用导数研究函数

第21讲 利用导数研究函数的单调性【基础知识回顾】1. 利用导数研究函数的单调性在某个区间(a ，b)内，如果f′(x)≥0且在(a ，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)≤0且在(a ，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递减．2. 判定函数单调性的一般步骤 (1)确定函数y ＝f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0； (4)根据(3)的结果确定函数的单调区间． 3. 已知函数单调性求参数的值或参数的范围 (1)函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上单调递增，可转化为f ′(x)≥0在(a ，b)上恒成立，且在(a ，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a ，b)⊆增区间．函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上单调递减，可转化为f′(x)≤0在(a ，b)上恒成立，且在(a ，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a ，b)⊆减区间．(2)函数y ＝f(x)的增区间是(a ，b)，可转化为(a ，b)＝增区间，也可转化为f′(x)＞0的解集是(a ，b)；函数y ＝f(x)的减区间是(a ，b)，可转化为(a ，b)＝减区间，也可转化为a ，b 是f′(x)＝0的两根．1、.函数f (x )＝3＋x ln x 的单调递减区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫1e ，e B.⎝⎛⎭⎫0，1e C.⎝⎛⎭⎫－∞，1eD.⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞【答案】 B【解析】因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1，令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜1e，故f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1e . 2、函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像如图，则函数y ＝ax 2＋32bx ＋c3的单调递增区间是( )第2题图A . (－∞，－2]B . ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C . [)－2，3 D . ⎣⎡⎭⎫98，＋∞【答案】D【解析】 由题图可知d ＝0. 不妨取a ＝1，∵f(x)＝x 3＋bx 2＋cx ，∴f ′(x)＝3x 2＋2bx ＋c. 由图可知f′(－2)＝0，f ′(3)＝0，∴12－4b ＋c ＝0，27＋6b ＋c ＝0，∴b ＝－32，c ＝－18. ∴y ＝x 2－94x －6，y ′＝2x －94. 当x ＞98时，y ′＞0，∴y ＝x 2－94x －6的单调递增区间为[98，＋∞).故选D .3、函数f (x )＝ln x －ax (a >0)的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，1a B.⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－∞，1a D ．(－∞，a )【答案】A【解析】 由f ′(x )＝1x －a >0，x >0，得0<x <1a .∴f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a . 4、若函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是________. 【答案】 (－∞，2ln 2－2)【解析】 ∵函数f (x )＝x 2－e x －ax 在R 上存在单调递增区间，∴f ′(x )＝2x －e x －a ＞0，即a ＜2x －e x 有解.设g (x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ，令g ′(x )＝0，得x ＝ln 2，则当x ＜ln 2时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，当x ＞ln 2时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，∴当x ＝ln 2时，g (x )取得极大值也是最大值，且g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2，∴a ＜2ln 2－2.考向一 求函数的单调区间例1、求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x 3－12x 2－2x ＋3；(2)g(x)＝x 2－2ln x.【解析】 (1)∵f′(x)＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，定义域为R ，∴当f ′(x )>0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪(1，＋∞)；当f ′(x )＜0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1. ∴函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(1，＋∞)，单调减区间为⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)g ′(x )＝2x －2x ＝2（x ＋1）（x －1）x，定义域为(0，＋∞)，令g ′(x )＝0，解得：x ＝1或x ＝－1(舍去)，列表：x (0，1) 1 (1，＋∞) g ′(x ) － 0＋ g (x ) 减 极小值 增变式1、（1）下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A.f (x )＝sin 2x B.f (x )＝x e x C.f (x )＝x 3－xD.f (x )＝－x ＋ln x【答案】 B【解析】 由于x ＞0，对于A ，f ′(x )＝2cos 2x ，f ′⎝⎛⎭⎫π3＝－1＜0，不符合题意； 对于B ，f ′(x )＝(x ＋1)e x ＞0，符合题意；对于C ，f ′(x )＝3x 2－1，f ′⎝⎛⎭⎫13＝－23＜0，不符合题意； 对于D ，f ′(x )＝－1＋1x ，f ′(2)＝－12＜0，不符合题意.(2)函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调递减区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，12 B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫0，12 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 【答案】 C【解析】 ∵函数f (x )＝2x 2－ln x ，∴f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x＝4⎝⎛⎭⎫x －12⎝⎛⎭⎫x ＋12x.由f ′(x )＜0，解得0＜x ＜12，∴函数的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，12. （3）.已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的递增区间是________. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2 【解析】 f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝⎛⎭⎫－π，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2.变式2、（1）函数f(x)＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为__ __．（2） 函数f(x)＝1＋x －sin x 在(0，2π)上的单调情况是__ __．（3）已知a<0，函数f(x)＝x 3＋ax 2－a 2x ＋2的单调递减区间是__ ．【解析】（1）由f(x)＝x 3－15x 2－33x ＋6得f ′(x)＝3x 2－30x －33，令f′(x)<0，即3(x －11)(x ＋1)＜0，解得－1<x<11，∴函数f(x)的单调减区间为(－1，11)． （2） f′(x)＝1－cos x>0在(0，2π)上恒成立，∴f(x)单调递增．（3）f′(x)＝3x 2＋2ax －a 2＝(3x －a)(x ＋a)，令f′(x)<0，得a3<x<－a ，∴减区间为⎝⎛⎭⎫a3，－a . 方法总结：1. 利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导函数f ′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间． 2. 利用导数求函数单调性，在对函数求导以后要对导函数进行整理并因式分解，方便后面求根和判断导函数的符号．考向二 给定区间求参数的范围例2、设函数()32132a f x x x bx c =-++，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =. (1)求,bc 的值；(2)若0a >，求函数()f x 的单调区间；(3)设函数()()2g x f x x =+，且()g x 在区间(2,1)--内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．【解析】：(1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f 0＝1，f ′0＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0.(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a >0)，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )． (3)g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)，使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立，即x ∈(－2，－1)时，a <(x ＋2x )max ＝－22，当且仅当x ＝2x 即x ＝－2时等号成立．所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22)．变式1、已知g (x )＝2x ＋ln x －ax .(1)若函数g (x )在区间[1，2]内单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若g (x )在区间[1，2]上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围.【解析】(1)g (x )＝2x ＋ln x －ax (x >0)，g ′(x )＝2＋1x ＋ax2(x >0).∵函数g (x )在[1，2]上单调递增， ∴g ′(x )≥0在[1，2]上恒成立， 即2＋1x ＋ax 2≥0在[1，2]上恒成立，∴a ≥－2x 2－x 在[1，2]上恒成立， ∴a ≥(－2x 2－x )max ，x ∈[1，2]. 在[1，2]上，(－2x 2－x )max ＝－3， 所以a ≥－3.∴实数a 的取值范围是[－3，＋∞). (2)g (x )在[1，2]上存在单调递增区间， 则g ′(x )＞0在[1，2]上有解， 即a ＞－2x 2－x 在[1，2]上有解， ∴a ＞(－2x 2－x )min ，又(－2x 2－x )min ＝－10，∴a ＞－10.变式2、若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A.[－1，1]B.⎣⎡⎦⎤－1，13C.⎣⎡⎦⎤－13，13D.⎣⎡⎦⎤－1，－13 【答案】 C【解析】 ∵f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x ，∴f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53.由f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立. 令t ＝cos x ，t ∈[－1，1]， 则－43t 2＋at ＋53≥0，在t ∈[－1，1]上恒成立.∴4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1，1]上恒成立. 令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＝－3a －1≤0，g （－1）＝3a －1≤0.解之得－13≤a ≤13方法总结： 1.明晰导数概念及其几何意义在解题中的应用，强化方程的思想，培养基本运算能力．2. 辨析区间上单调和区间上存在单调区间的本质区别和处理策略的不同，提升参变分离和构造函数等解决问题的方法和技巧，感悟数学解题背后的思维和内涵．考向三 函数单调区间的讨论例3、已知函数．当时，讨论的单调性； 【解析】函数的定义域为.， 因为，所以， ①当，即时，由得或，由得， 所以在，上是增函数， 在上是减函数； ②当，即时，所以在上是增函数；③当，即时，由得或，由得，所以在，.上是增函数，在.上是减函 综上可知：当时在，上是单调递增，在上是单调递减； 当时，在.上是单调递增；当时在，上是单调递增，在上是单调递减. 变式1、讨论下列函数的单调性． (1)f (x )＝x －a ln x ； (2)g (x )＝13x 3＋ax 2－3a 2x .【解析】 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1－a x ＝x －ax ，令f ′(x )＝0，得x ＝a ，①当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当a >0时，x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，()()11ln f x x m x m R x x ⎛⎫=+-+∈ ⎪⎝⎭1m ()f x ()f x (0,)+∞'21()1m m f x x x -=+-2221(1)[(1)]x mx m x x m x x -+----==1m 10m ->011m <-<12m <<()0f x '>1x >1x m <-()0f x '<11m x -<<()f x ()0,1m -()1,+∞()1,1m -11m -=2m =()0f x '≥()f x ()0,∞+11m ->2m >()0f x '>1x m >-1x <()0f x '<11x m <<-()f x ()0,1()1,m -+∞()1,1m -12m <<()f x ()0,1m -()1,+∞()1,1m -2m =()f x ()0,∞+2m >()f x ()0,1()1,m -+∞()1,1m -x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增． 综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >0时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增． (2)g (x )的定义域为R ，g ′(x )＝x 2＋2ax －3a 2＝(x ＋3a )(x －a )， 当a ＝0时，g ′(x )≥0， ∴g (x )在R 上单调递增． 当a >0时，x ∈(－∞，－3a )∪(a ，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， x ∈(－3a ，a )时，g ′(x )<0，g (x )单调递减． 当a <0时，x ∈(－∞，a )∪(－3a ，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， x ∈(a ，－3a )时，g ′(x )<0，g (x )单调递减， 综上有a ＝0时，g (x )在R 上单调递增；a <0时，g (x )在(－∞，a )，(－3a ，＋∞)上单调递增，在(a ，－3a )上单调递减； a >0时，g (x )在(－∞，－3a )，(a ，＋∞)上单调递增，在(－3a ，a )上单调递减． 变式2、已知函数f (x )＝x －2x ＋a (2－ln x )，a >0.讨论f (x )的单调性．【解析】 由题知，f (x )的定义域是(0，＋∞)， f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2，设g (x )＝x 2－ax ＋2， g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8.①当Δ<0，即0<a <22时，对一切x >0都有f ′(x )>0.