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重点强化训练(一) 函数的图象与性质A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．设函数f (x )为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－2)＝( )【导学号：51062063】A ．－12B.12 C ．2D ．－2B [因为函数f (x )是偶函数，所以f (－2)＝f (2)＝log 22＝12.]2．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3C [用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1，故选C.]3．函数f (x )＝3x＋12x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)C [因为函数f (x )在定义域上单调递增， 又f (－2)＝3－2－1－2＝－269＜0，f (－1)＝3－1－12－2＝－136＜0， f (0)＝30＋0－2＝－1＜0，f (1)＝3＋12－2＝32＞0，所以f (0)·f (1)＜0，所以函数f (x )的零点所在区间是(0,1)．]4．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2]B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．(0,2]C [∵f (log 12a )＝f (－log 2a )＝f (log 2a )，∴原不等式可化为f (log 2a )≤f (1)．又∵f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，∴0≤log 2a ≤1，即1≤a ≤2.∵f (x )是偶函数，∴f (log 2a )≤f (－1)．又f (x )在区间(－∞，0]上单调递减，∴－1≤log 2a ≤0，∴12≤a ≤1.综上可知12≤a ≤2.]5．(2017·湖州质检(二))若f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，∀x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1＜0，则( )A ．f (3)＜f (1)＜f (－2)B ．f (1)＜f (－2)＜f (3)C ．f (－2)＜f (1)＜f (3)D ．f (3)＜f (－2)＜f (1)D [由对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)，f x 2－f x 1x 2－x 1＜0得函数f (x )为[0，＋∞)上的减函数，又因为函数f (x )为偶函数，所以f (3)＜f (2)＝f (－2)＜f (1)，故选D.]二、填空题6．函数y ＝f (x )在x ∈[－2,2]上的图象如图2所示，则当x ∈[－2,2]时，f (x )＋f (－x )＝________. 【导学号：51062064】图20 [由题图可知，函数f (x )为奇函数， 所以f (x )＋f (－x )＝0.]7．若函数y ＝log 2(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则a 的取值范围为________．[0,1] [设f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由题意知，f (x )取遍所有的正实数．当a ＝0时，f (x )＝2x ＋1符合条件；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－4a ≥0，解得0＜a ≤1，所以0≤a ≤1.]8．(2017·温州质检)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，且f (2)＝0，则满足f (x －1)＜0的x 的取值范围是________．(－∞，－1)∪(1,3) [依题意当x ∈(1，＋∞)时，f (x －1)＜0＝f (2)的解集为x ＜3，即1＜x ＜3；当x ∈(－∞，1)时，f (x －1)＜0＝f (－2)的解集为x ＜－1，即x ＜－1.综上所述，满足f (x －1)＜0的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(1,3)．]三、解答题9．已知函数f (x )＝2x，当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解，两个解？ [解] 令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x－2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示.4分由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；10分当0＜m ＜2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解.15分 10．函数f (x )＝m ＋log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(8,2)和(1，－1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝2f (x )－f (x －1)，求g (x )的最小值及取得最小值时x 的值.【导学号：51062065】[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧f ＝2，f ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋log a 8＝2，m ＋log a 1＝－1，4分解得m ＝－1，a ＝2，故函数解析式为f (x )＝－1＋log 2x .6分 (2)g (x )＝2f (x )－f (x －1)＝2(－1＋log 2x )－[－1＋log 2(x －1)] ＝log 2x 2x －1－1(x ＞1).8分∵x 2x －1＝x －2＋x －＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋2≥2x －1x －1＋2＝4. 12分当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 而函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增， 则log 2x 2x －1－1≥log 24－1＝1，故当x ＝2时，函数g (x )取得最小值1.15分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·浙江五校二联)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪f x －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2＜f (1)的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e B ．(0，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e D ．(e ，＋∞)C [f (x )为R 上的奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝－f (ln x )，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪fx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2＝|fx ＋fx2＝|f (ln x )|，即原不等式可化为|f (ln x )|＜f (1)，所以－f (1)＜f (ln x )＜f (1)，即f (－1)＜f (ln x )＜f (1)．又由已知可得f (x )在R 上单调递增，所以－1＜ln x ＜1，解得1e＜x ＜e ，故选C.]2．已知函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数与奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 019)的值为________．0 [g (－x )＝f (－x －1)，由f (x )，g (x )分别是偶函数与奇函数，得g (x )＝－f (x ＋1)，∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，即f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，故函数f (x )是以4为周期的周期函数，则f (2 019)＝f (505×4－1)＝f (－1)＝g (0)＝0.]3．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围． [解] (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ， 有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)， ∴f (1)＝0.4分 (2)f (x )为偶函数.5分 证明如下：令x 1＝x 2＝－1， 有f (1)＝f (－1)＋f (－1)， ∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )为偶函数.10分(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， 由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16).12分又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴0<|x－1|<16，解得－15<x<17且x≠1，14分∴x的取值范围是{x|－15<x<17且x≠1}.15分。
第六节对数与对数函数突破点(一) 对数的运算对数的概念、性质及运算[典例] 计算：(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2； (2)(lg 3)2－lg 9＋1(lg 27＋lg 8－lg 1 000)lg 0.3·lg 1.2；(3)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)．[解] (1)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52 ＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5 ＝(1＋1)lg 2＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5)＝2.本节主要包括3个知识点：1.对数的运算；2.对数函数的图象及应用；3.对数函数的性质及应用.(2)原式＝(lg 3)2－2lg 3＋1⎝⎛⎭⎫32lg 3＋3lg 2－32(lg 3－1)·(lg 3＋2lg 2－1)＝(1－lg 3)·32(lg 3＋2lg 2－1)(lg 3－1)·(lg 3＋2lg 2－1)＝－32.(3)原式＝⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9·⎝⎛⎭⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8＝⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3· ⎝⎛⎭⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝54.[方法技巧]解决对数运算问题的四种常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.(log 23)2－4log 23＋4＋log 213＝( )A ．2B ．2－2log 23C ．－2D ．2log 23－2解析：选B (log 23)2－4log 23＋4＝(log 23－2)2＝2－log 23，又log 213＝－log 23，两者相加即为B.2.12lg 25＋lg 2－lg 0.1－log 29×log 32的值是________． 解析：原式＝lg 5＋lg 2＋12－2＝1＋12－2＝－12.答案：－123.12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝________. 解析：原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43×12×3lg 2＋12(lg 5＋2lg 7)＝12(lg 2＋lg 5)＝12.答案：124．已知2x ＝12，log 213＝y ，则x ＋y 的值为________．解析：∵2x ＝12，∴x ＝log 212，∴x ＋y ＝log 212＋log 213＝log 24＝2.答案：25．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________. 解析：∵2a ＝5b ＝m >0，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. ∴m 2＝10，∴m ＝10. 答案：10突破点(二) 对数函数的图象及应用1．对数函数的图象2.底数的大小决定了图象相对位置的高低不论是a ＞1还是0＜a ＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，如图，0<c <d <1<a <b .3．指数函数与对数函数的关系指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．对数函数图象辨析[例1] 函数f (x )＝lg 1|x ＋1|的大致图象为( )[解析] f (x )＝lg 1|x ＋1|＝－lg|x ＋1|的图象可由偶函数y ＝－lg|x |的图象左移1个单位得到．由y ＝－lg|x |的图象可知选D. [答案] D[方法技巧]研究对数型函数图象的思路研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a >1或0<a <1这两种不同情况．对数函数图象的应用[例2] (2017·长沙五校联考)设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1D ．0<x 1x 2<1[解析] 构造函数y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|，并作出它们的图象，如图所示．因为x 1，x 2是10x ＝|lg(－x )|的两个根，则两个函数图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，不妨设x 2<－1，－1<x 1<0，则10x 1＝－lg(－x 1)，10x 2＝lg(－x 2)， 因此10x 2－10x 1＝lg(x 1x 2)， 因为10x 2－10x 1<0， 所以lg(x 1x 2)<0， 即0<x 1x 2<1. [答案] D能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1．[考点二]已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝log3x，直线y＝a(a<0)与这三个函数图象的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是() A．x2<x3<x1B．x1<x3<x2C．x1<x2<x3D．x3<x2<x1解析：选A分别作出三个函数的图象，如图所示，由图可知x2<x3<x1.2．[考点一]在同一直角坐标系中，函数f(x)＝x a(x≥0)，g(x)＝log a x(a>0且a≠1)的图象可能是()解析：选D当a>1时，函数f(x)＝x a(x≥0)单调递增，函数g(x)＝log a x单调递增，且过点(1,0)，由幂函数的图象性质可知C错；当0<a<1时，函数f(x)＝x a(x≥0)单调递增，且过点(1,1)，函数g(x)＝log a x单调递减，且过点(1,0)，排除A，又由幂函数的图象性质可知B 错．故选D.(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的3．[考点二]已知函数y＝log图象如图，则下列结论成立的是()A．a>1，c>1B．a>1,0<c<1C．0<a<1，c>1D．0<a<1,0<c<1解析：选D由对数函数的性质得0＜a＜1，因为函数y＝log a(x＋c)的图象在c＞0时是由函数y＝log a x的图象向左平移c个单位得到的，所以根据题中图象可知0＜c＜1.4．[考点二]当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<log a x恒成立，则实数a的取值范围是________．解析：设f1(x)＝(x－1)2，f2(x)＝log a x，要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<log a x恒成立，只需f1(x)＝(x－1)2在(1,2)上的图象在f2(x)＝log a x图象的下方即可．当0<a<1时，显然不成立；当a >1时，如图，要使x ∈(1,2)时f 1(x )＝(x －1)2的图象在f 2(x )＝log a x 的图象下方，只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2，又即log a 2≥1，所以1<a ≤2，即实数a 的取值范围是(1,2]．答案：(1,2]突破点(三) 对数函数的性质及应用对数函数的性质[例1] 函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)∪(3,4]D ．(－1,3)∪(3,6][解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤4，x >2且x ≠3，故函数定义域为(2,3)∪(3,4]，故选C.[答案] C[例2] 已知a ＝log 1213，b ＝log 1312，c ＝log 213，则( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．b >a >c[解析] ∵a ＝log 1213>1,0<b ＝log 1312＝log 32<1，c ＝log 2 13＝－log 23<0，∴a >b >c .[答案] A[方法技巧]比较对数式大小的三种方法(1)单调性法：在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底． (2)中间量过渡法：即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”．(3)图象法：根据图象观察得出大小关系．简单对数不等式的求解[例3] 已知不等式log x (2x 2＋1)<log x (3x )<0成立，则实数x 的取值范围是________．[解析] 原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <12x 2＋1>3x >1①或⎩⎪⎨⎪⎧x >12x 2＋1<3x <1②，解不等式组①得13<x <12，不等式组②无解，所以实数x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，12.[答案] ⎝⎛⎭⎫13，12[方法技巧]简单对数不等式问题的求解策略(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数a 的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．对数函数的综合问题[例4] 函数f (x )＝log a (ax －3)(a >0，且a ≠1)在[1,3]上单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B ．(0,1)C.⎝⎛⎭⎫0，13 D ．(3，＋∞)[解析] 由于a >0，且a ≠1，∴u ＝ax －3为增函数，∴若函数f (x )为增函数，则f (x )＝log a u 必为增函数，因此a >1.又u ＝ax －3在[1,3]上恒为正，∴a －3>0，即a >3.[答案] D[方法技巧]与对数有关的单调性问题的解题策略(1)求出函数的定义域．(2)判断对数函数的底数与1的关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论．(3)判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性．能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1．[考点一]函数y ＝log 23(2x －1)的定义域是( ) A ．[1,2] B ．[1,2) C.⎣⎡⎦⎤12，1D.⎝⎛⎦⎤12，1解析：选D 由log 23(2x －1)≥0，得0<2x －1≤1，即12<x ≤1，即函数定义域为⎝⎛⎦⎤12，1. 2．[考点二](2017·石家庄模拟)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b <cB ．a ＝b >cC ．a <b <cD ．a >b >c解析：选B 因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1，所以a ＝b >c .3．[考点四]若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选A 令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．4．[考点四]设函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的定义域为[m ，n ](m <n )，值域为[0,1]，若n －m的最小值为13，则实数a 的值为( )A.14B.14或23C.23D.23或34解析：选C 作出y ＝|log a x |(0<a <1)的大致图象如图，令|log a x |＝1，得x ＝a 或x ＝1a ，又1－a －⎝⎛⎭⎫1a －1＝1－a －1－a a ＝(1－a )(a －1)a <0，故1－a <1a －1，所以n －m 的最小值为1－a ＝13，即a ＝23.5．[考点三]已知函数f (x )为奇函数，当x ＞0时，f (x )＝log 2x ，则满足不等式f (x )＞0的x 的取值范围是________．解析：由题意知y ＝f (x )的图象如图所示，所以满足f (x )＞0的x 的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．答案：(－1,0)∪(1，＋∞)[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2016·全国乙卷)若a >b >1,0<c <1，则( ) A ．a c <b c B ．ab c <ba c C ．a log b c <b log a cD ．log a c <log b c解析：选C ∵y ＝x α，α∈(0,1)在(0，＋∞)上是增函数，∴当a >b >1,0<c <1时，a c >b c ，选项A 不正确．∵y ＝x α，α∈(－1,0)在(0，＋∞)上是减函数，∴当a >b >1,0<c <1，即－1<c －1<0时，a c －1<b c －1，即ab c >ba c ，选项B 不正确．∵a >b >1，∴lg a >lg b >0，∴a lg a >b lg b >0，∴a lg b >b lg a .又∵0<c <1，∴lg c <0.∴a lg c lg b <b lg c lg a ，∴a log b c <b log a c ，选项C 正确．同理可证log a c >log b c ，选项D 不正确．2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c解析：选D a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝log 510＝1＋log 52，c ＝log 714＝1＋log 72，则只要比较log 32，log 52，log 72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，y ＝log 7x 的图象(图略)，由三个图象的相对位置关系，可知a ＞b ＞c ，故选D.3．(2012·新课标全国卷)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎫22，1 C ．(1，2)D ．(2，2)解析：选B ∵0<x ≤12，∴1<4x ≤2，∴log a x >4x >1，∴0<a <1，排除C 、D ；取a ＝12，x ＝12，则有412＝2，log 1212＝1，显然4x <log a x 不成立，排除A ，故选B.[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．已知0＜a ＜1，x ＝log a 2＋log a 3，y ＝12log a 5，z ＝log a 21－log a 3，则( )A ．x ＞y ＞zB ．z ＞y ＞xC ．y ＞x ＞zD ．z ＞x ＞y解析：选C 依题意，得x ＝log a 6，y ＝log a 5，z ＝log a 7.又0＜a ＜1，5＜6＜7，因此有log a 5＞log a 6＞log a 7，即y ＞x ＞z .2．(2017·天津模拟)已知a ＝log 25，b ＝log 5(log 25)，c ＝⎝⎛⎭⎫12－0.52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．b <a <c解析：选B a ＝log 25>2，b ＝log 5(log 25)∈(0,1)，c ＝⎝⎛⎭⎫12－0.52∈(1,2)，可得b <c <a .故选B.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 312的值是( ) A ．5 B ．3 C ．－1 D.72解析：选A 由题意可知f (1)＝log 21＝0，f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，f ⎝⎛⎭⎫log 312＝3－log 312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3，所以f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎫log 312＝2＋3＝5. 4．函数y ＝log a x 与y ＝－x ＋a 在同一坐标系中的图象可能是( )解析：选A 当a ＞1时，函数y ＝log a x 的图象为选项B 、D 中过点(1,0)的曲线，此时函数y ＝－x ＋a 的图象与y 轴的交点的纵坐标a 应满足a ＞1，选项B 、D 中的图象都不符合要求；当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 的图象为选项A 、C 中过点(1,0)的曲线，此时函数y ＝－x ＋a 的图象与y 轴的交点的纵坐标a 应满足0＜a ＜1，选项A 中的图象符合要求，选项C 中的图象不符合要求．5.设平行于y 轴的直线分别与函数y 1＝log 2x 及函数y 2＝log 2x ＋2的图象交于B ，C 两点，点A (m ，n )位于函数y 2＝log 2x ＋2的图象上，如图，若△ABC 为正三角形，则m ·2n ＝________.解析：由题意知，n ＝log 2m ＋2，所以m ＝2n －2.又BC ＝y 2－y 1＝2，且△ABC 为正三角形，所以可知B (m ＋3，n －1)在y 1＝log 2x 的图象上，所以n －1＝log 2(m ＋3)，即m ＝2n －1－3，所以2n ＝43，所以m ＝3，所以m ·2n ＝3×43＝12.答案：12[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝adD ．d ＝a ＋c解析：选B 由已知得5a ＝b,10c ＝b ，∴5a ＝10c ，∵5d ＝10，∴5dc ＝10c ，则5dc ＝5a ，∴dc ＝a ，故选B.2．设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．p ＝r ＜qC ．q ＝r ＞pD ．p ＝r ＞q解析：选B 因为b ＞a ＞0，故a ＋b 2＞ab .又f (x )＝ln x (x ＞0)为增函数，所以f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p ，即p ＝r ＜q .3．(2016·浙江高考)已知a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，若log a b ＞1，则( ) A ．(a －1)(b －1)＜0 B ．(a －1)(a －b )＞0 C ．(b －1)(b －a )＜0D ．(b －1)(b －a )＞0解析：选D ∵a ，b ＞0且a ≠1，b ≠1，∴当a ＞1，即a －1＞0时，不等式log a b ＞1可化为a log a b ＞a 1，即b ＞a ＞1，∴(a －1)(a －b )＜0，(b －1)(a －1)＞0，(b －1)(b －a )＞0.当0＜a ＜1，即a －1＜0时，不等式log a b ＞1可化为a log a b ＜a 1，即0＜b ＜a ＜1，∴(a －1)(a －b )＜0，(b －1)(a －1)＞0，(b －1)·(b －a )＞0.综上可知，选D.4．已知lg a ＋lg b ＝0(a ＞0且a ≠1，b ＞0且b ≠1)，则函数f (x )＝a x 与g (x )＝－log b x的图象可能是( )解析：选B 因为lg a ＋lg b ＝0，所以lg ab ＝0，所以ab ＝1，即b ＝1a ，故g (x )＝－logb x ＝－log 1a x ＝log a x ，则f (x )与g (x )互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，结合图象知B 正确．故选B.5.(2017·西安模拟)已知函数f (x )＝loga 2x ＋b －1(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0<a －1<b <1B ．0<b <a －1<1C ．0<b －1<a <1D ．0<a －1<b －1<1解析：选A 由函数图象可知，f (x )在R 上单调递增，故a >1.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1<log a b <0，解得1a <b <1.综上有0<1a <b <1.6．设函数f (x )＝log a |x |(a >0，且a ≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( )A ．f (a ＋1)>f (2)B ．f (a ＋1)<f (2)C ．f (a ＋1)＝f (2)D ．不能确定解析：选A 由已知得0<a <1，所以1<a ＋1<2，又易知函数f (x )为偶函数，故可以判断f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (2)．二、填空题7．lg 2＋lg 5＋20＋5132×35＝________.解析：原式＝lg 10＋1＋523×513＝32＋5＝132.答案：1328．若正数a ，b 满足2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )，则1a ＋1b 的值为________． 解析：设2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )＝k ，可得a ＝2k －2，b ＝3k －3，a ＋b ＝6k ，所以1a ＋1b ＝a ＋bab ＝6k 2k －23k －3＝108.答案：1089．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为______．解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，因此函数f (x )的最小值为－14.答案：－1410．若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________．解析：令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1.所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝⎛⎭⎫x ＋342－916，因此M 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－34，＋∞.又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32.所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．答案：(0，＋∞) 三、解答题11．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )． 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12(－x )，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4， 解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5)．12．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集． 解：(1)要使函数f (x )有意义．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1. 故所求函数f (x )的定义域为(－1,1)． (2)f (x )为奇函数．证明：由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)， 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )， 故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数， 所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1，解得0<x <1. 所以使f (x )>0的x 的解集是(0,1)．。
