【配套课件】《创新设计·高考一轮总复习》数学 浙江专用(理)第十四篇 系列4选讲(IB部分)第4讲

第4讲 平面向量的应用基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )A. 5 B ．2 5 C ．5D ．10解析 ∵AC →·BD →＝0，∴AC →⊥BD →，∴四边形ABCD 的面积S ＝12|AC →|·|BD →|＝12×5×25＝5. 答案 C2．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析 由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2， 得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0,2AC →·BA →＝0， ∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|， 故△ABC 一定是直角三角形． 答案 C3．(2014·温州调研)在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，则AB →·AC →＝( )A ．2 3B ．2C ．－2 3D ．－2解析 由余弦定理得 cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝22＋22－(23)22×2×2＝－12，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2，故选D.答案 D4．已知|a |＝2|b |，|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x －a ·b ＝0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是( )A ．－π6B ．－π3 C.π3D.2π3 解析 由已知可得Δ＝|a |2＋4a ·b ＝0， 即4|b |2＋4×2|b |2cos θ＝0， ∴cos θ＝－12， 又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3. 答案 D5．(2015·杭州质量检测)设O 是△ABC 的外心(三角形外接圆的圆心)．若AO →＝13AB →＋13AC →，则∠BAC 的度数等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析 取BC 的中点D ，连接AD ，则AB →＋AC →＝2 AD →.由题意得3AO →＝2AD →，∴AD 为BC 的中线且O 为重心．又O 为外心，∴△ABC 为正三角形，∴∠BAC ＝60°，故选C. 答案 C 二、填空题6．(2015·广州综合测试)在△ABC 中，若A B →·A C →＝A B →·CB →＝2，则边AB 的长等于________．解析 由题意知AB →·AC →＋AB →·CB →＝4，即AB →·(AC →＋CB →)＝4，即AB →·A B →＝4，∴|AB →|＝2. 答案 27．(2014·天津十二区县重点中学联考)在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EC →·EM →的最大值为________．解析 以点A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则C (1,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，设E (x,0)，x ∈[0,1]，则EC →·EM →＝(1－x,1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x ，12＝(1－x )2＋12，x ∈[0,1]单调递减，当x ＝0时，EC →·EM →取得最大值32. 答案 328．(2015·太原模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值与最小值的和为________．解析 由题意可得a ·b ＝3cos θ－sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，则|2a －b |＝(2a －b )2＝4|a |2＋|b |2－4a ·b ＝8－8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6∈[0,4]，所以|2a －b |的最大值与最小值的和为4. 答案 4 三、解答题9．(2015·杭州第二中学模拟)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，32，b ＝(cos x ，－1)． (1)当a ∥b 时，求tan 2x 的值；(2)求函数f (x )＝(a ＋b )·b 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的值域．解 (1)∵a ∥b ，∴sin x ·(－1)－32·cos x ＝0，即sin x ＋32cos x ＝0，tan x ＝－32，∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝125.(2)f (x )＝(a ＋b )·b ＝a ·b ＋b 2 ＝sin x cos x －32＋cos 2x ＋1 ＝12sin 2x －32＋12cos 2x ＋12＋1 ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. ∵－π2≤x ≤0，∴－π≤2x ≤0，－3π4≤2x ＋π4≤π4， ∴－22≤22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤12，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，12.10．(2014·陕西卷)在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上． (1)若P A →＋PB →＋PC →＝0，求|OP →|；(2)设OP →＝mAB →＋nAC →(m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 解 (1)法一 ∵P A →＋PB →＋PC →＝0，又P A →＋PB →＋PC →＝(1－x,1－y )＋(2－x,3－y )＋(3－x,2－y )＝(6－3x,6－3y )， ∴⎩⎨⎧ 6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2， 即OP →＝(2,2)，故|OP →|＝2 2. 