维数和一组基。

解：一组基10001010101010000000100..................0010010⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎪⎪⎪⎪⎭dim W =n (n +1)/23.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ⊆，证明：U 1=U 2。

证明：因为dim U 1=dim U 2，故设{}12,,,r ααα为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββ为空间U 2的一组基2U γ∀∈，有()12r X γγβββ=而()()1212r r C αααβββ=，C 为过渡矩阵，且可逆于是()()()11212121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈由此，得 21U U ⊆又由题设12U U ⊆，证得U 1=U 2。

习题一1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11{()|0}nij n n iii V A a a⨯====∑，对矩阵加法和数乘运算；（2）2{|,}n n T V A A R A A ⨯=∈=-，对矩阵加法和数乘运算；（3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3,,0R k R k αα∀∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。

解： （1）、（2）为R 上线性空间（3）不是，由线性空间定义，对0α∀≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。

2.求线性空间{|}n nT V A R A A ⨯=∈=的维数和一组基。

解：一组基10001010101010000000100..................0010010⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎪⎪⎪⎪⎭dim W =n (n +1)/23.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ⊆，证明：U 1=U 2。

证明：因为dim U 1=dim U 2，故设{}12,,,r ααα为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββ为空间U 2的一组基2U γ∀∈，有()12r X γγβββ=而()()1212r r C αααβββ=，C 为过渡矩阵，且可逆于是()()()11212121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈由此，得21U U ⊆又由题设12U U ⊆，证得U 1=U 2。

2011年《矩阵论》习题解答 一、 掌握线性空间的定义及判断是否为线性空间。

二、 在4R 中有两组基，()()()()12341,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1αααα====()()()()12342,1,1,1,0,3,1,0,5,3,2,1,6,6,1,3ββββ=-===求 （1）由基1234,,,αααα到基1234,,,ββββ的过渡矩阵；（2）向量()1234,,,x ξξξξ=在基1234,,,ββββ之下的坐标；（3）在两组基下有相同坐标的非零向量。

解：(1)因为()()()12341234123420561336,,,,,,,,,1121113C ββββαααααααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪- ⎪⎝⎭ 所以由基123,,,αααα到基123,,,ββββ的过渡矩阵20561********13C ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭(2) ()()()112211234123412343344,,,,,,,,,x C ξξξξξξξξααααββββξξξξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以向量()1,0,1,0在基1234,,,ββββ之下的坐标为12134C ξξξξ-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭或解 非齐次线性方程组的解11223344k k C k k ξξξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）由 （2）式有112213344C ξξξξξξξξ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有()12340C E ξξξξ⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，该方程组的通解为()1,1,1,1Tk -,对两个基有相同坐标的非零向量为()1234k x xx x ++-，k 非零常数。

二、已知线性空间V 是矩阵空间22R ⨯,(1)证明：123410010000,,00001001E E E E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦是V 的一组基；(2) 求向量1223A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦在基1234,,,E E E E 下的坐标。

第一章 线性空间与线性映射 习题一 (43-45)1、（1）对于V y x ∈∀,，x y x y x y x y y x y x y x y x +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+112211112211；（2）对于V z y x ∈∀,,，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=++))()(1111112221111112112211121112211z y z x y x z y x z y x y x z z y x y x z y x z z y x y x y x z y x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++))()(1111112221111111122211111221121z y z x y x z y x z y x z y x z y z y x z y x z y z y z y x x z y x ，即)()(z y x z y x ++=++。

（3）对于⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00θ和V x ∈∀，显然x x x x x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+21121000θ； （4）对于V x ∈∀，令⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2211x x x y ， 则θ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+0021221211221121x x x x x x x x x x x y x ，即x y -=。