第7讲 函数的图象最新考纲 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，并运用函数的图象解简单的方程(不等式)问题.知 识 梳 理1.利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)对称变换y ＝f (x )的图象――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象；y ＝f (x )的图象――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象；y ＝f (x )的图象――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象――――――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象.(3)伸缩变换y ＝f (x )――――――――――――――――――→纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a （a >0）倍y ＝f (ax ). y ＝f (x )――――――――――――――――→横坐标不变各点纵坐标变为原来的A (A >0)倍y ＝Af (x ).(4)翻转变换y ＝f (x )的图象――――――――――――――――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象； y ＝f (x )的图象――――――――――――――――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象. 诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y ＝f (1－x )的图象，可由y ＝f (－x )的图象向左平移1个单位得到.( )(2)函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称即函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称.( )(3)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝f (|x |)的图象与y ＝|f (x )|的图象相同.( )(4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称.( ) 解析 (1)y ＝f (－x )的图象向左平移1个单位得到y ＝f (－1－x )，故(1)错.(2)两种说法有本质不同，前者为函数自身关于y 轴对称，后者是两个函数关于y 轴对称，故(2)错.(3)令f (x )＝－x ，当x ∈(0，＋∞)时，y ＝|f (x )|＝x ，y ＝f (|x |)＝－x ，两函数图象不同，故(3)错.答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )的解析式为( )A.f (x )＝e x ＋1B.f (x )＝e x －1C.f (x )＝e －x ＋1D.f (x )＝e －x －1解析 依题意，与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线是y ＝e －x ，于是f (x )相当于y ＝e －x 向左平移1个单位的结果，∴f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1.答案 D3.(2016·浙江卷)函数y ＝sin x 2的图象是( )解析 ∵y ＝sin(－x )2＝sin x 2，且x ∈R ，∴函数为偶函数，可排除A 项和C 项；当x ＝π2时，sin x 2＝sin π24≠1，排除B 项，只有D 满足.答案 D4.若函数y ＝f (x )在x ∈[－2，2]的图象如图所示，则当x ∈[－2，2]时，f (x )＋f (－x )＝________.解析 由于y ＝f (x )的图象关于原点对称∴f (x )＋f (－x )＝f (x )－f (x )＝0.答案 05.若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________.解析 在同一个坐标系中画出函数y ＝|x |与y ＝a －x 的图象，如图所示.由图象知当a >0时，方程|x |＝a －x 只有一个解.答案 (0，＋∞)6.(2017·绍兴调研)已知函数f (x )＝2x ，若函数g (x )的图象与f (x )的图象关于x 轴对称，则g (x )＝________；若把函数f (x )的图象向左移1个单位，向下移4个单位后，所得函数的解析式为h (x )＝________.解析 ∵g (x )的图象与函数f (x )＝2x 关于x 轴对称，∴g (x )＝－2x ，把f (x )＝2x 的图象向左移1个单位，得m (x )＝2x ＋1，再向下平移4个单位，得h (x )＝2x ＋1－4. 答案 －2x 2x ＋1－4考点一 作函数的图象【例1】 作出下列函数的图象：(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝2x －1x －1；(4)y ＝x 2－2|x |－1. 解 (1)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x ≥0的部分，再作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象中x >0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象，如图①实线部分.(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图②.(3)∵y ＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1x 图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位即得，如图③.(4)∵y ＝⎩⎨⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图④.规律方法 画函数图象的一般方法(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.【训练1】 分别画出下列函数的图象：(1)y ＝|lg x |；(2)y ＝sin |x |.解 (1)∵y ＝|lg x |＝⎩⎨⎧lg x ，x ≥1，－lg x ，0<x <1. ∴函数y ＝|lg x |的图象，如图①.(2)当x ≥0时，y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象完全相同，又y ＝sin|x |为偶函数，图象关于y 轴对称，其图象如图②.考点二 函数图象的辨识【例2】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2，2]的图象大致为( )(2)(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点.点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )解析 (1)f (x )＝2x 2－e |x |，x ∈[－2，2]是偶函数，又f (2)＝8－e 2∈(0，1)，排除选项A ，B.设g (x )＝2x 2－e x ，x ≥0，则g ′(x )＝4x －e x .又g ′(0)＜0，g ′(2)＞0，∴g (x )在(0，2)内至少存在一个极值点，∴f (x )＝2x 2－e |x |在(0，2)内至少存在一个极值点，排除C ，故选D.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2 x ，图象不会是直线段，从而排除A ，C.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝1＋5， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2 2.∵22<1＋5， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，从而排除D ，故选B. 答案 (1)D (2)B规律方法 (1)抓住函数的性质，定性分析①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从周期性，判断图象的循环往复.④从函数的奇偶性，判断图象的对称性.(2)抓住函数的特征，定量计算从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.【训练2】 (1)(2017·安徽“江南十校”联考)函数y ＝log 2(|x |＋1)的图象大致是( )(2)(2017·临沂一模)已知a 是常数，函数f (x )＝13x 3＋12(1－a )x 2－ax ＋2的导函数y＝f ′(x )的图象如图所示，则函数g (x )＝|a x －2|的图象可能是( )解析 (1)y ＝log 2(|x |＋1)是偶函数，当x ≥0时，y ＝log 2(x ＋1)是增函数，且过点(0，0)，(1，1)，只有选项B 满足.(2)由f (x )＝13x 3＋12(1－a )x 2－ax ＋2，得f ′(x )＝x 2＋(1－a )x －a ，根据y ＝f ′(x )的图象知－1－a 2>0，∴a >1.则函数g (x )＝|a x －2|的图象是由函数y ＝a x 的图象向下平移2个单位，然后将x 轴下方的图象翻折到x 轴上方得到的，故选D.答案 (1)B (2)D考点三 函数图象的应用(多维探究)命题角度一 研究函数的零点【例3－1】 已知f (x )＝⎩⎨⎧|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________.解析 由2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得f (x )＝12或f (x )＝1 作出函数y ＝f (x )的图象.由图象知y ＝12与y ＝f (x )的图象有2个交点，y ＝1与y ＝f (x )的图象有3个交点.因此函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点有5个.答案 5命题角度二 求不等式的解集【例3－2】 函数f (x )是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式f （x ）cos x <0的解集为________.解析 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝cos x >0. 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4时，y ＝cos x <0.结合y ＝f (x )，x ∈[0，4]上的图象知，当1＜x <π2时，f （x ）cos x <0.又函数y ＝f （x ）cos x 为偶函数，∴在[－4，0]上，f （x ）cos x <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1， 所以f （x ）cos x <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎪⎫1，π2 命题角度三 求参数的取值或范围【例3－3】 (2017·杭州五校联盟诊断)若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )看作同一个“伙伴点组”).已知函数f (x )＝⎩⎨⎧kx －1，x >0，－ln （－x ），x <0有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是( )A.(－∞，0)B.(0，1)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D.(0，＋∞)解析 依题意，“伙伴点组”的点满足：都在y ＝f (x )的图象上，且关于坐标原点对称.可作出函数y ＝－ln(－x )(x <0)关于原点对称的函数y ＝ln x (x >0)的图象， 使它与直线y ＝kx －1(x >0)的交点个数为2即可.当直线y ＝kx －1与y ＝ln x 的图象相切时，设切点为(m ，ln m )，又y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，则km －1＝ln m ，k ＝1m ，解得m ＝1，k ＝1，可得函数y ＝ln x (x >0)的图象过(0，－1)点的切线的斜率为1，结合图象可知k∈(0，1)时两函数图象有两个交点.答案 B规律方法(1)利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性.(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解.(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.【训练3】(1)(2015·全国Ⅰ卷)设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y ＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝()A.－1B.1C.2D.4(2)已知函数y＝f(x)的图象是圆x2＋y2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f(x)>f(－x)－2x的解集是________.解析(1)设(x，y)是函数y＝f(x)图象上任意一点，它关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)，由y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x 对称，可知(－y，－x)在y＝2x＋a的图象上，即－x＝2－y＋a，解得y＝－log2(－x)＋a，所以f(－2)＋f(－4)＝－log22＋a－log24＋a＝1，解得a＝2，选C.(2)由图象可知，函数f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为f(x)>－x.在同一直角坐标系中分别画出y＝f(x)与y＝－x的图象，由图象可知不等式的解集为(－1，0)∪(1，2].答案(1)C(2)(－1，0)∪(1，2][思想方法]1.识图对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系.2.用图借助函数图象，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质.利用函数的图象，还可以判断方程f (x )＝g (x )的解的个数，求不等式的解集等.[易错防范]1.图象变换是针对自变量x 而言的，如从f (－2x )的图象到f (－2x ＋1)的图象是向右平移12个单位，先作如下变形f (－2x ＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，可避免出错. 2.明确一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系.3.当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.为了得到函数y ＝2x －2的图象，可以把函数y ＝2x 图象上所有的点( )A.向右平行移动2个单位长度B.向右平行移动1个单位长度C.向左平行移动2个单位长度D.向左平行移动1个单位长度解析 因为y ＝2x －2＝2(x －1)，所以只需将函数y ＝2x 的图象上所有的点向右平移1个单位长度即可得到y ＝2(x －1)＝2x －2的图象.答案 B2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是( )解析 小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，排除 A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，排除 D.后来为了赶时间加快速度行驶，排除B.故选C.答案 C3.(2015·浙江卷)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )解析 (1)因为f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1x cos(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x ＝－f (x )，－π≤x ≤π且x ≠0，所以函数f (x )为奇函数，排除A ，B.当x ＝π时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1πcos π<0，排除C ，故选D.答案 D4.(2017·杭州一调)函数y ＝(x 3－x )2|x |的图象大致是( )解析 由于函数y ＝(x 3－x )2|x |为奇函数，故它的图象关于原点对称.当0<x <1时，y <0；当x >1时，y >0.排除选项A ，C ，D ，选B.答案 B5.使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围是( )A.(－1，0)B.[－1，0)C.(－2，0)D.[－2，0)解析 在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1，0)，故选A.答案 A二、填空题6.(2017·丽水调研)函数y ＝2x －12x ＋1为________函数(填“奇”或“偶”)，函数f (x )＝22x ＋1＋1的对称中心为________. 解析 y ＝2x －12x ＋1的定义域为R ，记g (x )＝2x －12x ＋1，则g (－x )＝2－x －12－x ＋1＝1－2x2x ＋1＝－g (x )，∴g (x )即y ＝2x －12x ＋1是奇函数；函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＋f (x )＝22－x ＋1＋1＋22x ＋1＋1＝2（2x ＋1）2x ＋1＋2＝4，故f (x )的对称中心为(0，4). 答案 奇 (0，4)7.如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为________.解析 当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0).则⎩⎨⎧－k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎨⎧k ＝1，b ＝1，∴y ＝x ＋1. 当x >0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1(a ≠0).∵图象过点(4，0)，∴0＝a (4－2)2－1，得a ＝14. 答案 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ≤0，14（x －2）2－1，x >0 8.设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________.解析 如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞).答案 [－1，＋∞)三、解答题9.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈（2，5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值.解 (1)函数f (x )的图象如图所示.(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，0]，[2，5].(3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1，当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.10.已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)作出函数f (x )的图象；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}.解 (1)当x 2－4x ＋3≥0时，x ≤1或x ≥3，∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，－x 2＋4x －3，1<x <3， ∴f (x )的图象为：(2)由函数的图象可知f (x )的单调区间是(－∞，1]，(2，3)，(1，2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2，3)是减区间；(1，2]，[3，＋∞)是增区间.(3)由f (x )的图象知，当0<m <1时，f (x )＝m 有四个不相等的实根，所以M ＝{m |0<m <1}.能力提升题组(建议用时：25分钟)11.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是( )A.f (x 1)＋f (x 2)<0B.f (x 1)＋f (x 2)>0C.f (x 1)－f (x 2)>0D.f (x 1)－f (x 2)<0解析 函数f (x )的图象如图所示：且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数.又0<|x 1|<|x 2|，∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)<0.答案 D12.(2015·安徽卷)函数f (x )＝ax ＋b （x ＋c ）2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A.a >0，b >0，c <0B.a <0，b >0，c >0C.a <0，b >0，c <0D.a <0，b <0，c <0 解析 函数定义域为{x |x ≠－c }，结合图象知－c >0，∴c <0.令x ＝0，得f (0)＝b c 2，又由图象知f (0)>0，∴b >0.令f (x )＝0，得x ＝－b a ，结合图象知－b a >0，∴a <0.答案 C13.(2017·宁波质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x >1， (1)若对任意的x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立，则实数k 的取值范围为________；(2)若存在x ∈R ，使|f (x )|≤k ，则实数k 的取值范围是________.解析 (1)对任意x ∈R ，都有f (x )≤|k －1|成立，即f (x )max ≤|k －1|.因为f (x )的草图如图所示，观察f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x >1 的图象可知，当x ＝12时，函数f (x )max ＝14，所以|k －1|≥14，解得k ≤34或k ≥54.(2)|f (x )|的图象如图所示且|f (x )|∈[0，＋∞)，∵存在x ∈R ，使|f (x )|≤k ，故k 的取值范围是[0，＋∞).答案 (1)⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞ (2)[0，＋∞)14.已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0，1)对称.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x ，g (x )在区间(0，2]上的值不小于6，求实数a 的取值范围.解 (1)设f (x )图象上任一点坐标为(x ，y )，∵点(x ，y )关于点A (0，1)的对称点(－x ，2－y )在h (x )的图象上，∴2－y ＝－x ＋1－x＋2， ∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x .(2)由题意g (x )＝x ＋a ＋1x ，且g (x )＝x ＋a ＋1x ≥6，x ∈(0，2].∵x ∈(0，2]，∴a ＋1≥x (6－x )，即a ≥－x 2＋6x －1.令q (x )＝－x 2＋6x －1，x ∈(0，2]，q (x )＝－x 2＋6x －1＝－(x －3)2＋8， ∴当x ∈(0，2]时，q (x )是增函数，q (x )max ＝q (2)＝7.故实数a 的取值范围是[7，＋∞).15.已知函数f (x )＝x 2－ax －4(a ∈R )的两个零点为x 1，x 2，设x 1<x 2.(1)当a >0时，证明：－2<x 1<0；(2)若函数g (x )＝x 2－|f (x )|在区间(－∞，－2)和(2，＋∞)上均单调递增，求a 的取值范围.(1)证明 令f (x )＝0解得x 1＝a －a 2＋162，x 2＝a ＋a 2＋162. ∵a 2＋16>a 2＝a ，∴a －a 2＋162<0.∵a >0， ∴a 2＋16<a 2＋8a ＋16＝a ＋4，∴a －a 2＋162>a －（a ＋4）2＝－2. ∴－2<x 1<0.(2)解 g (x )＝x 2－|x 2－ax －4|，∴g ′(x )＝2x －|2x －a |，∵g (x )在区间(－∞，－2)和(2，＋∞)上均单调递增，∴g ′(x )>0，即2x >|2x －a |(x >2).当a ＝0时，显然不成立，若a >0，作出y ＝2x 和y ＝|2x －a |的函数图象如图：∴0<a 4≤2，解得0<a ≤8.若a <0，作出y ＝2x 和y ＝|2x －a |的函数图象如图：有图象可知2x <|2x －a |，故g ′(x )>0不成立，不符合题意.综上，a的取值范围是(0，8].。
第8讲函数与方程、函数的模型及其应用最新考纲 1.了解函数零点的概念，掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法；2.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；3.了解函数模型【如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.知识梳理1.函数的零点【1)函数零点的概念对于函数y＝f【x)，把使f【x)＝0的实数x叫做函数y＝f【x)的零点.【2)函数零点与方程根的关系方程f【x)＝0有实数根⇔函数y＝f【x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f【x)有零点.【3)零点存在性定理如果函数y＝f【x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f【a)·f 【b)<0；则函数y＝f【x)在【a，b)上存在零点，即存在c∈【a，b)，使得f【c)＝0，这个c也就是方程f【x)＝0的根.2.二次函数y＝ax2＋bx＋c【a>0)的图象与零点的关系【1)一次函数模型：y＝kx＋b【k≠0).【2)反比例函数模型：y＝kx【k≠0).【3)二次函数模型：y ＝ax 2＋bx ＋c 【a ，b ，c 为常数，a ≠0). 【4)指数函数模型：y ＝a ·b x ＋c 【b >0，b ≠1，a ≠0). 【5)对数函数模型：y ＝m log a x ＋n 【a >0，a ≠1，m ≠0). 4.指数、对数、幂函数模型性质比较1.判断正误【在括号内打“√”或“×”) 【1)函数f 【x )＝lg x 的零点是【1，0).【 )【2)图象连续的函数y ＝f 【x )【x ∈D )在区间【a ，b )⊆D 内有零点，则f 【a )·f 【b )<0.【 )【3)若函数f 【x )在【a ，b )上单调且f 【a )·f 【b )<0，则函数f 【x )在[a ，b ]上有且只有一个零点.【 )【4)f 【x )＝x 2，g 【x )＝2x ，h 【x )＝log 2x ，当x ∈【4，＋∞)时，恒有h 【x )<f 【x )<g 【x ).【 ) 解析 【1)f 【x )＝lg x 的零点是1，故【1)错.【2)f 【a )·f 【b )＜0是连续函数y ＝f 【x )在【a ，b )内有零点的充分不必要条件，故【2)错.答案 【1)× 【2)× 【3)√ 【4)√2.【必修1P88例1改编)函数f 【x )＝e x ＋3x 的零点个数是【 ) A.0B.1C.2D.3解析 由已知得f ′【x )＝e x ＋3＞0，所以f 【x )在R 上单调递增，又f 【－1)＝1e －3<0，f 【0)＝1>0，因此函数f 【x )有且只有一个零点. 答案 B3.【2015·安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是【 ) A.y ＝cos x B.y ＝sin x C.y ＝ln xD.y ＝x 2＋1解析 由函数是偶函数，排除选项B 、C ，又选项D 中函数没有零点，排除D ，y ＝cos x 为偶函数且有零点. 答案 A4.已知某种动物繁殖量y 【只)与时间x 【年)的关系为y ＝a log 3【x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到【 ) A.100只 B.200只 C.300只D.400只解析 由题意知100＝a log 3【2＋1)，∴a ＝100，∴y ＝100log 3【x ＋1)，当x ＝8时，y ＝100log 39＝200. 答案 B5.函数f 【x )＝ax ＋1－2a 在区间【－1，1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________.解析 因为函数f 【x )＝ax ＋1－2a 在区间【－1，1)上是单调函数，所以若f 【x )在区间【－1，1)上存在一个零点，则满足f 【－1)f 【1)＜0，即【－3a ＋1)·【1－a )<0，解得13<a <1. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，16.【2017·绍兴调研)已知f 【x )＝⎩⎨⎧x 2，x <0，2x －2，x ≥0，则f 【f 【－2))＝________；函数f 【x )的零点的个数为________.解析 根据题意得：f 【－2)＝【－2)2＝4，则f 【f 【－2))＝f 【4)＝24－2＝16－2＝14；令f 【x )＝0，得到2x －2＝0，解得：x ＝1，则函数f 【x )的零点个数为1. 答案 14 1考点一 函数零点所在区间的判断【例1】 【1)若a <b <c ，则函数f 【x )＝【x －a )【x －b )＋【x －b )【x －c )＋【x －c )【x －a )的两个零点分别位于区间【 )A.【a ，b )和【b ，c )内B.【－∞，a )和【a ，b )内C.【b ，c )和【c ，＋∞)内D.【－∞，a )和【c ，＋∞)内【2)设f 【x )＝ln x ＋x －2，则函数f 【x )的零点所在的区间为【 ) A.【0，1)B.【1，2)C.【2，3)D.【3，4)解析 【1)∵a <b <c ，∴f 【a )＝【a －b )【a －c )>0， f 【b )＝【b －c )【b －a )<0，f 【c )＝【c －a )【c －b )>0，由函数零点存在性定理可知：在区间【a ，b )，【b ，c )内分别存在零点，又函数f 【x )是二次函数，最多有两个零点；因此函数f 【x )的两个零点分别位于区间【a ，b )，【b ，c )内，故选A.【2)法一 函数f 【x )的零点所在的区间可转化为函数g 【x )＝ln x ，h 【x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的取值范围.作图如下：可知f 【x )的零点所在的区间为【1，2).法二 易知f 【x )＝ln x ＋x －2在【0，＋∞)上为增函数， 且f 【1)＝1－2＝－1<0，f 【2)＝ln 2>0.所以根据函数零点存在性定理可知在区间【1，2)内函数存在零点. 答案 【1)A 【2)B规律方法 确定函数f 【x )的零点所在区间的常用方法【1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f 【x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f 【a )·f 【b )<0.若有，则函数y ＝f 【x )在区间【a ，b )内必有零点.【2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断.【训练1】 已知函数f 【x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是【 ) A.【0，1)B.【1，2)C.【2，3)D.【3，4)解析 ∵f 【x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2在【0，＋∞)上是增函数，又f 【1)＝ln 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝ln 1－2<0，f 【2)＝ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝ln 2－1<0，f 【3)＝ln 3－12>0.故f 【x )的零点x 0∈【2，3). 答案 C考点二 函数零点个数的判断【例2】 【1)函数f 【x )＝⎩⎨⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________.【2)函数f 【x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为________. A.1B.2C.3D.4解析 【1)当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2【正根舍).所以在【－∞，0]上有一个零点.当x >0时，f ′【x )＝2＋1x >0恒成立，所以f 【x )在【0，＋∞)上是增函数. 