《第26章离散量的最大值和最小值问题》竞赛专题复习含答案

第1章一.填空题1.2. 公式P→(Q→R)在联结词全功能集{﹁,∨}中等值形式为___________________。

3.4.5.6.7. 全体小项的析取式必为____________________式。

8. P,Q为两个命题，则德摩根律可表示为7. 全体小项的析取式必为_________式。

9. P,Q为两个命题，则吸收律可表示为____________________ 。

10. 设P：我有钱，Q：我去看电影。

命题“虽然我有钱，但是我不去看电影”符号化为_____ _______________。

11. 设P：我生病，Q：我去学校。

命题“如果我生病，那么我不去学校”符号化为_________ ___________。

12.13.14.15. 设P、Q为两个命题，交换律可表示为____________________。

16.17. 命题“如果你不看电影，那么我也不看电影”（P：你看电影，Q：我看电影）的符号化为____________________ 。

18.19.20.21. P：你努力，Q：你失败。

命题“除非你努力，否则你将失败”的翻译为_______________ _____。

22.23.24. 一个重言式和一个矛盾式的合取是____________________。

25. 全体小项的析取式为____________________ 。

26. 命题“如果你不看电影，那么我也不看电影”（P：你看电影，Q：我看电影）的符号化为____________________。

27.28. 设P：它占据空间，Q：它有质量，R：它不断运动，S：它叫做物质。

命题“占据空间的，有质量的而且不断运动的叫做物质”的符号化为____________________。

29.30.二.选择题1.2.3. 在除﹁之外的四大联结词中，满足结合律的有几个( )。

A. 2B.3C. 4D. 14. 判断下列语句哪个是命题( )。

离散数学试题与答案试卷一一、填空20% （每小题2分）1．设}7|{)},5()(|{<∈=<∈=+xExxBxNxxA且且（+=⋃BA{0，1，2，3，4，6} 。

2．A，B，C表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为。

3R，S的真值为1，则)()))(((SRPRQP⌝∨→⌝∧→∨⌝的真值= 1 。

4．公式PRSRP⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为)()(RSPRSP∨⌝∨⌝∧∨∨⌝。

5．若解释I的论域D仅包含一个元素，则)()(xxPxxP∀→∃在I下真值为1 。

6．设A={1，2，3，4}，A上关系图为则R2 = {<a.b>,<a,c>,<a,d>,<b,d>,<c,d> 。

7．设A={a，b，c，d}，其上偏序关系R的哈斯图为则R= {<a.b>,<a,c>,<a,d>,<b,d>,<c,d>} I A。

8．图的补图为9．设A={a，b，c，d} ，A上二元运算如下：那么代数系统<A，*>的幺元是 a ，有逆元的元素为a , b , c ,d，它们的逆元分别为 a , d , c , d 。

10．下图所示的偏序集中，是格的为 c 。

二、选择20% （每小题2分）1、下列是真命题的有（CD）A．}}{{}{aa⊆；B．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ；C．}},{{ΦΦ∈Φ；D．}}{{}{Φ∈Φ。

2、下列集合中相等的有（BC ）A．{4，3}Φ⋃；B．{Φ，3，4}；C．{4，Φ，3，3}；D．{3，4}。

3、设A={1，2，3}，则A上的二元关系有（ C ）个。

A．23 ；B．32 ；C．332⨯；D．223⨯。

4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（A ）A．若R，S 是自反的，则SR 是自反的；B．若R，S 是反自反的，则SR 是反自反的；C ．若R ，S 是对称的， 则S R是对称的；D ．若R ，S 是传递的， 则S R 是传递的。

