八年级寒假数学讲义7 不等关系及不等式的基本性质

《不等式的基本性质》讲义一、不等式的定义在数学中，不等式是表示两个数或者表达式之间大小关系的一种数学表达式。

用不等号（如“＞”大于、“＜”小于、“≥”大于等于、“≤”小于等于）连接两个数或表达式所组成的式子，就叫做不等式。

例如：3 ＜5，x ＋ 2 ＞ 5 等等。

二、不等式的基本性质1、对称性如果 a ＞ b，那么 b ＜ a ；如果 a ＜ b，那么 b ＞ a 。

这就好像两个人比身高，如果甲比乙高，那么反过来乙就比甲矮，道理是很直观易懂的。

2、传递性如果 a ＞ b 且 b ＞ c，那么 a ＞ c ；如果 a ＜ b 且 b ＜ c，那么 a ＜c 。

比如说，甲比乙高，乙又比丙高，那自然甲就比丙高；反过来，如果甲比乙矮，乙又比丙矮，那甲肯定比丙矮。

3、加法性质如果 a ＞ b，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c 。

这意味着，当不等式两边同时加上同一个数，不等号的方向不变。

就好比甲和乙有身高差，两人同时穿上一样厚的增高鞋，身高差依然不变。

4、减法性质如果 a ＞ b，那么 a c ＞ b c 。

跟加法性质类似，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向也不变。

5、乘法性质（1）如果 a ＞ b 且 c ＞ 0，那么 ac ＞ bc 。

当不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向不变。

可以想象成把两个长度不同的线段同时按相同的比例放大，它们的长度差还是保持原来的大小关系。

（2）如果 a ＞ b 且 c ＜ 0，那么 ac ＜ bc 。

但如果乘以一个负数，不等号方向就要改变。

这有点像在镜子里看东西，左右方向会反过来。

6、除法性质（1）如果 a ＞ b 且 c ＞ 0，那么 a/c ＞ b/c 。

不等式两边同时除以一个正数，不等号方向不变。

（2）如果 a ＞ b 且 c ＜ 0，那么 a/c ＜ b/c 。

除以一个负数时，不等号方向改变。

7、乘方性质如果 a ＞ b ＞ 0，那么 a^n ＞ b^n（n 为正整数，n ≥ 1）。

八年级不等关系知识点总结关于八年级不等关系的知识点总结
八年级是初中学习中一个重要的环节，也是学生初步接触不等关系的年级。

不等关系能够培养学生善于观察与思考的能力，同时也能够提升学生的逻辑思维和数学技巧。

因此，对于八年级的学生来说，掌握不等关系的知识点是至关重要的。

下面就来总结一下八年级不等关系的重点知识。

一、不等式的基本性质
1.1 传递性质
不等式的传递性是指，若a<b,b<c，则a<c。

1.2 对称性质
不等式的对称性是指，若a<b，则b>a。

1.3 反称性质
不等式的反称性是指，若a<b，则不可能有b<=a。

二、不等式的解法
2.1 联立法
联立法是指，将不等关系联立到一起，通过消元的方法求出不
等式的解。

2.2 分类讨论法
分类讨论法是指，将不等式中的未知数按照大小关系分成几类，分别讨论每一类的解法，最后将结果合并起来。

2.3 取绝对值法
取绝对值法是指，将不等式中的未知数都取绝对值，通过比较
绝对值之间的大小关系来判断不等式的解。

三、不等式的应用
3.1 引理
引理是指，通过不等关系的性质，推导出一些结论，可以用来
简化不等式的求解。

3.2 应用
在生活中，不等关系也有着广泛的应用，如货币兑换、失业率、贷款等方面。

综上所述，不等关系的知识点对于八年级学生来说是至关重要的。

通过深入理解不等关系的基本性质、掌握不等式的解法和应用，可以提升学生的数学思维和问题解决能力。

不等式的基本性质及其解集一、不等式的性质1．不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变．c a b a +⇒> c a b a c b +⇒<+, c b +2．不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

若：0,>>c b a ，可得ac bc ．3．不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．若ac c b a ⇒<>0, bc ．二．不等式的解集1．定义：一般的，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.2．解与解集的联系： 解集和解那个的范围大.（解是指个体，解集是指群体）3．不等式解集的表示方法. 1-≤x①用不等式表示。

如1-≤x 或x <-1等。

x <-1②用数轴表示.（注意实心圈与空心圈的区别）4.解一元不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，注意是否需要变号。

典型例题例1.①如果)2(2)2(-<-m x m 的解集为2>x ，求m 的取值范围.②不等式a x <2的解集为7<x ，求a 的值.例2.（1）如果关于x 的方程x m m x +-=+2432的解为大于4的数，求m 的取值范围.（2）已知不等式03≤-a x 的正整数解恰是1，2，3，求a 的取值范围.例3．（2007山东临沂）直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k 1x ＋b ＞k 2x 的解为（ ）。

