第三章 根轨迹分析

j
n−m
渐进线倾角θ为：
± 180 0 ( 2 k + 1 ) θ＝ n−m
渐进线的确定公式
k = 0 ,1 , 2 ,....
σ＝
∑
n
i =1
pi −
∑
m
z
j =1
j
n − m
k = 0 ,1 , 2 ,....
± 180 0 ( 2 k + 1 ) θ＝ n−m
确定根轨迹的分离点与会合点 根轨迹的分离点和会合点是特征方程的重根所对应的点。 根轨迹的对称性决定了根轨迹的分离点和会合点或位于 实轴上，或发生在共轭复数对中。 1. 如果根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间，则这 两极点间至少存在一个分离点。 2. 实轴上一个开环极点与一个开环零点(有限零点或无限零 点)之间，则在这两个相邻的极点与零点之间，或者既无分离 点也部存在会合点，或者既存在分离点又存在会合点。
开环传函为：
( s − z1 )( s − z 2 ) L ( s − z m ) G0 (s) = k ( s − p1 )( s − p 2 ) L ( s − p n ) =k s − ∑ zi s
这里：zi是其零点，用“○”，pj是其极点，用“×” 表示。
例：考虑传递函数的极点－零点图。
5 s 3 + 65 s 2 + 400 s + 1025 F (s) = s 4 + 11s 3 + 41s 2 + 91s F (s) = 5( s + 5)( s + 4 + j 5)( s + 4 − j 5) s ( s + 7 )( s + 2 + j 3)( s + 2 − j 3)
s1,2 = −1± j k −1
实部为-1。
jw k→∞
k=0 k=0.5 k→∞ σ根轨迹绘制规则设系统的开环传递函数为：
G(s)H (s) = k
(s − z1)(s − z2 )L(s − zm ) (s − p1)(s − p2 )L(s − pn )
式中zj、pi分别是开环零点与极点。 根轨迹的对称性 开环极点和开环零点为实数或共轭复数对，相对于实轴对称分布 的。根轨迹也必然对称于实轴。 由根轨迹的对称性，只需作出[S]平面中的上半部根轨迹, 就可以 完成整个根轨迹绘制。
-4+j2
j 8
2+j
4
-4-j2
−j 8
系统的根轨迹
考虑反馈系统如下 R(s) + Y(s)
K H(s)
G(s)
系统的传递函数为
KG ( s ) T (s) = 1 + KG ( s ) H ( s )
传递函数的极点是特征多项式的根
1 + KG ( s ) H ( s ) = 0
乘积KG(s)H(s)称为系统的开环传递函数，是断开反馈环路得到的。
k [ s 0 − z1 e j∠ s 0 − z1 ][ s 0 − z 2 e j∠ s 0 − z 2 ] L
F ( s0 ) =
∠ F ( s 0 ) = ∠ ( s 0 − z1 ) + ∠ ( s 0 − z 2 ) + L − ∠ ( s 0 − p 1 ) − ∠ ( s 0 − z 2 ) − L + k • 180
根轨迹的出射角和入射角 θ出=1800-Σ其它极点到该极点的幅角+ Σ其它零点到该极点的幅角 θ入=1800-Σ其它零点到该零点的幅角+ Σ其它极点到该零点的幅角 根轨迹与虚轴的交点 1. 利用劳斯稳定判据进行求解； 2. 在特征方程中令s=jw，再令实部和虚部等于零，可求出w和k值。 在[S]平面内的原点附件选取一系列试验点，画出系统的根轨迹。 确定闭环极点 与根轨迹上任意一点s相对应的k值，利用幅值条件得到：
控制系统的根轨迹
控制系统的稳定性，由闭环极点唯一确定。而控制系统的过渡过 程的基本特征，则与其闭环极点与零点在 S 平面上分布的位置相关。 完成系统的性能研究，需解决的问题： 闭环极点与零点的分布 研究系统某些参数变换对系统性能的影响。 问题的提出: 当系统的特征方程为高阶代数方程时，研究某个参数 变换对系统的零、极点分布的影响情况。 解决方法: 根轨迹方法。 根轨迹方法: 就是利用已知系统的开环传递函数的零、极点分布分 情况，研究某个或某些系统参数的变换对控制系统闭环传递函数极点 分布的影响的一种图解方法。
s点到各极点间长度的乘积 k= s点到各零点间长度的乘积
设闭环特征方程为：
s n + a n−1 s n−1 + L+ a1s + a0 = 0
设方程的n个根分别为：s1,s2,…,sn, 则有