此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当Δ＝0，即a ＝22时，仅对x ＝2， 有f ′(x )＝0，对其余的x >0都有f ′(x )>0. 此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增．③当Δ>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根， x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0，x 1) x 1 (x 1，x 2) x 2 (x 2，＋∞)f ′(x )＋－＋f (x )单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－82上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增．方法总结： 对含参函数的合理分类，关键是找到引起分类讨论的原因．2. 会对函数进行准确求导，求导以后进行整理并因式分解，其中能否因式分解、每个因式系数的正负、根的大小等都是引起分类讨论的原因．考向四 构造函数研究单调性例4、(1)设函数f (x )在R 上的导函数为f ′(x )，且2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则下列不等式在R 上恒成立的是( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )>xD ．f (x )<x(2)已知定义域为{x |x ≠0}的偶函数f (x )，其导函数为f ′(x )，对任意正实数x 满足xf ′(x )>－2f (x )，若g (x )＝x 2f (x )，则不等式g (x )<g (1)的解集是( )A ．(－∞，1)B ．(－1,1)C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．(－1,0)∪(0,1)【答案】 (1)A (2)D【解析】(1)法一：令g (x )＝x 2f (x )－14x 4，则g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )－x 3＝x [2f (x )＋xf ′(x )－x 2]，当x >0时，g ′(x )>0，∴g (x )>g (0)， 即x 2f (x )－14x 4>0，从而f (x )>14x 2>0；当x <0时，g ′(x )<0，∴g (x )>g (0)， 即x 2f (x )－14x 4>0，从而f (x )>14x 2>0；当x ＝0时，由题意可得2f (0)>0，∴f (0)>0. 综上可知，f (x )>0.法二：∵2f (x )＋xf ′(x )>x 2，∴令x ＝0，则f (0)>0，故可排除B 、D ，不妨令f (x )＝x 2＋0.1，则已知条件2f (x )＋xf ′(x )>x 2成立，但f (x )>x 不一定成立，故C 也是错误的，故选A.(2)∵f (x )是定义域为{x |x ≠0}的偶函数， ∴f (－x )＝f (x )．对任意正实数x 满足xf ′(x )>－2f (x )， ∴xf ′(x )＋2f (x )>0. ∵g (x )＝x 2f (x )，∴g (x )也是偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )>0. ∵g (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴g (x )在(－∞，0)递减． 若g (x )<g (1)，则|x |<1(x ≠0)， 解得0<x <1或－1<x <0.故g (x )<g (1)的解集是(－1,0)∪(0,1)． 变式1、已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是( )A ．B ．C ．D ． 【答案】CD 【解析】令，，则， 因为， 所以在上恒成立， 因此函数在上单调递减， 因此，即，即，故A 错；又，所以，所以在上恒成立， 0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭()f x ()f x '()00f =()cos ()sin 0f x x f x x '+<6624f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ln 03f π⎛⎫> ⎪⎝⎭363f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭243f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()cos f x g x x =0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2()cos ()sin ()cos f x x f x x g x x '+'=()cos ()sin 0f x x f x x '+<2()cos ()sin ()0cos f x x f x x g x x '+'=<0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭()()cos f x g x x =0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭64g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭64cos cos64f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>664f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()00f =(0)(0)0cos0f g ==()()0cos f x g x x =≤0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭因为，所以，故B 错； 又，所以，即，故C 正确；又，所以，即，故D 正确；故选：CD.变式2、设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x ＞0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是________. 【答案】 (－∞，－1)∪(0，1)【解析】 因为f (x )(x ∈R )为奇函数，f (－1)＝0， 所以f (1)＝－f (－1)＝0. 当x ≠0时，令g (x )＝f （x ）x ，则g (x )为偶函数，g (1)＝g (－1)＝0. 则当x ＞0时，g ′(x )＝⎣⎡⎦⎤f （x ）x ′＝xf ′（x ）－f （x ）x 2＜0，故g (x )在(0，＋∞)上单减，在(－∞，0)上单增.所以在(0，＋∞)上，当0＜x ＜1时，g (x )＞g (1)＝0，得f （x ）x ＞0，所以f (x )＞0；在(－∞，0)上，当x ＜－1时，由g (x )＜g (－1)＝0，得f （x ）x＜0，所以f (x )＞0. 综上知，使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1).变式3、设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＞0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )＜0的解集为________. 【答案】 (－∞，－3)∪(0，3) 【解析】 f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＞0⇔ [f (x )g (x )]′＞0，所以函数y ＝f (x )g (x )在(－∞，0)上单调递增. 又由题意知函数y ＝f (x )g (x )为奇函数，所以其图象关于原点对称，且过点(－3，0)，(3，0).ln0,32ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ln 03f π⎛⎫< ⎪⎝⎭63g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭63cos cos 63f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>363f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos43f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>243f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭数形结合可求得不等式f (x )g (x )＜0的解集为(－∞，－3)∪(0，3).方法总结：(1)对于不等式f ′(x )＋g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )＋g (x )；(2)对于不等式f ′(x )－g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )－g (x )； 特别地，对于不等式f ′(x )>k (或<k )(k ≠0)，构造函数F (x )＝f (x )－kx . (3)对于不等式f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )g (x )； (4)对于不等式f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f xg x(g (x )≠0)；(5)对于不等式xf ′(x )＋f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝xf (x )； (6)对于不等式xf ′(x )－f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f xx(x ≠0)．1、函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．2、设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________． 【答案】(]1,0--∞【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e xxf x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()ee e e xx x x a a --+=-+，即()()1e e0xxa -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-.若函数()e e xxf x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x xf x a -'=-≥在R 上恒成立，即2e x a ≤在R 上恒成立，又2e 0x >，则0a ≤， 即实数a 的取值范围是(],0-∞.3、（2021·深圳市龙岗区龙城高级中学高三月考）已知函数()ln f x x =，()g x x =，则当120x x >>时（ ） A ．1122|()()||()()|f x g x f x g x -<-|B ．1122|()()||()()|f x g x f x g x ->-C ．1221|()()||()()|f x g x f x g x -<- D ．1221|()()||()()|f x g x f x g x ->-【答案】C【解析】令()ln h x x x =-，则()111xh x x x-'=-=，当()0,1x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减， 则()()110h x h ≤=-<，则()h x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增，∴()1h x 和()2h x 的大小不确定，故AB 错误；由()0h x <可知221ln x x x <<，即()()210f x g x -<， 令1221|()()||()()|W f x g x f x g x =---， 则1221|()()|()()W f x g x f x g x =-+-，当()()12f x g x ≥时，[][]12211122()()()()()()()()0W f x g x f x g x f x g x f x g x =-+-=-+-<； 当()()12f x g x <，[][]21212211()()()()()()()()W g x f x f x g x f x g x f x g x =-+-=+-+，()()ln y f x g x x x =+=+单调递增，0W ∴<， 综上，1221|()()||()()|f x g x f x g x -<-，故C 正确，D 错误.故选：C.4、（2021·广东高三月考）已知函数()ln f x x ax =+在函数()22g x x x b =-+的递增区间上也单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)0,+∞C ．(][),10,-∞-+∞ D ．(]1,0-【答案】B【解析】因为()g x 的单调递增区间为[)1,+∞， 则由题意()f x 在[)1,+∞递增， 而()1axf x x+'=， 所以当0a ≥时，()0f x '>在 [)1,+∞恒成立，()f x 在区间[)1,+∞单调递增，符合题意； 当0a <时，由()10ax f x x +'=>，解得10x a<<- ()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，不合题意.综上，0a ≥. 故选：B5、（2021·广东高三月考）若对任意的1x ，()2,x m ∈+∞，且12x x <，都有122121ln ln 2x x x x x x -<-，则m 的最小值是（ ）（注： 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数） A ．1eB ．eC ．1D ．3e【答案】A【解析】由题意知210x x >>，可得210x x ->， 则122121ln ln 2x x x x x x -<-等价于()122121ln ln 2x x x x x x -<-，即121212ln 2ln 2x x x x x x +<+，所以()()1221ln 2ln 2x x x x +<+， 所以2121ln 2ln 2x x x x ++<， 令()ln 2x f x x+=，可得21f x f x ，又由21x x m >>，所以()f x 在(),m +∞上是减函数， 所以()2ln 10x f x x--'=≤，解得1x e ≥，则1m e ≥，即m 的最小值为1e . 故选：A.6、（2021·深圳市第七高级中学高三月考）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()0,6f x f x f x f x +-=+=-，且对[]12,3,0x x ∀∈-，当12x x ≠时，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+，则以下判断正确的是（ ）A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 在[]9,6--单调递增C ．3x =是函数()f x 的对称轴D ．函数()f x 的最小正周期是12【答案】BCD【解析】由定义域为R ， ()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-，则函数为奇函数，故A 错误；因为()()6f x f x +=-，而()()f x f x -=-，所以()()6f x f x +=-，所以函数的对称轴为6032x +==，故C 选项正确； 因为()()6f x f x +=-，所以()()()126f x f x f x +=-+=，所以()f x 的最小正周期是12，故D 选项正确；因为[]12,3,0x x ∀∈-，当12x x ≠时，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+， 则()()()()12120x x f x f x --<，所以[]3,0x ∈-时，()f x 为减函数. 因为函数为奇函数，所以[]0,3x ∈时，()f x 为减函数，又因为函数()f x 关于3x =对称，所以[]3,6x ∈时，()f x 为增函数.因为()f x 的最小正周期是12，所以[]9,6x ∈--的单调性与[]3,6x ∈时的单调性相同. 故，[]9,6x ∈--时，()f x 单调递增，故B 选项正确. 故选：BCD. 7、()3211232f x x x ax =-++，若()f x 在2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上存在单调递增区间，则a 的取值范围是_______ 【答案】19a >- 【解析】：()'22fx x x a =-++，有已知条件可得：2,+3x ⎛⎫∃∈∞ ⎪⎝⎭，使得()'0f x ≥，即()212a x x ≥-，只需()2min12a x x ⎡⎤≥-⎢⎥⎣⎦，而()221122122339y x x ⎡⎤⎛⎫=->-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以19a >-。