又因为f 【2)＝－2＋ln 2<0，f 【3)＝ln 3>0，所以f 【x )在【0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f 【x )的零点个数为2.【2)令f 【x )＝2x|log 0，5x |－1＝0，得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.设g 【x )＝|log 0.5x |，h 【x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，在同一坐标系下分别画出函数g 【x )，h 【x )的图象【如图).由图象知，两函数的图象有两个交点，因此函数f 【x )有2个零点. 答案 【1)2 【2)B规律方法 函数零点个数的判断方法：【1)直接求零点，令f 【x )＝0，有几个解就有几个零点；【2)零点存在性定理，要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f 【a )·f 【b )<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；【3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数. 【训练2】 【2015·湖北卷)f 【x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________.解析 f 【x )＝2sin x cos x －x 2＝sin 2x －x 2，则函数的零点即为函数y ＝sin 2x 与函数y ＝x 2图象的交点，如图所示，两图象有2个交点，则函数有2个零点.答案 2考点三 函数零点的应用【例3】 【2017·昆明调研)已知定义在R 上的偶函数f 【x )满足f 【x －4)＝f 【x )，且在区间[0，2]上f 【x )＝x ，若关于x 的方程f 【x )＝log a x 有三个不同的实根，求a 的取值范围.解 由f 【x －4)＝f 【x )知，函数的周期T ＝4. 又f 【x )为偶函数，∴f 【x )＝f 【－x )＝f 【4－x )，因此函数y ＝f 【x )的图象关于x ＝2对称. 又f 【2)＝f 【6)＝f 【10)＝2.要使方程f 【x )＝log a x 有三个不同的实根.由函数的图象【如图)，必须有⎩⎨⎧f （6）<2，f （10）>2，a >1.即⎩⎨⎧log a 6<2，log a 10>2，a >1.解之得6<a <10.故a 的取值范围是【6，10).规律方法 已知函数有零点【方根有根)求参数值常用的方法：【1)直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； 【2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；【3)数形结合，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解.【训练3】 【1)【2017·东阳一中检测)已知函数f 【x )＝⎩⎨⎧e x＋a ，x ≤0，3x －1，x >0【a ∈R )，若函数f 【x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是【 ) A.【－∞，－1) B.【－∞，0) C.【－1，0)D.[－1，0)【2)【2016·山东卷)已知函数f 【x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f 【x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________. 解析 【1)当x >0时，f 【x )＝3x －1有一个零点x ＝13.因此当x ≤0时，f 【x )＝e x ＋a ＝0只有一个实根， ∴a ＝－e x 【x ≤0)，则－1≤a <0.【2)在同一坐标系中，作y ＝f 【x )与y ＝b 的图象.当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝【x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f 【x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ， 即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3. 答案 【1)D 【2)【3，＋∞)考点四 构建函数模型解决实际问题【易错警示)【例4】 【1)【2016·四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是【参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)【 ) A.2018年 B.2019年 C.2020年D.2021年【2)【2017·河南省实验中学期中)为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C 【单位：万元)与隔热层厚度x 【单位：cm)满足关系：C 【x )＝k 3x ＋5【0≤x ≤10，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f 【x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. ①求k 的值及f 【x )的表达式；②隔热层修建多厚时，总费用f 【x )达到最小？并求最小值.【1)解析 设2015年后的第n 年该公司投入的研发资金为y 万元，则y ＝130【1＋12%)n .依题意130【1＋12%)n >200，得1.12n >2013.两边取对数，得n ·lg1.12>lg 2－lg 1.3∴n >lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n ≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元. 答案 B【2)解 ①当x ＝0时，C ＝8，∴k ＝40， ∴C 【x )＝403x ＋5【0≤x ≤10)， ∴f 【x )＝6x ＋20×403x ＋5＝6x ＋8003x ＋5【0≤x ≤10). ②由①得f 【x )＝2【3x ＋5)＋8003x ＋5－10. 令3x ＋5＝t ，t ∈[5，35]， 则y ＝2t ＋800t －10≥22t ·800t －10＝70，当且仅当2t ＝800t 即t ＝20时“＝”成立，此时由3x ＋5＝20得x ＝5.∴函数y ＝2t ＋800t －10在t ＝20时取得最小值，此时x ＝5， 因此f 【x )的最小值为70.∴隔热层修建5 cm 厚时，总费用f 【x )达到最小，最小值为70万元. 规律方法 【1)构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法： ①构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解. ②构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法.③构建f 【x )＝x ＋ax 【a >0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解. 【2)解函数应用题的程序是：①审题；②建模；③解模；④还原. 易错警示 求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制.【训练4】 【1)【2017·成都调研)某食品的保鲜时间y 【单位：小时)与储藏温度x 【单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b 【e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时.【2)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v 【单位：千米/时)是车流密度x 【单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时.研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数.①当0≤x ≤200时，求函数v 【x )的表达式；②当车流密度x 为多大时，车流量【单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f 【x )＝x ·v 【x )可以达到最大，并求出最大值【精确到1辆/时). 【1)解析 由已知条件，得192＝e b 又48＝e 22k ＋b ＝e b ·【e 11k )2∴e 11k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4819212＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1412＝12，设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时， 则t ＝e33k ＋b＝192 e 33k＝192【e 11k )3＝192×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝24.答案 24【2)解 ①由题意，得当0≤x ≤20时，v 【x )＝60； 当20≤x ≤200时，设v 【x )＝ax ＋b 【a ≠0)， 所以⎩⎨⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故当0≤x ≤200时，函数v 【x )的表达式为 v 【x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13（200－x ），20<x ≤200.②依题意并由【1)可得f 【x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x （200－x ），20<x ≤200.当0≤x ≤20时，f 【x )为增函数，所以f 【x )在区间[0，20]上的最大值为f 【20)＝60×20＝1 200； 当20<x ≤200时，f 【x )＝13x 【200－x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋（200－x ）22＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ， 即x ＝100时，等号成立.所以当x ＝100时，f 【x )在区间【20，200]上取得最大值10 0003. 综上可知，当x ＝100时，f 【x )在区间[0，200]上取得最大值10 0003≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时.[思想方法]1.转化思想在函数零点问题中的应用方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题. 2.判断函数零点个数的常用方法 【1)通过解方程来判断.【2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断.【3)将函数y ＝f 【x )－g 【x )的零点个数转化为函数y ＝f 【x )与y ＝g 【x )图象公共点的个数来判断.3.求解函数应用问题的步骤：【1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； 【2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；【3)解模：求解数学模型，得出数学结论； 【4)还原：将数学问题还原为实际问题. [易错防范]1.函数的零点不是点，是方程f 【x )＝0的实根.2.函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.3.函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型.并根据实际问题，合理确定函数的定义域.4.注意问题反馈.在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.基础巩固题组【建议用时：40分钟)一、选择题1.【2017·赣中南五校联考)函数f 【x )＝3x －x 2的零点所在区间是【 )A.【0，1)B.【1，2)C.【－2，－1)D.【－1，0)解析 由于f 【－1)＝－23<0，f 【0)＝30－0＝1>0，∴f 【－1)·f 【0)<0.则f 【x )在【－1，0)内有零点.答案 D2.已知函数f 【x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f 【x )的零点为【 ) A.12，0 B.－2，0 C.12 D.0解析 当x ≤1时，由f 【x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f 【x )＝1＋log 2x＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解.综上函数f 【x )的零点只有0.答案 D3.【2017·杭州调研)函数f 【x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间【1，2)内，则实数a的取值范围是【 )A.【1，3)B.【1，2)C.【0，3)D.【0，2)解析 因为函数f 【x )＝2x －2x －a 在区间【1，2)上单调递增，又函数f 【x )＝2x－2x －a 的一个零点在区间【1，2)内，则有f 【1)·f 【2)<0，所以【－a )【4－1－a )<0，即a 【a －3)<0，所以0<a <3.答案 C4.【2017·德阳一诊)将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过mmin 甲桶中的水只有a 4 L ，则m 的值为【 )A.5B.8C.9D.10解析 ∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y ＝f 【t )＝a e nt 满足f 【5)＝a e 5n ＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f 【t )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 5， 因此，当k min 后甲桶中的水只有a 4 L 时，f 【k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14， ∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5.答案 A5.【2017·湖北七校联考)已知f 【x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f【2x 2＋1)＋f 【λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是【 )A.14B.18C.－78D.－38解析 令y ＝f 【2x 2＋1)＋f 【λ－x )＝0，则f 【2x 2＋1)＝－f 【λ－x )＝f 【x －λ)，因为f 【x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ，只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8【1＋λ)＝0，解得λ＝－78.答案 C二、填空题6.【2016·浙江卷)设函数f 【x )＝x 3＋3x 2＋1，已知a ≠0，且f 【x )－f 【a )＝【x －b )【x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝________，b ＝________.解析 ∵f 【x )＝x 3＋3x 2＋1，则f 【a )＝a 3＋3a 2＋1，∴f 【x )－f 【a )＝【x －b )【x －a )2＝【x －b )【x 2－2ax ＋a 2)＝x 3－【2a ＋b )x 2＋【a 2＋2ab )x －a 2b ＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2.由此可得⎩⎨⎧2a＋b ＝－3，①a 2＋2ab ＝0，②a 3＋3a 2＝a 2b .③∵a ≠0，∴由②得a ＝－2b ，代入①式得b ＝1，a ＝－2.答案 －2 17.【2017·湖州调研)设在海拔x m 处的大气压强是y Pa ，y 与x 之间的函数关系为y ＝c e kx ，其中c ，k 为常量.已知某天的海平面的大气压为1.01×105 Pa ，1 000 m 高空的大气压为0.90×105Pa ，则c ＝________，k ＝________，600 m 高空的大气压强约为________Pa 【保留3位有效数字).解析 将x ＝0时，y ＝1.01×105 Pa 和x ＝1 000时，y ＝0.90×105Pa 分别代入y＝c e kx ，得⎩⎨⎧1.01×105＝c e 0，0.90×105＝c e1 000k ，所以c ＝1.01×105，所以e 1 000k ＝0.90×1051.01×105＝0.901.01，所以k ＝11 000×ln 0.901.01，用计算器算得k ≈－1.153×10－4，所以y ＝1.01×105×e －1.153×10－4x ，将x ＝600代入上述函数式，得y ≈9.42×104 Pa ，即在600 m 高空的大气压强约为9.42×104 Pa.答案 1.01×105 －1.153×10－4 9.42×1048.【2015·安徽卷)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________.解析 函数y ＝|x －a |－1的图象如图所示，因为直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，故2a ＝－1，解得a ＝－12.答案 －12三、解答题9.已知二次函数f 【x )＝x 2＋【2a －1)x ＋1－2a ，【1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f 【x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；【2)若y ＝f 【x )在区间【－1，0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围. 解 【1)“对于任意的a ∈R ，方程f 【x )＝1必有实数根”是真命题.依题意，f 【x )＝1有实根，即x 2＋【2a －1)x －2a ＝0有实根，因为Δ＝【2a －1)2＋8a ＝【2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋【2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f 【x )＝1必有实根.【2)依题意，要使y ＝f 【x )在区间【－1，0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点， 只需⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （0）<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <34. 故实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪12<a <34. 10.【2017·山东实验中学月考)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v 【单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋b log 3Q 10【其中a 、b 是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.【1)求出a 、b 的值；【2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解 【1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故有a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎨⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1.【2)由【1)知，v ＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，即－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位.能力提升题组【建议用时：25分钟)11.已知函数f 【x )＝⎩⎨⎧0，x ≤0，e x ，x >0，则使函数g 【x )＝f 【x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是【 )A.[0，1)B.【－∞，1)C.【－∞，1]∪【2，＋∞)D.【－∞，0]∪【1，＋∞) 解析 函数g 【x )＝f 【x )＋x －m 的零点就是方程f 【x )＋x ＝m 的根，画出h 【x )＝f 【x )＋x ＝⎩⎨⎧x ，x ≤0，e x ＋x ，x >0的大致图象【图略). 观察它与直线y ＝m 的交点，得知当m ≤0或m >1时，有交点，即函数g 【x )＝f【x )＋x －m 有零点.答案 D12.【2017·石家庄质检)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t 【单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c 【a ，b ，c 是常数)，如图3记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为【 )A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟解析 根据图表，把【t ，p )的三组数据【3，0.7)，【4，0.8)，【5，0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得⎩⎨⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎨⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3， 解得⎩⎨⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－152t ＋22516＋4516－2＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1542＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟.答案 B13.【2017·绍兴调研)已知f 【x )＝1x ＋2－m |x |，若f 【x )有两个零点，则实数m 的值为________；若f 【x )有三个零点，则实数m 的取值范围是________.解析 函数f 【x )的零点，即为方程1x ＋2－m |x |＝0即1m ＝|x |【x ＋2)的实数根，令g 【x )＝|x |【x ＋2)＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x >0，－x 2－2x ，x <0，其图象如图所示，当m ＝1时，g 【x )图象与y ＝1m 有2个交点；当0<1m <1，即m >1时，有3个交点.答案 1 【1，＋∞)14.设函数f 【x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x 【x >0). 【1)作出函数f 【x )的图象；【2)当0<a <b ，且f 【a )＝f 【b )时，求1a ＋1b 的值；【3)若方程f 【x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围.解 【1)如图所示.【2)∵f 【x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ∈（0，1]，1－1x ，x ∈（1，＋∞），故f 【x )在【0，1]上是减函数，而在【1，＋∞)上是增函数.由0<a <b 且f 【a )＝f 【b )，得0<a <1<b ，且1a －1＝1－1b ，∴1a ＋1b ＝2.【3)由函数f 【x )的图象可知，当0<m <1时，函数f 【x )的图象与直线y ＝m 有两个不同的交点，即方程f 【x )＝m 有两个不相等的正根.15.已知函数f 【x )＝1|x ＋2|＋kx ＋b ，其中k ，b 为实数且k ≠0. 【1)当k >0时，根据定义证明f 【x )在【－∞，－2)单调递增；【2)求集合M k ＝{b |函数f 【x )有三个不同的零点}.【1)证明 当x ∈【－∞，－2)时，f 【x )＝－1x ＋2＋kx ＋b . 任取x 1，x 2∈【－∞，－2)，设x 2>x 1.f 【x 1)－f 【x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋2＋kx 1＋b －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋2＋kx 2＋b ＝【x 1－x 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1（x 1＋2）（x 2＋2）＋k . 由所设得x 1－x 2<0，1（x 1＋2）（x 2＋2）>0，又k >0， ∴f 【x 1)－f 【x 2)<0，即f 【x 1)<f 【x 2).∴f 【x )在【－∞，－2)单调递增.【2)解 函数f 【x )有三个不同零点，即方程1|x ＋2|＋kx ＋b ＝0有三个不同的实根. 方程化为：⎩⎨⎧x >－2，kx 2＋（b ＋2k ）x ＋（2b ＋1）＝0，与⎩⎨⎧x <－2，kx 2＋（b ＋2k ）x ＋（2b －1）＝0. 记u 【x )＝kx 2＋【b ＋2k )x ＋【2b ＋1)，v 【x )＝kx 2＋【b ＋2k )x ＋【2b －1). ①当k >0时，u 【x )，v 【x )开口均向上.由v 【－2)＝－1<0知v 【x )在【－∞，－2)有唯一零点.为满足f 【x )有三个零点，u 【x )在【－2，＋∞)应有两个不同零点.∴⎩⎪⎨⎪⎧u （－2）>0，（b ＋2k ）2－4k （2b ＋1）>0，－b ＋2k 2k >－2，∴b <2k －2k . ②当k <0时，u 【x )，v 【x )开口均向下.由u 【－2)＝1>0知u 【x )在【－2，＋∞)有唯一零点.为满足f 【x )有三个零点，v【x )在【－∞，－2)应有两个不同零点.∴⎩⎪⎨⎪⎧v （－2）<0，（b ＋2k ）2－4k （2b －1）>0，－b ＋2k 2k <－2.∴b <2k －2－k . 综合①②可得M k ＝{b |b <2k －2|k |}.。
§2.6对数与对数函数考纲展示►1。
理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念，和对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．3．知道对数函数是一类重要的函数模型．4．了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数（a〉0，且a≠1)．考点1 对数的运算1.对数的概念如果a x＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作________，其中________叫做对数的底数，________叫做真数．答案:x＝log a N a N2．对数的性质与运算法则（1）对数的运算法则:如果a>0且a≠1,M〉0，N>0,那么①log a（MN）＝____________；②log a错误!＝____________；③log a M n＝________（n∈R）；④log a m M n＝错误!log a M。
（2)对数的性质：①a log a N＝________；②log a a N＝________(a>0且a≠1）．(3）对数的重要公式：①换底公式：log b N＝错误!（a，b均大于0且不等于1)；②log a b＝错误!，推广log a b·log b c·log c d＝________。
答案:（1)①log a M＋log a N②log a M－log a N③n log a M (2）①N②N(3)②log a d（1）[教材习题改编］lg错误!＋lg错误!的值是（)A。
错误!B．1C．10 D．100答案:B(2）［教材习题改编］(log29)·(log34）＝（)A.错误!B．错误!C．2 D．4答案:D(3）[教材习题改编］已知log53＝a，log54＝b，lg 2＝m，求错误!＋lg 4b的值（用m表示）．解:错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝2lg 5＝2(1－lg 2)＝2(1－m）．误用对数运算法则．(1）log3错误!－log3错误!＋错误!－1＝________.（2）(log29)·(log34)＝________.答案：(1)2 （2)4解析：（1)原式＝log3错误!＋31＝log3错误!＋3＝－1＋3＝2。
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课时分层训练(八) 对数函数A组基础达标(建议用时：30分钟）一、选择题1．函数y＝的定义域是( )A．[1，2］B．[1，2)C.错误!D.错误!D[由（2x－1)≥0⇒0＜2x－1≤1⇒错误!＜x≤1。
］2．(2017·石家庄模拟）已知a＝log23＋log2错误!，b＝log29－log2错误!，c＝log32，则a，b，c的大小关系是（）A．a＝b＜c B．a＝b＞cC．a＜b＜c D．a＞b＞cB[因为a＝log23＋log2错误!＝log23错误!＝错误!log23＞1，b＝log29－log2错误!＝log23错误!＝a，c＝log32＜log33＝1，所以a＝b＞c。
]3．若函数y＝log a x(a＞0，且a≠1）的图象如图2.6.3所示,则下列函数图象正确的是( )图26。
3A B C DB[由题图可知y＝log a x的图象过点(3,1)，∴log a3＝1，即a＝3.A项,y＝3－x＝错误!x在R上为减函数,错误；B项，y＝x3符合;C项，y＝（－x）3＝－x3在R上为减函数，错误；D项,y＝log3(－x）在(－∞，0)上为减函数，错误．]4．已知函数f(x）＝错误!则f（f(1）)＋f错误!的值是（)A．5 B．3C．－1 D。