初中数学比赛专题选讲 ( 初三 .20)最大 最小值一、内容概要1.求二次函数 y=ax 2+bx+c(a ≠ 0) ，的最大、最小值常用两种方法：①配方法：原函数可化为y=a(x+b ) 2+ 4ac b 2 .2a 4a∵在实数范围内 (x+ b) 2≥ 0，2a∴若 a>0 时，当 x=－b时， y最小值=4acb 2 ；2a4a若 a<0 时，当 x=－b时， y 最大值 =4acb 2 .2a4a②鉴别式法：原函数可化为对于x 的二次方程 ax 2+bx+c －y=0.∵ x 在全体实数取值时，∴ △≥ 0即 b 2－ 4a(c － y) ≥ 0，4ay ≥ 4ac －b 2 .若 a>0， y ≥若 a<0， y ≤4ac b 24a4ac b 24a24acb，这时取等号，则 y 为最小值；24acb，这时取等号，则 y 为最大值.有时自变量 x 定在某个区间内取值，求最大、最小值时，要用来临界点，一般用配方法方便 .2.用上述两种方法，可推出以下两个定理：定理一：两个正数的和为定值时，当两数相等时，其积最大.最大值是定值平方的四分之一 .比如：两正数 x 和 y ，假如 x+y=10, 那么 xy 的积有最大值，最大值是 25.定理二：两个正数的积为定值时，当两数相等时，其和最小. 最小值是定值的算术平方根的 2 倍 .比如：两正数 x 和 y ，假如 xy=16,那么 x+y 有最小值，最小值是8.证明定理一，可用配方法，也叫结构函数法.设 a>0,b>0,a+b=k .(k 为定值 ).2 那么 ab=a(k － a)= －a 2+ka=－ (a － 1k) 2+k.242当 a= k 时， ab 有最大值k.24证明定理二，用鉴别式法，也叫结构方程法 .设 a>0,b>0,ab=k (k 为定值 ) ，再设 y=a+b.那么 y=a+ k,a 2－ ya+k=0. （这是对于 a 的二次议程方程）a∵ a 为正实数，∴△≥ 0.即 ( － y) 2－ 4k ≥0， y 2－ 4k ≥ 0.∴y ≤－ 2 k ( 不合题意舍去 ) ； y≥ 2 k .∴ y 最小值 =2 k .解方程组a b 2 k ， 得 a=b= k .abk.∴当 a=b= k 时， a+b 有最小值 2k .3. 在几何中，求最大、最小值还有以下定理： 定理三： 一条边和它的对角都有定值的三角形，其余两边的和有最大值 .当这两边相等时，其和的值最大.定理四：一条边和这边上的高都有定值的三角形，其余两边的和有最小值 .当这两边相等时，其和的值最小 .定理五：周长相等的正多边形，边数许多的面积较大；任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积.二、例题例 1.已知： 3x2+2y2 =6x,x 和 y 都是实数，求： x2+y2的最大、最小值 .解：由已知y2=6x3x 2,∵ y 是实数，∴ y2≥ 0.2即 6 x3x2≥ 0， 6x －3x2≥ 0， x 2－ 2x ≤ 0.2解得0≤ x≤ 2.这是在区间内求最大、最小值，一般用配方法，x2 +y2=x2+6x3x2=－1 ( x － 3) 2 + 9222在区间 0≤ x≤ 2 中，当 x=2时， x2 +y2有最大值 4.∴当 x=0 时， x2+y2=0 是最小值 .例 2.已知：一个矩形周长的数值与它面积的数值相等.求：这个矩形周长、面积的最小值 .解：用结构方程法 .设矩形的长，宽分别为 a,b其周长、面积的数值为 k.那么 2(a+b)=ab=k.即a b1k，2ab k.∴a 和 b 是方程x2－1kx+k=0的两个实数根 . 2∵a, b 都是正实数，∴△≥ 0.即( －k) 2－ 4k≥ 0. 2解得 k ≥ 16；或 k ≤ 0 .k ≤ 0 不合题意舍去.∴当k ≥ 16 取等号时，a+b,ab的值最小，最小值是16.即这个矩形周长、面积的最小值是16.例 3. 如图△ ABC 的边 BC=a, 高 AD=h, 要剪下一个 矩形 EFGH ，问 EH 取多少长时，矩形的面积最大？最大面积是多少？解：用结构函数法 A设 EH=x, S 矩形 =y,则 GH=y.HhxG∵△ AHG ∽△ ABC ，BXCEa DFyh x .∴xah∴ y=ax( h x) a( x h )2 ah .hh 2 4∴当 x= h时， y 最大值 = ah.2 4即当 EH=h时，矩形面积的最大值是ah .24例 4. 如图已知：直线 m ∥ n ，A ，B ，C 都是定点， AB=a, AC=b, 点 P 在 AC 上，BP 的延伸线交直线 m于 D. Aa Bn问：点 P 在什么地点时， S △ PAB +S △ PCD 最小？xP解：设∠ BAC=α， PA=x, 则 PC=b －x.b∵m ∥ n ，∴CD＝PC.mD CAB PA∴CD=a(b x)xS △ PAB +S △ PCD = 1 axSin α + 1a(b x)(b － x) Sin α2 2x= 1aSin α ( x b 2 2bx x 2 )2x= 1aSin α (2x+ b22b) .2x2 2∵2x ×b=2b 2( 定值 ) ，依据定理二， 2x +b有最小值 .xx∴ 当 2x =b 2x， x= 1 2b 时，2S +S 的最小值是 (2－1)abSin α .△ PAB △ PCD例 5. 已知： Rt △ ABC 中 , 内切圆 O 的半径 r=1. B求： S △ ABC 的最小值 .acO1解：∵S =ab ∴ ab ＝ 2S .r=1Ab△ ABC2△C∵ 2r=a+b － c,∴ c=a+b － 2r.∴a+b － 2r= a 2 b 2 .两边平方，得 a 2 +b 2 +4r 2+2ab －4(a+b)r= a2+b 2. 4r 2+2ab － 4(a+b)r=0.用 r=1,ab=2S △ 代入， 得 4+4S △ － 4(a+b) =0.a+b=S △ +1.∵ab=2S △ 且 a+b=S △ +1.∴a,b 是方程 x 2 －(S △ +1)x+2S △ =0 的两个根 .∵a,b 是正实数，∴△≥ 0，即 [ －(S △+1)] 2－4×2S △ ≥ 0， S △ 2－6S △ +1≥0 .解得 S △ ≥ 3+2 2 或 S △≤3－2 2 . S △≤3－ 2 2 不合题意舍去 .∴S的最小值是 3+22.△ ABC例 6. 已知： . 如图△ ABC 中， AB= 6 2 ，∠ C=30 . 求： a+b 的最大值 .解：设 a+b=y , 则 b=y － a.依据余弦定理，得( 62 ) 2=a 2+(y － a) 2－ 2a(y －a)Cos30写成对于 a 的二次方程：(2+ 3 )a 2－(2+ 3 )ya+y 2－ (8+4 3 )=0.∵a 是 数，∴△≥ 0.C30b a即 (2+2 22≥ 0，3 ) y －4(2+3 )[y －(8+4 3 )]BAcy 2 －(8+4 3)2 ≤0.∴ － (8+4 3 ) ≤ y ≤ (8+43 ).∴a+b 的最大 是 8+43 .又解：依据定理三∵AB 和∠ C 都有定 .C30∴当 a=b ， a+b 的 最大 .ba由余弦定理， (62 22c2 ) =a＋ b － 2abCos30AB可求出 a=b=4+2 3 . ⋯⋯⋯三、1. x 1,x 2,x 3,x 4 ,x 5 足 . x 1+x 2+x 3+x 4 +x 5 =. x 1 x 2x 3 x 4 x 5 ，那么 . x 5 的最大 是＿＿＿＿＿＿ .2.若矩形周 是定 20cm,那么当 和 分 ____，____ ，其面 最大，最大面 是______.3.面 100cm 2 的矩形周 的最大 是＿＿＿＿＿＿＿＿.4. a,b 均 正数且a+b=ab, 那么 a+b 的最小是 ________.5.若 x>0,x+ 9的最小 是 ________. x6.ABCD如 直 上有 A 、 B 、C 、 D 四个点 . 那么到 A ，B ，C ，D 距离之和 最小 的点，位于＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其和的最小 等于定 段＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿..7.如右图△ ABC中， AB=2， AC=3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ是以 AB，BC，CA为边的正方形，则暗影部份的面积的和的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ .8. 以下四个数中最大的是()（A） tan48 +cot48 ..(B)sin48+cos48 . (C) tan48 +cos48 .(D)cot48 +sin48.9.已知抛物线 y=－ x2 +2x+8 与横轴交于 B， C两点，点 D 均分 BC，若在横轴上侧的点 A 为抛物线上的动点，且∠ BAC为锐角，则 AD的取值范围是 __________10.如图△ ABC中，∠ C=Rt∠， CA=CB=1，点 P 在 AB上，CPQ⊥ BC于 Q.问当 P 在 AB上什么地点时， S△APQ最大？Q11.AP B △ ABC中， AB=AC=a，以 BC为边向外作等边三角形 BDC，问当∠ BAC取什么度数时AD最长？12.已知 x2+2y2=1, x,y 都是实数，求 2x+5y2的最大值、最小值 .13. △ ABC中∠ B=，，求的最大值及这时三角形的形状.60AC=1BA+BC14.直角三角形的面积有定值 k, 求它的内切圆半径的最大值 .15.D， E，F 分别在△ ABC的边 BC、 AC、 AB上，若 BD∶ DC=CE∶EA=AF∶ FA =k∶ (1 － k) (0<k<1). 问 k 取何值时， S△DEF的值最小？16.△ ABC中， BC=2，高 AD=1，点 P，E，F 分别在边 BC，AC，AB上，且四边形PEAF是平行四边形 . 问点 P 在 BC的什么地点时， S PEAF的值最大？参照答案1. 5.2. 5 ，5 25.3. 40cm4. 45. 6上， BC+AD.7. 最大值是 9，∵ S = 1 × 3× 2×SinBAC,∠ BAC=90度时价最大 .△28. (A).9. 3<AD ≤ 910. P 在 AB 中点时， S △最大值 =1，S △ =x2 x822x 与 2 － x 的和有定值，当 x= 2 － x 时， S △ 值最大 .11.当∠ BAC=120度时， AD 最大，在△ ABD 中，设∠ BAD=α由正弦定理ADa，当 150 －α =90 时，AD 最大 .Sin (180 30 2a) Sin3012.当 x= 2 时，有最大值29；当 x=－1 时，有最小值－ 2 ( 仿例 3).51013. 当 a=c 时， a+c 有最大值 2，这时是等边三角形 .14. 内切圆半径的最大值 r=( 2 －1) S △ ( 仿例 6).15. 当 k= 1 时， S △ DEF = 1 S △ ABC ，16. 当 PB=1时， S 有最大值 1.24216. 当点 P 是 BC 中点时，面积最大值是 1.2。

