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矩阵论(华中科技大学)课后习题答案

习题一

1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间（1）11

{()|

0}n

ij n n ii

i V A a a

?====∑，对矩阵加法和数乘运算；

（2）2{|,}n n T V A A R A A ?=∈=-，对矩阵加法和数乘运算；

（3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3

,,0R k R k αα?∈∈=；（4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。解：（1）、（2）为R 上线性空间

（3）不是，由线性空间定义，对0α?≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。

2.求线性空间{|}n n

T V A R A A ?=∈=的维数和一组基。

解：一组基

100

010

101010000000100............

......0010010??

????

??????

???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ???

???

?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?

? ?

? ?? ? ? ? ? ? ??

?L L L ?????

dim W =n (n +

1)/2

3.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ?，证明：U 1=U 2。证明：因为dim U 1=dim U 2，故设

{}12,,,r αααL 为空间U 1

的一组基，{}12,,,r βββL 为空间U 2

的一组基

2U γ?∈，有

()12r X γγβββ=L L

而

()()1212r r C αααβββ=L L ，C 为过渡矩阵，且可逆

于是

()()()11212121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈L L L L L L

由此，得

U U ?

又由题设12U U ?，证得U 1=U 2。

4.设111213315A ?? ?= ? ???，讨论向量(2,3,4)T

α=是否在R (A )中。

解：构造增广矩阵()111|2111|2|213|3011|1315|4000|0A α????

? ?

=→-- ? ? ? ?????

矩阵A 与其增广矩阵秩相同，向量α可由矩阵A 的3个列向量线性表示，α在列空间R (A )中。

5.讨论线性空间P 4[x ]中向量3211P x x x =+++，32223P x x x =-+，32

3452P x x x =+++的线性

2012矩阵论复习题

2012矩阵论复习题 1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ?=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 k x x k =? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为 ),(112211y x y x y x y x +++=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 )2 )1(,(2121x k k kx kx x k -+=? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3R 的子空间，并求S 的一组基和S dim . 4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间, )}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='= 证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5. 设T 是2R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有 j i i T +=)( j i j T -=2)( 1)确定T 在基},{j i 下的矩阵; 2)若j i e -=1 j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵. 6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有 k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++=

研究生矩阵论课后习题答案(全)习题二

习题二 1．化下列矩阵为Smith 标准型：（1）222211λλλλ λλλλλ?? -?? -????+-?? ; （2）2222 00 000 00(1)00000λλλλλλ ?? ?? -? ? ??-?? -?? ; （3）2222 232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ?? +--+-??+--+-????+---?? ; (4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ????++??????--????---?? . 解：（1）对矩阵作初等变换 23221311(1)100 10 000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--?-???????????→-???→? ??? ????-++???? ，则该矩阵为Smith 标准型为 ???? ? ?????+)1(1λλλ；（2）矩阵的各阶行列式因子为 44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=, 从而不变因子为 22 2341234123()()() ()1,()(1),()(1),()(1)()()() D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ== =-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为

2210000(1)0000(1)00 00(1)λλλλλλ?? ??-????-?? -??；（3）对矩阵作初等变换故该矩阵的Smith 标准型为 ?? ?? ??????+--)1()1(112 λλλ; (4)对矩阵作初等变换在最后的形式中，可求得行列式因子 3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===, 于是不变因子为 2541234534()() ()()()1,()(1),()(1)()() D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ==== =-==-故该矩阵的Smith 标准形为 2 1 0000 010 0000100000(1)00 00 0(1)λλλλ?????????? -?? ??-?? . 2.求下列λ-矩阵的不变因子：（1） 21 0021002λλλ--????--????-??；（2）100 1000 λαββλα λαββ λα+????-+? ???+??-+?? ；

研究生矩阵论课后习题答案全习题三

习题三 1．证明下列问题：（1）若矩阵序列{}m A 收敛于A ，则{}T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A ；（2）若方阵级数∑∞ =0m m m A c 收敛，则∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 证明：（1）设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m 则 ,)()(n n m ji T m a A ?=,)()(n n m ij m a A ?=,,2,1 =m 设 ,)(n n ij a A ?= 则 n n ji T a A ?=)(，,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1, =，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim ，则 ji m ji m a a =∞ →)(lim ，ij m ij m a a =∞ →)(lim ，n j i ,,2,1, =，故{} T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A . (2)设方阵级数 ∑∞ =0 m m m A c 的部分和序列为 ,,,,21m S S S ，其中m m m A c A c c S +++= 10.

