逻辑函数的卡诺图

逻辑函数的卡诺图化简默认分类2009-11-21 13:33:47 阅读74 评论0 字号：大中小逻辑函数有四种表示方法，分别是真值表、逻辑函数式、逻辑图和卡诺图。

前三种方法在1.3.4中已经讲过，此处首先介绍逻辑函数的第四种表示方法－卡诺图表示法。

1.5.1 用卡诺图表示逻辑函数1．表示最小项的卡诺图（1）相邻最小项若两个最小项只有一个变量为互反变量，其余变量均相同，则这样的两个最小项为逻辑相邻，并把它们称为相邻最小项，简称相邻项。

例如三变量最小项ABC和AB，其中的C和为互反变量，其余变量AB都相同，故它们是相邻最小项。

显然两个相邻最小项相加可以合并为一项，消去互反变量，如。

（2）最小项的卡诺图将n 变量的2n 个最小项用2n 个小方格表示，并且使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻，这样排列得到的方格图称为n 变量最小项卡诺图，简称为变量卡诺图。

二变量、三变量、四变量的卡诺图如图1-17所示。

图1-17变量卡诺图注意：卡诺图一般画成正方形或矩形，卡诺图中小方格数应为2n 个；变量取值的顺序按照格雷码排列。

几何相邻的三种情况：①相接——紧挨着，如m5和m7、m8和m12等；②相对——任意一行或一列的两头（即循环相邻性，也称滚转相邻性）如m4和m6、m8和m10 、m3和m11等；相重——对折起来位置相重合，如五变量卡诺图中m19和m23、m25和m29等，显然相对属于相重的特例。

