逻辑函数的卡诺图化简法

1.4 用卡诺图化简逻辑函数本次重点内容1、卡诺图的画法与性质2、用卡诺图化简函数 教学过程 应用卡诺图化简 一、卡诺图逻辑函数可以用卡诺图表示。

所谓卡诺图，就是逻辑函数的一种图形表示。

对n 个变量的卡诺图来说，有2n 个小方格组成，每一小方格代表一个最小项。

在卡诺图中，几何位置相邻（包括边缘、四角）的小方格在逻辑上也是相邻的。

二、最小项的定义及基本性质： 1、最小项的定义在n 个变量的逻辑函数中，如乘积项中包含了全部变量，并且每个变量在该乘积项中或以原变量或以反变量的形式但只出现一次，则该乘积项就定义为该逻辑函数的最小项。

通常用m 表示最小项，其下标为最小项的编号。

编号的方法是：最小项的原变量取1，反变量取0，则最小项取值为一组二进制数，其对应的十进制数便为该最小项的编号。

如最小项C B A 对应的变量取值为000，它对应十进制数为0。

因此，最小项C B A 的编号为m 0，如最小项C B A 的编号为m 4，其余最小项的编号以此类推。

2、最小项的基本性质：（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而其余各种变量取值均使它的值为0。

（2）不同的最小项，使它的值为1的那组变量取值也不同。

（3）对于变量的任一组取值，全体最小项的和为1。

图1.4.1分别为二变量、三变量和四变量卡诺图。

在卡诺图的行和列分别标出变量及其状态。

变量状态的次序是00，01，11，10，而不是二进制递增的次序00，01，10，11。

这样排列是为了使任意两个相邻最小项之间只有一个变量改变（即满足相邻性）。

小方格也可用二进制数对应于十进制数编号，如图中的四变量卡诺图，也就是变量的最小项可用m0, m１,m２,……来编号。

01 0100011110 01ABCABCDBA0001111000011110m m m mm m m mm mm m01230112233mmmmmmmmmmmmmmmm456789101112131415图1.4.1 卡诺图二、应用卡诺图表示逻辑函数应用卡诺图化简逻辑函数时，先将逻辑式中的最小项(或逻辑状态表中取值为1的最小项)分别用1填入相应的小方格内，其它的则填0或空着不填。

逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法由前面的学习得知，利用代数法可以使逻辑函数变成较简单的形式。

但要求熟练掌握逻辑代数的基本定律，而且需要一些技巧，特别是经化简后得到的逻辑表达式是否是最简式较难确定。

运用卡诺图法可以较简便的方法得到最简表达式。

但首先需要了解最小项的概念。

一、最小项的定义及其性质1.最小项的基本概念由A、B、C三个逻辑变量构成的许多乘积项中有八个被称为A、B、C的最小项的乘积项，它们的特点是1. 每项都只有三个因子2. 每个变量都是它的一个因子3. 每一变量或以原变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，或以反（非）变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，各出现一次一般情况下，对ｎ个变量来说，最小项共有2n个，如n ＝3时，最小项有23＝8个2.最小项的性质为了分析最小项的性质，以下列出３个变量的所有最小项的真值表。

由此可见，最小项具有下列性质：（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1，而在变量取其他各组值时，这个最小项的值都是0。

（2）不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同。

（3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。

（4）对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。

3.最小项的编号最小项通常用mi表示，下标i即最小项编号，用十进制数表示。

以ABC为例，因为它和011相对应，所以就称ABC是和变量取值011相对应的最小项，而011相当于十进制中的3，所以把ABC记为m3按此原则，3个变量的最小项二、逻辑函数的最小项表达式利用逻辑代数的基本公式，可以把任一个逻辑函数化成一种典型的表达式，这种典型的表达式是一组最小项之和，称为最小项表达式。

下面举例说明把逻辑表达式展开为最小项表达式的方法。

例如，要将化成最小项表达式,这时可利用的基本运算关系,将逻辑函数中的每一项都化成包含所有变量A、B、C的项，然后再用最小项下标编号来代表最小项，即又如，要将化成最小项表达式，可经下列几步：（1）多次利用摩根定律去掉非号，直至最后得到一个只在单个变量上有非号的表达式；（2）利用分配律除去括号，直至得到一个与或表达式；（3）在以上第5个等式中，有一项AB不是最小项（缺少变量C），可用乘此项，正如第6个等式所示。