⎧ n ⎪ ∑ s i = − a n −1 ⎪ i =1 ⎨ n ⎪∏ (− si ) = a 0 ⎪ i =1 ⎩
j∠ ( s 0 − p i )
s0 pi Im(s0- pi)
Re(s0- pi)
这样，函数F(s)可以表示为
F ( s0 ) =
模和角为
[ s 0 − p1 e j∠ s 0 − p1 ][ s 0 − p 2 e j∠ s 0 − p 2 ] L
k s 0 − z1 s 0 − z 2 L s 0 − p1 s 0 − p 2 L
dk =0 ds
说明：应用上式两种方程形式求得的根并不都是系统的分 离点，要根据一些条件进行判断。 1. 如果重根位于实轴的根轨迹上，就是系统的分离点； 2. 实数根不位于实轴的根轨迹上，该根不是系统的分离点 或会合点； 3. 共轭复根,设为s=s1和s=-s1, 并且不知道它们是否位于根 轨迹上，此时，需对相应的k值进行检查： ① 设s=s1相应的k值为正值，则点s=s1是一个实际的分离 点或会合点； ② 设s=s1相应的k值为负值，则点s=s1既不是分离点，也 不是会合点；
R(s) + K H(s) Y’(s) G(s)
Y(s)
KG(s)H(s)的极点和零点称为开环极点和开环零点。 系统的根轨迹就是系统的极点随系统的参数变化的轨迹。对于 反馈系统，特征方程为
1 + KG ( s ) H ( s ) = 0
特征方程可以写出如下形式
1 G (s)H (s) = − K
当0
5
函数F(s)可以在一个特定的 s 值进行图形定位。设s=s0，函数为
k ( s0 − z1 )( s0 − z 2 ) L ( s0 − z m ) F ( s0 ) = ( s0 − p1 )( s0 − p2 ) L ( s0 − pn )
现我们考虑一个因子，如
( s0 − pi ) = Re( s0 − pi ) + j Im( s0 − pi ) = = s 0 − pi ∠ ( s 0 − pi ) s 0 − pi e
极点－零点图
考虑函数
bmsm + bm−1sm−1 +Lb1s + b0 F (s) = an sn + an−1sn−1 +La1s + a0
k (s − z1 )(s − z2 )L(s − zm ) F (s) = (s − p1 )(s − p2 )L(s − pn )
bm k= an
乘数，使分子、分母的S最高次幂的系数为1.
D(s)=0
的根，为开环极点: -p1,-p2,…,-pn
终点：根轨迹的终点就是当k→∞时的根轨迹的位置：
N (s) + D (s) =0 k
或者：
1 ( s + z1 ) L ( s + z m ) + ( s + p1 ) L ( s + p n ) = 0 k
当k→∞，特征方程将蜕化成为m次方程。 为避免丢失方程的根，令s=1/q,则上式就化为：
1 1 1 1 1 ( + z1 ) L ( + z m ) + ( + p1 ) L ( + p n ) = 0 q q k q q
方程两端同乘以q ,得：
n
q
n−m
1 (1− z1q)L(1− zmq) + (1− p1q)L(1− pmq) = 0 k
k→∞ 时，上式化为：
q n − m (1 − z1 q ) L (1 − z m q ) = 0
系统的n个根为： q=0(n-m重根)，-1/z1, …,-1/zm 即k→∞时，系统的n个根为： s=∞(n-m重根)，-z1,…,-zm 故：在n条的根轨迹中，有m条的终点是开环零点，其余n-m条的终点 在无穷远点。
确定实轴上的根轨迹 由于共轭复数极点或零点对实轴上根轨迹的位置没有影 响，因此，实轴上的根轨迹由实轴上的开环极点和零点确 定。 如果试验点右方的实数极点和实数零点的总数为奇数，则 该试验点位于根轨迹上。 根轨迹的渐进线 渐进线确定根轨迹将沿什么样的方向趋于无穷远的。
°
例: 绘制极点-零点图，并图示确定函数在 s=2+j 的位置。
4 s 2 + 32 F (s) = ( s 2 + 8 s + 20 )( s + 2 )
分式的形式为
F (s) =
4 ( s + j 8 )( s − j 8 ) ( s + 4 + j 2 )( s + 4 − j 2 )( s + 2 )
n i =1 j =1 n j =1 n −1 m m
+ L ∏ pi
i =1
n
如果试验点距原点很远，用G(s)H(s)的分子去除分母，有
G (s) H (s) =
k s n − m + [ ∑ pi − ∑ z m ]s n − m −1 + L