江苏省常州市武进区九年级数学上册1.3一元二次方程根与系数的关系专项训练题六无答案新版苏科版2018

1.3一元二次方程的根与系数的关系一、单选题1．已知方程220x -=的两个根是1x 、2x ，那么这两个根与方程中系数的关系是（ ） A ．122x x +=-B ．122x x =C ．122x x +=D ．122x x =- A ．﹣ B ． C ． D ．3．一元二次方程（x ﹣1）（x +3）＝5x ﹣5的根的情况是（ ）A ．无实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．有一个正根，一个负根 4．已知矩形的长和宽是方程x 2﹣7x +8＝0的两个实数根，则矩形的对角线的长为（ ）A ．6B ．7C ．D ． 5．已知方程22650x x +=-，下列判断正确的是（ ）A ．方程两实数根的和等于3B ．方程两实数根的积等于52C ．方程有两个不相等的实数根D ．方程无实数根6. 已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋bx －3＝0的两根，且满足x 1＋x 2－3x 1x 2＝5，那么b 的值为( )A ．4B ．－4C ．3D ．－37．已知m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋a ＝0的两个根，若(m －1)(n －1)＝－6，则a ＝( )A ．－10B ．4C ．－4D ．108．关于x 的一元二次方程x 2－(k －1)x －k ＋2＝0有两个实数根x 1、x 2，若(x 1－x 2＋2)(x 1－x 2－2)＋2x 1x 2＝－3，则k 的值为( )A ．0或2B ．－2或2C ．－2D ．2二、填空题9．如果1x 、2x 是方程()200++=≠ax bx c a 的两个根，那么__________b a =-，__________c a =． 10．设方程x 2﹣2021x ﹣1＝0的两个根分别为x 1、x 2，则x 1＋x 2﹣x 1x 2的值是___． 11．已知关于x 的方程2(3)70x m x m -++-=，若有一个根为0，则m =________；若两根之和为0，则m =___________．。

1.3一元二次方程根与系数的关系专项训练题八1．假设n 〔n≠0〕是关于x 的方程x 2+mx+2n=0的根，那么m+n 的值为〔 〕A ．1B ．2C ．﹣1D ．﹣22．方程x 2﹣2x=0的根是〔 〕A ．x 1=0，x 2=﹣2B ．x 1=0，x 2=2C ．x=0D ．x=23．方程)0(02≠=++a c bx ax 中，c b a 、、满足0=++c b a 和0=+c b -a ,那么方程的根是A ．1，0B ．1，－1C ．－1，0D ．无法确定4．设x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0的两根，那么x 12+x 22=〔 〕 A ．6 B ．8 C ．10 D ．125．关于x 的一元二次方程21(1)102k x k x ---+=的根的情况为( ) A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ． 不能确定6．x=1是关于x 的一元二次方程x 2+mx-2=0的一个根，那么m 的值是〔 〕A ． -1B ． 0C ． 1D ． 0或17．﹣1是关于x 的方程x 2+4x ﹣m=0的一个根，那么这个方程的另一个根是〔 〕A ．﹣3B ．﹣2C ．﹣1D ．38．以下关于方程x 2+x+1=0的说法中正确的选项是〔 〕A ．该方程有两个相等的实数根B ．该方程有两个不相等的实数根，且它们互为相反数C ．该方程有一根为152+ D ．该方程有一根恰为黄金比例9．假设x 1、x 2是方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个根，那么x 1+x 1x 2+x 2的值为〔 〕.A ．1B ．﹣1C ．3D ．﹣310．方程x 2﹣2x ﹣1=0，那么此方程〔 〕A ．无实数根B ．两根之和为﹣2C ．两根之积为﹣1D ．有一根为﹣1+11．如果关于x 的一元二次方程x 2+2ax+a+2=0有两个相等的实数根，那么实数a 的值为 ． 12．一元二次方程x 2+mx+3=0的一个根为- 1，那么另一个根为 ．13．a 是方程22x +3x ﹣6=0的一个根，那么代数式3a 〔2a +1〕﹣〔2a+1〕〔2a ﹣1〕的值为 ．14．假设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0〔a ≠0〕的两个实根为x 1、x 2，那么两根与方程系数之间有如下关系：x 1+x 2＝－a b ，x 1x 2＝ac ．根据上述材料填空：:x 1、x 2是方程3x 2－4x ＋2＝0的两个实数根，那么)1)(1(21--x x = ．15．假设关于x 的一元二次方程220x x m +-=有两个不相等的实数根，那么化简代数式2(2)1m m +-+的结果是 ．16．假设x 1、x 2是一元二次方程x 2-3x-1=0的两个根，那么x 1+x 2的值是。