A 、x ＞－1 B 、x ＜－1 C 、x ＜－2 D 、无法确定 例4．（1）若0)2(32=--+-k y x x 中，y 为非负数，求k 的取值范围．（2）若b a ,满足753=+b a ，求b a S 32-=的取值范围．例5．已知由小到大的十个正整数109321,,,,,a a a a a 的和是2003，那么5a 的最大值是多少？当5a 取得最大值时，写出10a 最小的这十个数．思考：1.已知a c c b a c b a 求,,0>>=++的取值范围．2．设c b a ,,均为正数，若ac b c b a b a c +<+<+，试确定c b a ,,三个数的大小．【经典练习】y k 2x1．如果关于x 的不等式b x a <-)1(的解集是1->a b x ，则有（ ） A 、1>a B 、1<a C 、1≠a D 、a 为一切实数2.若m 为有理数，下列不等式关系不一定成立的是（ ）A 、m m +>+79B 、m m -<-43C 、m m 46>D 、0||4≥m3.下列四个结论：（1）4是不等式63>+x 的解；（2）4>x 是不等式63>+x 的解集；（3）3是不等式63≥+x 的解；（4）3≥x 是不等式63≥+x 的解集，其中正确的是（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个4．满足不等式135->-x 的正整数值是方程[]a x x x =-----)15(4)21(5)2(4的解，则a 的值是（ ）A 、0B 、1C 、17D 、-175．不等式)52(4)83(714-<+-x x x 的负整数解是（ ）A 、-3，-2，-1，0B 、-4，-3，-2，-1C 、-2，-1D 、以上答案都不对6．已知032)2(2=--+-n b a a 中，b 为正数，则n 的取值范围是（ ）A 、2<nB 、3<nC 、4<nD 、5<n 7.如果b ax >，02<ac ，则xa b 8．（2007湖北孝感）如图，一次函数y ax b =+的图象经过A 、B 两点，则关于x 的不等式0ax b +<的解集是 ．9.若不等式a x <6的解集为3<x ，则a 的值为 .10．当a = 时，不等式x x 532≥-与x ax ≤+2同解．11．化简：若41<<x ，则化简22)1(4(-+-x ）x 的结果是 ． 12．当a 为何值时，方程)(23a x a x +-=+的解大于方程2)12(3)13(+=-x a x a 的解13．已知7321,,,a a a a 是彼此不相等的正整数，它们的和为159，求其中最小数a 的最大值．作业1．如果关于x 的方程7332+=-+x m x 的解为不大于2的非负数，那么（ ）（第8题图）A 、6=mB 、7,6,5=mC 、无解D 、75≤≤m2．如果关于x 的方程52)4(3+=+a x 的解大于关于x 的方程3)43(4)14(-=+x a x a 的解，那么（ ） A 、2>a B 、2<a C 、187<a D 、187>a 3．如果22,7235>+->-c a a ，那么（ ） A 、c a c a +<- B 、a c a c +<- C 、ac ac -> D 、a a 23> 4．若b a b a ><>,0,0，那么b a b a --,,,的大小顺序是（ ）A 、b a a b >->>-B 、b a b a ->->>C 、a b a b ->->>D 、a b b a ->>->5．已知0)24(1832=-+++k y x x ，求当k 为何值时，y 的值是非负数？6.（1）关于x 的方程1223+=+m x 的解为正数，求m 的取值范围.(2)不等式a x <+32的正整数解恰为1，2，求m 的取值范围.思考：已知三个非负数z y x ,,满足132,523=-+=++z y x z y x ，若z y x m 73-+=，求m 的最大值及最小值。

不等关系和不等式的基本性质及不等式的解集【知识要点】①一般地，用符号“＜”或者“≤”、“＞”或者“≥”连接的式子叫做不等式。

②正确理解“非负数”、“不小于”、“不大于”、“至少”等数学术语。

③不等式的两边都加上（或减少）同一个整数，不等式号的方向不变。

④不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

⑤不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

（2）不等式的解集：如6，7，8，9，10…都是x＞5的解，不等式的解不唯一，因此把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集。

（3）解不等式：求不等式解集的过程叫解不等式。

在数轴上表示不等式的解集时，可这样记忆：大于向右拐小于向左拐有“等号”实心无“等号”空心．画数轴时不要少了三要素：原点、正方向和单位长度．如下图，不等式x＞5的解集可以用数轴上表示5的点的右边部分来表示，在数轴上表示5的点的位置上画空心圆圈，表示5不在这个解集内.如图，不等式x－5≤－1的解集x≤4可以用数轴上表示4的点及其左边部分来表示，在数轴上表示4的点的位置上画实心圆点，表示4在这个解集内.【典型例题】例1 用不等式表示、（1）5与x的3倍的差为正数。

（2）a与b两数和的平方不能大于3。

（3）x2是非负数。

（4）x的一半比－5大，比3小。

（5）3x的绝对值不小于5。

（6）a的6倍与3的差不大于1。

例2 判断下列结果对不对，为什么？①若323,2x x>>则②若36,2x x-<<-则②若12,12aa>->-则④若a>b，则a>3b例3 根椐不等式的基本性质，把下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式。

①47x+>②514x x<+③415x->-④2542x x+<-例4 设a<b，用“<”或“>”填空。

课题不等式的基本性质1．经历不等式基本性质的研究过程，初步领悟不等式与等式的异同。

授课目的2．掌握不等式的基本性质，并会运用这些基本性质将不等式变形。

重点、难点不等式的基本性质的掌握与应用。

考点及考试要求领悟不等式与等式的异同。

掌握不等式的基本性质授课内容一、知识点：不等式的基本性质：（1）不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

用式子表示：若是a>b，那 a+c>b+c（或 a–c>b– c）（2）不等式的基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

