高中数学 1.3.1二项式定理教学案 新人教a版选修2-3

§1.3.1 二项式定理

【教学目标】

1.理解二项式定理及推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用；

2.通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程。

【教学重难点】

教学重点：二项式定理的内容及归纳过程 ；

教学难点：在二项式展开的过程中，发现各项及各项系数的规律。

【教学过程】

一、设置情景，引入课题

引入：二项式定理研究的是（a+b）n的展开式。

如（a+b）2=a2+2ab+b2, （a+b）3=？，（a+b）4=？，那么（a+b）n的展开式是什么呢？

二、引导探究，发现规律

1、多项式乘法的再认识

问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？

2、（a+b）3展开式的再认识

问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？

合作探究1：合并同类项后，为什么a2b的系数是3？

教师引导：可以发现a2b是从（a+b）（a+b）（a+b）这三个括号中的任意两个中选a，剩下的一个括号中选b；利用组合知识可以得到a2b应该出现了C23· C11=3次，所以a2b的系数是3。

问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？

可以对（a+b）4按a或按b进行分类：

（1）四个括号中全都取a，得：C44 a4

（2）四个括号中有3个取a，剩下的1个取b，得：C34 a3· C11b

（3）四个括号中有2个取a，剩下的2个取b，得：C24 a2· C22b2

（4）四个括号中有1个取a，剩下的3个取b，得：C14 a· C33b3

（5）四个括号中全都取b，得：C44 b4

小结：对于展开式，只要按一个字母分类就可以了，可以按a分类，也可以按b分类，再如：（1）不取b：C04 a4；（2）取1个b：C14 a3b；（3）取2个b：C24 a2 b2；（4）取3个b：C34

ab3；（5）取4个b：C44 b4，然后将上面各式相加得到展开式。

结论：（a+b）4= C04 a4+ C14 a3b+ C24 a2 b2+ C34 ab3+ C44b4

三、形成定理，说理证明

问题4：（a+b）n的展开式又是什么呢？ 合作探究2: (1) 将（a+b）n展开有多少项？

（2）每一项中，字母a，b的指数有什么特点？

（3）字母“a”、“b”指数的含义是什么？是怎么得到的？

（4）如何确定“a”、“b”的系数？

猜想：)()(*110NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn

证明：对（a+b）n分类，按b可以分n+1类，

（1）不取b：C0n an；

（2）取1个b：C1n an-1b；

（3）取2个b：C2n an-2b2；

………………

（k+1）取k个b：Ckn an-kbk；

………………

(n+1)取n个b：Cnn bn；

然后将这n+1个式子加起来，就得到二项展开式，

(a+b)n=0nCan+1nCan-1b+…+knCan-kbk+…+nnCbn(n∈N+)

这就是二项式定理。

四、熟悉定理，简单应用

二项式定理的公式特征（由学生归纳，让学生熟悉公式）

（1）项数：共有n+1项；

（2）次数：字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n；

（3）二项式系数：下标为n，上标由0递增至n；

（4）通项:Tk+1= Ckn an-kbk；指的是第k+1项，该项的二项式系数为Ckn；

（5）公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫做（a＋b）n的二项展开式。

例1 求6)12(xx的展开式

分析：为了方便，可以先化简后展开。

例2 ①7)21(x的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。

②求9)1(xx的展开式中含3x的系数。

五、当堂检测

1.写出（p+q）7的展开式；

2.求（2a+3b）6的展开式的第3项； 3.写出nxx3321的展开式的第r+1项；

4.（x-1）10的展开式的第6项的系数是（ ）

（A）610C (B) 610C (C) 510C (D) 510C

答案：1.（p+q）7=p7+7p6q+21p5q2+35p4q3+35p3q4+21p2q5+7pq6+q7.

六、课堂小结

1. 公式： )()(*110NnbCbaCbaCaCbannnkknknnnnnn

2. 思想方法：（1）从特殊到一般的思维方式. （2）用计数原理分析二项式的展开过程.