1.3 一元二次方程的根与系数的关系同步测试题（满分：120分；时间：120分钟）真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！1. 如果关于的一元二次方程的两根分别为，，那么，的值分别是（）A.，B.，C. D.，2. 已知方程的两根是，，则A. B. C. D.3. 方程的自然数解有（）个．A. B. C. D.无数4. 一元二次方程的一个根为，则另一个根为（）A. B. C. D.5. 一元二次方程的两根为，，则的值是（）A. B. C. D.6. 已知关于的一元二次方程的两根分别为，，则与的值分别为（）A.，B.，C.，D.，7. 下列一元二次方程两实数根和为的是（）A. B.C. D.8. 已知，是方程的两实数根，则A.B.C.D.9. 若，是一元二次方程的两根，则的值是（）A. B. C. D.10. 若，是一元二次方程的两个根，则的值是（）A. B. C. D.二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为________．12. 若长方形的长、宽都是整数，且周长与面积的数值相等，则长方形的面积等于________．13. 当取遍到的所有实数值时，满足的的整数的个数是________．14. 已知一元二次方程的两根分别为，，则________．15. 已知一元二次方程的两个实数根分别为、，且，则的值是________．16. 已知非零实数，满足，，则________．17. 如果、是一元二次方程的两个根，那么的值是________．18. 若一元二次方程的两根为，，则________．19. 已知方程至少有一个整数根，则整数的值为________．20. 大、中、小三个正整数，大数与中数之和等于，中数减小数之差等于，那么这三个正整数的和为________．三、解答题（本题共计 6 小题，共计60分，）21. 已知、是一元二次方程的两个根，求：的值；（2）求的值．22. 已知关于的一元二次方程的两个实数根为和，若．（1）当时，求的取值范围；（2）当时，比较与的大小，并说明理由．。

苏科新版九年级上学期《1.3 一元二次方程的根与系数的关系》同步练习卷一．选择题（共6小题）1．若x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，则（x1﹣2）•（x2﹣2）的值为（）A．2B．4C．5D．﹣22．m为有理数，且方程2x2+（m+1）x﹣（3m2﹣4m+n）＝0的根为有理数，则n的值为（）A．4B．1C．﹣2D．﹣63．已知实数a、b满足a+8b﹣2b2＝7，当b在1≤b≤4的范围内取值时，a可取的整数值有（）个．A．6B．7C．8D．94．关于x的一元二次方程x2﹣5x+p＝0的两实根都是整数，则整数p的取值可以有（）A．2个B．4个C．6个D．无数个5．方程的正整数解的组数是（）A．0B．1C．2D．36．以x为未知数的方程2007x+2007a+2008b＝0（a，b为有理数，且b＞0）有正整数解，则ab是（）A．负数B．非负数C．正数D．零二．填空题（共13小题）7．已知实数α，β分别满足α2﹣3α﹣11＝0，β2﹣3β﹣11＝0，且α≠β，则+＝．8．一元二次方程x2+4x﹣5＝0的两根分别为a和b，则a2+b2的值为．9．一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的解是x1、x2（x1＜x2），则x1﹣x2＝．10．若一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根为x1，x2，则x12+x22﹣x1•x2的值是．11．设a，b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为；12．设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143＝0的两个根都是整数，则a的值是．13．如果m、n为整数，且|m﹣2|+|m﹣n|＝1，那么m+n的值为．14．当整数m＝时，关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0与mx2﹣6x+9＝0的根都是整数．15．设方程x2+px+q＝0的两根x1，x2均为正整数，若p+q＝28，则（x1﹣1）（x2﹣1）＝．16．方程6（6a2+3b2+c2）＝5n2的所有整数解是．17．a、b是整数，且满足|a﹣b|+|ab|＝2，则ab＝．18．方程的整数解有组．19．试证：如果整系数二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理根，那么a，b，c 中至少有一个偶数．三．解答题（共12小题）20．已知a、b是方程x2+2x﹣5＝0的两根，不解方程求：（1）+的值；（2）a2+3a+b的值．21．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3＝0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x1、x2是方程的两根，且x12+x22＝22+x1x2，求实数m的值．