第十章 数字逻辑基础补充：逻辑函数的卡诺图化简法1．图形图象法：用卡诺图化简逻辑函数，求最简与或表达式的方法。

卡诺图是按一定规则画出来的方框图。

优点：有比较明确的步骤可以遵循，结果是否最简，判断起来比较容易。

缺点：当变量超过六个以上，就没有什么实用价值了。

公式化简法优点：变量个数不受限制缺点：结果是否最简有时不易判断。

2．最小项（1）定义：是一个包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的形式出现一次。

注意：每项都有包括所有变量，每个乘积它中每个变量出现且仅出项1次。

如：Y=F （A ，B ） （2个变量共有4个最小项B A B A B A AB ）Y=F （A ，B ，C ） （3个变量共有8个最小项C B A C B A C B A BC A C B AC B A C AB ABC ）结论： n 变量共有2n 个最小项。

三变量最小项真值表（2）最小项的性质①任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为1： ②任意两个最小项的乘种为零； ③全体最小项之和为1。

（3）最小项的编号：把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号，用m i 表示。

3．最小项表达式——标准与或式任何逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式——标准与或式。

而且这种形式是惟一的，即一个逻辑函数只有一种最小项表达式。

例1．写出下列函数的标准与或式：Y=F(A,B,C)=AB+BC+CA 解：Y=AB(C +C)+BC(A +A)+CA(B +B)=ABC C B A ABC BC A ABC C AB +++++ =ABC C B A BC A C AB +++ =3567m m m m +++例2.写出下列函数的标准与或式：C B AD AB Y ++=解：))()(C B D A B A Y +++=（ ))((C B D B A ++= D C B C A B A B A +++=D C B A D C B A C B A C B A BC A ++++=D C B A D C B A D C B A D C B A D C B A D BC A BCD A ++++++=_ 8014567m m m m m m m ++++++= ＝）8,7,6,5,4,1,0(m ∑ 列真值表写最小项表达式。

一、公式法化简：是利用逻辑代数的基本公式，对函数进行消项、消因子。

常用方法有：①并项法利用公式AB+AB’=A 将两个与项合并为一个，消去其中的一个变量。

②吸收法利用公式A+AB=A 吸收多余的与项。

③消因子法利用公式A+A’B=A+B 消去与项多余的因子④消项法利用公式AB+A’C=AB+A’C+BC 进行配项，以消去更多的与项。

⑤配项法利用公式A+A=A，A+A’=1配项，简化表达式。

二、卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图表示法将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上相邻排列，得到的图形叫做n变量最小项的卡诺图。

逻辑相邻项：仅有一个变量不同其余变量均相同的两个最小项，称为逻辑相邻项。

1.表示最小项的卡诺图将逻辑变量分成两组，分别在两个方向用循环码形式排列出各组变量的所有取值组合，构成一个有2n个方格的图形，每一个方格对应变量的一个取值组合。

具有逻辑相邻性的最小项在位置上也相邻地排列。

用卡诺图表示逻辑函数：方法一：1、把已知逻辑函数式化为最小项之和形式。

2、将函数式中包含的最小项在卡诺图对应的方格中填1，其余方格中填0。

方法二：根据函数式直接填卡诺图。

用卡诺图化简逻辑函数：化简依据：逻辑相邻性的最小项可以合并，并消去因子。

化简规则：能够合并在一起的最小项是2n个。

如何最简：圈数越少越简；圈内的最小项越多越简。

注意：卡诺图中所有的1 都必须圈到，不能合并的1 单独画圈。

说明，一逻辑函数的化简结果可能不唯一。

合并最小项的原则：1）任何两个相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量。

2）任何4个相邻的最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。

3）任何8个相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。

卡诺图化简法的步骤：画出函数的卡诺图;画圈（先圈孤立1格；再圈只有一个方向的最小项（1格）组合）；画圈的原则：合并个数为2n；圈尽可能大（乘积项中含因子数最少）；圈尽可能少（乘积项个数最少）；每个圈中至少有一个最小项仅被圈过一次，以免出现多余项。

逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简是数理逻辑中的一个重要概念，它指的是将复杂的逻辑函数表示形式简化为更为简洁的形式。