第6讲对数与对数函数最新考纲 1.理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式；2.理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用.知识梳理1.对数的概念如果a x＝N【a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质【1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b【a>0，且a≠1).【2)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a【MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M【n∈R)；④log a m M n＝nm log a M【m，n∈R，且m≠0).【3)对数的重要公式①换底公式：log b N＝log a Nlog a b【a，b均大于零且不等于1)；②log a b＝1log b a，推广log a b·log b c·log c d＝log a d.3.对数函数及其性质【1)概念：函数y＝log a x【a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是【0，＋∞).【2)对数函数的图象与性质指数函数y ＝a x 【a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x 【a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称.诊 断 自 测1.判断正误【在括号内打“√”或“×”) 【1)log 2x 2＝2log 2x .【 )【2)函数y ＝log 2【x ＋1)是对数函数【 ) 【3)函数y ＝ln1＋x1－x与y ＝ln 【1＋x )－ln 【1－x )的定义域相同.【 ) 【4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b .【 ) 解析 【1)log 2x 2＝2log 2|x |，故【1)错.【2)形如y ＝log a x 【a ＞0，且a ≠1)为对数函数，故【2)错. 【4)当x ＞1时，log a x ＞logb x ，但a 与b 的大小不确定，故【4)错. 答案 【1)× 【2)× 【3)√ 【4)×2.已知函数y ＝log a 【x ＋c )【a ，c 为常数，其中a >0，且a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是【 ) A.a >1，c >1 B.a >1，0<c <1 C.0<a <1，c >1 D.0<a <1，0<c <1解析 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a <1.又当x ＝0时，y >0，即log a c >0，所以0<c <1. 答案 D3.【必修1P73T3改编)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则【 )A.a >b >cB.a >c >bC.c >b >aD.c >a >b 解析 ∵0<a <1，b <0，c ＝log 1213＝log 23>1.∴c >a >b . 答案 D4.【2017·湖州调研)已知a >0且a ≠1，若a 32＝278，则a ＝________；log 32a ＝________.解析 ∵a >0且a ≠1，∴由a 32＝278得a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫27823＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝94；log 32a ＝log 3294＝2.答案 94 25.【2015·浙江卷)计算：log 222＝________；2log23＋log43＝________. 解析 log 222＝log 22－log 22＝12－1＝－12；2log 23＋log 43＝2log 23·2log 43＝3×2log 43＝3×2log 23＝3 3.答案 －12 3 36.若log a 34<1【a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________.解析 当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，解得0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，解得a >1.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪【1，＋∞)考点一 对数的运算【例1】 【1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于【 ) A.10B.10C.20D.100【2)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________.解析 【1)由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.解得m ＝10.【2)原式＝【lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.答案 【1)A 【2)－20规律方法 【1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.【2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.【3)a b ＝N ⇔b ＝log a N 【a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【训练1】 【1)【2017·北京东城区综合练习)已知函数f 【x )＝⎩⎨⎧2x，x ≥4，f （x ＋1），x <4，则f 【2＋log 23)的值为【 ) A.24B.16C.12D.8【2)【2015·安徽卷)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________.解析 【1)因为3<2＋log 23<4，所以f 【2＋log 23)＝f 【3＋log 23)＝23＋log 23＝8×2log 23＝24.【2)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝lg 5＋lg 2－2＝lg 10－2＝－1.答案 【1)A 【2)－1考点二 对数函数的图象及应用【例2】 【1)【2017·郑州一模)若函数y ＝a |x |【a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是【 )【2)【2017·金华调研)已知函数f 【x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f 【x )＋x －a＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________. 解析 【1)由于y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}， ∴a >1，则y ＝log a x 在【0，＋∞)上是增函数， 又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称. 因此y ＝log a |x |的图象应大致为选项B.【2)如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f 【x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上截距.由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点.答案 【1)B 【2)a >1规律方法 【1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点【与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 【2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.【训练2】 【1)函数y ＝2log 4【1－x )的图象大致是【 )【2)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是【 ) A.⎝⎛⎭⎪⎫0，22B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C.【1，2)D.【2，2)解析 【1)函数y ＝2log 4【1－x )的定义域为【－∞，1)，排除A 、B ； 又函数y ＝2log 4【1－x )在定义域内单调递减，排除D.【2)由题意得，当0<a <1时，要使得4x<log a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x ≤12，即当0<x ≤12时，函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方.又当x ＝12时，412＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2代入y ＝log a x ，得a ＝22.若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22<a <1【如图所示). 当a >1时，不符合题意，舍去. 所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.答案 【1)C 【2)B考点三 对数函数的性质及应用【多维探究) 命题角度一 比较对数值的大小【例3－1】 【2016·全国Ⅰ卷)若a >b >0，0<c <1，则【 ) A.log a c <log b c B.log c a <log c b C.a c <b cD.c a >c b解析 由y ＝x c 与y ＝c x 的单调性知，C 、D 不正确. ∵y ＝log c x 是减函数，得log c a <log c b ，B 正确.log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg clg b ，∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0.而a ＞b ＞0，∴lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负，∴log a c 与log b c 的大小不能确定. 答案 B命题角度二 解对数不等式【例3－2】 若log a 【a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是【 ) A.【0，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D.【0，1)∪【1，＋∞)解析 由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ， 又log a 【a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1，同时2a >1，∴a >12.综上，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案 C命题角度三 对数型函数的性质【例3－3】 已知函数f 【x )＝log a 【3－ax ).【1)当x ∈[0，2]时，函数f 【x )恒有意义，求实数a 的取值范围；【2)是否存在这样的实数a ，使得函数f 【x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由. 解 【1)∵a >0且a ≠1，设t 【x )＝3－ax ， 则t 【x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t 【x )的最小值为3－2a ， 当x ∈[0，2]时，f 【x )恒有意义， 即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立. ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈【0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. 【2)t 【x )＝3－ax ，∵a >0， ∴函数t 【x )为减函数.∵f 【x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1，2]时，t 【x )最小值为3－2a ，f 【x )最大值为f 【1)＝log a 【3－a )， ∴⎩⎨⎧3－2a >0，log a（3－a ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f 【x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.规律方法 【1)确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.【2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.【3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.【训练3】 【1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则【 ) A.a >c >b B.b >c >a C.c >b >aD.c >a >b【2)已知函数f 【x )＝log a 【8－ax )【a >0，且a ≠1)，若f 【x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.解析 【1)a ＝log 32<log 33＝1，b ＝log 52<log 55＝1， 又c ＝log 23>log 22＝1， 所以，c 最大.由1<log 23<log 25，得1log 23>1log 25，即a >b ，所以c >a >b .【2)当a >1时，f 【x )＝log a 【8－ax )在[1，2]上是减函数，由f 【x )>1在区间[1，2]上恒成立，则f 【x )min ＝log a 【8－2a )>1， 解之得1<a <83.若0<a <1时，f 【x )在[1，2]上是增函数， 由f 【x )>1在区间[1，2]上恒成立， 则f 【x )min ＝log a 【8－a )>1，且8－2a >0. ∴a >4，且a <4，故不存在.综上可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83.答案 【1)D 【2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83[思想方法]1.对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且0<b <1时，log a b >0； 当a >1且0<b <1或0<a <1且b >1时，log a b <0.2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.3.比较幂、对数大小有两种常用方法：【1)数形结合；【2)找中间量结合函数单调性.4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定.[易错防范]1.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝log a x的定义域应为【0，＋∞).对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分0<a<1与a>1两种情况讨论.2.在运算性质log a Mα＝αlog a M中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为log a Mα＝αlog a|M|【α∈N*，且α为偶数).3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：【1)务必先研究函数的定义域；【2)注意对数底数的取值范围.基础巩固题组【建议用时：40分钟)一、选择题1.【2015·四川卷)设a，b为正实数，则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的【)A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析因为y＝log2x在【0，＋∞)上单调递增，所以当a>b>1时，有log2a>log2b>log21＝0；当log2a>log2b>0＝log21时，有a>b>1.答案 A2.【2017·石家庄模拟)已知a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是【)A.a＝b<cB.a＝b>cC.a<b<cD.a>b>c解析因为a＝log23＋log23＝log233＝32log23>1，b＝log29－log23＝log233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1. 答案 B3.若函数y ＝log a x 【a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是【 )解析 由题意y ＝log a x 【a >0，且a ≠1)的图象过【3，1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；选项C 中，y ＝【－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3【－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符.故选B. 答案 B4.已知函数f 【x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，则f 【f 【1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值是【 )A.5B.3C.－1D.72解析 由题意可知f 【1)＝log 21＝0， f 【f 【1))＝f 【0)＝30＋1＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝3－log 312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3， 所以f 【f 【1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝5.答案 A5.【2016·浙江卷)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则【 ) A.【a －1)【b －1)<0 B.【a －1)【a －b )>0 C.【b －1)【b －a )<0D.【b －1)【b －a )>0解析 ∵a >0，b >0且a ≠1，b ≠1.由log a b >1得log a b a >0.∴a >1，且b a >1或0<a <1且0<b a <1，则b >a >1或0<b <a <1.故【b －a )【b －1)>0.答案 D二、填空题6.设f 【x )＝log ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f 【x )<0的x 的取值范围是________. 解析 由f 【x )是奇函数可得a ＝－1，∴f 【x )＝lg 1＋x 1－x，定义域为【－1，1). 由f 【x )<0，可得0<1＋x 1－x<1，∴－1<x <0. 答案 【－1，0)7.【2017·绍兴调研)已知5lg x ＝25，则x ＝________；已知函数f 【x )＝lg x ，若f【ab )＝1，则f 【a 2)＋f 【b 2)＝________.解析 因为5lg x ＝25，所以lg x ＝log 525＝2，所以x ＝102＝100；又因为f 【ab )＝1，所以lg 【ab )＝1，即ab ＝10，所以f 【a 2)＋f 【b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝lg 【a 2b 2)＝2lg 【ab )＝2.答案 100 28.【2015·福建卷)若函数f 【x )＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2【a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________.解析 当x ≤2时，f 【x )≥4；又函数f 【x )的值域为[4，＋∞)，所以⎩⎨⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，解1＜a ≤2，所以实数a 的取值范围为【1，2].答案 【1，2]三、解答题9.设f 【x )＝log a 【1＋x )＋log a 【3－x )【a >0，a ≠1)，且f 【1)＝2.【1)求a 的值及f 【x )的定义域；【2)求f 【x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值. 解 【1)∵f 【1)＝2，∴log a 4＝2【a >0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎨⎧1＋x >0，3－x >0，得－1＜x ＜3， ∴函数f 【x )的定义域为【－1，3).【2)f 【x )＝log 2【1＋x )＋log 2【3－x )＝log 2【1＋x )【3－x )＝log 2[－【x －1)2＋4]，∴当x ∈【－1，1]时，f 【x )是增函数；当x ∈【1，3)时，f 【x )是减函数，故函数f 【x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f 【1)＝log 24＝2. 10.【2016·衡阳月考)已知函数f 【x )是定义在R 上的偶函数，且f 【0)＝0，当x >0时，f 【x )＝log 12x . 【1)求函数f 【x )的解析式；【2)解不等式f 【x 2－1)>－2.解 【1)当x <0时，－x >0，则f 【－x )＝log 12【－x ).因为函数f 【x )是偶函数，所以f 【－x )＝f 【x )＝log 12【－x )，所以函数f 【x )的解析式为f 【x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12（－x ），x <0.【2)因为f 【4)＝log 124＝－2，f 【x )是偶函数， 所以不等式f 【x 2－1)>－2转化为f 【|x 2－1|)>f 【4).又因为函数f 【x )在【0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为【－5，5).能力提升题组【建议用时：25分钟)11.【2017·长沙质检)设f 【x )＝ln x ，0<a <b ，若p ＝f 【ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12【f 【a )＋f 【b ))，则下列关系式中正确的是【 )A.q ＝r <pB.p ＝r <qC.q ＝r >pD.p ＝r >q解析 ∵0<a <b ，∴a ＋b 2>ab ，又∵f 【x )＝ln x 在【0，＋∞)上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2>f 【ab )，即q >p . 又r ＝12【f 【a )＋f 【b ))＝12【ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p ，故p ＝r <q .答案 B12.已知函数f 【x )＝ln x 1－x，若f 【a )＋f 【b )＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab 的取值范围是________.解析 由题意可知ln a 1－a ＋ln b 1－b＝0， 即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a 【1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14， 又0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜12，故0＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14＜14. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 13.【2016·浙江卷)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b＝________.解析 ∵log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52， ∴log a b ＝2或12.∵a >b >1，∴log a b <log a a ＝1，∴log a b ＝12，∴a ＝b 2.∵a b ＝b a ，∴【b 2)b ＝bb 2，∴b 2b ＝bb 2， ∴2b ＝b 2，∴b ＝2，∴a ＝4.答案 4 214.设x ∈[2，8]时，函数f 【x )＝12log a 【ax )·log a 【a 2x )【a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值.解 由题意知f 【x )＝12【log a x ＋1)【log a x ＋2)＝12【log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a x ＋322－18. 当f 【x )取最小值－18时，log a x ＝－32.又∵x ∈[2，8]，∴a ∈【0，1).∵f 【x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f 【x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得.若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2－13， 此时f 【x )取得最小值时，x ＝【2－13)－32＝2∉[2，8]，舍去.若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12， 此时f 【x )取得最小值时，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32＝22∈[2，8]， 符合题意，∴a ＝12.15.已知函数f 【x )＝lg 1＋x 1＋ax【a ≠1)是奇函数. 【1)求a 的值；【2)若g 【x )＝f 【x )＋21＋2x，x ∈【－1，1)，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12的值. 解 【1)因为f 【x )为奇函数，所以对定义域内任意x ，都有f 【－x )＋f 【x )＝0，即lg 1－x 1－ax ＋lg 1＋x 1＋ax ＝lg 1－x 21－a 2x 2＝0，a ＝±1， 由条件知a ≠1，所以a ＝－1.【2)因为f 【x )为奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0. 令h 【x )＝21＋2x ，则h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝21＋2＋21＋12＝2， 所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2.。
第1讲 函数及其表示最新考纲 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段).知 识 梳 理1.函数与映射的概念(1)在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域. (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数.( )(2)与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点.( ) (3)函数y ＝x 2＋1－1的值域是{y |y ≥1}.( )(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( )解析 (1)函数y ＝1的定义域为R ，而y ＝x 0的定义域为{x |x ≠0}，其定义域不同，故不是同一函数.(3)由于x 2＋1≥1，故y ＝x 2＋1－1≥0，故函数y ＝x 2＋1－1的值域是{y |y ≥0}. (4)若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.(必修1P25B2改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析 A 中函数定义域不是[－2，2]，C 中图象不表示函数，D 中函数值域不是[0，2]. 答案 B3.(2017·舟山一模)函数y ＝1－x 22x 2－3x －2的定义域为( )A.(－∞，1]B.[－1，1]C.[1，2)∪(2，＋∞)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 解析 由题意，得⎩⎨⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0.解之得－1≤x ≤1且x ≠－12. 答案 D4.(2015·陕西卷)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f (f (－2))等于( )A.－1B.14C.12D.32解析 因为－2<0，所以f (－2)＝2－2＝14>0，所以f (f (－2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－14＝1－12＝12，故选C. 答案 C5.(2015·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1，4)，则a ＝________. 解析 由题意知点(－1，4)在函数f (x )＝ax 3－2x 的图象上，所以4＝－a ＋2，则a ＝－2. 答案 －26.(2017·丽水调研)设函数f (x )＝⎩⎨⎧－2x 2＋1 （x ≥1），log 2（1－x ） （x <1），设函数f (f (4))＝________.若f (a )＝－1，则a ＝________.解析 ∵f (x )＝⎩⎨⎧－2x 2＋1 （x ≥1），log 2（1－x ） （x <1），∴f (4)＝－2×42＋1＝－31，f (f (4))＝f (－31)＝log 232＝5；当a ≥1时，由f (a )＝－2a 2＋1＝－1，得a ＝1(a ＝－1舍去)；当a <1时，由f (a )＝log 2(1－a )＝－1，得1－a ＝12，即a ＝12. 答案 5 1或12考点一 求函数的定义域【例1】 (1)(2017·杭州调研)函数f (x )＝ln xx －1＋x 12的定义域为( )A.(0，＋∞)B.(1，＋∞)C.(0，1)D.(0，1)∪(1，＋∞)(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[1，2 017]，则函数g (x )＝f （x ＋1）x －1的定义域是____________.解析 (1)要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x x －1>0，x ≥0，解得x >1，故函数f (x )＝ln x x －1＋x 12的定义域为(1，＋∞).(2)∵y ＝f (x )的定义域为[1，2 017]， ∴g (x )有意义，应满足⎩⎨⎧1≤x ＋1≤2 017，x －1≠0.∴0≤x ≤2 016，且x ≠1.因此g (x )的定义域为{x |0≤x ≤2 016，且x ≠1}. 答案 (1)B (2){x |0≤x ≤2 016，且x ≠1} 规律方法 求函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.(3)若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域可由a ≤g (x )≤b 求出；若已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域. 【训练1】 (1)(2015·湖北卷)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A.(2，3)B.(2，4]C.(2，3)∪(3，4]D.(－1，3)∪(3，6](2)若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________. 解析(1)要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎨⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，∴⎩⎨⎧|x |≤4，x －2>0且x ≠3，则2<x ≤4，且x ≠3. 所以f (x )的定义域为(2，3)∪(3，4].(2)因为函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，则x 2＋2ax －a ≥0恒成立.因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.答案 (1)C (2)[－1，0] 考点二 求函数的解析式【例2】 (1)已知f⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________；(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________； (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，则f (x )＝________.解析 (1)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1).(2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1， 则2ax ＋a ＋b ＝x －1， ∴⎩⎨⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2. (3)在f (x )＝2f⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1中，将x 换成1x ，则1x 换成x ， 得f⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f （x ）·1x －1，解得f (x )＝23x ＋13. 答案 (1)lg2x －1(x >1) (2)12x 2－32x ＋2 (3)23x ＋13 规律方法 求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x ).(4)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式.【训练2】 (1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x ).若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)定义在(－1，1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )＝__________. 解析 (1)令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，代入原式得 f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1， 所以f (x )＝x 2－1(x ≥1).(2)当－1≤x ≤0时，0≤x ＋1≤1， 由已知f (x )＝12f (x ＋1)＝－12x (x ＋1). (3)当x ∈(－1，1)时， 有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1).① 将x 换成－x ，则－x 换成x ， 得2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1).② 由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1，1). 答案 (1)x 2－1(x ≥1) (2)－12x (x ＋1) (3)23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )(－1<x <1) 考点三 分段函数(多维探究) 命题角度一 求分段函数的函数值【例3－1】 (2015·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1＋log 2（2－x ），x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( ) A.3B.6C.9D.12解析 根据分段函数的意义，f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋2＝3.又log 212>1 ∴f (log 212)＝2(log 212－1)＝2log 26＝6， 因此f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9. 答案 C命题角度二 求参数的值或取值范围【例3－2】 (1)(2015·山东卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( ) A.1B.78C.34D.12(2)(2014·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________.