22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程两实数根分别为x1，x2，且满足x12+x22＝23，求k的值．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22＝11，求k的值．24．已知x1、x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根．（1）求实数a的取值范围；（2）若x1、x2满足x1x2﹣x1＝4+x2，求实数a的值．25．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若方程的两个实数根x1，x2满足+＝﹣，求k的值．26．m是什么整数时，方程（m2﹣1）x2﹣6（3m﹣1）x+72＝0有两个不相等的正整数根．27．试确定一切有理数r，使关于x的二次方程rx2+（r+2）x+3r﹣2＝0有根且只有整数根，求r的值．28．若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同．如果这些工人同时工作，则需10小时装卸完毕．现改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔t（整数）小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸结束，且最后增加的一个人装卸的时间是第一个人装卸时间的．问：（1）按改变后的装卸方式，自始至终需要多长时间？（2）参加装卸的有多少名工人？29．若二次方程x2+2px+2q＝0有实根，其中p、q为奇数，证明：此方程的根是无理数．30．设m为整数，且4＜m＜40，方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8＝0有两个不相等的整数根，求m的值及方程的根．31．若关于x的方程（k2﹣2k）x2﹣（6k﹣4）x+8＝0的解都是整数，试求实数k 的值．苏科新版九年级上学期《1.3 一元二次方程的根与系数的关系》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．若x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，则（x1﹣2）•（x2﹣2）的值为（）A．2B．4C．5D．﹣2【分析】由根与系数的关系可求得（x1+x2）和x1x2的值，再把所求代数式化为两根和与两根积的式子即可求得答案．【解答】解：∵x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣1，则原式＝x1x2﹣2x1﹣2x2+4＝x1x2﹣2（x1+x2）+4＝﹣1﹣2×（﹣1）+4＝﹣1+2+4＝5，故选：C．【点评】本题主要考查根与系数的关系，把所求代数式化为两根和与两根积的形式是解题的关键．2．m为有理数，且方程2x2+（m+1）x﹣（3m2﹣4m+n）＝0的根为有理数，则n的值为（）A．4B．1C．﹣2D．﹣6【分析】运用一元二次方程根的判别式，确定m与n的关系，结合已知求出．【解答】解：由求根公式可知当一元二次方程根为有理根时判别式的算术平方根比为有理数，△＝（m+1）2+4×2×（3m2﹣4m+n）＝25m2﹣30m+1+8n，要使对任意有理数m，均为有理数，△必须是m的完全平方式，此方程必定有两个相等的根．∴△＝302﹣4×25×（1+8n）＝0，解得n＝1．故选：B．【点评】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，以及数的规律，有一定综合性．3．已知实数a、b满足a+8b﹣2b2＝7，当b在1≤b≤4的范围内取值时，a可取的整数值有（）个．A．6B．7C．8D．9【分析】先对原方程进行变形，将其转化为a与b的函数关系式，然后根据自变量b的取值范围来确定a的取值．【解答】解：由a+8b﹣2b2＝7，得a＝2（b﹣2）2﹣1，∵1≤b≤4，∴﹣1≤b﹣2≤2，∴﹣1≤2（b﹣2）2﹣1≤7，即﹣1≤a≤7，∴a可取的整数值有：﹣1、0、1、2、3、4、5、6、7共9个．故选：D．【点评】本题主要考查了一元二次方程的整数根与有理根的知识点，在解答此题时，首先将a转化成关于b的一元二次方程的关系式，然后再根据定义域来确定值域．4．关于x的一元二次方程x2﹣5x+p＝0的两实根都是整数，则整数p的取值可以有（）A．2个B．4个C．6个D．无数个【分析】求得和为﹣5，积为p的所有整数解，也就求得了p的个数．【解答】解：∵﹣5+0＝﹣5；﹣4+（﹣1）＝﹣5；﹣3+（﹣2）＝﹣5；1+（﹣6）＝﹣5；2+（﹣7）＝﹣5；3+（﹣8）＝﹣5；4+（﹣9）＝﹣5…∴p＝﹣5×0＝0或﹣4×（﹣1）＝4或﹣3×（﹣2）＝6或1×（﹣6）＝﹣6或2×（﹣7）＝﹣14；或3×（﹣8）＝﹣24；或4×（﹣9）＝﹣36…．故选：D．【点评】本题考查求有整数解的一元二次方程系数的问题；用到的知识点为：有整数解的一元二次方程的常数项分解的2个数的和应等于一次项是系数．5．方程的正整数解的组数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】利用已知条件将方程变形，整理为平方差形式，分析两数相乘所有的可能．