若 ∑∞ =0 m m m A c 收敛，设其和为S ，即 S A c m m m =∑∞ =0 ，或S S m m =∞ →lim ，则 T T m m S S =∞ →lim . 而级数∑∞ =0 )(m m T m A c 的部分和即为T m S ，故级数∑∞ =0 )(m m T m A c 收敛，且其和为T S ，即 ∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 2.已知方阵序列{}m A 收敛于A ，且{} 1-m A ，1 -A 都存在，证明：（1）A A m m =∞ →lim ；（2）{}1 1 lim --∞ →=A A m m . 证明：设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m ,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1, =，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim . (1) 由于对任意的n j j j ,,,21 ，有 ,lim ) (k k kj m kj m a a =∞ → n k ,,2,1 =，故 ∑-∞ →n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a 2121)()(2)(1) ()1(lim τ ＝ ∑-n n n j j j nj j j j j j a a a 21212121) ()1(τ ，而 ∑-= n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a A 2121) ()(2)(1)()1(τ，

矩阵论华中科技大学课后习题答案

习题一 1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间（1）11 {()| 0}n ij n n ii i V A a a ?====∑，对矩阵加法和数乘运算；（2）2{|,}n n T V A A R A A ?=∈=-，对矩阵加法和数乘运算；（3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3 ,,0R k R k αα?∈∈=；（4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。解：（1）、（2）为R 上线性空间（3）不是，由线性空间定义，对0α?≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。 2.求线性空间{|}n n T V A R A A ?=∈=的维数和一组基。解：一组基 100 010 10 101010000000100............ ......0010010?? ???? ?????? ???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ?????? dim W =n ( n +1)/2 3.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ?，证明：U 1=U 2。证明：因为dim U 1=dim U 2，故设 {}12,,,r ααα为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββ为空间U 2的一组基 2U γ?∈，有 ()12 r X γγβββ= 而 ()()12 12r r C αααβββ=，C 为过渡矩阵，且可逆于是 ()()()112 12121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈ 由此，得 21 U U ?

矩阵论课后习题 1.1

习题 1.1 1. 解：除了由一个零向量构成的集合{}θ可以构成线性空间外，没有两个和有限（m ）个向量构成的线性空间，因为数乘不封闭（k α有无限多个，k ∈p 数域）. 2. 解：⑴是；⑵不是，因为没有负向量；⑶不是，因为存在两向量的和向量处在第二或第四象限，即加法不封闭；⑷是；⑸不是，因为存在二个不平行某向量的和却平行于某向量，即加法不封闭. 3. 解：⑴ 不是，因为当k ∈Q 或R 时，数乘k α不封闭；⑵ 有理域上是；实数域上不是，因为当k ∈R 时，数乘k α不封闭.⑶ 是；⑷ 是；⑸ 是；⑹ 不是，因为加法与数乘均不封闭. 4. 解：是，因为全部解即为通解集合，它由基础解系列向量乘以相应常数组成，显然对解的加法与数乘运算满足二个封闭性和八条公理. 5. 解：（1）是线性空间；（2）不是线性空间（加法不封闭；或因无零向量）. 6. 解：（1）设A 的实系数多项式()A f 的全体为 (){} 正整数m R a A a A a I a A f i m m , 1 ∈++=

显然，它满足两个封闭性和八条公理，故是线性空间. （2）与（3）也都是线性空间. 7. 解：是线性空间.不难验证t sin ，t 2sin ，…，nt sin 是线性无关的，且任一个形如题中的三角多项式都可由它们惟一地线性表示，所以它们是V 中的一个组基.由高等数学中傅里叶（Fourier ）系数知 ? = π π 20 sin 1 itdt t c i . 8. 解：⑴ 不是，因为公理2)'不成立：设r=1, s=2, α=(3, 4), 则 (r+s) (3, 4)= (9, 4), 而 r (3, 4) ⊕ s (3, 4)=(3,4) ⊕(6, 4)= (9, 8), 所以 (r+s) α≠r α⊕s α. ⑵ 不是，因为公理1）不成立：设α= (1,2) , β= (3,4) , 则α⊕β=(1,2) ⊕ (3,4) = (1,2), β⊕α= (3,4) ⊕ (1,2) = (3,4) , 所以 α⊕β≠β⊕α. ⑶ 不是，因为公理2)'不成立：设 r=1, s=2, α=(3,4) , 则 (r+s) α=3 (3, 4)= (27, 36) 而 r α⊕s α=1 (3,4)⊕2 (3,4)=(3, 4)⊕(12, 16)= (15, 20), 于是 (r+s) α≠ r α⊕s α. ⑷ 是. 9. 证若∈βα,V ，则 ()()()()()()()β βααββααββααβαβαβα+++=+++=+++=+++=+=+) 11(111111222