解析 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ，若52－b <1，即b >32时，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝4，解之得b ＝78，不合题意舍去.若52－b ≥1，即b ≤32，则252－b ＝4，解得b ＝12. (2)当x <1时，e x －1≤2，解得x ≤1＋ln 2， 所以x <1.当x ≥1时，x 13≤2，解得x ≤8，所以1≤x ≤8. 综上可知x 的取值范围是(－∞，8]. 答案 (1)D (2)(－∞，8]规律方法 (1)根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.(2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.提醒 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.【训练3】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( ) A.－74B.－54C.－34D.－14(2)(2017南京、盐城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－（x －1）2，x >0，则不等式f (x )≥－1的解集是________. 解析 (1)当a ≤1时，f (a )＝2a －1－2＝－3， 即2a －1＝－1，不成立，舍去； 当a >1时，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3， 即log 2(a ＋1)＝3， 解得a ＝7，此时f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74.故选A. (2)当x ≤0时，由题意得x2＋1≥－1， 解之得－4≤x ≤0.当x >0时，由题意得－(x －1)2≥－1，解之得0<x ≤2， 综上f (x )≥－1的解集为{x |－4≤x ≤2}. 答案 (1)A (2){x |－4≤x ≤2}[思想方法]1.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同.2.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础.因此，我们一定要树立函数定义域优先意识.3.函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、构造解方程组法.4.分段函数问题要用分类讨论思想分段求解.[易错防范]1.复合函数f[g(x)]的定义域也是解析式中x的范围，不要和f(x)的定义域相混.2.易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A，B若不是数集，则这个映射便不是函数.3.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论.基础巩固题组(建议用时：30分钟)一、选择题1.(2017·绍兴质检)函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是()A.[－3，1]B.(－3，1)C.(－∞，－3]∪[1，＋∞)D.(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析使函数f(x)有意义需满足x2＋2x－3>0，解得x>1或x<－3，所以f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞).答案 D2.(2017·衡水中学月考)设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下：映射f的对应法则则f[g(1)]的值为()A.1B.2C.3D.4解析 由映射g 的对应法则，可知g (1)＝4， 由映射f 的对应法则，知f (4)＝1，故f [g (1)]＝1. 答案 A3.已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝( ) A.x ＋1 B.2x －1 C.－x ＋1D.x ＋1或－x －1解析 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，又f [f (x )]＝x ＋2， 得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2. ∴k 2＝1，且kb ＋b ＝2，解得k ＝b ＝1. 答案 A4.(2017·湖州一模)f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x （x ≤0），log 3x （x >0），则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝() A.－2B.－3C.9D.－9解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9. 答案 C5.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( ) A.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310 C.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410D.y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510 解析 取特殊值法，若x ＝56，则y ＝5，排除C ，D ；若x ＝57，则y ＝6，排除A ，选B. 答案 B6.(2016·全国Ⅱ卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( )A.y ＝xB.y ＝lg xC.y ＝2xD.y ＝1x解析 函数y ＝10lg x 的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y ＝x ，y ＝2x 的定义域均为R ，排除A ，C ；y ＝lg x 的值域为R ，排除B ，故选D. 答案 D7.(2016·江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是( )A.12 B.14 C.－25D.18解析 由题意f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110， ∴－12＋a ＝110，则a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25. 答案 C8.(2017·铜陵一模)设P (x 0，y 0)是函数f (x )图象上任意一点，且y 20≥x 20，则f (x )的解析式可以是( ) A.f (x )＝x －1x B.f (x )＝e x －1 C.f (x )＝x ＋4xD.f (x )＝tan x解析 对于A 项，当x ＝1，f (1)＝0，此时02≥12不成立.对于B 项，取x ＝－1，f (－1)＝1e －1，此时⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －12≥(－1)2不成立.在D 项中，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＝tan 54π＝1，此时12≥⎝ ⎛⎭⎪⎫54π2不成立.∴A ，B ，D 均不正确.选C.事实上，在C 项中，对∀x 0∈R ，y 20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋4x 02有y 20－x 20＝16x20＋8>0，有y 20≥x 20成立. 答案 C二、填空题9.(2016·江苏卷)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________. 解析 要使函数有意义，则3－2x －x 2≥0， ∴x 2＋2x －3≤0，解之得－3≤x ≤1. 答案 [－3，1]10.(2017·湖州调研)已知f (x )＝⎩⎨⎧x －3，x ≥9，f （f （x ＋4）），x <9，则f (10)＝________；f (7)＝________.解析 f (10)＝10－3＝7；f (7)＝f (f (7＋4))＝f (f (11))＝f (11－3)＝f (8)＝f (f (8＋4))＝f (f (12))＝f (12－3)＝f (9)＝9－3＝6. 答案 7 611.已知函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋|x |＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是________.解析 根据题意知x >0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝log 2x ，则f (x )＝log 21x ＝－log 2x .答案 f (x )＝－log 2x12.(2017·温州调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x （x >0），x 2＋x （x ≤0），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________，方程f (x )＝2的解为________.解析 ∵f (x )＝⎩⎨⎧log 2x （x >0），x 2＋x （x ≤0），f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 212＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (－1)＝(－1)2＋(－1)＝0.当x >0时，由log 2x ＝2得x ＝4，当x ≤0时，由x 2＋x ＝2得x ＝－2(x ＝＋1舍去).答案 0 －2或413.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x <0，x 2－2x ，x ≥0.若f (－a )＋f (a )≤0，则实数a 的取值范围是________.解析 依题意可知⎩⎨⎧a ≥0，（－a ）2＋2（－a ）＋a 2－2a ≤0或⎩⎨⎧a <0，（－a ）2－2（－a ）＋a 2＋2a ≤0，解得a ∈[－2，2]. 答案 [－2，2]能力提升题组 (建议用时：15分钟)14.(2015·湖北卷)设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.则()A.|x |＝x |sgn x |B.|x |＝x sgn|x |C.|x |＝|x |sgn xD.|x |＝x sgn x解析 当x >0时，|x |＝x ，sgn x ＝1，则|x |＝x sgn x ； 当x <0时，|x |＝－x ，sgn x ＝－1，则|x |＝x sgn x ； 当x ＝0时，|x |＝x ＝0，sgn x ＝0，则|x |＝x sgn x . 答案 D15.设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B.[0，1]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞D.[1，＋∞)解析 由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1. 当a <1时，有3a －1≥1， ∴a ≥23，∴23≤a <1.当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23. 答案 C16.函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________.解析要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎨⎧x <－1或x >0，x ≠0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1.∴f (x )的定义域为(0，1]. 答案 (0，1]17.(2015·浙江卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg （x 2＋1），x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________.解析 ∵f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1， ∴f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x －3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号，此时f (x )min ＝22－3<0；当x <1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，此时f (x )min ＝0.∴f (x )的最小值为22－3. 答案 0 22－318.(2017·台州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－1，x ≤0，x －1，x >0，g (x )＝2x －1，则f (g (2))＝________，f [g (x )]的值域为________.解析 g (2)＝22－1＝3，∴f (g (2))＝f (3)＝2，g (x )的值域为(－1，＋∞)，∴若－1<g (x )≤0；f [g (x )]＝[g (x )]2－1∈[－1，0)；若g (x )>0；f [g (x )]＝g (x )－1∈(－1，＋∞)，∴f [g (x )]的值域是[－1，＋∞). 答案 2 [－1，＋∞)。
第六节对数与对数函数☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆自|主|排|查1．对数的概念(1)对数的定义如果a x＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
(2)几种常见对数(1)对数的性质 ①a log a N ＝N ；②log a a N＝N (a ＞0，且a ≠1)。
(2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零，且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d 。
(3)对数的运算法则如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )； ④log am M n ＝n mlog a M 。
3．对数函数的图象与性质4．y ＝a x与y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的关系指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称。
微点提醒1．换底公式的两个重要结论 ①log a b ＝1log b a ；②log am b n＝n m log a b 。
其中a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1，m ，n ∈R 。
2．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数。
故0<c <d <1<a <b 。
由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大。
小|题|快|练一 、走进教材1．(必修1P 75A 组T 11改编)(log 29)·(log 34)＝( ) A.14 B.12 C ．2D ．4【解析】 (log 29)·(log 34)＝lg9lg2×lg4lg3＝2lg3lg2×2lg2lg3＝4。
2018届高考高三数学总复习全册学案精编目录第一章集合常用逻辑用语 (1)第1讲集合 (1)第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件 (7)第二章函数概念与基本初等函数 (13)第1讲函数及其表示 (13)第2讲函数的单调性与最值 (21)第3讲函数的奇偶性与周期性 (29)第4讲幂函数与二次函数 (36)第5讲指数与指数函数 (44)第6讲对数与对数函数 (51)第7讲函数的图象 (59)第8讲函数与方程、函数的模型及其应用 (68)第三章导数及其应用 (77)第1讲导数的概念与导数的计算 (77)第2讲导数与函数的单调性 (85)第3讲导数与函数的极值、最值 (93)第四章三角函数、解三角形 (107)第1讲任意角、弧度制及任意角的三角函数 (107)第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式 (115)第3讲三角函数的图象与性质 (122)第4讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 (133)第5讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (144)第6讲正弦定理和余弦定理 (153)第7讲解三角形应用举例 (160)第五章平面向量、复数 (172)第1讲平面向量的概念及线性运算 (172)第2讲平面向量基本定理与坐标表示 (179)第3讲平面向量的数量积及其应用 (185)第4讲数系的扩充与复数的引入 (193)第六章不等式 (198)第1讲不等式的性质与一元二次不等式 (198)第2讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 (207)第3讲基本不等式：ab≤a＋b2 (215)第4讲绝对值不等式 (223)第七章数列、推理与证明 (230)第1讲数列的概念及简单表示法 (230)第2讲等差数列及其前n项和 (237)第3讲等比数列及其前n项和 (244)第4讲数列求和 (251)第5讲直接证明与间接证明 (258)第6讲数学归纳法 (264)第八章立体几何与空间向量 (279)第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图 (279)第2讲空间几何体的表面积与体积 (293)第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系 (301)第4讲直线、平面平行的判定及其性质 (308)第5讲直线、平面垂直的判定及其性质 (317)第6讲空间向量及其运算 (326)第7讲立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 (335)第8讲立体几何中的向量方法(二)——求空间角 (344)第九章平面解析几何 (363)第1讲直线的方程 (363)第2讲两直线的位置关系 (371)第3讲圆的方程 (379)第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系 (386)第5讲椭圆 (393)第6讲双曲线 (403)第7讲抛物线 (411)第8讲曲线与方程 (420)第9讲圆锥曲线的综合问题 (426)第十章计数原理概率 (454)第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理 (454)第2讲排列与组合 (460)第3讲二项式定理 (467)第4讲随机事件的概率 (474)第5讲古典概型 (481)第6讲离散型随机变量及其分布列 (487)第7讲二项分布及其应用 (494)第8讲离散型随机变量的均值与方差 (502)第一章集合常用逻辑用语第1讲集合最新考纲 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.知识梳理1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则A B或B A.(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁U A图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.(2)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.(4)∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B).诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)任何集合都有两个子集.( )(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C.( )(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.( )(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )解析(1)错误.空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的.(2)错误.集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是抛物线y＝x2上的点集.因此A，B，C不相等.(3)错误.当x＝1，不满足互异性.(4)错误.当A＝∅时，B，C可为任意集合.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.(必修1P7练习2改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是( )A.{a}⊆AB.a⊆AC.{a}∈AD.a∉A解析由题意知A＝{0，1，2，3}，由a＝22，知a∉A.答案 D3.(2016·全国Ⅰ卷)设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝( )A.{1，3}B.{3，5}C.{5，7}D.{1，7}解析因为A＝{1，3，5，7}，而3，5∈A且3，5∈B，所以A∩B＝{3，5}.答案 B4.(2017·杭州模拟)设全集U＝{x|x∈N*，x<6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，则∁U(A∪B)等于( )A.{1，4}B.{1，5}C.{2，5}D.{2，4}解析由题意得A∪B＝{1，3}∪{3，5}＝{1，3，5}.又U＝{1，2，3，4，5}，∴∁U(A∪B)＝{2，4}.答案 D5.(2017·绍兴调研)已知全集U＝R，集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|0≤x<5}，则A∪B＝________，(∁U A)∩B＝________.解析∵A＝{x|x≥2}，B＝{x|0≤x<5}，∴A∪B＝{x|x≥0}，(∁U A)∩B＝{x|0≤x<2}.答案{x|x≥0}{x|0≤x<2}6.已知集合A＝{(x，y)|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B 的元素个数为________.解析集合A表示圆心在原点的单位圆，集合B表示直线y＝x，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素.答案 2考点一 集合的基本概念【例1】 (1)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )A.1B.3C.5D.9 (2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( )A.92B.98C.0D.0或98解析 (1)当x ＝0，y ＝0，1，2时，x －y ＝0，－1，－2；当x ＝1，y ＝0，1，2时，x －y ＝1，0，－1；当x ＝2，y ＝0，1，2时，x －y ＝2，1，0.根据集合中元素的互异性可知，B 的元素为－2，－1，0，1，2，共5个.(2)若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根.当a ＝0时，x ＝23，符合题意； 当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98， 所以a 的取值为0或98. 答案 (1)C (2)D规律方法 (1)第(1)题易忽视集合中元素的互异性误选D.第(2)题集合A 中只有一个元素，要分a ＝0与a ≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a ＝0的情形.(2)用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合.【训练1】 (1)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________. (2)已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋3x －2＝0}，若A ＝∅，则实数a 的取值范围为________. 解析 (1)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0， 所以a ＋b ＝0，且b ＝1，所以a ＝－1，b ＝1，所以b －a ＝2.(2)由A ＝∅知方程ax 2＋3x －2＝0无实根，当a ＝0时，x ＝23不合题意，舍去； 当a ≠0时，Δ＝9＋8a <0，∴a <－98.答案 (1)2 (2)⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－98 考点二 集合间的基本关系【例2】 (1)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( )A.A BB.B AC.A ⊆BD.B ＝A(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________.解析 (1)易知A ＝{x |－1≤x ≤1}，所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}.因此B A .(2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2.当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图.则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围为(－∞，4].答案 (1)B (2)(－∞，4]规律方法 (1)若B ⊆A ，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论.(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图，化抽象为直观进行求解.【训练2】 (1)(2017·镇海中学质检)若集合A ＝{x |x >0}，且B ⊆A ，则集合B 可能是( ) A.{1，2}B.{x |x ≤1}C.{－1，0，1}D.R(2)(2016·郑州调研)已知集合A ＝{x |x ＝x 2－2，x ∈R }，B ＝{1，m }，若A ⊆B ，则m 的值为( )A.2B.－1C.－1或2D.2或2解析 (1)因为A ＝{x |x ＞0}，且B ⊆A ，再根据选项A ，B ，C ，D 可知选项A 正确.(2)由x ＝x 2－2，得x ＝2，则A ＝{2}.因为B ＝{1，m }且A ⊆B ，所以m ＝2.答案(1)A (2)A考点三集合的基本运算【例3】(1)(2015·全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为( )A.5B.4C.3D.2(2)(2016·浙江卷)设集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝( )A.[2，3]B.(－2，3]C.[1，2)D.(－∞，－2)∪[1，＋∞)解析(1)集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素.(2)易知Q＝{x|x≥2或x≤－2}.∴∁R Q＝{x|－2<x<2}，又P＝{x|1≤x≤3}，故P∪(∁R Q)＝{x|－2<x≤3}.答案(1)D (2)B规律方法(1)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化. (2)一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍.【训练3】(1)(2017·石家庄模拟)设集合M＝{－1，1}，N＝{x|x2－x<6}，则下列结论正确的是( )A.N⊆MB.N∩M＝∅C.M⊆ND.M∩N＝R(2)(2016·山东卷)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则∁U(A∪B)＝( )A.{2，6}B.{3，6}C.{1，3，4，5}D.{1，2，4，6}解析(1)易知N＝(－2，3)，且M＝{－1，1}，∴M⊆N.(2)∵A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，∴A∪B＝{1，3，4，5}，又全集U＝{1，2，3，4，5，6}，因此∁U(A∪B)＝{2，6}.答案(1)C (2)A[思想方法]1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.[易错防范]1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简.2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件最新考纲 1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件.知识梳理1.命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.2.四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.3.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q pp是q的必要不充分条件p q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p q且q p1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题.( )(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.()(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.( )(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.()解析(1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.(2)错误.否命题既否定条件，又否定结论.答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(选修2－1P6练习改编)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A.若α≠π4，则tan α≠1 B.若α＝π4，则tan α≠1 C.若tan α≠1，则α≠π4 D.若tan α≠1，则α＝π4解析 命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若綈q ，则綈p ”，显然綈q ：tan α≠1，綈p ：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”.答案 C3.(2016·天津卷)设x >0，y ∈R ，则“x >y ”是“x >|y |”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析 x >y x >|y |(如x ＝1，y ＝－2).但x >|y |时，能有x >y .∴“x >y ”是“x >|y |”的必要不充分条件.答案 C4.命题“若a >－3，则a >－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a >－6，则a >－3”是假命题，从而其否命题也是假命题.因此四个命题中有2个假命题.答案 B5.(2017·舟山双基检测)已知函数f (x )的定义域为R ，则命题p ：“函数f (x )为偶函数”是命题q ：“∃x 0∈R ，f (x 0)＝f (－x 0)”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 若f (x )为偶函数，则有f (x )＝f (－x )，所以p ⇒q ；若f (x )＝x ，当x ＝0时，f (0)＝f (－0)，而f (x )＝x 为奇函数，所以q p .∴“命题p ”是“命题q ”的充分不必要条件.答案 A6.(2017·温州调研)已知命题p ：“若a 2＝b 2，则a ＝b ”，则命题p 的否命题为________，该否命题是一个________命题(填“真”，“假”).解析 由否命题的定义可知命题p 的否命题为“若a 2≠b 2，则a ≠b ”.由于命题p 的逆命题“若a ＝b ，则a 2＝b 2”是一个真命题，∴否命题是一个真命题.答案“若a2≠b2，则a≠b”真考点一四种命题的关系及其真假判断【例1】 (1)命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为( )A.“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题B.“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题C.“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题D.“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为假命题(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A.