【解答】解：∵，可变形为：（x﹣7）（y﹣7）＝49∵x，y为整数，当x＝14时，y＝14，当x＝8时，y＝56，当x＝56时，y＝8，∴其他数据都在不符合要求，符合要求的只有三组．故选：D．【点评】此题主要考查了分式方程的解法，整理为整式方程后再进行分析解决，题目比较简单．6．以x为未知数的方程2007x+2007a+2008b＝0（a，b为有理数，且b＞0）有正整数解，则ab是（）A．负数B．非负数C．正数D．零【分析】首先把方程变形2007（x+a）＝﹣2008b，根据b＞0可得x+a＜0，进而得到x＜﹣a，再根据方程有正整数解可得：﹣a＞1，即有a＜﹣1，继而得到ab＜0．【解答】解：原方程可化为：2007（x+a）＝﹣2008b，∵b＞0，∴﹣2008b＜0，∴x+a＜0，∴x＜﹣a，若方程有正整数解，则须使得：﹣a＞1，即有：a＜﹣1，∴ab＜0故选：A．【点评】此题主要考查了一元一次方程整数根的解法，以及整数的奇偶性，题目比较简单．二．填空题（共13小题）7．已知实数α，β分别满足α2﹣3α﹣11＝0，β2﹣3β﹣11＝0，且α≠β，则+＝﹣．【分析】由α、β分别满足α2﹣3α﹣11＝0，β2﹣3β﹣11＝0，可得α，β是方程x2﹣3x﹣11＝0的两个根，根据根与系数的关系，求出α2+β2，代入变形后的代数式得结果．【解答】解：∵实数α、β分别满足α2﹣3α﹣11＝0，β2﹣3β﹣11＝0，∴实数α，β是方程x2﹣3x﹣11＝0的两个根，∴α+β＝3，α•β＝﹣11．∵α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝9+22＝31∴+＝＝﹣．故答案为：﹣【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程解的定义．解决本题的关键是：根据α、β分别满足两个方程而得到α、β是同一个方程的两个根．8．一元二次方程x2+4x﹣5＝0的两根分别为a和b，则a2+b2的值为26．【分析】根据韦达定理得a+b＝﹣4，ab＝﹣5，代入a2+b2＝（a+b）2﹣2ab计算可得．【解答】解：∵方程x2+4x﹣5＝0的两根分别为a和b，∴a+b＝﹣4，ab＝﹣5，则a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16+10＝26，故答案为：26．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a ≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．9．一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的解是x1、x2（x1＜x2），则x1﹣x2＝﹣4．【分析】利用根与系数的关系求出所求即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的解是x1、x2（x1＜x2），∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣3，则x1﹣x2＝﹣＝﹣＝﹣4，故答案为：﹣4【点评】此题考查了根与系数的关系，弄清根与系数的关系是解本题的关键．10．若一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根为x1，x2，则x12+x22﹣x1•x2的值是15．【分析】由根与系数的关系可分别求得x1+x2和x1•x2的值，代入求值即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根为x1，x2，∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣2，∴x12+x22﹣x1•x2＝（x1+x2）2﹣3x1x2＝32﹣3×（﹣2）＝15，故答案为：15．【点评】本题主要考查根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．11．设a，b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为2018；【分析】根据根与系数的关系和一元二次方程的解得出a+b＝﹣1，a2+a﹣2019＝0，变形后代入，即可求出答案．【解答】解：∵设a，b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，∴a+b＝﹣1，a2+a﹣2019＝0，∴a2+a＝2019，∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2019+（﹣1）＝2018，故答案为：2018．【点评】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能求出a+b＝﹣1和a2+a＝2019是解此题的关键．12．设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143＝0的两个根都是整数，则a的值是18．