浙江专用2020高考数学二轮复习小题专题练一

专题强化训练1．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A.12 B ．1 C ．0D ．不存在解析：选A.因为f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x，且x >0.令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1.所以f (x )在x ＝1处取得最小值，且f (1)＝12－ln 1＝12.2．已知m 是实数，函数f (x )＝x 2(x －m )，若f ′(－1)＝－1，则函数f (x )的单调递增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫－43，0 B.⎝⎛⎭⎫0，43 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－43，(0，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－43∪(0，＋∞) 解析：选C.因为f ′(x )＝3x 2－2mx ，所以f ′(－1)＝3＋2m ＝－1，解得m ＝－2.所以f ′(x )＝3x 2＋4x .由f ′(x )＝3x 2＋4x >0，解得x <－43或x >0，即f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－43，(0，＋∞)，故选C. 3．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3ln x 在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－26] B.⎝⎛⎦⎤－∞，62 C ．[－26，＋∞)D ．[－5，＋∞)解析：选C.由题意得f ′(x )＝2x ＋a ＋3x ＝2x 2＋ax ＋3x≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔g (x )＝2x 2＋ax ＋3≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔Δ＝a 2－24≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－a 4≤1，g （1）≥0⇔－26≤a ≤26或a ≥－4⇔a ≥－2 6.4．(2019·台州二模)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )，F (x )＝f ′（x ）e x，若F (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝－2x ＋c ，则函数f (x )的最小值是( )A ．2B ．1C ．0D ．－1解析：选C.因为f ′(x )＝2x ＋b ，所以F (x )＝2x ＋b e x ，F ′(x )＝2－2x －be x，又F (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝－2x ＋c ，所以⎩⎪⎨⎪⎧F ′（0）＝－2，F （0）＝c ，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，b ＝4，所以f (x )＝(x ＋2)2≥0，f (x )min ＝0.5．(2019·温州瑞安七校模拟)已知函数f (x )＝(x －x 1)·(x －x 2)(x －x 3)(其中x 1＜x 2＜x 3)，g (x )＝e x －e －x ，且函数f (x )的两个极值点为α，β(α＜β)．设λ＝x 1＋x 22，μ＝x 2＋x 32，则( )A ．g (α)＜g (λ)＜g (β)＜g (μ)B ．g (λ)＜g (α)＜g (β)＜g (μ)C ．g (λ)＜g (α)＜g (μ)＜g (β)D ．g (α)＜g (λ)＜g (μ)＜g (β)解析：选D.由题意，f ′(x )＝(x －x 1)(x －x 2)＋(x －x 2)(x －x 3)＋(x －x 1)(x －x 3)， 因为f ′(x 1＋x 22)＝－（x 2－x 1）24＜0，f ′(x 2＋x 32)＝－（x 2－x 3）24＜0，因为f (x )在(－∞，α)，(β，＋∞)上递增，(α，β)上递减， 所以α＜λ＜μ＜β，因为g (x )＝e x －e －x 单调递增， 所以g (α)＜g (λ)＜g (μ)＜g (β)． 故选D.6．(2019·宁波诺丁汉大学附中高三期中考试)已知函数f (x )＝x ＋2b x ＋a ，x ∈[a ，＋∞)，其中a ＞0，b ∈R ，记m (a ，b )为f (x )的最小值，则当m (a ，b )＝2时，b 的取值范围为( )A ．b ＞13B ．b ＜13C ．b ＞12D ．b ＜12解析：选D.函数f (x )＝x ＋2bx＋a ，x ∈[a ，＋∞)，导数f ′(x )＝1－2bx2，当b ≤0时，f ′(x )＞0，f (x )在x ∈[a ，＋∞)递增，可得f (a )取得最小值， 且为2a ＋2b a ，由题意可得2a ＋2ba ＝2，a ＞0，b ≤0方程有解；当b ＞0时，由f ′(x )＝1－2bx 2＝0，可得x ＝2b (负的舍去)，当a ≥2b 时，f ′(x )＞0，f (x )在[a ，＋∞)递增，可得f (a )为最小值， 且有2a ＋2ba＝2，a ＞0，b ＞0，方程有解；当a ＜2b 时，f (x )在[a ，2b ]递减，在(2b ，＋∞)递增， 可得f (2b )为最小值，且有a ＋22b ＝2，即a ＝2－22b ＞0， 解得0＜b ＜12.综上可得b 的取值范围是(－∞，12)．故选D.7．(2019·浙江“七彩阳光”联盟模拟)函数f (x )＝2x 2＋3x2e x的大致图象是( )解析：选B.由f (x )的解析式知有两个零点x ＝－32与x ＝0，排除A ，又f ′(x )＝－2x 2＋x ＋32e x ，由f ′(x )＝0知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B.8．(2019·成都市第一次诊断性检测)已知曲线C 1：y 2＝tx (y >0，t >0)在点M ⎝⎛⎭⎫4t ，2处的切线与曲线C 2：y ＝e x ＋1＋1也相切，则t 的值为( )A ．4e 2B ．4e C.e 24 D.e4解析：选A.由y ＝tx ，得y ′＝t 2tx ，则切线斜率为k ＝t 4，所以切线方程为y －2＝t4⎝⎛⎭⎫x －4t ，即y ＝t4x ＋1.设切线与曲线y ＝e x ＋1＋1 的切点为(x 0，y 0)．由y ＝e x ＋1＋1，得y ′＝e x ＋1，则由e x 0＋1＝t 4，得切点坐标为⎝⎛⎭⎫ln t 4－1，t 4＋1，故切线方程又可表示为y －t 4－1＝t4⎝⎛⎭⎫x －ln t 4＋1，即y＝t 4x －t 4ln t 4＋t 2＋1，所以由题意，得－t 4ln t 4＋t 2＋1＝1，即ln t4＝2，解得t ＝4e 2，故选A. 9．(2019·金华十校高考模拟)已知函数f (x )＝23x 3－x 2＋ax －1，若曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于0，则实数a 的取值范围为____________．解析：由题意知，f (x )＝23x 3－x 2＋ax －1的导数f ′(x )＝2x 2－2x ＋a .2x 2－2x ＋a ＝3有两个不等正根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－8（a －3）＞012（a －3）＞0，得3＜a ＜72.答案：⎝⎛⎭⎫3，72 10．(2019·湖州市高三期末)定义在R 上的函数f (x )满足：f (1)＝1，且对于任意的x ∈R ，都有f ′(x )＜12，则不等式f (log 2x )＞log 2x ＋12的解集为________．解析：设g (x )＝f (x )－12x ，因为f ′(x )＜12，所以g ′(x )＝f ′(x )－12＜0，所以g (x )为减函数，又f (1)＝1， 所以f (log 2x )＞log 2x ＋12＝12log 2x ＋12，即g (log 2x )＝f (log 2x )－12log 2x ＞12＝g (1)＝f (1)－12＝g (log 22)，所以log 2x ＜log 22，又y ＝log 2x 为底数是2的增函数， 所以0＜x ＜2，则不等式f (log 2x )＞log 2x ＋12的解集为(0，2)．答案：(0，2)11．(2019·绍兴、诸暨高考二模)已知函数f (x )＝x 3－3x ，函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程是________；函数f (x )在区间[0，2]内的值域是________．解析：函数f (x )＝x 3－3x ，切点坐标(0，0)，导数为y ′＝3x 2－3，切线的斜率为－3， 所以切线方程为y ＝－3x ；3x 2－3＝0，可得x ＝±1，x ∈(－1，1)，y ′＜0，函数是减函数，x ∈(1，＋∞)，y ′＞0函数是增函数，f (0)＝0，f (1)＝－2，f (2)＝8－6＝2，函数f (x )在区间[0，2]内的值域是[－2，2]． 答案：y ＝－3x [－2，2]12．(2019·台州市高三期末考试)已知函数f (x )＝x 2－3x ＋ln x ，则f (x )在区间[12，2]上的最小值为________；当f (x )取到最小值时，x ＝________．解析：f ′(x )＝2x －3＋1x ＝2x 2－3x ＋1x(x ＞0)，令f ′(x )＝0，得x ＝12，1，当x ∈(12，1)时，f ′(x )＜0，x ∈(1，2)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在区间[12，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，所以当x ＝1时，f (x )在区间[12，2]上的最小值为f (1)＝－2.答案：－2 113．(2019·唐山二模)已知函数f (x )＝ln x －nx (n >0)的最大值为g (n )，则使g (n )－n ＋2>0成立的n 的取值范围为________．解析：易知f (x )的定义域为(0，＋∞)． 因为f ′(x )＝1x －n (x >0，n >0)，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1n 时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝⎛⎭⎫1n ，＋∞时，f ′(x )<0， 所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1n 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1n ，＋∞上单调递减， 所以f (x )的最大值g (n )＝f ⎝⎛⎭⎫1n ＝－ln n －1.设h (n )＝g (n )－n ＋2＝－ln n －n ＋1.因为h ′(n )＝－1n－1<0，所以h (n )在(0，＋∞)上单调递减．又h (1)＝0，所以当0<n <1时，h (n )>h (1)＝0，故使g (n )－n ＋2>0成立的n 的取值范围为(0，1)． 答案：(0，1)14．(2019·浙江东阳中学期中检测)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是________．解析：设g (x )＝e x (2x －1)，y ＝ax －a ，由题意存在唯一的整数x 0，使得g (x 0)在直线y ＝ax －a 的下方，因为g ′(x )＝e x (2x ＋1)，所以当x <－12时，g ′(x )<0，当x >－12时，g ′(x )>0，所以当x ＝－12时，g (x )min ＝－2e－12，当x ＝0时，g (0)＝－1，g (1)＝e>0，直线y ＝ax －a恒过(1，0)，斜率为a ，故－a >g (0)＝－1，且g (－1)＝－3e －1≥－a －a ，解得32e ≤a <1.答案：32e≤a <115．设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)求b ，c 的值；(2)若a ＞0，求函数f (x )的单调区间；(3)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝1，f ′（0）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0.(2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a ＞0)， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0；当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0.所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )． (3)g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)， 使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2＜0成立， 即x ∈(－2，－1)时，a ＜⎝⎛⎭⎫x ＋2x max＝－22，当且仅当x ＝2x即x ＝－2时等号成立．所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22)．16．(2019·浙江金华十校第二学期调研)设函数f (x )＝e x －x ，h (x )＝－kx 3＋kx 2－x ＋1. (1)求f (x )的最小值；(2)设h (x )≤f (x )对任意x ∈[0，1]恒成立时k 的最大值为λ，证明：4＜λ＜6. 解：(1)因为f (x )＝e x －x ，所以f ′(x )＝e x －1， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 所以f (x )min ＝f (0)＝1.(2)证明：由h (x )≤f (x )，化简可得k (x 2－x 3)≤e x －1， 当x ＝0，1时，k ∈R ， 当x ∈(0，1)时，k ≤e x －1x 2－x3，要证：4＜λ＜6，则需证以下两个问题； ①e x －1x 2－x 3＞4对任意x ∈(0，1)恒成立； ②存在x 0∈(0，1)，使得e x 0－1x 20－x 30＜6成立．先证：①e x －1x 2－x 3＞4，即证e x －1＞4(x 2－x 3)，由(1)可知，e x －x ≥1恒成立，所以e x －1≥x ，又x ≠0，所以e x －1＞x ， 即证x ≥4(x 2－x 3)⇔1≥4(x －x 2)⇔(2x －1)2≥0， (2x －1)2≥0，显然成立，所以e x －1x 2－x 3＞4对任意x ∈(0，1)恒成立；再证②存在x 0∈(0，1)，使得e x 0－1x 20－x 30＜6成立．取x 0＝12，e －114－18＝8(e －1)，因为e ＜74，所以8(e －1)＜8×34＝6，所以存在x 0∈(0，1)，使得e x 0－1x 20－x 30＜6，由①②可知，4＜λ＜6.17．(2019·宁波市高考模拟)已知f (x )＝x ＋a 2x ，g (x )＝x ＋ln x ，其中a ＞0.若对任意的x 1，x 2∈[1，e]都有f (x 1)≥g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．解：对任意的x 1，x 2∈[1，e]都有f (x 1)≥g (x 2)⇔当x ∈[1，e]有f (x )min ≥g (x )max ， 当x ∈[1，e]时，g ′(x )＝1＋1x ＞0，所以g (x )在x ∈[1，e]上单调递增， 所以g (x )max ＝g (e)＝e ＋1.当x ∈[1，e]时，f ′(x )＝1－a 2x 2＝x 2－a2x2，因为a ＞0，所以令f ′(x )＝0得x ＝a .①当0＜a ＜1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在[1，e]上单调递增， 所以f (x )min ＝f (1)＝a 2＋1.令a 2＋1≥e ＋1得a ≥e ，这与0＜a ＜1矛盾． ②当1≤a ≤e 时，若1≤x ＜a ，则f ′(x )＜0，若a ＜x ≤e ，则f ′(x )＞0，所以f (x )在[1，a ]上单调递减，在[a ，e]上单调递增， 所以f (x )min ＝f (a )＝2a ，令2a ≥e ＋1得a ≥e ＋12，又1≤a ≤e ， 所以e ＋12≤a ≤e.③当a ＞e 时，f ′(x )＜0，所以f (x )在[1，e]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (e)＝e ＋a 2e.令e ＋a 2e ≥e ＋1得a ≥e ，又a ＞e ，所以a ＞e.综合①②③得，所求实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫e ＋12，＋∞. 18．(2019·宁波九校联考)已知函数f (x )＝e －x －11＋x .(1)证明：当x ∈[0，3]时，e －x ≥11＋9x； (2)证明：当x ∈[2，3]时，－27＜f (x )＜0.证明：(1)要证e －x ≥11＋9x ，也即证e x ≤1＋9x .令F (x )＝e x －9x －1，则F ′(x )＝e x －9.令F ′(x )＞0，则x ＞2ln 3.因此，当0≤x ＜2ln 3时，有F ′(x )＜0，故F (x )在[0，2ln 3)上单调递减；当2ln 3＜x ≤3时，有F ′(x )＞0，故F (x )在[2ln 3，3]上单调递增．所以，F (x )在[0，3]上的最大值为max{F (0)，F (3)}． 又F (0)＝0，F (3)＝e 3－28＜0.故F (x )≤0，x ∈[0，3]成立， 即e x ≤1＋9x ，x ∈[0，3]成立．原命题得证．(2)由(1)得：当x ∈[2，3]时，f (x )＝e －x －11＋x ≥11＋9x －11＋x.令t (x )＝11＋9x －11＋x，则t ′(x )＝－(1＋9x )－2·9＋(1＋x )－2＝1（1＋x ）2－9（1＋9x ）2＝（1＋9x ）2－9（1＋x ）2（1＋9x ）2（1＋x ）2＝72x 2－8（1＋9x ）2（1＋x ）2≥0，x ∈[2，3]．所以，t (x )在[2，3]上单调递增，即t (x )≥t (2)＝－1657＞－1656＝－27，x ∈[2，3]，所以f (x )＞－27得证．下证f (x )＜0. 即证e x ＞x ＋1令h (x )＝e x －(x ＋1)则h ′(x )＝e x －1＞0， 所以h (x )在[2，3]上单调递增，所以，h (x )＝e x －(x ＋1)≥e 2－3＞0，得证．另证：要证11＋9x －11＋x＞－27，即证9x 2－18x ＋1＞0，令m (x )＝9x 2－18x ＋1＝9(x －1)2－8在[2，3]上递增，所以m (x )≥m (2)＝1＞0得证．。

1.已知 m 、nW (2t ( 1 1 m ?),且飞一-<ln-,则() n m n A. ni>n B. m<nC.加>2+-nD. m, c 的大小关系不确左解析：选 A 由不等式可得2― <ln zz?—In m 即2+In n<i+ln m.设 f(x) =£+ln x{x n m n m x2 1 v :—9 W (2, e)),则 f Cv) =—+- = -_. XXX因为丄€(2, e),所以f Gr)>0,故函数fd)在(2, e)上单调递增.因为fS)Vf%),所 以n<m.故选A.2. _____________________________________ 已知泄义在R 上的可导函数f(x)的导函数为f 3,满足f (x)Vf(x),且f(x+2)为 偶函数，f(4)=l,则不等式A.Y ) <e x 的解集为 .解析：因为A.Y +2)为偶函数，所以f(x+2)的图象关于x=0对称，所以f(£的图象关于* f V f ve'T — f v=2对称.所以f(0)=f(4)=l ・设&3=弋一(xGR)，则以(0= ——:―旷丁二一=••又f Q)VfG),所以C Y XO(X GR),所以函数g(x)在左义域上单训递减.因为 f(x) Ve <=>—<1» 而 g(0) = —=1,所以 f3 Ve'ogCv) Vg(0),所以 x>0.答案：(0, +8)3. (2017・广东汕头模拟)已知函数f3 =x+xln x 、若且—加&一1)>0对任意的-Y>1恒成立，则加的最大值为 ________ .vl n y 解析：因为f3=x+xLn<且f3—血一1)〉0对任意的01恒成立，等价于 虫 ； -Y —1令g (・Y )=q^G>i ),所以以(X )=-v 2 易知孑3=o 必有实根.设为弘(弘X — 1 X — 1~2 —In A *O =0) >且gGr)在(1,加)上单训递减，在Go,故3<-%<4i 又也WZ,故也的最大值为3.答案：34. 已知函数f3 = |卅|,方程/(x) + tA.Y )4-l = 0(t£R)有四个不同的实数根，则实数r的取值范围为 ________ ・重难增分训练(一)函数与导数的综合问+ 8)上单调递增，此时g{x)M =g(x^及+*oln -Yo 及+及 及―2 -Yo~ 1 =-Yo» 【大1 此 2Zr\A*b> 令 ACv)=x-2-ln x 、可得 A(3)<0.力(4)>0,解析: 曲日卅u_丘，“当“MO时，f 3=丁+衣・20恒成立，所以函数f3在［0, +8)上为增函数：当X0 时，F (-Y)= —e，：—-Ye x= —e v(.¥+l),由f C Y)=0,得x= —1,当(―°°> —1) 时，f &)= 一于(％+1)>0,函数f(x)为增函数，当-re (-1,0)时，f (%)=-£• &+1)〈0,函数fG)为减函数，所以函数f3 = |•肘在(一8, 0)上的最大值为A-l) = -(-l)e x=-, e 要使方程/Cv)4-tXA-)+l=0(tGR)有四个不同的实数根，令f3=m,则方程/+切+1 =0应有两个不同的实根，且一个根在(0,弓内，一个根在(£, +8)内，令&%)=/+切+1, 因为*0)=1>0,则只需£)〈0,即(》+£+1〈0,解得十<一斗2所以使得方程/CY)4-t/-(.Y)4-l = 0(tGR)有四个不同的实数根的t的取值范围为答案：(_8, _字)5.已知函数f{x) = x— aln x+ b, a, b为实数.⑴若曲线x=f3在点(1, f(l))处的切线方程为尸=2卄3,求a, &的值；(2)若f 3丨〈：对丘［2,3］恒成立，求a的取值范围.解：(1)由已知，得f 3=1—二x且由题设得f' (1)=2, Al) =5,从而，得1 — a=2且1 + b=5,解得a= —1, 6=4.3 3 3a⑵根据题设得，命题等价于当用[2, 3]时，1—U恒成立Q 恒成立XX X X3 3 3成立Q*—〈a〈x+TM成立.(*)X X X3 3设g{x) —x—, ”丘[2, 3], h{x) =x■一，JV E [2, 3],X X则(*)式即为g(x)込＜丛力3s 而当.YG [2, 3]时，3 3=x一一和/?(.¥)=%+-均为增函数，X X则 g(x)如=g(3) =2, A (Ar)mn=A(2) =L 所以实数&的取值范囤为(2,V6. (2017・宁波模拟)已知函数f(x) =—+ax, x>l.In x (1) 若在(1, +s)上单调递减，求实数&的取值范用； (2) 若a=2,求函数f(x)的极小值：⑶若方程(2x —m)lnx+尸0在(1, e ］上有两个不等实根，求实数加的取值范用. 解：(l)f 3=：»+ a,由题意可得f (x)W0在(1, +8)上恒成立，.•，冬丄-丄 J 丄丄ln\r In x \ln x 2) 4(it +8), /.In xW (0, +°°)»，.当去—旨时，函数&(化-芬寻的最小值为T故实数&的取值范围为(一 8, —扌(2)当 a=2 时，f(£=F-+2〃 In x .z x In -Y —l + 21n"-Y f 3= --------- 严 ------ •In x令 f (x)=0,得 21n -v+ln x-l = 0> 1 1解得In *=厅或In *= —1(舍)，即x=e 2・ £ 丄当 1<x<^ 时，r (A -XO,当 x>e 7 时，f 1 C Y )>0,fix)的极小值为彳e 3卜£~+2e 1 =4e 1.2Y V⑶将方程(2%—於In %+*= 0两边同除以In y 得(2<—功)+百一=0,整理得 —+2.Y =^ In x In x即函数呂(动=宀+2*的图象与函数y=山的图象在(1，訂上有两个不同的交点・ In x 由(2)可知，&(£在(1, e^)上单调递减，在(el e 上单调递增，4 eE )=4e‘，g(e) =3e,在(1, e ］上，当 L 1 时，-»4-©o.£故实数也的取值范围为(4e+, 3e -7. (2017 •全国卷III)已知函数 f3=ln x+a.f+(2a+l)x. (1) 讨论f(x)的单调性：3(2) 当 aVO 时，证明 r (A^---2.解：⑴f3的定义域为(o, +8),若 aMO,则当 (0, +8)时，f C Y )>0, 故f(x)在(0, +8)上单调递增. 若a<0,则当曲(0, —衿)时，f' Cv)>0：+ 8 时，f 9C Y )<0.故f3在(0, —土)上单调递增，在(-右,+8)上单调递减.(2)证明：由⑴知，当a<0时，f(x)在尸-右处取得最大值，最大值为彳一£；) = ln (一右)所以f(g£-2等价于応―£一1—茅£-2,即h(- 设 g(x)=ln x —*+1,则 R 3=丄一 1.■ A当 (0, 1)时，0 (£>0：当(1, +8)时，y (x)<0.所以 g(x)在(0,1)上单调递增, 在(1, +8)上单调递减. 故当*= 1时，g(x)取得最大值，最大值为s(l)=0. 所以当x>0时，g(x)W0.从而当a<0时，In (—右)+右+1W0,3即 f(x)壬一 一一2.4&8. (2017・合肥质检)已知函数g(x) =/+£+*(&为实数). (1)试讨论函数的单调性：(2)若对任意丄唱(0, +8)恒有求实数a 的取值范用.-'•解：(1) g f(-Y )= 3aY+2A F + 1.① 当a=0时，g(x)在(一8, — 上单调递减，在(一扌，+°°)上单调递增： ② 当占工0时，A =4-123.当》新，贰3=3/+2卄120恒成立，此时在R 上单调递增：(-Y )=一"■2"+2&+1 = xx+12aw+lx当0G站时，由N 3=3/+2卄1 = 0得，2二尸,戸土戸，g(x)在(一8, A-1),(北，+8)上单调递增，在(X1,上)上单调递减：当a<0时，g(x)在(一8,魁)，(x，+8)上单调递减，在(龙，出)上单调递增.(2)令f3=lnx+±则Z Cv)=l-1 因此f&)在(0,1)上单调递减，在⑴ +8)上单X X X调递增，所以f(x)^=f(l) = l.当a> — 1 时,g(l)=a+2>l = f(l),显然对任意A-G (0»+8)不恒有fOMgCr)；当“W —1时，由⑴知，在(0,幻上单调递增，在(為，+8)上单调递减，则3屈+2及+ 1 = 0,即ax； =—亍(2上 + 1),所以在(0, +8)上，&3如=&(弘)=ax： + x：+益=尹：+詁i=§g + l)=—亍所以g(x) ».-. = !(及 + 1)= 一扌W 1 = f(x) un，即满足对任意用(0, +8),恒有f(x)»3. 综上，实数aW (—8’ -1].9.设函数f(x)=lnx+"在(0, 内有极值.(1)求实数a的取值范围：(2)若加丘(0, 1),(1, +8).求证：f(r) — fg)>e+2—解：(1)031 或X>1 时，f 3 J—一= “T -严丿- d+2 .；+1 X X— 1 X X— 1 XX— 1由f C Y)= 0在(o, £|内有解.令=X — (a+2)x+l= (A—o) (x— 0),不妨设0〈。