真、假、真B.假、假、真C.真、真、假D.假、假、假解析(1)根据逆否命题的定义可以排除A，D；由x2－3x－4＝0，得x＝4或－1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题.(2)由共轭复数的性质，|z1|＝|z2|，∴原命题为真，因此其逆否命题为真；取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假.答案(1)C (2)B规律方法(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，如果命题不是“若p，则q”的形式，应先改写成“若p，则q”的形式；如果命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提不变.(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例.(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.【训练1】已知：命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是( )A.否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题B.逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题C.逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题D.逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题解析由f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝e x－m≥0恒成立，∴m≤1.因此原命题是真命题，所以其逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题.答案 D考点二充分条件与必要条件的判定【例2】 (1)函数f(x)在x＝x0处导数存在.若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则( )A.p是q的充分必要条件B.p是q的充分条件，但不是q的必要条件C.p是q的必要条件，但不是q的充分条件D.p既不是q的充分要件，也不是q的必要条件(2)(2017·衡阳一模)“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析(1)由极值的定义，q⇒p，但p⇒/q.例如f(x)＝x3，在x＝0处f′(0)＝0，f(x)＝x3是增函数，x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点.因此p是q的必要不充分条件.(2)直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直的充要条件为a(a＋2)＋1×(－3)＝0，解得a＝1或－3，故“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的充分不必要条件.答案(1)C (2)B规律方法充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件.【训练2】(2016·山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面. 因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.答案 A考点三充分条件、必要条件的应用(典例迁移)【例3】 (经典母题)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P 是x∈S的必要条件，求m的取值范围.解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}. ∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件， 则S ⊆P .∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得m ≤3. 又∵S 为非空集合， ∴1－m ≤1＋m ，解得m ≥0，综上，可知0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件.【迁移探究1】 本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？ 解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}. 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9， 这样的m 不存在.【迁移探究2】 本例条件不变，若綈P 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}.∵綈P 是綈S 的必要不充分条件，∴P 是S 的充分不必要条件， ∴P ⇒S 且SP .∴[－2，10][1－m ，1＋m ].∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10， ∴m ≥9，则m 的取值范围是[9，＋∞).规律方法 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解； (2)要注意区间端点值的检验.【训练3】 ax 2＋2x ＋1＝0只有负实根的充要条件是________.解析 当a ＝0时，原方程为一元一次方程2x ＋1＝0，有一个负实根x ＝－12.当a ≠0时，原方程为一元二次方程， 又ax 2＋2x ＋1＝0只有负实根，所以有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4a ≥0，－2a＜0，1a ＞0，即0＜a ≤1.综上，方程只有负根的充要条件是0≤a ≤1.答案 0≤a ≤1[思想方法]1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定.2.充要条件的几种判断方法(1)定义法：直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假.(2)等价法：即利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A ；B ⇒A 与綈A ⇒綈B ；A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断：设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}；若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；若A B ，则p 是q 的充分不必要条件，若A ＝B ，则p 是q 的充要条件. [易错防范]1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提.2.判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p ，则q ”的形式.3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p 的一个充分而不必要条件是q ”等语言.第二章函数概念与基本初等函数第1讲函数及其表示最新考纲 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用(函数分段不超过三段).知识梳理1.函数与映射的概念函数映射两个集合A，B 设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法函数y＝f(x)，x∈A 映射：f：A→B(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数.( )(2)与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点.( ) (3)函数y ＝x 2＋1－1的值域是{y |y ≥1}.( )(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.( )解析 (1)函数y ＝1的定义域为R ，而y ＝x 0的定义域为{x |x ≠0}，其定义域不同，故不是同一函数.(3)由于x 2＋1≥1，故y ＝x 2＋1－1≥0，故函数y ＝x 2＋1－1的值域是{y |y ≥0}. (4)若两个函数的定义域、对应法则均对应相同时，才是相等函数. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.(必修1P25B2改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )解析 A 中函数定义域不是[－2，2]，C 中图象不表示函数，D 中函数值域不是[0，2]. 答案 B3.(2017·舟山一模)函数y ＝1－x22x 2－3x －2的定义域为( )A.(－∞，1]B.[－1，1]C.[1，2)∪(2，＋∞)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0.解之得－1≤x ≤1且x ≠－12.答案 D4.(2015·陕西卷)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f (f (－2))等于( )A.－1B.14C.12D.32解析 因为－2<0，所以f (－2)＝2－2＝14>0，所以f (f (－2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－14＝1－12＝12，故选C. 答案 C5.(2015·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1，4)，则a ＝________. 解析 由题意知点(－1，4)在函数f (x )＝ax 3－2x 的图象上，所以4＝－a ＋2，则a ＝－2.答案 －26.(2017·丽水调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋1 （x ≥1），log 2（1－x ） （x <1），设函数f (f (4))＝________.若f (a )＝－1，则a ＝________.解析 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋1 （x ≥1），log 2（1－x ） （x <1），∴f (4)＝－2×42＋1＝－31，f (f (4))＝f (－31)＝log 232＝5；当a ≥1时，由f (a )＝－2a 2＋1＝－1，得a ＝1(a ＝－1舍去)；当a <1时，由f (a )＝log 2(1－a )＝－1，得1－a ＝12，即a ＝12.答案 5 1或12考点一 求函数的定义域【例1】 (1)(2017·杭州调研)函数f (x )＝ln xx －1＋x 12的定义域为( ) A.(0，＋∞) B.(1，＋∞) C.(0，1)D.(0，1)∪(1，＋∞)(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[1，2 017]，则函数g (x )＝f （x ＋1）x －1的定义域是____________.解析 (1)要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧x x －1>0，x ≥0，解得x >1，故函数f (x )＝ln xx －1＋x 12的定义域为(1，＋∞).(2)∵y ＝f (x )的定义域为[1，2 017]，∴g (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2 017，x －1≠0.∴0≤x ≤2 016，且x ≠1.因此g (x )的定义域为{x |0≤x ≤2 016，且x ≠1}. 答案 (1)B (2){x |0≤x ≤2 016，且x ≠1} 规律方法 求函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.(3)若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域可由a ≤g (x )≤b 求出；若已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域.【训练1】 (1)(2015·湖北卷)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A.(2，3)B.(2，4]C.(2，3)∪(3，4]D.(－1，3)∪(3，6](2)若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________. 解析 (1)要使函数f (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤4，x －2>0且x ≠3，则2<x ≤4，且x ≠3. 所以f (x )的定义域为(2，3)∪(3，4].(2)因为函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，则x 2＋2ax －a ≥0恒成立.因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0. 答案 (1)C (2)[－1，0] 考点二 求函数的解析式【例2】 (1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，则f (x )＝________；(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________；(3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，则f (x )＝________.解析 (1)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1). (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1，则2ax ＋a ＋b ＝x －1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32. ∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(3)在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1中，将x 换成1x ，则1x换成x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝2f (x )·1x－1，由⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f （x ）·1x－1，解得f (x )＝23x ＋13.答案 (1)lg2x －1(x >1) (2)12x 2－32x ＋2 (3)23x ＋13规律方法 求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法.(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x ).(4)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式.【训练2】 (1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x ).若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)定义在(－1，1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )＝__________. 解析 (1)令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2(t ≥1)，代入原式得f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1).(2)当－1≤x ≤0时，0≤x ＋1≤1， 由已知f (x )＝12f (x ＋1)＝－12x (x ＋1).(3)当x ∈(－1，1)时， 有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1).① 将x 换成－x ，则－x 换成x ， 得2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1).② 由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1，1).答案 (1)x 2－1(x ≥1) (2)－12x (x ＋1)(3)23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )(－1<x <1) 考点三 分段函数(多维探究) 命题角度一 求分段函数的函数值【例3－1】 (2015·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( ) A.3B.6C.9D.12解析 根据分段函数的意义，f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋2＝3.又log 212>1 ∴f (log 212)＝2(log 212－1)＝2log 26＝6， 因此f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9. 答案 C命题角度二 求参数的值或取值范围【例3－2】 (1)(2015·山东卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )A.1B.78C.34D.12(2)(2014·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________.解析 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ，若52－b <1，即b >32时， 则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝4， 解之得b ＝78，不合题意舍去.若52－b ≥1，即b ≤32，则252－b ＝4，解得b ＝12. (2)当x <1时，e x －1≤2，解得x ≤1＋ln 2，所以x <1.当x ≥1时，x 13≤2，解得x ≤8，所以1≤x ≤8. 综上可知x 的取值范围是(－∞，8]. 答案 (1)D (2)(－∞，8]规律方法 (1)根据分段函数解析式求函数值.首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.(2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 提醒 当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论.【训练3】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( ) A.－74B.－54C.－34D.－14(2)(2017南京、盐城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－（x －1）2，x >0，则不等式f (x )≥－1的解集是________. 解析 (1)当a ≤1时，f (a )＝2a －1－2＝－3，即2a －1＝－1，不成立，舍去；当a >1时，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3， 即log 2(a ＋1)＝3， 解得a ＝7，此时f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74.故选A.(2)当x ≤0时，由题意得x2＋1≥－1，解之得－4≤x ≤0.当x >0时，由题意得－(x －1)2≥－1，解之得0<x ≤2， 综上f (x )≥－1的解集为{x |－4≤x ≤2}. 答案 (1)A (2){x |－4≤x ≤2}[思想方法]1.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同.2.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础.因此，我们一定要树立函数定义域优先意识.3.函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、构造解方程组法.4.分段函数问题要用分类讨论思想分段求解.[易错防范]1.复合函数f[g(x)]的定义域也是解析式中x的范围，不要和f(x)的定义域相混.2.易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A，B若不是数集，则这个映射便不是函数.3.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论.第2讲 函数的单调性与最值最新考纲 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.知 识 梳 理1.函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数 减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象 描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间. 2.函数的最值 前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件 (1)对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； (2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(3)对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； (4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值M 为最小值1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)对于函数f (x )，x ∈D ，若对任意x 1，x 2∈D ，且x 1≠x 2有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在区间D 上是增函数.( )(2)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( )(3)对于函数y ＝f (x )，若f (1)<f (3)，则f (x )为增函数.( )(4)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).( ) 解析 (2)此单调区间不能用并集符号连接，取x 1＝－1，x 2＝1，则f (－1)＜f (1)，故应说成。
第6讲对数与对数函数1．对数概念如果a x＝N(a>0,a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x＝log a N．其中a叫做对数的底数,N叫做真数性质底数的限制：a>0,且a≠1对数式与指数式的互化：a x＝N⇒log a N＝x负数和零没有对数1的对数是零：log a1＝0 底数的对数是1：log a a＝1 对数恒等式：alog a N＝N运算性质log a(M·N)＝log a M＋log a Na>0,且a≠1,M>0,N>0 log aMN＝log a M－log a Nlog a M n＝nlog a M(n∈R)换底公式公式：log a b＝log c blog c a(a>0,且a≠1；c>0,且c≠1；b>0) 推广：log am b n＝nmlog a b；log a b＝1log b a2.对数函数的图象与性质a>1 0<a<1图象性质定义域：(0,＋∞)值域：R过定点(1,0)当x>1时,y>0当0<x<1时,y<0当x>1时,y<0当0<x<1时,y>0在(0,＋∞)上是增函数在(0,＋∞)上是减函数3.对数函数的变化特征在同一平面直角坐标系中,分别作出对数函数y ＝log a x,y ＝log b x,y ＝log c x,y ＝log d x(a ＞1,b ＞1,0＜c ＜1,0＜d ＜1)的图象,如图所示．作出直线y ＝1,分别与四个图象自左向右交于点A(c,1),B(d,1),C(a,1),D(b,1),得到底数的大小关系是：b ＞a ＞1＞d ＞c ＞0.根据直线x ＝1右侧的图象,单调性相同时也可以利用口诀：“底大图低”来记忆．4．反函数指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数,它们的图象关于直线y ＝x 对称．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)log a (MN)＝log a M ＋log a N.( ) (2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y)．( )(3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 133x 都是对数函数．( )(4)对数函数y ＝log a x(a>0且a≠1)在(0,＋∞)上是增函数．( ) (5)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( )(6)对数函数y ＝log a x(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1,函数图象只经过第一、四象限．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化]1．(必修1P68练习T4改编)(log 29)·(log 34)＝________． 解析：(log 29)·(log 34)＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4.答案：42．(必修1P73探究改编)若函数y ＝f(x)是函数y ＝2x的反函数,则f(2)＝________． 解析：由题意知f(x)＝log 2x, 所以f(2)＝log 22＝1. 答案：13．(必修1P71表格改编)函数y ＝log a (4－x)＋1(a ＞0,且a≠1)的图象恒过点________． 解析：当4－x ＝1即x ＝3时,y ＝log a 1＋1＝1. 所以函数的图象恒过点(3,1)． 答案：(3,1)4．(必修1P82A 组T6改编)已知a ＝2－13,b ＝log 213,c ＝log 1213,则a,b,c 的大小关系为________．解析：因为0<a<1,b<0,c ＝log 1213＝log 23>1.所以c>a>b.答案：c>a>b [易错纠偏](1)对数函数图象的特征不熟致误； (2)忽视对底数的讨论致误； (3)忽视对数函数的定义域致误．1．已知a>0,a ≠1,函数y ＝a x与y ＝log a (－x)的图象可能是________．(填序号)解析：函数y ＝log a (－x)的图象与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称,符合条件的只有②. 答案：②2．函数y ＝log a x(a>0,a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a ＝________．解析：分两种情况讨论：①当a>1时,有log a 4－log a 2＝1,解得a ＝2；②当0<a<1时,有log a 2－log a 4＝1,解得a ＝12.所以a ＝2或12.答案：2或123．函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是________． 解析：由log 23(2x －1)≥0,得0<2x －1≤1.所以12<x ≤1.所以函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1对数式的化简与求值(1)(2020·杭州市七校联考)计算：log 212＝______,2log 23＋log 43＝________．(2)若a ＝log 43,则2a＋2－a＝________． 【解析】 (1)log 212＝log 22－12＝－12；2log 23＋log 43＝2log 23＋12log 23＝2log 2(3·312)＝3 3.(2)因为a ＝log 43＝log 223＝12log 23＝log 23,所以2a＋2－a＝2log 23＋2－log 2 3 ＝3＋2log 233＝3＋33＝433. 【答案】 (1)－12 3 3 (2)433对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数的运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．1．计算：2log 510＋log 514＝________,2log 43＝________．解析：2log 510＋log 514＝log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫102×14＝2,因为log 43＝12log 23＝log 23,所以2log 43＝2log 23＝ 3.答案：232．2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋（lg 2）2－lg 2＋1＝________． 解析：原式＝2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(1－lg 2)＝2(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋1－lg 2 ＝2lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2 ＝lg 2＋1－lg 2＝1. 答案：1对数函数的图象及应用(1)函数y ＝2log 4(1－x)的图象大致是( )(2)函数y ＝log a (x ＋4)－1(a>0,a ≠1)的图象恒过定点A,若点A 在直线x m ＋yn ＝－1上,且m>0,n>0,则3m ＋n 的最小值为( )A ．13B ．16C ．11＋6 2D ．28【解析】 (1)函数y ＝2log 4(1－x)的定义域为(－∞,1),排除A,B ；又函数y ＝2log 4(1－x)在定义域内单调递减,排除D.(2)函数y ＝log a (x ＋4)－1(a>0,a ≠1)的图象恒过A(－3,－1), 由点A 在直线x m ＋y n ＝－1上可得,－3m ＋－1n ＝－1,即3m ＋1n＝1,故3m ＋n ＝(3m ＋n)×⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋1n ＝10＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ,因为m>0,n>0,所以n m ＋mn≥2n m ×m n ＝2(当且仅当n m ＝mn,即m ＝n 时取等号), 故3m ＋n ＝10＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ≥10＋3×2＝16,故选B.【答案】 (1)C (2)B利用对数函数的图象可求解的两类热点问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解．1.已知函数y ＝log a (x ＋c)(a,c 为常数,其中a>0,a ≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是( )A ．a>1,c>1B ．a>1,0<c<1C ．0<a<1,c>1D ．0<a<1,0<c<1解析：选D.由对数函数的性质得0<a<1,因为函数y ＝log a (x ＋c)的图象在c>0时是由函数y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的,所以根据题中图象可知0<c<1.2．已知函数f(x)＝log a (x ＋b)(a>0且a≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1),则log b a ＝________． 解析：f(x)的图象过两点(－1,0)和(0,1)．则f(－1)＝log a (－1＋b)＝0且f(0)＝log a (0＋b)＝1,所以⎩⎪⎨⎪⎧b －1＝1，b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，a ＝2.所以logb a ＝1. 答案：1对数函数的性质及应用(高频考点)对数函数的性质是每年高考的必考内容之一,多以选择题或填空题的形式考查,难度低、中、高档都有．主要命题角度有：(1)求对数型函数的定义域； (2)比较对数值的大小； (3)解对数不等式；(4)与对数函数有关的复合函数问题． 角度一 求对数型函数的定义域函数f(x)＝log 13（4x －5）的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，＋∞B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，54 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤54，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，32 【解析】 要使函数有意义,应满足⎩⎪⎨⎪⎧4x －5>0，log 13（4x －5）≥0，所以0<4x －5≤1,54<x ≤32.故函数f(x)的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤54，32.【答案】 C角度二 比较对数值的大小(1)已知奇函数f(x)在R 上是增函数．若a ＝－f(log 215),b ＝f(log 24.1),c ＝f(20.8),则a,b,c 的大小关系为( )A ．a<b<cB ．b<a<cC ．c<b<aD ．c<a<b(2)设a ＝log 3π,b ＝log 23,c ＝log 32,则( ) A ．