七、布置作业

课本43页习题1.3 A组 2、3 §1.3.1 二项式定理

课前预习学案

一、预习目标

通过分析(a+b)2的展开式，归纳得出二项式定理;掌握二项式定理的公式特征并能简单应用。

二、预习内容

1、（a+b）2=

（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)=______________________________

（a+b）3=

（a+b）4=

2、二项式定理的证明过程

3、（a+b）n=

4、（a+b）n的二项展开式中共有______项，其中各项的系数______叫做二项式系数，式中的____________叫做二项展开式的通项，用Tk+1表示，即通项为展开式的第k+1项：_____________________

5、在二项式定理中，若a=1，b=x，则有

（1+x）n=_______________________________________

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点 疑惑内容

课内探究学案

一、学习目标

1.用计数原理分析（a+b）3的展开式，进而探究（a+b）4的展开式，从而猜想二项式定理。

2.熟悉二项式定理中的公式特征，能够应用它解决简单问题。

3. 培养学生观察、分析、概括的能力。

二、学习重难点：

教学重点：二项式定理的内容及应用

教学难点：二项式定理的推导过程及内涵

三、学习过程

（一）探究（a+b）3、（a+b）4的展开式

问题1：（a1+ b1）(a2+b2) (a3+ b3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？

问题2：将上式中，若令a1=a2=a3=a, b1=b2= b3=b,则展开式又是什么？

合作探究一：合并同类项后，为什么a2b的系数是3？

问题3：（a+b）4的展开式又是什么呢？

结论：（a+b）4= C04 a4+ C14 a3b+ C24 a2 b2+ C34 ab3+ C44b4

（二）猜想、证明“二项式定理”

问题4：（a+b）n的展开式又是什么呢？

合作探究二: (1) 将（a+b）n展开有多少项？

（2）每一项中，字母a，b的指数有什么特点？ （3）字母“a”、“b”指数的含义是什么？是怎么得到的？

（4）如何确定“a”、“b”的系数？

二项式定理：

(a+b)n=0nCan+1nCan-1b+…+knCan-kbk+…+nnCbn(n∈N+)

（三）归纳小结：二项式定理的公式特征

（1）项数：_______;（2）次数：字母a按降幂排列，次数由____递减到_____；字母b按升幂排列，次数由____递增到______；

（3）二项式系数：下标为_____，上标由_____递增至_____；

（4）通项:Tk+1=__________；指的是第k+1项，该项的二项式系数为______；

（5）公式所表示的定理叫_____________，右边的多项式叫做（a＋b）n的二项展开式。

（四）典型例题

例1 求6)12(xx的展开式

分析：为了方便，可以先化简后展开。

例2 ①7)21(x的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。

②求9)1(xx的展开式中含3x的系数。

（五）当堂检测

1.写出（p+q）7的展开式；

2.求（2a+3b）6的展开式的第3项；

3.写出nxx3321的展开式的第r+1项；

4.（x-1）10的展开式的第6项的系数是（ ）

（A）610C (B) 610C (C) 510C (D) 510C

课后练习与提高

1．在103x的展开式中，6x的系数为 （ ）

A．610C27 B．410C27 C．610C9 D．410C9

2．已知（naa)132的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n是 （ ）

A．10 B．11 C．12 D．13 3．92)21(xx展开式中9x的系数是

4.1231xx 的展开式中常数项为

5. 10311xx的展开式中，含5x项的系数是 .

6. 若100ax的展开式中98x前的系数是9900，求实数a的值。

答案：1.D； 2.C； 3．221； 4.220; 5.207 ； 6. a=±2 §1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

【教学目标】

1. 使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律；

2．能运用函数观点分析处理二项式系数的性质；

3. 理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用。

【教学重难点】

教学重点：二项式系数的性质及其应用；

教学难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。

【教学过程】

一、复习引入

1、二项式定理：________________________________________________；

二项式系数：______________________________________________；

2、( 1+x) n =________________________________________________；

二、杨辉三角的来历及规律

练一练：把( a+b) n （n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本P37的表格，为了方便，可将上表改写成如下形式：

(a+b)1 …………………………………………………1 1

(a+b)2…………………………………………………1 2 1

(a+b)3………………………………………………1 3 3 1

(a+b)4……………………………………………1 4 6 4 1

(a+b)5…………………………………………1 5 10 10 5 1

(a+b)6………………………………………1 6 15 20 15 6