保分大题规范专练（一）1. 已知函数f&）=sin （3v+e ）（3>0, — ”<0〈0）的最小正周期是n,将函数f&）的图 象向左平移才个单位长度后所得的函数图象过点尸（0, 1）.（1） 求函数f （x ）的解析式：（2） 若曲［o,日，求函数fU ）的值域.2 it解：（1）由函数f3=sin3x+0）（G 〉O, —九〈0<0）的最小正周期是得——=n,即（if0的图象过点（0,1）,得牛+ </»=；+2&刃，&WZ,又—得 0 = —y,所以函数解析式为Z =sin （2L*）.所以 sin （2x —百）丘［—1 , 即函数f3的值域为［一*，1 .2. 在四棱锥尸 丽Q 中，平面如丄底^ABCD, PDLCD.疋为牝的中点，底而是直角 梯形” AB" CD 、ZADC=90° , AB=AD=PD=\, CD=2.（1） 求tlE ：亦//平而叱（2） 求直线亦与平而敕所成角的余弦值.解：法一：（1）证明：取刃的中点只连接胡AF. 由于疔是△加的中位线，所以EF 咙CD.又也統*仞，所以EF 統AB,JI6⑵由xG所以四边形如■是平行四边形，所以庞〃朋又护=平而用2所以亦〃平而咖(2)取丹的中点M连接則，则刃/是△磁的中位线，所以三"〃万C在△反P 中，BD=BC=d CD=2、则B C+B/=C Z所以应丄皿又平而加丄底而ABCD. PDLCD, 则刃丄平而馭P, PDVBC.从而万Q丄平而磁，刃/丄平而磁，ZEBH即是直线颱与平面啟?所成的角.AB=AD=PD=\. CD=2、解得滋=芈，£件+丹=芈，A/15从而cosZf®娇=七一.o所以直线亦与平而翊所成角的余弦值为电I 法二：因为平Ifil PCDL平而月万平而PCDC平而PDICD、砂平|fi] PCD. 所以PDA.AD.因为ZADC=90° ,所以肋丄Q,则加，DC,莎两两垂直.以0为坐标原点，DA. DC、莎分别为*, y, z轴建立空间直角坐标系(图略).则0(0,0, 0),月(1,0,0), 5(1, 1,0), C(0, 2, 0), P(0, 0,1),⑴证明：话=(-1, 0,平面用Q即平而xOz.所以可取其一法向量m= (0, 1, 0)・则厉•血=0,即辰丄血又磁平而用D所以册〃平面PAD.(2)设平而啟?的一个法向量为”=(為y, z),n • DP =0, 则彳.n • DB =0,z=0t即[卄。

小题分类练(一) 概念辨析类1．已知i 为虚数单位，a ∈R ，如果复数2i －a i 1－i是实数，则a 的值为( ) A ．－4B ．2C ．－2D ．42．幂函数y ＝f (x )经过点(2，2)，则f (9)为( )A ．81B.13C.181 D ．33．设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，则满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．34．下列结论正确的是( )A ．若|a |＝0，则a ＝0B ．若a ，b 是两个单位向量，则a ＝bC ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝cD ．若AB ＝AC ，则AB →＝AC →5．下列命题中，错误的是( )A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆D ．圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形6．下列四条直线中，倾斜角最大的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝2x ＋1C ．y ＝－x ＋1D ．x ＝1 7．已知直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点(A ，B 在同一支上)，F 1，F 2为双曲线的两个焦点，则F 1，F 2在( )A ．以A ，B 为焦点的椭圆上或线段AB 的垂直平分线上B ．以A ，B 为焦点的双曲线上或线段AB 的垂直平分线上C ．以AB 为直径的圆上或线段AB 的垂直平分线上D ．以上说法均不正确8．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4的值为( ) A ．－7210B.7210 C ．－210 D.210 9．已知数列{a n }中，a n ＋1＝3S n ，则下列关于{a n }的说法正确的是( )A ．一定为等差数列B ．一定为等比数列C ．可能为等差数列，但不会为等比数列D ．可能为等比数列，但不会为等差数列10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)满足条件：(1)焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)；(2)离心率为53，求得双曲线C 的方程为f (x ，y )＝0.若去掉条件(2)，另加一个条件求得双曲线C 的方程仍为f (x ，y )＝0，则下列四个条件中，符合添加的条件共有( )①双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1上的任意点P 都满足||PF 1|－|PF 2||＝6； ②双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的虚轴长为4； ③双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的一个顶点与抛物线y 2＝6x 的焦点重合； ④双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为4x ±3y ＝0. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个11．双曲线y 25－x 24＝1的焦点坐标为________，渐近线方程为________． 12．已知锐角α的终边上一点P 的坐标为(1＋cos 40°，sin 40°)，则锐角α＝________．13．函数g (x )＝2x －12x ＋1为________(填“奇”或“偶”)函数，函数f (x )＝22x ＋1＋1的对称中心为________．14．设各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝80，S 2＝8，则公比q ＝________，a 5＝________．15．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________．16．已知点M (5，0)，N (－5，0)，△MNP 的周长为36，则△MNP 的顶点P 的轨迹方程为________________．17．给出下列四个函数：①y ＝2x ；②y ＝log 2x ；③y ＝x 2；④y ＝x .当0<x 1<x 2<1时，使f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f （x 1）＋f （x 2）2恒成立的函数的序号是________．小题分类练(一)1．解析：选D.依题意，复数2i －a i1－i ＝2i －a i （1＋i ）（1＋i ）（1－i ）＝a ＋（4－a ）i 2是实数，因此4－a ＝0，a ＝4，故选D.2．解析：选D.设f (x )＝x α，由题意得2＝2α，所以α＝12.所以f (x )＝x 12，所以f (9)＝912＝3，故选D.3．解析：选C.由题中集合可知，集合A 表示直线x ＋y ＝1上的点，集合B 表示直线x －y ＝3上的点，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝3，可得A ∩B ＝{(2，－1)}，M 为A ∩B 的子集，可知M 可能为{(2，－1)}，∅，所以满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是2.4．解析：选C.根据向量的概念可知选C.5．解析：选B.根据棱台的定义，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台．6．解析：选C.直线方程y ＝x ＋1的斜率为1，倾斜角为45°，直线方程y ＝2x ＋1的斜率为2，倾斜角为α(60°<α<90°)，直线方程y ＝－x ＋1的斜率为－1，倾斜角为135°，直线方程x ＝1的斜率不存在，倾斜角为90°.所以直线y ＝－x ＋1的倾斜角最大．7．解析：选B.当直线l 垂直于实轴时，易知F 1，F 2在AB 的垂直平分线上；当直线l 不垂直于实轴时，不妨设双曲线焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为双曲线的左，右焦点，且A ，B 都在右支上，由双曲线定义知：|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，则|AF 2|－|BF 2|＝|AF 1|－|BF 1|＜|AB |，由双曲线定义可知，F 1，F 2在以A ，B 为焦点的双曲线上，故选B.8．解析：选D.由三角函数的定义得tan θ＝2，cos θ＝±55，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－43，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35，所以sin 2θ＝cos 2θtan 2θ＝45，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝22(sin 2θ＋cos 2θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫45－35＝210，故选D. 9．解析：选C.若数列{a n }中所有的项都为0，则满足a n ＋1＝3S n ，所以数列{a n }可能为等差数列，故B ，D 不正确；由a n ＋1＝3S n ，得a n ＋2＝3S n ＋1，则a n ＋2－a n ＋1＝3(S n ＋1－S n )＝3a n ＋1，所以a n ＋2＝4a n ＋1，当a 1≠0时，易知a n ＋1≠0，所以a n ＋2a n ＋1＝4，由a n ＋1＝3S n ，得a 2＝3a 1，即a 2a 1＝3，此时数列{a n }既不是等比数列又不是等差数列，故A 不正确，C 正确．10．解析：选B.①由||PF 1|－|PF 2||＝6，得a ＝3，又c ＝5，所以离心率为53，①符合；②中b ＝2，c ＝5，a ＝21，此时离心率等于52121，②不符合；③中a ＝32，c ＝5，此时离心率等于103，也不符合；④渐近线方程为4x ±3y ＝0，所以b a ＝43，离心率为53，④符合．所以正确的条件有2个．11．解析：因为a 2＝5，b 2＝4，所以c 2＝a 2＋b 2＝9.则焦点坐标为(0，±3)．渐近线方程为y ＝±52x . 答案：(0，±3) y ＝±52x 12．解析：由题意知tan α＝sin 40°1＋cos 40°＝2sin 20°cos 20°1＋2cos 220°－1＝tan 20°，所以α＝20°.答案：20°13．解析：易知函数g (x )＝2x －12x ＋1为奇函数，图象关于原点对称， 又f (x )＝22x ＋1＋1＝－g (x )＋2， 所以函数f (x )的图象的对称中心为(0，2)．答案：奇 (0，2)14．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝8a 1＋a 1q ＋q 2（a 1＋a 1q ）＝80 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，q ＝－3(舍去)，从而a 5＝a 1q 4＝2×34＝162. 答案：3 16215．解析：由椭圆的方程得a ＝3，设椭圆的另一个焦点为F ，则由椭圆的定义得|BA |＋|BF |＝|CA |＋|CF |＝2a ，所以△ABC 的周长为|BA |＋|BF |＋|CF |＋|CA |＝2a ＋2a ＝4a ＝4 3.答案：4 316．解析：设P (x ，y )，易知|MN |＝10，|PM |＋|PN |＝36－|MN |＝26>10，所以顶点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，但与M ，N 不共线．设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则2a ＝26，c ＝5，所以a ＝13，b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144，所以△MNP 的顶点P 的轨迹方程为x 2169＋y 2144＝1(y ≠0)．答案：x 2169＋y 2144＝1(y ≠0) 17．解析：由题意知满足条件的函数图象形状为：故符合图象形状的函数为y＝log2x，y＝x. 答案：②④以下内容为“高中数学该怎么有效学习？”首先要做到以下两点：1、先把教材上的知识点、理论看明白。

2020高考数学小题专题练（六套）浙江专用小题专题练(一) 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式1．已知集合M ＝{x |x ＞1}，N ＝{x |x 2－2x －8≤0}，则M ∩N ＝( ) A ．[－4，2) B ．(1，4] C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >12＋4x ，x ≤1，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．4B ．－2C ．2D ．13．设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知不等式|x ＋3|＋|x －2|≤a 的解集非空，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，5] B ．[1，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．(－∞，1]∪[5，＋∞)5．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5D ．46．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．47．已知在(－∞，1]上单调递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围为( )A ．[－2，2]B ．[1，2]C ．[2，3]D ．[1，2]8．函数f (x )＝(x ＋1)ln(|x －1|)的大致图象是( )9．若偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2，则关于x 的方程f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，103上的根的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．410．已知f (x )＝ln x －x 4＋34x，g (x )＝－x 2－2ax ＋4，若对任意的x 1∈(0，2]，存在x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－18，＋∞ C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，54 D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－5411．若2a ＝3b ＝6，则4－a＝________；1a ＋1b＝________．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，log 2（x ＋1），x ＞0，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值为________．13．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥0，y ≥m表示的平面区域的面积为2，则x ＋y ＋2x ＋1的最小值为________，最大值为________．14．已知p ：0<x <2，q ：x <a ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________． 15．设函数f (x )＝|x 2＋a |＋|x ＋b |(a ，b ∈R )，当x ∈[－2，2]时，记f (x )的最大值为M (a ，b )，则M (a ，b )的最小值为________．16．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )在区间(0，1)内有两个零点，则3a ＋b 的取值范围是____________．17.已知函数f ′(x )和g ′(x )分别是二次函数f (x )和三次函数g (x )的导函数，它们在同一坐标系中的图象如图所示．(1)若f (1)＝1，则f (－1)＝________；(2)设函数h (x )＝f (x )－g (x )，则h (－1)，h (0)，h (1)的大小关系为________．(用“<”连接)小题专题练(一)1．解析：选B.集合N ＝{x |x 2－2x －8≤0}＝{x |－2≤x ≤4}， 集合M ＝{x |x ＞1}， 所以M ∩N ＝{x |1＜x ≤4}． 故选B.2．解析：选B.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2＋412＝2＋2＝4，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (4)＝log 124＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝－2.3．解析：选C.法一：当a ＞b ≥0时，a ＞b ⇔a 2＞b 2⇔a |a |＞b |b |，当a ，b 一正一负时，a ＞b ⇔a ＞0＞b ⇔a |a |＞0＞b |b |，当0≥a ＞b 时，0≥a ＞b ⇔a 2＜b 2⇔－a |a |＜－b |b |⇔a |a |＞b |b |，所以a ＞b ⇔a |a |＞b |b |，故选C.法二：构造函数f (x )＝x |x |，易知为奇函数且为增函数，所以当a ＞b 时，f (a )＝a |a |＞b |b |＝f (b )，所以选C.4．解析：选C.因为不等式|x ＋3|＋|x －2|≤a 的解集非空等价于|x ＋3|＋|x －2|的最小值小于或等于a ，由于不等式|x ＋3|＋|x －2|≥5在x ∈R 上恒成立，所以a ≥5.选C.5．解析：选A.法一：由x 2＋y 2≤3知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤ 3.又x ∈Z ，y ∈Z ，所以x ∈{－1，0，1}，y ∈{－1，0，1}，所以A 中元素的个数为C 13C 13＝9，故选A.法二：根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x 2＋y 2＝3中有9个整点，即为集合A 的元素个数，故选A.6．解析：选C.作出g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝cos x 的图象，可以看到其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0，2π]上的零点个数为3，故选C.7．解析：选B.由f (x )在(－∞，1]上单调递减得t ≥1，由对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，得f (x )max －f (x )min ≤2，即f (0)－f (t )≤2，t 2≤2，因此1≤t ≤2， 选B.8．解析：选C.根据函数表达式，当x >2时，函数值大于0，可排除A 选项，当x <－1时，函数值小于0，故可排除B 和D 选项，进而得到C 正确．故答案为C. 9．解析：选C.因为f (x )为偶函数，所以当x ∈[－1，0]时，－x ∈[0，1]， 所以f (－x )＝x 2，即f (x )＝x 2. 又f (x －1)＝f (x ＋1)， 所以f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )是以2为周期的周期函数，据此在同一直角坐标系中作出函数y ＝f (x )与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，103上的图象，如图所示，数形结合可得两图象有3个交点，故方程f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，103上有三个根．故选C.10．解析：选A.因为f ′(x )＝1x －14－34x 2＝－x 2＋4x －34x 2＝－（x －1）（x －3）4x 2， 易知，当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，当x ∈(1，2]时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，2]上单调递增， 故f (x )min ＝f (1)＝12.对于二次函数g (x )＝－x 2－2ax ＋4，易知该函数开口向下， 所以g (x )在区间[1，2]上的最小值在端点处取得， 即g (x )min ＝min{g (1)，g (2)}．要使对任意的x 1∈(0，2]，存在x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)成立， 只需f (x 1)min ≥g (x 2)min ， 即12≥g (1)且12≥g (2)， 所以12≥－1－2a ＋4且12≥－4－4a ＋4，解得a ≥54.11．解析：由题可得a ＝log 26，b ＝log 36，所以4－a＝4－log 26＝122log 26＝12log 262＝162＝136， 1a ＋1b ＝1log 26＋1log 36＝log 62＋log 63＝log 6(2×3)＝1.答案：136112．解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0log 2（x ＋1），x ＞0，则f (f (－3))＝f (9－6)＝f (3)＝log 24＝2，当x ≤0时，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x ＝－1， 所以函数的最小值为f (－1)＝1－2＝－1； 当x ＞0时，函数是增函数，x ＝0时f (0)＝0，所以x ＞0时，f (x )＞0，综上函数的最小值为－1，故答案为2，－1. 答案：2 －1 13.解析：画出不等式组所表示的区域，由区域面积为2，可得m ＝0.而x ＋y ＋2x ＋1＝1＋y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1表示可行域内任意一点与点(－1，－1)连线的斜率，所以y ＋1x ＋1的最小值为0－（－1）2－（－1）＝13，最大值为2－（－1）0－（－1）＝3，所以x ＋y ＋2x ＋1的最小值为43，最大值为4. 答案：43414．解析：据充分不必要条件的概念，可知只需A ＝{x |0<x <2}是集合B ＝{x |x <a }的真子集即可，结合数轴可知只需a ≥2即可．答案：[2，＋∞)15．解析：去绝对值，f (x )＝±(x 2＋a )±(x ＋b )，利用二次函数的性质可得，f (x )在[－2，2]的最大值为f (－2)，f (2)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12中之一，所以可得M (a ，b )≥f (－2)＝|4＋a |＋|－2＋b |，M (a ，b )≥f (2)＝|4＋a |＋|2＋b |， M (a ，b )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪14＋a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋b ，M (a ，b )≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪14＋a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋b ，上面四个式子相加可得4M (a ，b )≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫|4＋a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪14＋a ＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－b |＋|b ＋2|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b ＋12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－b≥2⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|2＋2|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋12 ＝252，即有M (a ，b )≥258， 可得M (a ，b )的最小值为258，故答案为258.答案：25816．(－5，0)17．解析：由题意知f ′(x )＝x ，g ′(x )＝x 2，则可设f (x )＝12x 2＋a ，g (x )＝13x 3＋b ，其中a ，b ∈R .(1)因为f (1)＝1，所以12×12＋a ＝1，所以a ＝12，所以f (－1)＝12×(－1)2＋12＝1.(2)因为h (x )＝f (x )－g (x )，所以h (x )＝12x 2＋a －13x 3－b ，所以h (－1)＝56＋(a －b )，h (0)＝a －b ，h (1)＝16＋(a －b )，故h (0)<h (1)<h (－1)．答案：(1)1 (2)h (0)<h (1)<h (－1)小题专题练(二) 三角函数与平面向量1．若角α的终边过点P (－1，m )，且|sin α|＝255，则点P 位于( )A ．第一象限或第二象限B ．第三象限或第四象限C ．第二象限或第三象限D ．第二象限或第四象限2．已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为43．设正方形ABCD 的边长为1，则|AB →－BC →＋AC →|等于( )A ．0 B. 2 C ．2D ．2 24．已知平面向量a ，b 的夹角为2π3，且a ·(a －b )＝8，|a |＝2，则|b |等于( )A. 3 B ．2 3 C ．3 D ．45.如图，在△ABC 中，∠C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223 B.24 C.64D.636．若函数f (x )＝sin(3x ＋φ)(|φ|<π)满足：f (a ＋x )＝f (a －x )，a 为常数，a ∈R ，则f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋π6的值为( )A.32B ．±1C ．0 D.127.若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N分别是这段图象的最高点与最低点，且OM →·ON →＝0，则A ·ω等于( )A.