第2课时函数的最大(小)值(教师独具内容)课程标准：1.理解最值的概念，了解函数的最值与极值的区别和联系.2.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．教学重点：在闭区间上求函数的最值．教学难点：与函数最值有关的参数问题.1．对函数最值的两点说明(1)给定的区间必须是闭区间，y＝f(x)的图象在开区间上虽然连续不断，但不能保证有最大值或最小值．例如：函数f(x)＝1x，x∈(0,2)，y＝f(x)的图象在(0,2)上连续不断，但y＝f(x)没有最大值和最小值．(2)在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断点也不能保证y＝f(x)有最大值和最小值．2．函数极值与最值的内在联系(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念．最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值．(关键词：局部概念)(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最大(小)值只能有一个．(关键词：整个定义区间)(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值．(关键词：极值与最值的区别)1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的最大值一定是函数的极大值．( )(2)开区间上的单调连续函数无最值．( )(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( )2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)设函数f(x)＝e2x＋3x(x∈R)，则f(x)________(填“有”或“无”)最值．(2)已知函数y＝x3－x2－x，该函数在区间[0,3]上的最大值是________.(3)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f(x)的最小值为1，则m＝________.题型一求已知函数的最值例1 (1)求函数f(x)＝x3－12x2－2x＋5在区间[－2,2]上的最大值与最小值；(2)求函数f(x)＝12x＋sin x在区间[0,2π]上的最大值与最小值．[跟踪训练1] (1)求函数f(x)＝－x3＋3x2－6x＋5在[－1，1]上的最值；(2)求函数f(x)＝e x(3－x2)在区间[2,5]上的最值．题型二由函数的最值确定参数的值例2 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．[跟踪训练2] 设23<a<1，函数f(x)＝x3－32ax2＋b在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－62，求函数的解析式．题型三利用函数最值证明不等式例3 已知函数f(x)＝e x－ln (x＋m)．证明：当m≤2时，f(x)>0.[跟踪训练3] 设f(x)＝x－1x－2ln x．证明：当x≥1时，f(x)≥0恒成立．题型四利用函数最值解决不等式恒成立问题例4 已知f(x)＝x ln x，g(x)＝x3＋ax2－x＋2.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围．[跟踪训练4] 已知函数f(x)＝x ln x(x>0)．(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)若对任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥－x2＋mx－32恒成立，求实数m的最大值．题型五与函数图象有关的综合问题例5 已知函数f(x)＝xe x，x∈R.(1)写出函数的定义域，判断函数的单调性，并求出极值；(2)作出函数的大致图象；(3)求出方程f(x)＝a(a∈R)解的个数．[跟踪训练5] 若函数f(x)＝ln xx2，x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e，＋∞.(1)写出函数的定义域，判断函数的单调性，并求出极值；(2)作出函数的大致图象；(3)求出方程f(x)＝a(a∈R)解的个数．题型六导数在解决实际问题中的应用例6 如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于距河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？[跟踪训练6] 用长为90 cm，宽为 48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？1．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上( )A．单调递增B．单调递减C．有最大值D．有最小值2．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x>0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产( )A．6千台B．7千台C．8千台D．9千台3．(多选)已知ln x1－x1－y1＋2＝0，x2＋2y2－4－2ln 2＝0，记M＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2，则以下正确的为( )A．M的最小值为25B．当M最小时，x2＝125C．M的最小值为45D．当M最小时，x2＝654．函数f(x)＝4xx2＋1，x∈[－2,2]的最大值是________，最小值是________.5．已知函数f(x)＝ln x－x＋1，x∈(0，＋∞)，求函数f(x)的最大值．A级：“四基”巩固训练一、选择题1．函数f(x)＝x3－12x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是( ) A．1，－1 B．1，－17C．17,1 D．9，－192．g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－log 2(x ＋1)在区间[0,1]上的最小值为( )A ．12B ．－12C ．1D ．－13．已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )4．函数y ＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取最大值时，x 的值为( )A ．0B ．π6C ．π3D ．π25．(多选)已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表，f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，下列关于函数f (x )的结论正确的是( )x －1 0 4 5 f (x )1221B ．函数f (x )在[0,2]上是减函数C ．若x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，则t 的最大值为4D ．当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 有4个零点 二、填空题6．函数y ＝x e －x ，x ∈[0,4]的最大值为________.7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2(万元)与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km 处建仓库，y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么当仓库建在离车站________km 处时，费用之和最小，费用之和的最小值为________万元．8．若a 为实数，对任意k ∈[－1,1]，当x ∈(0,4]时，不等式6ln x ＋x 2－9x ＋a ≤kx 恒成立，则实数a 的最大值是________.三、解答题9．已知函数f (x )＝e x －e x －e 2. (1)求f (x )的最小值； (2)求证：e x －ln x >2310.(参考数据：e ≈1.65) 10．如图，在P 地正西方向8 km 的A 处和正东方向1 km 的B 处各有一条正北方向的公路AC 和BD ，现计划在AC 和BD 路边各修建一个物流中心E 和F ，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE 和PF ，设∠EPA ＝α⎝⎛⎭⎪⎫0<α<π2.(1)为减少对周边区域的影响，试确定E ，F 的位置，使△PAE 与△PFB 的面积之和最小；(2)为节省建设成本，求使PE ＋PF 的值最小时AE 和BF 的值．B 级：“四能”提升训练1．已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 2．已知函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象在点(t ，f (t ))处的切线方程为y ＝3x －1.(1)求a 的值；(2)已知k ≤2，当x >1时，f (x )>k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x ＋2x －1恒成立，求实数k 的取值范围；(3)对于在(0,1)中的任意一个常数b ，是否存在正数x 0，使得e f (x 0＋1)－3x 0－2＋b2x 2<1，请说明理由．第2课时 函数的最大(小)值(教师独具内容)课程标准：1.理解最值的概念，了解函数的最值与极值的区别和联系.2.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．教学重点：在闭区间上求函数的最值． 教学难点：与函数最值有关的参数问题.1．对函数最值的两点说明(1)给定的区间必须是闭区间，y ＝f (x )的图象在开区间上虽然连续不断，但不能保证有最大值或最小值．例如：函数f (x )＝1x，x ∈(0,2)，y ＝f (x )的图象在(0,2)上连续不断，但y＝f (x )没有最大值和最小值．(2)在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断点也不能保证y ＝f (x )有最大值和最小值．例如：函数f (x )＝⎩⎨⎧|x |－1≤x ≤1，x ≠0，1x ＝0，作图可知f (x )无最小值．2．函数极值与最值的内在联系(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念．最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值．(关键词：局部概念)(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最大(小)值只能有一个．(关键词：整个定义区间)(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值．(关键词：极值与最值的区别)1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的最大值一定是函数的极大值．( )(2)开区间上的单调连续函数无最值．( )(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( )答案(1)×(2)√(3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)设函数f(x)＝e2x＋3x(x∈R)，则f(x)________(填“有”或“无”)最值．(2)已知函数y＝x3－x2－x，该函数在区间[0,3]上的最大值是________.(3)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋m(x∈[－2,2])，f(x)的最小值为1，则m＝________.答案(1)无(2)15 (3)1题型一求已知函数的最值例1 (1)求函数f(x)＝x3－12x2－2x＋5在区间[－2,2]上的最大值与最小值；(2)求函数f(x)＝12x＋sin x在区间[0,2π]上的最大值与最小值．[解](1)因为f(x)＝x3－12x2－2x＋5，所以f′(x)＝3x2－x－2.令f′(x)＝0，得x 1＝－23，x 2＝1.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝15727，f (1)＝72，又f (－2)＝－1，f (2)＝7，所以函数f (x )在[－2,2]上的最大值是7，最小值是－1.(2)f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0，解得x ＝2π3或x ＝4π3. 因为f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝π3＋32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝2π3－32，f (2π)＝π，所以函数f (x )在[0,2π]上的最大值是π，最小值是0.求一个函数在闭区间上的最值时，一般是找出该区间上导数为零的点，无需判断出是极大值点还是极小值点，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值．[跟踪训练1] (1)求函数f (x )＝－x 3＋3x 2－6x ＋5在[－1，1]上的最值； (2)求函数f (x )＝e x (3－x 2)在区间[2,5]上的最值．解 (1)∵f ′(x )＝－3x 2＋6x －6＝－3(x 2－2x ＋2)＝－3(x －1)2－3， ∴f ′(x )在[－1,1]内恒小于0. ∴f (x )在[－1,1]上为减函数，∴当x ＝－1时，取得最大值为f (－1)＝15； 当x ＝1时，取得最小值为f (1)＝1.即f (x )在[－1,1]上的最小值为1，最大值为15. (2)∵f ′(x )＝3e x －e x x 2－2e x x ，∴f ′(x )＝－e x (x 2＋2x －3)＝－e x (x ＋3)(x －1)， ∵在区间[2,5]上，f ′(x )＝－e x (x ＋3)(x －1)<0， ∴函数f (x )在区间[2,5]上单调递减，∴当x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2； 当x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5. 题型二 由函数的最值确定参数的值例2 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1，2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．[解]由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．(1)当a>0，且x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x －1(－1,0)0(0,2) 2 f′(x)＋0－f(x)－7a＋b ↗ b ↘－16a＋b∴f(0)＝3，即b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3<f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.