习题三
1．证明下列问题：
（1）若矩阵序列{}m A 收敛于A ，则{}T
m A 收敛于T A ，{}
m A 收敛于A ；
（2）若方阵级数∑∞
=0m m m A c 收敛，则∑∑∞
=∞==??
? ??00)(m m
T m T
m m m A c A c .
证明：（1）设矩阵
,,2,1,)()
( ==?m a A n n m ij m
则
,)()(n n m ji T
m a A ?=,)()(n n m ij m a A ?=,,2,1 =m
设
,)(n n ij a A ?=
则
n n ji T a A ?=)(，,)(n n ij a A ?=
若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1, =，有
ij m ij m a a =∞
→)
(lim ，
则
ji m ji m a a =∞
→)(lim ，ij m ij m a a =∞
→)(lim ，n j i ,,2,1, =，
故{}
T m A 收敛于T
A ，{}
m A 收敛于A .
(2)设方阵级数
∑∞
=0
m m m
A c
的部分和序列为
,,,,21m S S S ，
其中m
m m A c A c c S +++= 10.
若
∑∞
=0
m m m
A c
收敛，设其和为S ，即
S A c
m m m
=∑∞
=0
，或S S m m =∞
→lim ，
则
T T
m m S S =∞
→lim .
而级数∑∞
=0
)(m m
T
m
A c
的部分和即为T m
S ，故级数∑∞
=0
)(m m T m A c 收敛，且其和为T S ，
即
∑∑∞
=∞==??
? ??00)(m m T m T
m m m A c A c .
2.已知方阵序列{}m A 收敛于A ，且{}
1-m A ，1
-A 都存在，证明：
（1）A A m m =∞
→lim ；（2）{}1
1
lim --∞
→=A
A m
m .
证明：设矩阵
,,2,1,)()
( ==?m a A n n m ij m ,)(n n ij a A ?=
若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1, =，有
ij m ij m a a =∞
→)
(lim .
(1) 由于对任意的n j j j ,,,21 ，有
,lim )
(k k
kj m kj m a a =∞
→ n k ,,2,1 =， 故
∑-∞
→n
n n j j j m nj m j m j j j j m a a a 2121)()(2)(1)
()1(lim
τ
＝
∑-n
n n j j j nj j j j j j a a a 21212121)
()1(τ
，
而
∑-=
n
n
n j j j m nj m j m j j j j m a a a A 2121)
()(2)(1)()1(τ，
∑-=
n
n n j j j nj j j j j j a a a A 21212121)
()1(τ
,
故
A A m m =∞
→lim .
(2) 因为
n n m ij m m A A A ?-=
)(1)
(1，n n ij A A
A ?-=)(11. 其中)
(m ij A ，ij A 分别为矩阵m A 与A 的代数余子式.
与（1）类似可证明对任意的n j i ,,2,1, =，有
ij m ij m A A =∞
→)
(lim ，
结合
A A m m =∞
→lim ，
有
n n m ij m m A A ?∞
→)(1lim
)(＝n n ij A A
?)(1， 即
{}
11
lim --∞
→=A A m m .
3.设函数矩阵
????
???
???=320
1
sin cos sin )(t t e t t t t t t A t ， 其中0≠t ，计算),(),(lim 0t A dt d t A t →),
(22t A dt
d ,)(t A dt d
)(t A dt d . 解：根据函数矩阵的极限与导数的概念与计算方法，有
（1）?????
?
?
???=?????
???????=→→→→→→→→→→001011010lim 0
lim 1lim lim lim sin lim
lim cos lim sin lim )(lim 300
200
00
0t t e t
t
t t
t t A t t t t t
t t t t t t ；
（2）?????
?
?????
?--=??????????'''''''''=22
32
30
02sin cos 1sin cos )(01)()()sin ()(cos )(sin )(t t e t t t t t t
t t e t t t t t t A dt d t t ； （3）????
?
????