逻辑函数化简的目的是为了方便逻辑分析、简化逻辑电路的设计和优化等。

在进行逻辑函数的化简时，可以使用多种方法，包括真值表、卡诺图、代数法等。

下面我将介绍一些常用的逻辑函数化简方法。

1. 真值表法：真值表法是一种直观的方法，适用于简单的逻辑函数。

它通过列出逻辑函数的所有可能输入和对应的输出，通过观察输入和输出之间的关系，找出逻辑函数的简化形式。

2. 卡诺图法：卡诺图法是一种图形化的方法，适用于中等规模的逻辑函数。

它将逻辑函数的输入和输出用二进制位表示，并用一个方格来表示逻辑函数的真值。

通过观察方格的分布情况，将含有相同输出的方格组合起来，得到逻辑函数的简化形式。

3. 代数法：代数法是一种基于代数运算的方法，适用于任意规模的逻辑函数。

它利用逻辑函数的布尔代数性质，通过运用逻辑运算规则和化简规则，将逻辑函数逐步化简为最简形式。

逻辑函数的化简过程一般包括以下几个步骤：1. 将逻辑函数的输入和输出用适当的变量表示。

例如，对于一个三输入的逻辑函数，可以用A、B、C来表示输入变量，用F表示输出变量。

2. 根据逻辑函数的真值表或卡诺图，观察输入变量与输出变量之间的关系，找出可能的化简形式。

这一步可以根据特定的方法进行，如真值表中可以用观察方式寻找具有相同输出的输入组合，卡诺图中可以利用方格分布情况找到可以合并的项等。

3. 利用逻辑运算规则和化简规则，将逻辑函数逐步化简。

逻辑运算规则包括与、或、非、异或、与非、或非等运算规则，化简规则包括吸收律、分配律、德摩根定理等。

4. 不断重复第3步，直到无法再进行化简为止。

最终得到逻辑函数的最简形式。

需要注意的是，逻辑函数的化简目标是找到最简形式，而不一定是最简单形式。

最简形式是指逻辑函数无法再进行化简，而最简单形式是指逻辑函数中只包含最少的逻辑门。

总的来说，逻辑函数的化简方法包括真值表法、卡诺图法和代数法等。

利用卡诺图化简逻辑函数的方法称为卡诺图化简法或图形化简法。

化简时依据的基本原理就是具有相邻性的最小项可以合并，并消去不同的因子。

由于在卡诺图上几何位置相邻与逻辑上的相邻性是一致的，因而从卡诺图上能直观地找出那些具有相邻性的最小项并将其合并化简。

1.合并最小项的规则(1)若两个最小项相邻，则可合并为一项并消去一对因子。

合并后的结果中只剩下公共因子。

(2)若四个最小项相邻并排列成一个矩形组，则可合并为一项并消去两对因子。

合并后的结果中只包含公共因子。

(3)若八个最小项相邻并且排列成一个矩形组，则可合并为一项并消去三对因子。

合并后的结果中只包含公共因子。

l下图给出了最小项相邻的几种情况最小项相邻的几种情况图(a)(b)两个最小项相邻(c)(d)四个最小项相邻(e)八个最小项相邻至此，可以归纳出合并最小项的一般规则：如果有个最小项相邻（n=1，2，…）并排列成一个矩形组，则它们可以合并为一项，并消去n对因子。

合并后的结果中仅包含这些最小项的公共因子。

2.卡诺图化简法的步骤用卡诺图化简逻辑函数时可按如下步骤进行：(1)将函数化为最小项之和的形式。

(2)画出表示该逻辑函数的卡诺图。

(3)找出可以合并的最小项。

(4)选取化简后的乘积项。

选取的原则：n这些乘积项应包含函数式中所有的最小项（应覆盖卡诺图中所以的1）n所用的乘积项数目最少，即可合并的最小项组成的矩形组数目最少n每个乘积项包含因子最少，即各可合并的最小项矩形组中应包含尽量多的最小项例1：用卡诺图化简法将式化简为最简与—或函数式解：首先画出表示函数y的卡诺图，如图通过合并最小项，得出结果，左图：右图：注：l在填写y的卡诺图时，并不一定要将y化为最小项之和的形式。

l需要找出可以何并的最小项，将可能合并的最小项用线圈出，有时存在多种可能合并最小项的方案，所以有时一个逻辑函数的化简结果不是唯一的。

例2：用卡诺图法将化为最简与—或逻辑式解：首先画出y的卡诺图，然后把可能合并的最小项圈出，并按照前面所述的原则选择化简与—或式中的乘积项最后得到结果l补充说明：在以上的两个例子中，我们都是通过合并卡诺图中的1来求得化简结果的。