(2)当a<0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝－29，即b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而求出参数的值，这也是方程思想的应用．[跟踪训练2] 设23<a<1，函数f(x)＝x3－32ax2＋b在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－62，求函数的解析式．解f′(x)＝3x2－3ax，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝a.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：故需比较f(0)与f(1)的大小及f(－1)与f(a)的大小．因为f(0)－f(1)＝32a－1>0，所以f(x)的最大值为f(0)＝b，所以b＝1.又f(－1)－f(a)＝12(a＋1)2(a－2)<0，所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－32a＋b＝－32a，所以－32a＝－62，所以a＝6 3.故所求函数的解析式是f(x)＝x3－62x2＋1.题型三利用函数最值证明不等式例3 已知函数f(x)＝e x－ln (x＋m)．证明：当m≤2时，f(x)>0. [证明] 当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln (x＋m)≤ln (x＋2)，故只需证明当m＝2时，f(x)>0.当m＝2时，函数f′(x)＝e x－1x＋2在(－2，＋∞)上单调递增．又f′(－1)<0，f′(0)>0，故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x0，且x∈(－1,0)．当x∈(－2，x0)时，f′(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值．由f′(x0)＝0得e x0＝1x＋2，ln (x0＋2)＝－x0，故f (x )≥f (x 0)＝1x 0＋2＋x 0＝x 0＋12x 0＋2>0.综上，当m ≤2时，f (x )>0.本题的证明遵循了一般解法，但要注意到两个函数分别是对数函数和指数函数，因此需要进行分离．事实上，还可以利用搭桥的方式，通过传递进行证明．应选择一个一次式或多项式，使之能够在指数和对数之间起到桥梁作用，而且不增加计算量，此时经验的作用凸显，因为e x ≥1＋x ，所以找到使1＋x ≥ln (m ＋x )成立的m 是解决本题的关键．[跟踪训练3] 设f (x )＝x －1x－2ln x ．证明：当x ≥1时，f (x )≥0恒成立．证明 f (x )＝x －1x－2ln x 的定义域为(0，＋∞)．∴f ′(x )＝1＋1x 2－2x ＝x 2－2x ＋1x 2＝x －12x 2≥0，∴f (x )在[1，＋∞)上是单调增函数， ∴f (x )在[1，＋∞)上的最小值为f (1)．∴f (x )≥f (1)＝1－1－2ln 1＝0对于x ∈[1，＋∞)恒成立. 题型四 利用函数最值解决不等式恒成立问题 例4 已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 3＋ax 2－x ＋2. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若对任意x ∈(0，＋∞)，2f (x )≤g ′(x )＋2恒成立，求实数a 的取值范围．[解] (1)函数f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1.令f ′(x )<0，得ln x ＋1<0，解得0<x <1e ，∴f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .令f ′(x )>0，得ln x ＋1>0，解得x >1e，∴f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞.(2)g ′(x )＝3x 2＋2ax －1，由题意得2x ln x ≤3x 2＋2ax ＋1恒成立．∵x >0，∴a ≥ln x －32x －12x 在x ∈(0，＋∞)上恒成立．设h (x )＝ln x －32x －12x (x >0)，则h ′(x )＝1x －32＋12x2＝－x －13x ＋12x 2.令h ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－13(舍去)．当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，＋∞)h ′(x ) ＋ 0 － h (x )↗极大值↘max ∴若a ≥h (x )在x ∈(0，＋∞)上恒成立， 则a ≥h (x )max ＝－2，即a ≥－2， 故实数a的取值范围是[－2，＋∞)．(1)涉及到不等式恒成立、不等式能成立的问题时，一般需转化为函数最值来解决．若不等式中含参数，则可考虑分离参数，以求避免分类讨论．(2)不等式恒成立、能成立常见的转化策略①a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max ，a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min ； ②f (x )＞g (x )＋k 恒成立⇔k ＜[f (x )－g (x )]min ； ③f (x )＞g (x )恒成立⇔[f (x )－g (x )]min ＞0；④a ＞f (x )能成立⇔a ＞f (x )min ，a ＜f (x )能成立⇔a ＜f (x )max . [跟踪训练4] 已知函数f (x )＝x ln x (x >0)． (1)求f (x )的单调区间和极值；(2)若对任意x ∈(0，＋∞)，f (x )≥－x 2＋mx －32恒成立，求实数m 的最大值．解 (1)由f (x )＝x ln x (x >0)，得f ′(x )＝1＋ln x ，令f ′(x )>0，得x >1e ；令f ′(x )<0，得0<x <1e.∴f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .故f (x )在x ＝1e 处有极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ，无极大值．(2)由f (x )≥－x 2＋mx －32及f (x )＝x ln x ，得m ≤2x ln x ＋x 2＋3x 恒成立，问题转化为m ≤⎝⎛⎭⎪⎫2x ln x ＋x 2＋3x min . 令g (x )＝2x ln x ＋x 2＋3x(x >0)，则g ′(x )＝2x ＋x 2－3x 2，由g ′(x )>0⇒x >1，由g ′(x )<0⇒0<x <1.所以g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g (x )min ＝g (1)＝4，因此m ≤4，所以实数m 的最大值是4. 题型五 与函数图象有关的综合问题 例5 已知函数f (x )＝xex ，x ∈R . (1)写出函数的定义域，判断函数的单调性，并求出极值； (2)作出函数的大致图象；(3)求出方程f (x )＝a (a ∈R )解的个数．[解] (1)已知函数的定义域为R ，f ′(x )＝1－xe x ，令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0， 所以f (x )的极大值为f (1)＝1e，所以函数的单调递增区间为(－∞，1)，单调递减区间为(1，＋∞)，极大值为1e，无极小值．(2)显然，当x→－∞时，f(x)＝xe x→－∞，又x>0时，f(x)>0，且x→＋∞时，f(x)＝xe x→0，所以作出f(x)＝xe x的图象如下．(3)由函数f(x)的图象得，当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝1e，故方程f(x)＝a(a∈R)解的个数为当a≤0或a＝1e时，方程有一解；当a>1e时，方程无解；当0<a<1e时，方程有两解．画函数f(x)大致图象的步骤如下：(1)求出函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)及函数f′(x)的零点；(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值；(4)确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；(5)画出f(x)的大致图象．[跟踪训练5] 若函数f(x)＝ln xx2，x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e，＋∞.(1)写出函数的定义域，判断函数的单调性，并求出极值；(2)作出函数的大致图象；(3)求出方程f (x )＝a (a ∈R )解的个数． 解 (1)已知函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞；f ′(x )＝1x·x 2－ln x ·2xx 4＝1－2ln xx 3，令f ′(x )＝0，得x ＝e ， 当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0， 当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0， 所以f (x )＝ln xx 2的极大值为f (e)＝ln e e2＝12e ， 所以函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，e ，单调递减区间为(e ，＋∞)，极大值为12e，无极小值． (2)f (1)＝0，当x →＋∞时，f (x )＝ln x x 2→0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝ln1e ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝－e 2，所以作出f (x )＝ln xx 2的图象如下．(3)由函数f (x )的图象得，当x ＝e 时，f (x )有最大值12e.故方程f (x )＝a (a ∈R )解的个数为当a <－e 2或a >12e时，方程无解； 当－e 2≤a ≤0或a ＝12e时，方程有一解；当0<a<12e时，方程有两解.题型六导数在解决实际问题中的应用例6 如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于距河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？[解]设C点距D点x km，则BD＝40，AC＝50－x，∴BC＝CD2＋BD2＝x2＋402.又设总的水管费用为y元，依题意，得y＝3a(50－x)＋5a x2＋402(0<x<50)．则y′＝－3a＋5axx2＋402，令y′＝0，解得x1＝30，x2＝－30(舍去)．在(0,50)上，y只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30 km处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)．故供水站建在A，D之间距甲厂20 km处时，可使水管费用最省．(1)根据题设建立数学模型，借助图象寻找各条件间的联系，适当选定变量，构造相应的函数关系，通过求导或其他方法求出最值．(2)在实际问题中，若函数在某区间内只有一个极值点，则只要根据实际意义判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．[跟踪训练6] 用长为90 cm，宽为 48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解设容器的高为x cm，容器的容积为V(x) cm3，则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4320x(0<x<24)，V′(x)＝12x2－552x＋4320＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)(0<x<24)．令V′(x)＝0，解得x1＝10，x2＝36(舍去)．当0<x<10时，V′(x)>0，V(x)是增函数；当10<x<24时，V′(x)<0，V(x)是减函数．因此，在定义域(0,24)内，只有当x＝10时函数V(x)取得最大值，其最大值为V(10)＝10×(90－20)×(48－20)＝19600.故当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积是19600 cm3.1．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上( )A．单调递增B．单调递减C．有最大值D．有最小值答案 A解析因为f′(x)＝2＋sin x>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．2．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x>0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产( )A．6千台B．7千台C．8千台D．9千台答案 A解析设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x>0)，∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．令y′＝0，解得x＝0(舍去)或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．3．(多选)已知ln x1－x1－y1＋2＝0，x2＋2y2－4－2ln 2＝0，记M＝(x1－x2)2＋(y 1－y 2)2，则以下正确的为( )A ．M 的最小值为25B ．当M 最小时，x 2＝125C ．M 的最小值为45D ．当M 最小时，x 2＝65答案 BC解析 由ln x 1－x 1－y 1＋2＝0，得y 1＝ln x 1－x 1＋2，故(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值可转化为函数y ＝ln x －x ＋2图象上的点到直线x ＋2y －4－2ln 2＝0上的点的距离的最小值的平方．由y ＝ln x －x ＋2，得y ′＝1x－1，与直线x ＋2y－4－2ln 2＝0平行的直线的斜率为－12，则令1x －1＝－12，解得x ＝2，∴切点坐标为(2，ln 2)，∴点(2，ln 2)到直线x ＋2y －4－2ln 2＝0的距离d ＝|2＋2ln 2－4－2ln 2|1＋4＝255，即函数y ＝ln x －x ＋2图象上的点到直线x ＋2y－4－2ln 2＝0上的点的距离的最小值为255，∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为d 2＝45.