2．逻辑函数的卡诺图上面讲的是空白卡诺图，任何逻辑函数都可以填到与之相对应的卡诺图中，称为逻辑函数的卡诺图。

对于确定的逻辑函数的卡诺图和真值表一样都是唯一的。

（1）由真值表填卡诺图由于卡诺图与真值表一一对应，即真值表的某一行对应着卡诺图的某一个小方格。

因此如果真值表中的某一行函数值为“1”，卡诺图中对应的小方格填“1”；如果真值表的某一行函数值为0”，卡诺图中对应的小方格填“0”。

即可以得到逻辑函数的卡诺图。

【例1-18】已知逻辑函数,画出表示该函数的卡诺图解:逻辑函数的真值表如表1-14所示。

逻辑函数的卡诺图化简法211.6 逻辑函数的卡诺图化简法2【预习】第三册课本第26⾄28页内容.【预习⽬标】了解逻辑函数的卡诺图的概念，了解卡诺图作图的作图⽅法及注意点. 【导引】1．卡诺图：卡诺图是根据最⼩项真值表按相邻原则（⼏何位置上相邻的⼩⽅格只有⼀个因⼦互为反变量，⽽且⽔平、垂直⽅向的两端也如此）排列⽽成的⽅格图，即每⼀个⼩⽅格表⽰⼀个最⼩项．对于含有两个逻辑变量（记为A,B ）的逻辑函数,⽤00表⽰B A ?，01表⽰B A ?，10表⽰B A ?，11表⽰B A ?，其卡诺图的形式如下：将逻辑函数表⽰成最⼩项表达式后，只要在出现的最⼩项对应的⽅格内填上1，其余的填上0即可.对于含有三个逻辑变量（记为A,B,C ）的逻辑函数，可以仿照两个变量的符号表⽰⽅法，得到其卡诺图形式如下：将逻辑函数表⽰成最⼩项表达式后，只要在出现的最⼩项对应的⽅格内填上1，其余的填上0即可.对于含有四个逻辑变量（记为A,B,C,D ）的逻辑函数，仿照上⾯的⽅法可以得到其卡诺图形式如下：将逻辑函数表⽰成最⼩项表达式后，只要在出现的最⼩项对应的⽅格内填上1，其余的填上0即可.【试试看】1.卡诺图的每⼀个⼩⽅格对应着函数的（） A ．最⼤项B ．最⼩项C ．最简函数项D ．输⼊项2.变量为A 、B 、C 的逻辑函数其最⼩项有个，对应的卡诺图⼩⽅格有个.【本课⽬标】了解卡诺图的概念，能根据给定的逻辑函数，画出其对应的卡诺图. 【重点】卡诺图的概念，给定逻辑函数，画出其对应的卡诺图. 【难点】由逻辑函数画卡诺图. 【导学】任务1：学会画出逻辑函数对应的卡诺图.【例1】例1 画出逻辑函数()C B A C B A BC A C AB ABC C B A f ++++=,,对应的卡诺图．【试⾦⽯】画出逻辑函数()C AB C B A BC A ABC C B A f +++=,,对应的卡诺图．【例2】画出逻辑函数()C A C B ABC C B A f ++=,,对应的卡诺图．【试⾦⽯】画出逻辑函数()C B A C B A A C B A f ++=,,对应的卡诺图．【检测】画出逻辑函数(),,f A B C AB BC AB =++对应的卡诺图．【导练】⼀、选择题1.关于作卡诺图说法错误的是（）A.卡诺图是根据最⼩项真值表按相邻原则排列⽽成的⽅格图B.根据变量数的不同，卡诺图可画成2⾏2列、2⾏4列、4⾏4列的形式C.三个变量的卡诺图第⼀⾏的4个取值依次为 00、01、10、11D.卡诺图中每⼀个⼩⽅格表⽰⼀个最⼩项2. 逻辑函数C B A C B A C AB Y ++=的卡诺图为（）A. B.C. D.3.最⼩项D C AB 的逻辑相邻项为（）A. D C B AB. ABCDC. D ABCD. D C B A ⼆、填空题4.将逻辑函数C B A B A Y +=展开为最⼩项表达式为．5.将逻辑函数()C B A Y +=展开为最⼩项表达式为．三、解答题6. 画出逻辑函数()CD B A D C B A CD B A D C AB D C B A f +++=,,,对应的卡诺图．7. 画出逻辑函数()C B C B C A C A C B A f +++=,,对应的卡诺图．。

逻辑函数的卡诺图化简法 习题及参考答案习题1 用卡诺图化简下列函数，并写出最简与或表达式： （1）C B C B B A F ++=参考答案：B A F +=，卡诺图如下所示。

（2）D B A CD A B A D C A ABD F ++++=参考答案：CD A D B A D C B BD B A F +⋅+⋅⋅++=，卡诺图如下所示。

（3）()15,13,10,8,7,5,2,0),,,(∑=D C B A F参考答案：D B BD F ⋅+=，卡诺图如下所示。

习题2 用卡诺图化简下列具有约束条件为AB +AC = 0的函数，并写出最简与或表达式：（1）C A B A F +=参考答案：C A B F ⋅+=，卡诺图如下所示。

（2）D C B A D B A BD A C B A F +++=参考答案：D A C B F ++=，卡诺图如下所示。

习题3 根据如下真值表，写出逻辑函数。

化简此函数，并画出逻辑图。

A B C F 1 F 2 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 10 1 1 0 0 1 0 10 0 0 1 0 1 1 1参考答案：C B A AC C B ABC C B A C B A C B A F ++=+++⋅=1BC AC AB ABC C AB C B A BC A F ++=+++=2逻辑图如下所示：习题4 某逻辑电路有三个输入A 、B 、C ，当输入相同时，输出为1，否则输出为0，列出此逻辑事件的真值表，写出逻辑表达式。

参考答案：真值表如下图所示 逻辑表达式为ABC C B A F +⋅⋅=。

逻辑函数卡诺图表示方法从前面可知，代数化简法有其优点，但是代数化简法也不易判断所化简的逻辑函数式是否已经达到最简式。

一、最小项的定义 1.最小项如果一个具有n 个变量的逻辑函数的“与项”包含全部n 个变量，每个变量以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这种“与项”被称为最小项。