法二 ∵P A →＋PB →＋PC →＝0，则(OA →－OP →)＋(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)＝0， ∴OP →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝(2,2)， ∴|OP →|＝2 2.(2)∵OP →＝mAB →＋nAC →， ∴(x ，y )＝(m ＋2n,2m ＋n )， ∴⎩⎨⎧x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，两式相减得，m －n ＝y －x ，令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.能力提升题组 (建议用时：35分钟)11．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点和最低点，且OM →·ON →＝0(O 为坐标原点)，则A 等于( )A.π6B.712πC.76πD.73π 解析 由题意知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，A ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫712π，－A ，又OM →·ON →＝π12×712π－A 2＝0，∴A ＝712π. 答案 B12．(2015·舟山联考)已知在平面直角坐标系中，O (0,0)，M (1,1)，N (0,1)，Q (2,3)，动点P (x ，y )满足不等式0≤OP →·OM →≤1,0≤OP →·ON →≤1，则z ＝OQ →·OP →的最大值为________．解析 OP →＝(x ，y )，OM →＝(1,1)，ON →＝(0,1)， ∴OP →·OM →＝x ＋y ，OP →·ON →＝y ，即在⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋y ≤1，0≤y ≤1条件下，求z ＝2x ＋3y 的最大值，由线性规划知识，当x ＝0，y＝1时，z max ＝3. 答案 313．在△ABC 中，A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2，设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP →＝－2，则λ＝________. 解析 ∵BQ →＝AQ →－AB →＝(1－λ)AC →－AB →， CP →＝AP →－AC →＝λAB →－AC →，∴BQ →·CP →＝－2⇒[(1－λ)AC →－AB →]·[λAB →－AC →]＝－2，化简得(1－λ)λAC →·AB →－(1－λ)AC →2－λAB →2＋AB →·AC →＝－2，又因为AC →·AB →＝0，AC →2＝4，AB →2＝1，所以解得λ＝23. 答案 2314．(2015·绍兴五校联考)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x 4.(1)若m ·n ＝1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围． 解 m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x4 ＝32sin x 2＋12×cos x 2＋12 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12.(1)∵m ·n ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得 (2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin C cos B ＋sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0， ∴cos B ＝12，B ＝π3.∴0＜A ＜2π3. ∴π6＜A 2＋π6＜π2， 12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＜1.又∵f (x )＝m ·n ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12，故1＜f (A )＜32.故函数f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.15．如图所示，已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的一动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线交轨迹C 于A 、B 两点，交直线l 于点M .已知MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，求λ1＋λ2的值．解 (1)设点P (x ，y )，则Q (－1，y )，由QP →·QF →＝FP →·FQ →，得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x . (2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－2m ，联立方程⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得y 2－4my －4＝0，Δ＝(－4m )2＋16>0， 故⎩⎨⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 由MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，得y 1＋2m ＝－λ1y 1，y 2＋2m ＝－λ2y 2，整理，得 λ1＝－1－2my 1，λ2＝－1－2my 2，所以λ1＋λ2＝－2－2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 1＋1y 2＝－2－2m ·y 1＋y 2y 1y 2＝－2－2m ·4m－4＝0.。