过点(2，ln 2)与x ＋2y －4－2ln 2＝0垂直的直线为y －ln 2＝2(x －2)，即2x －y －4＋ln 2＝0，由⎩⎨⎧x ＋2y －4－2ln 2＝0，2x －y －4＋ln 2＝0，解得x ＝125，即当M 最小时，x 2＝125.故选BC ．4．函数f (x )＝4xx 2＋1，x ∈[－2,2]的最大值是________，最小值是________. 答案 2 －2 解析 ∵y ′＝4x 2＋1－2x ·4x x 2＋12＝－4x 2＋4x 2＋12，令y ′＝0可得x ＝1或x ＝－1.又∵f (1)＝2，f (－1)＝－2，f (2)＝85，f (－2)＝－85，∴最大值为2，最小值为－2.5．已知函数f (x )＝ln x －x ＋1，x ∈(0，＋∞)，求函数f (x )的最大值．解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－1.令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )在(0,1)上是增函数； 当x >1时，f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)上是减函数， 故函数f (x )在x ＝1处取得最大值f (1)＝0.A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．函数f (x )＝x 3－12x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是( ) A ．1，－1 B ．1，－17 C ．17,1 D ．9，－19答案 C解析 令f ′(x )＝3x 2－12＝0，得x ＝±2，f (－2)＝17，f (－3)＝10，f (0)＝1，所以最大值为17，最小值为1.故选C ．2．g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －log 2(x ＋1)在区间[0,1]上的最小值为( )A ．12B ．－12C ．1D ．－1 答案 B解析 因为g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－log 2(x ＋1)是减函数，所以g (x )在区间[0,1]上的最小值为g (1)＝－12.故选B ．3．已知函数f (x )，g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )答案 A解析 令h (x )＝f (x )－g (x )，x ∈[a ，b ]，则h ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )<0，∴h (x )是[a ，b ]上的减函数．∴h (x )max ＝[f (x )－g (x )]max ＝f (a )－g (a )．故选A ．4．函数y ＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取最大值时，x 的值为( )A ．0B ．π6C ．π3D ．π2答案 B解析 f ′(x )＝1－2sin x ，令f ′(x )＝0，得x ＝π6，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π6时，f ′(x )>0，f (x )为单调递增函数，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2时，f ′(x )<0，f (x )为单调递减函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的极大值，也是最大值．故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上取最大值时，x 的值为π6.5．(多选)已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表，f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，下列关于函数f (x )的结论正确的是( )x －1 0 4 5 f (x )1221B ．函数f (x )在[0,2]上是减函数C ．若x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，则t 的最大值为4D ．当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 有4个零点 答案 AB解析 由f ′(x )的图象可知，当－1≤x <0或2<x <4时，f ′(x )>0，函数f (x )为增函数，当0<x <2或4<x ≤5时，f ′(x )<0，函数f (x )为减函数，即当x ＝0时，函数f(x)取得极大值，当x＝4时，函数f(x)取得极大值，即函数f(x)有两个极大值点，故A正确；函数f(x)在[0,2]上是减函数，故B正确；作出f(x)的图象如图1，若x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，则t满足0≤t≤5，即t的最大值是5，故C错误；由y＝f(x)－a＝0得f(x)＝a，若f(2)≤1，当1<a<2时，f(x)＝a有四个根，如图2.若1<f(2)<2，当1<a<2时，f(x)＝a不一定有四个根，有可能是两个或三个，如图3，故函数y＝f(x)－a不一定有4个零点，故D错误．故选AB．二、填空题6．函数y＝x e－x，x∈[0,4]的最大值为________.答案1 e解析令y＝f(x)＝x e－x，则f′(x)＝e－x－x e－x＝e－x(1－x)，令f′(x)＝0，得x＝1.∵f(0)＝0，f(4)＝4e4，f(1)＝e－1＝1e，∴函数的最大值为f(1)＝1e.7．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元，那么当仓库建在离车站________km 处时，费用之和最小，费用之和的最小值为________万元．答案 5 8解析依题意可设每月土地占用费y1＝k1x，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离，k1，k2是比例系数．由2＝k110得k1＝20；由8＝10k2得k 2＝45.因此，两项费用之和为y＝20x＋4x5(x>0)，y′＝－20x2＋45，令y′＝0，得x＝5或x＝－5(舍去)．当0<x<5时，y′<0；当x>5时，y′>0.因此，当x＝5时，y取得极小值，也是最小值，故当仓库建在离车站5 km处时，费用之和最小，费用之和的最小值为205＋4×55＝8万元．8．若a 为实数，对任意k ∈[－1,1]，当x ∈(0,4]时，不等式6ln x ＋x 2－9x ＋a ≤kx 恒成立，则实数a 的最大值是________.答案 7解析 因为对任意k ∈[－1,1]，当x ∈(0,4]时，不等式6ln x ＋x 2－9x ＋a ≤kx 恒成立，所以对任意k ∈[－1,1]，当x ∈(0,4]时，不等式6ln x ＋x 2－9x ＋ax≤k恒成立，即6ln x ＋x 2－9x ＋a x ≤k min ⇒6ln x ＋x 2－9x ＋ax≤－1⇒a ≤－6ln x －x 2＋8x ，所以当x ∈(0,4]时，不等式a ≤－6ln x －x 2＋8x 恒成立．令f (x )＝－6ln x －x 2＋8x ，x ∈(0,4]，则a ≤f (x )min ，f ′(x )＝－2x 2＋8x －6x＝－2x －2x －3x，当f ′(x )>0时，⎩⎨⎧2x －2x －3<0，0<x ≤4⇒1<x <3，当f ′(x )<0时，⎩⎨⎧2x －2x －3>0，0<x ≤4⇒0<x <1或3<x ≤4，所以函数f (x )在区间(0,1)和(3,4]上单调递减，在区间(1,3)上单调递增．f (1)＝0－1＋8＝7，f (4)＝－6ln 4－16＋32＝16－6ln 4，因为16－6ln 4－7＝9－6ln 4＝3×(3－ln 16)＝3ln e 316>0，所以f (x )min ＝7，所以a ≤7，a 的最大值为7.三、解答题9．已知函数f (x )＝e x －e x －e 2. (1)求f (x )的最小值；(2)求证：e x－ln x >2310.(参考数据：e ≈1.65)解 (1)由f (x )＝e x －e x －e2，得f ′(x )＝e x －e ， 则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以f (x )的极小值也是最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.(2)证明：由(1)知，f (x )＝e x －e x －e2≥0， 即e x≥ e x ＋e2，则e x －ln x ≥ e x －ln x ＋e 2. 令g (x )＝e x －ln x ＋e 2， 则g ′(x )＝e －1x ＝e x －1x(x >0)．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， 所以g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1－ln 1e ＋e 2＝1＋12＋e 2≈3＋1.652＝23.2510>2310.所以e x－ln x >2310.10．如图，在P 地正西方向8 km 的A 处和正东方向1 km 的B 处各有一条正北方向的公路AC 和BD ，现计划在AC 和BD 路边各修建一个物流中心E 和F ，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE 和PF ，设∠EPA ＝α⎝⎛⎭⎪⎫0<α<π2.(1)为减少对周边区域的影响，试确定E ，F 的位置，使△PAE 与△PFB 的面积之和最小；(2)为节省建设成本，求使PE ＋PF 的值最小时AE 和BF 的值．解 (1)在Rt △PAE 中，由题意可知∠APE ＝α，AP ＝8，则AE ＝8tan α， 所以S △PAE ＝12PA ·AE ＝32tan α.同理，在Rt △PBF 中，∠PFB ＝α，PB ＝1，则BF ＝1tan α， 所以S △PBF ＝12PB ·BF ＝12tan α，故△PAE 与△PFB 的面积之和为 32tan α＋12tan α≥232tan α·12tan α＝8，当且仅当32tan α＝12tan α，即tan α＝18时，取“＝”， 故当AE ＝1 km ，BF ＝8 km 时，△PAE 与△PFB 的面积之和最小． (2)在Rt △PAE 中，由题意可知∠APE ＝α，则PE ＝8cos α. 同理，在Rt △PBF 中，∠PFB ＝α，则PF ＝1sin α. 令f (α)＝PE ＋PF ＝8cos α＋1sin α，0<α<π2， 则f ′(α)＝8sin αcos 2α－cos αsin 2α＝8sin 3α－cos 3αsin 2αcos 2α.令f ′(α)＝0，得tan α＝12，记tan α0＝12，0<α0<π2，当α∈(0，α0)时，f ′(α)<0，f (α)单调递减； 当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫α0，π2时，f ′(α)>0，f (α)单调递增． 所以tan α＝12时，f (α)取得最小值，此时AE ＝AP ·tan α＝8×12＝4，BF ＝BPtan α＝2.所以当AE ＝4 km ，BF ＝2 km 时，PE ＋PF 的值最小．B 级：“四能”提升训练1．已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a >0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a >0时，f (x )在x ＝1a取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0.令g (a )＝ln a ＋a －1，g ′(a )＝1a＋1>0，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0.于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0. 因此，a 的取值范围是(0,1)．2．已知函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象在点(t ，f (t ))处的切线方程为y ＝3x －1.(1)求a 的值；(2)已知k ≤2，当x >1时，f (x )>k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x ＋2x －1恒成立，求实数k 的取值范围；(3)对于在(0,1)中的任意一个常数b ，是否存在正数x 0，使得e f (x 0＋1)－3x 0－2＋b2x 20<1，请说明理由．解 (1)函数f (x )＝ln x ＋ax 的导数为f ′(x )＝1x＋a ，因为函数f (x )的图象在点(t ，f (t ))处的切线方程为y ＝3x －1，所以f ′(t )＝1t＋a ＝3，又因为函数f (x )的图象在点(t ，f (t ))处的切线方程为y －(ln t ＋at )＝3(x －t )，即y －(ln t ＋3t －1)＝3(x －t )，y ＝3x ＋ln t －1，所以⎩⎨⎧1t ＋a ＝3，ln t －1＝－1，解得a ＝2.(2)由(1)可得f (x )＝ln x ＋2x ，因为f (x )>k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x ＋2x －1，所以ln x >k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x －1，所以x ln x ＋x －k (x －3)>0.令g (x )＝x ln x ＋x －k (x －3)，g ′(x )＝2＋ln x －k ， 由x >1，k ≤2，可得ln x >0,2－k ≥0，即有g ′(x )>0， 所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增，可得g (x )>g (1)＝1＋2k ≥0，所以－12≤k ≤2，故实数k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2.(3)对于在(0,1)中的任意一个常数b ，假设存在正数x 0，使得e f (x 0＋1)－3x 0－2＋b2x 20<1，则e f (x 0＋1)－3x 0－2＋b 2x 20＝e ln (x 0＋1)－x 0＋b 2x 20＝(x 0＋1)·e －x 0＋b2x 20<1.令H (x )＝(x ＋1)·e －x ＋b2x 2－1，则H ′(x )＝e －x －(x ＋1)e －x ＋bx ＝x (b －e －x )， 令H ′(x )>0，解得x >－ln b ，令H ′(x )<0， 解得0<x <－ln b ，则x ＝－ln b 是函数H (x )的极小值点，也是最小值点．故H (x )的最小值为H (－ln b )＝(－ln b ＋1)·e ln b ＋b 2ln 2b －1＝b2ln 2b －b ln b＋b－1.再令G(x)＝x2ln2x－x ln x＋x－1(0<x<1)，则G′(x)＝12(ln2x＋2ln x)－(1＋ln x)＋1＝12ln2x>0，所以G(x)在(0,1)上单调递增，所以G(x)<G(1)＝0，则H(－ln b)<0.故存在正数x0＝－ln b，使得e e f(x0＋1)－3x0－2＋b2x2<1.。