对两个变量A 、B 来说，可以构成4个最小项：AB B A B A AB 、、、；对3个变量A 、B 、C 来说，可构成8个最小项：C AB C B A C B A BC A C B A C B A C B A 、、、、、、和ABC ；同理，对n 个变量来说，可以构成2n 个最小项。

2.最小项的编号最小项通常用符号m i 表示，i 是最小项的编号，是一个十进制数。

确定i 的方法是：首先将最小项中的变量按顺序A 、B 、C 、D … 排列好，然后将最小项中的原变量用1表示，反变量用0表示，这时最小项表示的二进制数对应的十进制数就是该最小项的编号。

例如，对三变量的最小项来说，ABC 的编号是7符号用m 7表示，C B A 的编号是5符号用m 5表示。

下表为3变量最小项对应表。

3变量全部最小项的真值表3.最小项表达式如果一个逻辑函数表达式是由最小项构成的与或式，则这种表达式称为逻辑函数的最小项表达式，也叫标准与或式。

例如：ABCD D ABC D BC A F ++=是一个四变量的最小项表达式。

对一个最小项表达式可以采用简写的方式，例如()()∑=++=++=7,5,2,,752m m m m ABC C B A C B A C B A F要写出一个逻辑函数的最小项表达式，可以有多种方法，但最简单的方法是先给出逻辑函数的真值表，将真值表中能使逻辑函数取值为 1的各个最小项相或就可以了。

例：已知三变量逻辑函数：F ＝AB ＋BC ＋AC ，写出F 的最小项表达式。

解：首先画出F 的真值表，将表中能使F 为1的最小项相或可得下式ABC C AB C B A BC A F +++=()∑=7,6,5,3m4.最小项的性质：①任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1，而其余各项的取值均使它的值为0。

逻辑函数的卡诺图化简法代数化简法的优点是不受变量数目的限制。

缺点是：没有固定的步骤可循；需要熟练运用各种公式和定理；需要一定的技巧和经验；有时很难判定化简结果是否最简。

本节介绍一种比代数法更简便、直观的化简逻辑函数的方法。

它是一种图形法，是由美国工程师卡诺（Karnaugh ）发明的，所以称为卡诺图化简法。

卡诺图实际上是真值表的一种变形，一个逻辑函数的真值表有多少行，卡诺图就有多少个小方格。

所不同的是真值表中的最小项是按照二进制加法规律排列的，而卡诺图中的每一项则是按照相邻性排列的。

1．卡诺图的结构（1）二变量卡诺图。

00011110m ABm AB1m 03m AB AB4A(a)B 0132AB(b)（2）三变量卡诺图。

0m ABC m ABC 1m 3m ABC ABC 265m ABC74ABCm m m ABCABC0(a)(b)132457610011100BCA 01BC A（3）四变量卡诺图。

m 0ABCD ABCD m 1ABCD m 3m ABCD 2m 567m m ABCD ABCD m ABCD 4ABCD ABCD m m 13ABCD ABCD 1412m 15m ABCDABCD ABCD m ABCD 8m 1011m 9m ABCD ABCD 0132765413141512981110AB CD0000010111111010(a)(b)2．从真值表到卡诺图例3.2.3 某逻辑函数的真值表如表3.2.3所示，用卡诺图表示该逻辑函数。

解： 该函数为三变量，先画出三变量卡诺图，然后根据表3.2.3将8个最小项L 的取值0或者1填入卡诺图中对应的8个小方格中即可，如图3.2.4所示。

图3.2.4 例3.2.3的卡诺图3．从逻辑表达式到卡诺图（1）如果逻辑表达式为最小项表达式，则只要将函数式中出现的最小项在卡诺图对应的小方格中填入1，没出现的最小项则在卡诺图对应的小方格中填入0。