π6B.7π12C.76π D.73π8．将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，则φ的最小值为( )A.π6 B.π12 C.π4D.π39．已知函数y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π6的图象与直线y ＝m 有三个交点，其交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，那么x 1＋2x 2＋x 3的值是( )A.3π4 B.4π3 C.5π3D.3π210．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932C.332D ．3 311．设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝________． 12．已知函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3cos x ＋3，若函数g (x )＝f (x )－m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为____________．13．已知平面向量a 和b 的夹角为60°，a ＝(2，0)，|b |＝1，则a ·b ＝________，|a ＋2b |＝________．14．设a ，b ，c 分别是△ABC 的角A ，B ，C 所对的边，若tan A tan Btan A ＋tan B ＝1 008tan C ，且a 2＋b 2＝mc 2，则m ＝________．15．在△ABC 中，角A ，B 和C 所对的边长为a ，b 和c ，面积为13(a 2＋c 2－b 2)，且∠C为钝角，则tan B ＝________；c a的取值范围是________．16．已知正方形ABCD 的边长为1，当每个λi (i ＝1，2，3，4，5，6)取遍±1时，|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|的最小值是________；最大值是________．17．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝2交于A ，B 两点，O 是原点，C 是圆上一点，若OA →＋OB →＝OC →，则a 的值为________．小题专题练(二)1．解析：选C.因为角α的终边过点P (－1，m )，所以OP ＝1＋m 2，所以|sin α|＝255＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 1＋m 2，解得m ＝±2，所以点P 的坐标为(－1，2)或(－1，－2)，即点P 位于第二象限或第三象限．2．解析：选B.易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝32(2cos 2x －1)＋32＋1＝32cos 2x＋52，则f (x )的最小正周期为π，当x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4. 3．解析：选C.正方形ABCD 的边长为1，则|AB →－BC →＋AC →|2＝|DB →＋AC →|2＝|DB →|2＋|AC →|2＋2DB →·AC →＝12＋12＋12＋12＝4，所以|AB →－BC →＋AC →|＝2，故选C.4．解析：选D.因为a ·(a －b )＝8，所以a ·a －a ·b ＝8，即|a |2－|a ||b |·cos 〈a ，b 〉＝8，所以4＋2|b |×12＝8，解得|b |＝4.5．解析：选C.依题意得，BD ＝AD ＝DE sin A ＝22sin A ，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD中，BC sin ∠BDC ＝BD sin C ，4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A，由此解得cos A ＝64. 6．解析：选C.由f (a ＋x )＝f (a －x )知，直线x ＝a 为函数f (x )图象的对称轴，所以f (a )＝sin(3a ＋φ)＝±1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋π6＝sin(3a ＋φ＋π2)＝cos(3a ＋φ)＝0.7．解析：选C.由题中图象知T 4＝π3－π12＝π4，所以T ＝π，所以ω＝2.又知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，A ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫712π，－A ，由OM →·ON →＝0，得7π2122＝A 2，所以A ＝712π，所以A ·ω＝76π.故选C. 8．解析：选 A.由y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，该函数的图象向左平移φ个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋φ）＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋2π3，因为g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋2π3为奇函数，所以2φ＋2π3＝k π(k ∈Z )，φ＝k π2－π3(k ∈Z )，又φ>0，故φ的最小值为π6，选A.9．解析：选C.由函数y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π6的图象可得，当x ＝π6和x ＝2π3时，函数分别取得最大值和最小值，由正弦函数图象的对称性可得x 1＋x 2＝2×π6＝π3，x 2＋x 3＝2×2π3＝4π3.故x 1＋2x 2＋x 3＝π3＋4π3＝5π3，故选C. 10．解析：选C.因为c 2＝(a －b )2＋6，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① 因为C ＝π3，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.11．解析：因为α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12 ＝sin ⎣⎢⎡⎭⎪⎫2⎝ ⎛⎦⎥⎤α＋π6－π4 ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－ cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－ 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝12225－7250＝17250.答案：1725012.解析：方程g (x )＝0同解于f (x )＝m ，在平面直角坐标系中画出函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的图象，如图所示，由图象可知，当且仅当m ∈[3，2)时，方程f (x )＝m 有两个不同的解．答案：[3，2)13．解析：因为〈a ，b 〉＝60°，a ＝(2，0)，|b |＝1， 所以a ·b ＝|a ||b |·cos 60°＝2×1×12＝1，又|a ＋2b |2＝a 2＋4b 2＋4a ·b ＝12， 所以|a ＋2b |＝12＝2 3. 答案：1 2 314．解析：由tan A tan B tan A ＋tan B ＝1 008tan C 得1tan A ＋1tan B ＝11 008×1tan C ，即cos Asin A ＋cos B sin B ＝11 008×cos C sin C ，sin 2C sin A sin B ＝cos C 1 008，根据正、余弦定理得c 2ab ＝11 008×a 2＋b 2－c22ab，即a 2＋b 2－c 2c 2＝2 016，a 2＋b 2c2＝2 017，所以m ＝2 017.答案：2 01715．解析：因为S ＝12ac sin B ＝13(a 2＋c 2－b 2)所以34sin B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝cos B 即tan B ＝43，因为∠C 为钝角，所以sin B ＝45，cos B ＝35.由正弦定理知c a ＝sin C sin A ＝sin （A ＋B ）sin A ＝cos B ＋sin B cos A sin A ＝35＋451tan A.因为∠C 为钝角，所以A ＋B ＜π2，即A ＜π2－B .所以cot A ＞cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝tan B ＝43. 所以c a ＞35＋45×43＝53，即c a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞. 答案：43⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞ 16．解析：以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则A (0，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)，所以λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)，所以当⎩⎪⎨⎪⎧λ1－λ3＋λ5－λ6＝0λ2－λ4＋λ5＋λ6＝0时，可取λ1＝λ3＝1，λ5＝λ6＝1，λ2＝－1，λ4＝1，此时|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →| 取得最小值0；取λ1＝1，λ3＝－1，λ5＝λ6＝1，λ2＝1，λ4＝－1，则|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|取得最大值22＋42＝2 5. 答案：0 2 517．解析：因为A ，B ，C 均为圆x 2＋y 2＝2上的点， 故|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝2， 因为OA →＋OB →＝OC →， 所以(OA →＋OB →)2＝OC →2， 即OA →2＋2OA →·OB →＋OB →2＝OC →2， 即4＋4cos ∠AOB ＝2， 故∠AOB ＝120°.则圆心O 到直线AB 的距离d ＝2·cos 60°＝22＝|a |2，即|a |＝1，即a ＝±1. 答案：±1小题专题练(三) 数 列1．无穷等比数列{a n }中，“a 1>a 2”是“数列{a n }为递减数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 2－8a 5＝0，则S 8S 4的值为( ) A.12 B.1716C ．2D ．173．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为( )A ．2B ．－2 C.12D ．－124．已知数列{a n }满足2a 1＋22a 2＋ (2)a n ＝n (n ∈N *)，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1log 2a n log 2a n ＋1的前n 项和为S n ，则S 1·S 2·S 3·…·S 10＝( )A.110B.15C.111D.2115.如图，矩形A n B n C n D n 的一边A n B n 在x 轴上，另外两个顶点C n ，D n 在函数f (x )＝x ＋1x(x >0)的图象上，若点B n 的坐标为(n ，0)(n ≥2，n ∈N *)，记矩形A n B n C n D n 的周长为a n ，则a 2＋a 3＋…＋a 10＝( )A ．208B ．212C ．216D ．2206．设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和为S n .若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值为( ) A ．10B.92C.72D.12＋2 2 7．已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<t ，则实数t 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 8．若数列{a n }对于任意的正整数n 满足：a n ＞0且a n a n ＋1＝n ＋1，则称数列{a n }为“积增数列”．已知“积增数列”{a n }中，a 1＝1，数列{a 2n ＋a 2n ＋1}的前n 项和为S n ，则对于任意的正整数n ，有( )A ．S n ≤2n 2＋3 B ．S n ≥n 2＋4n C ．S n ≤n 2＋4nD ．S n ≥n 2＋3n9．已知数列{a n }是等差数列，若a 9＋3a 11<0，a 10·a 11<0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么S n 取得最小正值时n 等于( )A ．20B ．17C ．19D ．2110．数列{a n }满足a 1＝43，a n ＋1＝a 2n －a n ＋1(n ∈N *)，则m ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 016的整数部分是( )A ．1B ．2C ．3D ．411．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝5，a 5＝3，则a n ＝________，S 7＝________． 12．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则a 4＝________，S 5＝________．13．已知等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .设{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n .若n 2(T n ＋1)＝2n S n ，n ∈N *，则d ＝________，q ＝________．14．已知数列{a n }满足(n ＋2)a n ＋1＝na n ，a 1＝1，则a n ＝________；若b n ＝n ＋22n ＋2a n ，T n 为数列{b n }的前n 项和，则T 3＝________．15．对任一实数序列A ＝(a 1，a 2，a 3，…)，定义新序列ΔA ＝(a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…)，它的第n 项为a n ＋1－a n .假定序列Δ(ΔA )的所有项都是1，且a 12＝a 22＝0，则a 2＝________．16．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋12n －32，其前n 项和为S n ，则对任意m ，n ∈N *(m <n ), S n －S m 的最大值为________．17．已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且a n >0，6S n ＝a 2n ＋3a n ，n ∈N *,b n ＝2an，若任意n∈N*，k>T n恒成立，则k的最小值是________．（2an－1）（2an＋1－1）小题专题练(三)1．解析：选B.数列{a n }递减⇒a n <a n －1.反之不成立，例如a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋1，此数列是摆动数列．故选B.2．解析：选B.设数列{a n }的公比为q ，依题意得a 5a 2＝18＝q 3，因此q ＝12.注意到a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝q 4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)，即有S 8－S 4＝q 4S 4，因此S 8＝(q 4＋1)S 4，S 8S 4＝q 4＋1＝1716，选B. 3．解析：选D.因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝na 1＋n （n －1）2d ，所以S 1，S 2，S 4分别为a 1，2a 1－1，4a 1－6.因为S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(2a 1－1)2＝a 1·(4a 1－6)，解得a 1＝－12.4．解析：选C.因为2a 1＋22a 2＋…＋2n a n ＝n (n ∈N *)，所以2a 1＋22a 2＋…＋2n －1a n －1＝n －1(n ≥2)，两式相减得2na n ＝1(n ≥2)，a 1＝12也满足上式，故a n ＝12n ，故1log 2a n log 2a n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1，所以S 1·S 2·S 3·…·S 10＝12×23×34×…×910×1011＝111，故选C.5．解析：选C.由题意得|A n D n |＝|B n C n |＝n ＋1n，设点D n 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，n ＋1n ，则有x ＋1x＝n ＋1n ，得x ＝1n(x ＝n 舍去)，即A n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，0，则|A n B n|＝n －1n，所以矩形的周长为a n ＝2(|A n B n |＋|B n C n |)＝2⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＝4n ，则a 2＋a 3＋…＋a 10＝4(2＋3＋4＋…＋10)＝216.6．解析：选B.由已知得S n ＋8a n＝na 1＋n （n －1）d 2＋8a 1＋（n －1）d＝n 2＋8n ＋12≥2n 2·8n ＋12＝92，当且仅当n ＝4时“＝”成立．7．解析：选D.依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a n a 1a 2a 3…a n －1＝2n 22（n －1）2＝2n 2－(n －1)2＝22n －1，又a 1＝21＝22×1－1，因此a n ＝22n －1，1a n ＝122n －1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，14为公比的等比数列，等比数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和等于12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n <23，因此实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞. 8．解析：选D.因为a n ＞0，所以a 2n ＋a 2n ＋1≥2a n a n ＋1.因为a n a n ＋1＝n ＋1，所以{a n a n ＋1}的前n 项和为2＋3＋4＋…＋(n ＋1)＝（2＋n ＋1）n 2＝（n ＋3）n 2，所以数列{a 2n ＋a 2n ＋1}的前n 项和S n ≥2×（n ＋3）n 2＝(n ＋3)n ＝n 2＋3n .9．解析：选C.因为a 9＋3a 11<0，所以由等差数列的性质可得a 9＋3a 11＝a 9＋a 11＋2a 11＝a 9＋a 11＋a 10＋a 12＝2(a 11＋a 10)<0，又a 10·a 11<0，所以a 10和a 11异号， 又因为数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，所以数列{a n }是递减的等差数列，所以a 10>0，a 11<0， 所以S 19＝19（a 1＋a 19）2＝19×2a 102＝19a 10>0，所以S 20＝20（a 1＋a 20）2＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)<0，所以S n 取得最小正值时n 等于19. 10．解析：选B.由条件得1a n ＋1－1＝1a n （a n －1）＝1a n －1－1a n ，即有1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1，则m ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 016＝1a 1－1－1a 2 017－1＝3－1a 2 017－1.又a n ＋1－a n ＝(a n －1)2≥0，则a n ＋1≥a n ≥…≥a 1>1，当n ≥2时，从而有(a n ＋1－a n )－(a n －a n －1)＝(a n －1)2－(a n －1－1)2＝(a n －a n －1)(a n ＋a n －1－2)≥0，则a n ＋1－a n ≥a n －a n －1≥…≥a 2－a 1＝19，则a 2 017＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a 2017－a 2 016)≥43＋2 0169＝22513，得a 2 017－1≥22413>1，即有0<1a 2 017－1<1，则m ∈(2，3)，故选B.11．解析：设公差为d ，则2d ＝a 5－a 3＝－2，d ＝－1，所以a 1＝a 3－2d ＝7，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋(n －1)×(－1)＝8－n ，S 7＝7a 1＋7×62d ＝7×7＋21×(－1)＝28. 答案：8－n 2812．解析：法一：由a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)得a n ＋1＋1＝2a n ＋2＝2(a n ＋1)，所以数列{a n＋1}是首项为a 1＋1＝2，公比为2的等比数列，故a n ＋1＝2n，即a n ＝2n－1，所以a 4＝15，S n ＝2（1－2n）1－2－n ＝2n ＋1－2－n ，S 5＝57.法二：由a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)得a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，…，可猜想a n ＝2n－1，验证可知满足题意，故S n ＝2（1－2n）1－2－n ＝2n ＋1－2－n ，所以S 5＝57.答案：15 57 13．2 214．解析：法一：由a n ＋1a n ＝n n ＋2可得，a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13×24×35×…×n －1n ＋1，得a n ＝2n （n ＋1）.b n ＝n ＋22n ＋2·2n （n ＋1）＝n ＋22n ＋1n （n ＋1）＝1n ·2n －1（n ＋1）·2n ＋1，所以T 3＝12－14×24＝12－164＝3164. 法二：由(n ＋2)a n ＋1＝na n ，a 1＝1易得a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110，…，猜想a n ＝2n （n ＋1），易证结论成立．故b n ＝n ＋22n ＋2·2n （n ＋1）＝n ＋22n ＋1n （n ＋1）＝1n ·2n －1（n ＋1）·2n ＋1，所以T 3＝12－14×24＝12－164＝3164. 答案：2n （n ＋1） 316415．解析：令b n ＝a n ＋1－a n ，依题意知数列{b n }为等差数列，且公差为1，所以b n ＝b 1＋(n －1)×1，a 1＝a 1， a 2－a 1＝b 1， a 3－a 2＝b 2，…a n －a n －1＝b n －1，累加得a n ＝a 1＋b 1＋…＋b n －1＝a 1＋(n －1)·b 1＋（n －1）（n －2）2＝(n －1)a 2－(n －2)a 1＋（n －1）（n －2）2，分别令n ＝12，n ＝22，得⎩⎪⎨⎪⎧11a 2－10a 1＋55＝0，21a 2－20a 1＋210＝0， 解得a 1＝2312，a 2＝100.答案：10016．解析：由a n ＝－n 2＋12n －32＝0，得n ＝4或n ＝8，即a 4＝a 8＝0.又函数f (x )＝－x 2＋12x －32的图象开口向下，所以数列的前3项均为负数，当n >8时，数列中的项均为负数．在m <n 的情况下，S n －S m 的最大值为S 7－S 4＝a 5＋a 6＋a 7＝－52＋12×5－32－62＋12×6－32－72＋12×7－32＝10.答案：1017．解析：当n ＝1时，6a 1＝a 21＋3a 1，解得a 1＝3或a 1＝0.由a n >0得，a 1＝3. 由6S n ＝a 2n ＋3a n ，得6S n ＋1＝a 2n ＋1＋3a n ＋1.两式相减得6a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋3a n ＋1－3a n .所以(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －3)＝0.因为a n >0，所以a n ＋1＋a n >0，a n ＋1－a n ＝3.即数列{a n }是以3为首项，3为公差的等差数列，所以a n ＝3＋3(n －1)＝3n . 所以b n ＝2an（2an －1）（2an ＋1－1）＝8n（8n －1）（8n ＋1－1） ＝17⎝ ⎛⎭⎪⎫18n －1－18n ＋1－1. 所以T n ＝17(18－1－182－1＋182－1－183－1＋…＋18n －1－18n ＋1－1)＝17⎝ ⎛⎭⎪⎫17－18n ＋1－1<149. 要使任意n ∈N *，k >T n 恒成立，只需k ≥149，所以k 的最小值为149.答案：149小题专题练(四) 立体几何1．下列命题中，正确的是( ) A ．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 B ．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C ．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D ．棱台各侧棱的延长线交于一点2．已知a ＝(－2，1，3)，b ＝(－1，2，1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( ) A ．－2 B ．－143C.145D ．23.如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点E 为棱BB 1的中点，若用过点A ，E ，C 1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为( )4．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为1的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是( )A ．4∶3B ．2∶1C ．5∶3D ．3∶25．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则l 与α所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.73B.8－π3 C.83D.7－π37．