【分析】首先将方程组5x2﹣5ax+26a﹣143＝0左右乘5得25x2﹣25ax+（130a﹣262）﹣39＝0，再分解因式．根据39为两个整数的乘积，令两个因式分别等于39分解的整因数．讨论求值验证即可得到结果．【解答】解：∵5x2﹣5ax+26a﹣143＝0⇒25x2﹣25ax+（130a﹣262）﹣39＝0，即（5x﹣26）（5x﹣5a+26）＝39，∵x，a都是整数，故（5x﹣26）、（5x﹣5a+26）都分别为整数，而只存在39＝1×39或39×1或3×13或13×3或四种情况，①当5x﹣26＝1、5x﹣5a+26＝39联立解得a＝2.8不符合，②当5x﹣26＝39、5x﹣5a+26＝1联立解得a＝18，③当5x﹣26＝3、5x﹣5a+26＝13联立解得a＝8.4不符合，④当5x﹣26＝13、5x﹣5a+26＝3联立解得a＝12.4不符合，∴当a＝18时，方程为5x2﹣90x+325＝0两根为13、﹣5．故答案为：18．【点评】本题考查因式分解的应用、一元二次方程的整数根与有理根．解决本题的关键是巧妙利用39仅能分解为整数只存在39＝1*39或39*1或3*13*13*3或四种情况，因而讨论量，并不大．13．如果m、n为整数，且|m﹣2|+|m﹣n|＝1，那么m+n的值为3，或5，或6，或2．【分析】根据条件|m﹣2|+|m﹣n|＝1，分情况讨论①|m﹣2|＝0时，|m﹣n|＝1；②|m﹣2|＝1时，|m﹣n|＝0；然后分别可以求出m的值，进而得到n的值，最后分别计算m+n的值．【解答】解：当|m﹣2|＝0时，|m﹣n|＝1，∴m＝2，n＝1或n＝3，∴m+n＝3或5．当|m﹣2|＝1时，|m﹣n|＝0，∴m＝3或m＝1，n＝m，∴m+n＝6或2．综上，m+n＝3，或5，或6，或2．故答案为：3或5或6或2．【点评】此题主要考查了有理数的绝对值和数学中的分类讨论思想的运用，分类讨论时要考虑全面，此题比较简单，基础性较强．14．当整数m＝1时，关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0与mx2﹣6x+9＝0的根都是整数．【分析】方程若有解，则方程根的判别式△≥0，求出满足条件的m的取值范围，并求两个解集的公共部分．【解答】解：若关于x的一元二次方程mx2﹣6x+9＝0，则△＝36﹣36m≥0，解得m≤1，若关于x的一元二次方程x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0，则△＝16m+20≥0，m≥﹣，故﹣≤m≤1，∵m为整数，m＝﹣1，0，1，m＝0时方程mx2﹣6x+9＝0不是一元二次方程，故应舍去，当m＝﹣1时方程mx2﹣6x+9＝0即x2+6x﹣9＝0，解得：x＝﹣3±3，方程的解不是整数，当m＝1时，x2﹣6x+9＝0解得：x1＝x2＝3，两方程的解都为整数，故答案为：m＝1．【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系和根的判别式等知识点，题目比较典型．15．设方程x2+px+q＝0的两根x1，x2均为正整数，若p+q＝28，则（x1﹣1）（x2﹣1）＝29．【分析】首先利用根与系数的关系得出有关x1，x2的方程，利用质数的性质得出方程的解．【解答】解．x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，p+q＝x1x2﹣x1﹣x2＝28，X1＝＝1+，因为两根均为正整数，且29为质数，所以x2＝2 或x2＝30，即方程可化为（x ﹣2）（x﹣30）＝0，∴方程的两根分别为2，30，（x1﹣1）（x2﹣1）＝29．故填：29．【点评】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及质数的性质，题目比较典型．16．方程6（6a2+3b2+c2）＝5n2的所有整数解是a＝b＝c＝m＝0．【分析】先观察，易得a＝b＝c＝n＝0是方程6（6a2+3b2+c2）＝5n2（1）的一组解，根据（1）可推知b和d具有相同的奇偶性，然后根据若b和d同为奇数与b和d同为偶数两种情况讨论，最终得知只有a＝b＝c＝m＝0一组解．【解答】解：显然，a＝b＝c＝n＝0是方程6（6a2+3b2+c2）＝5n2（1）的一组解．为求（1）的整数解，只须求出它的正整数解即可，而对于正整数解，只要求出a，b，c，n互质的解即可，为此设（a，b，c，n）＝1．由方程（1）可知，6是5n2的约数，因为6与5互质，所以6是n2的约数，从而6是n的约数，进一步5n2有约数36，因此6又是6a2+3b2+c2的约数，即6是3b2+c2的约数，所以3是c2的约数，故可设n＝6m，c＝3d，代入（1）得2a2+b2+3d2＝10m2（2）b2+3d2＝10m2﹣2a2所以b和d具有相同的奇偶性．①若b和d同为奇数，考察用8除以（2）式两边所得的余数：式（2）左边被8除的余数为2+1+3＝6或0+1+3+4；式（2）右边被8除的余数为0或2．此时方程（2）无解，从而方程（1）无解．