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逻辑函数的卡诺图化简默认分类2009-11-21 13:33:47 阅读74 评论0 字号：大中小逻辑函数有四种表示方法，分别是真值表、逻辑函数式、逻辑图和卡诺图。
前三种方法在1.3.4中已经讲过，此处首先介绍逻辑函数的第四种表示方法－卡诺图表示法。
1.5.1 用卡诺图表示逻辑函数1．表示最小项的卡诺图（1）相邻最小项若两个最小项只有一个变量为互反变量，其余变量均相同，则这样的两个最小项为逻辑相邻，并把它们称为相邻最小项，简称相邻项。
例如三变量最小项ABC和AB，其中的C和为互反变量，其余变量AB都相同，故它们是相邻最小项。
显然两个相邻最小项相加可以合并为一项，消去互反变量，如。
（2）最小项的卡诺图将n 变量的2n 个最小项用2n 个小方格表示，并且使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻，这样排列得到的方格图称为n 变量最小项卡诺图，简称为变量卡诺图。
二变量、三变量、四变量的卡诺图如图1-17所示。
图1-17变量卡诺图注意：卡诺图一般画成正方形或矩形，卡诺图中小方格数应为2n 个；变量取值的顺序按照格雷码排列。
几何相邻的三种情况：①相接——紧挨着，如m5和m7、m8和m12等；②相对——任意一行或一列的两头（即循环相邻性，也称滚转相邻性）如m4和m6、m8和m10 、m3和m11等；相重——对折起来位置相重合，如五变量卡诺图中m19和m23、m25和m29等，显然相对属于相重的特例。
2．逻辑函数的卡诺图上面讲的是空白卡诺图，任何逻辑函数都可以填到与之相对应的卡诺图中，称为逻辑函数的卡诺图。
对于确定的逻辑函数的卡诺图和真值表一样都是唯一的。
（1）由真值表填卡诺图由于卡诺图与真值表一一对应，即真值表的某一行对应着卡诺图的某一个小方格。
因此如果真值表中的某一行函数值为“1”，卡诺图中对应的小方格填“1”；如果真值表的某一行函数值为0”，卡诺图中对应的小方格填“0”。
即可以得到逻辑函数的卡诺图。
【例1-18】已知逻辑函数,画出表示该函数的卡诺图解:逻辑函数的真值表如表1-14所示。
逻辑函数的标准形式和卡诺图表⽰法1.最⼩项：定义在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因⼦的乘积项，⽽且这n个变量均以原变量或者反变量的形式在m中出现⼀次，则称m为该组变量的最⼩项。
Y=F(A,B,C) 最⼩项有2的三次⽅8个。
M7=ABC（m下标的定义为后⾯值为1的变量的组合对应的⼗进制数）最⼩项性质： 1）在输⼊变量的任何取值下必有⼀个最⼩项，⽽且仅有⼀个最⼩项的值为1； 2）全体最⼩项之和为1 3）任何俩个最⼩项的乘积为0 4）相邻（俩个最⼩项只有⼀个因⼦不同，并不是指下标数字相邻）俩个最⼩项之和可合并为⼀项并消去⼀对不同的因⼦2.最⼤项：定义在n变量的逻辑函数中，若M为包含n个变量之和，⽽且这n个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现⼀次，则称M为该组变量的最⼤项。
Y=F(A,B,C)最⼤项有8个。
M7=^A+^B+^C(m下标定义为后⾯值为0的变量值的组合对应的⼗进制数)最⼤项的性质： 1）在输⼊变量的任何取值下必有⼀个最⼤项，⽽且仅有⼀个最⼤项为0 2）全体最⼤项之积为0 3）任意俩个最⼤项之和为1 4）相邻俩个最⼤项之乘积等于各相同变量之和 5）m i=^m i3.逻辑函数标准形式（需要利⽤互补律）： 1）最⼩项之和：任⼀逻辑函数都可以⽤唯⼀最⼩项之和的形式表⽰ 2）最⼤项之积：任⼀逻辑函数都可以使⽤唯⼀最⼤项之积的形式表⽰。
最⼤项之积和最⼩项之和之间有个重要关系：Y=ΣM i （最⼩项之和）=πM k（最⼤项之积）(其中k不等于i的其他值)4.卡诺图表⽰法 卡诺图：将n变量的相邻最⼩项在⼏何位置上相邻的排列起来所组成的图形，特点：变量组合值，每⾏和相邻⾏或每列与相邻列之间的变量组合取值中仅有⼀个变量发⽣变化。
卡诺图是上下左右闭合的图形（相邻的意思） 在卡诺图的框架中，在符合最⼩项的地⽅填⼊1其他地⽅填⼊0即可。
或者直接看出积为1（最⼩项定义）的地⽅填⼊1。
1.4 用卡诺图化简逻辑函数本次重点内容1、卡诺图的画法与性质2、用卡诺图化简函数 教学过程 应用卡诺图化简 一、卡诺图逻辑函数可以用卡诺图表示。
所谓卡诺图，就是逻辑函数的一种图形表示。
对n 个变量的卡诺图来说，有2n 个小方格组成，每一小方格代表一个最小项。
在卡诺图中，几何位置相邻（包括边缘、四角）的小方格在逻辑上也是相邻的。