用式子表示：若是a>b，且 c>0，那么 ac>bc，a b。

c c（3）不等式的基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

用式子表示：若是a>b，且 c<0，那么 ac<bc，a b。

c c（4）对称性：若是 a>b，那么 b<a。

（5）同向传达性： a>b，b>c 那么 a>c。

注意：不等式的基本性质是对不等式变形的重要依照。

不等式的性质与等式的性质近似，但等式的结论是“仍是等式”，而不等式的结论则是“不等号方向不变或改变”。

在运用性质（2）和性质（ 3）时，要特别注意不等式的两边乘以或除以同一个数，第一认清这个数的性质符号，从而确定不等号的方向可否改变。

说明：常有不等式所表示的基本语言与含义还有：①若 a－b＞0，则 a 大于 b ；②若 a－b＜0，则 a 小于 b ；③若 a－b≥0，则 a 不小于 b ；④若 a－b≤0，则 a 不大于 b ；⑤若 ab＞ 0 或a0 ，则a、b同号；b⑥若 ab＜ 0 或a 0 ，则、异号。

a bb随意两个实数 a、b 的大小关系：①a-b>O a>b；②a-b=O a=b；③a-b<O a<b．不等号拥有方向性，其左右两边不能够随意交换; 但 a＜b 可变换为 b＞ a，c≥ d 可变换为 d≤c。

第八讲不等关系、不等式的基本性质一、知识点精讲：（一）不等式的定义：用不等号把两个代数式连接起来，表示不等关系的式子叫不等式。

不等符号常见的有5种：“＜”、“≤”、“＞”、“≥”及“≠”。

注意：“≠”也是不等号，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能确定哪个大，哪个小。

“≤”表示“小于或等于”或“不大于”，“≥”表示“大于或等于”或“不小于”。

（二）不等式的基本性质：1、不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。

2、不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

3、不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要变向。

注意：等式性质与不等式性质的最大区别在于不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变（三）不等式的解集：1．不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值，叫做不等式的解．2．不等式的解集：不等式的解的集合叫做不等式的解集．它包含两个方面的意思：第一，解集中的任何一个数值，都能使不等式成立；第二，解集外的任何一个数值，都不能使该不等式成立。

因此，解集要达到不多不漏的严格要求。

3．不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，在表示的时候，要注意“两定”：一是定边界点，若边界点含于解集，为实心点，不含于解集为空心点；二是定方向，相对于边界点而言，“小于向左，大于向右”．不等式的解集在数轴上的表示如下：①当不等式的解集是x＞a时.(如图1－1)图1－1②不等式的解集是x≥a时.(如图1－2)图1－2③当不等式的解集是x＜a时.(如图1－3)图1－3④当不等式的解集是x≤a 时.(如图1－4)图1－44．不等式的解与解集的区别:解是一个或几个未知数的值，解集是所有的解组成的集合.。

5．求不等式解集的过程叫做解不等式。

1. 判断不等式例1．判断下列各式哪些是不等式，哪些既不是等式又不是不等式.①y x + ；②73>x ； ③523=+； ④20x ≥； ⑤132=-y x ； ⑥01<-. 变式训练1. 下列式子2220,40,340,210,34,13a x y x y x x y a b -<-<+≥+-=+-+>-中，不等式有 个.2．据题意列不等式：例2．用不等式表示下列数量关系.⑴a 的相反数与5的和小于a 与7的差； ⑵5-与x -的和一定是负数；⑶长为2+a ,宽为a 的长方形面积小于边长为1+a 的正方形的面积.变式训练1． 用不等式表示下列数量关系.(1)a 的3倍与2的差小于a 的5倍与7的和； (2)x 的绝对值与1的和不小于1；(3)b a 、两数的平方和的2倍再加上c 小于10； (4) x 与3的和的一半时负数.3． 不等式的基本性质：例3.比较下列各题中两个式子的大小.(1) 33a -与44a-； (2)b a +与b a -.变式训练：（1）. 若由y x <得到y a x a 22<，则一定有（ ）．A ．0>aB ．0<aC ．0≠aD ．a 为任意实数（2）. 设c b a ，，的平均数为M ，b a ，的平均数为N ，N 与c 的平均数为P ，若c b a >>，则M 与P 的大小关系是（ ）． A ．P M = B ．P M > C ．P M < D ．不确定例4． 运用不等式的基本性质进行化简：1．已知b a >,则75+-a 75+-b 已知4646-<-b a ,则a b ． 考点5 图像中比较大小2．如图所示，c b a ，，分别表示苹果、梨、桃子的质量．同类水果质量相等，则下列关系正确的是（ ）．A ．b c a >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．b a c >>变式训练（1）. 如图所示，四个小朋友玩跷跷板，体重分别为S R Q P 、、、，则他们的体重大小关系是（ ）．A ．Q S R P >>>B ．R P S Q >>>C ．R Q P S >>>D ．Q R P S >>> 考点6： 不等式的解和解集（不等式中字母的取值范围）1．已知关于x 的方程4152435-=-m m x 的解是非负数，求m 的取值范围．2．已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧-=++=+134123a y x a y x 的解满足y x >，求a 的取值范围．3． 求同时满足不等式5043874756++++x x x x 和的整数解变式训练（1）．已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧-=-+=+5854a y x a y x 的解满足不等式954<-y x ，求a的取值范围．3．关于x 不等式a bx b ax 2+>+的解集为3>x ，求关于x 的不等式b ax <7的解集．变式训练（1）．不等式0)32()(<-++b a x b a 的解集为31-<x ，求关于x 的不等式b a x b a ->-2)3(的解集．4．关于x 的不等式134>+a x 的解都是不等式0312<+-x 的解，求a 的取值范围．变式1．已知不等式a x x 322434-<+（x 为未知数）的解集也是不等式21621<-x 的解集，求a 的值．A (基本训练)1．x 与4的和的2倍不大于x 的二分之一与3的差，用不等式表示为（ ） （A ）3x 21)4x (2-<+ （B ）24x ⨯+≤3x 21-（C ）)4x (2+≤3x 21- （D ）)4x (2+≤)3x (21-2．若a<b ，则下列各式中不成立的是（ ） （A ）b 3a4+-<+- （B ）a 3b 3-<- （C ）33b a < （D ）b 2a 2-<-3．若有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，在下列结论错误的是（ ）（A ）0>-b a （B ）0>ab （C ）b c a c -<- （D ）ba 11>4．如果x<0，那么x |x |-是（ ）（A ）正数 （B ）负数 （C ）非正数 （D ）非负数 5．下列不是不等式8x )5x (2-<-的解的数是（ ） （A ）－4 （B ）－5 （C ）－3 （D ）2 6．如果不等式b ax <的解集为abx <，那么a 的取值范围是（ ） （A ）a≥0 （B ）a≤0 （C ）a>0 （D ）a<0 7．如图所示，x <2用数轴表示正确的是（ ）8．不等式1x 43<的非负整数解是（ ）（A ）无数个 （B ）1 （C ）0，1 （D ）1，2 二、解答下列各题 1．用不等式表示：（1）5与x 的3倍的差是正数；（2）a 与b 的平方和不大于3； （3）a 与b 的和的平方不等于a 与b 的平方和； （4）x 除以2的商加上2，至多为5。