②若b和d同为偶数，由a，b，d，n互质可知，a为奇数，（2）式左边被8除的余数为2+（0或4）+（0或3）≠8，所以（2）的左边不能被8整除，从而（2）的右边10m2不能被8整除，m一定为奇数；这样可设a＝2a1﹣1，b＝2b1，d＝2d1，m＝2m1﹣1，其中a1，b1，d1，m1都是正整数，则方程（2）化为2a1（a1﹣1）﹣10m1（m1﹣1）﹣2＝﹣（b12+3d12），10m1（m1﹣1）﹣2a1（a1﹣1）+2＝b12+3d12（3）由于m1（m1﹣1）及a1（a1﹣1）为偶数，则（3）式左边为偶数，且被4除余2，而右边b1和d1不能同为偶数，否则（3）式右边能被（4）整除，（3）式不能成立，然而b1和d1同为奇偶时，（3）式右边仍能被4整除，（3）式不能成立，于是，方程（2）无解，从而方程（1）无解．综上讨论知，方程只有一组解a＝b＝c＝m＝0．【点评】此题考查了方程的解的推理过程，体现了探索发现的过程，通过反证法得出矛盾，逐步去掉多余的信息是解题的关键．17．a、b是整数，且满足|a﹣b|+|ab|＝2，则ab＝0．【分析】首先根据|a﹣b|+|ab|＝2分情况讨论，可以分成三种情况；（1）|ab|＝0，|a﹣b|＝2；（2）|ab|＝1，|a﹣b|＝1；（3）|ab|＝2，则|a﹣b|＝0再根据条件a、b是整数分别讨论即可．【解答】解：（1）若|ab|＝0，则|a﹣b|＝2则ab之中必有一个为0若a＝0，则|b|＝2，则b＝±2若b＝0，则|a|＝2，则a＝±2∴ab＝0（2）若|ab|＝1，则|a﹣b|＝1∵a、b是整数∴不存在（3）若|ab|＝2，则|a﹣b|＝0∵|a﹣b|＝0∴a＝b又∵|ab|＝2∴不存在综上：ab＝0【点评】此题主要考查了求方程整数解与分类讨论数学思想的综合运用，主要根据条件考虑全面，不要漏掉每一种符合条件的情况，此题综合难度较大．18．方程的整数解有4组．【分析】首先将y用x表示，平方后根据已知条件分析各项数据，得出所有的可能．【解答】解：∵，∴＝x＝1998+y﹣2已知x，y为非负整数，所以1998y是个完全平方数，∵1998＝2×3×3×3×37，y＝2×3×37＝222，x＝888 或者y＝2×3×37×2×2＝888，x＝222，0也是整数，0也有平方根．∴整数解有（888，222），（222888，），（0，1998）和（1998，0）共4组．故答案为：4．【点评】此题主要考查了方程整数解的有关知识，以及完全平方数，题目比较简单．19．试证：如果整系数二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有有理根，那么a，b，c 中至少有一个偶数．【分析】先假设a、b、c全是奇数，根据根与系数的关系，利用判别式求得x的值x＝，可见存在有理根，即设为有理数n，假设n为偶数，与已知矛盾，从而得到n只能为偶数，进一步证得a，b，c中至少有一个是偶数．【解答】证明：假设a、b、c全为奇数△＝b2﹣4ac≥0有：x＝，可见存在有理根，即设为有理数n，∴b2﹣4ac＝n2，∴（b﹣n）（b+n）＝4ac，∵若n为偶数，（b﹣n）（b+n）＝奇数×奇数＝奇数≠4ac，∴n只能为奇数，b﹣n为偶数b+n为偶数，∴（b﹣n）（b+n）＝偶数×偶数＝2a×2c（a≤c），即b﹣n＝2a，b+n＝2c，解得：b＝a+c，此时b＝奇数+奇数＝偶数，与原假设矛盾，∴原假设不成立．∴如果整系数二次方程ax2+bx+c＝0存在有理根，那么a、b、c至少有一个是偶数．【点评】本题考查了一元二次方程的整数根与有理根、整数的奇偶性问题，注意对于不能直接证明的问题，采用反证法往往是一种不错的方法．三．解答题（共12小题）20．已知a、b是方程x2+2x﹣5＝0的两根，不解方程求：（1）+的值；（2）a2+3a+b的值．【分析】根据根与系数的关系结合一元二次方程的解可得出：a2+2a＝5，a+b＝﹣2，ab＝﹣5．（1）将a+b＝﹣2、ab＝﹣5代入+＝中即可求出结论；（2）将a2+2a＝5、a+b＝﹣2代入a2+3a+b＝（a2+2a）+（a+b）中即可求出结论．【解答】解：∵a、b是方程x2+2x﹣5＝0的两根，∴a2+2a＝5，a+b＝﹣2，ab＝﹣5．（1）+＝＝＝﹣；（2）a2+3a+b＝（a2+2a）+（a+b）＝5﹣2＝3．【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，利用根与系数的关系结合一元二次方程的解找出a2+2a＝5、a+b＝﹣2、ab＝﹣5是解题的关键．21．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3＝0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x1、x2是方程的两根，且x12+x22＝22+x1x2，求实数m的值．【分析】（1）计算其判别式，由方程根的情况可得到关于m的不等式，则可求得m的取值范围；（2）由根与系数的关系可用m表示出两根之和、两根之积，则可得到关于m的方程，可求得m的值．【解答】解：（1）△＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2﹣3）＝8m+16，当方程有两个不相等的实数根时，则有△＞0，即8m+16＞0，解得m＞﹣2；（2）根据一元二次方程根与系数之间的关系，得x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2﹣3，∵x12+x22＝22+x1x2＝（x1+x2）2﹣2x1x2，∴[2（m+1）]﹣2（m2﹣3）＝6+（m2﹣3），化简，得m2+8m﹣9＝0，解得m＝1或m＝﹣9（不合题意，舍去），∴实数m的值为1．