§3.5 利用导数研究函数(单调性、极值和凸性)一、与函数的单调性有关的一些结论定理 3.11(单调的充分必要条件) 若函数f 在有限闭区间[,]a b 上连续,在(,)a b 上可导,则f 在[,]a b 上递增(或递减)当且仅当在(,)a b 上成立0f '≥(或0f '≤).证: “仅当”.假定f 在[,]a b 上递增.(,)x a b ∀∈,当0h b x <<-时,有()()0f x h f x h +-≥,故0()()()lim 0h f x h f x f x h→++-'=≥,即在(,)a b 上成立0f '≥.“当”.假定在(,)a b 上成立0f '≥.12,[,]x x a b ∀∈,12x x <,12(,)x x ξ∃∈,使得2121()()f x f x x x --()f ξ'=0≥.这说明21()()f x f x ≥,即f 在[,]a b 上递增.□定理 3.12(严格单调的充分条件) 若函数f 在有限闭区间[,]a b 上连续,在(,)a b 上成立0f '>(或0f '<),则f 在[,]a b 上严格递增(或严格递减).反之,结论可能不正确.证: 12,[,]x x a b ∀∈,12x x <,12(,)x x ξ∃∈,使得2121()()f x f x x x --()f ξ'= 0>.这说明21()()f x f x >,即f 在[,]a b 上严格递增.□定理 3.13(严格单调的充分条件) 若函数f 在有限闭区间[,]a b 上连续,在(,)a b 上除去有限个点后成立0f '>(或0f '<),则f 在[,]a b 上严格递增(或严格递减).反之,结论可能不正确.证:设12,,,n x x x ∃ ,12n a x x x b <<<<< ,在112(,),(,),,(,)n a x x x x b上成立0f '>,故f 在112[,],[,],,[,]n a x x x x b 上严格递增,从而f 在[,]a b 上严格递增.□定理 3.14(严格单调的充分必要条件) 若函数f 在有限闭区间[,]a b 上连续,在(,)a b 上可导,则f 在[,]a b 上严格递增(或严格递减)当且仅当同时成立(1) 在(,)a b 上有0f '≥(或0f '≤)；(2) ∀开区间(,)I a b ⊂,|0I f '≠.证: “仅当”.假定f 在[,]a b 上严格递增.定理3.11确保了(1)成立；∀开区间(,)I a b ⊂,因为f 在I 上不是常数,故|0I f '≠,即(2)成立. “当”.假定(1)、(2)同时成立.定理3.11确保了f 在[,]a b 上递增,即12,[,]x x a b ∀∈,12x x <,有12()()f x f x ≤.若12()()f x f x =,则12[,]|x x f 是常数,从而12(,)|0x x f '=,与(2)相矛盾,故12()()f x f x <.□ 命题 (有实用价值) 设函数,f g 都在有限闭区间[,]a b 上连续,在(,)a b 上可导,并且在(,)a b 上成立f g ''≥(或f g ''>),那么(1) 若()()f a g a =,则(,](,]||a b a b f g ≥(或(,](,]||a b a b f g >)；(2) 若()()f b g b =,则[,)[,)||a b a b f g ≤(或[,)[,)||a b a b f g <).证: 函数f g -在[,]a b 上递增(或严格递增).(1) (,]x a b ∀∈,有()()()()0f x g x f a g a -≥-=(或()()f x g x -()f a > ()0g a -=),故(,](,]||a b a b f g ≥(或(,](,]||a b a b f g >).(2) [,)x a b ∀∈,有()()()()0f x g x f b g b -≤-=(或()()f x g x -()f b < ()0g b -=),故[,)[,)||a b a b f g ≤(或[,)[,)||a b a b f g <).□例1(必须记住) (0,)2x π∀∈,总成立不等式2sin 1x xπ<<.证: 函数1,0;()sin ,02x f x x x xπ=⎧⎪=⎨<≤⎪⎩ 在[0,]2π上连续,在(0,)2π上可导,并且(0,)2x π∀∈,总有2cos sin ()0x x x f x x-'=<.于是, 222(),()(),[0,)22f f f x x πππππ''<=⇒>∀∈.□ 二、与函数的极值有关的一些结论定理 3.15(极值的充分条件)设f 是开区间．．．(,)a b 上的连续函数,0(,)x a b ∈.那么(1) 若在0(,)a x 上成立0f '≥(或0f '>),在0(,)x b 上成立0f '≤(或0f '<),则0()f x 是f 在(,)a b 上的最大值(或严格最大值)；(2) 若在0(,)a x 上成立0f '≤(或0f '<),在0(,)x b 上成立0f '≥(或0f '>),则0()f x 是f 在(,)a b 上的最小值(或严格最小值). 证: 显然.□定理 3.16(简单情形下极值的充分条件) 设0x 是函数f 的驻点,并且0()f x ''存在,那么(1) 若0()0f x ''<,则0()f x 是f 的严格极大值；(2) 若0()0f x ''>,则0()f x 是f 的严格极小值；(3) 若0()0f x ''=,则各种情形都可能出现.证: (1) 000000()()()0()lim lim x x x x f x f x f x f x x x x x →→'''-''>==--,故0δ∃>,使得当00x x δ<-<时成立0()0f x x x '<-.于是,在00(,)x x δ-上成立0f '>；在00(,)x x δ+上成立0f '<.这说明0()f x 是f 在00(,)x x δδ-+上的严格最大值,即是f 的严格极大值.(2) 与(1)的证明类似.(3) 344,,x x x -说明各种情形都可能出现.□求有限闭区间上连续函数的最大值和最小值的方法 设函数f 在有限闭区间[,]a b 上连续,在(,)a b 上可导.若f 在(,)a b 上只有有限个驻点12,,,n x x x ,则12max ()max{(),(),(),,(),()}n a x bf x f a f x f x f x f b ≤≤= ； 12min ()min{(),(),(),,(),()}n a x b f x f a f x f x f x f b ≤≤= .练习题3.5(172P ) 2(3,4),3,4,5,6,7,8,9(3),11,13,15.问题3.5(175P ) 4,8,10.三、与函数的凸性有关的一些结论定义 3.6 设f 是区间I 上的函数.若12,x x I ∀∈,12x x <,(0,1)λ∈,总成立不等式1212[(1)](1)()()f x x f x f x λλλλ-+≤-+()1212[(1)](1)()()f x x f x f x λλλλ-+<-+或,则称f 是区间I 上的凸函数(或严格凸函数).注意 f 是区间I 上的凸函数(或严格凸函数),区间J I ⊂⇒|J f 是区间J 上的凸函数(或严格凸函数).凸函数的几何意义 f 是区间I 上的凸函数(或严格凸函数)⇔ 12,x x I ∀∈,12x x <,以11(,())x f x 和22(,())x f x 为端点的开线段总是位于(或严格位于)12(,)|x x f 的图像的上方.证: 12(0,1),(,)x x x λ∀∈∃∈使得121x x x x λ-=-；反之亦然.于是 1212[(1)](1)()()f x x f x f x λλλλ-+≤-+⇔2121121221212121()()x x x x x x x x f x x f x f x x x x x x x x x ⎡⎤----+≤+⇔⎢⎥----⎣⎦ 211121()()()()()f x f x f x x x f x x x -≤-+-.