在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，AB ＝4，点D 在棱BB 1上，若BD ＝3，则AD 与平面AA 1C 1C 所成角的正切值为( )A.235B.23913C.54D.438．已知l，m，n为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面，则( )A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αC．若α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m⊥βD．若m∥n，m⊂α，则n∥α9．如图甲所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由底面半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图乙水平放置时，液面高度为20 cm，当这个几何体如图丙水平放置时，液面高度为 28 cm，则这个简单几何体的总高度为( )A．29 cm B．30 cmC．32 cm D．48 cm10．长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，BB1＝ 2.设点A关于直线BD1的对称点为P，则P与C1两点之间的距离为( )A．1 B. 2C.33D.3211．如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为________，几何体中最长棱的长是________．第11题图第12题图12．如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P­ABC的正视图与侧视图的面积的比为________，三棱锥P­ABC的体积是________．13．已知正四棱柱的顶点在同一个球面上，且球的表面积为12π，当正四棱柱的体积最大时，正四棱柱的高为________．14．正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M 为CC 1的中点，点N 为线段DD 1上靠近D 1的三等分点，平面BMN 交AA 1于点Q ，则线段AQ 的长为________．15．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AD ，BC 上的点，∠ABE ＝20°，∠CDF ＝30°.将△ABE 绕直线BE 、△CDF 绕直线CD 各自独立旋转一周，则在所有旋转过程中，直线AB 与直线DF 所成角的最大值为________．第15题图 第16题图16．如图，在四边形ABCD 中，CD ⊥BD ，∠ABD ＝π3，AB ＝BD ＝4，CD ＝2，现将△BCD 沿BD 折起，当二面角A ­BD ­C 的大小处于[π6，5π6]的过程时，线段AC 长度的最小值是________，最大值是________．17．已知△ABC 在平面α内，∠ACB ＝90°，点P ∉α，PA ＝PB ＝PC ＝7，AB ＝10，AC ＝6，则点P 到平面α的距离等于________，PC 与平面PAB 所成角的正弦值为________．小题专题练(四)1．解析：选D.直棱柱的侧棱与底面垂直，底面形状不定，故选项A ，C 都不够准确；选项B 中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故B 不正确．2．解析：选D.由题意知a ·(a －λb )＝0，即a 2－λa ·b ＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2.3．解析：选C.如图，取DD 1的中点F ，连接AF ，FC 1，则过点A ，E ，C 1的平面即为面AEC 1F ，所以剩余几何体的侧视图为选项C.4．解析：选 A.圆锥的侧面积＝π×12×120360＝π3，圆锥的底面半径＝2π×1×120360÷2π＝13，圆锥的底面积＝π·19＝π9，圆锥的表面积＝侧面积＋底面积＝4π9，所以这个圆锥的表面积与侧面积的比为4∶3.5．解析：选A.由于cos 〈m ，n 〉＝－12，所以〈m ，n 〉＝120°.所以直线l 与α所成的角为30°.6．解析：选B.由三视图得，该几何体是从四棱锥P ­ABCD 中挖去半个圆锥后剩余的部分，四棱锥的底面是以2为边长的正方形，高是2，圆锥的底面半径是1，高是2，则所求几何体的体积V ＝13×2×2×2－12×13π×12×2＝8－π3.7.解析：选B.如图，可得AD →·EB →＝(AB →＋BD →)·EB →＝AB →·EB →＝4×23×32＝12＝5×23×cos θ(θ为AD →与EB →的夹角)，所以cos θ＝235，sin θ＝135，tan θ＝396，又因为BE ⊥平面AA 1C 1C ，所以所求角的正切值为23913. 8．解析：选A.由l ，m ，n 为三条不重合的直线，α，β为两个不同的平面知，在A 中，若m ⊥α，m ⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故A 正确；在B 中，若l ⊥m ，l ⊥n ，m ⊂α，n ⊂α，则l 与α相交、平行或l ⊂α，故B 错误；在C 中，若α∩β＝l ，m ⊂α，m ⊥l ，则m 与β相交，故C 错误；在D 中，若m ∥n ，m ⊂α，则n ∥α或n ⊂α，故D 错误．故选A.9．解析：选A.设这个简单几何体的总高度为h ，图乙简单几何体上面没有充满水的高度为x ，图丙简单几何体上面没有充满水的高度为y ，则⎩⎪⎨⎪⎧πx ＝9πy ，x ＋20＝y ＋28⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝1，所以h ＝29.10.解析：选A.将长方体中含有ABD 1的平面取出，过点A 作AM ⊥BD 1，延长AM ，使MP ＝AM ，则P 是A 关于BD 1的对称点，如图所示，过P 作PE ⊥BC 1，垂足为E ，依题意AB ＝1，AD 1＝3，BD 1＝2，∠ABD 1＝60°，∠BAM ＝30°，∠PBE ＝30°，PE ＝12，BE ＝32，所以PC 1＝1，故选A.11．解析：由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中的三棱锥M ­A 1B 1N ，如图所示，M 是棱AB 上靠近点A 的一个三等分点，N 是棱C 1D 1的中点，所以VM ­A 1B 1N ＝13×12×2×2×2＝43.又A 1B 1＝2，A 1N ＝B 1N ＝22＋12＝5，A 1M ＝22＋（23）2＝2103，B 1M ＝22＋（43）2＝2133，MN ＝22＋22＋（13）2＝733，所以该几何体中最长棱的长是733.答案：4373312．解析：作三棱锥P ­ABC 的正视图时，点A 的正投影是D ，点P 的正投影在C 1D 1上，因此三棱锥P ­ABC 正视图的面积S 正＝12×12＝12，作三棱锥P ­ABC 的侧视图时，点A 的正投影是B ，点P 的正投影在C 1B 1上，因此三棱锥P ­ABC 的侧视图的面积S 侧＝12×12＝12，故S 正∶S 侧＝1∶1，三棱锥P ­ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝16.答案：1∶1 1613．解析：设正四棱柱的底面边长为a ，高为h ，球的半径为r ，由题意知4πr 2＝12π，所以r 2＝3，又2a 2＋h 2＝(2r )2＝12，所以a 2＝6－h 22，所以正四棱柱的体积V ＝a 2h ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6－h 22h ，则V ′＝6－32h 2，由V ′>0，得0<h <2，由V ′<0，得h >2，所以当h ＝2时，正四棱柱的体积最大，V max ＝8.答案：214．解析：如图所示，在线段DD 1上靠近点D 处取一点T ，使得DT ＝13，因为N 是线段DD 1上靠近D 1的三等分点，故D 1N ＝23，故NT ＝2－13－23＝1，因为M 为CC 1的中点，故CM ＝1，连接TC ，由NT ∥CM ，且CM ＝NT ＝1，知四边形CMNT 为平行四边形，故CT ∥MN ， 同理在AA 1上靠近A 处取一点Q ′，使得AQ ′＝13，连接BQ ′，TQ ′，则有BQ ′∥CT ∥MN ，故BQ ′与MN 共面， 即Q ′与Q 重合，故AQ ＝13.答案：1315．解析：AB 不动，因为AB ∥CD ，故无论直线DF 运动到哪里，其与CD 的夹角不变，与AB 的夹角也不变为30°.若DF 不动，AB 转动，两者的夹角在旋转过程中先变小再变大，大小不超过固定时的夹角；当AB 转动到BF 的另一侧且与原始位置共面时，若DF 不动，可计算出两者的夹角是10°，若DF 转动同一平面的另一边，此时两线的夹角为70°，取到最大值．因此，本题正确答案是70°.答案：70° 16.解析：设二面角A ­BD ­C 的平面角为α，如图，取BD 的中点E ，连接AE ，则AE ＝2 3.因为AC →＝AE →＋ED →＋DC →，所以AC →2＝AE →2＋ED →2＋DC →2＋2AE →·ED →＋2ED →·DC →＋2AE →·DC →＝12＋4＋4＋0＋0＋2×23×2×cos(π－α)＝20－83cos α，因为α∈[π6，5π6]，所以cos α∈[－32，32]，所以AC →2∈[8，32]，故线段AC 长度的取值范围是[22，42]．答案：2 2 4 2 17.解析：如图所示，取AB 的中点D ，连接PD ，CD ，因为PA ＝PB ，所以PD ⊥AB ，又△ABC 为直角三角形，所以AD ＝CD ，又PA ＝PC ，所以△APD ≌△CPD ，所以∠CDP ＝∠ADP ＝90°，所以PD ⊥DC .又AB ∩DC ＝D ，则PD ⊥α，PD 为点P 到平面α的距离，又PA ＝7，AB ＝10，所以AD ＝5，PD ＝PA 2－AD 2＝2 6.法一：设点C 到平面PAB 的距离为d ，PC 与平面PAB 所成角的大小为θ，由V P ­ABC ＝V C ­PAB得13PD ·S △ABC ＝13d ·S △PAB ，即13×26×12×6×8＝13d ×12×10×26，所以d ＝245.故sin θ＝d PC ＝2435. 法二：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，连接PE ，因为PD ⊥α，PD ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面ABC ，又CE ⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面PAB ＝AB ，所以CE ⊥平面PAB ，则∠CPE 为PC 与平面PAB 所成的角，在Rt △ABC 中，易得CE ＝245，所以sin ∠CPE ＝CE PC ＝2435.答案：2 62435小题专题练(五) 解析几何1．“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．33．已知A (1，2)，B (2，11)，若直线y ＝⎝⎛⎭⎪⎫m －6m x ＋1(m ≠0)与线段AB 相交，则实数m的取值范围是( )A ．[－2，0)∪[3，＋∞)B ．(－∞，－1]∪(0，6]C ．[－2，－1]∪[3，6]D ．[－2，0)∪(0，6]4．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与该圆的位置关系是( )A ．原点在圆上B ．原点在圆外C ．原点在圆内D ．不确定5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 6．已知圆C ：x 2＋y 2＝2，直线l ：x ＋2y －4＝0，点P (x 0，y 0)在直线l 上，若存在圆C 上的点Q ，使得∠OPQ ＝45°(O 为坐标原点)，则x 0的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，65B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，85C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，85 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，65 7．已知抛物线y 2＝4x ，焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，则|AF |－2|BF |的最小值为( )A ．22－2 B.56 C ．3－322D ．23－28．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是抛物线C 的准线与椭圆E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．129．双曲线C 1：x 2m 2－y 2b 2＝1(m ＞0，b ＞0)与椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)有相同的焦点，双曲线C 1的离心率是e 1，椭圆C 2的离心率是e 2，则1e 21＋1e 22＝( )A.12 B ．1 C. 2D ．210．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2(c 为椭圆的半焦距)有四个不同的交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫55，35B.⎝⎛⎭⎪⎫25，55 C.⎝⎛⎭⎪⎫25，35 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，55 11．抛物线y 2＝2x 的焦点坐标是________，准线方程是______________．12．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝2，圆心C 在曲线y ＝1x(x ∈[1，2])上，则ab ＝________，直线l ：x ＋2y ＝0被圆C 所截得的弦长的取值范围是________．13．已知抛物线C ：x 2＝ay (a ＞0)上一点P (2a ，4a )到焦点F 的距离为17，则实数a 的值为________，直线PF 的一般方程为________．14．已知椭圆的方程为x 29＋y 24＝1，过椭圆中心的直线交椭圆于A ，B 两点，F 2是椭圆的右焦点，则△ABF 2的周长的最小值为________，△ABF 2的面积的最大值为________．15．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线交C 于P ，Q 两点，若cos ∠PAQ ＝35，则椭圆C 的离心率e 为________．16．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线的右支上，如果|PF 1|＝t |PF 2|(t ∈(1，3])，则双曲线经过第一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是________．17．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，双曲线x 22－y 22＝1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为________．小题专题练(五)1．解析：选C.直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件a (a －2)＝3，解得a ＝－1或a ＝3，当a ＝3时，两直线重合，所以解得a ＝－1，故选C.2．解析：选 B.由题意及双曲线的定义有||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6.所以 |PF 2|＝9.3．解析：选C.由题意得，两点A (1，2)，B (2，11)分布在直线y ＝⎝⎛⎭⎪⎫m －6m x ＋1(m ≠0)的两侧(或其中一点在直线上)，所以⎝⎛⎭⎪⎫m －6m－2＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫m －6m －11＋1≤0，解得－2≤m ≤－1或3≤m ≤6，故选C.4．解析：选B.将圆的方程化成标准方程为(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为0<a <1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2>0，即（0＋a ）2＋（0＋1）2>2a ，所以原点在圆外．5．解析：选A.由e ＝33得c a ＝33.① 又△AF 1B 的周长为43，由椭圆定义，得4a ＝43，得a ＝3，代入①得c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，故C 的方程为x 23＋y 22＝1.6．解析：选B.因为直线与圆有公共点，故由题设|OP |sin 45°≤2，即x 20＋y 20≤4，又y 0＝4－x 02，所以4x 20＋x 20－8x 0＋16≤4×4，即5x 20－8x 0≤0，所以0≤x 0≤85，故选B.7．解析：选A.设直线的倾斜角为θ，根据焦半径的计算知，|AF |＝21－cos θ，|BF |＝21＋cos θ，所以|AF |－2|BF |＝21－cos θ－(1＋cos θ)＝1＋cos 2θ1－cos θ，令t ＝1－cos θ∈(0，2)，则|AF |－2|BF |＝2－2t ＋t 2t ＝t ＋2t －2≥22－2，当且仅当t ＝2t，即t ＝2∈(0，2)取等号，故选A.8．解析：选B.抛物线y 2＝8x 的焦点为(2，0)，所以椭圆中c ＝2，又c a ＝12，所以 a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12，从而椭圆方程为x 216＋y 212＝1.因为抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝－2，所以 x A＝x B ＝－2，将x A ＝－2代入椭圆方程可得|y A |＝3，由图象可知|AB |＝2|y A |＝6.故选B.9．解析：选D.依题意，双曲线C 1中c 2＝m 2＋b 2，椭圆C 2中c 2＝a 2－b 2， 所以a 2－b 2＝m 2＋b 2，即m 2＝a 2－2b 2，所以1e 21＋1e 22＝a 2－2b 2c 2＋a 2c 2＝2a 2－2b 2c 2＝2（a 2－b 2）c 2＝2.。

解答题规范练(一)1．已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋a 的最大值为2，求：(1)a 的值及f (x )的最小正周期；(2)y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，0上的值域．2.如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，∠CBA ＝π3，ABEF 为直角梯形，BE ∥AF ，∠BAF ＝π2，BE ＝2，AF ＝3，平面ABCD ⊥平面ABEF .(1)求证：AC ⊥平面ABEF ；(2)求平面ABCD 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值．3．已知函数f (x )＝x －ln x －a 有两个不同的零点x 1，x 2. (1)求实数a 的取值范围； (2)证明：x 1＋x 2＞a ＋1.已知抛物线C ：y 2＝2px (0<p <4)和焦点F ，抛物线上一点到直线l ：y ＝2x ＋2的最近距离为3510. (1)求p 的值；(2)若点P 是直线l 上位于第二象限的点，过此点作C 的两条切线，切点分别为A ，B ，求△ABF 的面积的取值范围．5．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a 2n（n ＋1）2(n ∈N *)．(1)求证：a n ≥1； (2)证明：a n ＋1a n ≥1＋1（n ＋1）2； (3)求证：2（n ＋1）n ＋3＜a n ＋1＜n ＋1.解答题规范练(一)1．解：(1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＋a ， 由题意a ＋3＝2，所以a ＝－1，f (x )的最小正周期为π.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，0，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π6，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.所以f (x )∈[－2，1]．2．解：(1)证明：在△ABC 中，AB ＝1，∠CBA ＝π3，BC ＝2，所以AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA ×BC cos∠CBA ＝3，所以AC 2＋BA 2＝BC 2，所以AB ⊥AC .又因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥平面ABEF .(2)如图，建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (0，0，3)，D (－1，0，3)，E (1，2，0)，F (0，3，0)，AF →＝(0，3，0)是平面ABCD 的一个法向量，设平面DEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )，DE →＝(2，2，－3)，DF →＝(1，3，－3)，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y －3z ＝0x ＋3y －3z ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3z4y ＝3z 4，取z ＝4，则x ＝y ＝3，故n ＝(3，3，4)是平面DEF 的一个法向量．设平面ABCD 与平面DEF 所成的锐二面角为θ，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AF →·n |AF →||n |＝333×3＋3＋16＝322＝6622. 3．解：(1)f ′(x )＝x －1x，故f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (1)＝1－a ，故只需1－a ＜0即可，解得a ＞1.(2)证明：x 1＋x 2＞a ＋1等价于x 2＞1－lnx 1，其中0＜x 1＜1＜x 2.构造函数g (x )＝f (x )－f (1－ln x )，0＜x ＜1.所以g ′(x )＝1－1x （1－ln x ），令φ(x )＝x (1－ln x )，φ′(x )＝－ln x ＞0，所以0＜φ(x )＜φ(1)＝1，所以g ′(x )＜0，所以g (x )＞g (1)＝0，即f (x )＞f (1－ln x )，0＜x ＜1.又0＜x 1＜1＜x 2，所以f (x 2)＝f (x 1)＞f (1－ln x 1)．因为函数f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以x 2＞1－ln x 1.原命题得证．4．解：(1)令和l 平行且与抛物线相切的直线方程为：y ＝2x ＋m ，则|2－m |5＝3510，得m＝12或72.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px y ＝2x ＋m得4x 2＋(4m －2p )x ＋m 2＝0，Δ＝(4m －2p )2－16m 2＝0，解得p ＝4m ， 又0<p <4，所以取m ＝12，得p ＝2.(2)令动点P (x 0，y 0)(－1<x 0<0)，切点A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则过A 、B 的切线方程分别为yy 1＝2(x ＋x 1)，yy 2＝2(x ＋x 2)， 即2x －y 1y ＋2x 1＝0，2x －y 2y ＋2x 2＝0，将P (x 0，y 0)代入两方程得，2x 0－y 1y 0＋2x 1＝0，2x 0－y 2y 0＋2x 2＝0， 所以直线AB 的方程为2x －y 0y ＋2x 0＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x 2x －y 0y ＋2x 0＝0得y 2－2y 0y ＋4x 0＝0，Δ＝4y 20－16x 0>0. |AB |＝1＋y 2044y 20－16x 0＝4＋y 20·y 20－4x 0， 又F 到直线AB 的距离为d ＝|2＋2x 0|y 20＋4， 所以S △ABF ＝12·|2＋2x 0|y 20＋4·4＋y 20y 20－4x 0＝2|1＋x 0|x 20＋x 0＋1， 令1＋x 0＝t (0<t <1)， 则S △ABF ＝2t 4－t 3＋t 2， 记f (t )＝t 4－t 3＋t 2(0<t <1)， 求导得f (t )∈(0，1)， 所以S △ABF ∈(0，2)．5．证明：(1)a n ＋1－a n ＝a 2n（n ＋1）2≥0⇒a n ＋1≥a n ≥a n －1≥…≥a 1＝1.(2)由(1)可得：a n ＋1a n ＝1＋a n （n ＋1）2≥1＋1（n ＋1）2.(3)a n ＋1－a n a n ＋1a n ＝1（n ＋1）2·a na n ＋1， 所以1a n －1a n ＋1＝1（n ＋1）2·a n a n ＋1＜1（n ＋1）2＜1（n ＋1）n ＝1n －1n ＋1，累加得右侧；另一方面由a n ≤n 可得a n a n ＋1＞n ＋1n ＋2，累加得左侧． 由(2)得：0＜a na n ＋1＜1， 所以1a n －1a n ＋1＝1（n ＋1）2 a n a n ＋1＜1（n ＋1）2＜1（n ＋1）n ＝1n －1n ＋1， 累加得：1a 1－1a n ＋1＜1－1n ＋1⇒a n ＋1＜n ＋1.另一方面由a n ≤n 可得：原式变形为a n ＋1a n ＝1＋a n （n ＋1）2≤1＋n （n ＋1）2＜1＋1n ＋1＝n ＋2n ＋1⇒a n a n ＋1＞n ＋1n ＋2， 所以1a n －1a n ＋1＝1（n ＋1）2a n a n ＋1＞1（n ＋1）2·n ＋1n ＋2＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2.以下内容为“高中数学该怎么有效学习？”首先要做到以下两点：1、先把教材上的知识点、理论看明白。

