7.3.4 正切函数的性质与图像2019(秋)数学 必修 第三册 人教B版(新教材)改题型

7．3.4 正切函数的性质与图像【知识回顾】 1．正切函数的定义对于任意一个角x ，只要x≠π2 ＋k π，k ∈Z ，就有唯一确定的正切值tan x 与之对应，则y ＝tan x 称为正切函数． 2．正切函数的性质3．正切函数的图像 正切曲线：【题型分类练】类型一 正切函数的定义域、周期性、奇偶性1．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4 的定义域是( )A ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠2k π＋π2，k ∈ZB ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠4k π＋π2，k ∈ZC ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π2＋π8，k ∈ZD ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π8，k ∈Z2．函数y ＝tan (sin x )是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数3．若函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4 (ω＞0)的最小正周期为2π，则ω＝________；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________．【解题策略】求正切函数的定义域的注意点求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义即x ≠π2 ＋k π，k ∈Z . 【补偿训练】1.下列函数中，同时满足：①在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 上是增函数，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是( )A ．y ＝tan xB ．y ＝cos xC ．y ＝tan x2 D ．y ＝|tan x |2．函数f (x )＝tan 2xtan x 的定义域为( )A ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R 且x ≠k π4，k ∈ZB ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈ZC ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R 且x ≠k π＋π4，k ∈ZD ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R 且x ≠k π－π4，k ∈Z 类型二 正切函数的单调性【角度1】求单调区间【典例】函数f (x )＝13 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4 的单调递增区间为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －32，2k ＋12 (k ∈Z )B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －12，2k ＋12 (k ∈Z ) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －12，4k ＋12 (k ∈Z )D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －32，4k ＋12 (k ∈Z )【变式】本例中的函数改为f (x )＝13 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π2x ，试求函数的单调区间，求出的是单调增区间还是单调减区间？【角度2】单调性的应用【典例】若函数f(x)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4 (ω>0)的最小正周期为π，则( ) A ．f(2)>f(0)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5 B ．f(0)>f(2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5C ．f(0)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5 >f(2)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5 >f(0)>f(2)【典例】若函数y ＝tan ωx(ω＞0)在(－π，π)上是递增函数，则ω的取值范围是________．【解题策略】1．求函数y ＝A tan (ωx ＋φ)(A ＞0，ω≠0，且A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法(1)若ω＞0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2 ＜ωx ＋φ＜k π＋π2 ，k ∈Z ，解得x 的范围即可．(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y ＝A tan (ωx ＋φ)转化为y ＝A tan [－(－ωx －φ)]＝－A tan (－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．2．运用正切函数单调性比较大小的步骤(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系． 【题组训练】1．函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4 的递增区间是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋k π，π12＋k π ，k ∈ZB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋k π3，π12＋k π3 ，k ∈ZC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＋k π，π4＋k π ，k ∈ZD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＋k π3，π4＋k π3 ，k ∈Z2．直线y ＝a 与函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4 (ω＞0)的图像相邻两个交点的距离为2π，若f ()x 在()－m ，m ()m ＞0 上是增函数，则m 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，3π4D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，3π2 3．已知函数f ()x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6 ，则下列叙述正确的是( )A ．f ()x 的最小正周期是π2B ．f ()x 的值域是{}y |y ∈R 且y ≠0C ．直线x ＝5π3 是函数f ()x 图像的一条对称轴D ．f ()x 的递减区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3 ，k ∈Z类型三 正切函数性质、图像的应用 【题组训练】1．函数f ()x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－21＋2x tan x 的图像( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于y ＝x 轴对称 D ．关于原点对称2．