a>b>c B ．a>c>b C ．b>a>cD ．b>c>a【解析】 (1)由f(x)是奇函数可得,a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215＝f(log 25),因为log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8,且函数f(x)是增函数,所以c<b<a.(2)因为a ＝log 3π>log 33＝1,b ＝log 23<log 22＝1,所以a>b,又b c ＝12log 2312log 32＝(log 23)2>1,c>0,所以b>c,故a>b>c.【答案】 (1)C (2)A 角度三 解对数不等式设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，log 12（－x ），x<0.若f(a)>f(－a),则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞,－1)∪(1,＋∞)C ．(－1,0)∪(1,＋∞)D ．(－∞,－1)∪(0,1)【解析】 由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧a>0，log 2a>－log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，log 12（－a ）>log 2（－a ）， 解得a>1或－1<a<0.故选C. 【答案】 C角度四 与对数函数有关的复合函数问题(1)(2020·金丽衢十二校联考)函数y ＝lg|x|( ) A ．是偶函数,在区间(－∞,0)上单调递增 B ．是偶函数,在区间(－∞,0)上单调递减 C ．是奇函数,在区间(0,＋∞)上单调递增D ．是奇函数,在区间(0,＋∞)上单调递减(2)若f(x)＝lg(x 2－2ax ＋1＋a)在区间(－∞,1]上递减,则a 的取值范围为________．【解析】 (1)因为lg|－x|＝lg|x|,所以函数y ＝lg|x|为偶函数,又函数y ＝lg|x|在区间(0,＋∞)上单调递增,由其图象关于y 轴对称可得,y ＝lg|x|在区间(－∞,0)上单调递减,故选B.(2)令函数g(x)＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a)2＋1＋a －a 2,对称轴为x ＝a,要使函数在(－∞,1]上递减,则有⎩⎪⎨⎪⎧g （1）>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a>0，a ≥1，解得1≤a<2,即a∈[1,2)． 【答案】 (1)B (2)[1,2)(1)比较对数值的大小的方法①若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论．②若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较． ③若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较． (2)解对数不等式的类型及方法①形如log a x>log a b 的不等式,借助y ＝log a x 的单调性求解,如果a 的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论．②形如log a x>b 的不等式,需先将b 化为以a 为底的对数式的形式再进行求解． (3)解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤1．(2020·宁波模拟)已知a>0,a ≠1,函数f(x)＝log a |ax 2－x|在[3,4]上是增函数,则a 的取值范围是( )A.16≤a<14或a>1 B ．a>1 C.18≤a<14 D.15≤a ≤14或a>1 解析：选A.令t ＝|ax 2－x|,y ＝log a t,当a>1时,外函数为递增函数,所以内函数t ＝|ax 2－x|,x ∈[3,4],要为递增函数,所以1a <3或4≤12a ,解得a>13或a≤18,所以a>1,当0<a<1时,外函数为递减函数,所以内函数t＝|ax 2－x|,x ∈[3,4],要为递减函数,12a ≤3<4<1a ,解得16≤a<14,综上所述,16≤a<14或a>1,故选A.2．(2020·绍兴一中高三期中)已知f(x)＝lg(2x －4),则方程f(x)＝1的解是________,不等式f(x)<0的解集是________．解析：因为f(x)＝1,所以lg(2x －4)＝1,所以2x －4＝10,所以x ＝7；因为f(x)<0,所以0<2x －4<1,所以2<x<2.5,所以不等式f(x)<0的解集是(2,2.5)．答案：7 (2,2.5)思想方法系列1 分类讨论思想研究指数、对数函数的性质已知函数f(x)＝log a (2x －a)(a>0且a≠1)在区间[12,23]上恒有f(x)>0,则实数a 的取值范围是( )A ．(13,1)B ．[13,1)C ．(23,1)D ．[23,1)【解析】 当0<a<1时,函数f(x)在区间[12,23]上是减函数,所以log a (43－a)>0,即0<43－a<1,解得13<a<43,故13<a<1；当a>1时,函数f(x)在区间[12,23]上是增函数,所以log a (1－a)>0,即1－a>1,解得a<0,此时无解．综上所述,实数a 的取值范围是(13,1)．【答案】 A本题利用了分类讨论思想,在研究指数、对数函数的性质时,常对底数a 的值进行分类讨论,实质上分类讨论就是“化整为零,各个击破,再集零为整”的数学思想．已知函数y ＝b ＋ax2＋2x(a,b 是常数且a>0,a ≠1)在区间[－32,0]上有y max ＝3,y min ＝52,试求a,b 的值．解：令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1, 因为x∈[－32,0],所以t∈[－1,0]．(1)若a>1,函数f(x)＝a t在[－1,0]上为增函数, 所以a t∈[1a,1],则b ＋ax2＋2x ∈[b ＋1a ,b ＋1],依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.(2)若0<a<1,函数f(x)＝a t在[－1,0]上为减函数, 所以a t∈[1,1a],则b ＋ax2＋2x ∈[b ＋1,b ＋1a ],依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.综上,a,b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.[基础题组练]1．实数lg 4＋2lg 5的值为( ) A ．2 B ．5 C ．10D ．20解析：选A.lg 4＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2(lg 2 ＋lg 5)＝2lg (2×5)＝2lg 10＝2.故选A. 2．函数f(x)＝ln （x ＋3）1－2x的定义域是( ) A ．(－3,0) B ．(－3,0]C ．(－∞,－3)∪(0,＋∞)D ．(－∞,－3)∪(－3,0)解析：选A.因为f(x)＝ln （x ＋3）1－2x,所以要使函数f(x)有意义,需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，1－2x >0，即－3<x<0. 3．(2020·浙江省名校新高考研究联盟联考)若log 83＝p,log 35＝q,则lg 5(用p 、q 表示)等于( ) A.3p ＋q5 B.1＋3pqp ＋qC.3pq1＋3pqD ．p 2＋q 2解析：选C.因为log 83＝p,所以lg 3＝3plg 2,又因为log 35＝q,所以lg 5＝qlg 3,所以lg 5＝3pqlg2＝3pq(1－lg 5),所以lg 5＝3pq1＋3pq,故选C.4．若函数f(x)＝ax －1的图象经过点(4,2),则函数g(x)＝log a1x ＋1的图象是( )解析：选D.由题意可知f(4)＝2,即a 3＝2,a ＝32. 所以g(x)＝log 321x ＋1＝－log 32(x ＋1)．由于g(0)＝0,且g(x)在定义域上是减函数,故排除A,B,C.5．(2020·瑞安四校联考)已知函数f(x)＝log 12|x －1|,则下列结论正确的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f(0)<f(3)B ．f(0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f(3)C ．f(3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f(0)D ．f(3)<f(0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 解析：选C.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝log 1232,因为－1＝log 122<log 1232<log 121＝0,所以－1<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<0；f(0)＝log 121＝0；f(3)＝log 122＝－1,所以C 正确．6．设函数f(x)＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1,则不等式f(log 2x)＋f(log 12x )≥2的解集为( )A ．(0,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[2,＋∞)D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2,＋∞) 解析：选B.因为f(x)的定义域为R,f(－x)＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1＝f(x),所以f(x)为R 上的偶函数．易知其在区间[0,＋∞)上单调递减,令t ＝log 2x,所以log 12x ＝－t,则不等式f(log 2x)＋f(log 12x )≥2可化为f(t)＋f(－t)≥2,即2f(t)≥2,所以f(t)≥1,又因为f(1)＝log 122＋83＋1＝1,f(x)在[0,＋∞)上单调递减,在R 上为偶函数,所以－1≤t≤1,即log 2x∈[－1,1],所以x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2,故选B. 7．(2020·瑞安市高三四校联考)若正数a,b 满足log 2a ＝log 5b ＝lg(a ＋b),则1a ＋1b 的值为________．解析：设log 2a ＝log 5b ＝lg(a ＋b)＝k, 所以a ＝2k,b ＝5k,a ＋b ＝10k,所以ab ＝10k, 所以a ＋b ＝ab,则1a ＋1b ＝1.答案：18．设函数f(x)＝|log a x|(0<a<1)的定义域为[m,n](m<n),值域为[0,1],若n －m 的最小值为13,则实数a的值为________．解析：作出y ＝|log a x|(0＜a ＜1)的大致图象如图,令|log a x|＝1. 得x ＝a 或x ＝1a ,又1－a －⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＝1－a －1－a a ＝（1－a ）（a －1）a ＜0, 故1－a ＜1a－1,所以n －m 的最小值为1－a ＝13,a ＝23.答案：239．(2020·台州模拟)已知函数f(x)＝log a (8－ax)(a>0,a ≠1),若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,则实数a 的取值范围为________．解析：当a>1时,f(x)＝log a (8－ax)在[1,2]上是减函数, 由f(x)>1恒成立,则f(x)min ＝log a (8－2a)>1, 解得1<a<83,当0<a<1时,f(x)在x∈[1,2]上是增函数, 由f(x)>1恒成立,则f(x)min ＝log a (8－a)>1, 且8－2a<0,所以a>4,且a<1,故不存在．综上可知,实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 10．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x|，0＜x≤3，2－log 3x ，x ＞3，若a ＜b ＜c,且f(a)＝f(b)＝f(c),则a ＋b ＋c 的取值范围为________．解析：由f(a)＝f(b)＝f(c),可知－log 3a ＝log 3b ＝2－log 3c,则ab ＝1,bc ＝9,故a ＝1b ,c ＝9b ,则a ＋b＋c ＝b ＋10b ,又b∈(1,3),位于函数f(b)＝b ＋10b 的减区间上,所以193＜a ＋b ＋c ＜11.答案：⎝⎛⎭⎪⎫193，1111．函数f(x)＝log 12(a x－3)(a>0且a≠1)．(1)若a ＝2,求函数f(x)在(2,＋∞)上的值域；(2)若函数f(x)在(－∞,－2)上单调递增,求a 的取值范围．解：(1)令t ＝a x－3＝2x－3,则它在(2,＋∞)上是增函数,所以t>22－3＝1, 由复合函数的单调性原则可知,f(x)＝log 12(2x－3)在(2,＋∞)上单调递减,所以f(x)<f(2)＝log 12 1＝0,即函数f(x)在(2,＋∞)上的值域为(－∞,0)．(2)因为函数f(x)在(－∞,－2)上单调递增,根据复合函数的单调性法则,所以t ＝a x－3在(－∞,－2)上单调递减且恒为正数,即⎩⎪⎨⎪⎧0<a<1，t min>a －2－3≥0，解得0<a≤33. [综合题组练]1．设x,y,z 为正数,且2x＝3y＝5z,则( ) A ．2x<3y<5z B ．5z<2x<3y C ．3y<5z<2xD ．3y<2x<5z解析：选D.设2x＝3y＝5z ＝k>1, 所以x ＝log 2k,y ＝log 3k,z ＝log 5k.因为2x －3y ＝2log 2k －3log 3k ＝2log k 2－3log k 3＝2log k 3－3log k 2log k 2·log k 3＝log k 32－log k 23log k 2·log k 3＝log k98log k 2·log k 3>0,所以2x>3y ；因为3y －5z ＝3log 3k －5log 5k ＝3log k 3－5log k 5＝3log k 5－5log k 3log k 3·log k 5＝log k 53－log k 35log k 3·log k 5＝log k 125243log k 3·log k 5<0,所以3y<5z ；因为2x －5z ＝2log 2k －5log 5k ＝2log k 2－5log k 5＝2log k 5－5log k 2log k 2·log k 5＝log k 52－log k 25log k 2·log k 5＝log k2532log k 2·log k 5<0,所以5z>2x.所以5z>2x>3y,故选D.2．(2020·宁波高三模拟)两个函数的图象经过平移后能够重合,称这两个函数为“同形”函数,给出四个函数：f 1(x)＝2log 2(x ＋1),f 2(x)＝log 2(x ＋2),f 3(x)＝log 2x 2,f 4(x)＝log 2(2x),其中“同形”函数是( )A ．f 2(x)与f 4(x)B ．f 1(x)与f 3(x)C ．f 1(x)与f 4(x)D ．f 3(x)与f 4(x)解析：选A.f 3(x)＝log 2x 2是偶函数,而其余函数无论怎样变换都不是偶函数,故其他函数图象经过平移后不可能与f 3(x)的图象重合,故排除选项B,D ；f 4(x)＝log 2(2x)＝1＋log 2x,将f 2(x)＝log 2(x ＋2)的图象沿着x 轴先向右平移两个单位得到y ＝log 2x 的图象,再沿着y 轴向上平移一个单位可得到f 4(x)＝log 2(2x)＝1＋log 2x 的图象,根据“同形”函数的定义可知选A.3．(2020·浙江新高考冲刺卷)已知函数f(x)＝ln(e 2x＋1)－mx 为偶函数,其中e 为自然对数的底数,则m ＝________,若a 2＋ab ＋4b 2≤m,则ab 的取值范围是________．解析：由题意,f(－x)＝ln(e－2x＋1)＋mx ＝ln(e 2x ＋1)－mx,所以2mx ＝ln(e 2x ＋1)－ln(e－2x＋1)＝2x,所以m ＝1,因为a 2＋ab ＋4b 2≤m,所以4|ab|＋ab≤1,所以－13≤ab ≤15,故答案为1,⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，15.答案：1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，154．(2020·宁波诺丁汉大学附中高三调研)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,＋∞)单调递减,若实数a 满足f(log 3a)＋f(log 13a )≥2f(1),则a 的取值范围是________．解析：由于函数f(x)是定义在R 上的偶函数,则f(－x)＝f(x),即有f(x)＝f(|x|), 由实数a 满足f(log 3a)＋f(log 13a )≥2f(1),则有f(log 3a)＋f(－log 3a )≥2f(1), 即2f(log 3a )≥2f(1)即f(log 3a )≥f(1), 即有f(|log 3a|)≥f(1),由于f(x)在区间[0,＋∞)上单调递减, 则|log 3a|≤1,即有－1≤log 3a ≤1, 解得13≤a ≤3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3。
1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系【知识拓展】1．有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f (x )在定义域上是单调函数，则f (x )至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 2．三个等价关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．( × )(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( × ) (3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac <0时没有零点．( √ )(4)若函数f (x )在(a ，b )上单调且f (a )·f (b )<0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点．( √ )1．(教材改编)函数f (x )＝12x －(12)x 的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 f (x )是增函数，又f (0)＝－1，f (1)＝12，∴f (0)f (1)<0，∴f (x )有且只有一个零点．2．(2016·杭州检测)函数f (x )＝12ln x ＋x －1x －2的零点所在的区间是( )A ．(1e ，1)B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(e,3)答案 C解析 因为f (1e )＝－12＋1e －e －2<0，f (1)＝－2<0，f (2)＝12ln 2－12<0，f (e)＝12＋e －1e －2>0，所以f (2)f (e)<0，所以函数f (x )＝12ln x ＋x －1x －2的零点所在区间是(2，e)．3．函数f (x )＝2x |log 0.5 x |－1的零点个数为________． 答案 2解析 由f (x )＝0，得|log 0.5x |＝⎝⎛⎭⎫12x， 作出函数y ＝|log 0.5x |和y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象，由上图知两函数图象有2个交点， 故函数f (x )有2个零点．4．函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫13，1解析 ∵函数f (x )的图象为直线，由题意可得 f (－1)f (1)<0，∴(－3a ＋1)·(1－a )<0，解得13<a <1，∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，1.题型一 函数零点的确定 命题点1 确定函数零点所在区间例1 (1)(2016·余姚调研)已知函数f (x )＝ln x －⎝⎛⎭⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)(2)(2016·杭州模拟)设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ，则x 0所在的区间是________． 答案 (1)C (2)(1,2)解析 (1)∵f (x )＝ln x －⎝⎛⎭⎫12x －2在(0，＋∞)为增函数， 又f (1)＝ln 1－⎝⎛⎭⎫12－1＝ln 1－2<0， f (2)＝ln 2－⎝⎛⎭⎫120<0， f (3)＝ln 3－⎝⎛⎭⎫121>0， ∴x 0∈(2,3)，故选C.(2)令f (x )＝x 3－(12)x －2，则f (x 0)＝0，易知f (x )为增函数，且f (1)<0，f (2)>0，∴x 0所在的区间是(1,2)．命题点2 函数零点个数的判断例2 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．(2)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是( ) A ．多于4 B ．4 C ．3D ．2答案 (1)2 (2)B解析 (1)当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点；当x >0时，f ′(x )＝2＋1x >0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又因为f (2)＝－2＋ln 2<0，f (3)＝ln 3>0，所以f (x )在(0，＋∞)上有一个零点．综上，函数f (x )的零点个数为2. (2)由题意知，f (x )是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y ＝f (x )及y ＝log 3|x |的图象如图，观察图象可以发现它们有4个交点， 即函数y ＝f (x )－log 3|x |有4个零点．思维升华 (1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法．(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数．(1)已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)(2)函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7答案 (1)C (2)C解析 (1)因为f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝32－log 24＝－12<0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2,4)．(2)由f (x )＝x cos x 2＝0，得x ＝0或cos x 2＝0. 又x ∈[0,4]，所以x 2∈[0,16]． 由于cos(π2＋k π)＝0(k ∈Z )，而在π2＋k π(k ∈Z )的所有取值中，只有π2，3π2，5π2，7π2，9π2满足在[0,16]内，故零点个数为1＋5＝6.题型二 函数零点的应用例3 (1)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2) (2)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R ，若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围是________________． 答案 (1)C (2)(0,1)∪(9，＋∞)解析 (1)因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)<0，所以(－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，所以0＜a ＜3. (2)设y 1＝f (x )＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|，在同一直角坐标系中作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a |x －1|的图象如图所示．由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y 1＝|x 2＋3x |与y 2＝a |x －1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a (1－x )有两组不同解，消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0有两个不等实根， 所以Δ＝(3－a )2－4a >0，即a 2－10a ＋9>0， 解得a <1或a >9.又由图象得a >0，∴0<a <1或a >9. 引申探究本例(2)中，若f (x )＝a 恰有四个互异的实数根，则a 的取值范围是________________． 答案 (0，94)解析 作出y 1＝|x 2＋3x |，y 2＝a 的图象如下：当x ＝－32时，y 1＝94；当x ＝0或x ＝－3时，y 1＝0，由图象易知，当y 1＝|x 2＋3x |和y 2＝a 的图象有四个交点时，0<a <94.思维升华 已知函数零点情况求参数的步骤及方法(1)步骤：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组)，即得参数的取值范围．(2)方法：常利用数形结合法．(1)(2016·舟山模拟)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a <0)在区间(0,1)上有零点，则a 的取值范围为________．(2)(2016·浙江高考冲刺)已知函数f (x )是定义在区间[－2,2]上的偶函数，当0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－2x ＋1，若在区间[－2,2]内，函数g (x )＝f (x )－kx －2k 有三个零点，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，14)B ．(0，12)C ．(14，12)D ．(14，＋∞)答案 (1)(－2,0) (2)C解析 (1)∵－a ＝x 2＋x 在(0,1)上有解， 又y ＝x 2＋x ＝(x ＋12)2－14，∴函数y ＝x 2＋x ，x ∈(0,1)的值域为(0,2)， ∴0<－a <2，∴－2<a <0.(2)因为函数f (x )是定义在区间[－2,2]上的偶函数，且当－2≤x <0时，0<－x ≤2，所以f (－x )＝(－x )2－2(－x )＋1＝x 2＋2x ＋1.函数g (x )＝f (x )－kx －2k 有三个零点，即函数y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋1，0≤x ≤2，x 2＋2x ＋1，－2≤x <0和y ＝k (x ＋2)的图象有三个不同的交点．作出函数y ＝f (x )和y ＝k (x ＋2)的图象，如图所示．直线y ＝k (x ＋2)过点P (－2,0)，由图可知k P A ＝14，k PB ＝12，要使此直线与函数y ＝f (x )有三个不同的交点，则需满足14<k <12.题型三 二次函数的零点问题例4 已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围．解 方法一 设方程x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，则(x 1－1)(x 2－1)<0， ∴x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1<0，由根与系数的关系，得(a －2)＋(a 2－1)＋1<0， 即a 2＋a －2<0，∴－2<a <1.方法二 函数图象大致如图，则有f (1)<0，即1＋(a 2－1)＋a －2<0，∴－2<a <1. 故实数a 的取值范围是(－2,1)．思维升华 解决与二次函数有关的零点问题(1)利用一元二次方程的求根公式．(2)利用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系．(3)利用二次函数的图象列不等式组．(2016·瑞安一模)若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是__________． 答案 ⎝⎛⎭⎫14，12解析 依题意，结合函数f (x )的图象分析可知m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，[m －2－m ＋(2m ＋1)](2m ＋1)<0，[m －2＋m ＋(2m ＋1)][4(m －2)＋2m ＋(2m ＋1)]<0， 解得14<m <12.4．利用转化思想求解函数零点问题典例 (1)若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． (2)若关于x 的方程22x ＋2x a ＋a ＋1＝0有实根，则实数a 的取值范围为________．思想方法指导 (1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围．(2)“a ＝f (x )有解”型问题，可以通过求函数y ＝f (x )的值域解决．解析 (1)函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，即方程a x －x －a ＝0有两个根，即函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 的图象有两个交点．当0<a <1时，图象如图①所示，此时只有一个交点． 当a >1时，图象如图②所示，此时有两个交点． ∴实数a 的取值范围为(1，＋∞)．(2)由方程，解得a ＝－22x ＋12x ＋1，设t ＝2x (t >0)，则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－(t ＋2t ＋1－1)＝2－[(t ＋1)＋2t ＋1]，其中t ＋1>1，由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2.答案 (1)(1，＋∞) (2)(－∞，2－22]1．(2016·温州模拟)设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)答案 B解析 ∵f (1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f (2)＝ln 2>0，∴f (1)·f (2)<0，∵函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的， ∴f (x )的零点所在的区间是(1,2)．2．(2016·绍兴模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12 B ．－2C ．0或12D ．0答案 D解析 当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0； 当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解． 综上，函数f (x )的零点只有0，故选D.3．已知三个函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <c D ．c <a <b答案 B解析 方法一 由于f (－1)＝12－1＝－12<0，f (0)＝1>0且f (x )为R 上的递增函数．故f (x )＝2x ＋x 的零点a ∈(－1,0)． ∵g (2)＝0，∴g (x )的零点b ＝2； ∵h ⎝⎛⎭⎫12＝－1＋12＝－12<0，h (1)＝1>0，且h (x )为(0，＋∞)上的增函数， ∴h (x )的零点c ∈⎝⎛⎭⎫12，1，因此a <c <b . 方法二 由f (x )＝0，得2x ＝－x ；由h (x )＝0，得log 2x ＝－x ，作出函数y ＝2x ， y ＝log 2x 和y ＝－x 的图象(如图)．由图象易知a <0,0<c <1，而b ＝2， 故a <c <b .4．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 (数形结合法) ∵a >0，∴a 2＋1>1. 而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点．5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤0，1x ，x >0，则使方程x ＋f (x )＝m 有解的实数m 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，1]∪[2，＋∞) 答案 D解析 当x ≤0时，x ＋f (x )＝m ，即x ＋1＝m ，解得m ≤1； 当x >0时，x ＋f (x )＝m ，即x ＋1x ＝m ，解得m ≥2.故实数m 的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．故选D.6．已知x ∈R ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数，若函数f (x )＝[x ]x －a (x ≠0)有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围是________________． 答案 ⎝⎛⎦⎤34，45∪[43，32)解析 当0<x <1时，f (x )＝[x ]x －a ＝－a ；当1≤x <2时，f (x )＝[x ]x －a ＝1x －a ；当2≤x <3时，f (x )＝[x ]x －a ＝2x －a ；…f (x )＝[x ]x －a 的图象是把y ＝[x ]x 的图象进行纵向平移而得到的，画出y ＝[x ]x的图象，如图所示，通过数形结合可知a ∈(34，45]∪[43，32)．