专题加强训练1．(2019 ·华十校调研金)已知奇函数f(x)当 x＞ 0 时， f(x)＝ x(1－ x)，则当 x＜ 0 时， f(x) 的表达式是()A ． f( x)＝－ x(1＋ x) C． f( x)＝ x(1＋ x) B． f(x)＝－ x(1－x) D． f(x)＝ x(x－ 1)分析：选 C.设 x＜ 0，则－ x＞ 0，又当 x＞ 0 时， f(x)＝ x(1－ x)，故 f(－ x)＝－ x(1＋ x)，又函数为奇函数，故 f(－ x)＝－ f(x)＝－ x(x＋ 1)，即 f(x)＝ x(x＋ 1)，应选 C.2．已知 f(x)＝x＋1－ 1， f(a)＝ 2，则 f(－ a)＝ ( ) xA．－ 4 B．－ 2 C．－ 1 D．－ 3分析：选 A. 由于 f(x)＝x＋11 1x－ 1，所以 f( a)＝ a＋a－ 1＝ 2，所以 a＋a＝ 3，所以 f(－ a)＝－ a1 1－a－ 1＝－ a＋a－ 1＝－ 3－ 1＝－ 4，应选 A.3．以下函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞ )上单一递加的是 ( )1A ． y＝x B． y＝ |x|－ 11 |x|C． y＝ lg x D． y＝2分析：选 B.A 中函数 y＝1A 错误；B 中函数满x不是偶函数且在 (0，＋∞ )上单一递减，故足题意，故 B 正确； C 中函数不是偶函数，故 C 错误； D 中函数不知足在 (0，＋∞ )上单一递增，应选 B.2× 4x－a的图象对于原点对称，g(x) ＝ln(e x＋ 1)－ bx 是偶函数，则 log a b 4．已知函数 f(x)＝ 2 x＝ ( )A ． 1 B．－ 11 1C．－2 D.4分析：选 B.由题意得f(0) ＝ 0，所以 a＝ 2.1由于 g(1) ＝ g(－ 1)，所以 ln(e＋ 1)－ b＝ ln e＋ 1 ＋ b，1 1所以 b＝2，所以 log a b＝ log 22＝－1. 5．(2019 台·州市高考模拟 )函数 f(x)＝ x2＋a(a∈ R )的图象不行能是 ( ) |x|分析：选 A. 直接利用清除法：①当 a＝ 0 时，选项 B 建立；②当 a＝ 1 时， f(x)＝ x2＋1 ，函数的图象近似D；|x|③当 a＝－ 1 时， f(x)＝ x2－1，函数的图象近似 C.应选 A.|x|2x 在区间 [3，4]上的最大值和最小值分别为M，6．(2019 ·湖北八校联考 (一 ))设函数 f(x)＝x－2m2m，则M＝( )2 3A. 3B.83 8C.2D.3分析：选 D. 易知 f(x)＝2x ＝ 2＋ 4 ，所以 f(x)在区间 [3， 4]上单一递减，所以 M＝ f(3)x－ 2 x－ 24 4 m2 16 8＝ 2＋3－2＝ 6，m＝ f(4)＝ 2＋4－2 ＝4，所以M＝ 6 ＝3.7．(2018 高·考全国卷Ⅲ )以下函数中，其图象与函数y＝ ln x 的图象对于直线x＝ 1 对称的是 ( )A ． y＝ ln(1 － x) B． y＝ ln(2 － x)C． y＝ ln(1＋ x) D． y＝ ln(2 ＋ x)分析：选 B. 法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x， y)，则其对于直线x＝ 1 的对称点的坐标为 (2－ x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数 f(x)＝ ln x 的图象上，所以 y＝ ln(2 － x)．故选 B.法二：由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数y＝ ln x 的图象上也在所求函数的图象上，代当选项中的函数表达式逐个查验，清除A，C， D，选 B.8．(2019 浙·江台州市书生中学高三月考 )设奇函数 f(x)在 (0，＋∞ ) 上为单一递减函数，且f(2) ＝ 0，则不等式 3f （－ x ）－ 2f （ x ）≤ 0 的解集为 ( )5xA ． (－∞，－ 2]∪ (0， 2]B ． [－2， 0)∪ [2，＋∞ )C ． (－∞，－ 2]∪ [2，＋∞ )D ． [－ 2， 0)∪ (0， 2]3f （－ x ）－ 2f （ x ）f （ x ）分析：选 D. 由于函数 f(x)是奇函数，所以≤ 0?≥ 0.又因 f(x)在 (0，5xx＋ ∞ ) 上为单一递减函数，且 f (2) ＝ 0 ，所以得，函数 f ( x) 在 ( － ∞ ， 0) 上单一递减且f(－ 2)＝ 0.所以， x ∈ (－ ∞ ，－ 2)∪ (0， 2)时， f(x)>0； x ∈ (－ 2， 0)∪ (2，＋ ∞ )时 f( x)<0 ，应选 D.19．(2019 温·州市十校联考 )已知函数 f( x)是定义在 R 上的奇函数，当 x ≥ 0 时， f(x)＝ 2(|x － a 2|＋ |x － 2a 2|－ 3a 2)．若任取 ? x ∈ R ， f(x － 1)≤ f(x)，则实数 a 的取值范围为 ()A. －1， 1 B.－ 6，66 6 6 6C. － 1，1D.－ 3，33 333分析：选 B. 由于当 x ≥ 11 (a0 时，f(x) ＝ (|x － a 2|＋ |x － 2a2|－ 3a 2) ，所以当0≤ x ≤ a2时，f(x)＝ 222－ x ＋ 2a 2－ x － 3a 2) ＝－ x ；当 a 2＜ x ＜ 2a 2时， f(x)＝ 1(x － a 2＋ 2a 2－x － 3a 2)＝－ a 2；21当 x ≥ 2a 2 时， f(x)＝ 2(x － a 2＋ x － 2a 2－ 3a 2)＝ x － 3a 2.综 上 ， 函 数 f(x) ＝ 12 (|x － a 2| ＋ |x － 2a 2 | － 3a 2) 在x ≥ 0 时 的 解 析 式等 价 于f(x) ＝－ x ， 0≤ x ≤a 2 ，－ a 2， a 2＜ x ＜ 2a 2，x － 3a 2， x ≥ 2a 2.所以，依据奇函数的图象对于原点对称作出函数f(x)在 R 上的大概图象以下，226 ≤a ≤ 6察看图象可知， 要使 ? x ∈ R ，f(x － 1)≤ f(x)，则需知足 2a － (－ 4a )≤ 1，解得－ 6 6.10．定义域为R 的函数 f( x)知足 f(x＋ 2)＝3f(x)，当 x∈[0 ，2]时，f(x)＝ x2－ 2x，若 x∈[ － 4，－ 2]时， f(x)≥13－t恒建立，则实数t的取值范围是()18 tA ． (－∞，－ 1]∪ (0， 3]B． (－∞，－3]∪ (0，3]C． [－ 1， 0)∪ [3，＋∞ )D． [－3， 0)∪ [ 3，＋∞ )分析：选 C.由于 x∈ [ －4，－ 2]，所以 x＋ 4∈[0 ，2]，由于 x∈ [0， 2]时， f(x)＝ x2－ 2x，所以 f(x＋ 4) ＝(x＋4)2－2(x＋4)＝ x2＋ 6x＋ 8.函数 f(x)知足 f(x＋ 2)＝ 3f(x)，所以 f(x＋ 4)＝ 3f(x＋ 2)＝ 9f(x)．1 2故 f(x)＝9(x ＋ 6x＋ 8)，1 3 1 1 3由于 x∈ [ － 4，－ 2]时， f(x)≥18 t－t 恒建立，所以－9 ＝f(x)min≥18 t－ t ，解得 t≥ 3 或－ 1≤ t＜ 0.（1）x－ 2， x≤－ 1，11． (2019 宁·波镇海中学高三一模)已知函数f(x)＝2则 f(f(－（ x－ 2）（ |x|－ 1）， x＞－ 1.2)) ＝________，若 f(x)≥2，则 x 的取值范围为 ____________ ．分析：由分段函数的表达式得f(－ 2)＝ (12)－2－ 2＝ 4－ 2＝ 2，f(2)＝ 0，故 f(f(－ 2)) ＝ 0.若 x≤ － 1，由 f(x)≥ 2 得 (12)x－ 2≥ 2 得 (12)x≥ 4，则 2－x≥ 4，得－ x≥ 2，则 x≤ － 2，此时 x≤ － 2.若 x＞－ 1，由 f(x)≥ 2 得 (x－2)(|x|－ 1)≥ 2，即 x|x|－ x－ 2|x|≥ 0，若 x≥ 0 得 x2－ 3x≥ 0，则 x≥3 或 x≤ 0，此时 x≥ 3 或 x＝ 0，若x＜ 0，得－ x2＋x≥ 0，得 x2－x≤ 0，得 0≤ x≤ 1，此时无解，综上 x≥ 3 或 x＝ 0.答案： 0 x≥3 或 x＝ 0x＋2－ 3，x≥ 1，则 f(f(－ 3))＝ ________，f(x)的最小值是 ________．12．已知函数 f( x)＝xlg （ x2＋ 1）， x<1，分析：由于 f(－ 3)＝ lg[( － 3)2＋ 1]＝ lg 10 ＝ 1，所以 f(f(－ 3)) ＝f(1)＝ 1＋ 2－ 3＝ 0.2－3≥2 22－3，当且仅当2 2时等号建立，当 x≥ 1 时， x＋x·－ 3＝ 2 x＝，即 x＝x x x此时 f(x)min＝2 2－3<0 ；当 x<1 时， lg(x2＋1)≥ lg(0 2＋ 1)＝ 0，此时f( x)min＝ 0.所以 f(x)的最小值为 2 2－ 3.答案： 0 2 2－313． (2019 浙·江新高考冲刺卷)已知函数 f(x)＝ ln(e 2x＋1)－ mx 为偶函数，此中 e 为自然对数的底数，则m＝ ________，若 a2＋ ab＋ 4b2≤m，则 ab 的取值范围是 ________．分析：由题意， f( －x) ＝ln(e －2x＋ 1)＋ mx＝ ln(e 2x＋ 1)－ mx，所以 2mx＝ ln(e 2x＋1)－ ln(e －2x＋ 1)＝ 2x，所以 m＝ 1，由于 a2＋ ab＋ 4b2≤m，所以 4|ab|＋ ab≤ 1，所以－1≤ ab≤1，3 51 1故答案为 1，[－3，5]．1 1答案：1 [－， ]14．定义新运算“⊕”：当a≥b 时， a⊕ b＝ a；当 a<b 时， a⊕ b＝b2.设函数 f(x)＝ (1⊕ x)x －(2⊕ x)， x∈ [－ 2，2]，则函数 f(x)的值域为 ________．x－ 2， x∈ [－2， 1]，分析：由题意知f(x)＝x3－ 2， x∈（ 1，2]，当 x∈ [ － 2，1] 时， f(x)∈ [－ 4，－ 1]；当 x∈ (1， 2]时， f(x)∈( －1， 6]．故当 x∈ [－ 2， 2] 时， f(x) ∈[ －4， 6]．答案： [－4，6]x>0 时， h(x)＝－x215．已知函数 h(x)(x≠ 0)为偶函数，且当 4 ，0<x≤4，若h(t)>h(2)，则4－ 2x， x>4，实数 t 的取值范围为 ________．x2－4，0<x≤ 4，分析：由于 x>0 时， h(x)＝4－ 2x， x>4.易知函数h(x)在 (0，＋∞)上单一递减，由于函数h(x)(x≠ 0)为偶函数，且h(t)>h(2)，所以 h(|t|)>h(2)，所以0<|t|<2，t ≠0，t≠0，所以即解得－2< t<0 或0<t<2.|t|<2，－ 2<t<2，综上，所务实数t 的取值范围为(－ 2，0)∪(0， 2)．答案： (－ 2， 0)∪ (0，2)16．若对随意的x≥ 2，都有 (x＋ a)|x＋ a|＋ (ax)|x|≤ 0，则 a 的最大值为 ________．分析：对随意的x≥ 2，都有 (x＋ a)|x＋ a|＋ (ax)|x|≤ 0，即 x≥ 2 时， (x＋a)|x＋a|＋ (ax)x≤0 恒建立 .①若 x＋ a≥ 0，即 a≥ －2 时，则有 (x＋ a)2＋ax2≤ 0,所以 ( a＋ 1)x2＋2ax＋ a2≤ 0.a＋ 1＜ 0令 f(x)＝ (a＋ 1)x2＋ 2ax＋ a2，则有 a＋1＝ 0 或2a＜ 2－，2（ a＋1）f（ 2）＝ 4（ a＋1）＋ 4a＋ a2≤ 0求得 a＝－ 1 或－ 4－ 2 3≤a＜－ 1，综合可得－ 2≤ a≤ － 1；②若 x＋ a＜ 0，即 a＜－ 2 时，则有－ (x＋ a)2＋ ax2≤ 0,该不等式恒建立，即此时 a 的范围为a＜－ 2；③若 x＋ a＝ 0，即 a＝－ x≤ － 2 时，则由题意可得ax2≤0，知足条件 . 综合①②③可得， a≤－ 2 或－ 2≤ a≤ －1，故 a 的最大值为－ 1.答案：－117． (2019 台·州模拟 )定义 min{ x，y} ＝x（ x<y），则不等式 min{ x＋4，4} ≥ 8min{ x，1} y（ x≥ y）x x的解集是 ________．分析：①当 x>0 时，由基本不等式可知x＋4≥ 2 x＋4x x＝4，4min{ x ＋ x ， 4} ＝4，则不等式转变成：11min{ x ， x } ≤ 2，即：1解得： x ≤ 2或 x ≥ 2.11x ≤ 2x ≥2或，1≥ 11≤ 1x 2x 2②当 x<0 时，(ⅰ )当－ 1<x<0 时，1x <x ，原不等式化为 x ＋4x ≥ 8x ，即 x －4x ≥ 0，解得－ 2≤x<0，所以－ 1<x<0；(ⅱ )当 x ≤－ 1 时， 1≥ x ，原不等式化为 x ＋ 4≥ 8x ，x x 即 7x － 4≤ 0，解得： x ≤－4，即 x ≤ － 1， x7所以 x<0 对于原不等式全建立．1综上不等式的解集为 (－ ∞， 0)∪ (0， 2]∪ [2，＋ ∞ )．答案： (－∞， 0)∪ 1，＋∞ )(0， ]∪ [2218．(2019 台·州市教课质量调研 )已知函数 f( x)＝ x 2＋ bx ＋ c 的图象过点 (－ 1，3)，且对于直线 x ＝ 1 对称．(1)求 f(x)的分析式；(2)若 m ＜ 3，求函数 f(x) 在区间 [m ，3]上的值域．解： (1) 由于函数 f(x)＝ x 2＋ bx ＋ c 的图象过点 (－ 1， 3)，且对于直线 x ＝1 对称，f （－ 1）＝ 1－ b ＋ c ＝ 3所以b，－2＝1解得 b ＝－ 2， c ＝ 0，所以 f(x)＝ x 2－ 2x.(2)当 1≤ m ＜ 3 时， f(x)min ＝ f(m)＝ m 2－ 2m ，f(x) max ＝ f(3) ＝ 9－ 6＝3，所以 f(x)的值域为 [m 2－ 2m ， 3]；当－ 1≤ m＜ 1 时， f(x)min＝ f(1) ＝ 1－ 2＝－ 1，f(x) max＝ f(－ 1)＝ 1＋2＝ 3，所以 f(x)的值域为 [－ 1， 3]．当 m＜－ 1 时， f(x)min＝f(1)＝ 1－ 2＝－ 1，2－ 2m，maxf(x) ＝ f(m)＝m所以 f(x)的值域为 [－ 1， m2－ 2m] ．x2－ 2ax＋ a2＋ 1， x≤ 0，19． (2019 浙·江新高考结盟第三次联考) 已知函数 f(x)＝2－ a，x＞ 0.x2＋x(1)若对于随意的x∈ R ，都有 f( x)≥ f(0)建立，务实数 a 的取值范围；(2)记函数 f(x)的最小值为M(a)，解对于实数 a 的不等式M(a－ 2)＜M(a)．解： (1) 当 x≤ 0 时， f(x)＝ (x－ a)2＋ 1，由于 f(x)≥ f(0) ，所以 f(x)在( －∞， 0]上单一递减，所以 a≥ 0，2当 x＞ 0 时， f′(x)＝ 2x－x2，2令 2x－x2＝ 0 得 x＝ 1，所以当 0＜ x＜1 时， f′(x)＜0，当 x＞ 1 时， f′(x)＞ 0，所以 f(x)在 (0， 1)上单一递减，在(1，＋∞ )上单一递加，所以 f min(x)＝ f(1) ＝3－ a，由于 f(x)≥ f(0) ＝a2＋ 1，所以 3－ a≥a2＋1，解得－ 2≤ a≤ 1.又 a≥ 0，所以 a 的取值范围是[0， 1]．(2)由 (1)可知当 a≥ 0 时， f(x)在 (－∞， 0]上的最小值为f(0) ＝ a2＋1，当 a＜ 0 时， f(x)在 (－∞，0] 上的最小值为f(a)＝ 1，f(x)在 (0，＋∞ )上的最小值为f(1)＝ 3－ a，解不等式组a2＋ 1≤ 3－ a得a≥ 00≤ a≤1，解不等式组1≤ 3－ a得a＜ 0，a＜ 0a2＋ 1，0≤ a≤ 1所以 M(a)＝1，a＜ 0.3－ a， a≥ 1所以 M(a)在(－∞， 0)上为常数函数，在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞ )上是减函数，作出 M(a)的函数图象以下图：令 3－ a＝ 1 得 a＝ 2，由于 M(a－ 2)＜ M(a)，所以 0＜ a＜2.。

小题分层练(一) 本科闯关练(1)1．已知集合A ＝{x ||x |＜1}，B ＝{x |x 2－2x ＜0}，则A ∩B ＝( ) A ．(－1，2) B ．(0，2) C ．(1，2)D ．(0，1)2．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3x ＋y －3≥0x －y ＋1≥0，则y 的取值范围是( )A ．RB ．[0，4]C ．[2，＋∞)D ．(－∞，2]3．“直线l 与平面α平行”是“直线l 与平面α内的无数条直线平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线C ：y 28－x 2b2＝1(b ＞0)的离心率为2，则焦点到渐近线的距离为( )A ．2B ．4C ．2 2D ．85．函数y ＝e x(x 2＋2x ＋1)的图象可能是( )6．已知随机变量ξ的分布列如下：当a 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，6内增大时，D(ξ)( ) A ．增大 B ．减小 C ．先增大后减小D ．先减小后增大7．若正实数x ，y 满足ln(x ＋2y )＝ln x ＋ln y ，则2x ＋y 取到最小值时，x ＝( )A ．5B ．3C ．2D ．18．平面向量a ，b 满足|a －b |＝3，|a |＝2|b |，则a －b 与a 夹角的最大值为( ) A.π2 B.π3 C.π6D.π49．已知正三角形ABC 所在的平面垂直平面α，且边BC 在平面α内，过AB ，AC 分别作两个平面β，γ(与正三角形ABC 所在平面不重合)，则以下结论错误的是( )A ．存在平面β与平面γ，使得它们的交线l 和直线BC 所成的角为90°B ．直线BC 与平面γ所成的角不大于60° C ．平面α与平面β所成的锐二面角不小于60°D ．平面β与平面γ所成的锐二面角不小于60°10．设I 是含有数π的有限实数集，f(x)是定义在I 上的函数．若f(x)的图象绕坐标原点逆时针旋转π3后与原图象重合，则在以下各项中，f(π)的取值不可能是( )A.32π B.3π C ．πD.2π11．已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，b n ＝1＋a n a n，若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围为________．12．已知i 是虚数单位，复数z ＝1＋ii，则z 的实部是________；|z|＝________．13．若(x ＋1)7＝a 0＋a 1x ＋…＋a 7x 7，则a 1＝________；a 1＋…＋a 7＝________．14．在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则cos C ＝________；sin A ＝________．15．袋中有2个红球，2个白球，2个黑球共6个球，现有一个游戏：从袋中任取3个球，恰好三种颜色各取到1个则获奖，否则不获奖．则获奖的概率是________；有3个人参与这个游戏，则恰好有1人获奖的概率是________．16．已知C ，F 分别是椭圆Γ：x 2a 2＋y2b 2＝1的左顶点和左焦点，A 、B 是椭圆的下、上顶点，设AF 和BC 交于点D ，若CD →＝2DB →，则椭圆Γ的离心率为________．17．设数列{a n }满足a n ＋1＝2(|a n |－1)，n ∈N *，若存在常数M ＞0，使得对于任意的n ∈N *，恒有|a n |≤M ，则a 1的取值范围是________．小题分层练小题分层练(一)1．解析：选D.因为A ＝{x |－1＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜2}，所以A ∩B ＝(0，1)．故选D. 2．解析：选B.不等式的平面区域如图所示，结合图象易知y 的取值范围是[0，4]．故选B.3．解析：选A.由线面平行的性质可知，若直线l 与平面α平行，则直线l 与平面α内的无数条直线平行；反之当直线l 在平面α内时，不能推出直线l 与平面α平行．故选A.4．解析：选C.由e 2＝8＋b28＝2得b ＝22，故焦点为(±4，0)到渐近线x ±y ＝0的距离为412＋12＝22，故选C.5．解析：选A.f (x )＝e x(x ＋1)2＝0有二重根x ＝－1，故f (x )在x ＝－1附近左右两侧的图象均在x 轴上方．故选A.6．解析：选C.D (ξ)＝E (ξ2)－E 2(ξ)＝－a 2＋43a ＋536＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －232＋712，所以D (ξ)先增大后减小．故选C.7．解析：选B.由题意可得x ＋2y ＝xy ，变形为1y ＋2x＝1，所以2x ＋y ＝(2x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋2x ＝5＋2x y ＋2yx≥5＋22x y ·2yx＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x y ＝yx x ＋2y ＝xy，即x ＝y ＝3时取到最小值．故选B. 8．解析：选C.如图，设PA →＝a ，PB →＝b ，由|a |＝2|b |可知点P 的轨迹为阿波罗尼斯圆．设A (0，0)，B (3，0)，P (x ，y )，则点P 的轨迹方程为(x －4)2＋y 2＝4.所求问题转化为AB 与AP的夹角何时最大，结合图象可知，当AP 与圆相切时夹角最大，容易算得最大的夹角为π6.9.解析：选D.将本题放入三棱锥A ­BCD 中研究，如图所示．设α为平面BCD ，β为平面ABD ，γ为平面ACD .固定正三角形ABC ，让D 点运动．对于选项A ，只要△BCD 也为正三角形，即有BC ⊥平面AED ，可得BC ⊥AD . 对于选项B ，考查最小角定理．直线BC 与平面γ所成的角不大于∠ACB ＝60°. 对于选项C ，考查二面角最大．过E 作EF ⊥BD ，垂足为F .可知EF ≤BE ，∠AFE ≥∠ABE ＝60°.故选D.10．解析：选B.当f (π)＝3π时，可求得旋转角为π3，即对应点为A 点，以A 为起点，间隔π3圆上取六点(如图)，当x ＝π时，圆上对应有两个点A ，E ，这与函数的定义矛盾．所以f (π)的取值不可能是3π.11．解析：依题意得b n ＝1＋1a n，对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8，即数列{b n }的最小项是第8项，于是有1a n ≥1a 8.又数列{a n }是公差为1的等差数列，因此有⎩⎪⎨⎪⎧a 8＜0，a 9＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＜0，a ＋8＞0，由此解得－8＜a ＜－7，即实数a 的取值范围为(－8，－7)．答案：(－8，－7)12．解析：z ＝1－i ，故实部为1，|z |＝ 2. 答案：1213．解析：(x ＋1)7展开式的通项为C k 7x k，令k ＝1得a 1＝7.令x ＝0，得a 0＝1，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 7＝128，则a 1＋…＋a 7＝127.答案：7 12714．解析：cos C ＝2cos 2C 2－1＝－35.由余弦定理得AB ＝12＋52－2×1×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝42，再由正弦定理得BC sin A ＝AB sin C ，解得sin A ＝210.答案：－35 21015．解析：获奖概率为P ＝C 12·C 12·C 12C 36＝25， 恰好有1人获奖的概率为P ＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫251·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－252＝54125. 答案：25 5412516．解析：设A (0，－b )，F (－c ，0)，C (－a ，0)，B (0，b )，由题意D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，2b 3，又A ，F ，D 三点共线，得b －c ＝2b3－（－b ）－a 3，解得e ＝c a ＝15.答案：1517．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2（|x |－1）y ＝x 解得数列{a n }的一个不动点为2，结合蛛网图，要使{a n }有界，则a 1应满足－2≤a 1≤2.答案：[－2，2]。

保分大题规范专练（一）1．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π<φ<0)的最小正周期是π，将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度后所得的函数图象过点P (0,1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，求函数f (x )的值域．解：(1)由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π<φ<0)的最小正周期是π，得2πω＝π，即ω＝2.由y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ的图象过点(0,1)，得2π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝－π6＋2k π，k ∈Z ，又－π<φ<0得φ＝－π6，所以函数解析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2得2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， 即函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.2．在四棱锥P ABCD 中，平面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，E 为PC 的中点，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠ADC ＝90°，AB ＝AD ＝PD ＝1，CD ＝2.(1)求证：BE ∥平面PAD ；(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的余弦值． 解：法一：(1)证明：取PD 的中点F ，连接EF ，AF . 由于EF 是△PCD 的中位线，所以EF 綊12CD .又AB 綊12CD ，所以EF 綊AB ，所以四边形ABEF 是平行四边形，所以BE ∥AF . 又AF ⊂平面PAD ，所以BE ∥平面PAD . (2)取PB 的中点M ，连接EM ， 则EM 是△PBC 的中位线，所以EM ∥BC . 在△BCD 中，BD ＝BC ＝2，CD ＝2， 则BC 2＋BD 2＝CD 2，所以BC ⊥BD . 又平面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ， 则PD ⊥平面ABCD ，PD ⊥BC ， 从而BC ⊥平面PBD ，EM ⊥平面PBD ， ∠EBM 即是直线BE 与平面PBD 所成的角．AB ＝AD ＝PD ＝1，CD ＝2，解得BE ＝52，BM ＝12PB ＝32， 从而cos ∠EBM ＝155. 所以直线BE 与平面PBD 所成角的余弦值为155. 法二：因为平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，PD ⊥CD ，PD ⊂平面PCD ， 所以PD ⊥AD . 因为∠ADC ＝90°，所以AD ⊥CD ，则DA ，DC ，DP 两两垂直．以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(图略)． 则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,2,0)，P (0,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12. (1)证明：BE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，12.平面PAD 即平面xOz ，所以可取其一法向量m ＝(0,1,0)． 则BE ―→·m ＝0，即BE ―→⊥m . 又BE ⊄平面PAD ， 所以BE ∥平面PAD .(2)设平面PBD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DP ―→＝0，n ·DB ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0，x ＋y ＝0，取x ＝1，得n ＝(1，－1,0)．则cos 〈n ·BE ―→〉＝n ·BE ―→|n |·|BE ―→|＝－105，则BE 与平面PBD 所成的角θ的余弦值为cos θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1052＝155. 3．已知函数f (x )＝x 3＋|ax －3|－2，a >0. (1)求函数y ＝f (x )的单调区间；(2)当a ∈(0,5)时，对于任意x 1∈[0,1]，总存在x 2∈[0,1]，使得f (x 1)＋f (x 2)＝0，求实数a 的值．解：(1)f (x )＝x 3＋|ax －3|－2 ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋ax －5，x ≥3a ，x 3－ax ＋1，x <3a.则当x ≥3a时，f (x )＝x 3＋ax －5，易知此时f (x )为增函数．当x <3a时，f (x )＝x 3－ax ＋1，f ′(x )＝3x 2－a ，令f ′(x )＝0得x ＝a3或x ＝－a3.所以当a 3≥3a，即a ≥3时， 函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，3a ，单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ，＋∞；当a 3<3a，即0<a <3时， 函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－a3，a 3，单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－a 3，⎝⎛⎭⎪⎫a3，＋∞.(2)由题意知，对于任意x 1∈[0,1]，总存在x 2∈[0,1]，使得f (x 1)＋f (x 2)＝0，等价于f (x )min＋f (x )max ＝0，由(1)得，当3≤a <5时，y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，3a 上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤3a ，1上单调递增，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a＝27a3－2，f (x )max ＝max{f (0)，f (1)}＝max{1，a －4}＝1，所以27a3－2＋1＝0，解得a ＝3；当0<a <3时，y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，a 3上单调递减，在⎝⎛⎦⎥⎤a3，1上单调递增，所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a 3＝1－2a3a3，f (x )max ＝max{f (0)，f (1)}＝max{1,2－a }，当1<a <3时，f (x )max ＝1， 则1－2a 3a3＋1＝0，得a ＝3(舍去)；当0<a ≤1时，f (x )max ＝2－a ， 则1－2a 3a3＋2－a ＝0，即3－a ＝2a3a3，其中3－a ≥2，而2a 3a3<2，所以无解，舍去．综上所述，a ＝3.。