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3 在一个周期内的图像是( )3．(2021·上海高一检测)函数y ＝tan 2x ＋2tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4 的值域为________．【解题策略】1．已知函数的解析式判断函数图像时，通常采用排除的方法求解 (1)求出函数的定义域，根据定义域进行排除；(2)根据函数的性质进行排除，如函数的单调性、奇偶性、周期性； (3)结合特殊点，如函数图像与坐标轴的交点等；(4)结合函数的变化趋势判断，即根据当x 趋向无穷时，函数值的变化趋势判断． 2．求与正切函数相关的值域的方法(1)对于y ＝tan x 在不同区间上的值域，可以结合图像，利用单调性求值域． (2)对于y ＝A tan (ωx ＋φ)的值域，可以把ωx ＋φ看成整体，结合图像，利用单调性求值域．(3)对于与y ＝tan x 相关的二次函数，可以把tan x 看成整体，利用配方法求值域．课堂达标训练 一、正误辨析(对的打“√”，错的打“×”)1. 正切函数既没有最大值也没有最小值．( )2. 正切函数的对称中心是()k π，0 ，k ∈Z .( ) 3. 函数y ＝tan 2x 的周期是2π.( ) 二、选择题4．(2021·湘乡高一检测)函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3 的单调递增区间是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，2k π＋4π3 (k ∈Z ) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－5π3，2k π＋π3 (k ∈Z )C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π－2π3，4k π＋4π3 (k ∈Z )D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－5π3，k π＋π3 (k ∈Z )5. 已知函数f ()x ＝A tan (ωx ＋φ)(ω＞0，||φ ＜π2 )，y ＝f ()x 的部分图像如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12 ＝( )A ．3B ． 3C ．1D ．336．(2021·吉林高一检测)下列函数中，以π为最小正周期，且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 上单调递增的是( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝tan xD ．y ＝sin x27.与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 的图像不相交的一条直线是( )A ．x ＝π2B ．x ＝－π2C ．x ＝π4D ．x ＝π8 三、非选择题8．已知函数f ()x ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫a πx ＋π6 ()a ＞0 的最小正周期是3.则a ＝________，f ()x 的对称中心为________．9. 函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4 ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6 的值域是________．10．函数f ()x ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 图像的对称中心为________．11．(2021·西安高一检测)已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π5 (ω>0)的最小正周期为2π. (1)求函数f (x )的定义域； (2)求不等式f (x )>－1的解集．参考答案【题型分类练】类型一 正切函数的定义域、周期性、奇偶性1．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4 的定义域是( )A ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠2k π＋π2，k ∈ZB ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠4k π＋π2，k ∈ZC ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π2＋π8，k ∈ZD ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π8，k ∈Z【解析】选A.令12 x ＋π4 ≠k π＋π2 (k ∈Z )，解得x ≠2k π＋π2 (k ∈Z )，故函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠2k π＋π2，k ∈Z . 2．函数y ＝tan (sin x )是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数 【解析】选A.易知函数的定义域为R ，f (－x )＝tan ⎣⎡⎦⎤sin ()－x ＝tan ()－sin x ＝－tan ()sin x ＝－f ()x ，是奇函数．3．若函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4 (ω＞0)的最小正周期为2π，则ω＝________；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________．【解析】因为函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4 (ω＞0)的最小正周期为T ＝π||ω ＝2π，所以ω＝12 .所以f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4 ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6＋π4 ＝tan π3 ＝3 . 答案：12 3【解题策略】求正切函数的定义域的注意点求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义即x ≠π2 ＋k π，k ∈Z . 【补偿训练】1.下列函数中，同时满足：①在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 上是增函数，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是( )A ．y ＝tan xB ．y ＝cos xC ．y ＝tan x2 D ．y ＝|tan x | 【解析】选A.经验证，选项B ，D 中所给函数都是偶函数，不符合；选项C 中所给的函数的周期为2π.2．函数f (x )＝tan 2xtan x 的定义域为( )A ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R 且x ≠k π4，k ∈ZB ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈ZC ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R 且x ≠k π＋π4，k ∈ZD ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R 且x ≠k π－π4，k ∈Z 【解析】选A.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π，x ≠k π＋π2，k ∈Z ，2x ≠k π＋π2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π2，x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，所以x ≠k π4 (k ∈Z ).