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正切函数图像和性质

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正切函数图象与性质课件.ppt

正切函数图象与性质课件.ppt

x 2k 时， ymax 1 x 2k 时，ymin 1
x[ 2k , 2k ] 增函数
x[2k , 2k ]
偶函数
2
减函数
对称轴： x
2
k
,
k
Z
对称中心： (k , 0) k Z
对称轴： x k , k Z 对称中心：(2 k , 0) k Z
探究
一、你能否根据研究正弦、余弦函数的图 象和性质的经验 以同样的方法研究正切函数 的图像和性质?
函数 图形 定义域 值域 最值
单调性 奇偶性
周期 对称性
y
1
2
0
-1
y=sinx
3
2
2
xR
2 5 x
2
y=cosx
y
1
0
2
3 2
2
5 2
x
-1
xR
y [1,1]
y [1,1]
x
2
2k 时， ymax
1
x
2
2k 时，ymin
1
x[-
2
2k
,
2
2k
]
增函数
x[2
2k ,
3
2
2k
]
减函数
奇函数
2
4
例题分析
例 ４ 解不等式：tan x 3
解：
y
3
0 x
32
由图可知：x
k
3
,
k
2
(k
Z
)
反馈演练
1、 解不等式 1+tanx 0
2、解不等式：1- tan x 0
3、解不等式：tan(x ) 3

正切函数的性质与图像

正切函数的性质与图像
奇函数 偶函数
2 对称轴： x k , k Z
2 对称中心： (k ,0) k Z
2
对称轴： x k , k Z 对称中心：( k , 0) k Z
2
探究
你能否根据研究正弦、余弦函数的图象和 性质的经验 以同样的方法研究正切函数 的图像和性质?
新课讲授:
思考 能否由正切线的变化规律及正切函数周期性来讨论它的单调性?
y
T
y
o
x
(1,0)
A
x
正切线AT
o x(1,0) A
T
x
y
y
T
x
x
(1,0)
o
A
T
x
o
(1,0)
A
x
（4）单调性
（ ， ） 2 2 是增函数，又由正切函数的周期性
（ 可知，正切函数在开区间
由正切线的变化规律可知，正切函数在
,k Z, 解:函数的自变量 x 应满足 2 3 2 1 x 2k , k Z . 即 3 1 x | x 2 k , k Z . 所以,函数的定义域是 3 f ( x ) tan( x ) tan( x ) tan ( x 2) f ( x 2), 由于
正切函数的性质 与图像
函数
y
y=sinx
y
1 1
y=cosx
图形 定义域 值域 最值

2
0
-1

2

3 2
2
5 2
x

0
-1

2
Hale Waihona Puke 3 225 2

正切函数的图像和性质最新版

正切函数的图像和性质最新版

学习过程
1、画出正切函数在一个周期


2
， 2

内的图象
y

0

x
2
2
§1.4.3 正切函数的性质和图象
1.正切函数 y tanx的性质：
y ytanx
定义域： {x|xk,kZ}
2
值域： R
周期性： 正切函数是周期函数，
周期是

2
奇偶性： 奇函数 tan(－x)=－tanx
§1.4.3 正切函数的图象和性质 （一）
1、利用正切函数的定义，说出正切函数的定义域；
tan y x0 的 终 边 不 在 y 轴 上
kx kz
2
2、利用周期函数的定义及诱导公式，推导正切函数 的最小正周期；
tan(x)tanx 是 ytanx的 周 期 ；
单调性： 在 (k,k) kZ
22 内是增函数
对称性： 对称中心是(k ,0), k Z
2


2
o 2
对称轴呢？
x 2
典型例题
例题1
解：
比较 tan ( 1 3 ) 与 tan ( 1 7 ) 的大小.
4
5
tan134tan4 tan175tan25
典型例题
例题2
讨论函数
y

tan

x


4

的性质；
1、定义域
x x|xR且 xk4， kZ
2、值域
y R
3、单调性
4、奇偶性
在 x k3 4 ,k 4 上 是 增 函 数 ；
f(x)tan(x)tan(x)f(x)