(建议用时：60分钟) 一、选择题1.若向量a ＝(k ＋2，1)与向量b ＝(－b ，1)共线，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( ) A.(1，－2) B.(1，2) C.(－1，2)D.(－1，－2)解析 由于向量a ＝(k ＋2，1)与向量b ＝(－b ，1)共线，则k ＋2＝－b ，即b ＝－2－k ，于是直线方程化为y ＝kx －k －2，即y ＋2＝k (x －1)，故直线必过定点(1，－2)，选A. 答案 A2.过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎝⎛⎦⎥⎤0，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3解析 由题意知过点P 的直线斜率存在，设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线和圆有公共点知|3k －1|1＋k 2≤1.解得0≤k ≤ 3.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.答案 D3.过点M (1，2)的直线l 与圆C ：(x －2)2＋y 2＝9交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为( ) A.x ＝1B.y ＝1C.x －y ＋1＝0D.x －2y ＋3＝0解析 当CM ⊥l ，即弦长最短时，∠ACB 最小，k CM ＝－2， ∴k l ·k CM ＝－1，∴k l ＝12，∴l 的方程为：x －2y ＋3＝0. 答案 D4.在圆x 2＋y 2＝4上与直线l ：4x ＋3y －12＝0的距离最小的点的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫85，65 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫85，－65 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，65 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，－65 解析过圆(0，0)与直线l 垂直的直线方程为3x －4y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝0，x 2＋y 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝65或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－85，y ＝－65.结合图形可知所求点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫85，65. 答案 A5.(2022·东阳中学模拟)已知两点A (－1，0)，B (0，2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△P AB 面积的最大值与最小值分别是( ) A.2，12(4－5) B.12(4＋5)，12(4－5) C.5，4－ 5D.12(5＋2)，12(5－2)解析 如图，圆心(1，0)到直线AB ： 2x －y ＋2＝0的距离为d ＝45， 故圆上的点P 到直线AB 的距离的最大值是45＋1， 最小值是45－1，又|AB |＝5， 故△P AB 面积的最大值和最小值分别是2＋52，2－52. 答案 B6.(2022·阜阳一模)设曲线C 的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线上的点到直线l 的距离为71010的点的个数为( ) A.1B.2C.3D.4解析 由(x －2)2＋(y ＋1)2＝9， 得圆心坐标为(2，－1)，半径r ＝3， 圆心到直线l 的距离d ＝|2＋3＋2|1＋（－3）2＝710＝71010. 要使曲线上的点到直线l 的距离为71010， 此时对应的点在直径上，故有两个点.答案 B二、填空题7.在平面直角坐标系内，到点A (1，2)，B (1，5)，C (3，6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________.解析 设平面上任一点M ，由于|MA |＋|MC |≥|AC |，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，若|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 为所求.又k AC ＝6－23－1＝2，∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.① 又k BD ＝5－（－1）1－7＝－1，∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0.② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，∴M (2，4).答案 (2，4)8.直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝______.解析 由题意知，直线l 1截圆所得的劣弧长为π2，则圆心到直线l 1的距离为22，即|a |2＝22，则a 2＝1.同理可得b 2＝1，则a 2＋b 2＝2. 答案 29.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________. 解析 圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4，0). 由题意知(4，0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2，即|4k －2|k 2＋1≤2.整理，得3k 2－4k ≤0.解得0≤k ≤43. 故k 的最大值是43. 答案 43 三、解答题10.已知实数x ，y 满足方程(x －3)2＋(y －3)2＝6，求x ＋y 的最大值和最小值. 解 设x ＋y ＝t ，则直线y ＝－x ＋t 与圆(x －3)2＋(y －3)2＝6有公共点. ∴|3＋3－t |2≤6，∴6－23≤t ≤6＋2 3. 故x ＋y 的最小值为6－23，最大值为6＋2 3.11.已知矩形ABCD 的对角线交于点P (2，0)，边AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，点(－1，1)在边AD 所在的直线上.