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人教不等式的基本性质PPT完美版

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2.2.1 基本不等式-(新教材人教版必修第一册)(35张PPT)

2.2.1 基本不等式-(新教材人教版必修第一册)(35张PPT)

利用基本不等式比较大小
【例 2】 (1)已知 a，b∈R＋，则下列各式中不一定成立的是( )
A．a＋b≥2 ab
B.ba＋ab≥2
C.a2＋abb2≥2 ab
D.a2＋abb≥ ab
(2)已知 a，b，c 是两两不等的实数，则 p＝a2＋b2＋c2 与 q＝ab＋bc
＋ca 的大小关系是________．
B [当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0 1．不等式a2＋1≥2a中等号成立 即a＝1时，“＝”成立．] 的条件是( ) A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0
2．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，
D [∵a，b∈(0,1)，∴a2＜a，
下列各式中最大的是( )
b2＜b，
A．a2＋b2
一定成立的是( )
A．a－b<0
B．0<ab<1
C.
a＋b ab< 2
D．ab>a＋b
C [∵a>b>0，由基本不等式知 ab<a＋2 b一定成立．]
3．不等式x－9 2＋(x－2)≥6(其 中x＞2)中等号成立的条件是( )
A．x＝3 B．x＝－3
C [由基本不等式知等号成立 的条件为x－9 2＝x－2，即x＝5(x＝－ 1舍去)．]
∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞
B．2 ab
2ab(∵a≠b)，
C．2ab
∴2ab＜a2＋b2＜a＋b.
D．a＋b
又∵a＋b＞2 ab(∵a≠b)，∴a
＋b最大．]
3．已知ab＝1，a>0，b>0，则a
B [∵a>0，b>0，∴a＋
＋b的最小值为( )
b≥2 ab＝2，当且仅当a＝b＝1时取

1.1.1 不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)

1.1.1 不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)

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进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、 记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等
式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结
构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的 充分条件．
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3．判断下列命题的真假，并简述理由． (1)若 a>b，c>d，则 ac>bd； a b (2)若 a>b>0，c>d>0，则 c>d； (3)若 a>b，c<d，则 a－c>b－d； (4)若 a>b，则 a ＞b ， a> b(n∈N 且 n≥2)．
n n
n
n
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解：(1)取 a＝3，b＝2，c＝－2，d＝－3，即 3>2，－2>－3. 此时 ac＝bd＝－6.因此(1)为假命题． (2)因同向不等式不能相除，取 a＝6，b＝4，c＝3，d＝2，此 a b 时c ＝d＝2.因此(2)为假命题． (3)∵c<d，∴－c>－d，因此(3)为真命题． (4)当 a>b>0 时，才能成立，取 a＝－2，b＝－3，当 n 为偶 数时不成立，因此(4)为假命题．
“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等．
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1．已知a，b∈R，比较a4＋b4与a3b＋ab3的大小．
解：因为(a4＋b4)－(a3b＋ab3) ＝a3(a－b)＋b3(b－a) ＝(a－b)(a3－b3) ＝(a－b)2(a2＋ab＋b2) b 3 ＝(a－b)2[(a＋ )2＋ b2]≥0 2 4 (当且仅当a＝b时，取“＝”号) 所以a4＋b4≥a3b＋ab3.
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点击下图进入创新演练
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1 1 4．已知a，b，x，y都是正数，且a>b，x>y， x y 求证： > . x＋a y＋b 证明：因为a，b，x，y都是正数，

1.1.1 不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)