□ 注记 3.6' 函数f 是开区间(,)a b 上的凸函数(或严格凸函数)当且仅当同时成立(1) f 在(,)a b 上连续；(2) 12,(,)x x a b ∀∈,12x x <,总成立不等式121211()()222x x f f x f x +⎫⎛≤+ ⎪⎝⎭ 121211()()222x x f f x f x +⎫⎛⎫⎛<+ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭或. 证: “仅当”.假定f 是开区间(,)a b 上的凸函数.由问题3.5的第1(3)题便知(1)成立；由凸函数的定义便知(2)成立.“当”.假定(1),(2)成立.由(2)的几何意义和f 的连续性,以11(,())x f x 和22(,())x f x 为端点的开线段总是位于12(,)|x x f 的图像的上方.这表明f 是(,)a b 上的凸函数.□注记3.6'' 设I 是以,a b 为左、右端点的区间,那么函数f 是I 上的凸函数(或严格凸函数)当且仅当同时成立(1) f 是(,)a b 上的凸函数(或严格凸函数)；(2) 当a I ∈时,lim ()()x a f x f a →+≤；当b I ∈时,lim ()()x b f x f b →-≤. 证: “仅当”.假定f 是I 上的凸函数.由凸函数的定义便知(1)成立.由定理 3.19的推论知,lim ()x a f x →+和lim ()x b f x →-都存在.固定0(,)x a b ∈. 0(,)x a x ∀∈,有00()()()()()f x f a f x x a f a x a-≤-+-⇒lim ()()x a f x f a →+≤；0(,)x x b ∀∈,有0000()()()()()f b f x f x x x f x b x -≤-+-⇒lim ()()x b f x f b →-≤. “当”.假定(1),(2)成立.由凸函数的几何意义,12,x x I ∀∈,12x x <,以11(,())x f x 和22(,())x f x 为端点的开线段总是位于12(,)|x x f 的图像的上方.这表明f 是I 上的凸函数.□定理3.17(J ensen 不等式)若f 是区间I 上的凸函数,则1,,n x x ∀ I ∈, 1,,0n λλ> ,11n λλ++= ,总成立不等式1111()()()n n n n f x x f x f x λλλλ++≤++ .当f 是区间I 上的严格凸函数时,上式等号成立当且仅当12n x x x === .证: 不妨设 12n x x x ≤≤≤ ,显然1111n x x x λλ=++ 11x λ≤+n n x λ+ 1n n n n x x x λλ≤++= .这说明不等式的左边有意义.对n *∈ 应用数学归纳法.(1) 当1n =时,11λ=,故1111()()f x f x λλ=.(2) 假定当n k ≤时结论成立,要证当1n k =+时结论也成立.令1μ= 111,,011k k k k λλμλλ++=>-- ,则11k μμ++= ,故由归纳法假定便得到 1111()k k k k f x x x λλλ+++++11111[(1)()]k k k k k f x x x λμμλ+++=-+++11111(1)()()k k k k k f x x f x λμμλ+++≤-+++11111(1)[()()]()k k k k k f x f x f x λμμλ+++≤-+++1111()()()k k k k f x f x f x λλλ++=+++ .当f 是区间I 上的严格凸函数时,上式等号成立当且仅当12k x x x === ,111k k k x x x μμ+++= ,即121k x x x +=== .□定理3.18 (J ensen 不等式的另一形式) 若f 是区间I 上的凸函数,则1,,n x x ∀ I ∈,1,,0n ββ> ,总成立不等式 1111111()[()()]n n n n n nx x f f x f x ββββββββ++≤++++++ . 当f 是区间I 上的严格凸函数时,上式等号成立当且仅当12n x x x === . 定理3.19 f 是区间I 上的凸函数(或严格凸函数)⇔∀固定的0x I ∈,函数00()()()f x f x x x x ϕ-=-在0\{}I x 上递增(或严格递增). 证: ⇒.假定f 是I 上的凸函数.12,x x ∀0\{}I x ∈,12x x <,下述三个不等式120x x x <<,102x x x <<和01x x <2x <恰有一个成立.由凸函数的几何意义即知12()()x x ϕϕ≤.⇐.假定∀固定的x I ∈,函数()()()f y f x y y xϕ-=-在\{}I x 上递增.12,x x I ∀∈,12x x <,当12(,)x x x ∈时,总成立121212()()()()()()f x f x f x f x x x x x x xϕϕ--=≤=--. 这说明以11(,())x f x 和22(,())x f x 为端点的开线段总是位于12(,)|x x f 的图像的上方.故f 是区间I 上的凸函数.□推论 设f 是开区间(,)a b 上的凸函数,那么(1) 若a ≠-∞,则lim (){}x a f x →+∈+∞ ；若a =-∞,则lim ()x f x ∞→-∞∈ . (2) 若b ≠+∞,则lim (){}x b f x →-∈+∞ ；若b =+∞,则lim ()x f x ∞→+∞∈ . 证: 仅证(1).当a ≠-∞时,对固定的0(,)x a b ∈,00()()()f x f x x x x ϕ-=-在0(,)\{}a b x 递增,00()()()()f x x x x f x ϕ=-+,故0lim ()()lim ()x a x a f x a x x ϕ→+→+=-0(){}f x +∈+∞ .当a =-∞时,只需考虑f 不在(,)b -∞上递增的情形.取12,(,)x x b ∈-∞, 12x x <,使得12()()f x f x >.因为22()()()f x f x x x x ϕ-=-在1(,]x -∞上递增,故1lim ()()0x x x ϕϕ→-∞≤<,从而 2lim ()lim ()()x x f x x x x ϕ→-∞→-∞=-2()f x +=+∞.□ 定理 3.20 设I 是以,a b 为左、右端点的区间.若函数f 在I 上连续,在(,)a b 上可导,则f 是I 上的凸函数(或严格凸函数)当且仅当f '在(,)a b 上递增(或严格递增).证: 仅证严格的情形.“仅当”.假定f 是I 上的严格凸函数.12,x x ∀(,)a b ∈,12x x <和12,(,)x y x x ∈,分别对111()()()f x f x x x x ϕ-=-和222()()()f x f x x x x ϕ-=-应用定理3.19便有 12121212()()()()()()f x f x f x f x f x f y x x x x x y---<<---. 令12,x x y x →+→-,得到211221()()()()f x f x f x f x x x -''<<-.这说明f '在(,)a b 上严格递增.“当”.假定f '在(,)a b 上严格递增.0x I ∀∈,记00()()()f x f x x x x ϕ-=-.则当0(,),x a b x x ∈>时,0(,)x x ξ∃∈使得00()()f x f x x x --()f ξ'=,故 0000()()()()()()0f x f x f x x x f x f x x x x x ξϕ-'-''--'==>--. 当0(,),x a b x x ∈<时,0(,)x x η∃∈使得00()()f x f x x x--()f η'=,故 0000()()()()()()0f x f x f x x x f f x x x x x xηϕ-'-''--'==>--.这说明ϕ在0\{}I x 上严格递增,从而f 是I 上的严格凸函数. 定理 3.21 设I 是以,a b 为左、右端点的区间.若函数f 在I 上连续,在(,)a b 上2阶可导,则f 是I 上的凸函数(或严格凸函数)当且仅当在(,)a b 上成立0f ''≥(或在(,)a b 上成立0f ''≥,并且(,)(,)c d a b ∀⊂都有(,)|0c d f ''≠).