类型二 正切函数的单调性【角度1】求单调区间【典例】函数f (x )＝13 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4 的单调递增区间为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －32，2k ＋12 (k ∈Z )B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －12，2k ＋12 (k ∈Z )C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －12，4k ＋12 (k ∈Z ) D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －32，4k ＋12 (k ∈Z )【解析】选A.对于函数f (x )＝13 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4 ，令k π－π2 ＜π2 x ＋π4 ＜k π＋π2 ，求得2k －32 ＜x ＜2k ＋12 ，故函数的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －32，2k ＋12 (k ∈Z ).【变式】本例中的函数改为f (x )＝13 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π2x ，试求函数的单调区间，求出的是单调增区间还是单调减区间？【解析】f (x )＝13 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π2x ＝－13 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π4 ，令k π－π2 ＜π2 x －π4 ＜k π＋π2 ，解得2k －12 ＜x ＜2k ＋32 ，故函数的单调区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －12，2k ＋32 ，k ∈Z .是单调减区间．【角度2】单调性的应用【典例】若函数f(x)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4 (ω>0)的最小正周期为π，则( )A ．f(2)>f(0)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5B ．f(0)>f(2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5C ．f(0)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5 >f(2)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5 >f(0)>f(2)【解析】选C .由题意，函数f(x)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4 (ω>0)的最小正周期为π，可得πw＝π，解得w ＝1，即f(x)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ，令－π2 ＋k π<x ＋π4 <π2 ＋k π，k ∈Z ，即－3π4 ＋k π<x <π4 ＋k π，k ∈Z .当k ＝1时，π4 <x <5π4 ，即函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4 上单调递增，又由f (0)＝f (π)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5＋π ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π5 ，又π>4π5 >2， 所以f (0)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5 >f (2).【典例】若函数y ＝tan ωx(ω＞0)在(－π，π)上是递增函数，则ω的取值范围是________．【解析】因为函数y ＝tan ωx (ω＞0)在(－π，π)上是递增函数，所以k π－π2 ≤ω·(－π)，且ω·π≤π2 ＋k π，k ∈Z ，所以求得ω≤12 －k 且ω≤12 ＋k ，k ∈Z ，所以可得ω≤12 ，所以ω的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 . 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12【解题策略】1．求函数y ＝A tan (ωx ＋φ)(A ＞0，ω≠0，且A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法(1)若ω＞0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2 ＜ωx ＋φ＜k π＋π2 ，k ∈Z ，解得x 的范围即可．(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y ＝A tan (ωx ＋φ)转化为y ＝A tan [－(－ωx －φ)]＝－A tan (－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．2．运用正切函数单调性比较大小的步骤(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系． 【题组训练】1．函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4 的递增区间是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋k π，π12＋k π ，k ∈ZB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋k π3，π12＋k π3 ，k ∈ZC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＋k π，π4＋k π ，k ∈ZD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＋k π3，π4＋k π3 ，k ∈Z【解析】选B.函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4 ，令－π2 ＋k π＜3x ＋π4 ＜π2 ＋k π，k ∈Z ，解得－π4 ＋k π3 ＜x ＜π12 ＋k π3 ，k ∈Z ，所以函数的递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋k π3，π12＋k π3 ，k ∈Z .2．直线y ＝a 与函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4 (ω＞0)的图像相邻两个交点的距离为2π，若f ()x 在()－m ，m ()m ＞0 上是增函数，则m 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，3π4D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，3π2【解析】选B.因为直线y ＝a 与函数f ()x 的图像相邻两个交点的距离为一个周期，所以ω＝12 ，f ()x ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4 ，由k π－π2 ＜12 x ＋π4 ＜k π＋π2 ，得2k π－3π2 ＜x ＜2k π＋π2 (k ∈Z )，所以f ()x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，π2 上是递增的，由(－m ，m )⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，π2 解得0＜m ≤π2 .3．