1.1.1 不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)
返回ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6a2 2．在数轴的正半轴上，A 点对应的实数为 ，B 点对应的 9＋a4 实数为 1， 试判别 A 点在 B 点的左边， 还是在 B 点的右边？
－a2－32 6a2 解：因为 ≤0， 4－1＝ 4 9＋a 9＋a 6a2 所以 ≤1. 9＋a4 当且仅当 a＝± 3时取“＝”， 所以当 a≠± 3时，A 点在 B 点左边，当 a＝± 3时，A 点 与 B 点重合．
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∴(a－c)(b－d)>0. eb－a＋c－d e e ∵e<0，∴ >0.即 > . a－cb－d a－c b－d
c<d<0⇒－c>－d>0 ⇒ 法二： a>b>0
1 1 a－c>b－d>0⇒ < a－c b－d⇒ e ＞ e . a－c b－d e<0
“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等．
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1．已知a，b∈R，比较a4＋b4与a3b＋ab3的大小．
解：因为(a4＋b4)－(a3b＋ab3) ＝a3(a－b)＋b3(b－a) ＝(a－b)(a3－b3) ＝(a－b)2(a2＋ab＋b2) b 3 ＝(a－b)2[(a＋ )2＋ b2]≥0 2 4 (当且仅当a＝b时，取“＝”号) 所以a4＋b4≥a3b＋ab3.
返回
2．不等式的基本性质
由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些 基本性质： (1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即 a＞
b⇔b＜a . (2)如果a＞b，b＞c，那么 a＞c .即a＞b，b＞c⇒ a＞c .
(3)如果a＞b，那么a＋c> b＋c . (4)如果a＞b，c>0，那么ac > bc；如果a>b，c<0，那么 ac < bc.

1.1.1.不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)

1.1.1.不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)
f1＝a＋b， ∴ f－1＝a－b.
1 a＝2[f1＋f－1]， ∴ b＝1[f1－f－1]. 2 ∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)． ∵1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4. ∴6≤f(－2)≤10.
法二：设 f(x)＝ax2＋bx， 则 f(1)＝a＋b，f(－1)＝a－b. 令 m(a＋b)＋n(a－b)＝f(－2)＝4a－2b，
a 3 b 2 又∵ y＝ ＝－1，x＝ ＝－1， －3 －2 a b ∴y ＝x，因此⑤不正确． 由不等式的性质可推出②④恒成立． 即恒成立的不等式有②④.
c d 2．已知三个不等式：ab＞0，bc－ad＞0，a－b＞0(其中 a，b， c，d 均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个 不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题有几个？
12 3 3 ∵x －x＋1＝(x－ ) ＋ ≥ ＞0， 2 4 4
2
∴当 x＞1 时，(x－1)(x2－x＋1)＞0. 即 x3－1＞2x2－2x； 当 x＝1 时，(x－1)(x2－x＋1)＝0， 即 x3－1＝2x2－2x； 当 x＜1 时，(x－1)(x2－x＋1)＜0， 即 x3－1＜2x2－2x.
2
1 1 2 ∴作差，得(x＋1)(x ＋ x＋1)－(x＋ )(x ＋x＋1) 2 2
2
x 1 2 2 ＝(x＋1)(x ＋x＋1)－ (x＋1)－(x＋1)(x ＋x＋1)＋ (x ＋x＋1) 2 2
2
1 2 1 2 1 ＝ (x ＋x＋1)－ (x ＋x)＝ ＞0， 2 2 2 x 1 2 ∴(x＋1)(x ＋ ＋1)＞(x＋ )(x ＋x＋1)． 2 2
对称性 传递性 可加性 可乘性 乘方 开方 如果 a＞b，那么 b＜a ；如果 b＜a ，那么 a＞b.即 a ＞b⇔ b＜a . 如果 a＞b，b＞c，那么 a＞c .即 a＞b，b＞c⇒ a＞c . 如果 a＞b ，那么 a＋c＞b＋c. 如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc ； 如果 a＞b，c＜0，那么 ac＜bc . 如果 a＞b＞0，那么 an ＞ bn(n∈N，n≥2)． 如果 a＞b＞0，那么 a ＞ n n

基本不等式(共43张)ppt课件

基本不等式(共43张)ppt课件
15
判别式及根的关系
根的关系
判别式：$Delta = b^2 4ac$，用于判断一元二次方
程的根的情况。
01
02
03
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根；
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重
根）；
04
2024/1/25
05
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，有两个共轭复根。
基本不等式性质
传递性
若$a > b$且$b > c$，则$a > c$。
正数乘法保序性
若$a > b > 0$且$c > d > 0$ ，则$ac > bd$。
对称性
若$a = b$，则$b = a$；若 $a > b$，则$b < a$。
2024/1/25
可加性
若$a > b$且$c > d$，则$a + c > b + d$。
2024/1/25
35
思考题与练习题
思考题：如何利用均值不 等式证明其他不等式？
2024/1/25
|x - 3| < 5
练习题：解下列不等式， 并在数轴上表示解集
(x + 1)/(x - 2) > 0
36
THANKS。
2024/1/25
37
次不等式组来解决。
12
03
一元二次不等式解法
2024/1/25
13
一元二次不等式概念
一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式。
标准形式
$ax^2+bx+c>0$ 或 $ax^2+bx+c<0$，其中 $a neq 0$。