证: 由定理3.20和定理3.14.□例2(几何平均不大于算术平均) 12,,,0n x x x ∀> ,有不等式11212()n nn x x x x x x n+++≤ . 等号成立当且仅当12,n x x x === . 证: 在(0,)+∞上成立211(ln )()0x x x'''-=-=>,故ln x -是(0,)+∞上的严格凸函数,从而1212ln ln ln ln n n x x x x x x n n +++----⎫⎛-≤ ⎪⎝⎭, 11212ln()ln n n n x x x x x x n +++⎫⎛≤ ⎪⎝⎭.□ 例3(算术平均不大于均方根) 12,,,0n x x x ∀> ,有不等式12n x x x n +++≤ . 等号成立当且仅当12,n x x x === .证: 在(0,)+∞上成立11322211024x x x --'''⎫⎫⎛⎛-=-=>⎪⎪ ⎝⎝⎭⎭,故12x -是(0,)+∞上的严格凸函数,从而122221212n n x x x x x x n n ⎫⎛++++++-≤-⎪ ⎝⎭ .□ 练习题3.5(172P ) 17,19(2,3,4),20,21,22,23.问题3.5(175P ) 1,2,3,9.§3.6 L ’Hospital 法则L ’Hospital 法则可以认为是连续型的Stolz 定理；Stolz 定理也可以认为是离散型的L ’Hospital 法则.定理3.22和3.23(00型)设,f g 在0x ∈ 的去心邻域上可导,并且,g g '在0x 的去心邻域上处处不取零值.若00lim ()lim ()0,x x x x f x g x →→==0()lim ()x x f x g x →'' {}l ∞=∈∞ ,则 0()lim ()x x f x g x →l =. 将“0x x →”换成“0x x →+,0x x →-,x →+∞,x →-∞,x →∞”后,结论仍然成立.证: 设0δ>是足够小的常数.当00(,)x x x δ∈+时,在0[,]x x 上应用Cauchy 中值定理知,0(,)x x ξ∃∈使得 ()()f x g x 00()()()()()()f x f x fg x g x g ξξ'-+=='-+.故0()lim ()x x f x g x →+l =；同理,0()lim ()x x f x g x →-l =. 对于“x →∞”的情形, 有 2002111()lim lim lim 111()x t t f f f x t t t g x g g t t t →∞→→⎫⎫⎫⎛⎛⎛'- ⎪ ⎪⎪⎝⎝⎝⎭⎭⎭==⎫⎫⎫⎛⎛⎛'- ⎪ ⎪⎪⎝⎝⎝⎭⎭⎭ 01()lim lim 1()t x f f x t l g x g t →→∞⎫⎛' ⎪'⎝⎭==='⎫⎛' ⎪⎝⎭.□ 推论1(00型) 设,f g 在0x ∈ 的去心邻域上n 阶可导,并且,,,g g ' ()n g 在0x 的去心邻域上处处不取零值.若 00lim ()lim ()x x x x f x f x →→'=== 0(1)lim ()n x x f x -→0lim ()x x g x →==00(1)lim ()lim ()0n x x x x g x g x -→→'=== ,0()()()lim ()n n x x f x g x →{}l ∞=∈∞ ,则 0()lim ()x x f x g x →l =. 将“0x x →”换成“0x x →+,0x x →-,x →+∞,x →-∞,x →∞”后,结论仍然成立.定理3.24 (?∞型) 设,f g 在0x ∈ 的去心邻域上可导,并且,g g '在0x 的去心邻域上处处不取零值.若0lim ()x x g x →=∞,0()lim ()x x f x g x →''{}l ∞=∈∞ ,则 0()lim ()x x f x g x →l =. 将“0x x →”换成“0x x →+,0x x →-,x →+∞,x →-∞,x →∞”后,结论仍然成立.证: 仅证l ∈ 和l =∞,并且是0x x →的情形.(1)l ∈ . 0,0εδ∀>∃>,使得当002x x δ<-<时成立()()f x l g x ε'-<'.故当 00(,)x x x δ∈+时, 在0[,]x x δ+应用Cauchy 中值定理知,ξ∃∈0(,)x x δ+使得 00()()()()()()f x f x f l lg x g x g δξεδξ'+--=-<'+-,从而 0000()()()limsuplimsup ()()()x x x x f x f x f x l l g x g x g x δεδ→+→++--=-≤+-. 故 0()limsup0()x x f x l g x →+-=,即0()lim ()x x f x l g x →+=；同理,0()lim ()x x f x l g x →-=. (2)l =∞. 0,0A δ∀>∃>,使得当002x x δ<-<时成立()()f x Ag x '>'.故当 00(,)x x x δ∈+时, 在0[,]x x δ+应用Cauchy 中值定理知, ξ∃∈0(,)x x δ+使得00()()()()()()f x f x f Ag x g x g δξδξ'+-=>'+-,从而 0000()()()liminf liminf ()()()x x x x f x f x f x A g x g x g x δδ→+→++-=≥+-. 故 0()liminf ()x x f x g x →+=+∞,即0()lim ()x x f x g x →+=∞；同理,0()lim ()x x f x g x →-=∞.□ 推论2(?∞型) 设,f g 在0x ∈ 的去心邻域上n 阶可导,并且,,,g g ' ()n g 在0x 的去心邻域上处处不取零值.若 0lim ()x x g x →=0lim ()x x g x →'==0(1)lim ()n x x g x -→=∞,0()()()lim ()n n x x f x g x →{}l ∞=∈∞ ,则 0()lim ()x x f x g x →l =. 将“0x x →”换成“0x x →+,0x x →-,x →+∞,x →-∞,x →∞”后,结论仍然成立.注记 易将“0⋅∞型,∞-∞型,00型,0∞型,1∞型”的极限化成“00型”或“?∞型”的极限,再利用L ’Hospital 法则求出来.例1(必须记住) 对于常数0μ>,有0lim ln 0x x x μ→+=；0lim 1x x x →+=. 解: ()10000ln ln 11lim lim lim lim 0()()x x x x x x x x x x x μμμμμμ----→+→+→+→+'===-='-. 00lim ln lim ln 0x x x x x x →+→+==,故0lim 1x x x →+=.□ 例2(一个错误的循环证明) 利用L ’Hospital 法则来证明0sin lim 1x x x→=是错误的.因为在000sin (sin )cos lim lim lim 1()1x x x x x x x x →→→'==='中,(sin )cos x x '=这一步用到了0sin lim 1x x x →=.□ 例3(问题1.12的第4题,52P ) 证: 10sin (0,)2x x π=∈,故数列{}n x 严格递减收敛于0.由Stolz 定理，2221222111111lim lim lim lim (1)sin n n n n n n n n nn x x x nx n n n x x +→∞→∞→∞→∞-⎫⎛===-⎪ +-⎝⎭ 22011lim sin x x x →+⎫⎛=-= ⎪⎝⎭222222400sin (sin )lim lim sin ()x x x x x x x x x →+→+'--=' 30(2sin 2)lim 4()x x x x →+'-='200(22cos2)4sin 21lim lim 12()243x x x x x x →+→+'-==='.□ 练习题3.6(182P ) 1(6,8,10,12,13),2,3,4.。

