高中数学人教A版选修(2-3)1.3.1《二项式定理》教案

§1．3．1二项式定理

教学目标：

知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式

过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题

情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用

授课类型：新授课

课时安排：3课时

内容分析：

二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．

通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．

二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础．通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点．

二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法．

在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习．

教学过程：

一、复习引入：

⑴22202122222()2abaabbCaCabCb；

⑵33223031222333333()33abaababbCaCabCabCb

⑶4()()()()()ababababab的各项都是4次式，

即展开式应有下面形式的各项：4a，3ab，22ab，3ab，4b，

展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即04C种，4a的系数是04C；恰有1个取b的情况有14C种，3ab的系数是14C，恰有2个取b的情况有24C种，22ab的系数是24C，恰有3个取b的情况有34C种，3ab的系数是34C，有4都取b的情况有44C种，4b的系数是44C，

∴40413222334444444()abCaCabCabCabCb．

二、讲解新课：

二项式定理：01()()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN

⑴()nab的展开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项：

na，nab，…，nrrab，…，nb，

⑵展开式各项的系数：

每个都不取b的情况有1种，即0nC种，na的系数是0nC；

恰有1个取b的情况有1nC种，nab的系数是1nC，……，

恰有r个取b的情况有rnC种，nrrab的系数是rnC，……，

有n都取b的情况有nnC种，nb的系数是nnC，

∴01()()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN，

这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()nab的二项展开式，⑶它有1n项，各项的系数(0,1,)rnCrn叫二项式系数，

⑷rnrrnCab叫二项展开式的通项，用1rT表示，即通项1rnrrrnTCab．

⑸二项式定理中，设1,abx，则1(1)1nrrnnnxCxCxx

三、讲解范例：

例1．展开41(1)x．

解一： 411233444411111(1)1()()()()CCCxxxxx23446411xxxx．

解二：4444413123444111(1)()(1)()1xxCxCxCxxxx

23446411xxxx．

例2．展开61(2)xx．

解：66311(2)(21)xxxx

61524332216666631[(2)(2)(2)(2)(2)(2)1]xCxCxCxCxCxx

32236012164192240160xxxxxx．

例3．求12()xa的展开式中的倒数第4项

解：12()xa的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，

9129933939911212220TCxaCxaxa．

例4．求（1）6(23)ab，（2）6(32)ba的展开式中的第3项．

解：（1）24242216(2)(3)2160TCabab，

（2）24242216(3)(2)4860TCbaba．

点评：6(23)ab，6(32)ba的展开后结果相同，但展开式中的第r项不相同

例5．（1）求93()3xx的展开式常数项；

（2）求93()3xx的展开式的中间两项

解：∵3992921993()()33rrrrrrrxTCCxx，

∴（1）当390,62rr时展开式是常数项，即常数项为637932268TC；

（2）93()3xx的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，

489912593423TCxx，159510932693378TCxx

例6．（1）求7(12)x的展开式的第4项的系数；

（2）求91()xx的展开式中3x的系数及二项式系数

解：7(12)x的展开式的第四项是333317(2)280TCxx，

∴7(12)x的展开式的第四项的系数是280．

（2）∵91()xx的展开式的通项是9921991()(1)rrrrrrrTCxCxx，

∴923r，3r，

∴3x的系数339(1)84C，3x的二项式系数3984C．

例7．求42)43(xx的展开式中x的系数

分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开

解：（法一）42)43(xx42]4)3[(xx

02412344(3)(3)4CxxCxx22224(3)4Cxx3234444(3)44CxxC，

显然，上式中只有第四项中含x的项，

∴展开式中含x的项的系数是76843334C

（法二）：42)43(xx4)]4)(1[(xx44)4()1(xx

)(4434224314404CxCxCxCxC0413222334444444(4444)CxCxCxCxC

∴展开式中含x的项的系数是34C334444C768．

例8．已知nmxxxf4121)( *(,)mnN的展开式中含x项的系数为36，求展开式中含2x项的系数最小值

分析：展开式中含2x项的系数是关于nm,的关系式，由展开式中含x项的系数为36，可得3642nm，从而转化为关于m或n的二次函数求解

解：1214mnxx展开式中含x的项为

1124mnCxCx11(24)mnCCx

∴11(24)36mnCC，即218mn，

1214mnxx展开式中含2x的项的系数为

t222224mnCC222288mmnn，

∵218mn， ∴182mn，

∴222(182)2(182)88tnnnn216148612nn

23715316()44nn，∴当378n时，t取最小值，但*nN，

∴ 5n时，t即2x项的系数最小，最小值为272，此时5,8nm．

例9．已知41()2nxx的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，

（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项

解：由题意：1221121()22nnCC，即0892nn，∴8(1nn舍去）

∴81841()2rrrrTCxx82481()2rrrrCxx1638412rrrrCx08rrZ

①若1rT是常数项，则04316r，即0316r，

∵rZ，这不可能，∴展开式中没有常数项；

②若1rT是有理项，当且仅当4316r为整数，

∴08,rrZ，∴ 0,4,8r，

即 展开式中有三项有理项，分别是：41xT，xT8355，292561xT

例10．求60.998的近似值，使误差小于0.001．

解：66011666660.998(10.002)(0.002)(0.002)CCC，

展开式中第三项为2260.0020.00006C，小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽略不计，

∴66011660.998(10.002)(0.002)0.998CC，

一般地当a较小时(1)1nana

四、课堂练习：

1.求623ab的展开式的第3项.

2.求632ba的展开式的第3项.

3.写出n33)x21x(的展开式的第r+1项.

4.求732xx的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.

5.用二项式定理展开：

（1）53()ab；（2）52()2xx.

6.化简：（1）55)x1()x1(；（2）4212142121)x3x2()x3x2(

7．5lgxxx展开式中的第3项为610，求x．

8．求nxx21展开式的中间项

答案：1. 262242216(2)(3)2160TCabab

2. 262224216(3)(2)4860TCbaab

3. 2331311()()22rnrrnrrrrnnTCxCxx

4.展开式的第4项的二项式系数3735C，第4项的系数3372280C

5. （1）335543222333()510105abaababababbbb；

（2）5223215()52040322328xxxxxxxxxxxxx.

6. （1）552(1)(1)22010xxxx；

（2）1111442222432(23)(23)192xxxxxx

7. 5lgxxx展开式中的第3项为232lg632lg551010xxCxx

22lg3lg50xx5lg1,lg2xx1010,1000xx

8. nxx21展开式的中间项为2(1)nnnC