专题强化训练[根底达标]1．2021·宁波高考模拟全集U＝A∪B＝{∈Z|0≤≤6}，A∩∁U B＝{1，3，5}，那么B＝A．{2，4，6} B．{1，3，5}C．{0，2，4，6} D．{∈Z|0≤≤6}解析：＝A∪B＝{∈Z|0≤≤6}＝{0，1，2，3，4，5，6}，A∩∁U B＝{1，3，5}，所以B＝{0，2，4，6}，应选C2．复数满足1＋i＝|错误!－i|，那么错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!a＝9由错误!，得错误!即B0，2，故min＝2，故的最大值与最小值之差为7，选C5．在数列{a n}中，假设a1＝2，且对任意正整数m，，总有a m＋＝a m＋a，那么{a n}的前n项和S n＝A．n3n－1C．nn＋1解析：＋1＝a n＋a1，即有a n＋1－a n＝a1＝2，所以数列{a n}是以2为首项、2为公差的等差数列，a n＝2＋2n－1＝2n，S n＝错误!＝nn＋1．6．函数f＝|－2|－n 在定义域内的零点的个数为A．0B．1C．2 D．3解析：的定义域为0，＋∞，在同一直角坐标系中画出函数1＝|－2|>0，2＝n >0的图象，如下图．由图可知函数f在定义域内的零点个数为27．函数f＝co ·og2||的图象大致为解析：选B函数的定义域为－∞，0∪0，＋∞，且f错误!＝co错误!og2错误!＝－co 错误!，f错误!＝co错误!·og2错误!＝－co错误!，所以f错误!＝f错误!，排除A、D，又f错误!＝－co错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误! n⇒λ2＝错误!∈错误!⇒mn＝5⇒m＝5，n＝1，所以a*b＝错误!答案：错误!错误!15．函数f＝错误!其中m>，使得关于的方程f＝b有三个不同的根，那么m 的取值范围是__________．解析：函数f的大致图象如下图，根据题意知只要m>4m－m2即可，又m>0，解得m>3，故实数m的取值范围是3，＋∞．答案：3，＋∞16．假设二次函数f＝42－2，0，B0，n，那么a＝1，0，b＝0，1，错误!错误!－1，－2，错误!n＝2，那么错误!错误!－2n－2＝5－m＋2n≤5－2错误!＝5－2×2＝1，当且仅当m＝2n＝2时，取得最大值17．2021·绍兴一中高三期中到两条互相垂直的异面直线距离相等的点的轨迹，被过一直线与另一直线垂直的平面所截，截得的曲线为A．相交直线B．双曲线C．抛物线D．椭圆弧解析：选C如下图，建立坐标系，不妨设两条互相垂直的异面直线为OA，BC，设OB＝a，对称，且1·2＝－错误!，那么m等于________．解析：由条件得A1，1、B2，2两点连线的斜率＝错误!＝－1，而2－1＝2错误!－错误!，得1＋2＝－错误!，且错误!，错误!在直线＝＋m上，即错误!＝错误!＋m，即1＋2＝1＋2＋2m又因为A1，1、B2，2两点在抛物线＝22上，所以有2错误!＋错误!＝1＋2＋2m，即2[1＋22－212]＝1＋2＋2m，可得2m＝3，解得m＝错误!答案：错误!15．用1，2，3，4，5这五个数字组成各位上数字不同的四位数，其中千位上是奇数，且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于2比方1 524的概率＝________．解析：用1，2，3，4，5这五个数字组成各位上数字不同的四位数，根本领件总数n＝A错误!＝12021中千位上是奇数，且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于2包含的根本领件有：1 352，1 425，1 524，3 142，3 524，3 514，3 152，5 241，5 314，5 142，共10个，所以千位上是奇数，且相邻两位上的数之差的绝对值都不小于2比方1 524的概率：＝错误!错误!答案：错误!16．a＝3，2，b＝2，－1，假设向量λa＋b与a＋λb夹角为锐角，那么实数λ的取值范围是________．解析：因为a＝3，2，b＝2，－1，所以λa＋b＝3λ＋2，2λ－1，a＋λb＝3＋2λ，2－λ，因为向量λa＋b与a＋λb夹角为锐角，所以λa＋b·a＋λb＝3λ＋2×3＋2λ＋2λ－1×2－λ>0且3λ＋22－λ－2λ－13＋2λ≠0，整理可得，4λ2＋18λ＋4>0且λ≠±1解不等式可得，λ>错误!或λ错误!错误!或λ<错误!且λ≠117．2021·广州市综合测试一设S n为数列{a n}的前n项和，a1＝2，对任意，q∈N*，都有a＋q＝a＋a q，那么fn＝错误!n∈N*的最小值为________．解析：a1＝2，对任意，q∈N*，都有a＋q＝a＋a q，令＝1，q＝n，那么有a n＝a n＋a1＝a n＋2，故{a n}是等差数列，所以a n＝2n，S n＝2×错误!＝n2＋n，fn ＋1＝错误!＝错误!＝错误!＝n＋1＋错误!－1当n＋1＝8时，f7＝8＋错误!－1＝错误!；当n＋1＝7时，f6＝7＋错误!－1＝错误!，因为错误!<错误!，那么fn＝错误!n∈N*的最小值为错误!答案：错误!。

浙江高考数学第二轮复习专题练习：《圆》【复习目标】掌握圆的方程；掌握直线与圆的位置关系，会根据条件求弦长（取值范围、最值等），能解决圆与直线、圆锥曲线相关联时的综合问题.一、单选题1．（2020·全国高考真题（文））已知圆x2+y2−6x=0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1 B．2 C．3D．42．（2020·北京高考真题）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A．4B．5C．6D．73．（2020·全国高考真题（理））若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x−y−3=0的距离为（）A．√55B．2√55C．3√55D．4√554．（2020·全国高考真题（理））若直线l与曲线y=√x和x2+y2=15都相切，则l的方程为（）A．y=2x+1B．y=2x+12C．y=12x+1D．y=12x+125．（2013·重庆高考真题（理））已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．5﹣4B．1C．6﹣2D．6．（2020·全国高考真题（理））已知⊙M：x2+y2−2x−2y−2=0，直线l：2x+y+2=0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA,PB，切点为A,B，当|PM|⋅|AB|最小时，直线AB的方程为（）A．2x−y−1=0B．2x+y−1=0C．2x−y+1=0D．2x+y+1=0二、多选题7．（2020·海南高考真题）已知曲线C:mx2+ny2=1.（）A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B ．若m =n >0，则C 是圆，其半径为√nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =±√−mn xD ．若m =0，n >0，则C 是两条直线三、填空题8．（2020·天津高考真题）已知直线x −√3y +8=0和圆x 2+y 2=r 2(r >0)相交于A,B 两点．若||6AB ，则r 的值为_________．9．（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．10．（2009·全国高考真题（文））已知圆O ：和点A （1，2），则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于_________11．（2010·天津高考真题（理））已知圆C 的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与圆C 相交于两点，且，则圆C 的方程为__________________.12．（2018·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l:y =2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CD ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，则点A 的横坐标为________．13．（2017·天津高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠FAC =120°，则圆的方程为____________ .14．（2017·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，A （-12,0），B （0,6），点P 在圆O ：x 2+y 2=50上，若PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ·PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ≤20，则点P 的横坐标的取值范围是_________ 五、双空题15．（2020·浙江高考真题）设直线l:y =kx +b(k >0)与圆x 2+y 2=1和圆(x −4)2+y 2=1均相切，则k =_______；b =______．16．（2019·浙江高考真题）已知圆C的圆心坐标是(0,m)，半径长是r.若直线2x−y+3=0与圆相切于点A(−2,−1)，则m=_____，r=______.四、解答题17．（2012·湖南高考真题（文））在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为1的椭圆E的2一个焦点为圆C：x2+y2−4x+2=0的圆心．（Ⅰ）求椭圆E的方程；的直线l1，l2，当直线l1，l2都与圆C相切（Ⅰ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为12时，求P的坐标．18．（2019·北京高考真题（理））已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅰ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．参考答案1．B【分析】当直线和圆心与点(1,2)的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.【详解】圆x2+y2−6x=0化为(x−3)2+y2=9，所以圆心C坐标为C(3,0)，半径为3，设P(1,2)，当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时|CP|=√(3−1)2+(−2)2=2√2根据弦长公式得最小值为2√9−|CP|2=2√9−8=2. 故选：B.2．A【分析】求出圆心C的轨迹方程后，根据圆心M到原点O的距离减去半径1可得答案.【详解】设圆心C(x,y)，则√(x−3)2+(y−4)2=1，化简得(x−3)2+(y−4)2=1，所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆，所以|OC|+1≥|OM|=√32+42=5，所以|OC|≥5−1=4，当且仅当C在线段OM上时取得等号，故选：A.3．B【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(a,a),a>0，可得圆的半径为a，写出圆的标准方程，利用点(2,1)在圆上，求得实数a的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线2x−y−3=0的距离.【详解】由于圆上的点(2,1)在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(a,a )，则圆的半径为a ， 圆的标准方程为(x −a )2+(y −a )2=a 2. 由题意可得(2−a )2+(1−a )2=a 2， 可得a 2−6a +5=0，解得1a =或a =5， 所以圆心的坐标为(1,1)或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为225532555d ⨯--== 圆心到直线2x −y −3=0的距离均为d =√5=2√55； 所以，圆心到直线2x −y −3=0的距离为2√55.故选：B. 4．D 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】设直线l 在曲线y =√x 上的切点为(x 0,√x 0)，则x 0>0， 函数y =√x 的导数为y ′=2√x ，则直线l 的斜率k =2√x ，设直线l 的方程为y −√x 0=2x x −x 0)，即x −2√x 0y +x 0=0，由于直线l 与圆x 2+y 2=15相切，则01+4x =√5，两边平方并整理得5x 02−4x 0−1=0，解得x 0=1，x 0=−15（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即y =12x +12. 故选：D.5．A【解析】如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：=5﹣4．故选A．6．D【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点A,P,B,M共圆，且AB⊥MP，根据|PM|⋅|AB|=4S△PAM=4|PA|可知，当直线MP⊥l时，|PM|⋅|AB|最小，求出以MP为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB的方程．【详解】圆的方程可化为(x−1)2+(y−1)2=4，点M到直线l的距离为d=2×1+1+2√22+12=√5>2，所以直线l与圆相离．依圆的知识可知，四点A,P,B,M四点共圆，且AB⊥MP，所以|PM|⋅|AB|=4S△PAM=4×12×|PA|×|AM|=4|PA|，而|PA|=√|MP|2−4，当直线MP⊥l时，|MP|√5min，|PA|min，此时|PM|⋅|AB|最小．∴MP:y−1=12(x−1)即y=12x+12，由{y=12x+122x+y+2=0解得，{x=−1y=0．所以以MP为直径的圆的方程为(x−1)(x+1)+y(y−1)=0，即x2+y2−y−1=0，两圆的方程相减可得：2x+y+1=0，即为直线AB的方程．故选：D.7．ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，m>n>0时表示椭圆，m=n>0时表示圆，mn<0时表示双曲线，m=0,n>0时表示两条直线.【详解】对于A，若m>n>0，则mx2+ny2=1可化为x 21 m +y21n=1，因为m>n>0，所以1m <1n，即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；对于B，若m=n>0，则mx2+ny2=1可化为x2+y2=1n，此时曲线C表示圆心在原点，半径为√nn的圆，故B不正确；对于C，若mn<0，则mx2+ny2=1可化为x 21 m +y21n=1，此时曲线C表示双曲线，由mx2+ny2=0可得y=±√−mnx，故C正确；对于D，若m=0,n>0，则mx2+ny2=1可化为y2=1n，y=±√nn，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确；故选：ACD.8．5【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d，进而利用弦长公式|AB|=2√r2−d2，即可求得r．【详解】因为圆心(0,0)到直线x−√3y+8=0的距离d=√1+3=4，由|AB|=2√r2−d2可得6=2√r2−42，解得r=5．故答案为：5．9．(x-1)2+y2=4.【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果.【详解】抛物线y2=4x中，2p=4，p=2，焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1， 以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4. 10．254【解析】试题分析：由题意知，点A 在圆上，切线斜率为−1K OA =−121=−12，用点斜式可直接求出切线方程为：y-2=−12（x-1）， 即x+2y-5=0，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和52， 所以，所求面积为12×52×5=25411．x 2+(y −1)2=10 【解析】抛物线的焦点为(1,0)，所以圆心坐标为(0,1)，r 2=32+(0−3−2)252=10，圆C 的方程为x 2+(y −1)2=10. 12．3 【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.详解：设A (a,2a )(a >0)，则由圆心C 为AB 中点得C (a+52,a),易得⊙C:(x −5)(x −a )+y (y −2a )=0，与y =2x 联立解得点D 的横坐标x D =1,所以D (1,2).所以AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(5−a,−2a ),CD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1−a+52,2−a)，由AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅CD ⃑⃑⃑⃑⃑ =0得(5−a )(1−a+52)+(−2a )(2−a )=0,a 2−2a −3=0,a =3或a =−1，因为a >0，所以a =3.13． (x +1)2+(y −√3)2=1 【解析】设圆心坐标为C(−1,m)，则A(0,m)，焦点F(1,0)，AC⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,0),AF ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,−m )cos∠CAF =AC⃑⃑⃑⃑⃑ ∙AF ⃑⃑⃑⃑⃑ |AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|∙|AF|⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =√1+m2=−12,m =±√3， 由于圆C 与y 轴得正半轴相切，则取m ，所求圆得圆心为(−1,√3)，半径为1， 所求圆的方程为(x +1)2+(y −√3)2=1.14．[−5√2,1] 【解析】设P(x,y)，由PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ≤20，易得2x −y +5≤0，由{2x −y +5=0x 2+y 2=50，可得A:{x =−5y =−5或B:{x =1y =7，由2x −y +5≤0得P 点在圆左边弧AB⏜上，结合限制条件−5√2≤x ≤5√2，可得点P 横坐标的取值范围为[−5√2,1]．15．√33−2√33【分析】由直线与两圆相切建立关于k ，b 的方程组，解方程组即可. 【详解】设C 1:x 2+y 2=1，C 2:(x −4)2+y 2=1，由题意，C 1,C 2到直线的距离等于半径，即√k 2+12=1，√k 2+12=1，所以|b|=|4k +b |，所以k =0（舍）或者b =−2k ， 解得k =√33,b =−2√33. 故答案为：√33;−2√3316．m =−2 r =√5 【分析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0,m)代入后求得m ，计算得解. 【详解】11可知k AC =−12⇒AC:y +1=−12(x +2)，把(0,m)代入得m =−2，此时r =|AC|=√4+1=√5.17．（Ⅰ）x 216+y 212=1.（Ⅰ）()2,3-，或(−2,−3)，或(185,√575)，或(185,−√575). 【解析】（1）圆的标准方程为(x −2)2+y 2=2，圆心为(2,0)，所以c =2，又e =ca =12，a =4，b 2=a 2−c 2=12，而据题意椭圆的方程是标准方程，故其方程为x 216+y 212=1．（2）设P (x 0,y 0)，得l 1:y −y 0=k 1(x −x 0),l 2:y −y 0=k 2(x −x 0) ∵k 1k 2=12，依题意C (2,0)到l 1的距离为1010√1+k 1=√2整理得[(2−x 0)2−2]k 12+2(2−x 0)y 0k 1+y 02−2=0同理[(2−x 0)2−2]k 22+2(2−x 0)y 0k 2+y 02−2=0∴k 1k 2是方程[(2−x 0)2−2]k 2+2(2−x 0)y 0k +y 02−2=0的两实根{(2−x 0)2−2≠0Δ=8[(2−x 0)2+y 02−2]>0k 1k 2=y 02−2(2−x0)2−2=12∴{x 0216+y 0212=1(2−x 0)2−2=2(y 02−2)⇒P (−2,3)或P (−2,−3)或(185,√575)或(185,−√575) 考点：（1）椭圆的标准方程；（2）圆的切线．18．(Ⅰ) x 2=−4y ，y =1； 【解析】(Ⅰ)将点(2,−1)代入抛物线方程：22=2p ×(−1)可得：p =2， 故抛物线方程为：x 2=−4y ，其准线方程为：y =1. (Ⅰ)很明显直线l 的斜率存在，焦点坐标为(0,−1)，设直线方程为y =kx −1，与抛物线方程x 2=−4y 联立可得：x 2+4kx −4=0. 故：x 1+x 2=−4k,x 1x 2=−4.设M (x 1,−x 124),N (x 2,−x224)，则k OM =−x 14,k ON =−x24，直线OM的方程为y=−x14x，与y=−1联立可得：A(4x1,−1)，同理可得B(4x2,−1)，易知以AB为直径的圆的圆心坐标为：(2x1+2x2,−1)，圆的半径为：|2x1−2x2|，且：2x1+2x2=2(x1+x2)x1x2=2k，|2x1−2x2|=2×√(x1+x2)2−4x1x2|x1x2|=2√k2+1，则圆的方程为：(x−2k)2+(y+1)2=4(k2+1)，令x=0整理可得：y2+2y−3=0，解得：y1=−3,y2=1，即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0,−3),(0,1).12。