卡诺图
n个最小项组织在给定的方格矩阵中，同时为相邻最小项（相邻与项）运用邻接律化简提供了直观的图形工具。

[编辑]变量卡诺图
▪表示各最小项的2n（n-变量数）个小格，排列呈矩形。

▪小格按“循环码”排列，保证最小项间“几何相邻”与“逻辑相邻性”的统一。

（几何相邻有“内相邻”“外相邻”和“中心对称”）
[编辑]函数卡诺图
把函数包含的所有最小项，以“1”填入变量卡诺图对应编号的小格
内。

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[编辑]用卡诺图化简逻辑函数的步骤
▪如果表达式为最小项表达式，则可直接填入卡诺图
▪如表达式不是最小项表达式，但是“与—或表达式”，可将其先化成最小项表达式，再填入卡诺图。

也可直接填入。

▪合并相邻的最小项，即根据下述原则画圈
▪尽量画大圈，但每个圈内只能含有2n（n=0,1,2,3……）个相邻项。

要特别注意对边相邻性和四角相邻性。

▪圈的个数尽量少。

▪卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，即不能漏下取值为1的最小项。

▪在新画的包围圈中至少要含有1个未被圈过的1方格，否则该包围圈是多余的。

▪写出化简后的表达式。

每一个圈写一个最简与项，规则是，取值为l的变量用原变量表示，取值为0的变量用反变量表示，将这些变量相与。

然后将所有与项进行逻辑加，即得最简与—或表达式。

在进行化简时，如果用图中真值为0的项更方便，可以用他们来处理，方法和真值取1时一样，只是结果要再做一次求反。

第二章 逻辑函数及逻辑门2-1 基本逻辑函数及运算规律 2-2 逻辑函数的真值表 2-3 逻辑函数的卡诺图卡诺图是逻辑函数的另一种表格化表示形式，它不但具有真值表的优点，还可以明确函数的最小项、最大项或任意项，并可一次性获得函数的最简表示式，所以卡诺图在逻辑函数的分析和设计中，得到了广泛的应用。

2-3-l 卡诺图的构成卡诺图是用直角坐标来划分一个逻辑平面，形成棋坪式方格，每个小方格就相当于输入变量的每一种组合。

小格中所填的逻辑值，即为对应输出函数值。

小格的编号就是输入变量按二进制权重的排序。

和真值表不同的是，坐标的划分应使变量在相邻小格间是按循环码排列的，因而便于函数在相邻最小项或最大项之间的吸收合并，能一目了然达到化简的目的。

二变量 卡诺图三变量 卡诺图四变量卡诺图例2-13 试画出函数Y＝f (A，B，C，D)的卡诺图。

Y＝∑m(0，1，2，8，11，13，14，15)+∑d(7，10)解按题中最小项及任意项的序号，分别在四变量卡诺图的对应小格内，填1或-，其余空格则填0，如图2-3所示。

由函数表达式填卡诺图例2-14试画出的卡诺图。

解：本题函数是四变量的积之和表达式，在填卡诺图之前，可先将它配项成最小项之和表达式：Y=∑m(2，5，8，10，12，14，15)同理，若已给函数是最大项之积表达式，则可按最大项序号在卡诺图对应格内填0，其余空格则填1。

若已给函数是和之积表达式，则可将函数配项成最大项之积形式，再按上述原则画卡诺图。

如果已知函数是既有积之和项，又有和之积项的混合形式，视方便可将它化成单一的积之和，或者是和之积形式，再进一步化成标准形式后，便可画成卡诺图。

例2-15 试画出函数Y的卡诺图。

Y＝ПM(1，2，7)ΠD(3，6)解作三变量的卡诺图，如图2-5所示五变量卡诺图Y＝AD+ABC+BCD+ABCD2-3-2用卡诺图化简函数 一、卡诺图化简原理 (1) 圈1法(最小项之和) ● 规则 ● 表达式例2-17 试用卡诺图化简函数Y ＝f (A ，B ，C)＝∑m (0，2，4，7)。