二、最小项的定义及基本性质： 1、最小项的定义在n 个变量的逻辑函数中，如乘积项中包含了全部变量，并且每个变量在该乘积项中或以原变量或以反变量的形式但只出现一次，则该乘积项就定义为该逻辑函数的最小项。
通常用m 表示最小项，其下标为最小项的编号。
编号的方法是：最小项的原变量取1，反变量取0，则最小项取值为一组二进制数，其对应的十进制数便为该最小项的编号。
如最小项C B A 对应的变量取值为000，它对应十进制数为0。
因此，最小项C B A 的编号为m 0，如最小项C B A 的编号为m 4，其余最小项的编号以此类推。
2、最小项的基本性质：（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而其余各种变量取值均使它的值为0。
（2）不同的最小项，使它的值为1的那组变量取值也不同。
（3）对于变量的任一组取值，全体最小项的和为1。
图1.4.1分别为二变量、三变量和四变量卡诺图。
在卡诺图的行和列分别标出变量及其状态。
变量状态的次序是00，01，11，10，而不是二进制递增的次序00，01，10，11。
这样排列是为了使任意两个相邻最小项之间只有一个变量改变（即满足相邻性）。
小方格也可用二进制数对应于十进制数编号，如图中的四变量卡诺图，也就是变量的最小项可用m0, m１,m２,……来编号。
01 0100011110 01ABCABCDBA0001111000011110m m m mm m m mm mm m01230112233mmmmmmmmmmmmmmmm456789101112131415图1.4.1 卡诺图二、应用卡诺图表示逻辑函数应用卡诺图化简逻辑函数时，先将逻辑式中的最小项(或逻辑状态表中取值为1的最小项)分别用1填入相应的小方格内，其它的则填0或空着不填。
一、公式法化简：是利用逻辑代数的基本公式，对函数进行消项、消因子。
常用方法有：①并项法利用公式AB+AB’=A 将两个与项合并为一个，消去其中的一个变量。
②吸收法利用公式A+AB=A 吸收多余的与项。
③消因子法利用公式A+A’B=A+B 消去与项多余的因子④消项法利用公式AB+A’C=AB+A’C+BC 进行配项，以消去更多的与项。
⑤配项法利用公式A+A=A，A+A’=1配项，简化表达式。
二、卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图表示法将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上相邻排列，得到的图形叫做n变量最小项的卡诺图。
逻辑相邻项：仅有一个变量不同其余变量均相同的两个最小项，称为逻辑相邻项。
1.表示最小项的卡诺图将逻辑变量分成两组，分别在两个方向用循环码形式排列出各组变量的所有取值组合，构成一个有2n个方格的图形，每一个方格对应变量的一个取值组合。
具有逻辑相邻性的最小项在位置上也相邻地排列。
用卡诺图表示逻辑函数：方法一：1、把已知逻辑函数式化为最小项之和形式。
2、将函数式中包含的最小项在卡诺图对应的方格中填1，其余方格中填0。
方法二：根据函数式直接填卡诺图。
用卡诺图化简逻辑函数：化简依据：逻辑相邻性的最小项可以合并，并消去因子。
化简规则：能够合并在一起的最小项是2n个。
如何最简：圈数越少越简；圈内的最小项越多越简。
注意：卡诺图中所有的1 都必须圈到，不能合并的1 单独画圈。
说明，一逻辑函数的化简结果可能不唯一。
合并最小项的原则：1）任何两个相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量。
2）任何4个相邻的最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。
3）任何8个相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。
卡诺图化简法的步骤：画出函数的卡诺图;画圈（先圈孤立1格；再圈只有一个方向的最小项（1格）组合）；画圈的原则：合并个数为2n；圈尽可能大（乘积项中含因子数最少）；圈尽可能少（乘积项个数最少）；每个圈中至少有一个最小项仅被圈过一次，以免出现多余项。
逻辑函数卡诺图表示方法
从前面可知，代数化简法有其优点，但是代数化简法也不易判断所化简的逻辑函数式是否已经达到最简式。
一、最小项的定义 1.最小项
如果一个具有n 个变量的逻辑函数的“与项”包含全部n 个变量，每个变量以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这种“与项”被称为最小项。
对两个变量A 、B 来说，可以构成4个最小项：AB B A B A AB 、、、；对3个变量A 、B 、C 来说，可构成8个最小项：C AB C B A C B A BC A C B A C B A C B A 、、、、、、和