利用导数研究函数的单调性教案教案：利用导数研究函数的单调性一、教学目标1.了解函数的单调性概念，以及单调递增和单调递减的定义；2.掌握利用导数研究函数的单调性的方法；3.能够通过导数的正负性分析函数的单调区间，并作出相应的图像。

二、教学准备1.教师准备：书本、黑板、白板、彩色粉笔、计算器、实例练习题；2.学生准备：笔记本、课本。

三、教学过程1.引入导入（10分钟）导师通过提问等方式，引导学生回顾函数的增减性、最值点等概念，为接下来的学习做铺垫。

2.学习讲解（25分钟）1)导师先通过实例展示导数与函数单调性之间的关系，比如分别给出函数f(x)=x^2和函数g(x)=-x^2的导数，并解释导数大于零时函数单调递增，导数小于零时函数单调递减。

2)导师详细讲解如何利用导数分析函数的单调性：首先，对函数f(x)求导，得到它的导函数f'(x)；其次，求出f'(x)的零点，即导数为零的点。

这些点将把函数f(x)的定义域划分为若干个开区间；然后，对每个开区间分别求取f'(x)的正负性，从而得到导数f'(x)在各开区间的取值范围；最后，结合导数f'(x)的正负性来分析函数f(x)的单调性。

3.实例训练（35分钟）导师通过多个实例进行讲解和学生训练，帮助学生熟悉和掌握利用导数研究函数单调性的方法。

4.小结提问（10分钟）导师通过提问进行小结，确保学生对函数的单调性及利用导数分析函数单调性的方法有一个深入的理解。

五、作业布置给定函数f(x)=2x^3+3x^2-12x+1，设置一个问题，让学生利用导数分析函数的单调性，并解决问题。

六、板书设计函数的单调性单调递增：导数大于零单调递减：导数小于零怎样利用导数研究函数的单调性？1.求导函数2.导函数的零点3.导函数的正负性导函数的正负性与函数的单调性的关系七、教学反思通过本堂课的教学，学生基本能够理解函数的单调性概念，知道如何利用导数研究函数的单调性。

导数在研究函数中的应用导数作为微积分的重要概念，在研究函数中应用广泛。

导数的概念最早由牛顿和莱布尼茨独立提出，它描述了函数变化的速率。

导数的定义是函数在其中一点的变化率，表示函数在这一点附近的斜率。

在函数研究中，导数的应用主要体现在以下几个方面：1.切线和法线：导数可以用来求解函数曲线上其中一点的切线和法线。

切线是函数曲线在其中一点上切过该点的直线，而法线是与切线相垂直的直线。

利用导数的定义，我们可以确定函数曲线上其中一点的斜率，进而得到其切线和法线的方程。

2.极值与拐点：导数可以帮助我们找到函数的极值点和拐点。

在函数的极值点上，导数等于零。

根据这个性质，我们可以利用导数来确定函数的极大值和极小值点。

此外，导数还可以帮助我们确定函数上的拐点，即函数曲线由凸向上转为凹向上或由凹向上转为凸向上的点。

3.函数的单调性：导数还可以帮助我们研究函数的单调性。

如果函数在一些区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上是递增的（或递减的）。

通过分析函数的导数，我们可以确定函数在一些区间上是递增还是递减。

4.函数的凹凸性：导数还可以用来确定函数的凹凸性。

如果函数在一些区间上的导数恒大于零，那么函数在该区间上是凸的；如果函数在一些区间上的导数恒小于零，那么函数在该区间上是凹的。

通过分析函数的导数的变化情况，我们可以确定函数的凹凸区间。

5.近似计算：导数还可以用于近似计算。

在很多实际问题中，函数的导数可以用来近似表示函数在其中一点的变化率。

通过导数近似表示函数的变化率，我们可以很方便地进行问题求解和计算。

总之，导数在研究函数中的应用非常广泛，涵盖了函数的局部性质、全局性质以及近似计算等方面。

通过对导数的研究，我们可以全面了解函数的变化规律和特性，为解决实际问题提供了有力的工具。

导数研究函数的单调性用导数证明、划分函数的单调性是导数最基本的应用，其他性质如极值，最值都必须用到单调性，它比用单调性的定义证明简单。

一、利用导数求函数的单调区间例1、研究函数ax x y +=3的单调性解：因为ax x y +=3，所以a x y +=23'，a>0时，0'>>a y ，函数在),(+∞-∞上是增函数；a=0时，3x y =在),(+∞-∞上增函数；a<0时，设)3')(3'(3'3','2a x a x a x y a a -+=-=-=， 当3'a x -<或3'a x >时，函数是增函数；当3'3'a x a <<-时，函数是减函数， 所以ax x y +=3，这时有三个区间。

