中位线导学案

23.4中位线【学习目标】1.了解三角形中位线的概念,掌握三角形中位线的性质.2.了解三角形重心的概念,掌握三角形重心的性质.3.会运用三角形中位线的性质和重心的性质解决相关的问题.【自学指导】请同学们认真阅读课本P77-P79,完成下列任务:（用时10分钟）1.学会证明三角形两边中点的连线平行于第三边,且等于第三边的一半.2.弄懂例1和例2的证明过程.3.尝试证明三角形重心的性质.【自学检测】1. 如图,在四边形ABCD中,AD=BC,P是对角线BD的中点,M是DC的中点,N是AB的中点.求证:∠PMN=∠PNM.2. 如图,在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,BE 是AC 边上的中线,两条中线交于点G ,若AG =6,则DG 的长为_________.3.如图,在△ABC 中,AB =AC ,D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点.求证:四边形ADEF 是菱形.【当堂检测】1. 如图，在平行四边形ABCD 中,点E 是CD 边的中点,若AD =6,则OE =_________.2. 如图,在四边形ABCD中,点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点,连结EF、FG、GH、EH.求证:四边形EFGH是平行四边形.【课堂小结】1.连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.2. 三角形的三条中线交于一点,这个交点叫做三角形的重心.重心与一边中点的连线的长是对应中线的三分之一.【课后作业】1. 如图所示,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,O是△ABC所在平面上的动点,连结OB、OC,点G、F分别是OB、OC的中点,顺次连结点D、G、F、E.（1）当点O在△ABC内部时,求证:四边形DGFE是平行四边形;（2）若四边形DGFE是菱形,则OA与BC应满足怎样的数量关系?（直接写出答案,不需要说明理由）2. 如图所示,在△ABC 的外侧作正方形ABDE 和正方形ACGF ,K 、I 分别是正方形的中心,H 、J 分别为BC 、EF 的中点,猜想并证明四边形HIJK 的形状.温馨提示 天气转冷,注意保暖,预防感冒.C。

九年级上册《三角形的中位线》导学案数学教案
标题：九年级上册《三角形的中位线》导学案数学教案
一、教学目标
1. 知识与技能：理解并掌握三角形中位线的概念，能运用公式计算三角形中位线的长度。

2. 过程与方法：通过观察、思考、操作等活动，培养学生空间观念和几何直观能力。

3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的探索精神和创新意识。

二、教学重难点
1. 教学重点：理解和掌握三角形中位线的概念及其性质。

2. 教学难点：运用三角形中位线的性质解决实际问题。

三、教学过程
（一）导入新课
教师可以通过让学生回顾三角形的定义和性质，引出三角形中位线的概念。

（二）新课讲解
1. 三角形中位线的概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

2. 三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

（三）例题解析
选取一些典型的例题进行解析，使学生能够熟练运用三角形中位线的性质解决问题。

四、课堂练习
设计一些针对性的习题，供学生进行练习，以巩固所学知识。

五、课后作业
布置一些扩展性的问题，引导学生深入思考和探索。

六、教学反思
在教学结束后，教师应反思教学效果，以便对以后的教学进行改进。

1.6 中位线定理(1)导学案
一． 成功学习：
1. 成功目标:(1)理解中位线的概念.
(2)掌握中位线的性质定理.
(3)会利用中位线的性质定理解决实际的数学问题.
(4)通过本节课的学习使学生体会转化的思想，培养学生的应用能力和创新意识.
2.成功自学（自学课本P34——36页的内容，完成下列各题）.
1）三角形的中位线的概念： .
2）三角形的中位线具有什么性质？
.
3）你会证明三角形中位线的性质吗？
4）自学课本的例1，你还有其他的证明方法吗？
3.成功量学: 1. 你能将一个三角形分成四个全等的三角形吗?为什么？
2.如图，点D,E,F 分别是ΔABC 各边上的中点，ΔABC 的周长是16cm ，面积是122cm ，求ΔDEF 的周长和面积.
二．成功展示：
三．成功检测：
1. 基础题.
已知等边ΔABC 的一条中位线的长是6cm ，求ΔABC 的周长.
2.综合题.
若A,B 两地被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，你能用今天所学的知识测量A,B 间的距离吗?为什么？
3.拓展题.
1）如果把任意四边形ABCD 的四边中点连接起来，你能得到什么样的四边形?
2）若把四边形ABCD 变形为我们熟悉的平行四边形，菱形，矩形，正方形，那么连接四边中点新得到的图形又是什么样的四边形呢？
3）如果1）中四边形的对角线互相垂直，相等或者互相垂直且相等，你得到的图形又是什么四边形呢？
四．成功反思.
.。