已知函数f ()x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6 ，则下列叙述正确的是( )A ．f ()x 的最小正周期是π2B ．f ()x 的值域是{}y |y ∈R 且y ≠0C ．直线x ＝5π3 是函数f ()x 图像的一条对称轴D ．f ()x 的递减区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3 ，k ∈Z【解析】选D.函数f ()x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6 所以函数f ()x 的最小正周期T ＝π12 ＝2π，所以选项A 错误；由f ()x 解析式可知f ()x ≥0，所以f ()x 的值域为[)0，＋∞ ，所以选项B 错误；当x ＝5π3 时，12 x －π6 ＝2π3 ≠k π2 ，k ∈Z ，所以x ＝5π3 不是函数f ()x 图像的对称轴，所以选项C 错误．令k π－π2 ＜12 x －π6 ≤k π，k ∈Z ，可得2k π－2π3 ＜x ≤2k π＋π3 ，k ∈Z ，所以f ()x 的递减区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3 ，k ∈Z ，所以选项D 正确．类型三 正切函数性质、图像的应用 【题组训练】1．函数f ()x ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－21＋2x tan x 的图像( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于y ＝x 轴对称D ．关于原点对称【解析】选B.f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－21＋2－x tan (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2·2x 1＋2x tan x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－2x 1＋2x tan x ＝f (x )，故y ＝f (x )是偶函数，关于y 轴对称．2．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3 在一个周期内的图像是( )【解析】选A.方法一：由题意得函数的周期为T ＝2π，故可排除B ，C ，D.选A.方法二：令y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3 ＝0，则有12 x －π3 ＝k π，k ∈Z ，故x ＝2π3 ＋2k π，k ∈Z ，当k ＝0时，得x ＝2π3 ，可知函数图像与x 轴一个交点的横坐标为2π3 ，故可排除C ，D.令12 x －π3 ＝π2 ，得x ＝5π3 ，即函数图像的一条渐近线为x ＝5π3 ，故排除B.3．(2021·上海高一检测)函数y ＝tan 2x ＋2tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4 的值域为________．【解析】因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4 ，所以tan x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，1 ，y ＝tan 2x ＋2tan x ＝(tan x ＋1)2－1，所以tan x ＝－33 时，y min ＝1－233 ；tan x ＝1时，y max ＝3，所以所求值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－233，3. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－233，3【解题策略】1．已知函数的解析式判断函数图像时，通常采用排除的方法求解 (1)求出函数的定义域，根据定义域进行排除；(2)根据函数的性质进行排除，如函数的单调性、奇偶性、周期性； (3)结合特殊点，如函数图像与坐标轴的交点等；(4)结合函数的变化趋势判断，即根据当x 趋向无穷时，函数值的变化趋势判断． 2．求与正切函数相关的值域的方法(1)对于y ＝tan x 在不同区间上的值域，可以结合图像，利用单调性求值域．(2)对于y ＝A tan (ωx ＋φ)的值域，可以把ωx ＋φ看成整体，结合图像，利用单调性求值域．(3)对于与y ＝tan x 相关的二次函数，可以把tan x 看成整体，利用配方法求值域．课堂达标训练 一、正误辨析(对的打“√”，错的打“×”)1. 正切函数既没有最大值也没有最小值．( √ )提示：正切函数的值域为R ，既没有最大值也没有最小值． 2. 正切函数的对称中心是()k π，0 ，k ∈Z .( × )提示：正切函数的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0 ，k ∈Z .3. 函数y ＝tan 2x 的周期是2π.( × ) 提示：函数y ＝tan 2x 的周期是π2 . 二、选择题4．(2021·湘乡高一检测)函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3 的单调递增区间是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，2k π＋4π3 (k ∈Z )B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－5π3，2k π＋π3 (k ∈Z )C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π－2π3，4k π＋4π3 (k ∈Z )D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－5π3，k π＋π3 (k ∈Z )【解析】选B.解不等式k π－π2 <x 2 ＋π3 <k π＋π2 (k ∈Z )，可得2k π－5π3 <x <2k π＋π3(k ∈Z )，因此，函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3 的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－5π3，2k π＋π3 (k ∈Z ).5. 已知函数f ()x ＝A tan (ωx ＋φ)(ω＞0，||φ ＜π2 )，y ＝f ()x 的部分图像如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12 ＝( )A ．3B ． 3C ．1D ．33【解析】选A.因为12 T ＝5π12 －π6 ＝π4 ，所以T ＝π2 ，所以ω＝πT ＝2，代入5π12 ω＋φ＝k π(k ∈Z )得φ＝k π－56 π(k ∈Z )，由||φ ＜π2 得，φ＝π6 ，所以f ()x ＝A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ，又f ()0 ＝A tan π6 ＝1，A ＝3 ，所以f ()x ＝3 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12 ＝3 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π6 ＝3 tan π3 ＝3.6．(2021·吉林高一检测)下列函数中，以π为最小正周期，且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 上单调递增的是( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝tan xD ．y ＝sin x2【解析】选C.在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 上，2x ∈(0，π)，y ＝sin 2x 没有单调性，故排除A.在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 上，2x ∈(0，π)，y ＝cos 2x 单调递减，故排除B.