第26章 离散量的最大值和最小值问题26.1.1** 某个篮球运动员共参加了10场比赛，他在第6、第7、第8、第9场比赛中分别得了23、14、11和20分，他的前9场比赛的平均分比前5场比赛的平均分要高，如果他的10场比赛的平均分超过18分，问：他在第10场比赛中至少得了多少分？解析 设前5场比赛的平均得分为x ，则前9场比赛的平均得分为52314112056899x x +++++=． 由题设知5689x x +>， 解得17x <．所以前5场最多得分是 517184⨯-=（分）．再设他第10场比赛得了y 分，那么有 84681810180y ++>⨯=， 解得28y >y>28． 故他第10场比赛得分≥29分．另一方面，当他在第6、第7、第8、第9、第10场比赛中分别得了23、14、11、20和29分，前5场总得分为84分时，满足题意．所以，他在第10场比赛中至少得了29分．评注 在解最大值（或者最小值）问题时，我们常常先估计上界（对于最小值，估计下界），然后再构造一个例子说明这个上界（或者下界）是能够取到的，只有这样，才完整地解决了问题．26.1.2* 从任意n 个不同的正整数中，一定可以从中找到两个数，它们的差是12的倍数，求n 的最小值．解析 任取13个不同的整数，它们除以12所得到的余数中，一定有两个相同，于是它们的差是12的倍数．又l ，2，…，12这12个数，其中没有两个数的差为12的倍数． 综上所述，至少需任取13个数才能满足题意．26.1.3** 从1，2，3，…，20中，至少任取多少个数，可使得其中一定有两个数，大的数是小的数的奇数倍．解析 从1，2，…，20中取7，8，…，20这14个数，其中没有一个数是另一个数的奇数倍．把1，2，…，20分成如下14组：{1，3，9}，{2，6，18}，{4，12}，{5，15}，{7}，f8}，{10}，{11}，{13}，{14}，{16}，{17}，{19}，{20}，从中任取15个数，一定有两数取自同一组，于是大数便是小数的奇数倍．26.1.4** 如果甲的身高或体重至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙；在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子．问100个小伙子中的棒小伙子最多可能有多少个？解析 取100个小伙子是这样的一种特殊情况．他们的身高互不相同，是从小到大排列的，他们的体重也互不相同，且是从大到小排列的，这样的100个小伙子都是棒小伙子，所以棒小伙子最多有100个．26.1.5** 代数式rvz rwy suz swy tux tvx --++-中，r 、s 、t 、u 、v 、w 、x 、y 、z 可以分别取1或者1-．（1）求证：代数式的值都是偶数； （2）求该代数式所能取到的最大值． 解析 （1）因为()11111110mod2rvz rwy suz swy tux tvx --++-≡++++++≡，所以，此代数式的值为偶数．（2）原式()()()uy s r tx u v z rv su =-+-+-，要使原式取得最大值，则s 与r 取1与1-，u 与v 取l 与1-．但是，若r 与v 的取值相同（1或1-），则s 与u 的取值也相同，有0rv su -=．若r 与v 的取值不同．则s 与u 的取值也不同，也有0rv su -=．所以，原式的最大值为4．这时取1s =，1r =-，1u =，1v =-，1w y t x ====．26.1.6** 一个三位数除以43，商是a ．余数是b （a 、b 都是整数），求a b +的最大值． 解析 由带余除法可知： 43a b ⨯+=一个三位数． ①因为b 是余数，它必须比除数小，即b ≤42．根据①式．考虑到等式右边是一个三位数，为此a 不超过23（因为24×43>1000）．当23a =时，因为43×23+10＝999，此时b 为10．当2a =时，可取余数42b =，此时43×22+42＝998．故当22a =，42b =时，a b +值最大，最大值22+42＝64．从1，2，…，1001这1001个正整数中取出n 个数，使得这n 个数中任意两个数的差都不是素数，求n 的最大值．解析 设正整数a 被取出，则2a +，3a +，5a +，7a +都不能被取出．而1a +，4a +，6a +三者中至多只能有一个被取出．所以连续8个整数a ，1a +，2a +，a +3，a +4，5a +，6a +，7a +中至多有两个数被取出，而 1001＝8×125+1，所以n ≤2×125+1＝251．又1，5，9，…，1001这251个数满足题设条件．所以n 的最大值为251．26.1.8*** 从1，2，…，205共205个正整数中，最多能取出多少个数，使得对于取出来的数中的任意三个数a 、b 、c （a b c <<），都有ab c ≠．解析 首先，1，14，15，…，205这193个数，满足题设条件．事实上，设a 、b 、c （a b c <<）这三个数取自1，14，15，…，205，若1a =，则ab b c =<；若1a >，则14152100ab ⨯=>≥．另一方面，考虑如下12个数组： （2，25，2×25），（3，24，3×24），…，（13，14，13×14），上述这36个数互不相等，且其中最小的数为2，最大的数为13×14＝182<205，所以，每一个数组中的三个数不能全部都取出来，于是，取出来的数的个数不超过205－12＝193个． 综上所述，从1，2，…，205中，最多能取出193个数，满足题设条件．26.1.9*** 从1，2，3，…，16这16个数中，最多能选出多少个数，使得被选出的数中，任意三个数都不是两两互质的．解析 首先，取出1，2，…，16中所有2或3的倍数： 2，3，4，6，8，9，10，12，14，15，16．这11个数要么是2的倍数，要么是3的倍数．由抽屉原理知，这11个数中的任意三个数，都必有两 个数同为2或3的倍数，它们的最大公约数大于1，也就是说这三个数不是两两互质的．所以，从1，2，…，16中可以选出11个数满足要求．下面证明从1，2，…，16中任取12个数，其中一定有3个数两两互质． 事实上，令数组A ={1，2，3，5，7，…，13）．数组A 中有7个数，而且这7个数是两两互质的．从 1，2，…，16中任取12个数，由于A 以外只有9个数，故A 中至少有3个数被选出，这三个数是两两互质的．所以，最多选出11个数满足要求．26.1.10*** 已知1x ，2x ，…，40x 都是正整数，且124058x x x ⋯+++=，若2221240x x x ⋯+++的最大值为A ，最小值为B ，求A B +的值．解析 因为把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，故2221240x x x ⋯+++的最小值和最大值是存在的．不妨设1240x x x ⋯≤≤，若11x >z1>1，则 ()()121211x x x x +=+++，且()()()222222121221121122x x x x x x x x -++=++-+>+． 所以，当1x >1时，可以把1x 逐步调整到1，这时，2221240x x x ⋯+++将增大；同样地，可以把2x ，3x ，…，39x 逐步调整到1，这时2221240x x x ⋯+++将增大．于是，当1x ，2x ，…，39x 均为1，4019x =时，2221240x x x ⋯+++取得最大值，即 22223911119400A ⋯=++++=个若存在两个数i x 、j x ，使得()2140j i x x i j -<≥≤≤，则()()()2222221121i j i j j i i j x x x x x x x x ++-=+---+≤，这说明在1x ，2x ，…，39x ，40x 中，如果有两个数的差大于1，则把较小的数加l ，较大的数减1，这时，2221240x x x ⋯+++将减小． 所以，当2221240x x x ⋯+++取到最小时，1x ，2x ，…，40x 。