卡诺图卡诺图是逻辑函数的图形表示。

利用卡诺图可以简化逻辑函数。

卡诺图的构成卡诺图是最小项按一定规律排列的方格图，每一个最小项占有一个小方格。

因为最小项的数目与变量数有关，设变量数为n，则最小项的数目为。

二个变量的卡诺图见下图所示。

图中第一行表示，第二行表示A；第一列表示，第二列表示B。

这样四个小方格就由四个最小项分别对号占有，行和列的符号相交就以最小项的与逻辑形式记入该方格中。

三变量卡诺图三变量卡诺图由8个最小项m0—m7组成，每个最小项占一个方格；AB组合中左数位代表A变量，右数位代表B变量。

沿横向从一个方格进行到下一个方格时，两个数位只变化一个；原变量与非变量各占4格。

四变量卡诺图∙四变量卡诺图由16个最小项m0—m15组成，每个最小项占一个方格；∙纵向方向因有两个变量CD，增加了8个方格，CD变化规律同AB；∙原变量与非变量各占8格卡诺图的有用组合卡诺图二方格相邻组合几何相邻的两个最小项是逻辑相邻的（两个最小项中只有一个变量不同）；有些方格几何上不相邻，但逻辑上却是相邻的；任何两个最小项可以合并成最小项，且可减少一个变量。

【例3】四方格卡诺图中，有F（A，B，C，D）=∑m(2，3，8，10，12)第一种组合方式：_ _m 8+m12= A C D （几何相邻）_ _m 2+m3= A B C （几何相邻）_ _m 2+m10= B C D （几何不相邻，逻辑相邻）第二种组合方式：_ _m 8+m12= A C D_ _m 2+m3= A B C_ _m 8+m10= A B D （几何不相邻，逻辑相邻）F(A,B,C,D) =∑m(2,3,8,10,12)_ _ _ _ _ _=A C D + A B C + B C D_ _ _ _ _ _=A C D + A B C + A B D两种表达式虽然形式不同，但逻辑上是等价的。

另外，m2、m8重复使用是允许的。

卡诺图四方格相邻组合四方格相邻时，4个最小项可合并成1项，且可消去两个变量。

物电11<11> 吴志峰 11415235卡诺图在数字电子技术中的数字逻辑电路设计的分析、化简中起着一个非常重要的数学工具的作用，通过系统的研究及总结可以让读者更为直观、全面的了解卡诺图并得以充分的利用。

1 卡诺图的定义卡诺图是逻辑函数的一种图形表示。

一个逻辑函数的卡诺图就是将此函数的最小项表达式中的各最小项相应地填入一个方格图内，此方格图称为卡诺图。

卡诺图的构造特点使卡诺图具有一个重要性质：可以从图形上直观地找出相邻最小项。

两个相邻最小项可以合并为一个与项并消去一个变量。

2 用卡诺图表示逻辑函数2.1 最小项的意义N 个变量的最小项是n 个因子的乘积，每个变量都以它的原变量或非变量的形式在乘积项中出现，且仅出现一次。

任何一个逻辑函数经过逻辑代数的基本公式的变换，都能表示成唯一的若各干最小项之和的形式，即最小项表达式2.2 最小项的编号最小项通常用M i 表示，下标i 即最小项编号，用十进制表示。

将最小项中的原变量用1表示，非变量用0 表示，可得到最小项的编号以ABC 为例，因为它和000相对应，所以就称ABC 是和变量取值000相对应的最小项，而000相当于十进制中的0，所以把ABC 记作M 3。

2.3 卡诺图的引出卡诺图是逻辑函数的一种图形表示，是将此函数的最小项表达式中的各最小项相应地填入一个特定的方格内，特定方格的系统组成及内含规律即卡诺图的作图、算法的使用原则。

依据逻辑函数中变量数的不同，卡诺图也有相对应变量数图形，从简到繁依次为一变量卡诺图、二变量卡诺图、三变量卡诺图等。

下面给出常用的四变量卡诺图，其它图形可依此推演。

填入最小项的卡诺图 最小项简化表示法由此可得出卡诺图是可以直接观察相邻项。

也就是说，各小方格对应于各变量不同的组合，而且上下左右在集合上相邻的方格内只有一个因子有差别，这个重要特点成为卡诺图化简逻辑函数的主要依据。

现在以四变量卡诺图为例来说明，为清楚起见，把各最小项填入对应方格内，且用1表示原变量，0表示非变量。