在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 上，y ＝tan x 单调递增，且其最小正周期为π，故C 正确；根据函数以π为最小正周期，y ＝sin x 2 的最小正周期为2π12＝4π，可排除D.7.与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 的图像不相交的一条直线是( )A ．x ＝π2B ．x ＝－π2C ．x ＝π4D ．x ＝π8【解析】选D .当x ＝π2 时，y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 ＝tan 5π4 ＝1；当x ＝－π2 时，y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4 ＝1；当x ＝π4 时，y ＝tan 3π4 ＝－1；当x ＝π8 时，y ＝tan π2 不存在． 三、非选择题8．已知函数f ()x ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫a πx ＋π6 ()a ＞0 的最小正周期是3.则a ＝________，f ()x 的对称中心为________．【解析】函数f ()x ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫a πx ＋π6 ()a ＞0 的最小正周期是3，则3＝πa π ，得a＝13 ，所以函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫13πx ＋π6 ， 由13 πx ＋π6 ＝12 k π，k ∈Z ，得x ＝32 k －12 ，k ∈Z ，故对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32k －12，0 ，k∈Z .答案：13 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32k －12，0 ，k ∈Z9. 函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4 ，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6 的值域是________．【解析】由x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6 ，所以x 2 ＋π4 ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，π3 ， 结合正切函数的性质可得1＜y≤ 3 . 答案：(]1，310．函数f ()x ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 图像的对称中心为________．【解析】因为函数y ＝tan x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0 k ∈Z ，所以令2x ＋π3 ＝k π2 (k∈Z )，解得x ＝k π4 －π6 (k ∈Z )，故f ()x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π4－π6，0 ，(k ∈Z ).答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π4－π6，0 ，(k ∈Z )11．(2021·西安高一检测)已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π5 (ω>0)的最小正周期为2π. (1)求函数f (x )的定义域； (2)求不等式f (x )>－1的解集．【解析】(1)由函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π5 (ω>0)的最小正周期为2π，可得πω ＝2π⇒ω＝12 ，所以f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π5 .令12 x －π5 ≠k π＋π2 ，k ∈Z ，解得：x ≠2k π＋75π，k ∈Z ， 故函数f (x )的定义域为{x |x ≠2k π＋75 π，k ∈Z }．(2)因为f (x )>－1，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π5 >－1，所以令k π－π4 <12 x －π5 <k π＋π2 ，求得2k π－π10 <x <2k π＋7π5 ，故不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π－π10<x <2k π＋7π5，k ∈Z .。

1．3.2余弦函数、正切函数的图象与性质第二课时正切函数的图象与性质(1)正切函数有哪些性质？(2)正切函数在定义域内是不是单调函数？[新知初探]正切函数y ＝tan x 的图象与性质[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数的定义域和值域都是R.( ) (2)正切函数在整个定义域上是增函数．( ) (3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．( )(4)正切函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× 2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π3的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠k π＋5π6，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪ x ≠k π－5π6，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪ x ≠2k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪ x ≠2k π－5π6，k ∈Z 答案：A3．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 答案：C4．函数y ＝sin x ＋tan x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域为________． 答案：⎣⎡⎦⎤－22－1，22＋1[典例] 求下列函数的定义域： (1)y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4；(2)y ＝3－tan x .[解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z)得，x ≠k π＋π4，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的定义域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z .(2)由3－tan x ≥0得， tan x ≤ 3.结合y ＝tan x 的图象可知， 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上， 满足tan x ≤3的角x 应满足－π2<x ≤π3，所以函数y ＝3－tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫k π－π2<x ≤k π＋π3，k ∈Z .求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义即x ≠π2＋k π，k ∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．(2)求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x .[活学活用]求函数y ＝11＋tan x的定义域．