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学选修1-1最大最小值问题 同步练习一,选择题:1.下列说法正确的是( )A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 2.函数y=f(x)在区间［a,b ］上的最大值是M ，最小值是m,若M=m,则f ′(x) ( ) A.等于0B.大于0C.小于0D.以上都有可能3.函数y=234213141x x x ++，在［－1，1］上的最小值为( )A.0B.－2C.－1D.12134.函数y=122+-x x x 的最大值为( )A.33 B.1 C.21 D.235.设y=|x|3,那么y 在区间［－3，－1］上的最小值是( ) A.27B.－3C.－1D.16.设f(x)=ax 3－6ax 2+b 在区间［－1，2］上的最大值为3，最小值为－29，且a>b,则( )A.a=2,b=29B.a=2,b=3C.a=3,b=2D.a=－2,b=－3二、填空题7.函数y=2x 3－3x 2－12x+5在［0，3］上的最小值是___________. 8.函数f(x)=sin2x －x 在［－2π,2π］上的最大值为_____；最小值为____ 9.将正数a 分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成____和____.10.使内接椭圆2222by a x +=1的矩形面积最大，矩形的长为_____，宽为______11.在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为______时，它的面积最大. 三、解答题12.有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？13.已知：f(x)=log 3xbax x ++2,x ∈(0,+∞).是否存在实数a 、b,使f(x)同时满足下列两个条件：（1）f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）f(x)的最小值是1，若存在，求出a,b ，若不存在，说明理由.14.一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCDh b600EDC BA的面积为定值S 时，使得湿周l=AB+BC+CD 最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h 和下底边长b.答案1.D2.A3.A4.A5.D6.B7. －158.2π －2π 9.2a 2a10.2a 2b 11.23R12.解：（1）正方形边长为x,则V=（8－2x)·(5－2x)x=2(2x 3－13x 2+20x)(0<x<25)V ′=4(3x 2－13x+10)(0<x<25)V ′=0得x=1根据实际情况，小盒容积最大是存在的，∴当x=1时，容积V 取最大值为18.13.解：设g(x)=xbax x ++2∵f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数 ∴g(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数.∴⎩⎨⎧==3)1(0)1('g g ∴⎩⎨⎧=++=-3101b a b 解得⎩⎨⎧==11b a经检验，a=1,b=1时，f(x)满足题设的两个条件.14.解：由梯形面积公式，得S=21(AD+BC)h其中AD=2DE+BC ，DE=33h,BC=b ∴AD=332h+b ∴S=h b h h b h )33()2332(21+=+①∵CD=h h 3230cos =︒,AB=CD.∴l=h 32×2+b ②由①得b=33-h S h,代入② ∴l=hSh h h S h +=-+333334 l ′=23h S -=0,∴h=43S当h<43S 时，l ′<0,h>43S时，l ′>0. ∴h=43S时，l 取最小值，此时b=S 3324.。