(完整版)正切函数的性质与图像.ppt

(完整版)正切函数的性质与图像.ppt

2
2
正
渐
切
近 线
函
数
渐
图
近 线
像
性质 :
渐近线方程： x k , k Z 2
对称中心
( kπ,0) 2
正切函数有对称轴吗？ 无对称轴
问题5： (1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ (2)正切函数会在某一区间内是减函数吗？为什么？
A
B
在每一个开区间
(-π+ kπ,π+ kπ) ，kZ 内都是增函数。
5、周期性
最小正周期是
3
小结：正切函数的图像和性质
1、正切曲线是先利用平移正切线得y tan x, x ( , )的图象， 22
再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到。
2 、y tan x 性质:
⑴ 定义域： {x | x k, k Z}
⑵ 值域： R 2 ⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称。
22 右呈上升趋势，向上与直线 x
k
,k
Z
无限接近但
永不相交；向下与直线
x
2
k , k
Z无限接近但永不
2
相交。
将 x k , k Z 称为正切曲线的渐近线。
2
题型一 求与正切函数有关的函数的定义域
例1.求下列函数的定义域.
(1) y tan(x );
3 (2) y lg tan x 16 x2 .
x 2k 时， ymax 1 x 2k 时，ymin 1
x[ 2k , 2k ] 增函数
x[2k , 2k ]
偶函数
2
减函数
对称轴： x
2
k
,

正切函数的图像和性质 (精致版)

正切函数的图像和性质 (精致版)
奇函数 偶函数
2 对称轴： x k , k Z
2 对称中心： (k ,0) k Z
2
对称轴： x k , k Z 对称中心：( k , 0) k Z
2
探索一 你可以从一个新的角度来研究正 切函数的性质吗？
正弦函数 正切函数
定义+三角函数线
三角函数图象
课后练习

作业：
P45.2、3、4
课后思考

思考1：我们分别从什么角度讨论了正切函数 的性质？这两种讨论方法分别有什么特点？ 思考2：你能用同样的方法去讨论正、余弦 函数的性质吗？

想一想？ 得到y tan x最小正周期为__ ____
由y tan x最小正周期为
反馈练习：求下列函数的周期：

x (1) y 5 tan 2
2

(2) y tan(4 x ) 3

4
巩固练习 1、比较下列每组数的大小。
13π 11π tan() 与 tan() （2） 4 5
正切函数的对称中心
正 切 函 数 图 像
性质 :
渐 进 线
渐 进 线
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
定义域： {x | x k, k Z} 2 值域： R 周期性： 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性： 在每一个开区间 ( k , k ) ， k Z 内都是增函数。 2 2 kZ x k , (7)对称中心 (6)渐近线方程： 2
kπ ( ,0) 2
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
A
B

正切函数的图像和性质

正切函数的图像和性质

4
2
2
44
所以函数
y

tan
x


4
的定义域是

x

x


4

k，k

Z
; 家装 装潢
；
角度开拓思路。“一方有难，八方支援”，这是中华民族的优良传统。大灾面前，中华民族空前的团结起来，这让世界再次见识了中华民族的伟大、坚强和不可摧毁。 ? 思路四、从赞颂“万众一心、众志成城的民族精神”的角度开拓思路。中华民族是从无数灾难考验中走过来的民族， 舟曲特大泥石流灾害再次冲击了中国人的心，但冲不垮中国人的坚强。汶川地震见了这种坚强，玉树地震见了这种坚强，泥石流再一次见了这种坚强。生于忧患，死于安乐。市场经济下因物质利益诱惑冲蚀而缺失的人文素养，被滚滚的泥石流生生地揪扯出来，大大激发了中华民族的斗志， 再一次使万众一心、众志成城的民族精神得到了回归。 ?思路五、从“人与自然关系”的角度开拓思路。舟曲特大泥石流再次让人们见识了人类在自然面前的弱小、无助。虽然人类的科技越来越发达，人类的活动领域越来越得到拓展，然而，当大的自然灾害来临的时候，人类仍然显得那 么的束手无策。印度洋海啸、缅甸风暴、汶川地震、冰岛火山、玉树地震、舟曲泥石流……造成巨大的人员伤亡和财产损失。但这是否就意味着人类就应该就此止步，听天由命呢？答案很显然是否定的。人类需要更好地发展科学研究，更好地研究自然、利用自然，和自然和谐发展。 附： 给作文一个超过50分的理由 ? ? 高中生作文训练一直有这样的怪事：应届生作文写作训练了三年，可作文得分几乎总是在42分—48分之间游移；复读生复习一年快结束了，作文练了不少，可作文得分也总是在42分—48分之间徘徊；那些平时按老师要求按时按量老老实实写作文者，和那 些平时很少写甚至从不写作文者，考试中其作文得分一样都是在42分—48分之间沉浮。 ? 作文训练中的症结何在？高考前短时间内如何让作文超过50分？ 一、明白一个道理：为啥作文得分总在42分—48分之间？ ? 学生作文之所以得分常在42分—48分之间，那是因为就学生群体而言， 必须是这样的赋分。就绝大多数高中生而言，经过多年的母语听说读写训练后，作文达到36分的及格水平自不在话下；相当多的学生在相当多的时候，作文达到良好水平并接近优秀水准，即作文得分在42分—48分之间，自然也在情理之中；但是，一个学生的作文要得分在48分以上，要在