人教版数学七下9.1.2《不等式的性质》获奖课件(18张)(共18张PPT)

人教版数学七下9.1.2《不等式的性质》获奖课件(18张)(共18张PPT)
___ 3.5b 1
拓展提升
判断正误，并说明理由 （1）由5 ﹥ 4，可得5a ﹥ 4a (× )
（2）已知a ﹥ b，可得ac ﹥ bc
（３）已知a ﹥ b，可得ac ﹥ bc （４）已知ac﹥ bc ，可得a ﹥ b
2 2
( ×)
( × ) ( × )
课堂练习
9.1.2不等式的性质
（第1课时）
1．复习引入
问题1：等式有哪些性质？你能分别用文字语言 和符号语言表示吗？
符号语言 如果a=b 等式两边加（或减） 同一个数（或式子）， 那么a+c=b+c 结果仍相等. a-c=b-c 如果a=b 等式两边乘（或除以） 那么ac=bc 如果a=b (c≠0) 数同一个数，除数不 a b 为0的数，结果仍相等. 那么 c c 文字语言
巧 记 口 诀
加加减减不变号； 乘除正数不变号； 乘除负数要变号.
作业布置
1、课本１２０页第 ４、 ５题． ２、学案上的课后跟踪练习．
根据发现的规律填空 不变 当 正数 时,不等号的方向______; 当不等式两边乘同一个_____ 正数 数时,不等号的方向_____ 不变 。 不等式的两边同除以一个____
不等式的基本性质2 不等式两边乘（或除 以）同一个正数，不等号的方向不变.
a b 如果 a b, c 0, 那么 ac bc（或 )． c c
继续探究
< ×(-5) (６) 6＞2, 6×(-5)___2 < 6÷ (-5)____2 ÷（－5) ; > (７) –2<3, (-2)×(-6)____3 ×(-6) > (-2) ÷(-6)____3 ÷ (-6) 根据发现的规律填空:当不等式的两边同乘或同除以 要改变 同一个 负 数时,不等号的方向______;

1.1.1 不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)

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1．不等式的基本性质
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1．实数大小的比较
(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的 左右位置关系来规定实数的 大小 ．在数轴上，右边的数总 比左边的数 大 ． (2)如果a－b＞0，则 a＞b ；如果a－b＝0，则 a＝b ；
如果a－b＜0，则 a＜b .
(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的 差a －b的符号 ；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们 的值的大小，而这又归结为判断它们的 差的符号 ．
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2．不等式的基本性质
由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些 基本性质： (1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即 a＞
b⇔b＜a . (2)如果a＞b，b＞c，那么 a＞c .即a＞b，b＞c⇒ a＞c .
(3)如果a＞b，那么a＋c> b＋c . (4)如果a＞b，c>0，那么ac > bc；如果a>b，c<0，那么 ac < bc.
x＋y2－4xy x－y2 ＝ ， xyx＋y xyx＋y ∵x，y均为正数， ∴x>0，y>0，xy>0，x＋y>0，(x－y)2≥0. ∴m－n≥0，即m≥n.(当x＝y时，等号成立)．
返回
比较两个数(式子)的大不，一般用作差法，其 步骤是：作差—变形—判断差的符号—结论，其中
返回
[例 3]
π π (1)已知：－ ≤α<β≤ ，求 α－β 的范围． 2 2
(2)已知：－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，求 a＋3b 的 范围．
[思路点拨] 基本性质．
求代数式的范围应充分利用不等式的
返β≤ ， 2 2
π π π π ∴－ ≤α≤ ，－ ≤－β≤ .且α≤β. 2 2 2 2 ∴－π≤α－β≤π且α－β≤0. ∴－π≤α－β<0.即α－β的范围为[－π，0]．

1.1.1 不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)