23.4 中位线学习目标：1．理解三角形中位线的概念与性质．（重点）2．能够利用三角形中位线解决实际问题．（难点）自主学习一、新知预习如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF＝5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，你能求出他需要篱笆的长度吗？合作探究一、探究过程探究点1：三角形的中位线及其性质【典例精析】例1 如图1，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若DE=1.5，则BC的长是（ ）A．3 B．4 C．2 D．1图1 图2【归纳总结】我们把连接三角形两边_____的线段叫做三角形的中位线，并且有：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的_____．【针对训练】1.如图2，在△ABC中，点D、E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是（ ）A.8B.10C.12D.14【典例精析】例2如图3，C、D分别为EA、EB的中点，∠E＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为( ) A．80° B．90° C．100° D．110°图3 图4【针对训练】2.如图4，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，则S△EBD∶S△ABC=（ ）【探究活动】如图，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于G.求证：.【探究】如果在图中，取AC的中点F，假设BF与AD交于G′，那么我们同理有，所以有，即两图中的点G与G′是重合的.于是，我们有以下结论：　【归纳总结】三角形三条边上的_____交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的_____.【针对训练】3.如图，△ABC中，D是△ABC的重心，连接AD并延长，交BC于点E．若AD=8，则DE=（ ）A．3 B．3.5 C．4 D.4.5二、课堂小结内容描述1.三角形中位线连接三角形的两边中点的线段叫做三角形的_______．2.三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的______．3.三角形的重心三角形三条边上的_____交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的.当堂检测1.如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若AD＝3，EF=1,则AB的长为( ) A.2 B．4 C．8 D．12第1题图第2题图2.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、D、E、F、G在小正方形的顶点上，则△ABC的重心是（ ）A．点D B．点E C．点F D．点G3.如果△ABC的两边长分别为3和5，那么连接△ABC三边中点D、E、F所得的△DEF的周长可能是（ ）A.3B.4C.5D.64.如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，点O是△ABC内部任意一点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E .求证：四边形DGFE 是平行四边形．参考答案自主学习一、新知预习解：∵点E，F分别是边AB，AC的中点，∴.∵∠A=∠A，∴△AEF∽△ABC.∴∠AEF=∠B,.∵EF=5米，∴BC=2EF=10米.∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∴BE=CF=BC=5米.∴篱笆的长=BE+BC+CF+EF=5+10+5+5=25(米)．合作探究一、探究过程【典例精析】例1 A【归纳总结】中点一半【针对训练】 1. C【典例精析】【探究活动】证明: 如图，连接ED.∵　D、E分别是边BC、AB的中点.∴　DE∥AC，（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）.∴△DEG∽△ACG.∴　.∴　.【归纳总结】中线【针对训练】 3.C二、课堂小结中位线一半中线当堂检测1.C2.A3.D4.证明：∵D、E分别是AB、AC边的中点，∴DE∥BC，且DE=BC，同理，GF∥BC，且GF=BC，∴DE∥GF.又∵DE=GF，∴四边形DGFE是平行四边形．。