解：要使函数有意义，则有1＋tan x ≠0， ∴tan x ≠－1，∴x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z.因此，函数y ＝11＋tan x的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .与正切函数有关的周期性、奇偶性问题[典例] (1)求f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期； (2)判断y ＝sin x ＋tan x 的奇偶性． [解] (1)∵tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 即tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期是π2. (2)定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称， ∵f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )， ∴它是奇函数．与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性、对称性问题(1)一般地，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)对称性的最小正周期为T ＝π|ω|，常常利用此公式来求1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2x ＋3的最小正周期是( ) A ．4 B ．4π C ．2π D ．2 解析：选D T ＝ππ2＝π·2π＝2.2．已知函数f (x )＝tan x ＋1tan x，若f (α)＝5，则f (－α)＝________. 解析：f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π∪⎝⎛⎭⎫k π，k π＋π2(k ∈Z)．可知f (x )的定义域关于原点对称．又f (－x )＝tan(－x )＋1tan (－x )＝－⎝⎛⎭⎫tan x ＋1tan x ＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．∴f (－α)＝－f (α)＝－5. 答案：－51．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调区间． 解：y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4， 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－π2<x <2k π＋3π2，k ∈Z ，∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋3π2，k ∈Z. 题点二：比较大小2．比较tan ⎝⎛⎭⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎫－12π5的大小． 解：tan ⎝⎛⎭⎫－13π4＝tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋3π4＝tan 3π4＝－tan π4，tan ⎝⎛⎭⎫－12π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π－2π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π5＝－tan 2π5，∵0<π4<2π5<π2，且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2内递增， ∴tan π4＜tan 2π5，∴－tan π4>－tan 2π5，∴tan ⎝⎛⎭⎫－13π4>tan ⎝⎛⎭⎫－12π5. 题点三：求值域或最值3．已知f (x )＝tan 2x －2tan x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π3，求f (x )的值域． 解：令u ＝tan x ，因为|x |≤π3，所以u ∈[－3， 3 ]，所以函数化为y ＝u 2－2u . 对称轴为u ＝1∈[－3， 3 ]． 所以当u ＝1时，y min ＝12－2×1＝－1. 当u ＝－3时，y max ＝3＋2 3. 所以f (x )的值域为[－1,3＋2 3 ]．1．求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法(1)若ω>0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2，求得x 的范围即可．(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan [－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．[注意] 正切函数的单调性：正切函数在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z)上，都是从－∞增大到＋∞，故正切函数在每一个开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z)上是增函数，但不能说函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．2．运用正切函数单调性比较大小的方法(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系．层级一 学业水平达标1．函数y ＝－2＋tan ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的定义域是( ) A.⎝⎛⎭⎫2k π－53π，2k π＋π3，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎫2k π－π3，2k π＋53π，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k π－53π，k π＋π3，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋53π，k ∈Z 解析：选A 由－π2＋k π＜12x ＋π3＜π2＋k π，k ∈Z ，解得－53π＋2k π＜x ＜π3＋2k π，k ∈Z.2．f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的最小正周期为( ) A.π4 B.π2C ．πD ．2π解析：选B 法一：函数y ＝tan(ωx ＋φ)的周期是T ＝π|ω|，直接套用公式，可得T ＝π|－2|＝π2. 法二：由诱导公式可得tan ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3－π＝tan ⎣⎡⎦⎤－2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3，所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝f (x )，所以周期为T ＝π2. 3．若函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，则ω的取值范围为( ) A ．(0,1] B ．[－1,0) C ．(－∞，1]D ．(－∞，－1]解析：选B 由题意知其周期T ≥π，即π|ω|≥π.∴|ω|≤1，又函数为减函数，∴ω<0.故－1≤ω＜0.4．函数y ＝|tan 2x |是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数解析：选D f (－x )＝|tan(－2x )|＝|tan 2x |＝f (x )为偶函数，T ＝π2.5．与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是( ) A ．x ＝π2B ．x ＝－π2C ．x ＝π4D ．