-来源网络，仅供个人学习参考 第四章随机变量的数字特征试题答案
一、 选择（每小题2分）
1、设随机变量X服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D）
A.E（X）=0.5，D（X）=0.5?B.E（X）=0.5，D（X）=0.25
C.E（X）=2，D（X）=4?D.E（X）=2，D（X）=2
2、设随机变量X与Y相互独立，且X~N（1，4），Y~N（0，1），令YXZ，则D（Z）=?（??C?）
A.1?B.3
C.5?D.6?
3、已知D（X）=4，D（Y）=25，cov（X，Y）=4，则XY=（C）
A. 0.004?B.0.04?C.0.4?D.4
4、设X，Y是任意随机变量，C为常数，则下列各式中正确的是（?D）
A．D（X+Y）=D（X）+D（Y）?B．D（X+C）=D（X）+C
C．D（X-Y）=D（X）-D（Y）?D．D（X-C）=D（X）
5、设随机变量X的分布函数为4,142,122,0)(xxxxxF，则E(X)=（D）
A．31?B．21C．23?D．3
6、设随机变量X与Y相互独立，且)61,36(~BX，)31,12(~BY，则)1(YXD=（C）
A．34?B．37C．323?D．326
7、设随机变量X服从参数为3的泊松分布，)31,8(~BY，X与Y相互独立，则)43(YXD=（C）
A．-13?B．15 C．19?D．23
8、已知1)(XD，25)(YD，XY=0.4，则)(YXD=（B）
-来源网络，仅供个人学习参考 A．6?B．22 C．30?D．46
9、设)31,10(~BX，则)(XE=（C）
A．31?B．1 C．310?D．10
10、设)3,1(~2NX，则下列选项中，不成立的是（B）
A.E（X）=1?B.D（X）=3?C.P（X=1）=0?D.P（X<1）=0.5
第四章 随机变量的数字特征
第三部分
1. (方案的决定)某城市流行某种疾病，患者约占10％，为开展防治工作，要对全城居民验血。现有两种方案：（1）逐个化验；（2）将4个人并为一组，混合化验。如果合格，则4个人只要化验一次；若发现有问题再对这组4个人逐个化验一次，恭化验5次，文这两种方案哪一种为好？（例题、数学期望）
解：所谓方案好坏，在这里指的是化验次数的多少。这个问题的解决可以用两种方法来解决。为计算方便，设该城居民有 人，其中患者占 人，对方案（1），显然要化验 次。因此下面只考虑方案（2）的化验的次数。
解法一：不使用概率的方法来解决。可以这样来设想，即从最坏处着想，在分组时，每一组至多有一个患者，于是 人共分为 组，每组化验一次，共需化验 次；但其中有 组正好各有一个患者，因此每组需多化验4次，共需多化验 次。故总的化验次数为
即方案（2）至多化验 次，故方案（2）为佳。
解法二：使用概率的方法来解决。既不是从最坏处着想，也不是从最好处考虑，而是考虑平均的次数，也就是考虑化验次数的数学期望。因此，首先要提出一个随机变量 来描述这个问题。设 表示每组的化验次数，由于分组是随机的，所以每组的化验的次数是一个随机变量，且具有相同的分布律。令 表示总的化验次数。
显然，某组4人中均无患者，此时只需要化验一次，故 。它的概率为 ，当 很大时，近似地有 。若化验不合格，则总共需要化验5次，即 ，其概率为 ，于是 的概率分布为 ，从而每组化验次数的数学期望为 。
于是对方案（2），化验次数的数学期望为
。
可见方案（2）优于方案（1），平均地来看，方案（2）的化验次数仅约为方案（1）的60％。
2. （电梯问题） 个人在一楼进入电梯，楼上有 层。设每个乘客在任何一层出电梯的概率相同，试求直到电梯中的乘客出空为止时，电梯需停次数的数学期望。（例题、数学期望）
解：定义随机变量 表示电梯在第 层停的次数，即
- 1 - 新教材高中数学：
课时作业(十四) 随机变量的数字特征
一、选择题
1．设二项分布B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数n，p的值为( )
A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4
C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1
2．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝13，k＝3,6,9.则D(X)等于( )
A．6 B．9
C．3 D．4
3．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D(ξ)＝( )
A.158 B.154
C.52 D．5
4．设ξ的分布列为
ξ 1 2 3
4
P 16 16 13 13
又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于( )
A.76 B.176
C.173 D.323
二、填空题
5．已知X的分布列为
X －1 0 1
P 0.5 0.3
0.2
则D(X)等于________．
6．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，则自动包装机________的质量较好．
7．一批产品中，次品率为13，现连续抽取4次，其次品数记为X，则D(X)的值为________．
三、解答题
8．编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E(ξ)和D(ξ)．
9．海关大楼顶端镶有A，B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下：
X1 －2 －1 0 1 2
P 0.05 0.05 0.8 0.05 0.05
- 2 - X2 －2 －1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量．
[尖子生题库]
10．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．
第四章、随机变量的数字特征
1．解：由题设可得
222222()01()()()(0)(1)()iiiiiiEXxPxqppDXEXEXxEXPxpqpppqpqpqpqpq
2．解：由题设可得
0111[(1)(1)]111[(1)(1)]11(1)()!!()!!(1)!()!(1)!(1)![(1)(1)]!()nkknkiiniknknkknknkknknkknkknknknEXxPxkCpqnkpqknknpqknknnppqknknpCpqnppqnp
2201111111111111111[(1)1][(1)][(1)1]()nkknknknkknknknkknknknnkknkkknknnkkEXkCpqnpCkpqnpkCpqnpkCpqCpqnpnpnpnpq
故
222()()()DXEXEXnpnpqnpnpq
3．解：由题设可得 011!(1)!kkkkEXkekekee
220111121212!(1)!(1)![]kkkkkkkkkkEXkekekkekkekkeee
2222()DXEXEX
4．解：由题设可得
111122111(1)kkkkEXkpqpkqppqpp
