高中数学1.3.1二项式定理(第一课时)教案新人教A版选修2-3

课题 1．3．1二项式定理（第一课时） 总课时数 53

课型 新授课 编定人 马克锋 审核人 马克锋 执教时间 2010年4月29日

学

习

目

标 知识

目标 1．掌握二项式定理及其展开式的通项公式；

2．能运用二项式定理展开某些二项式，会求某些特定项．

能力

目标 通过探索二项式定理，培养学生观察问题发现问题,归纳推理问题的能力．

情感

目标 激发学生学习兴趣、培养学生不断发现，探索新知的精神，并通过数学的对称美，培养学生的审美意识，通过展示、交流养成良好的学习品质，增强合作意识．

重点 二项定理的推导及其展开式的应用．

难点 知识的发生过程，用计数原理证明二项式定理．

教学方法 自主探究、学案导学 教学手段 彩笔

教 学 过 程 师 生 活 动

一、创设情境

问题１：今天星期五，再过810天的那一天是星期几？

问题2：因为8=7+1，那么810=（7+1）10又如何展开呢？更一般的（a+b）10、(a+b)n 如何展开？这将是本节课要研究和学习的问题。

二、新知探究

（一）预习提纲 (

根据以下提纲，预习教材第29-30页，找出疑惑之处)

1．运用多项式乘法法则写出（a+b）2、（a+b）3、（a+b）4的展开式，并探究：①项数；②各项次数；③字母a、b指数的变化规律，按a降幂b升幂填写.

（1）(a+b)2= (a+b)(a+b)= ，合并同类项后展开式共 项，各项是 次的，它们分别为 ,每一项都是_______(________)abk的形式.

（2）(a+b)3=(a+b)(a+b) (a+b)= ，合并同类项后展开式共 项，各项是 次的，它们分别为 ,每一项都是_______(________)abk的形式.

（3）(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)= ，合并同类项后展开式共 项，各项是 次的，它们分别为 ,每一项都是_______(________)abk的形式.

2．如何利用计数原理得到(a+b)2，(a+b)3 ，(a+b)4的展开式各项的系数呢？

（1）对于(a+b)2 ：a2是从__个（a+b）中取__相乘而得到，相当于从__个（a+b）中取__个b的组合数C__，因此a2的系数是C__.

ab是从__个（a+b）中取__，__个（a+b）中取__相乘而得到，相当于从__个（a+b）中

给学生创造一个“愤”和“悱”的情境，激发学生的求知欲望.

2分钟

学生小组讨论交流，对三个展开式的进行探讨.

5分钟

鼓励学生亲身体验如何解决新问题，培养探究能力和合作精神．

学生分组讨论

6分钟

取__个b的组合数C__，因此ab的系数是C__.

b2是从__个（a+b）中取__相乘而得到，相当于从__个（a+b）中取__个b的组合数C__，因此b2的系数是C__．(a+b)2的展开式可用组合数表示为：

(a+b)2=(a+b) (a+b)=

（2）对于(a+b)3 ：利用同样的办法探究得到含a3、a2b、ab2、b3这些项的系数分别为C__，C__，C__，C__，（a+b）3的展开式可用组合数表示为：

(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=

（3）对于(a+b)4 ：利用同样的办法探究得到含a4 、 a3b、a2b2、ab3、b4这些项的系数分别为C__、C__、C__、C__、C__，（a+b）4的展开式可用组合数表示为：

(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)=

３．根据以上归纳，猜想(a+b)n的展开式合并同类项后展开式共 项，各项是 次的，它们分别为 ,每一项都是_______(________)abk的形式. (0,1,2,...,)nkkabkn从__个（a+b）中取__，__个（a+b）中取__相乘而得到，相当于从__个（a+b）中取__个b的组合数C__，因此(0,1,2,...,)nkkabkn的系数是C__.猜想(a+b)n的展开式可用组合数表示为：

(a+b)n= (n∈N+)

（二）二项式定理

１．公式：(a+b)n= (n∈N+)

这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a十b)n的二项展开式，____(k=0，1，２，…，n)叫做二项式系数，＿＿＿＿叫做二项展开式的通项，记作Tk+1=＿＿＿。