7．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________． 答案 {x |－32<x <1}解析 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2,3. ∴－2,3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3＝－a ，－2×3＝b .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－6，∴f (x )＝x 2－x －6. ∵不等式af (－2x )>0，即－(4x 2＋2x －6)>0⇔2x 2＋x －3<0， 解集为{x |－32<x <1}．8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x >a .若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，0)∪(1，＋∞)解析 令φ(x )＝x 3(x ≤a )，h (x )＝x 2(x >a )，函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，结合图象(图略)可得a <0或φ(a )>h (a )，即a <0或a 3>a 2，解得a <0或a >1，故a ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．9．(2016·天津)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(4a －3)x ＋3a ，x <0，log a (x ＋1)＋1，x ≥0 (a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x3恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是____________．答案 ⎣⎡⎭⎫13，23解析 因为函数f (x )在R 上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧02＋(4a －3)·0＋3a ≥f (0)，3－4a 2≥0，0<a <1.解得13≤a ≤34.作出函数y ＝|f (x )|，y ＝2－x3的图象如图．由图象可知，在[0，＋∞)上，|f (x )|＝2－x 3有且仅有一个解；在(－∞，0)上，|f (x )|＝2－x3同样有且仅有一个解，所以3a <2，即a <23.综上可得13≤a <23，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫13，23.*10.(2016·萧山中学期中)若a >1，设函数f (x )＝a x ＋x －4的零点为m ，函数g (x )＝log a x ＋x －4的零点为n ，则1m ＋1n 的最小值为________．答案 1解析 设F (x )＝a x ，G (x )＝log a x ，h (x )＝4－x ，则h (x )与F (x )，G (x )的交点A ，B 横坐标分别为m ，n (m >0，n >0)．因为F (x )与G (x )关于直线y ＝x 对称， 所以A ，B 两点关于直线y ＝x 对称．又因为y ＝x 和h (x )＝4－x 交点的横坐标为2， 所以m ＋n ＝4. 又m >0，n >0，所以1m ＋1n ＝(1m ＋1n )·m ＋n 4＝14(2＋n m ＋m n )≥14(2＋2 n m ×mn)＝1. 当且仅当n m ＝mn ，即m ＝n ＝2时等号成立．所以1m ＋1n 的最小值为1.11．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0)． (1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b 且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围． 解 (1)函数f (x )的图象如图所示．(2)∵f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x ＝⎩⎨⎧1x －1，x ∈(0，1]，1－1x ，x ∈(1，＋∞)，故f (x )在(0,1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数．由0<a <b 且f (a )＝f (b )，得0<a <1<b 且1a －1＝1－1b ，∴1a ＋1b＝2.(3)由函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根． 12．关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围． 解 显然x ＝0不是方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0的解， 0<x ≤2时，方程可变形为1－m ＝x ＋1x，又∵y ＝x ＋1x 在(0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，∴y ＝x ＋1x 在(0,2]上的取值范围是[2，＋∞)，∴1－m ≥2，∴m ≤－1， 故m 的取值范围是(－∞，－1]．*13.已知二次函数f (x )的最小值为－4，关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }． (1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x )x－4ln x 的零点个数．解 (1)∵f (x )是二次函数且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }， ∴设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a 且a >0. 又∵a >0，f (x )＝a [(x －1)2－4]≥－4， 且f (1)＝－4a ，∴f (x )min ＝－4a ＝－4，a ＝1.故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3. (2)∵g (x )＝x 2－2x －3x－4ln x＝x －3x－4ln x －2(x >0)，∴g ′(x )＝1＋3x 2－4x ＝(x －1)(x －3)x 2.令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：↗ ↘ ↗当0<x ≤3时，g (x )≤g (1)＝－4<0， g (x )在(3，＋∞)上单调递增， g (3)＝－4ln 3<0，取x ＝e 5>3，又g (e 5)＝e 5－3e 5－20－2>25－1－22＝9>0.故函数g (x )只有1个零点且零点x 0∈(3，e 5)．。
第6讲对数与对数函数最新考纲 1.理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式；2.理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用.知识梳理1.对数的概念如果a x＝N【a>0，且a≠1】，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质【1】对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b【a>0，且a≠1】.【2】对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a【MN】＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M【n∈R】；④log a m M n＝nm log a M【m，n∈R，且m≠0】.【3】对数的重要公式①换底公式：log b N＝log a Nlog a b【a，b均大于零且不等于1】；②log a b＝1log b a，推广log a b·log b c·log c d＝log a d.3.对数函数及其性质【1】概念：函数y＝log a x【a>0，且a≠1】叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是【0，＋∞】.【2】对数函数的图象与性质指数函数y ＝a x 【a >0，且a ≠1】与对数函数y ＝log a x 【a >0，且a ≠1】互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称.诊 断 自 测1.判断正误【在括号内打“√”或“×”】 【1】log 2x 2＝2log 2x .【 】【2】函数y ＝log 2【x ＋1】是对数函数【 】【3】函数y ＝ln 1＋x1－x 与y ＝ln 【1＋x 】－ln 【1－x 】的定义域相同.【 】【4】当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b .【 】 解析 【1】log 2x 2＝2log 2|x |，故【1】错.【2】形如y ＝log a x 【a ＞0，且a ≠1】为对数函数，故【2】错. 【4】当x ＞1时，log a x ＞log b x ，但a 与b 的大小不确定，故【4】错. 答案 【1】× 【2】× 【3】√ 【4】×2.已知函数y ＝log a 【x ＋c 】【a ，c 为常数，其中a >0，且a ≠1】的图象如图，则下列结论成立的是【 】 A.a >1，c >1 B.a >1，0<c <1 C.0<a <1，c >1 D.0<a <1，0<c <1解析 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a <1.又当x ＝0时，y >0，即log a c >0，所以0<c <1. 答案 D3.【必修1P73T3改编】已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则【 】A.a >b >cB.a >c >bC.c >b >aD.c >a >b 解析 ∵0<a <1，b <0，c ＝log 1213＝log 23>1.∴c >a >b . 答案 D4.【2017·湖州调研】已知a >0且a ≠1，若a 32＝278，则a ＝________；log 32a ＝________.解析 ∵a >0且a ≠1，∴由a 32＝278得a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫27823＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝94；log 32a ＝log 3294＝2.答案 94 25.【2015·浙江卷】计算：log 222＝________；2log23＋log43＝________. 解析 log 222＝log 22－log 22＝12－1＝－12；2log 23＋log 43＝2log 23·2log 43＝3×2log 43＝3×2log 23＝3 3.答案 －12 3 36.若log a 34<1【a >0，且a ≠1】，则实数a 的取值范围是________.解析 当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，解得0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，解得a >1.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪【1，＋∞】考点一 对数的运算【例1】 【1】设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于【 】 A.10B.10C.20D.100【2】计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________.解析 【1】由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.解得m ＝10.【2】原式＝【lg 2－2－lg 52】×10012＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.答案 【1】A 【2】－20规律方法 【1】在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并. 【2】先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.【3】a b ＝N ⇔b ＝log a N 【a >0，且a ≠1】是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.【训练1】 【1】【2017·北京东城区综合练习】已知函数f 【x 】＝⎩⎨⎧2x，x ≥4，f （x ＋1），x <4，则f 【2＋log 23】的值为【 】 A.24B.16C.12D.8【2】【2015·安徽卷】lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________.解析 【1】因为3<2＋log 23<4，所以f 【2＋log 23】＝f 【3＋log 23】＝23＋log 23＝8×2log 23＝24.【2】lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝lg 5＋lg 2－2＝lg 10－2＝－1.答案 【1】A 【2】－1 考点二 对数函数的图象及应用【例2】 【1】【2017·郑州一模】若函数y ＝a |x |【a >0，且a ≠1】的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是【 】【2】【2017·金华调研】已知函数f 【x 】＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f 【x 】＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________. 解析 【1】由于y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}， ∴a >1，则y ＝log a x 在【0，＋∞】上是增函数， 又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称. 因此y ＝log a |x |的图象应大致为选项B.【2】如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f 【x 】与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上截距.由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点.答案 【1】B 【2】a >1规律方法 【1】在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点【与坐标轴的交点、最高点、最低点等】排除不符合要求的选项. 【2】一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.【训练2】 【1】函数y ＝2log 4【1－x 】的图象大致是【 】【2】当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是【 】 A.⎝⎛⎭⎪⎫0，22B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C.【1，2】D.【2，2】解析 【1】函数y ＝2log 4【1－x 】的定义域为【－∞，1】，排除A 、B ；又函数y ＝2log 4【1－x 】在定义域内单调递减，排除D.【2】由题意得，当0<a <1时，要使得4x<log a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x ≤12，即当0<x ≤12时，函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方.又当x ＝12时，412＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2代入y ＝log a x ，得a ＝22.若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22<a <1【如图所示】. 当a >1时，不符合题意，舍去. 所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.答案 【1】C 【2】B考点三 对数函数的性质及应用【多维探究】 命题角度一 比较对数值的大小【例3－1】 【2016·全国Ⅰ卷】若a >b >0，0<c <1，则【 】 A.log a c <log b c B.log c a <log c b C.a c <b cD.c a >c b解析 由y ＝x c 与y ＝c x 的单调性知，C 、D 不正确. ∵y ＝log c x 是减函数，得log c a <log c b ，B 正确.log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg clg b ，∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0.而a ＞b ＞0，∴lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负，∴log a c 与log b c 的大小不能确定. 答案 B命题角度二 解对数不等式【例3－2】 若log a 【a 2＋1】<log a 2a <0，则a 的取值范围是【 】 A.【0，1】 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D.【0，1】∪【1，＋∞】解析 由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ， 又log a 【a 2＋1】<log a 2a <0，所以0<a <1，同时2a >1，∴a >12.综上，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案 C命题角度三 对数型函数的性质【例3－3】 已知函数f 【x 】＝log a 【3－ax 】.【1】当x ∈[0，2]时，函数f 【x 】恒有意义，求实数a 的取值范围；【2】是否存在这样的实数a ，使得函数f 【x 】在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由. 解 【1】∵a >0且a ≠1，设t 【x 】＝3－ax ， 则t 【x 】＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t 【x 】的最小值为3－2a ， 当x ∈[0，2]时，f 【x 】恒有意义， 即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立. ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈【0，1】∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. 【2】t 【x 】＝3－ax ，∵a >0， ∴函数t 【x 】为减函数.∵f 【x 】在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1，2]时，t 【x 】最小值为3－2a ，f 【x 】最大值为f 【1】＝log a 【3－a 】，∴⎩⎨⎧3－2a >0，log a （3－a ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f 【x 】在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.规律方法 【1】确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.【2】如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误. 【3】在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.【训练3】 【1】设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则【 】 A.a >c >b B.b >c >a C.c >b >aD.c >a >b【2】已知函数f 【x 】＝log a 【8－ax 】【a >0，且a ≠1】，若f 【x 】>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________. 解析 【1】a ＝log 32<log 33＝1，b ＝log 52<log 55＝1， 又c ＝log 23>log 22＝1， 所以，c 最大.由1<log 23<log 25，得1log 23>1log 25，即a >b ，所以c >a >b .【2】当a >1时，f 【x 】＝log a 【8－ax 】在[1，2]上是减函数，由f 【x 】>1在区间[1，2]上恒成立，则f 【x 】min ＝log a 【8－2a 】>1， 解之得1<a <83.若0<a <1时，f 【x 】在[1，2]上是增函数， 由f 【x 】>1在区间[1，2]上恒成立， 则f 【x 】min ＝log a 【8－a 】>1，且8－2a >0. ∴a >4，且a <4，故不存在.综上可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83. 答案 【1】D 【2】⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83[思想方法]1.对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且0<b <1时，log a b >0； 当a >1且0<b <1或0<a <1且b >1时，log a b <0.2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.3.比较幂、对数大小有两种常用方法：【1】数形结合；【2】找中间量结合函数单调性.4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定.[易错防范]1.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝log a x的定义域应为【0，＋∞】.对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分0<a<1与a>1两种情况讨论.2.在运算性质log a Mα＝αlog a M中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为log a Mα＝αlog a|M|【α∈N*，且α为偶数】.3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：【1】务必先研究函数的定义域；【2】注意对数底数的取值范围.基础巩固题组【建议用时：40分钟】一、选择题1.【2015·四川卷】设a，b为正实数，则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的【】A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析因为y＝log2x在【0，＋∞】上单调递增，所以当a>b>1时，有log2a>log2b>log21＝0；当log2a>log2b>0＝log21时，有a>b>1.答案 A2.【2017·石家庄模拟】已知a＝log23＋log23，b＝log29－log23，c＝log32，则a，b，c的大小关系是【】A.a＝b<cB.a＝b>cC.a<b<cD.a>b>c解析 因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1. 答案 B3.若函数y ＝log a x 【a >0，且a ≠1】的图象如图所示，则下列函数图象正确的是【 】解析 由题意y ＝log a x 【a >0，且a ≠1】的图象过【3，1】点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；选项C 中，y ＝【－x 】3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3【－x 】的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符.故选B. 答案 B4.已知函数f 【x 】＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3－x ＋1，x ≤0，则f 【f 【1】】＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值是【 】A.5B.3C.－1D.72解析 由题意可知f 【1】＝log 21＝0， f 【f 【1】】＝f 【0】＝30＋1＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝3－log 312＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3， 所以f 【f 【1】】＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝5.答案 A5.【2016·浙江卷】已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则【 】A.【a －1】【b －1】<0B.【a －1】【a －b 】>0C.【b －1】【b －a 】<0D.【b －1】【b －a 】>0解析 ∵a >0，b >0且a ≠1，b ≠1.由log a b >1得log a b a >0.∴a >1，且b a >1或0<a <1且0<b a <1，则b >a >1或0<b <a <1.故【b －a 】【b －1】>0.答案 D二、填空题 6.设f 【x 】＝log ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f 【x 】<0的x 的取值范围是________. 解析 由f 【x 】是奇函数可得a ＝－1，∴f 【x 】＝lg 1＋x 1－x，定义域为【－1，1】. 由f 【x 】<0，可得0<1＋x 1－x <1，∴－1<x <0. 答案 【－1，0】7.【2017·绍兴调研】已知5lg x ＝25，则x ＝________；已知函数f 【x 】＝lg x ，若f 【ab 】＝1，则f 【a 2】＋f 【b 2】＝________.解析 因为5lg x ＝25，所以lg x ＝log 525＝2，所以x ＝102＝100；又因为f 【ab 】＝1，所以lg 【ab 】＝1，即ab ＝10，所以f 【a 2】＋f 【b 2】＝lg a 2＋lg b 2＝lg 【a 2b 2】＝2lg 【ab 】＝2.答案 100 28.【2015·福建卷】若函数f 【x 】＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log ax ，x >2【a >0，且a ≠1】的值域是[4，＋∞】，则实数a 的取值范围是________.解析 当x ≤2时，f 【x 】≥4；又函数f 【x 】的值域为[4，＋∞】，所以⎩⎨⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，解1＜a ≤2，所以实数a 的取值范围为【1，2].答案 【1，2]三、解答题9.设f 【x 】＝log a 【1＋x 】＋log a 【3－x 】【a >0，a ≠1】，且f 【1】＝2.【1】求a 的值及f 【x 】的定义域；【2】求f 【x 】在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值. 解 【1】∵f 【1】＝2，∴log a 4＝2【a >0，a ≠1】，∴a ＝2.由⎩⎨⎧1＋x >0，3－x >0，得－1＜x ＜3， ∴函数f 【x 】的定义域为【－1，3】.【2】f 【x 】＝log 2【1＋x 】＋log 2【3－x 】＝log 2【1＋x 】【3－x 】＝log 2[－【x －1】2＋4]，∴当x ∈【－1，1]时，f 【x 】是增函数；当x ∈【1，3】时，f 【x 】是减函数，故函数f 【x 】在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f 【1】＝log 24＝2. 10.【2016·衡阳月考】已知函数f 【x 】是定义在R 上的偶函数，且f 【0】＝0，当x >0时，f 【x 】＝log 12x . 【1】求函数f 【x 】的解析式；【2】解不等式f 【x 2－1】>－2.解 【1】当x <0时，－x >0，则f 【－x 】＝log 12【－x 】.因为函数f 【x 】是偶函数，所以f 【－x 】＝f 【x 】＝log 12【－x 】，所以函数f 【x 】的解析式为f 【x 】＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12（－x ），x <0.【2】因为f 【4】＝log 124＝－2，f 【x 】是偶函数， 所以不等式f 【x 2－1】>－2转化为f 【|x 2－1|】>f 【4】.又因为函数f 【x 】在【0，＋∞】上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为【－5，5】.能力提升题组【建议用时：25分钟】11.【2017·长沙质检】设f 【x 】＝ln x ，0<a <b ，若p ＝f 【ab 】，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12【f 【a 】＋f 【b 】】，则下列关系式中正确的是【 】A.q ＝r <pB.p ＝r <qC.q ＝r >pD.p ＝r >q解析 ∵0<a <b ，∴a ＋b 2>ab ，又∵f 【x 】＝ln x 在【0，＋∞】上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2>f 【ab 】，即q >p . 又r ＝12【f 【a 】＋f 【b 】】＝12【ln a ＋ln b 】＝ln ab ＝p ，故p ＝r <q .答案 B12.已知函数f 【x 】＝ln x 1－x，若f 【a 】＋f 【b 】＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab 的取值范围是________.解析 由题意可知ln a 1－a ＋ln b 1－b＝0， 即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a 【1－a 】＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14， 又0＜a ＜b ＜1，∴0＜a ＜12，故0＜－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14＜14. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1413.【2016·浙江卷】已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________.解析 ∵log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52， ∴log a b ＝2或12.∵a >b >1，∴log a b <log a a ＝1，∴log a b ＝12，∴a ＝b 2.∵a b ＝b a ，∴【b 2】b ＝bb 2，∴b 2b ＝bb 2，∴2b ＝b 2，∴b ＝2，∴a ＝4.答案 4 214.设x ∈[2，8]时，函数f 【x 】＝12log a 【ax 】·log a 【a 2x 】【a >0，且a ≠1】的最大值是1，最小值是－18，求a 的值.解 由题意知f 【x 】＝12【log a x ＋1】【log a x ＋2】＝12【log 2a x ＋3log a x ＋2】＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a x ＋322－18. 当f 【x 】取最小值－18时，log a x ＝－32.又∵x ∈[2，8]，∴a ∈【0，1】.∵f 【x 】是关于log a x 的二次函数，∴函数f 【x 】的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得.若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 2＋322－18＝1，则a ＝2－13， 此时f 【x 】取得最小值时，x ＝【2－13】－32＝2∉[2，8]，舍去.若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 8＋322－18＝1，则a ＝12，此时f 【x 】取得最小值时，x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32＝22∈[2，8]， 符合题意，∴a ＝12.15.已知函数f 【x 】＝lg1＋x 1＋ax 【a ≠1】是奇函数. 【1】求a 的值；【2】若g 【x 】＝f 【x 】＋21＋2x，x ∈【－1，1】，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12的值. 解 【1】因为f 【x 】为奇函数，所以对定义域内任意x ，都有f 【－x 】＋f 【x 】＝0，即lg 1－x 1－ax ＋lg 1＋x 1＋ax ＝lg 1－x 21－a 2x 2＝0，a ＝±1， 由条件知a ≠1，所以a ＝－1.【2】因为f 【x 】为奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0. 令h 【x 】＝21＋2x ，则h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝21＋2＋21＋12＝2， 所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2.。
