习题一
1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11
{()|
0}n
ij n n ii
i V A a a
⨯====∑，对矩阵加法和数乘运算；
（2）2{|,}n n T V A A R A A ⨯=∈=-，对矩阵加法和数乘运算；
（3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3
,,0R k R k αα∀∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。 解： （1）、（2）为R 上线性空间
（3）不是，由线性空间定义，对0α∀≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。
2.求线性空间{|}n n
T V A R A A ⨯=∈=的维数和一组基。
解：一组基
100
010
10
101010000000100............
......0010010⎧⎫
⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭
⎝
⎭⎝
⎭⎝
⎭
⎝
⎭
⎩⎪⎪⎪⎪⎭
dim W =n (
n +1)/2
3.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ⊆，证明：U 1=U 2。 证明：因为dim U 1=dim U 2，故设
{}12,,,r ααα为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββ为空间U 2的一组基
2U γ∀∈，有
()12
r X γγβββ=
而
()()12
12r r C αααβββ=，C 为过渡矩阵，且可逆
于是
()()()112
12121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈
由此，得
21
U U ⊆
又由题设12U U ⊆，证得U 1=U 2。
4.设111213315A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，讨论向量(2,3,4)T
α=是否在R (A )中。
解：构造增广矩阵()111|2111|2|213|3011|1315|4000|0A α⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
矩阵A 与其增广矩阵秩相同，向量α可由矩阵A 的3个列向量线性表示，α在列空间R (A )中。
5.讨论线性空间P 4[x ]中向量3211P x x x =+++，32223P x x x =-+，32
3452P x x x =+++的线性
相关性。
解：()23123
10
2135(1)11112
4P P P x x x ⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪-
⎪⎝⎭
而
102102135011111000124000⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
→ ⎪ ⎪
-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，该矩阵秩为2 所以向量组P 1,P 2,P 3线性相关。
6.设m n A R ⨯∈，证明dim R (A )+dim N (A )=n 。 证明：12(){,,
,}n R A L A A A =，(){|0,}n N A X AX X R ==∈
假定dim R (A )=r ，且设12,,,r A A A 为R (A )的一组基 则存在12,,
,(1,
,)i i ri
k k k i r n =+，其中12,,
,i i ri k k k 不全为零
使11220(1,
,)i i ri r i k A k A k A A i r n ++++==+
显然
1,11,21,2,12,22,,1,2,()100010001r r n r r n r r r r r n k k k k k k k k k N A ++++++⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
上述n -r 个向量线性无关，而()121,,,,1,0,
0T
s k k k -，s ,r
A A A 线性无关矛盾，故
dim N (A )=n -r 所以
dim R (A )+dim N (A )=n
7.设113021211152A -⎛⎫ ⎪
=-- ⎪ ⎪--⎝⎭
，求矩阵A 的列空间R (A )和零空间N (A )。
解：通过矩阵的行初等变换将矩阵A 化为行阶梯形
113011302121014111520000A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→- ⎪ ⎪
⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
矩阵A 的秩为2，从A 中选取1、2列（线性无关）作为R (A )的基，于是
()()
{
}()121,111T T
R A L =----
由0AX =，1234(,,,)T X x x x x =，rank(A )=2，有
123
2
3434x x x x x x -=-⎧⎨
-=--⎩ 分别取341,0x x ==和340,1x x ==，求得齐次方程0AX =解空间的一组基
()()1410,1101T T
所以A 的零空间为
()()
{
}()1410,1101T T
N A L =
8.在22R ⨯中，已知两组基