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[例 2]
已知 a>b>0，c<d<0，e<0.
e e 求证： > . a－c b－d
[思路点拨] 接证明．
可以作差比较，也可用不等式的性质直
返回 － ＝ ＝ a－c b－d a－cb－d
eb－a＋c－d ， a－cb－d ∵a>b>0，c<d<0， ∴b－a<0，c－d<0. ∴b－a＋c－d<0. 又∵a>0，c<0，∴a－c>0. 同理 b－d>0，
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进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、 记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等
式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结
构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的 充分条件．
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3．判断下列命题的真假，并简述理由． (1)若 a>b，c>d，则 ac>bd； a b (2)若 a>b>0，c>d>0，则 c>d； (3)若 a>b，c<d，则 a－c>b－d； (4)若 a>b，则 a ＞b ， a> b(n∈N 且 n≥2)．
n n
n
n
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解：(1)取 a＝3，b＝2，c＝－2，d＝－3，即 3>2，－2>－3. 此时 ac＝bd＝－6.因此(1)为假命题． (2)因同向不等式不能相除，取 a＝6，b＝4，c＝3，d＝2，此 a b 时c ＝d＝2.因此(2)为假命题． (3)∵c<d，∴－c>－d，因此(3)为真命题． (4)当 a>b>0 时，才能成立，取 a＝－2，b＝－3，当 n 为偶 数时不成立，因此(4)为假命题．

基本不等式ppt课件


a+b
当且仅当a
2
= b时，等号成立.
思考：如图，是圆的直径，点是上一点， = ，
D
= .过点作垂直于的弦，连接，.
a+b
ab
2
半径 = _______________，则
= _______________
与大小关系怎么样？
a+b
≥
(1)当积xy等于定值P时，
≥
2
证明：∵ x，y都是正数， ∴
1 2
时，积有最大值 .
4
xy.
p， ∴ x + y ≥ 2 p，
积定和最小
当且仅当x = y时，上式等号成立.
于是，当x = y时，和x + y有最小值2 p.
(2)当和x + y等于定值S时， xy ≤
S
，∴xy
2
当且仅当x = y，上式等号成立.
2
2
∴x +
4
]
2−x
4
，得x
2−x
4
的最大值为−2.
x−2
+ 2 ≤ −2 (2 − x)(
4
)
2−x
+ 2 = −2，
= 0或x = 4(舍去)，即x = 0时等号成立.
练习巩固
练习2：已知0 < < 1,求 1 − 的最大值.
解：∵0 < < 1，∴ 1 − x > 0
∴ 1 − ≤
∴x +
4
x+4
− 4 ≥ 2 (x + 4) ∙
4
，即x
x+4
4
的最小值为0.

《不等式的基本性质》PPT课件 (共23张PPT)