（5）对于R ∈∀μλ,和V x ∈∀，有x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x )()()]()[(21)()()2(21)()()]1()1([21)1(21)1(2121212212122212121221121212121μλμλμλμλμλμλμλμλμλμλμλλμμμλλμλμλμμμμλλλλμλ+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+（6）对于R ∈∀λ和V y x ∈∀,，有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+211112211112211))(1(21)()()(y x y x y x y x y x y x y x y x λλλλλλ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++-++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+211112211112212211122111122122121121212121))(1(21)()()1(21)1(21)()1(21)1(21)1(21)1(21y x y x y x y x y x y y x y x y x y x y x y y x x y x y y y x x x y x λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ，即y x y x λλλ+=+)(。

（2）由得
所以
，求 e ， e ，sinA。

解：由的特征值
由此得
对，对 f ，
对 f ，
2cos
已知 A2=A，求 sinA。

解：设为 A 的特征值，为特征向量由得
因 A2=A，故有于是为矩阵 A 的化零多项式（最小多项式），且为一次银子乘积，所以 A 可对角化即有
这里
10.求解微分方程组
解：
习题五
设，求解：
取矩阵 A 的第1、3 列构成列满秩矩阵 B，取矩阵 F 第 1、2 行构成行满秩矩阵
证明非齐次线性方程组有解的充分必要条件是。

证明：必要性设有解，由得，，即有
充分性设，则有，令 x，于是，故方程组
有解
设，且 A 的 n 个列是标准正交的，证明。

证明：因为矩阵 A 的 n 个列向量是标准正交的，则矩阵 A 为列满秩的矩阵，且有于是是幂等且为 Hermite 矩阵，证明。

证明：因为，且，矩阵 A 是正规阵，可酉相似对角阵，即于是，U 为酉矩阵，并设
求线性方程组的最佳的最小二乘解。

解：
最佳最小二乘解为。

矩阵论引论习题答案矩阵论引论习题答案矩阵论是线性代数中的重要分支，它研究的是矩阵的性质和运算规律。

在实际应用中，矩阵论有着广泛的应用，涉及到各个领域，如物理学、经济学、计算机科学等。

在学习矩阵论时，习题是巩固知识和提高技能的重要途径。

下面，我将为大家提供一些矩阵论引论的习题答案。

1. 习题一已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求A的转置矩阵AT。

解答：A的转置矩阵AT = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]。

2. 习题二已知矩阵A = [2 4; 6 8]，求A的逆矩阵A-1。

解答：由于A是一个2x2的矩阵，我们可以使用伴随矩阵法来求解A的逆矩阵。

首先，计算A的行列式det(A) = 2*8 - 4*6 = 16 - 24 = -8。

然后，计算A的伴随矩阵adj(A) = [8 -4; -6 2]。

最后，计算A的逆矩阵A-1 = adj(A)/det(A) = [8/(-8) -4/(-8); -6/(-8) 2/(-8)] = [-1/2 1/2; 3/4 -1/4]。

3. 习题三已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6]，矩阵B = [1 0; 0 1; 1 1]，求矩阵C = AB。

解答：由于A是一个2x3的矩阵，B是一个3x2的矩阵，所以C是一个2x2的矩阵。

计算C的每个元素，C = [1*1 + 2*0 + 3*1 1*0 + 2*1 + 3*1; 4*1 + 5*0 + 6*1 4*0 + 5*1 + 6*1] = [4 5; 10 11]。