【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程两实数根分别为x1，x2，且满足x12+x22＝23，求k的值．【分析】（1）根据方程有实数根得出△＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2﹣3）＝﹣8k+5≥0，解之可得．（2）利用根与系数的关系可用k表示出x1+x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有两个实数根，∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2﹣3）＝﹣4k+13≥0，解得k≤．（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2﹣3，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（2k﹣1）2﹣2（k2﹣3）＝2k2﹣4k+7，∵x12+x22＝23，∴2k2﹣4k+7＝23，解得k＝4，或k＝﹣2，∵k≤，∴k＝4舍去，∴k＝﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．以及根与系数的关系．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22＝11，求k的值．【分析】（1）根据方程有实数根得出△＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）＝﹣8k+5≥0，解之可得．（2）利用根与系数的关系可用k表示出x1+x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1＝0有实数根，∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）＝﹣8k+5≥0，解得k≤．（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2+k﹣1，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）＝2k2﹣6k+3，∵x12+x22＝11，∴2k2﹣6k+3＝11，解得k＝4，或k＝﹣1，∵k≤，∴k＝4（舍去），∴k＝﹣1．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．24．已知x1、x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根．（1）求实数a的取值范围；（2）若x1、x2满足x1x2﹣x1＝4+x2，求实数a的值．【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式、一元二次方程的定义计算；（2）根据一元二次方程根与系数的关系列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0有两个实数根，∴（2a）2﹣4（a﹣6）×a≥0，a﹣6≠0，解得，a≥0且a≠6；（2）∵x1、x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a＝0的两个实数根，∴x1+x2＝，x1•x2＝，∵x1x2﹣x1＝4+x2，∴x1x2＝4+x2+x1，即＝4+，解得，a＝24．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立．25．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若方程的两个实数根x1，x2满足+＝﹣，求k的值．【分析】（1）由根的情况，根据根的判别式，可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围；（2）由根与系数的关系可用k表示出两根之和、两根之积，由条件可得到关于k的方程，则可求得k的值．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0有两个实数根，∴△≥0，即[﹣（2k+1）]2﹣4（k2﹣2）≥0，解得k≥﹣；（2）由根与系数的关系可得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2﹣2，由+＝﹣可得：2（x1+x2）＝﹣x1x2，∴2（2k+1）＝﹣（k2﹣2），∴k＝0或k＝﹣4，∵k≥﹣，∴k＝0．【点评】本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．26．m是什么整数时，方程（m2﹣1）x2﹣6（3m﹣1）x+72＝0有两个不相等的正整数根．【分析】首先根据已知条件可得m2﹣1≠0，进而得到m≠±1，然后根据根的判别式△＞0，可得m≠3；再利用求根公式用含m的式子表示x，因为，方程有两个不相等的正整数根，所以分情况讨论m的值即可．