专题2.1-2.3 不等关系、不等式的基本性质、不等式的解集1．理解不等式的意义，能用不等关系符号刻画现实世界中的数量关系；2. 掌握不等式的三条基本性质，并能简单应用；3.认识不等式解集的概念并会在数轴上表示解集。

知识点01 不等式与不等式的基本性质【知识点】1、不等式的概念：一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．注意：(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．(2)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．2、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．不等式的基本性质的掌握注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【知识拓展1】不等式的辨别例1．（2022·浙江·八年级练习）下列各式：①1﹣x：②4x+5>0；③x<3；④x2+x﹣1＝0，不等式有（）个．A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】依据不等式的定义：用“>”、“≥”、“<”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．【详解】解：根据不等式的定义可知，所有式子中是不等式的是②4x+5>0；③x<3，有2个．故选：B．【点睛】本题主要考查了不等式的定义，用“>”、“≥”、“<”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子叫作不等式．【即学即练】1．（2022·黑龙江·哈尔滨市八年级期中）下列式子①15xx<+；②1>2；③3m-1≤4；④a+2≠a-2中，不等式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【分析】根据不等式的定义：“用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式”分析即可．【详解】根据不等式的定义：“用不等号表示两个量间的不等关系的式子叫做不等式”分析可知，上述四个式子都是不等式．故选D．【点睛】本题考查了不等式的定义，理解不等式的定义是解题的关键．2．（2022·浙江余杭·八年级阶段练习）下列选项正确的是（）A．a不是负数，表示为0a>B．a不大于3，表示为3a<C．x与4的差是负数，表示为40x-<D．x不等于34，表示为34x>【答案】C【分析】由题意先根据非负数、负数及各选项的语言表述列出不等式，再与选项中所表示的进行比较即可得出答案．【详解】解：A．a不是负数，可表示成0a…，故本选项不符合题意；B．a不大于3，可表示成3a…，故本选项不符合题意；C．x与4的差是负数，可表示成40x-<，故本选项符合题意；D．x不等于34，表示为34x≠，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查不等式的定义，解决本题的关键是理解负数是小于0的数，不大于用数学符号表示是“≤”．【知识拓展2】不等式应用例2．（2021·北京市八年级期中）2020年，一直活跃在全球公众视线中的新冠疫苗，成为人类对抗新冠疫情的“关键先生”．然而，研发只是迈出了第一步，疫苗运输的第一关考验，在于温度．作为生物制品，疫苗对温度极其敏感．一般来说，疫苗冷链按照温度的不同，有如下分类：类型深度冷链冻链冷藏链温度（t℃）t≤﹣70﹣70＜t≤﹣202≤t≤8常见疫苗埃博拉疫苗水痘、带状疱疹疫苗流感疫苗我国研制的新型冠状病毒灭活疫苗，冷链运输和储存需要在2℃﹣8℃范围内，属于以下哪种冷链运输（ ）A．深度冷链B．冻链C．冷藏链D．普通运输【答案】C【分析】直接根据不等式的定义，观察表中t的范围可得答案．【详解】解：根据图表中t的取值范围得：冷链运输和储存需要在2℃—8℃范围内，属于冷藏链运输．故选：C．【点睛】此题考查的是不等式的概念，掌握不等式的概念：用“>”或“<”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式是解决此题关键．【即学即练】1．（2022·浙江嘉兴·八年级期末）根据数量关系“x的3倍小于4”，列不等式为______．【答案】34x<【分析】根据题意，表示出x的3倍，即可求解．【详解】解：“x的3倍小于4”，可表示为34x<x<故答案为：34【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．2.（2022·广东·八年级期末）在新冠肺炎疫情防控期间，体温T超过37.3C°的必须如实报告，并主动到发热门诊就诊．体温“超过37.3C °”用不等式表示为（ ）A ．37.3CT >°B ．37.3C T <°C ．37.3C T £°D ．37.3CT £-°【答案】A【分析】超过37.3C °即大于37.3C °，用不等式表示出来即可．【详解】解：A 、表示超过37.3C °，选项正确；B 、表示低于37.3C °，选项错误；C 、表示不高于37.3C °，选项错误；D 、表示不高于37.3C -°，选项错误．故选：A【点睛】本题考查不等式的概念，根据定义解题是关键．【知识拓展3】不等式的性质例3．（2022·湖南汉寿·八年级期末）下列不等式变形中不正确的是（ ）A ．由a b >，得11a b ->-B ．由12a b -<，得2a b >-C ．由1123a b >，得32a b >D ．