?----==t e t t t t t t t A dt
d dt d t A dt d t 60
02cos 2sin )2(0cos sin ))(()(2
22
； （4）=
)(t A dt d '
3
20
1
sin cos sin t t e t
t t t t
t
)
2cos 2(sin )sin cos 2(]1)cos (sin sin 3[32t t t t t t t t t t t t t e t +--+--++=
（5）)(t A dt d ＝2
2
30
2sin cos 1sin cos t t e t t t t t t
t -- )sin cos (sin 3cos 32t t t t t e t t -+=.
4．设函数矩阵
????
?????
?=-00
302)(222x e e x xe e x A x x
x x ， 计算?1
0)(dx x A 和??
? ???20)(x dt t A dx d . 解：根据函数矩阵积分变限积分函数的导数的概念与计算方法，有
（1）?10)(dx x A ＝??
?
??
?
??????????????-0030210
1
21
1
2
10
10
2xdx dx e dx
e dx x dx xe dx e x x x
x ??????
???????
?---=-00
23011311)1(212
12
e e e ； （2）??? ???20)(x dt t A dx d ＝)(22
x xA ＝????
?????
?-00
3022
2422222
2
x e e
x e x e x x x
x
. 5.设,))(,),(),((21T n t y t y t y y =A 为n 阶常数对称矩阵，Ay y y f T
=)(，
证明：
（1）
dt dy A y dt df T 2=； （2）dt
dy y y dt d T
22
2=. 证明：（1）y A y Ay y Ay y dt
df
T T T '+'='=)()(y A y Ay y T T T '+'=))((
y A y T '=2dt
dy
A y T 2=，
（2）dt
dy y yy dt d y dt d T
T 2)(2
2==. 6.证明关于迹的下列公式：
（1）
X X X tr dX d XX tr dX d T T 2)()(==； （2）T T T B B X tr dX d BX tr dX d ==)()(； （3）X A A AX X tr dX
d
T T )()(+=. 其中m m ij m n ij n m ij a A b B x X ???===)(,)()(.
证明：（1）因为
∑∑====m
i n
j ij T
T
x X X tr XX tr 112
)()(，
而
ij m i n j ij ij x x x 2)(11
2
=??∑∑==， 故
X X X tr dX
d XX tr dX d T T 2)()(== （2）因为
n n m
k kj ik x b BX ?=∑=)(1
，
则
∑∑====n j m
k kj jk T
T
x b B X tr BX tr 11
)()(，
而
ji n j m
k kj jk ij b x b x =??∑∑==)(11
， 故
T T T B B X tr dX
d BX tr dX d ==)()(. (3) 因为
,2122212
12111
?
?
???
???????=mn n n m m T
x x x x x x x x x X
??
????
??????????????=∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========m
k kn mk m k k mk m
k k mk m
k kn k m
k k k
m
k k k m
k kn k m
k k k m
k k k x a x
a
x a x a x a
x
a x a x a x a AX 112
1
11
212
21
1
21
11
2111
1
故
)
()()()(1
1
ln 1
1
1
1
11∑∑∑∑∑∑======++++=m l m
k kn lk m
l m k kj lk lj m l m k k lk l T
x a x x a x x a x AX X tr 则
))(()(11
∑∑==??=??m l m
k kj lk lj ij T
ij x a x x AX X tr x )]([1
11∑∑∑===??+??=m
k kj lk ij lj m
k kj lk ij lj
m
l x a x x x a x x ∑∑==+=m
l lj li m
k kj ik x a x a 1
1
故
X A A X A AX AX X tr dX
d
T T T )()(+=+=. 7．证明：
T
T T T T T dX db a dX da b b a dX d +=)(， 其中)(),(X b X a 为向量函数.
证明：
设
T m T m X b X b X b X b X a X a X a X a ))(,),(),(()(,))(,),(),(()(2121 ==，
则
∑==m
i i i T
X b X a X b X a 1
)()()()(，
故它是X 的数量函数，设
)()()(X b X a X f T =，
有
),,,())()((21n
T
T
x f x f x f X b X a dX d ??????= ?
??? ?????? ????+?????? ?