4. 习题四已知矩阵A = [1 2; 3 4]，求A的特征值和特征向量。

解答：首先，求A的特征值λ。

计算A的特征多项式det(A - λI) = (1-λ)(4-λ) - 2*3 = λ^2 - 5λ + 2。

解特征多项式得到λ1 = (5 + √17)/2，λ2 = (5 - √17)/2。

然后，求A的特征向量v。

习 题 1.11. 解： 除了由一个零向量构成的集合{}θ可以构成线性空间外，没有两个和有限（m ）个向量构成的线性空间，因为数乘不封闭（k α有无限多个，k ∈p 数域）.2. 解：⑴是；⑵不是，因为没有负向量；⑶不是，因为存在两向量的和向量处在第二或第四象限，即加法不封闭；⑷是；⑸不是，因为存在二个不平行某向量的和却平行于某向量，即加法不封闭.3. 解：⑴ 不是，因为 当k ∈Q 或R 时，数乘k α不封闭；⑵ 有 理域上是；实数域上不是，因为当k ∈R 时，数乘k α不封闭.⑶ 是；⑷ 是；⑸ 是；⑹ 不是，因为加法与数乘均不封闭.4. 解：是，因为全部解即为通解集合，它由基础解系列向量乘以相应常数组成，显然对解的加法与数乘运算满足二个封闭性和八条公理.5. 解：（1）是线性空间；（2）不是线性空间（加法不封闭；或因无零向量）.6. 解：（1）设A 的实系数多项式()A f 的全体为(){}正整数m R a A a A a I aA f i m m ,10∈++=显然，它满足两个封闭性和八条公理，故是线性空间.（2）与（3）也都是线性空间.7. 解：是线性空间.不难验证tsin，t2sin，…，ntsin是线性无关的，且任一个形如题中的三角多项式都可由它们惟一地线性表示，所以它们是V中的一个组基.由高等数学中傅里叶（Fourier）系数知⎰=ππ2sin1itdttci.8. 解：⑴不是，因为公理2)'不成立：设r=1, s=2, α=(3, 4), 则(r+s) (3, 4)= (9, 4), 而r (3, 4) ⊕s (3, 4)=(3,4) ⊕(6, 4)= (9, 8), 所以(r+s) α≠r α⊕s α.⑵不是，因为公理1）不成立：设α= (1,2) , β= (3,4) ,则α⊕β=(1,2) ⊕(3,4) = (1,2), β⊕α= (3,4) ⊕(1,2) = (3,4) ,所以α⊕β≠β⊕α.⑶不是，因为公理2)'不成立：设r=1, s=2, α=(3,4) , 则(r+s) α=3 (3, 4)= (27, 36) 而r α⊕s α=1 (3,4)⊕2 (3,4)=(3, 4)⊕(12, 16)= (15, 20),于是(r+s) α≠r α⊕s α.⑷是.9. 证若∈βα,V，则()()()() ()()()ββααββααββααβαβαβα+++=+++=+ ++=+++=+=+)11(111111222另一方面，()()()()()()()()βαβαβαβαβαβαβαβα+++=+++=+++=++=+111112因此 ()()βαβαββαα+++=+++，从而有()()()()()()ββαβααβββααα-+++++-=-+++++-于是得 αββα+=+.10. 解：先求齐次方程组的基础解系ξ1=(3,3,2,0)T , ξ2=(-3,7,0,4)T ,即为解空间V 的一组基. 所以， dim V =2.11. 解：考察齐次式 0)1()()(32221=++-++x k x x k x x k即 0)()(3321221=++-++k x k k k x k k ,得线性方程组021=+k k321=+-k k k3=k由于系数行列式不等于零，那么只有 0321===k k k 时, 上述齐次式才对 ∀x 成立，所以x x +2, x x -2, 1+x 线性无关，且任二次多项式c bx ax ++2都可惟一地用它们来表示(因为相应的非齐次方程组有惟一解)，故为基. 令 33212212)()(372k x k k k x k k x x ++-++=++得3,1,3321=-==k k k , 即坐标为 ( 3, -1, 3 ) .12. 解： ⑴ 因为 (4321,,,ββββ)=(4321,,,αααα)C ,故 C =(4321,,,αααα)1-(4321,,,ββββ)=1010*********1-311121163316502- =311121163316502- .⑵显然，向量α在基4321,,,αααα下的坐标为X =(1ξ,432,,ξξξ)T,设α在基4321,,,ββββ下的坐标为 Y =(T),,,4321ηηηη, 则Y =C 1-4321ξξξξ =311121163316502- 1-321ξξξξ=272631912773200312723319427191113194------- 4321ξξξξ = B X⑶ 如果 X = Y , 则有 X= BX ,即得齐次方程组 ( I- B )X=0 , 求 其非零解为X = k (－1, －1, －1, 1 )T, k ∈R , 即为所求 .13. 解： (1) 对nk,,2,1 =；n k k l ,,1, +=令()nn ijkla F ⨯=，其中1=kl a ，其余的0=ij a ，则{}kl F 为上三角矩阵空间的一组基，维数为()121+n n .（2）R +中任意非零元素都可作R +的基，dim R +=1. （3）I ，A ，A 2为所述线性空间的一组基，其维数为3.14. 解： （1）由已知关系式求得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+--=-++=3242134212432112242284ααβααβαααβααααβ于是，由基（I ）到基（II ）的过渡矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=0012200112480124C （2）α在基（II ）下的坐标为（2，-1，1，1）T ，再由坐标变换公式计算α在基（I ）下的坐标为C （2，-1，1，1）T =（11，23，4，-5）T .