２．特点：(1)项数：展开式共有 项；(2) 二项式系数：依次为 ；(3)指数：a的指数是从＿开始逐渐减＿按降幂排列到＿；b的指数是从＿开始逐渐加＿按升幂排列到＿；(4)项的次数：各项ａ，ｂ次数和都是＿．

3．注意：（1）二项展开式的通项Tk+1=knCnkkab， (ｋ＝0，l，2，…，n)是(a十b)n展开式的第＿＿项，而不是第＿＿项；（2）a、b的位置不能颠倒，即(b十a)n的展开式第k十1项，不是knCnkkab，而应为__________；（3）是(a一b)n的展开式第k

学生在探究过程中通过观察、发现，类比从而是进行必要的归纳和合理的猜想得出结论.

５分钟

由特殊到一般，由感性到理性．

识记概念。

3分钟

十1项为_________________________；（４）注意区别二项式系数与指定项的系数异同

在(a十b)n的展开式中，系数knC (ｋ＝0，l，…，n)是一组仅与二项式的次数n有关的n十1个组合数，与a、b无关，因此称为二项式系数．而(a十b)n的展开式中指定项系数与a、b一般是有联系的．例如：而(1十2x)n的展开式第ｋ十l项的系数为2kknC，(2十x)n的展开式第ｋ十1项的系数为2nk．

４．特值思想：二项式定理中，如果设1a，bx则得到公式，

1______________________nx思考：(1)nx＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

５．练习： 810=（7+1）10＝ ,

当今天是星期五，再过810天后是星期 ．

三、典例分析

例１ 求61(2)xx的展开式． 分析：为了方便，可以先化简后展开．

变式：把分式中的分子1改写为-2呢？求62(2)xx的展开式中的常数项．

四、拓展提高

设n为自然数，则01122121knnnknknnnnnCCCC（ ）

A．2n B．0 C． -1 D．１

五、归纳总结

1．二项式定理的推导，体现排列、组合思想的应用；2．二项式定理的结构及其注意问题.3．通过探究体验，你有哪些方面的收获？

六、作业设计

1．必做题：36-37PＡ组 １，２，３；2．选择题：见拓展资源

七、精彩一练

1．10(x-1)的展开式中第６项的系数是（ ）（A）610C（B）-610C（C）510C（D）-510C

2．6(2a+3b)的展开式中第3项是________

3．01knnnnnCCCC=________ ５分钟

学生分组讨论、纠正、争辩，合作交流，感受成果初步应用．

回归问题，体现了知识的实际应用价值，学生的学习热情自然达到高潮.

学生板演，小组之间竞赛在规定时间内完成．

６分钟

变式体现知识的多样性．学生讨论、总结方法．

４分钟

拓展学生思维，学生讨论、合作交流,二项式定理逆向运用．

３分钟

鼓励学生反思课堂的积极表现参与，展示成果．

2分钟

分层要求．

3分钟

应用整合，强化新知，自主学习，拓展视野．

反思问题，不断进4．nnn2n21n0nC3C3C3C

5. 61(2)xx的展开式的常数项为

八、学后反思

九、板书设计

十、拓展资源

杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家。在13世纪中叶活动于苏杭一带，其著作甚多。宋元数学四大家之一的杨辉，他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。杨辉在《详解九章算法》一书中还画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做

“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”, 在欧洲,这个表叫做帕斯卡三角,杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．

nba)(展开式中的二项式系数,当n依次取1,2,3,…时,如下表所示:

1)(ba………………………………………1 1

2)(ba……………………………………1 2 1

3)(ba…………………………………1 3 3 1

4)(ba………………………………1 4 6 4 1

5)(ba……………………………1 5 10 10 5 1

6)(ba…………………………1 6 15 20 15 6 1

…… …… ……

观察表中二项式系数的规律,并加以归纳.继续观察杨辉三角,归纳每行二项式系数的特点(即二项式系数的性质),猜测出二项式系数的性质.

一、新知探究

1.二项式定理

2.特点

3.结论 1．3．1二项式定理（第一课时）

二、典例分析 三、 拓展提高

例1

四、方法总结 步．

培养兴趣，提升素养．

对学生进行爱国主义教育．

探究学习，拓展视野．