ABC ；同理，对n 个变量来说，可以构成2n 个最小项。
2.最小项的编号
最小项通常用符号m i 表示，i 是最小项的编号，是一个十进制数。
确定i 的方法是：首先将最小项中的变量按顺序A 、B 、C 、D … 排列好，然后将最小项中的原变量用1表示，反变量用0表示，这时最小项表示的二进制数对应的十进制数就是该最小项的编号。
例如，对三变量的最小项来说，ABC 的编号是7符号用m 7表示，C B A 的编号是5符号用m 5表示。
下表为3变量最小项对应表。
3变量全部最小项的真值表
3.最小项表达式
如果一个逻辑函数表达式是由最小项构成的与或式，则这种表达式称为逻辑函数的最小项表达式，也叫标准与或式。
例如：ABCD D ABC D BC A F ++=是一个四变量的最小项表达式。
对一个最小项表达式可以采用简写的方式，例如
()()∑=++=++=7,5,2,,752m m m m ABC C B A C B A C B A F
要写出一个逻辑函数的最小项表达式，可以有多种方法，但最简单的方法是先给出逻辑函数的真值表，将真值表中能使逻辑函数取值为 1的各个最小项相或就可以了。
例：已知三变量逻辑函数：F ＝AB ＋BC ＋AC ，写出F 的最小项表达式。
解：首先画出F 的真值表，将表中能使F 为1的最小项相或可得下式
ABC C AB C B A BC A F +++=()∑=7,6,5,3m
4.最小项的性质：
①任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1，而其余各项的取值均使它的值为0。
②不同的最小项，使它的值为1 的那组变量取值也不同。
③对于变量的任一且取值，任意两个不同的最小项的乘积必为0。
④全部最小项的和必为1。
二、表示最小项的卡诺图
逻辑函数的图形化简法是将逻辑函数用卡诺图来表示，利用卡诺图来化简逻辑函数。
1.相邻最小项
定义：如果两个最小项中只有一个变量为互反变量，其余变量均相同，则这样的两个最小项为逻辑相邻，并把它们称为相邻最小项，简称相邻项。
2.最小项的卡诺图表示
卡诺图的构成：将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序排列，这样构成的图形就是卡诺图。
下图为各不同变量的卡诺图。
图6.33二变量卡诺图
00011110m AB
m AB
1m 03m AB AB
4A
(a)
B
1
3
2
AB
(b)
0m ABC m ABC 1m 3m ABC ABC 265m ABC
74ABC
m m m ABC
ABC
0(a)
(b)
1324
5
7
6
10
01
11
00
BC
A 01
B
C A
图6.34 三变量卡诺图
图6.35 四变量卡诺图
三、真值表与函数式之间的转换 1.真值表到卡诺图方法
例：某逻辑函数的真值表如表6.3所示，用卡诺图表示该逻辑函数。
该函数为三变量，先画出三变量卡诺图，然后根据表6.3将8个最小项L 的取值0或者1填入卡诺图中对应的8个小方格中即可，如图6.36所示。
图6.36 卡诺图
2.从逻辑表达式到卡诺图
(1)如果逻辑表达式为最小项表达式，则只要将函数式中出现的最小项在卡诺图对应的小方格中填入1，没出现的最小项则在卡诺图对应的小方格中填入0。
例1:用卡诺图表示逻辑函数ABC C AB BC A C B A F +++=
解：该函数为三变量，且为最小项表达式，写成简化形式7630m m m m F +++=然后画出三变量卡诺图，将卡诺图中m 0、m 3、m 6、m 7对应的小方格填1，其他小方格填0。
(2)如果逻辑表达式不是最小项表达式，但是“与—或表达式”，可将其先化成最小项表达式，再填入卡诺图。
也可直接填入，直接填入的具体方法是：分别找出每一个与项所包含
m 0ABCD ABCD m 1ABCD m 3m ABCD 2m 567m m ABCD ABCD m ABCD 4ABCD ABCD m m 13ABCD ABCD 1412
m 15m ABCD
ABCD ABCD m ABCD 8
m 10
11
m 9
m ABCD A
B
C
D 01327
6
5
4
131415129
8
11
10
AB CD
000001
01111110
10(a)
(b)
表6.3真值表
1011010A 00BC
100011
1
1
L
的所有小方格，全部填入1。
例2:用卡诺图表示逻辑函数D C B B A G +=
图6.37例1卡诺图 图6.38例2卡诺图
（3）如果逻辑表达式不是“与—或表达式”，可先将其化成“与—或表达式”再填入卡诺图。
C D
A
B
1
11
1
11G
00000000000
001
00
A 1
111
10
F 0
1
BC
01
10。