（3）不难计算得det （1·I —C ）=0，所以1是C 的特征值.不妨取过渡矩阵C 的对应于特征值1的一个特征向量为η，则有C η=1·η，那么α()4321,,,ββββ=η≠0，再由坐标变换公式知，α在基（I ）下的坐标为ξ=C η=η，即存在非零α4V ∈，使得α在基（I ）和基（II ）下有相同的坐标.15. 解：不难看出，由简单基E 11，E 12，E 21，E 22改变为基（I ）和基（II ）的过渡矩阵分别为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=22211120311112021C ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=1110111121211112C则有（B 1，B 2，B 3，B 4）=（E 11，E 12，E 21，E 22）C 2=（A 1，A 2，A 3，A 4）11-C C 2故由基（I ）改变到基（II ）的过渡矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----==-1111100000111110211C C C .16. 解：（1）由简单基1，32,,x x x 改变到基（I ）和基（II ）的过渡矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11111111111C ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=10110111111011012C故由基（I ）改变为基（II ）的过渡矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---==-1011110010010011211C C C（2）设()[]3x p x f ∈在基（I ）和基（II ）下的坐标分别为()T4321,,,ξξξξα=，()T4321,,,ηηηηβ=，则有βαC =且βα=，即有()0=-βC I ，该齐次方程组的通解为()Tk 0,1,0,0=β,∈k .于是，在基（I ）和基（II ）下有相同坐标的全体多项式 为()()()()()()()234321,,,kxkx k x kg x g x g x g x g x f ++===β .17. 解：⑴ 设n的子集合为L ，对任意∈αL ，有),...,,(21n a a a =α, ∑==ni ia 10，对任意L ∈βα,，),...,,(21n a a a =α,),...,,(21n b b b =β 有∑∑∑====+=+++=+n i ni ni iii in n bab ab a b a 111110)(),,...,(βα又∑∑=====ni ni i in a k kaka ka k 1110),,...,(α,所以∈+βαL∈αk L因此L 是V 的子空间.⑵ 对任意∈βα,L ，,...,,(21na a a =α,),...,,(21n b b b =β , 有∑==ni ia11,∑==ni ib 11故 2)(),,...,(11111∑∑∑====+=+++=+ni ni ni iii in n bab ab a b a βα于是可知 ∉+βα L ，因此L 不是V 的子空间.18. 解：),,('3'2'1αααSpan 的基为'3'2'1,,ααα的一个最大无关组，'3'2'1,,ααα在基321,,ααα下的坐标依次为(1, -2, 3)T , (2 , 3 , 2)T , (4, 13, 0 )T 该列向量组的一个最大无关组为 (1, -2, 3)T , (2 ,3 ,2)T .因此，'3'2'1,,ααα的一个最大无关组为 '2'1,αα，即),,('3'2'1αααSpan 的一个基为'2'1,αα .19. 解：（1）因为10V n n ∈⨯，所以V 1非空.设A ，1V B ∈，则有AP=PA ，BP=PB .又因为（A+B ）P=AP+BP=PA+PB=P （A+B ），（kA ）P=k （AP ）=k （PA ）=P （kA ） （∈k ），所以1V B A ∈+，1V kA ∈，故V 1是n n R ⨯的子空间.（2）取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ，B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000，则det A=det B =0，从而1V A ∈，1V B ∈，但⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+1001BA ，()0det ≠+B A ，所以1V B A ∈+，故V 1不是子空间.又A A =2，从而2V A ∈，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00022A ，()A A 2000422≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡=，所以22V A ∈，故V 2也不是子空间.20. 证：因为（2，-1，3，3）=（-1）（1，1，0，0）+3（1，0，1，1）， （0，1，-1，-1）=（1，1，0，0）+（-1）（1，0，0，1）即生成的子空间有相同的基，所以它们生成的子空间相同.21. 