正切函数图像及性质.ppt.ppt


2 2
4
小结：y=tanωx的周期T=
例题分析
例 ４ 解不等式：tan x 3
解：
y
3
0 x
32
由图可知：x
k
3
,
k
2
(k
Z
)
反馈练习：
例：观察正切曲线，写出满足下列条件的x的值的范围。
（1） tanx >0
（2）tanx <1
y
x
–/2
0
/2
y
1
x
–/2
0 /4 /2
（k，k+/2） kz （k–/2，k+/4）kz
筹办航空事宜
处
三、从驿传到邮政 1．邮政 (1)初办邮政： 1896年成立“大清邮政局”，此后又设 ， 邮传邮正传式部脱离海关。 (2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站； 1920年，中国首次参加 万国。邮联大会
2．电讯 (1)开端：1877年，福建巡抚在 架台设湾第一条电报线，成为中国自 办电报的开端。
轮船正招式成商立局，标志着中国新式航运业的诞生。
(2)1900年前后，民间兴办的各种轮船航运公司近百家，几乎都是
在列强排挤中艰难求生。
2．航空
(1)起步：1918年，附设在福建马尾造船厂的海军飞机工程处开始
研制 。
(2)发展水：上1飞918机年，北洋政府在交通部下设“
”；此后十年间，航空事业获得较快发展。
3．发展 (1)原因： ①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的 修。筑权 ②修路成为中国人 救的亡强图烈存愿望。 (2)成果：1909年 京建张成铁通路车；民国以后，各条商路修筑 权收归国有。 4．制约因素 政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入 正轨。

正切函数的图像及性质


y = 3 tan(2 x + ) 4
π
∴周期T =
π
2
练习 1,观察三角函数图像，分别求 的范围 观察三角函数图像， 观察三角函数图像 分别求x的范围
(1) sin x < 0, (2) cos x ≥ 0, (3) tan x > 0
解 (1) x ∈(2kπ + π ,2kπ + 2π ),(k ∈ Z)
单调性 max & min
π
2
+ kπ ,

π
2
+ kπ )上单调增
无
例1
π 的定义域。 求函数 y = tan ( x + ) 的定义域。 4
π 解 ，那么函数y=tanz的定义域为 4 π z | z ∈ R, z ≠ + kπ, k ∈ Z 2 π π 即x + ≠ + kπ 4 2 π x ≠ + kπ 4 π y = tan( x + )的定义域为 所以函数 4 π x | x ∈ R, x ≠ + kπ, k ∈ Z 4
5 π π 2π π Q− < < < 2 4 5 2
5
5
函数y = tan x，x ∈ − ， ）是增函数 （ 2 2
π π
2π ∴tan( ) < tan( ) 4 5 11 13 即tan − π）< tan （ （- π） 4 5
π
例3.求下列函数的周期.
分析： 的周期为２ ， 分析：y=sinx与y=cosx的周期为２∏，则 与 的周期为 y=Asin(wx+Q)与y=Asin(wx+Q)的周期为 与 的周期为2∏/w 的周期为 y=tanx的周期为 ，则y=Atan(wx+Q)的周期为： 的周期为∏， 的周期为： 的周期为 的周期为 T=∏/w