由31a ->，得13a >-【答案】D【分析】根据不等式的性质，比较每一个选项变形是否符合不等式的性质，选出正确答案即可．【详解】A 、a b >，得11a b ->-，根据不等式两边同时加上或减去同一个数，不等式仍然正确，可知A 正确，不符合题意；B 、由12a b -<，得2a b >-，根据不等两边同时乘一个负数，不等号方向改变，可知B 正确，不符合题意；C 、由1123a b >，得32a b >，根据不等两边同时乘一个正数，不等号方向不变，可知C 正确，不符合题意；D 、由31a ->，得13a <-，根据不等两边同时除以一个负数，不等号方向改变，可知D 错误，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解决本题的关键．【即学即练】1．（2022·浙江新昌·八年级期末）如果a b >，那么下列结论一定正确的是（ ）A ．33a b +<+B ．22a b <C ．34a b +>+D ．33a b ->-【答案】D【分析】根据不等式的基本性质求解即可．【详解】解：A 、如果a b >，则33a b +>+，错误，不符合题意；B 、如果a b >，则22a b >，错误，不符合题意；C 、如果a b >，则34a b +>+，不一定正确，不符合题意；D 、如果a b >，则33a b ->-，正确，符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解答的关键．2．（2022·山东·八年级专项训练）根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式．(1)15x -<；(2)413x -³；(3)1142x -+³；(4)410x -<-．【答案】(1)6x <(2)1³x (3)6x £-(4)52x >【分析】（1）根据不等式的性质1解答即可；（2）先根据不等式的性质1，再根据不等式的性质2解答；（3）先根据不等式的性质1，再根据不等式的性质3解答；（4）根据不等式的性质3解答即可；【解析】(1)解：15x -<，两边加上1得：1151x -+<+，解得：6x <；(2)解：413x -³，两边加上1得：41131x -+³+，即44x ³，两边除以4得：1³x ；(3)解：1142x -+³，两边减去1得：111412x -+-³-，即132x -³，两边除以12-得：6x £-；(4)解：410x -<-，两边除以4-得：52x >．【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．【知识拓展4】不等式性质的实际运用例4．（2022·山东·八年级期末）如图，A 、B 、M 、N 四人去公园玩跷跷板．设M 和N 两人的体重分别为m 、n ，则m 、n 的大小关系为（ ）A ．m ＜nB ．m ＞nC ．m ＝nD ．无法确定【答案】A【分析】设A ，B 两人的体重分别为a ，b ，根据题意列出等式和不等式，即可得出答案．【详解】解：设A ，B 两人的体重分别为a ，b ，根据题意得：a +m ＝n +b ，a ＞b ，∴m ＜n ，故选：A ．【点睛】本题考查了不等式的性质，根据题意列出等式和不等式是解题的关键．【即学即练】1．（2022·湖南汉寿·八年级期末）甲在集市上先买了3只羊，平均每只a 元，稍后又买了2只，平均每只羊b 元，后来他以每只2a b + 元的价格把羊全卖给了乙，结果甲发现赚了钱，赚钱的原因是（ ）A ．a b =B ．a b >C ．a b <D ．与a b 、大小无关【答案】C【分析】分别求出买5只羊的总费用和卖掉5只羊的总收入，再利用不等式的性质比较大小即可【详解】解：由题意，甲买羊共付出（32a b +）元，卖羊的共收入5()2a b +元，∵甲赚了钱，∴32a b +＜5()2a b +，解得：a b <，故选：C ．【点睛】本题考查列代数式、不等式的基本性质，理解题意，正确列出代数式和不等式是解答的关键．【知识拓展5】根据不等式性质求参数例5．（2022·浙江缙云·八年级期末）若x y <，且()()33->-a x a y ，则a 的取值范围是（ ）A ．3a <B ．3a >C ．3a ³D ．3a £【答案】A【分析】根据不等式的性质求解即可．【详解】解：∵x y <，且()()33->-a x a y ，∴a -3<0，∴a <3，故选A ．【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．【即学即练】1．（2022·浙江西湖·八年级期末）已知x y >．(1)比较3x -与3y -的大小，并说明理由．(2)若33ax ay +>+，求a 的取值范围．【答案】(1)3−x ＜3−y (2)a ＞0【分析】（1）根据不等式的基本性质解答即可；（2）根据不等式的基本性质解答即可．【解析】(1)解：∵x＞y，∴−x＜−y，∴3−x＜3−y；(2)∵x＞y，3＋ax＞3＋ay，∴a＞0．【点睛】本题考查的是不等式的基本性质．（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，解题关键是掌握不等式的基本性质．知识点02 不等式的解集【知识点】1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．3.不等式的解集的表示方法（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：注意：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a 而言，x＜a或x≤a向左画．【知识拓展1】不等式的解例1．（2022·河北·八年级专题练习）下列说法中，正确的是（）A．