高考仿真模拟练(一)(时间：120分钟；满分：150分)选择题部分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x <1，且x ∈Z }，则A ∩B ＝( ) A ．{－1} B ．{0} C ．{－1，0}D ．{0，1}2．若复数1＋a i2－i (i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为( )A ．2 B.12 C ．－12D ．－23．设a ∈R ，则“a ＞0”是“a ＋2a≥22”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A ．(1，3)B ．(－1，3)C ．(1，3)和(－1，3)D ．(1，－3)5．函数y ＝|x |axx(a >1)的图象大致形状是( )6．已知变量x ，y 满足约束条件{x －2y ≥－2，x －y ≤0，x ≥－4，若不等式2x －y ＋m 2≥0恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．[－6，6]B ．[－7，7]C ．(－∞，－6]∪[6，＋∞)D ．(－∞，－7]∪[7，＋∞)7．随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝2，则D (2X －3)＝( )A.2 B．3C．4 D．58．已知平面向量a，b，c满足c＝x a＋y b(x，y∈R)，且a·c>0，b·c>0.( )A．若a·b<0则x>0，y>0 B．若a·b<0则x<0，y<0C．若a·b>0则x<0，y<0 D．若a·b>0则x>0，y>09.如图，四棱锥P­ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小为( )A．90°B．75°C．60°D．45°10．若函数f(x)＝2x＋1－x2－2x－2，对于任意的x∈Z且x∈(－∞，a)，f(x)≤0恒成立，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，－1] B．(－∞，0]C．(－∞，3] D．(－∞，4]二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．11．设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点A(0，2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则F到l的距离为________，|FB|＝________．12.某几何体的三视图如图所示，当xy取得最大值为________时，该几何体的体积是________．13．在△ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，S为△ABC的面积．已知a＝4，b＝5，C＝2A，则c＝________，S＝________．14．已知数列{a n }满足a 1＝2且对任意的m ，n ∈N *，都有a n ＋ma m＝a n ，则a 3＝________；{a n }的前n 项和S n ＝________．15．安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行暑期社会实践活动，每个城市至少安排一人，则不同的安排方式共有________种．(用数字作答)16．已知f (x )＝x 3＋ax －2b ，如果f (x )的图象在切点P (1，－2)处的切线与圆(x －2)2＋(y ＋4)2＝5相切，那么3a ＋2b ＝________．17．若二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋m x 2n展开式的二项式系数之和为32，常数项为10，则实数m 的值为________．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．(本题满分14分)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2(x －π6)，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．19.(本题满分15分)在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，侧面AA 1B 1B 是边长为2的正方形，点C 在平面AA 1B 1B 上的射影H 恰好为A 1B 的中点，且CH ＝3，设D 为CC 1的中点．(1)求证：CC 1⊥平面A 1B 1D ；(2)求DH 与平面AA 1C 1C 所成角的正弦值．20．(本题满分15分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，公差d ≠0，且S 1，S 3，S 9成等比数列，数列{b n }满足b 1S 1＋b 2S 2＋…＋b n S n ＝6－n 2＋4n ＋62n(n ∈N *)，{b n }的前n 项和为T n .(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)记R n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1，试比较R n 与12T n 的大小．21.(本题满分15分)已知抛物线y 2＝2px ，过焦点且垂直x 轴的弦长为6，抛物线上的两个动点A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)，其中x 1≠x 2且x 1＋x 2＝4，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C .(1)求抛物线方程；(2)试证线段AB 的垂直平分线经过定点，并求此定点； (3)求△ABC 面积的最大值．22．(本题满分15分)已知函数f (x )＝ln x ＋x 2－ax ＋2，(a ∈R )在定义域内不单调．(1)求实数a 的取值范围；(2)若函数f (x )存在3个不同的零点，证明：存在m ，n ∈(0，＋∞)，使得f （m ）－f （n ）m －n<22－3.高考仿真模拟练(一)1．解析：选C.依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x <1，x ∈Z }＝{－1，0}，选C.2．解析：选A.法一：由题意得1＋a i 2－i ＝（1＋a i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝2－a ＋（1＋2a ）i 5＝2－a5＋1＋2a 5i 为纯虚数，则2－a 5＝0，且1＋2a5≠0，解得a ＝2.故选A. 法二：由题意，令1＋a i 2－i ＝t i(t ≠0)，则1＋a i ＝t ＋2t i ，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝t ，a ＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝1，a ＝2.3．解析：选C.由a ＞0得，a ＋2a≥2a ·2a＝22，所以是充分条件； 由a ＋2a≥22可得a ＞0，所以是必要条件，故“a ＞0”是“a ＋2a≥22”的充要条件．故选C.4．解析：选C.f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，所以P (1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C.5．解析：选B.当x >0时，y ＝a x，因为a >1，所以是增函数，排除C 、D ，当x <0时，y ＝－a x，是减函数，所以排除A.故选B.6．解析：选D.作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥－2，x －y ≤0，x ≥－4所对应的可行域(图中阴影部分)，令z ＝－2x ＋y ， 当直线经过点A (－4，－1)时，z 取得最大值， 即z max ＝－2×(－4)－1＝7，所以m 的取值范围为(－∞，－7]∪[7，＋∞)，故选D.7．解析：选C.由题意可得：16＋p ＋13＝1，解得p ＝12，因为E (X )＝2，所以0×16＋2×12＋a ×13＝2，解得a ＝3.D (X )＝(0－2)2×16＋(2－2)2×12＋(3－2)2×13＝1.D (2X －3)＝4D (X )＝4.故选C.8．解析：选A.由a ·c >0，b ·c >0，若a ·b <0， 可举a ＝(1，1)，b ＝(－2，1)，c ＝(0，1)， 则a ·c ＝1>0，b ·c ＝1>0，a ·b ＝－1<0， 由c ＝x a ＋y b ，即有0＝x －2y ，1＝x ＋y ， 解得x ＝23，y ＝13，则可排除B ；若a·b >0，可举a ＝(1，0)，b ＝(2，1)，c ＝(1，1)， 则a ·c ＝1>0，b ·c ＝3>0，a ·b ＝2>0，由c ＝x a ＋y b ，即有1＝x ＋2y ，1＝y ，解得x ＝－1，y ＝1， 则可排除C ，D.故选A. 9．解析：选A.延长DA 至E ，使AE ＝DA ，连接PE ，BE ，因为∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ，所以DE ＝BC ，DE ∥BC . 所以四边形CBED 为平行四边形． 所以CD ∥BE .所以∠PBE (或其补角)就是异面直线CD 与PB 所成的角． 在△PAE 中，AE ＝PA ，∠PAE ＝120°， 由余弦定理得PE ＝PA 2＋AE 2－2·PA ·AE ·cos ∠PAE＝AE 2＋AE 2－2·AE ·AE ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3AE .在△ABE 中，AE ＝AB ，∠BAE ＝90°， 所以BE ＝2AE .因为△PAB 是等边三角形， 所以PB ＝AB ＝AE .因为PB 2＋BE 2＝AE 2＋2AE 2＝3AE 2＝PE 2，所以∠PBE ＝90°.故选A. 10．解析：选D.f (x )＝2x ＋1－x 2－2x －2≤0，即2x ＋1≤x 2＋2x ＋2.设g (x )＝2x ＋1，h (x )＝x2＋2x ＋2，当x ≤－1时，0＜g (x )≤1，h (x )＝x 2＋2x ＋2≥1，所以当a ≤－1时，满足对任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )，f (x )≤0恒成立；当－1＜x ＜4时，因为g (0)＝h (0)＝2，g (1)＝4＜h (1)＝5，g (2)＝8＜h (2)＝10，g (3)＝16＜h (3)＝17，所以当－1＜a ≤4时，亦满足对任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )，f (x )≤0恒成立；当x ≥4时，易知f ′(x )＝2x ＋1·ln 2－2x －2，设F (x )＝2x ＋1·ln 2－2x －2，则F ′(x )＝2x ＋1·(ln 2)2－2＞0，所以F (x )＝2x ＋1·ln 2－2x－2在[4，＋∞)上是增函数，所以f ′(x )≥f ′(4)＝32ln 2－10＞0，所以函数f (x )＝2x ＋1－x 2－2x －2在[4，＋∞)上是增函数，所以f (x )≥f (4)＝32－16－8－2＝6＞0，即当a ＞4时，不满足对任意的x ∈Z 且x ∈(－∞，a )，f (x )≤0恒成立．综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，4]．11．解析：依题意可知F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p4，1，代入抛物线方程解得p ＝2，所以F 到l 的距离为2，|FB |＝p 4＋p 2＝324.答案： 2 32412.解析：分析题意可知，该几何体为如图所示的四棱锥P ­ABCD ，CD ＝y2，AB ＝y ，AC ＝5，CP ＝7，BP ＝x ，所以BP 2＝BC 2＋CP 2，即x 2＝25－y 2＋7，x 2＋y 2＝32≥2xy ，则xy ≤16，当且仅当x ＝y ＝4时，等号成立．此时该几何体的体积V ＝13×2＋42×3×7＝37.答案：16 37 13．6157414．解析：因为a n ＋m a m＝a n ，所以a n ＋m ＝a n ·a m ，所以a 3＝a 1＋2＝a 1·a 2＝a 1·a 1·a 1＝23＝8；令m ＝1，则有a n ＋1＝a n ·a 1＝2a n ，所以数列{a n }是首项为a 1＝2，公比q ＝2的等比数列，所以S n ＝2（1－2n）1－2＝2n ＋1－2.答案：8 2n ＋1－215．解析：根据题意，按五名同学分组的不同分2种情况讨论；①五人分为2，2，1的三组，有C 25C 23C 11A 22＝15(种)分组方法，对应三个暑期社会实践活动，有15×A 33＝90(种)安排方案；②五人分为3，1，1的三组，有C 35C 12C 11A 22＝10(种)分组方法，对应三个暑期社会实践活动，有10×A 33＝60(种)安排方案；综上，共有90＋60＝150(种)不同的安排方案． 答案：15016．解析：由题意得f (1)＝－2⇒a －2b ＝－3，又因为f ′(x )＝3x 2＋a ，所以f (x )的图象在点(1，－2)处的切线方程为y ＋2＝(3＋a )(x －1)，即(3＋a )x －y －a －5＝0，所以|（3＋a ）×2＋4－a －5|（3＋a ）2＋1＝5⇒a ＝－52，所以b ＝14，所以3a ＋2b ＝－7. 答案：－717．解析：因为二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋m x 2n展开式的二项式系数之和为32，所以2n＝32，所以n ＝5，因为T r ＋1＝C r5(x )5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫m x 2r＝C r 5m r x 52－52r ，令52－52r ＝0，得r ＝1，所以常数项为C 15m ＝10，所以m ＝2.答案：218．解：(1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.19．解：(1)证明：如图，以H 为原点，建立空间直角坐标系，则C (0，0，3)，C 1(2，2，3)，A 1(2，0，0)，B 1(0，2，0)，所以CC 1→＝(2，2，0)，A 1D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，3， B 1D →＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，3，所以CC 1→·A 1D →＝0，CC 1→·B 1D →＝0， 因此CC 1⊥平面A 1B 1D .(2)设平面AA 1C 1C 的法向量n ＝(1，x ，y )，由于AA 1→＝(2，2，0)，A 1C →＝(－2，0，3)， 则n ·AA 1→＝2＋2x ＝0，n ·A 1C →＝－2＋3y ＝0，得x ＝－1，y ＝63，所以n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，63. 又HD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，3，所以sin θ＝|HD →·n ||HD →|·|n |＝22·263＝34.20．解：(1)由已知得S 23＝S 1·S 9， 即(3＋3d )2＝9＋36d ，又d ≠0，所以d ＝2，所以a n ＝2n －1，S n ＝n 2， 由b 1×12＋b 2×22＋…＋b n ×n 2＝6－n 2＋4n ＋62n得b 1＝12，n ≥2时，b n ×n 2＝6－n 2＋4n ＋62n －6＋（n －1）2＋4（n －1）＋62n －1＝n 22n ， 所以b n ＝12n ，显然b 1＝12也满足．所以b n ＝12n (n ∈N *)．(2)T n ＝1－12n ，12T n ＝12(1－12n )，R n ＝11×3＋13×5＋…＋1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12(1－12n ＋1)．当n ＝1时，21<2×1＋1＝3，R 1>12T 1；当n ＝2时，22<2×2＋1＝5，R 2>12T 2；当n ≥3时，2n ＝(1＋1)n ＝1＋C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…>1＋n ＋n （n －1）2≥2n ＋1；所以R n <12T n .综上，当n ≤2时，R n >12T n ；当n ≥3时R n <12T n .21．解：(1)由题意，2p ＝6，所以抛物线方程为y 2＝6x .(2)设线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝2，y 0＝y 1＋y 22，k AB ＝y2－y 1x 2－x 1＝3y 0.线段AB 的垂直平分线的方程是y －y 0＝－y 03(x －2)，①由题意知x ＝5，y ＝0是①的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为(5，0)． 所以线段AB 的垂直平分线经过定点C (5，0)．(3)由(2)知直线AB 的方程为y －y 0＝3y 0(x －2)，即x ＝y 03(y －y 0)＋2，②②代入y 2＝6x 得y 2＝2y 0(y －y 0)＋12，即y 2－2y 0y ＋2y 20－12＝0，③依题意，y 1，y 2是方程③的两个实根，且y 1≠y 2，所以Δ>0，－23<y 0<2 3.|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝23（9＋y 20）（12－y 20）.定点C (5，0)到线段AB 的距离h ＝|CM |＝9＋y 20.所以S △ABC ＝13（9＋y 20）（12－y 20）·9＋y 20 ≤1312⎝ ⎛⎭⎪⎫9＋y 20＋24－2y 20＋9＋y 233＝1473.当且仅当9＋y 20＝24－2y 20，即y 0＝±5时等号成立，所以△ABC 面积的最大值为1473.22．解：(1)因为函数f (x )不单调，所以f ′(x )＝1x ＋2x －a ＝0有正根，即a ＝1x ＋2x ≥21x ·2x ＝22，除去等号，所以a >2 2.(2)证明：令f ′(x )＝2x 2－ax ＋1x ＝0的两根为x 1，x 2，且x 1<x 2， 则f (x )在(0，x 1)上单调递增，(x 1，x 2)上单调递减，(x 2，＋∞)上单调递增， 且x 1＋x 2＝a2，x 1·x 2＝12，x 1<22<x 2，a ＝1x 1＋2x 1＝1x 2＋2x 2，因为f (x )存在3个不同的零点，且x →0时，f (x )→－∞，x →＋∞时，f (x )→＋∞， 所以f (x 1)>0，f (x 2)<0，f (x 1)＝ln x 1＋x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋2x 1x 1＋2＝ln x 1－x 21＋1，同理f (x 2)＝ln x 2－x 22＋1，令g (x )＝ln x －x 2＋1，则g ′(x )＝1x －2x <0得x >22，所以g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞上单调递减，因为g (1)＝0，所以x 2>1，又因为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，当x →0时，g (x )→－∞，所以存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12使得g ()x 0＝0，因为g (x 1)>0，所以12x 2＝x 1>x 0，所以1<x 2<12x 0，所以a ＝1x 2＋2x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3，1x 0＋2x 0，令h (x )＝f (x )－(22－3)x ＝ln x ＋x 2－(a ＋22－3)x ＋2， h ′(x )＝1x ＋2x －(a ＋22－3)，h ′(x )min ＝3－a <0，所以h ′(x )＝0有两个根，设为t 1，t 2且t 1<t 2，则h (x )在(t 1，t 2)上单调递减．若t 1<m <n <t 2，则h (m )>h (n )，即f (m )－f (n )>(22－3)(m －n )，即f （m ）－f （n ）m －n <22－3；若t 1<n <m <t 2同理可证，所以对于任意的m ，n ∈(t 1，t 2)，不等式f （m ）－f （n ）m －n <22－3成立；即存在m ，n ∈(0，＋∞)使得f （m ）－f （n ）m －n <22－3成立．。

小题分类练(一) 概念辨析类1．已知i 为虚数单位，a ∈R ，如果复数2i －a i 1－i是实数，则a 的值为( ) A ．－4B ．2C ．－2D ．42．幂函数y ＝f (x )经过点(2，2)，则f (9)为( )A ．81B.13C.181 D ．33．设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，则满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．34．下列结论正确的是( )A ．若|a |＝0，则a ＝0B ．若a ，b 是两个单位向量，则a ＝bC ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝cD ．若AB ＝AC ，则AB →＝AC →5．下列命题中，错误的是( )A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆D ．圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形6．下列四条直线中，倾斜角最大的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝2x ＋1C ．y ＝－x ＋1D ．x ＝1 7．已知直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点(A ，B 在同一支上)，F 1，F 2为双曲线的两个焦点，则F 1，F 2在( )A ．以A ，B 为焦点的椭圆上或线段AB 的垂直平分线上B ．以A ，B 为焦点的双曲线上或线段AB 的垂直平分线上C ．以AB 为直径的圆上或线段AB 的垂直平分线上D ．以上说法均不正确8．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4的值为( ) A ．－7210B.7210 C ．－210 D.210 9．已知数列{a n }中，a n ＋1＝3S n ，则下列关于{a n }的说法正确的是( )A ．一定为等差数列B ．一定为等比数列C ．可能为等差数列，但不会为等比数列D ．可能为等比数列，但不会为等差数列10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)满足条件：(1)焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)；(2)离心率为53，求得双曲线C 的方程为f (x ，y )＝0.若去掉条件(2)，另加一个条件求得双曲线C 的方程仍为f (x ，y )＝0，则下列四个条件中，符合添加的条件共有( )①双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1上的任意点P 都满足||PF 1|－|PF 2||＝6； ②双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的虚轴长为4； ③双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的一个顶点与抛物线y 2＝6x 的焦点重合； ④双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为4x ±3y ＝0. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个11．双曲线y 25－x 24＝1的焦点坐标为________，渐近线方程为________． 12．已知锐角α的终边上一点P 的坐标为(1＋cos 40°，sin 40°)，则锐角α＝________．13．函数g (x )＝2x －12x ＋1为________(填“奇”或“偶”)函数，函数f (x )＝22x ＋1＋1的对称中心为________．14．设各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝80，S 2＝8，则公比q ＝________，a 5＝________．15．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________．16．已知点M (5，0)，N (－5，0)，△MNP 的周长为36，则△MNP 的顶点P 的轨迹方程为________________．17．给出下列四个函数：①y ＝2x ；②y ＝log 2x ；③y ＝x 2；④y ＝x .当0<x 1<x 2<1时，使f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f （x 1）＋f （x 2）2恒成立的函数的序号是________．小题分类练(一)1．解析：选D.依题意，复数2i －a i1－i ＝2i －a i （1＋i ）（1＋i ）（1－i ）＝a ＋（4－a ）i 2是实数，因此4－a ＝0，a ＝4，故选D.2．解析：选D.设f (x )＝x α，由题意得2＝2α，所以α＝12.所以f (x )＝x 12，所以f (9)＝912＝3，故选D.3．解析：选C.由题中集合可知，集合A 表示直线x ＋y ＝1上的点，集合B 表示直线x －y ＝3上的点，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝3，可得A ∩B ＝{(2，－1)}，M 为A ∩B 的子集，可知M 可能为{(2，－1)}，∅，所以满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是2.4．解析：选C.根据向量的概念可知选C.5．解析：选B.根据棱台的定义，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台．6．解析：选C.直线方程y ＝x ＋1的斜率为1，倾斜角为45°，直线方程y ＝2x ＋1的斜率为2，倾斜角为α(60°<α<90°)，直线方程y ＝－x ＋1的斜率为－1，倾斜角为135°，直线方程x ＝1的斜率不存在，倾斜角为90°.所以直线y ＝－x ＋1的倾斜角最大．7．解析：选B.当直线l 垂直于实轴时，易知F 1，F 2在AB 的垂直平分线上；当直线l 不垂直于实轴时，不妨设双曲线焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为双曲线的左，右焦点，且A ，B 都在右支上，由双曲线定义知：|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，则|AF 2|－|BF 2|＝|AF 1|－|BF 1|＜|AB |，由双曲线定义可知，F 1，F 2在以A ，B 为焦点的双曲线上，故选B.8．解析：选D.由三角函数的定义得tan θ＝2，cos θ＝±55，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－43，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35，所以sin 2θ＝cos 2θtan 2θ＝45，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝22(sin 2θ＋cos 2θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫45－35＝210，故选D. 9．解析：选C.若数列{a n }中所有的项都为0，则满足a n ＋1＝3S n ，所以数列{a n }可能为等差数列，故B ，D 不正确；由a n ＋1＝3S n ，得a n ＋2＝3S n ＋1，则a n ＋2－a n ＋1＝3(S n ＋1－S n )＝3a n ＋1，所以a n ＋2＝4a n ＋1，当a 1≠0时，易知a n ＋1≠0，所以a n ＋2a n ＋1＝4，由a n ＋1＝3S n ，得a 2＝3a 1，即a 2a 1＝3，此时数列{a n }既不是等比数列又不是等差数列，故A 不正确，C 正确．10．解析：选B.①由||PF 1|－|PF 2||＝6，得a ＝3，又c ＝5，所以离心率为53，①符合；②中b ＝2，c ＝5，a ＝21，此时离心率等于52121，②不符合；③中a ＝32，c ＝5，此时离心率等于103，也不符合；④渐近线方程为4x ±3y ＝0，所以b a ＝43，离心率为53，④符合．所以正确的条件有2个．11．解析：因为a 2＝5，b 2＝4，所以c 2＝a 2＋b 2＝9.则焦点坐标为(0，±3)．渐近线方程为y ＝±52x . 答案：(0，±3) y ＝±52x 12．解析：由题意知tan α＝sin 40°1＋cos 40°＝2sin 20°cos 20°1＋2cos 220°－1＝tan 20°，所以α＝20°.答案：20°13．解析：易知函数g (x )＝2x －12x ＋1为奇函数，图象关于原点对称， 又f (x )＝22x ＋1＋1＝－g (x )＋2， 所以函数f (x )的图象的对称中心为(0，2)．答案：奇 (0，2)14．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝8a 1＋a 1q ＋q 2（a 1＋a 1q ）＝80 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，q ＝－3(舍去)，从而a 5＝a 1q 4＝2×34＝162. 答案：3 16215．解析：由椭圆的方程得a ＝3，设椭圆的另一个焦点为F ，则由椭圆的定义得|BA |＋|BF |＝|CA |＋|CF |＝2a ，所以△ABC 的周长为|BA |＋|BF |＋|CF |＋|CA |＝2a ＋2a ＝4a ＝4 3.答案：4 316．解析：设P (x ，y )，易知|MN |＝10，|PM |＋|PN |＝36－|MN |＝26>10，所以顶点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，但与M ，N 不共线．设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则2a ＝26，c ＝5，所以a ＝13，b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144，所以△MNP 的顶点P 的轨迹方程为x 2169＋y 2144＝1(y ≠0)．答案：x 2169＋y 2144＝1(y ≠0) 17．解析：由题意知满足条件的函数图象形状为：故符合图象形状的函数为y＝log2x，y＝x. 答案：②④。