(1)求矩形ABCD 的外接圆的方程；(2)已知直线l ：(1－2k )x ＋(1＋k )y －5＋4k ＝0(k ∈R )，求证：直线l 与矩形ABCD 的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l 的方程. (1)解 ∵l AB ：x －3y －6＝0且AD ⊥AB ， 点(－1，1)在边AD 所在的直线上， ∴AD 所在直线的方程是y －1＝－3(x ＋1)， 即3x ＋y ＋2＝0.由⎩⎨⎧x －3y －6＝0，3x ＋y ＋2＝0，得A (0，－2).∴|AP |＝4＋4＝22， ∴矩形ABCD 的外接圆的方程是(x －2)2＋y 2＝8.(2)证明 直线l 的方程可化为k (－2x ＋y ＋4)＋x ＋y －5＝0，l 可看作是过直线－2x ＋y ＋4＝0和x ＋y －5＝0的交点(3，2)的直线系，即l 恒过定点Q (3，2)，由(3－2)2＋22＝5<8知点Q 在圆P 内， 所以l 与圆P 恒相交.设l 与圆P 的交点为M ，N ，则|MN |＝28－d 2(d 为P 到l 的距离)， 设PQ 与l 的夹角为θ，则d ＝|PQ |·sin θ＝5sin θ，当θ＝90°时，d 最大，|MN |最短.此时l 的斜率为PQ 的斜率的负倒数，即－12， 故l 的方程为y －2＝－12(x －3)，x ＋2y －7＝0.12.(2022·陕西卷)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(0，3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0). (1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：y ＝－12x ＋m 与椭圆交于A ，B 两点，与以F 1F 2为直径的圆交于C ，D 两点，且满足|AB ||CD |＝534，求直线l 的方程.解 (1)由题设知⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c a ＝12，b 2＝a 2－c 2，解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知，以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1， ∴圆心到直线l 的距离d ＝2|m |5，由d ＜1，得|m |＜52.(*) ∴|CD |＝21－d 2＝21－45m 2＝255－4m 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 23＝1，得x 2－mx ＋m 2－3＝0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－3. ∴|AB |＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122[m 2－4（m 2－3）] ＝1524－m 2. 由|AB ||CD |＝534，得4－m 25－4m 2＝1，解得m ＝±33，满足(*).∴直线l 的方程为y ＝－12x ＋33或y ＝－12x －33.。

第2讲排列与组合分层A级基础达标演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·全国)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()．A．12种B．18种C．24种D．36种解析先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A33种不同的排法．再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A12种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有A33·A12·1＝12(种)不同的排列方法．答案 A2．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有()．A．24种B．60种C．90种D．120种解析可先排C、D、E三人，共A35种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步计数原理满足条件的排法共A35＝60(种)．答案 B3．如果n是正偶数，则C0n＋C2n＋…＋C n－2＋C n n＝()．nA．2n B．2n－1C．2n－2D．(n－1)2n－1解析(特例法)当n＝2时，代入得C02＋C22＝2，排除答案A、C；当n＝4时，代入得C04＋C24＋C44＝8，排除答案D.故选B.答案 B4．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为()．A．42 B．30C．20 D．12解析可分为两类：两个节目相邻或两个节目不相邻，若两个节目相邻，则有A22A16＝12种排法；若两个节目不相邻，则有A26＝30种排法．由分类计数原理共有12＋30＝42种排法(或A27＝42)．答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·汕头调研)如图，电路中共有7个电阻与一个电灯A，若灯A不亮，因电阻断路的可能性共有________种情况．解析每个电阻都有断路与通路两种状态，图中从上到下的三条支线路，分别记为支线a、b、c，支线a，b中至少有一个电阻断路情况都有22－1＝3种；支线c中至少有一个电阻断路的情况有23－1＝7种，每条支线至少有一个电阻断路，灯A就不亮，因此灯A不亮的情况共有3×3×7＝63种情况．答案636．(2013·郑州模拟)从－3，－2，－1,0,1,2,3,4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c的取值，问共能组成________个不同的二次函数．解析a，b，c中不含0时，有A37个；a，b，c中含有0时，有2A27个．故共有A37＋2A27＝294个不同的二次函数．答案294三、解答题(共25分)7．(12分)7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种．(1)A，B必须当选；(2)A，B必不当选；(3)A，B不全当选；(4)至少有2名女生当选；(5)选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．解(1)由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，故有C310＝120种选法．