x＝3是不等式2x＞1的解B．x＝3是不等式2x＞1的唯一解C．x＝3不是不等式2x＞1的解D．x＝3是不等式2x＞1的解集【答案】A【分析】对A、B、C、D选项进行一一验证，把已知解代入不等式看不等式两边是否成立．【详解】解：A、当x＝3时，2×3＞1，成立，故A符合题意；B 、当x ＝3时，2×3＞1成立，但不是唯一解，例如x ＝4也是不等式的解，故B 不符合题意；C 、当x ＝3时，2×3＞1成立，是不等式的解，故C 不符合题意；D 、当x ＝3时，2×3＞1成立，是不等式的解，但不是不等式的解集，其解集为：x ＞12，故D 不符合题意；故选：A ．【点睛】此题考查不等式中不等式的解、唯一解、解集概念之间的区别和联系，是一道非常好的基础题．【即学即练1】1．（2022·遂宁市八年级期中）下列各数中，是不等式x ＞3的解的是（ ）A ．﹣3B ．0C ．3D ．5【答案】D【分析】根据不等式解的定义判断即可．【详解】5是不等式x ＞3的解．故选：D ．【点睛】此题考查了不等式的解集，弄清不等式解的定义是解本题的关键．2．（2022·北京顺义·八年级期中）x =3是下列不等式（ ）的一个解．A ．x +1<0B ．x +1<4C ．x +1<3D ．x +1<5【答案】D【分析】直接将x=3代入各个不等式，不等式成立的即为所选.【详解】解：A 、3+1=4>0，故A 不成立；B 、3+1=4，故B 不成立；C 、3+1=4>3，故C 不成立；D 、3+1=4<5，故D 成立；故选：D.【点睛】本题主要考查不等式的的解（集），使不等式成立的的未知数的值，就是不等式的解，由所有不等式的解组成的集合就是不等式的解集.【知识拓展2】不等式的解集例2．（2022·山西忻州·八年级期末）下列说法错误的是（ ）A ．不等式32x ->的解集是5x >B ．不等式3x <的整数解有无数个C ．不等式33x +<的整数解是0D ．0x =是不等式23x <的一个解【答案】C【分析】解出不等式的解集，根据不等式的解的定义，是能使不等式成立的未知数的值，就可以作出判断．【详解】解：A 、不等式x −3＞2的解集是x ＞5，正确，不符合题意；B 、由于整数包括负整数、0、正整数，所以不等式x ＜3的整数解有无数个，正确，不符合题意；C 、不等式x ＋3＜3的解集为x ＜0，所以不等式x ＋3＜3的整数解不能是0，错误，符合题意；D 、由于不等式2x ＜3的解集为x ＜1.5，所以x ＝0是不等式2x ＜3的一个解，正确，不符合题意．选：C ．【点睛】本题考查了不等式的解集，解答此题关键是掌握解不等式的方法，及整数的分类．【即学即练】1．（2022·广东·八年级课时练习）下列说法中，错误的是（ ）A ．不等式x ＜5的整数解有无数多个B ．不等式﹣2x ＜8的解集是x ＜﹣4C ．不等式x ＞﹣5的负整数解是有限个D ．﹣40是不等式2x ＜﹣8的一个解【答案】B【分析】先求解不等式，然后根据不等式解集的定义进行判断．【详解】A 、小于5的整数有无数个，正确；B 、不等式﹣2x ＜8的解集是x ＞﹣4，错误；C 、不等式x ＞﹣5的负整数解集有﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，正确；D 、不等式2x ＜﹣8的解集是x ＜﹣4，因而﹣40是不等式2x ＜﹣8的一个解，正确．故选B ．【点睛】本题考查不等式的解集，求出不等式的解集是解题的关键．【知识拓展3】用数轴表示不等式的解集例1．（2022.山东八年级）将下列不等式的解集在数轴上表示出来．（1）1x >- （2）2x -≤ （3）0x ³ （4）1x <-【分析】（1）先将数轴画出来，然后找到-1这一点，然后大于向右画，在-1处为空心圆点；（2）先将数轴画出来，然后找到-2这一点，然后小于向左画，在-2处为实心圆点；（3）先将数轴画出来，然后找到0这一点，然后大于向右画，在0处为实心圆点；（4）先将数轴画出来，然后找到-1这一点，然后小于向左画，在-1处为空心圆点．解：如图所示.【点拨】本题主要考查用数轴表示不等式的解集，掌握数轴的知识及大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点，没有等号画空心圆点是解题的关键．【即学即练】1.请用不等式表示如图的解集．【答案】（1）x ＜﹣1；（2）x ≥1；（3）x ≤﹣1；（4）x ＞3．【分析】根据不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示，可得答案．解：（1）由数轴表示的不等式的解集，得1x <-；（2）由数轴表示的不等式的解集，得1³x ；（3）由数轴表示的不等式的解集，得1x £-；（4）由数轴表示的不等式的解集，得3x >．【知识拓展4】根据不等式的解集求参数例4．（2022·浙江龙湾·八年级期中）已知不等式（a ﹣1）x ＞a ﹣1的解集是x ＜1，则a 的取值范围为______．【答案】a ＜1【分析】根据不等式的性质3，可得答案．【详解】解：∵（a ﹣1）x ＞a ﹣1的解集是x ＜1，不等号方向发生了改变，∴a ﹣1＜0，∴a ＜1．故答案为：a ＜1．【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式的两边都除以同一个负数，不等号的方向改变．【即学即练】1．（2022·浙江·温州八年级期中）若不等式（m ﹣3）x ＞m ﹣3，两边同除以（m ﹣3），得x ＜1，则m 的取值范围为_____．【答案】3m <【分析】根据不等式的性质可知30m -<，求解即可．【详解】解：∵不等式（m ﹣3）x ＞m ﹣3，两边同除以（m ﹣3），得x ＜1，∴30m -<，解得：3m <，故答案为：3m <．