九年级上册《三角形的中位线》导学案一、导学目标1.理解三角形的定义和性质；2.掌握三角形中位线的概念和性质；3.学会运用中位线的性质解决相关问题。

二、导学内容1. 三角形的定义和性质回顾在我们学习三角形的中位线之前，我们首先来回顾一下三角形的定义和基本性质。

定义1:三角形是由三条边和三个内角组成的图形。

性质1:三角形的内角和为180度。

性质2:三角形的任意两边之和大于第三边。

性质3:三角形的任意两边之差小于第三边。

2. 三角形的中位线概念定义2:三角形的中位线是连接三角形两个顶点和中点的线段。

下图为三角形ABC的中位线AD。

A/ \\/ \\B-----C3. 三角形中位线的性质a.三角形中位线的中点是三角形重心G。

定理1:过三角形的三个顶点和其重心G可以作出三条互相平行的中位线。

定理2:三角形中位线的中点是重心所在中线的一半。

定理3:三角形的三条中位线交于一点，且这个交点是重心。

b.三角形中位线的比例关系。

定理4:在三角形中，三条中位线所分割的三个小三角形的面积，与它们对应的原三角形的面积比是1:3。

定理5:三角形中位线的长度之比为2:1。

4. 练习题请根据以上导学内容，尝试解决以下练习题。

题目1:如图，已知三角形ABC的中位线DE与AB交于点F，求证：AF = FB。

A/ \\D-----E|F提示:利用三角形中线的性质。

题目2:在三角形ABC中，AD和BE分别是BC和AC的中位线。

若BD = 6cm，CE = 10cm，求AC的长度。

提示:利用三角形中位线的比例关系。

三、总结通过本次导学，我们学习了三角形的中位线的概念和性质。

我们知道，三角形的中位线对于研究三角形的性质和解决相关问题非常有用。

希望同学们通过练习题的实际操作，能够更加深入地理解和掌握中位线的性质和应用。

九年级上册《三角形的中位线》导学案一、导入本节课我们将学习三角形的中位线。

你是否了解中位线的概念呢？请大家自由讨论一下。

二、概念解释中位线是指三角形的一个重要概念，它是连接三角形一个顶点与对应边中点的线段。

一个三角形有三条中位线，它们都相互交于一个点，这个点被称为三角形的重心。

三、性质接下来，我们来讨论一下中位线的性质。

1.中位线的长度：三角形的中位线上的长度相等，且等于对边的一半。

2.中位线与边的关系：中位线将对边等分，即中位线与边的交点是对边的中点。

3.重心：三角形的中位线交于重心。

重心位于三角形中位线的2：1位置，也就是离底边2/3 * 三角形的高。

四、图解为了更好地理解中位线的性质，我们来看一下下面的图解。

TriangleTriangle上图中，ABC为一个三角形，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点。

DE、AF 和BF分别是三角形ABC的中位线。

从图中可以看出，DE与BF在三角形的一个顶点A交于点G，AF与DE在顶点C交于点H，BF与AF在顶点B交于点I。

点G被称为三角形ABC的重心。

五、解题示例现在，我们通过例题来练习一下中位线的应用。

例题一：已知三角形ABC的底边AB上的中位线DE的长度为8厘米，求BC的长度。

解答：由中位线的性质1可知，DE的长度等于BC的一半，因此BC的长度为8 * 2 = 16厘米。

例题二：已知三角形ABC的中位线DE与底边AB的交点是F，如果DF的长度为BC 的1/3，求AF的长度。

解答：设BC的长度为x，根据中位线的性质2可知，DF的长度为x/3。

由于点F是边AB的中点，所以AF的长度等于x/2。

因此，AF的长度为BC的1/2。

六、总结通过本节课的学习，我们了解了中位线的概念和性质，并通过解题示例来巩固所学知识。

中位线在三角形中起到了连接各个顶点以及对边等分的作用，同时重心作为三角形的一个重要点位，也在实际应用中有着广泛的应用。

希望大家通过实际操作能够更好地理解中位线的概念和性质。

九年级上册《中位线》导学设计一、教学目标1.理解中位线的概念并能够正确计算。

2.掌握中位线求解的基本步骤和方法。

3.能够应用中位线概念解决实际问题。

4.培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

二、教学重难点教学重点：1.中位线的概念及其计算方法。

2.中位线的应用。

教学难点：1.理解中位线概念并能够正确计算。

2.利用中位线解决实际问题。

三、教学准备1.教师准备：教学课件、中位线示意图、练习题。

2.学生准备：笔记本、教材、练习册。

四、教学过程1. 导入新知识首先，教师可以通过提问或展示中位线示意图来引起学生的兴趣和思考。

例如：•你们知道中位线是什么吗？它有什么作用？•请观察下图中的三角形，你能找到中位线吗？2. 学习中位线的定义和计算方法引导学生通过观察示意图，让他们发现中位线的特点和计算方法。