【解答】解：∵m2﹣1≠0∴m≠±1∵△＝36（m﹣3）2＞0∴m≠3用求根公式可得：x1＝，x2＝∵x1，x2是正整数∴m﹣1＝1，2，3，6，m+1＝1，2，3，4，6，12，解得m＝2．这时x1＝6，x2＝4．【点评】此题主要考查了一元二次方程的二次项系数不能为0，根的判别式和求方程的整数解的综合运用，还用到了数学中的分类讨论思想，综合性较强．27．试确定一切有理数r，使关于x的二次方程rx2+（r+2）x+3r﹣2＝0有根且只有整数根，求r的值．【分析】由于方程的类型已经确定，则r≠0，由根与系数关系得到关于r的两个等式，利用因式（数）分解先求出方程两整数根．【解答】解：由题意可得：r≠0时，设方程的整数根为x1，x2，不妨设x1≤x2，由根据系数关系可得：x1+x2＝＝﹣1﹣①，x1x2＝＝3﹣②，②﹣①得：x1x2﹣（x1+x2）＝4，则x1x2﹣（x1+x2）+1＝5，（x1﹣1）（x2﹣1）＝5，由x1≤x2得：x1﹣1≤x2﹣1，5＝1×5＝（﹣5）×（﹣1），∴或，解得：或，将上述x1，x2的值代入②得：12＝3﹣或0＝3﹣解得：r＝﹣或，故存在有理数r的值为：﹣或．【点评】本题主要考查了一元二次方程的整数根与有理根．在解答此题时，利用了一元二次方程的根与系数的关系．28．若干个工人装卸一批货物，每个工人的装卸速度相同．如果这些工人同时工作，则需10小时装卸完毕．现改变装卸方式，开始一个人干，以后每隔t（整数）小时增加一个人干，每个参加装卸的人都一直干到装卸结束，且最后增加的一个人装卸的时间是第一个人装卸时间的．问：（1）按改变后的装卸方式，自始至终需要多长时间？（2）参加装卸的有多少名工人？【分析】（1）假设出装卸工作需要小时数，表示出第一人与最后一人所用时间，再由10小时装卸完毕，列出方程；（2）从装卸时间入手列出方程．【解答】解：（1）设装卸工作需x小时完成，则第一人干了x小时，最后一个人干了小时，两人共干活小时，平均每人干活小时，由题意知，第二人与倒数第二人，第三人与倒数第三人，平均每人干活的时间也是小时．根据题得，解得x＝16（小时）；（2）共有y人参加装卸工作，由于每隔t小时增加一人，因此最后一人比第一人少干（y﹣1）t小时，按题意，得，即（y﹣1）t＝12．解此不定方程得，，，，，即参加的人数y＝2或3或4或5或7或13．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，以及不定方程的解法，综合性较强．29．若二次方程x2+2px+2q＝0有实根，其中p、q为奇数，证明：此方程的根是无理数．【分析】分别假设方程的根为奇数、偶数、分数，然后将方程变形，得出矛盾，进而根据有理数的概念可判断出方程x2+2px+2q＝0此方程的根是无理数．【解答】解：①首先，方程的根不可能是奇数；若x为奇数，则x2为奇数，而2px+2q是偶数，因此x2+2px+2q取奇数值，不可能是0；②其次，方程的根不可能是偶数；若x为偶数，则x2+2px能被4整除，而这时常数项2q被4除时余2，因此不能满足x2+2px+2q≠0；③最后，方程的根不可能是分数；若x为分数，则x+p也是分数，而方程可以变为（x+p）2＝p2﹣2q，等号右端的p2﹣2q是一个整数，左端是一个分数，这是一个矛盾！综上可知，当p，q是两个奇数时，方程x2+2px+2q＝0不可能有有理根，即此方程的根是无理数．【点评】此题考查了一元二次方程的整数根与有理根的知识，注意运用假设法解题，得出矛盾，然后判断假设正确与否，有一定难度．30．设m为整数，且4＜m＜40，方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8＝0有两个不相等的整数根，求m的值及方程的根．【分析】根据求根公式可知：x＝＝（2m﹣3）±，根据4＜m＜40可知m的值为12或24，再把m值代入求解即可．【解答】解：解方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8＝0，得，∵原方程有两个不相等的整数根，∴2m+1为完全平方数，又∵m为整数，且4＜m＜40，2m+1为奇数完全平方数，∴2m+1＝25或49，解得m＝12或24．∴当m＝12时，，x1＝26，x2＝16；当m＝24时，．【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，求根公式法适用于任何一元二次方程．方程ax2+bx+c＝0的解为x＝．要注意根据实际意义进行值的取舍．31．若关于x的方程（k2﹣2k）x2﹣（6k﹣4）x+8＝0的解都是整数，试求实数k 的值．【分析】（1）根据k2﹣2k＝0得出k的值，进而求出x的值；（2）当k2﹣2k≠0进行分析，利用代入消元法求出k的值．【解答】解：（1）当k2﹣2k＝0，即k＝0或k＝2，①若k＝0时，原方程化为4x+8＝0，即x＝﹣2符合题意；②若k＝2时，原方程化为﹣8x+8＝0，则x＝1符合题意；（2）当k2﹣2k≠0，即k≠0且k≠2时，原方程可化为：（k2﹣2k）x2﹣（6k﹣4）x+8＝0，解得x1＝，x2＝，将k＝，代入x2＝得x1x2+2x1﹣x2﹣2＝﹣2，∴或或或∴或或或（舍去），或或，解得：k＝1或﹣2或，综上：k的值为1，﹣2，【点评】此题主要考查了一元二次方程整数根的求法和代入消元法解方程，题目难度不大．。