二、利用导数比较大小例2、已知a ，b 为实数，且b>a>e ，其中e 为自然数对数的底，求证：a b b a >.分析：通过考察函数的单调性来证明不等式也是常用的一种方法。

根据题目自身的特点，适当的构造函数关系，在建立函数关系时，应尽可能选择求导好判断导数都比较容易的函数，一般地，证明),(),()(b a x x g x f ∈>，可以等价转化为证明0)()()(>-=x g x f x F ，如果0)('>x F ，则函数F （x ）在（a ，b ）上是增函数，如果0)(≥a F ，由增函数的定义可知，当),(b a x ∈时，有0)(>x F ，即).()(x g x f >三、根据单调性求参数例3、已知1)(--=ax e x f x。

（1）求f （x ）的单调区间；（2）若f （x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；（3）是否存在a ，使f （x ）在]0,(-∞上单调递减，在),0[+∞上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由。

利用导数研究函数的性质1． 函数的单调性⑴ 函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为 ；若)(x f '＜0，则)(x f 为 .（逆命题不成立）(2) 如果在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f .注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.(3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法：① 确定函数)(x f 的 ；② 求)(x f '，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；③ 把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间；④ 确定)(x f '在各小开区间内的 ，根据)(x f '的符号判定函数)(x f 在各个相应小开区间内的增减性.2．可导函数的极值⑴ 极值的概念设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且对0x 附近的所有点都有 （或 ），则称)(0x f 为函数的一个极大（小）值．称0x 为极大（小）值点.⑵ 求可导函数极值的步骤： ① 求导数)(x f '；② 求方程)(x f '＝0的 ；③ 检验)(x f '在方程)(x f '＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 .3．函数的最大值与最小值： ⑴ 设y ＝)(x f 是定义在区间[a ,b ]上的函数，y ＝)(x f 在(a ,b )内有导数，则函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上 有最大值与最小值；但在开区间内 有最大值与最小值． (2) 求最值可分两步进行：① 求y ＝)(x f 在(a ,b )内的 值；② 将y ＝)(x f 的各 值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(3) 若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调递增，则)(a f 为函数的 ，)(b f 为函数的 ；若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调递减，则)(a f 为函数的 ，)(b f 为函数的 . 例1. 已知f(x)=e x-ax-1. （1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.解：)(x f '=e x-a.（1）若a ≤0，)(x f '=e x-a ≥0恒成立，即f(x)在R 上递增.若a>0,e x -a ≥0,∴e x≥a,x ≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞). （2）∵f （x ）在R 内单调递增，∴)(x f '≥0在R 上恒成立.∴e x-a ≥0，即a ≤e x在R 上恒成立.∴a ≤（e x ）min ，又∵e x>0，∴a ≤0.（3）方法一 由题意知e x-a ≤0在（-∞，0］上恒成立.∴a ≥e x 在（-∞，0］上恒成立.∵e x在（-∞，0］上为增函数.∴x=0时，e x 最大为1.∴a ≥1.同理可知e x-a ≥0在［0，+∞）上恒成立.∴a ≤e x在［0，+∞）上恒成立.∴a ≤1，∴a=1.方法二 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴)0('f =0,即e 0-a=0,∴a=1.变式训练1. 已知函数f(x)=x 3-ax-1.（1）若f(x)在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：f(x)=x 3-ax-1的图象不可能总在直线y=a 的上方.（1）解 由已知)(x f '=3x 2-a,∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数，∴)(x f '=3x 2-a ≥0在（-∞,+∞）上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立.∵3x 2≥0,∴只需a ≤0,又a=0时，)(x f '=3x 2≥0,故f(x)=x 3-1在R 上是增函数，则a ≤0.（2）解 由)(x f '=3x 2-a ≤0在(-1,1)上恒成立，得a ≥3x 2,x ∈(-1,1)恒成立.∵-1<x<1,∴3x 2<3,∴只需a ≥3.当a=3时，)(x f '=3(x 2-1),在x ∈(-1,1)上，)(x f '<0,即f(x)在（-1，1）上为减函数，∴a ≥3. 故存在实数a ≥3,使f(x)在（-1，1）上单调递减.（3）证明 ∵f(-1)=a-2<a,∴f(x)的图象不可能总在直线y=a 的上方.例2. 已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c,曲线y=f(x ）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=32时，y=f(x ）有极值.（1）求a,b,c 的值；（2）求y=f(x ）在［-3，1］上的最大值和最小值.解 （1）由f(x)=x 3+ax 2+bx+c,得)(x f '=3x 2+2ax+b,当x=1时，切线l 的斜率为3，可得2a+b=0 ①当x=32时，y=f(x)有极值，则⎪⎭⎫ ⎝⎛'32f =0,可得4a+3b+4=0 ②由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4. ∴1+a+b+c=4.∴c=5.（2）由（1）可得f(x)=x 3+2x 2-4x+5,∴)(x f '=3x 2+4x-4, 令)(x f '=0,得x=-2,x=32.当x 变化时，y,y ′的取值及变化如下表：x-3 (-3,-2)-2⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,232⎪⎭⎫ ⎝⎛1,32 1y′ + 0 - 0 + y8单调递增 ↗ 13 单调递减 ↘ 2795 单调递增↗4∴y=f （x ）在［-3，1］上的最大值为13，最小值为.2795 变式训练2. 函数y=x 4-2x 2+5在区间［-2,2］上的最大值与最小值.解 先求导数,得y ′=4x 3-4x,令y ′=0,即4x 3-4x=0.解得x 1=-1,x 2=0,x 3=1. 导数y ′的正负以及f(-2),f(2)如下表:x -2 (-2,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 y′ - 0 + 0 - 0 +y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13从上表知,当x=±2时,函数有最大值13,当x=±1时,函数有最小值4.例3. 已知函数f(x)=x 2e -ax(a ＞0),求函数在［1，2］上的最大值.解 ∵f （x ）=x 2e -ax （a ＞0）,∴)(x f '=2xe -ax +x 2·（-a)e -ax =e -ax (-ax 2+2x). 令)(x f '>0,即e -ax (-ax 2+2x)>0,得0<x<a2. ∴f(x)在（-∞,0),⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,2a上是减函数，在⎪⎭⎫⎝⎛a 2,0上是增函数.①当0<a2<1,即a>2时,f(x ）在（1，2）上是减函数, ∴f （x ）max =f （1）=e -a. ②当1≤a2≤2,即1≤a ≤2时， f(x)在⎪⎭⎫ ⎝⎛a 2,1上是增函数，在⎪⎭⎫⎝⎛2,2a上是减函数，∴f(x)max =f ⎪⎭⎫ ⎝⎛a 2=4a -2e -2.③当a2>2时，即0<a<1时，f(x)在（1，2）上是增函数， ∴f （x ）max =f （2）=4e -2a.综上所述，当0<a<1时，f(x)的最大值为4e -2a,当1≤a ≤2时，f(x)的最大值为4a -2e -2,当a>2时，f(x)的最大值为e -a.变式训练3. 设函数f(x)=-x(x-a)2(x ∈R ),其中a ∈R .（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（2，f(2))处的切线方程； （2）当a ≠0时，求函数f(x)的极大值和极小值.解：（1）当a=1时，f(x)=-x(x-1)2=-x 3+2x 2-x,f(2)=-2,)(x f '=-3x 2+4x-1, =')2(f -12+8-1=-5,∴当a=1时，曲线y=f(x)在点（2,f(2))处的切线方程为 5x+y-8=0.（2）f(x)=-x(x-a)2=-x 3+2ax 2-a 2x,)(x f '=-3x 2+4ax-a 2=-(3x-a)(x-a), 令)(x f '=0,解得x=3a或x=a. 由于a ≠0，以下分两种情况讨论.①若a>0，当x 变化时，)(x f '的正负如下表：x(-∞,3a ) 3a (3a ,a) a (a,+∞) )(x f '- 0+ 0 - f(x)↘3274a - ↗↘因此，函数f(x)在x=3a 处取得极小值f （3a）， 且f （3a ）=-;2743a函数f(x)在x=a 处取得极大值f(a),且f(a)=0.②若a<0，当x 变化时，)(x f '的正负如下表： x(-∞,a) a (a,3a ) 3a (3a,+∞) )(x f '- 0 + 0 -f(x)↘↗-3274a ↘因此，函数f(x)在x=a 处取得极小值f(a),且f(a)=0； 函数f(x)在x=3a 处取得极大值f （3a）, 且f （3a ）=-3274a .例4. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a ≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（9≤x ≤11）时，一年的销售量为(12-x)2万件. （1）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q （a ）.解 （1）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x)2,x ∈［9,11］.(2))(x L ' =(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x). 令'L =0得x=6+32a 或x=12（不合题意，舍去）. ∵3≤a ≤5,∴8≤6+32a ≤328. 在x=6+32a 两侧L ′的值由正变负.所以①当8≤6+32a ＜9即3≤a ＜29时，L max =L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a). ②当9≤6+32a ≤328，即29≤a ≤5时，L max =L(6+32a)=(6+32a-3-a)［12-(6+32a)］2=4(3-31a)3.所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-<≤-=.529,3134,293),6(9)(3a a a a a Q答 若3≤a ＜29，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q （a ）=9(6-a)（万元）；若29≤a ≤5，则当每件售价为(6+32a)元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q(a)=33134⎪⎭⎫ ⎝⎛-a (万元).变式训练4：某造船公司年造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为R(x)=3 700x+45x 2-10x 3（单位：万元），成本函数为C(x)=460x+5 000（单位：万元），又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).（1）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；（提示：利润=产值-成本） （2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？ （3）求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？解：（1）P(x)=R(x)-C(x)=-10x 3+45x 2+3 240x-5 000(x ∈N *，且1≤x ≤20);MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x 2+60x+3 275 (x ∈N *,且1≤x ≤19).（2）)(x P '=-30x 2+90x+3 240=-30(x-12)(x+9), ∵x>0,∴)(x P '=0时,x=12，∴当0<x<12时，)(x P '>0,当x>12时，)(x P '<0,∴x=12时，P(x)有最大值.即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大.（3）MP(x)=-30x 2+60x+3 275=-30(x-1)2+3 305. 所以，当x ≥1时，MP(x)单调递减，所以单调减区间为［1，19］，且x ∈N *.MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少.研究可导函数)(x f 的单调性、极值（最值）时，应先求出函数)(x f 的导函数)('x f ，再找出)('x f ＝0的x 取值或)('x f >0()('x f <0)的x 的取值范围．。