解： (1)设14321V x x x x A ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡=，则由AP=PA 可得齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-+=-03003303334213x x x x x x求得基础解系为（1，-3，0，0）T ，（1，0，0，1）T ，从而V 1的基为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=00311A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10012A ，dimV 1 =2 .(2) V 1的矩阵一般形式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+=2121221103k k k k A k A k A ()R k k ∈21,.22. 证：若V 1的维数为0，则V 1与V 2都是零空间，当然相等； 若V 1的维数是0≠m，由于21V V ⊆，故V 1的任一组基m e e e ,,,21 都是V 2的线性无关组.又因V 2与V 1的维数相同，故这个线性无关组也是V 2的一组基，即V 1与V 2有相同的基，因此V 1=V 2.23. 解：设()WV a a a a ∈=4321,,,α，则有0,043214321=+++=-+-a a a a a a a a由此相加或相减可得031=+a a ，042=+a a ，从而31a a -=，42a a -=，故得 ()()()1,0,1,00,1,0,1,,,212121-+-=--=a a a a a a α.但（1，0，-1，0），（0，1，0，-1）线性无关，即为所求的基.24. 解：（1）设()22⨯=ija A ，()Vb B ij∈=⨯22，则02211=+a a ，02211=+b b ,因为()22⨯+=+ijij b a B A ，()()022221111=+++b a b a，()22⨯=ijka kA ，()()02211=+ka ka ，所以VB A ∈+，V kA ∈，又V ∈⨯220，所以V 是22⨯的子空间.（2）在V 中取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10011A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01102A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01003A 它们线性无关.因为02211=+a a 即1122a a -=，于是321212111A a A a A a A ++=，因此，V的一组基为A 1，A 2，A 3，从而dim V =3.25. 解：（1）{}3,,,dim 2121=ββααSpan,{}2,dim 21=ααSpan,{}2,dim 21=ββSpan故交的维数为2+2-3=1，交的一组基为（-5，2，3，4）T ，和的维数 为3，{}121,,βαα为一组基.（2）{}4,,,,dim21321=ββαααSpan ,{}{}2,dim ,3,,dim 21321==ββαααSpan Span故交的维数为1，基为1β；和的维数为4，{}2321,,,βααα为一组基.26. 证：（1）设1,V ∈βα，且∑∑====ni n i iiiix ex 11εα,∑∑====ni ii i n i i y e y 11εβ则 ()()∑∑==+=+=+ni ni ii ii i iy xe y x11εβα∑∑====ni ni iiiikx ekx k 11εα （k 是数）即βα+与αk 在两组基下的坐标也是相同的，所以1V ∈+βα，1V k ∈α，故V 1是子空间.（2）因V 中每个向量在两组基下的坐标相同，所以基向量()n i e i ,,2,1 =在n e e e ,,21 下的坐标为（0，…，0，1，0，…，0）它也应为i e 在n εεε,,,21 下的坐标，于是有1=i e ()n i ii ,,2,1 ==εε.27. 证：设(){}R a a a a A V ij ji ij ij ∈===⨯,221, (){}Rb b b b B V ij ji ij ij∈-===⨯,222容易验证V 1与V 2都是V 的子空间.对任意V C ∈有 ()()TTC C C C C -++=2121且()()2121,21V CCV CCTT∈-∈-，所以21V V V+=.因为()212122V D V D V V d D ij ∈∈⇒∈=⨯且jiij ji ij dd d d -==⇒且11()2,1,0==⇒j i d ij即0=D ，所以{}021=V V ，则21V V V ⊕=.28. 证：由齐次线性方程组的理论可推知V 1是n-1维的，且有基=1α（-1，1，0，…，0），=2α（-1，0，1，0，…，0），…，=-1n α（-1，0，…，0，1）.又n x x x === 21，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=--00013221n n x x x x x x此方程组系数矩阵的秩为n -1，故解空间V 2的维数为1，令x n =1，便得V 2的一组基=β（1，1，…，1）；又以121,,,-n ααα ，β为行的n 阶行列式()0,1111111000100101000111≠-=---+n n故121,,,-n ααα ，β为的一组基，且有n21V V ⊕=.29. 证：设V 是n 维线性空间，n e e e ,,21 为基，则()i e L 都是一维子空间（i =1，2，…，n ），且有()()()()V e e e L e L e L e L n n ==+++,,,2121 .又因n e e e ,,,21 是基，零向量θ表示式惟一，故这个和是直和，即()()()Ve L e L e L n =⊕⊕⊕ 21.。