143正切函数的图像和性质


4
2
4
所以原函数的定义域是：
x
|
x
k
4
,
k
z
例题讲解
例2 求函数 y tan( x ) 的定义域、周期和单调区间.
23
解:函数的自变量 x 应满足
即 x 2k 1 ,k Z.
x k , k Z,
23
2
3
所以,函数的定义域是
x
|
x
2k
1 3
,
k
Z
.
由于
f (x) tan( x ) tan( x
22 4 2
2
2
y 3 tan(1 x )的单调递增区间为:
24
(2k 3 , 2k ), k z
2
2
变题(2) y 3tan( x )
ห้องสมุดไป่ตู้24
解:因为原函数可化为: y 3tan( x );
24
令u
x 2
4
;由
k
y tanu的单调性知
u k ,k Z
:
2
2
由u 1 x 得 : 24
)
3tan(2x ) 4
4
3tan[2(x ) ]
f (x ) 2 4
(2)变题y 3 tan(1 x );
24
解 : f (x) 3tan(1 x )
3 tan(1
x
2
4
)
24
3tan[1 (x 2 ) ]
2
4
2 周期T
2
f (x 2 ) 周期T 2
k 1 x k 2k x 2k 3
22 4 2
2
2
y 3 tan( 1 x )的单调递减区间为:

三角函数正切函数的性质与图像


正切函数的图像向右平移π个单位，可以得 到余弦函数的图像。
左右翻转
正切函数的图像关于$y$轴对称，即$tan( - x) = tan(x)$。 正切函数的图像向左翻转后，可以得到正切函数的图像。
03
正切函数的图像绘制
利用Python绘制正切函数图像
导入matplotlib库
定义正切函数
首先需要导入matplotlib库，该库是 Python中用于绘图的常用库之一。
使用xlabel和ylabel参数可以添加x轴和y轴的标签，例如x轴 标签为“$x$”，y轴标签为“$y$”。
显示网格线
使用grid参数可以显示网格线，以便更好地观察图像的细节 。
04
三角函数的实际应用
物理中的三角函数
简谐振动
简谐振动的位移与时间的关系可以表示为正弦或余弦函数，利用三角函数性 质可以更深入地理解简谐振动的特征。
正切函数的对称性
正切函数图像无对称轴，但在$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ 处，函数图像呈现对称性。
正切函数的奇偶性
$tan( - x) = - tan(x)$，因此正切函数为奇函数。
正切函数的应用
正切函数在解直角三角形、求三角形的面积、研究三角恒 等式等方面具有广泛应用。
对未来研究正切函数的展望
三角函数正切函数的性质与图像
xx年xx月xx日
contents
目录
• 正切函数概述 • 正切函数的性质 • 正切函数的图像绘制 • 三角函数的实际应用 • 总结与展望
01
正切函数概述
正切函数的定义
正切函数：tan(x) = sin(x) / cos(x) 值域：(-∞，∞)
定义域：{x | x ≠ π/2 + kπ，k ∈ Z} 周期：π
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授课教师
主备人
备 课 组长
备课时间 年 月 日
授课时间
年 月 日
年级（科目）
数 学
课 题 1.4.3 正切函数的性质与图像
【教学目标】：会作正切函数图像，理解并掌握正切函数的图像和性质；
【教学重点难点】：会应用正切函数的图像和性质求函数的周期、最值、单调区间、对称轴、对称中心等问题； 【知识链接】：____)tan(=
+πk x ；
【学习过程】：A.【知识梳理】：正切函数的图像和性质：
B.定义域问题：【典题分析】：例1.求下列函数的定义域；
①x
y tan 11
+=
②
()3tan f x x =-
【小试身手，轻松过关】：根据正切函数图象，写出满足下列条件的x 的集合；
①tan 0x >； ②tan 0x = ③tan 0x < ④1tan -≥x
【举一反三、能力拓展】：求函数x x y tan log 22
1++=的定义域；
C ：周期与奇偶性问题：
【基础训练】：1.求函数163tan 2-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=πx y 的最小正周期；
2.直线
y a =(a 为常数)与正切曲线tan (y x ωω=为常数，且0)ω>相交的两相邻点间的距离为（ ）.
x y tan = 图像
性 质
周期性
x y tan =的周期为_______；
()ϕ+=wx A x f tan )(的周期为_
奇偶性 =-)tan(x _____；
单调性
单调递增区间为：
对称中心 定义域
值 域
渐近线
A ．π
B ．
2πω
C ．
π
ω D ．与a 值有关 3.判断下列函数的奇偶性；（1）x
x x f tan 1
tan )(-=；（2）x x x f tan cos 2)(++=；.
【探究发现】：作出下列两个函数的图像并讨论它们的奇偶性与周期性： （1）
x y tan =； （2）x
y tan =
D ：单调性问题： 【典题展示】：例2.
tan (,)2
y x x k k Z π
π=≠+
∈在定义域上的单调性为 （ ）.
A ．在整个定义域上为增函数
B ．在每一个开区间(,
)()2
2
k k k Z π
π
ππ-++∈上为增函数 C ．在整个定义域上为减函数 D ．在每一个开区间(2,
2)()2
2
k k k Z π
π
ππ-
++∈上为增函数
例3：（1）比较00200tan 220tan 与 ；（2）比较⎪⎭
⎫
⎝⎛-413tan π与⎪⎭⎫ ⎝⎛-517tan π的大小
【小试身手，轻松过关】：比较下列每组函数值的大小：
①7
4tan π
与7
3tan
π ②1tan 与4tan
③0281tan 与0
665tan ④⎪⎭⎫ ⎝⎛-411tan π与⎪⎭
⎫ ⎝⎛-513tan π
【例题展示】：例4.求函数)4
2tan(π
+
=x y 的单调区间；
【变式训练】：求函数
)4
2tan(π
+
-=x y 的单调区间；
x
2
32
02
23π
π
π
π
ππ---
y x 2
32
2
23π
π
π
π
ππ---
y
x 2
32
2
23π
π
π
π
ππ---
y
E ：对称问题：
【小试身手，轻松过关】：1.求函数)4
2tan(π
+
=x y 的对称中心；
2.下列坐标所表式的点中，不是函数)6
2tan(π
-=x y 的图象的对称中心的是（ ）
A.)0,3
(π
B.)0,35(π-
C.)0,34(π
D.)0,32(π 【综合练习，巩固提高】：求函数⎪⎭
⎫
⎝⎛+=43tan πx y 的定义域，周期，单调区间，对称中心；
F ：值域与最值问题：
【小试身手，轻松过关】：1.求函数
⎪⎭
⎫
⎝⎛≠≤≤-+=0,341tan 2x x x y ππ的值域；
2.求函数
2
)1(tan 12
-+=
x y 的最大值，并求当函数取得最大值时，自变量x 的集合；
【典题分析】：例5.求函数1tan 4tan 2-+=x x y 的值域;
【变式训练】：当⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-∈4,4ππx 时，求函数1tan 4tan 2
-+=x x y 的值域;
【达标训练】： 1.与函数)4
2tan(π
+
=x y 的图象不相交的一条直线是 （ ）
A.2
π
=
x
B.2
π
-
=x C.4
π
=
x D.8
π
=
x
2.下列函数中，周期为π，且在⎪⎭
⎫
⎝⎛2,
0π上是单调递增函数的是 （ ） A.
x
y tan = B.
x y sin = C.x y tan = D.x
y cos =
3.函数
)0(tan )(>=w wx x f 的图像相邻的两支截直线4
π
=
y 所的线段长度为
4
π，则
⎪⎭
⎫
⎝⎛4πf 的值为（ ） A.
4
π
B.0
C.1
D.2 4.已知函数
)2tan(ϕ+=x y 的图像过点⎪⎭
⎫
⎝⎛0,12π，则ϕ可以是 （ ）
A.6
π
-
B.
6
π C.12
π
-
D.12π
5.若点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限,则在[0,2)π内α的取值范围是 （ ）
A ．35(
,)(,
)24
4ππ
ππ B.5(,)(,)424ππππ C.353(,)(,)2442ππππ D.33(,)(,)244
πππ
π 6.下列命题中正确的是 ( ) A.
x y tan =在第一象限单调递增. B.在函数
x y tan =中，x 越大，y 也越大
C.当0>x 时，总有0tan >x
D.x y tan = 的图象关于原点对称
7.函数
tan()(0)6
y ax a π
=+≠的周期为 （ ）.
A.2a π
B.2a π
C.a
π D.a π
8.在下列函数中，同时满足：①在0,2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是（ ）.
A.
tan y x = B.cos y x = C.tan
2
x
y = D.
tan y x =-
9.已知函数wx y tan =在⎪⎭
⎫
⎝⎛-2,2ππ内是减函数，则 （ ）
A.10≤<
w B.01<≤-w C.1≥w D.1-≤w
10.求函数函数tan 2()tan x
f x x
=的定义域；.
11.（选作）若⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈
4,3ππx ，求函数1tan 2cos 12++=x x y 的最值及相应的x 值；.。