专题强化训练 [基础达标]1．已知集合P ＝{x ∈R |1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R |x 2≥4}，则P ∪(∁R Q )＝( ) A ．[2，3] B ．(－2，3]C ．[1，2)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：选B.由于Q ＝{x |x ≤－2或x ≥2}，∁R Q ＝{x |－2＜x ＜2}，故得P ∪(∁R Q )＝{x |－2＜x ≤3}．故选B.2．(2019·金华模拟)已知集合A ＝{y |y ＝log 2x ，x ＞2}，B ＝{y |y ＝⎝⎛⎭⎫12x，x ＜1}，则A ∩B ＝( ) A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫12，1解析：选A.法一：因为A ＝{y |y ＝log 2x ，x ＞2}＝{y |y ＞1}，B ＝{y |y ＝⎝⎛⎭⎫12x，x ＜1}＝{y |y ＞12}，所以A ∩B ＝{y |y ＞1}，故选A. 法二：取2∈A ∩B ，则由2∈A ，得log 2x ＝2，解得x ＝4＞2，满足条件，同时由2∈B ，得⎝⎛⎭⎫12x＝2，x ＝－1，满足条件，排除选项B ，D ；取1∈A ∩B ，则由1∈A ，得log 2x ＝1，解得x ＝2，不满足x ＞2，排除C ，故选A.3．(2019·温州市统一模拟考试)已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0，a ∈A }，若A ∩B ≠∅，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．1或2解析：选B.当a ＝1时，B 中元素均为无理数，A ∩B ＝∅；当a ＝2时，B ＝{1，2}，A ∩B ＝{1，2}≠∅；当a ＝3时，B ＝∅，则A ∩B ＝∅，故a 的值为2，选B.4．(2019·湖北七市(州)协作体联考)已知a ，b 为两个非零向量，设命题p ：|a ·b |＝|a ||b |，命题q ：a 与b 共线，则命题p 是命题q 成立的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.|a ·b |＝|a ||b |⇔|a ||b ||cos 〈a ，b 〉|＝|a ||b |⇔cos 〈a ，b 〉＝±1⇔a ∥b ，故是充要条件，选C.5．(2019·衢州质检)已知全集U 为R ，集合A ＝{x |x 2<16}，B ＝{x |y ＝log 3(x －4)}，则下列关系正确的是( )A ．A ∪B ＝R B ．A ∪(∁U B )＝RC ．(∁U A )∪B ＝RD ．A ∩(∁U B )＝A解析：选D.因为A ＝{x |－4<x <4}，B ＝{x |x >4}， 所以∁U B ＝{x |x ≤4}，所以A ∩(∁U B )＝A ，故选D.6．“不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( ) A ．m ＞14B ．0＜m ＜1C ．m ＞0D ．m ＞1 解析：选C.若不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m ＜0，解得m ＞14，因此当不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立时，必有m ＞0，但当m ＞0时，不一定推出不等式在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m ＞0，故选C.7．设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由题意得，a n ＝a 1q n －1(a 1>0)，a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －2＋a 1q 2n －1＝a 1q 2n －2(1＋q )．若q <0，因为1＋q 的符号不确定，所以无法判断a 2n －1＋a 2n 的符号；反之，若a 2n －1＋a 2n <0，即a 1q 2n －2(1＋q )<0，可得q <－1<0.故“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的必要而不充分条件，故选C.8．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x >1，则x 2>1”的否命题 B ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若tan x ＝3，则x ＝π3”的逆否命题 解析：选B.对于选项A ，命题“若x >1，则x 2>1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x 2＝4>1，故选项A 为假命题；对于选项B ，命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题为“若x >|y |，则x >y ”，分析可知选项B 为真命题；对于选项C ，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故选项C 为假命题；对于选项D ，命题“若tan x ＝3，则x ＝π3”的逆否命题为“若x ≠π3，则tan x≠3”，易知当x ＝4π3时，tan x ＝3，故选项D 为假命题．综上可知，选B.9．(2019·浙江五校联考模拟)已知棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列命题不正确的是( )A ．平面ACB 1∥平面A 1C 1D ，且两平面的距离为33B ．点P 在线段AB 上运动，则四面体P A 1B 1C 1的体积不变 C ．与所有12条棱都相切的球的体积为23π D ．M 是正方体的内切球的球面上任意一点，N 是△AB 1C 外接圆的圆周上任意一点，则|MN |的最小值是3－22解析：选D.A.因为AB 1∥DC 1，AC ∥A 1C 1， 且AC ∩AB 1＝A ，所以平面ACB 1∥平面A 1C 1D ， 正方体的体对角线BD 1＝3， 设B 到平面ACB 1的距离为h ，则V B ­AB 1C ＝13×12×1×1×1＝13×12×2×2×32h ，即h ＝33，则平面ACB 1与平面A 1C 1D 的距离d ＝3－2h ＝3－2×33＝33，故A 正确． B ．点P 在线段AB 上运动，则四面体P A 1B 1C 1的高为1，底面积不变，则体积不变，故B 正确，C ．与所有12条棱都相切的球的直径2R 等于面的对角线B 1C ＝2，则2R ＝2，R ＝22，则球的体积V ＝43πR 3＝43×π×(22)3＝23π，故C 正确．D ．设正方体的内切球的球心为O ，正方体的外接球的球心为O ′， 则三角形ACB 1的外接圆是正方体的外接球O ′的一个小圆，因为点M 在正方体的内切球的球面上运动，点N 在三角形ACB 1的外接圆上运动， 所以线段MN 长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体的内切球的半径， 因为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1， 所以线段MN 长度的最小值是32－12.故D 错误．故选D. 10．设A 是自然数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k 2∉A ，且k ∉A ，那么k 是A 的一个“酷元”，给定S ＝{x ∈N |y ＝lg(36－x 2)}，设M ⊆S ，集合M 中有两个元素，且这两个元素都是M 的“酷元”，那么这样的集合M 有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个解析：选C.由36－x 2>0可解得－6<x <6，又x ∈N ，故x 可取0，1，2，3，4，5，故S ＝{0，1，2，3，4，5}．由题意可知：集合M 不能含有0，1，且不能同时含有2，4.故集合M 可以是{2，3}，{2，5}，{3，5}，{3，4}，{4，5}．11．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{1，2}，Q ＝{－1，0，1}，则集合P *Q 中元素的个数为________．解析：法一(列举法)：当b ＝0时，无论a 取何值，z ＝a b ＝1；当a ＝1时，无论b 取何值，a b ＝1；当a ＝2，b ＝－1时，z ＝2－1＝12；当a ＝2，b ＝1时，z ＝21＝2.故P *Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，2，该集合中共有3个元素．法二：(列表法)：因为a ∈P ，b ∈Q ，所以a 的取值只能为1，2；b 的取值只能为－1，0，1.z ＝a b 的不同运算结果如下表所示：由上表可知P *Q ＝⎩⎨⎭⎬1，12，2，显然该集合中共有3个元素．答案：312．(2019·温州瑞安高考数学模拟)设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，则A ∩(∁U B )＝______，(∁U A )∪B ＝________．解析：因为U ＝{1，2，3，4，5，6}， ∁U B ＝{1，5，6}，∁U A ＝{3，4，5，6}， 所以A ∩(∁U B )＝{1，2}∩{1，5，6}＝{1}，(∁U A )∪B ＝{3，4，5，6}∪{2，3，4}＝{2，3，4，5，6}． 答案：{1} {2，3，4，5，6}13．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．解析：易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题． 答案：114．一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数的充分必要条件是________． 解析：必要性：因为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )， 即k (－x )＋b ＝－(kx ＋b )， 所以b ＝0.充分性：如果b ＝0，那么f (x )＝kx ， 因为f (－x )＝k (－x )＝－kx ， 所以f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数． 答案：b ＝015．A ＝{1，2，3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋b ＝0，a ∈A ，b ∈A }，则A ∩B ＝B 的概率是________． 解析：有序实数对(a ，b )的取值情形共有9种，满足A ∩B ＝B 的情形有： ①(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，2)，(2，3)，(3，3)，此时B ＝∅；②(2，1)，此时B ＝{1}； ③(3，2)，此时B ＝{1，2}． 所以A ∩B ＝B 的概率为P ＝89.答案：8916．设集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R ，x ∈R }，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为________．解析：因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：(1)当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数之间的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4（a ＋1）2－4（a 2－1）＞0，－2（a ＋1）＝－4，a 2－1＝0.解得a ＝1. (2)当B ≠A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}，并且Δ＝ 4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1， 此时B ＝{0}满足题意．(3)当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0， 解得a ＜－1.综上所述，所求实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪{1}． 答案：(－∞，－1]∪{1}17．函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈P ，－x ，x ∈M ，其中P ，M 为实数集R 的两个非空子集，规定f (P )＝{y |y ＝g (x )，x ∈P }，f (M )＝{y |y ＝g (x )，x ∈M }．给出下列四个命题：①若P ∩M ＝∅，则f (P )∩f (M )＝∅； ②若P ∩M ≠∅，则f (P )∩f (M )≠∅； ③若P ∪M ＝R ，则f (P )∪f (M )＝R ； ④若P ∪M ≠R ，则f (P )∪f (M )≠R . 其中命题不正确的有________．解析：①若P ＝{1}，M ＝{－1}，则f (P )＝{1}，f (M )＝{1}，则f (P )∩f (M )≠∅，故①错． ②若P ＝{1，2}，M ＝{1}，则f (P )＝{1，2}， f (M )＝{－1}，则f (P )∩f (M )＝∅.故②错． ③若P ＝{非负实数}，M ＝{负实数}， 则f (P )＝{非负实数}，f (M )＝{正实数}， 则f (P )∪f (M )≠R ，故③错．④若P ＝{非负实数}，M ＝{正实数}， 则f (P )＝{非负实数}，f (M )＝{负实数}， 则f (P )∪f (M )＝R ，故④错． 答案：①②③④[能力提升]1．已知集合P ＝{y |y ＝(12)x ，x ≥0}，Q ＝{x |y ＝lg(2x －x 2)}，则P ∩Q 为( )A ．(0，1]B ．∅C ．(0，2)D ．{0}解析：选A.由已知得，因为x ≥0，且0＜(12)x ≤(12)0＝1，所以P ＝(0，1]，又因为2x －x 2＞0⇒0＜x ＜2，所以Q ＝(0，2)，因此P ∩Q ＝(0，1]，故选A.2．已知z ＝m 2－1＋(m 2－3m ＋2)i(m ∈R ，i 为虚数单位)，则“m ＝－1”是“z 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由题意，当m ＝－1时，z 的实部为(－1)2－1＝0，虚部为(－1)2－3×(－1)＋2＝6，此时z 为纯虚数，即充分性成立；当z 为纯虚数时，有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m 2－3m ＋2≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝±1m ≠2，m ≠1⇒m＝－1，即必要性成立，故选C.3．集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，全集U ＝A ∪B ，则∁U (A ∩B )＝( ) A ．{x |x ＜－1或x ≥1} B ．{x |1≤x ≤3或x ＜－1}C ．{x |x ≤－1或x ＞1}D ．{x |1＜x ≤3或x ≤－1}解析：选B.集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝{x |1－x ＞0}＝{x |x ＜1}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |(x ＋1)(x －3)≤0}＝{x |－1≤x ≤3}，所以U ＝A ∪B ＝{x |x ≤3}， 所以A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1}；所以∁U (A ∩B )＝{x |1≤x ≤3或x ＜－1}． 故选B.4．若x ∈R ，则“x ＞1”是“1x ＜1”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件解析：选A.由x ＞1，一定能得到1x ＜1，但当1x ＜1时，不能推出x ＞1(如x ＝－1时)，故“x＞1”是“1x＜1”的充分非必要条件．5．下面四个条件中，使a ＞b 成立的必要而不充分的条件是( ) A ．a －1＞b B ．a ＋1＞b C ．|a |＞|b |D ．a 3＞b 3解析：选B.“a ＞b ”不能推出“a －1＞b ”，故选项A 不是“a ＞b ”的必要条件，不满足题意；“a ＞b ”能推出“a ＋1＞b ”，但“a ＋1＞b ”不能推出“a ＞b ”，故满足题意；“a ＞b ”不能推出“|a |＞|b |”，故选项C 不是“a ＞b ”的必要条件，不满足题意；“a ＞b ”能推出“a 3＞b 3”，且“a 3＞b 3”能推出“a ＞b ”，故是充要条件，不满足题意．6．(2019·绍兴质检)已知集合A ＝{x |x ＜－2或x ＞1}，B ＝{x |x ＞2或x ＜0}，则(∁R A )∩B ＝( )A ．(－2，0)B ．[－2，0)C ．∅D ．(－2，1)解析：选B.因为集合A ＝{x |x ＜－2或x ＞1}， 所以∁R A ＝{x |－2≤x ≤1}，集合B＝{x|x＞2或x＜0}，所以(∁R A)∩B＝{x|－2≤x＜0}＝[－2，0)，故选B.7．对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是()A．若m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交B．若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥βC．若m⊂α，n∥α，m，n共面于β，则m∥nD．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线解析：选C.A.α∥β时，m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，可以成立，故A错误；B.若m⊥α，m⊥β，则α∥β，因为n∥α，则n∥β或n⊂β，故B错误；C.利用线面平行的性质定理，可得C 正确；D.若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线或相交直线，故D不正确，故选C.8．已知f(x)＝ax2＋bx，其中－1≤a＜0，b＞0，则“存在x∈[0，1]，|f(x)|＞1”是“a＋b ＞1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.因为f(x)＝ax2＋bx，所以a＋b＞1⇔f(1)＞1.因为存在x∈[0，1]，|f(x)|＞1，所以|f(x)|max＞1.因为－1≤a＜0，b＞0，所以函数f(x)的对称轴x＝－b2a＞0.计算：f(0)＝0，f(1)＝a＋b，f(－b2a)＝b2－4a＞0.f(1)＞1，所以f(－b2a)＝b2－4a＞1，反之也成立，若b2＞－4a，则b＞－4a＞1－a.所以“存在x∈[0，1]，|f(x)|＞1”是“a＋b＞1”的充要条件．9．已知全集U＝R，集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是()A ．(－2，1)B ．[－1，0]∪[1，2)C ．(－2，－1)∪[0，1]D ．[0，1]解析：选C.因为集合A ＝{x |x (x ＋2)＜0}，B ＝{x ||x |≤1}，所以A ＝{x |－2＜x ＜0}，B ＝{x |－1≤x ≤1}，所以A ∪B ＝(－2，1]，A ∩B ＝[－1，0)，所以阴影部分表示的集合为∁A ∪B (A ∩B )＝(－2，－1)∪[0，1]，故选C.10．已知各项均不为零的数列{a n }，定义向量c n ＝(a n ，a n ＋1)，b n ＝(n ，n ＋1)，n ∈N *.下列命题中真命题是( )A ．若任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等比数列B ．若任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等比数列C ．若任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等差数列D ．若任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等差数列解析：选 D.c n ⊥b n ⇒c n ·b n ＝na n ＋(n ＋1)a n ＋1＝0，即a n ＋1a n＝－nn ＋1；所以数列{a n }既不是等比数列又不是等差数列；c n ∥b n ⇒(n ＋1)a n －na n ＋1＝0，即a n ＋1a n ＝n ＋1n ；所以a 2a 1×a 3a 2×…×a na n －1＝21×32×…×nn －1＝n (n ≥2)，即a n ＝na 1.所以数列{a n }是等差数列． 11．已知A ＝{0，1，2}，B ＝{－1，3}，记：A ＋B ＝{a ＋b |a ∈A ，b ∈B }，试用列举法表示A ＋B ＝________．解析：因为a ∈A ，b ∈B ， 所以当a ＝0时，a ＋b ＝－1或3， 当a ＝1时，a ＋b ＝0或4， 当a ＝2时，a ＋b ＝1或5，所以A ＋B ＝{－1，0，1，3，4，5}． 答案：{－1，0，1，3，4，5}12．设集合A ＝{1，2，4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}，若A ∩B ＝{1}，则B ＝________． 解析：因为A ∩B ＝{1}，所以1∈B ，所以1是方程x 2－4x ＋m ＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，又因它的解为x＝1或x＝3，所以B＝{1，3}．答案：{1，3}13．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________．解析：A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，则B＝{x|m<x<2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.答案：－1 114．设集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|－x∈A，1－x∉A}，则集合B中元素的个数为________．解析：若x∈B，则－x∈A，故x只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B时，1－0＝1∈A；当－1∈B时，1－(－1)＝2∈A；当－2∈B时，1－(－2)＝3∈A；当－3∈B时，1－(－3)＝4∉A，所以B＝{－3}，故集合B中元素的个数为1.答案：115．给出下列四个命题：①“λ＝0”是“λa＝0”的充分不必要条件；②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的充要条件；④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件．其中正确命题的序号是________．解析：由λ＝0可以推出λa＝0，但是由λa＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确．由AB2＋AC2＝BC2可以推出△ABC是直角三角形，但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确．由a2＋b2≠0可以推出a，b不全为零；反之，由a，b不全为零可以推出a2＋b2≠0，所以④正确．答案：①④16．已知“p：(x－m)2>3(x－m)”是“q：x2＋3x－4<0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．解析：记P＝{x|(x－m)2>3(x－m)}＝{x|(x－m)·(x－m－3)>0}＝{x|x<m或x>m＋3}，Q＝{x|x2＋3x －4<0}＝{x |(x ＋4)(x －1)<0}＝{x |－4<x <1}，p 是q 成立的必要不充分条件，即等价于Q P .所以m ＋3≤－4或m ≥1，解得m ≤－7或m ≥1.答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞)17．(2019·杭州市七校高三联考)下列命题中正确的有________．①常数数列既是等差数列也是等比数列；②在△ABC 中，若sin 2 A ＋sin 2 B ＝sin 2 C ，则△ABC 为直角三角形；③若A ，B 为锐角三角形的两个内角，则tan A tan B >1；④若S n 为数列{a n }的前n 项和，则此数列的通项公式a n ＝S n －S n －1(n >1)．解析：命题①：由数列{a n }是等差数列，设其公差为d ，则a n －a n －1＝d (n ≥2)(ⅰ)，又数列{a n }是等比数列，设其公比为q ，则a n ＝qa n －1(n ≥2)(ⅱ)，把(ⅱ)代入(ⅰ)得：qa n －1－a n －1＝(q －1)a n －1＝d (n ≥2)，要使(q －1)·a n －1＝d (n ≥2)对数列中“任意项”都成立，则需q －1＝d ＝0，也就是q ＝1，d ＝0.所以数列{a n }为非零常数列，故不正确；命题②：由正弦定理可把sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2C 转化为a 2＋b 2＝c 2，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝0，所以三角形为直角三角形，故正确； 命题③：若A 、B 是锐角三角形的两内角，则tan A >0，tan B >0，π>A ＋B >π2， 则tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B<0， 得tan A ·tan B >1，故正确；命题④：若S n 为数列{a n }的前n 项和， 则此数列的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1）S n －S n －1 （n ≥2），故不正确． 故正确的命题为：②③.答案：②③。