(2)从除去的A，B两人的10人中选5人即可，故有C510＝252种选法．(3)全部选法有C512种，A，B全当选有C310种，故A，B不全当选有C512－C310＝672种选法．(4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行．所以有C512－C15·C47－C57＝596种选法．(5)分三步进行；第1步，选1男1女分别担任两个职务有C17·C15种选法．第2步，选2男1女补足5人有C26·C14种选法．第3步，为这3人安排工作有A33方法．由分步乘法计数原理，共有C17C15·C26C14·A33＝12 600种选法．8．(13分)直线x＝1，y＝x，将圆x2＋y2＝4分成A，B，C，D四个区域，如图用五种不同的颜色给他们涂色，要求共边的两区域颜色互异，每个区域只涂一种颜色，共有多少种不同的涂色方法？解法一第1步，涂A区域有C15种方法；第2步，涂B区域有C14种方法；第3步，涂C区域和D区域：若C区域涂A区域已填过颜色，则D区域有4种涂法；若C区域涂A、B剩余3种颜色之一，即有C13种涂法，则D区域有C13种涂法．故共有C15·C14·(4＋C13·C13)＝260种不同的涂色方法．法二共可分为三类：第1类，用五色中两种色，共有C25A22种涂法；第2类，用五色中三种色，共有C35C13C12A22种涂法；第3类，用五色中四种色，共有C45A44种涂法．由分类加法计数原理，共有C25A22＋C35C13C12A22＋C45A44＝260种不同的涂色方法．分层B级创新能力提升1．在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质的排列方式共有()．A．576种B．720种C．864种D．1 152种解析由题意，先排1,3,5,7，有A44种排法；再排6，由于6不能和3相邻，故6有3种排法；最后排2和4，在不与6相邻的4个空中排上2和4，有A24种排法，所以共有A44×3×A24＝864种排法．答案 C2．(2012·山东)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()．A．232 B．252C．472 D．484解析若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有C14×C14×C14＝64种，若2张同色，则有C23×C12×C24×C14＝144种；若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C14×C23×C14×C14＝192种，乘余2张同色，则有C14×C13×C24＝72种，所以共有64＋144＋192＋72＝472种不同的取法．故选C.答案 C3．(2013·深圳模拟)某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2,3张为不同花色的A，有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人不同的出牌方法共有________种．解析出牌的方法可分为以下几类：(1)5张牌全部分开出，有A55种方法；(2)2张2一起出，3张A一起出，有A25种方法；(3)2张2一起出，3张A分3次出，有A45种方法；(4)2张2一起出，3张A分两次出，有C23A35种方法；(5)2张2分开出，3张A一起出，有A35种方法；(6)2张2分开出，3张A分两次出，有C23A45种方法．因此，共有不同的出牌方法A55＋A25＋A45＋C23A35＋A35＋C23A45＝860(种)．答案8604．小王在练习电脑编程，其中有一道程序题的要求如下：它由A，B，C，D，E，F六个子程序构成，且程序B必须在程序A之后，程序C必须在程序B之后，执行程序C后须立即执行程序D，按此要求，小王的编程方法有__________种．解析对于位置有特殊要求的元素可采用插空法排列，把CD看成整体，A，B，C，D产生四个空，所以E有4种不同编程方法，然后四个程序又产生5个空，所以F 有5种不同编程方法，所以小王有20种不同编程方法． 答案 205．某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中：(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？解 (1)只需从其他18人中选3人即可，共有C 318＝816(种)；(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C 518＝8 568(种)；(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有C 12C 418＋C 318＝6 936(种)；(4)法一 (直接法)：至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，所以共有C 112C 48＋C 212C 38＋C 312C 28＋C 412C 18＝14 656(种)．法二 (间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C 520－(C 512＋C 58)＝14 656(种)．6．在m (m ≥2)个不同数的排列p 1p 2…p m 中，若1≤i ＜j ≤m 时p i ＞p j (即前面某数大于后面某数)，则称p i 与p j 构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列(n ＋1)n (n －1)…321的逆序数为a n .如排列21的逆序数a 1＝1，排列321的逆序数a 2＝3，排列4 321的逆序数a 3＝6.(1)求a 4、a 5，并写出a n 的表达式；(2)令b n ＝a n a n ＋1＋a n ＋1a n，证明：2n ＜b 1＋b 2＋…＋b n ＜2n ＋3，n ＝1,2，…. (1)解 由已知条件a 4＝C 25＝10，a 5＝C 26＝15，则a n ＝C 2n ＋1＝n (n ＋1)2.(2)证明 b n ＝a n a n ＋1＋a n ＋1a n ＝n n ＋2＋n ＋2n ＝2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ∴b 1＋b 2＋…＋b n＝2n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2 ＝2n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2， ∴2n ＜b 1＋b 2＋…＋b n ＜2n ＋3.。