例如：•中位线是连接一个三角形的一个顶点和对边中点的线段。

•中位线可以分成两段相等的小线段。

•中位线的计算方法是把两个小线段的长度相加再除以2。

3. 示例练习教师可以给学生提供几个三角形的示例，让他们计算中位线的长度。

例如：•已知三角形ABC，A点的坐标为(2, 3)，B点的坐标为(4, 6)，C点的坐标为(6, 1)，求中位线的长度。

4. 拓展练习为了加深学生对中位线概念的理解和应用能力，教师可以设计一些拓展练习题，让学生进一步巩固和运用所学知识。

例如：•在一个已知高度为10厘米的直角三角形中，求中位线的长度。

•如果一个三角形的两条中位线长度分别为5cm和8cm，求这个三角形的面积。

5. 总结与展示教师对本节课的内容进行总结，并展示学生的解题思路和方法。

同时，可以给学生提供一些应用场景，让他们思考如何使用中位线解决实际问题。

五、作业布置布置适量的作业，让学生进一步巩固所学内容并扩展应用。

建议作业包括计算中位线的练习题和应用题。

六、教学反思本节课通过引入中位线的定义和计算方法，以及示例练习和拓展练习的形式，培养了学生的逻辑思维和问题解决能力。

人教版初中数学八年级下册18.1.5 三角形的中位线导学案一、学习目标：1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理.2.能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题.重点：三角形的中位线定理以及定理的证明过程，应用三角形中位线.难点：中位线定理的应用.二、学习过程：问题引入问题：A、B两地被池塘隔开，如何测量A、B两地的距离呢？你能用学过的知识来解决吗？自主学习你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？猜想：增加的线段与它所对的边有什么关系？【归纳】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE.像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的_______.一个三角形有几条中位线？三角形的中位线和中线一样吗？合作探究探究：观察上图，你能发现△ABC的中位线DE与边BC的位置关系吗？度量一下，DE与BC之间有什么数量关系？猜想：________________________________.定理证明1BC.如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点.求证：DE∥BC，且DE=2你还有其它证法吗？【归纳】三角形的中位线定理：________________________________________ __________________________________________________.几何符号语言：∵ _________________________，∴ __________________________.学以致用问题：A、B两地被池塘隔开，如何测量A、B两地的距离呢？你能用学过的知识来解决吗？典例解析例1.如图，在△ABC中，点M，N分别是AB，AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D.若BC＝4，求CD的长．【针对练习】如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数．例2.如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE.例3.如图，D、E是△ABC边AB，AC的中点，O是△ABC内一动点，F、G是OB，OC的中点．判断四边形DEGF的形状，并证明．例4.如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD各边的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.【针对练习】如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD四边之中点．求证：四边形EFGH为平行四边形.例5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E，F分别是BC，AC的中点，延长BA到点D，使得AB＝2AD，连接DE，DF，AE，EF，AF与DE相交于点O.(1)求证：AF与DE互相平分；(2)如果AB＝6，BC＝10，求DO的长．达标检测1.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若BC=6，则DE的长为( )A.2B.3C.4D.62.如图，在□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BC的中点，若OE=2cm,则CD的长为( )A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm3.如图，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，那么下列结论成立的是( )A.线段EF的长逐渐增长B.线段EF的长逐渐减少C.线段EF的长不变D.线段EF的长不能确定4.如图，已知△ABC的周长为1，它的三条中位线组成第二个三角形，第二个三角形的三条中位线又组成第三个三角形，依次类推，第2000个三角形的周长是( )A.11998B.11999C.121998D. 1219995.如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，且AB=11cm、BC=8cm、 AC =6cm.则: DE=____cm，DF=____cm,EF=____cm,△DEF的周长是_____cm.6.如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AB=10cm， AC=6cm，则四边形ADEF的周长为_____cm.7.如图，□ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O,点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为_______.8.如图，□ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD=12，求△DOE的周长．9.如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=1BC，连接CD和EF．2（1）求证：DE=CF；（2）求EF的长．10.如图，在△ABC中，M是BC的中点，AN⊥BN于N点，AN平分∠BAC，且AB=12，AC=16，求MN的长.。