???+??=∑∑==m i n i i i n i m i i i i i x X b X a X b x X a x X b X a X b x X a 1111)()()()(,,)()()()( ∑∑∑===??????=m
i i n i m i i i m
i i i X b x X a X b x X a X b x X a 1
1211))()
(,,)()(,)()(( ))
()(,,)()(,)()((11211∑∑∑===??????+m
i n
i i m i i i m
i i i x X b X a x X b X a x X b X a
T
T T T
dX db a
dX da b +=. 8.在2
R 中将向量T
x x ),(21表示成平面直角坐标系21,x x 中的点T
x x ),(21，分别画出下列不等式决定的向量T
x x x ),(21=全体所对应的几何图形：
(1) ,11≤x (2) ，
12
≤x (3) 1≤∞x . 解：根据
,1211≤+=x x x ,12
2212
≤+=x x x
{}1,max 21≤=∞x x x ，
作图如下：
9.证明对任何n
C y x ∈,，总有
)(2
12222y x y x x y y x T T --+=
+. 证明：因为
y y x y y x x x y x y x y
x T T T T T +++=++=+)()(22
y y x y y x x x y x y x y x T T T T T +--=--=-)()(2
2
故
x y y x y x y x T T +=--+)(2
12
222 10.证明：对任意的n
C x ∈，有
12x x x
≤≤∞
.
证明：设T
n x x x x ),,,(21 =，则
{}n
n n x x x x x x x x
x x x x +++=+++=
=∞
2112
2
22
12
21,,,,,max
由于
{}2212
2
22
1221)(),,,(max n n
n x x x x x x x x x +++≤+++≤ ，
故
2
122
2x x
x
≤≤∞
，
即
12x x x
≤≤∞
.
11.设n a a a ， ,,21是正实数，证明：对任意n
T n C x x x X ∈=),,(21， ，
2
1
12??
? ??=∑=n
i i i x a X
是n
C 中的向量范数.
证明：因为 （1）,02
112≥??
?
?
?
=∑=n
i i i
x a X 且00=?=X X ；
（2）X k x a k x a k kx a kX n
i i i n
i i i n
i i i =??
?
??=??? ??=???
??
=∑∑∑===2
1122
11222
112；
（3）对于n
T n C y y y Y ∈=),,(21， ，
T n n y x y x y x Y X ),,(2211+++=+， ，
则
21
2
1
2
1
2
2
)(2Y X Y X y a x a y x a Y
X n
i i
i n
i i
i n
i i
i i +=++≤+=+∑∑∑===
故
Y X Y X +≤+.
因此2
1
12??
?
??
=∑=n
i i i x a X 是n
C 中的向量范数. 12.证明：
ij n
j i a n A ≤≤=,1m ax
是矩阵n n ij a A ?=)(的范数，并且与向量的1－范数是相容的.
证明:因为
(1) 0m ax ,1≥=≤≤ij n
j i a n A ,且O A =?0=A ;
(2) A k a n k ka n kA ij n
j i ij n
j i =≥=≤≤≤≤,1,1m ax m ax ;
(3) B A b n a n b a n B A ij n
j i ij n
j i ij ij n
j i +=+≥+=+≤≤≤≤≤≤,1,1,1m ax m ax m ax
(4)设T
n x x x X ),,,(21 =,则
T n
j j nj n j j j n j j j x a x a x a AX ),,,(1
1
21
1∑∑∑==== ，
故
∑∑∑===+
++
=
n
j j nj
n
j j j
n
j j j
x a
x a
x a
AX 1
1111
∑∑∑=≤≤=≤≤=≤≤+++≤n
j j nj n
j n
j j j n
j n
j j
j
n
j x a x a x
a 1
11
21111max max max
11
,1max X A x
a n n
j j
ij
n
j i =≤∑=≤≤
因此ij n
j i a n A ≤≤=,1m ax 是与向量的1－范数相容的矩阵范数.
13.设n
n C
A ?∈，且A 可逆，证明：
1
1--≥A
A .
证明:由于
I AA =-1,1=I ,
则
111--≤==A A AA I ,
故
1
1--≥A
A .
14.设n
n C