先×(-3),再+2
先再
1.已知x>y,比较2-3x与2-3y的大 前 定
小. 先×(-3),再+2
后不 比等
×(a-3)
较号
2.已知m<<n,且(a-3)m> >(a-3)n,求a的范
围.
×(a-3)
解: 由题意可得:a-3<0(不等式的基本性质3)
∴a<3(不等式的基本性质2)
例1：已知x>y，试比较－2x和－2y的大小，并 说明理由
一个不为0的数，所得结果仍是等式
如果a=b，那么ac=bc，a÷c＝b÷c（c≠0）
探索与发现
观察:用“<”或“>”填空,并找一找其中的规律.
(1)6>4 6+2__＞__4+2
6－2__＞__4－2
(2) –1<3 -1+2__<__3+2 -1－3_<___3－3
发现:当不等式两边加上或减去同一个 数时,不等号的方向___不__变___
变式1:比较a－2x和a－2y的大小
变式2:比较 a 2x 和 a 2 y 的大小
3
3
变式3: 若x>y,且(a－3)x＜(a－3)y,求a的取值范围。
变式4：若x>y,比较(a-3)x与(a-3)y的大小？
例2：由 5 >2可得（ 5）2 >2 5 ，
不等式两边同时乘了
，
你能由 5 >2，推出 5 <2Байду номын сангаас5吗？
×(-3)
(6)若m>>-3,则-3m < 9;
×(-3)
(7)若a≥b,则2a ≥ 2b; (8)若-a＜b,则a >-b.
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•
6.冷锋。冷锋符号画线在雨带南侧， 由北向 南移动 ，画图 略。
•
7.土地利用以绿地为主，绿地面积呈 增加趋 势；建 筑面积 增加最 多，水 域、其 他用地 、滩涂 持续减 少。
•
8.布局在郊区，地价便宜；远离市区 ，能有 效减小 对市区 的污染 ；临海 分布， 便于运 进原料 和输出 产品。
•
9.结合上题，主要从政策扶持，发展 有机农 业；提 高农业 技术， 科学施 肥；因 主要从 我国人 多地少 ，农业 生产压 力大以 及耕地 资源的 特点等 方面分 析加强 农产品 质量监 管等方 面分析.
基础 依据
• 性质4：如果a>b,c>d，那么a+c>b+d. 不等式的叠加性质
两个同向的不等式的两边各相加后，仍然得到一个 与它同向的不等式.
练习
• 书P30页—— 2.1（1）课后练习1
例题讲解 例1、比较两数(a+1)2与 a2－a+1值的大小。
练习 比较两数(a2 +1)2与 a4+a2+1的值的大小。
不等式的性质 结论：a>b 的充要条件是：a-b>0 a=b 的充要条件是：a-b=0 a<b 的充要条件是：a-b<0
基础 依据
• 性质2、如果a>b,那么a+c>b+c ）同一个实数， 不等号的方向不变；
不等式的性质 结论：a>b 的充要条件是：a-b>0 a=b 的充要条件是：a-b=0 a<b 的充要条件是：a-b<0
性质3、如果a>b,c>0，那么ac>bc. 如果a>b,c<0，那么ac<bc.
不等式的乘法性质
性质4：如果a>b,c>d，那么a+c>b+d. 不等式的叠加性质
性质5：如果a>b>0,c>d>0，那么ac>bd.不等式的叠乘性质
谢谢
•
1.秋季。在北半球，台风多出现在夏 、秋季 节；此 时亚洲 高压已 经出现 ，故此 时应为 秋季。
基础 依据
• 性质3、如果a>b,c>0，那么ac>bc. 不等式的乘法性质
如果a>b,c<0，那么ac<bc.
不等式的两边同时乘以（或同时除以）同一个正数， 不等号的方向不变； 不等式的两边同时乘以（或同时除以）同一个负数， 不等号的方向要改变；
不等式的性质 结论：a>b 的充要条件是：a-b>0 a=b 的充要条件是：a-b=0 a<b 的充要条件是：a-b<0
结论：a>b
的充要条件是：
a b
1
a=b 的充要条件是： a 1 b
a<b 的充要条件是： a 1 b
不等式的性质 结论：a>b 的充要条件是：a-b>0 a=b 的充要条件是：a-b=0 a<b 的充要条件是：a-b<0
基础 依据
• 性质1、如果a>b, b>c ,那么a>c. 不等式的传递性
•
2.天气晴朗。此时我国京津地区位于 冷锋锋 前，受 单一暖 气团控 制且等 压线稀 疏。3.秋 冬季节 ，亚欧 大陆北 部降温 快，降 温幅度 大，气 温下降 引起气 流收缩 下沉， 形成冷 高压。
•
4.此处为河谷地带，来自印度洋的暖 湿气流 沿河谷 深入， 导致此 地气温 较东西 两侧高 。
•
5.该日此地为阴雨天气，夜间大气逆 辐射强 ，气温 较高， 未出现 霜冻。
例题讲解
例2：解关于x的不等式：
（1）m(x+2)>x+m
（2）ax-a2-2>2x-3a
例题讲解 例3：如果a>b>0,c>d>0，那么ac>bd.
性质5：如果a>b>0,c>d>0，那么ac>bd.不等式的叠乘性质
小结：
性质1、如果a>b, b>c ,那么a>c. 不等式的传递性
性质2、如果a>b,那么a+c>b+c 不等式的加法性质
2.1 不等式的基本性质（1）
思考：
• 两个实数a 、b要比较大小，你会怎么做？
方法1：比较法---------作差 （与0比大小）
结论：a>b 的充要条件是：a-b>0 a=b 的充要条件是：a-b=0 a<b 的充要条件是：a-b<0
方法2：比较法---------作商 （与1比大小）
对于两个正数，a和b