2.4三角形的中位线学习目标：1、知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同。

2、理解三角形中位线定理，并能运用它进行有关的论证和计算。

学习重点：三角形中位线的性质及应用。

学习难点：三角形中位线性质的探索过程。

一、预习导学1、三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做_______。

连接三角形____________叫做三角形中位线。

2、学生作图：已知D 、E 、F 分别为△ABC 三边的中点，画出△ABC 的BC 边上的中线（左图）和△ABC 的一条中位线（右图）。

AAB C B C3、一个三角形有___条中线；一个三角形有___条中位线。

二、合作探究如右图所示，DE 为△ABC 的一条中位线。

测量出DE 与BC 的长度;然后测量出∠ADE 和∠B 的度数。

你能猜测出DE 与BC 有怎样的位置关系和数量关系呢？ 猜测：_________________________已知:如图,DE 是△ABC 的中位线. 求证:DE ∥BC, 证明：如图(2),延长DE 到F,使DE=EF, 连接CF. 在△ADE 和△CFE 中 ∵AE=CE, __________, DE=FE ∴△ADE ≌△CFE （ ） ∴∠A=∠ECF , AD=CF ∴AB ∥CF∵AD=BD ∴__________ ∴四边形DBCF 是平行四边形 ∴DF ∥BC , __________, ∴DE ∥BC, 又DE=EF, DE=21BC .21BC D E三角形中位线定理：三角形的中位线____________，并且___________________。

三角形中位线定理几何语言：∵ _____________________________________ ∴______________________________________ 三、应用新知1、如图：在△ABC 中，DE 是中位线（1）∠ADE=60°，则∠B= ____；（2）若BC=10cm 则DE=___cm 。

九年级上册《中位线》导学设计九年级上册《中位线》导学设计【学习目标】 1. 探索并掌握三角形的中位线的概念、性质.2．在三角形中位线性质得到后，进一步探索梯形的中位线性质.3．经历探索三角形中位线性质的过程，发展学生观察能力及抽象思维能力．【学习重点、难点】重点：三角形中位线性质定理得证明及应用，进一步发展学生合乎逻辑的思考能力.难点：从三角形中位线性质的探索过程中抽象出三角形中位线的性质，正确的书写证明过程.【学习过程】一、课前预习1. 已知DE是△ABC的中位线,则△ADE和△ABC的面积之比是( )(A) 1:1 (B) 1:2 (C) 1:3 (D ) 1:42.已知△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，且DE=3cm，则B已知梯形的上底长为3cm，中位线长为6cm，则下底长为 cm。

4.已知三角形的三边长分别为6、8、10，则由它的三条中位线构成的三角形的面积为，周长为。

5. 已知等腰梯形的中位线的长为，腰的长为，则这个等腰梯形的周长为 .二、课堂学习1．三角形中位线：．2．三角形中位线性质三角形中位线定理：．定理符号语言的表达：如图，在△ABC中∵D、E是AB、AC的中点∴（一）探索活动一：已知：如图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点求证：DE∥BC且DE=BC．想一想：① 一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？探索活动二：已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、DC的中点.求证：EF∥BC，EF=（BC+AD）.梯形中位线性质：．例题1. 如图，△ABC中，AD是BC的中线，EF是中位线，求证：AD、EF互相平分。

2. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，BD⊥DC，且BD平分∠ABC，若梯形的周长为20cm，求此梯形的中位线长.三、反思与心得我的收获：_________________________________________________ ___________________________四、课堂检测1．如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20 m，那么A、B两点的距离是 m，理由是．2．△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，（1）若EF=5cm，则AB= cm；若BC=9cm，则DE= cm；（2）中线AF与DE中位线．3．若梯形中位线的长是高的2倍，面积是18cm2，则这个梯形的高等于（）（A）6cm （B）6cm （C）3cm （D）3cm4．已知：在四边形ABCD中，AB=CD，E、F、G分别是BD、AC、BC的中点。