【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟知不等式两边同时乘或除一个负数，不等式的符号要改变，是解本题的关键．2.对于x≥1的一切实数,不等式()1x-a 2≥a 都成立,试求a 的取值范围.【答案】13a £【分析】将x=1先带入不等式()1x-a 2≥a 中，解不等式即可得到答案.解：不等式可得x≥3a,由题意知3a≤1,即a≤13.【点拨】此题重点考查学生对不等式解法的理解，把握不等式的解法是解题的关键.题组A 基础过关练1．（2022·北京市昌平区八年级期中）在 ① 1x y +=；② x y >；③ 2x y +；④ 21x y -³；⑤ 0x < 中，属于不等式的有 ()A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【答案】C【分析】用不等号连接而成的式子叫不等式，根据不等式的定义即可完成．【详解】①是等式；③是代数式；②④⑤是不等式；即属于不等式的有3个故选：C【点睛】本题考查了不等式的概念，理解不等式的概念是关键．2．（2022·江苏高邮·七年级期末）小明花整数元网购了一本《趣数学》，让同学们猜书的价格．甲说：“至少15元”，乙说“至多13元”，丙说：“至多10元”．小明说：“你们都猜错了．”则这本书的价格为（ ）A ．12元B ．13元C ．14元D ．无法确定【答案】C【分析】根据题目中的说法，可以利用排除法，求得《趣数学》的价格，从而可以解答本题．【详解】解：由题意可得，甲、乙、丙的说法都是错误的，甲的说法错误，说明这本书的价格少于15元，乙、丙的说法错误，说明这本书的价格高于13元，又因为明花整数元网购了一本《趣数学》，所以这本书的价格是14元，故选：C ．【点睛】本题考查推理与论证，解答本题的关键是明确题意，利用排除法得到书的价格．3．（2022·江苏·靖江外国语学校模拟预测）下列说法不正确的是（ ）A ．若a b <，则22ax bx <B ．若a b >，则44a b -<-C ．若a b >，则11a b -<-D ．若a b >，则a x b x+>+【答案】A【分析】利用不等式的性质逐项判断，得出答案即可．【详解】解：A 、若a b <，则22ax bx <，0x =时不成立，此选项错误，符合题意；B 、若a b >，则44a b -<-，此选项正确，不符合题意；C 、若a b >，则11a b -<-，此选项正确，不符合题意；D 、若a b >，则a x b x +>+，此选项正确，不符合题意．故选：A ．【点睛】此题考查不等式的性质，解题关键是熟记不等式的性质：性质1、不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．性质2、不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．性质3、不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变．4．（2022·全国·八年级专题练习）对于不等式4x+7（x-2）＞8不是它的解的是（）A．5B．4C．3D．2【答案】D【分析】根据不等式的解的含义把每个选项的数值代入不等式的左边进行计算，满足左边大于右边的是不等式的解，不满足左边大于右边的就不是不等式的解，从而可得答案.【详解】解：当x＝5时，4x+7（x-2）＝41＞8，当x＝4时，4x+7（x-2）＝30＞8，当x＝3时，4x+7（x-2）＝19＞8，当x＝2时，4x+7（x-2）＝8．故知x＝2不是原不等式的解．故A，B，C不符合题意，D符合题意，故选D【点睛】本题考查的是不等式的解的含义，理解不等式的解的含义并进行判断是解本题的关键. 5．（2022·全国·八年级）如果a＜b，c＜0，那么下列不等式成立的是（ ）A．a+c＜b B．a﹣c＞b﹣c C．ac+1＜bc+1 D．a（c﹣2）＜b（c﹣2）【答案】A【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可求解．【详解】解：A、由a＜b，c＜0得到：a+c＜b+0，即a+c＜b，故本选项符合题意．B、当a＝1，b＝2，c＝﹣3时，不等式a﹣c＞b﹣c不成立，故本选项不符合题意．C、由a＜b，c＜0得到：ac+1＞bc+1，故本选项不符合题意．D、由于c﹣2＜﹣2，所以a（c﹣2）＞b（c﹣2），故本选项不符合题意．故选：A【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，6．（2022·山东·聊城市八年级阶段练习）如果a＞b，c＜0，则ac3_____bc3（＞或＜或=）．【答案】＜【分析】根据不等式的基本性质（不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变）判断即可得到答案.【详解】解：∵c＜0，∴c3<0，∵a＞b，∴ac3＜bc3.（不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变）故答案为：＜.【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质；(1)不等式的两边同时加上或者减去同一个数活等式不等号的方向不变；(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.7．（2022·北京市八年级期中）以下是两位同学在复习不等式过程中的对话：小明说：不等式a＞2a永远都不会成立，因为如果在这个不等式两边同时除以a，就会出现1＞2这样的错误结论！小丽说：如果a＞b，c＞d，那么一定会得出a﹣c＞b﹣d．