离散量的最值问题所谓离散量最值问题，即指自变量是整数，集合、子集、点、线，图等离散量，要求它们在满足某些约束条时，求目标函数的最大值或最小值问题。

离散最值问题涉及的面非常广泛，也是近年来国内外数学竞赛中经常出现的热点问题。

由于整数等自变量的离散性，通常关于求连续变量的最值问题的方法不再适用。

所以解决这类非常规的离散最值问题，对于参赛的同学的聪明才智具有更大的挑战性。

下面介绍解离散最值问题的几种主要方法。

一、不等式法不等式法解离散最值问题包括两个方面：论证估值与构造实例。

论证估值即是根据问题中的离散变量具有的性质建立不等式，然后通过对不等式的放缩来论证或者估计离散变量的最佳的上界或下界；构造实例即是找到一个实例以说明离散变量在约束条件下，目标函数可以达到这个最佳的上界或下界，于是这个上界或下界即是所求的最大值或是小值。

例1 设，，求的最大值 （2000年全国高中数n S n ++++= 321N n ∈1)32()(++=n nS n S n f 学联赛试题）。

解 ，有N n ∈∀nn n n nn n n n n S n S n f n n 643416434)2)(1(23212)1()32()(21++=++=++⋅+⋅+=+=+ 由均值不等式有，50346423464=+⋅≥++nn n n 故 50164341)(≤++=nn n f 注意到上面价值不等式中等号成立的充要条件是，即，而。

n n 64=8=n 501)8(=f 综上，的最大值为。

)(n f 501例2 已知个正整数。

且满足。

若有n )2(≥n n x x x , , , 21n x x x ≤≤≤ 21，n n x x x x x x 2121=+++求的最大值。

n x解 首先估计的上界。

注意到，否则，，若，则有。

于n x 21≥-n x 11=-n x 1121====-n x x x 是有，n n n n x x x x x n x x x 2121)1(=>+-=+++矛盾！若，而，则有1+≥n x n 21≥-n x 121213132212111111--++++=+++=n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x 122122111)1(222111)1(21)1(21<++=++++-=+++++++≤n n n n n n n n 矛盾！ 故。