利用导数研究函数的性质导数是微积分中的重要概念之一，它可以帮助我们研究函数的性质。

本文将介绍如何利用导数研究函数的极值、范围与曲线形状等方面的性质。

首先，导数可以帮助我们找到函数的极值。

对于一个连续可微的函数而言，其极值点可以通过求导数并令导数等于零来确定。

具体而言，我们先求函数的导函数，然后找到导函数的零点，即求得函数的极值点。

通过求导数的方法，我们可以确定函数的极大值或者极小值，并进一步分析函数在这些点的增减性与凹凸性。

其次，导数也可以帮助我们研究函数的增减性与凹凸性。

如果函数的导数在一些区间内始终大于零，那么函数在该区间内是递增的；如果导数在一些区间内始终小于零，那么函数在该区间内是递减的。

通过求导数，我们可以确定函数在不同区间内的增减情况。

同样地，函数的凹凸性可以通过分析导数的二阶导数来确定。

如果函数的二阶导数在一些区间内始终大于零，那么函数在该区间内是凹的；如果二阶导数在一些区间内始终小于零，那么函数在该区间内是凸的。

再次，导数还可以帮助我们确定函数的范围。

如果函数在一些区间内的导数始终大于零，那么函数在该区间内是上升的；如果导数在一些区间内始终小于零，那么函数在该区间内是下降的。

通过分析导数的正负性，我们可以确定函数的增减范围。

另外，函数的最大值和最小值也可以通过求导函数的极值点来确定。

最后，导数还可以帮助我们研究函数的曲线形状。

通过分析导数的零点以及正负性，我们可以确定函数的临界点和拐点。

临界点是函数曲线上的点，在这些点上函数的斜率为零。

拐点是函数曲线上的点，在这些点上函数的曲率发生变化。

通过分析这些点的位置和性质，我们可以了解函数曲线的形状。

综上所述，导数在研究函数的性质方面有着重要的作用。

它可以帮助我们确定函数的极值点、范围、增减性与凹凸性，以及曲线的形状。

在实际应用中，利用导数可以帮助我们优化函数、解决最优化问题等。

因此，对导数的研究是微积分中基础而重要的内容。

（五）利用导数研究函数的性质【知识精讲】导数在研究函数中的应用：1、利用导数求函数()y f x =单调区间的步骤：① 确定()f x 的定义域； ② 求导数'()f x ；③ 令'()0f x >，解不等式从而在定义域内确定()f x 的递增区间， 令'()0f x <，解不等式从而在定义域内确定()f x 的递减区间.2、对于含参数的函数()y f x =，若已知此函数在某区间单调递增（或单调递减），则此函数的导函数'()0f x ≥（或'()0f x ≤）在此区间上恒成立.处理恒成立问题，常用图象法或分离参数法，从而可求得参数的取值范围.3、求可导函数 )(x f y =极值的步骤：① 确定函数的定义域；② 求导数；③ 求方程'0y =的根，这些根也称为可能极值点；④ 检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点.如果左正右负，那么)(x f y =在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么)(x f y =在这个根处取得极大值.4、在区间 []b a ,上求函数 )(x f y =的最大值与最小值 的步骤：① 函数 )(x f y =在),(b a 内有导数．．． ；．② 求函数 )(x f y =在),(b a 内的极值③ 将．函数)(x f y =在),(b a 内的极值与)(),(b f a f 比较，其中最大的一个为最大值 ，最小的一个为最小值.【例题选讲】例1.【2014·全国大纲卷（理22）】已知函数3()ln(1)3x f x x x =+-+.讨论()f x 的单调性；例2.【2014·山东卷（文20）】（本小题满分13分）设函数1()ln 1x f x a x x -=++ ，其中a 为常数. （Ｉ）若0a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（II ）讨论14a =-时函数()f x 的单调性.例3.【2014·福建卷（理20）】已知函数()ax e x f x -=（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线()x f y =在点A 处的切线斜率为-1.求a 的值及函数()x f 的极值；例4.【2014·四川卷（文21）】已知函数3()12x f x e x =--，求函数()f x 在区间[0,1]上的最值；【练习巩固】1.求函数ln ()x f x x=的单调区间.2.设函数22()(ln )x e f x x x x=++求函数()f x 的单调区间3..【2014·湖南卷（理22）】已知常数20,()ln(1).2x a f x ax x >=+-+函数讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；4.【2014·安徽卷（理19，文20）】（本小题满分13分）设函数238()13f x x x x =+--，其中0a >. (Ⅰ)讨论()f x 在其定义域上的单调性；(Ⅱ)当[]0,1x ∈时，求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值5.【2014·江西卷（理18）】已知函数. （1）当时，求的极值；(2)若在区间上单调递增，求b 的取值范围.。