你认为小明的说法 （填“正确”、“不正确”）；小丽的说法 （填“正确”、“不正确”），并选择其中一个人判断阐述你的理由（若认为正确，则进行证明；若认为不正确，则给出反例）【答案】不正确；不正确；理由见解析【分析】根据不等式的性质进行解答．【详解】解：小明和小丽的说法都不正确，理由如下：选择小明的说法：当a=0时，a=2a；当a＜0时，由1＜2得a＞2a．选择小丽的说法：当a=c，b=d时，a﹣c＞b﹣d不成立；故答案为：不正确；不正确．【点睛】本题考查了不等式的性质：不等式两边加上（或减去）同一个数，不等号方向不变；不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变．8．（2022·全国·八年级课前预习）利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：(1)x－7＞26(2)3x＜2x＋1【答案】(1)x＞33，见解析(2)x＜1，见解析【详解】（1）根据不等式的性质1，不等式两边加7，不等号的方向不变，所以：x－7＋7＞26＋7，x＞33．这个不等式的解集在数轴上的表示如图：（2）3x＜2x＋1；解:（2）根据不等式的性质1，不等式两边减2x，不等号的方向不变，所以：3x－2x＜2x＋1－2x，x＜1．这个不等式的解集在数轴上的表示如图：9．（2022·全国·八年级课时练习）若x y <，试比较下列各式的大小并说明理由．（1）31x -与31y -；（2）263x -+与263y -+．【答案】（1）3131x y -<-．理由见解析；（2）226633x y -+>-+．理由见解析.【分析】（1）先在x ＜y 的基础上，利用不等式性质2，同乘以3，不等号方向不变，再在此基础上，利用不等式性质1，同减去1，不等号方向不变，故3x-1＜3y-1；（2）先在x ＜y 的基础上，利用不等式形式3，同乘以-23-，不等号方向改变，再在此基础上，利用不等式性质1，同加上6，不等号方向不变，故226633x y -+>-+.【详解】解：（1）3131x y -<-．理由如下：x y <Q ，33x y \<（不等式的性质2），3131x y \-<-（不等式的性质1）．（2）226633x y -+>-+．理由如下：x y <Q ，2233x y \->-（不等式的性质3），226633x y -+>-+（不等式的性质1）．【点睛】主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．题组B 能力提升练1．（2022·全国·八年级专题练习）下列说法正确的是（ ）A ．x ＝﹣3是不等式x ＞﹣2的一个解B ．x ＝﹣1是不等式x ＞﹣2的一个解C ．不等式x ＞﹣2的解是x ＝﹣3D ．不等式x ＞﹣2的解是x ＝﹣1【答案】B【分析】根据不等式解集和解的概念求解可得．【详解】解：A 、∵32-<- ，∴x ＝﹣3不是不等式x ＞﹣2的一个解，此选项不符合题意；B ．∵12->- ，∴x ＝﹣1是不等式x ＞﹣2的一个解，此选项符合题意；C ．不等式x ＞﹣2的解有无数个，此选项不符合题意；D ．不等式x ＞﹣2的解有无数个，此选项不符合题意；故选B ．【点睛】本题主要考查不等式的解集，不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示，不等式的每一个解都在它的解集的范围内．2．（2022·湖南·永州市八年级阶段练习）关于x 的不等式（m －1）x ＞m －1可变成形为x ＜1，则（ ）A ．m ＜－1B ．m ＞－1C ．m ＞1D ．m ＜1【答案】D【分析】根据不等式的基本性质3求解即可．【详解】解：∵关于x 的不等式（m -1）x >m -1的解集为x <1，∴m -1<0，则m <1，故选：D ．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的基本性质3．3．（2022·全国·八年级）已知8x ＋1＜－2x ，则下列各式中正确的是（ ）A ．10x ＋1＞0B ．10x ＋1＜0C ．8x －1＞2xD ．10x ＞－1【答案】B【分析】根据不等式的性质解答即可．【详解】解：由不等式性质得，在不等式8x ＋1＜－2x 的两边同加上2x ，不等号的方向不变，即10x ＋1＜0．故选：B ．【点睛】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解答的关键，注意符号的变化．4．（2022·江西·景德镇八年级期中）以下说法正确的是：_______.①由ab bc >，得a c >；②由22ab cb >，得a c >；③由b a b c -<-，得a c >；④由20212021a c >，得a c >；⑤n a -和()n a -互为相反数；⑥3x >是不等式21x +>的解【答案】②③④【分析】根据不等式的基本性质得出结论即可．【详解】解：①由ab bc >，当0b ＜时，得a c ＜，故结论①错误；②由22ab cb >，得a c >，故结论②正确；③由b a b c -<-，得a c >；故结论③正确；④由20212021a c >，得a c >；故结论④正确；⑤n a -和()n a -互为相反数，当n 为奇数时，()n n a a -=-，故结论⑤错误；⑥1x >-是不等式21x +>的解，故结论⑥错误；故正确的结论为：②③④．【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟知不等式的基本性质是解本题的关键．5．（2022·广东·八年级期中）（1）若a ＜0，则a 2a ；（用“＞”“＜”“＝”填空）。