习题一1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11{()|0}nij n n iii V A a a⨯====∑，对矩阵加法和数乘运算；（2）2{|,}n n T V A A R A A ⨯=∈=-，对矩阵加法和数乘运算；（3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3,,0R k R k αα∀∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。

解： （1）、（2）为R 上线性空间（3）不是，由线性空间定义，对0α∀≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。

2.求线性空间{|}n nT V A R A A ⨯=∈=的维数和一组基。

解：一组基10001010101010000000100..................0010010⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩L L L ⎪⎪⎪⎪⎭dim W =n (n +1)/23.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ⊆，证明：U 1=U 2。

证明：因为dim U 1=dim U 2，故设{}12,,,r αααL 为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββL 为空间U 2的一组基2U γ∀∈，有()12r X γγβββ=L L而()()1212r r C αααβββ=L L ，C 为过渡矩阵，且可逆于是()()()11212121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈L L L L L L由此，得21U U ⊆又由题设12U U ⊆，证得U 1=U 2。

习题11.计算下列方阵的幂(1)n cos sin sin cos θθ⎡⎤⎢⎥-θθ⎣⎦； (2)1111n ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦； (3)1111na a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 解：(1)由 cos sin sin cos n n n n ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦θθθθcos sin sin cos θθ⎡⎤⎢⎥-θθ⎣⎦= cos(1) sin(1)sin(1) cos(1)n n n n ++⎡⎤⎢⎥-++⎣⎦θθθθ，故由归纳法知cos sin sin cos nn n A n n ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦θθθθ。

法2：由矩阵cos sin sin cos A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦θθθθθ为正交矩阵，且二维平面中任一向量x y ⎛⎫α= ⎪⎝⎭.则向量cos sin x A sin cos y θθθ⎡⎤⎛⎫α= ⎪⎢⎥-θθ⎣⎦⎝⎭相当于将向量x y ⎛⎫α= ⎪⎝⎭顺时针针旋转θ角度，故由此几何意义，有：() cos sin sin cos n n n n A A n n ⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦θθθθθθ (2)由11441144cos sin A sin cos ππ⎡⎤⎥⎡⎤==⎥⎢⎥-ππ⎣⎦⎥-⎢⎥⎣⎦，得11441144n n n n cos sin(n n sin cos ππ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-ππ⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ （3）记J=0 1 0 1 1 0 ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则由于B J J J E ⋅==⋅，2010010100101001010000J ,J ,,⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 0K J =其中5K ≥112244113311 () n n n n n n n n n n n n n nk k n k n n n n n a C a C a C a a C a C a A aE J C a J a C a a -------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+==⎢⎥⎢⎢⎢⎣⎦40k =⎥⎥⎥∑(规定：0k n C (n k )=<)2. 求平方等于单位阵的所有二阶方阵 。