x ＝π8解析：选D 当x ＝π8时，2x ＋π4＝π2，而π2的正切值不存在，所以直线x ＝π8与函数的图象不相交．6．函数y ＝1－tan x 的定义域是___________________________________________． 解析：由1－tan x ≥0即tan x ≤1结合图象可解得． 答案：⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π＋π4(k ∈Z) 7．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的单调递增区间是______________________________________． 解析：令k π－π2＜2x ＋π4＜k π＋π2，k ∈Z ，解得k π2－3π8<x <k π2＋π8，k ∈Z. 答案：⎝⎛⎭⎫k π2－3π8，k π2＋π8，k ∈Z8．函数y ＝3tan(π＋x )，－π4<x ≤π6的值域为________．解析：函数y ＝3tan(π＋x )＝3tan x ，因为正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，所以－3<y ≤3，所以值域为(－3， 3 ]．答案：(－3， 3 ]9．比较下列各组中两个正切函数值的大小． (1)tan 167°与tan 173°； (2)tan ⎝⎛⎭⎫－11π4与tan ⎝⎛⎭⎫－13π5. 解：(1)∵90°＜167°＜173°＜180°， 又∵y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫π2，3π2上是增函数， ∴tan 167°＜tan 173°.(2)∵tan ⎝⎛⎭⎫－11π4＝－tan 11π4＝tan π4， tan ⎝⎛⎭⎫－13π5＝－tan 13π5＝tan 2π5， 又∵0＜π4＜2π5＜π2，函数y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2是增函数， ∴tan π4＜tan 2π5，即tan ⎝⎛⎭⎫－11π4＜tan ⎝⎛⎭⎫－13π5. 10．已知f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x ＋φ)是奇函数，则φ应满足什么条件？并求出满足|φ|＜π2的φ值．解：(1)法一：∵y ＝tan x 的周期是π. ∴y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期是π2. 法二：由诱导公式知：tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π ＝tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 即f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝f (x )．∴f (x )的周期是π2. (2)∵f (x ＋φ)＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2φ是奇函数， ∴图象关于原点中心对称，∴π3＋2φ＝k π2(k ∈Z)，∴φ＝k π4－π6(k ∈Z)． 令⎪⎪⎪⎪k π4－π6＜π2(k ∈Z)，解得－43＜k ＜83，k ∈Z.∴k ＝－1,0,1，或2.从而得φ＝－5π12，－π6，π12或π3层级二 应试能力达标1．函数y ＝log 12tan x 的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤π4＋k π，k ∈Z B.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2k π＜x ≤2k π＋π4，k ∈Z C.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫k π＜x ≤k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π－π2＜x ≤k π＋π4，k ∈Z 解析：选C 要使函数有意义，只要log 12tan x ≥0，即0＜tan x ≤1.由正切函数的图象知，k π＜x ≤k π＋π4，k ∈Z.2．函数y ＝tan(cos x )的值域是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π4，π4 B.⎣⎡⎦⎤－22，22 C ．[－tan 1，tan 1]D ．以上均不对解析：选C ∵－1≤cos x ≤1，且函数y ＝tan x 在[－1,1]上为增函数，∴tan(－1)≤tan x ≤tan 1.即－tan 1≤tan x ≤tan 1.3．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的图象是( )解析：选A 令y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3＝0，则有12x －π3＝k π，x ＝2k π＋2π3，k ∈Z.再令k ＝0，得x ＝2π3，可知函数图象与x 轴一交点的横坐标为2π3.故可排除C 、D.令12x －π3＝－π2，得x ＝－π3，或令12x －π3＝π2，得x ＝5π3.故排除B ，选A.4．已知函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值是( )A ．0B ．－33C ．－1 D. 3 解析：选A 由题意，可知T ＝π4，所以ω＝ππ4＝4，即f (x )＝tan 4x ，所以f ⎝⎛⎭⎫π4＝tan π＝0.5．若tan x ＞tan π5且x 在第三象限，则x 的取值范围是________．解析：tan x ＞tan π5＝tan 6π5，又x 为第三象限角，∴k π＋6π5＜x ＜k π＋3π2(k ∈Z)．答案：⎝⎛⎭⎫k π＋6π5，k π＋3π2(k ∈Z) 6．已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是单调减函数，则ω的取值范围是________． 解析：函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是单调减函数，则有ω<0，且周期T ≥π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝π，即π|ω|≥π，故|ω|≤1，∴－1≤ω<0. 答案：[－1,0)7．已知x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，求函数y ＝1cos 2x＋2tan x ＋1的最值及相应的x 的值．解：y ＝1cos 2x ＋2tan x ＋1＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x＋2tan x ＋1 ＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1.∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，∴tan x ∈[－3，1]． 当tan x ＝－1，即x ＝－π4时，y 取得最小值1； 当tan x ＝1，即x ＝π4时，y 取得最大值5.8．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的定义域、周期及单调区间． 解：由12x －π6≠π2＋k π，k ∈Z ， 得x ≠4π3＋2k π，k ∈Z ， 所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠4π3＋2k π，k ∈Z . T ＝π12＝2π， 所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的周期为2π.由－π2＋k π<12x －π6<π2＋k π，k ∈Z ，得 －2π3＋2k π<x <4π3＋2k π，k ∈Z. 所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－2π3＋2k π，4π3＋2k π(k ∈Z)．。