高考数学(浙江专用)总复习教师用书：第二章 函数概念与基本初等函数1 第6讲 对数与对数函数 Word版含答案

2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》§2.2函数的单调性与最值最新考纲1.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质．1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件(1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(3)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；(4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值M 为最小值概念方法微思考1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示对∀x 1，x 2∈D ，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，减函数类似．2．写出对勾函数y ＝x ＋ax (a >0)的增区间．提示(－∞，－a ]和[a ，＋∞)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．(×)(2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)(3)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(×)(5)所有的单调函数都有最值．(×)题组二教材改编2．函数f (x )＝x 2－2x 的单调递增区间是____________．答案[1，＋∞)(或(1，＋∞))3．函数y ＝2x －1在[2,3]上的最大值是______．答案24．若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．答案(－∞，2]解析由题意知，[2，＋∞)⊆[m ，＋∞)，∴m ≤2.题组三易错自纠5．函数y ＝12log (x 2－4)的单调递减区间为________．答案(2，＋∞)6．若函数f (x )＝|x －a |＋1的增区间是[2，＋∞)，则a ＝________.答案2解析∵f (x )＝|x －a |＋1的单调递增区间是[a ，＋∞)，∴a ＝2.7．函数y ＝f (x )是定义在[－2,2]上的减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________．答案[－1,1)解析－2≤a＋1≤2，－2≤2a≤2，a＋1>2a，解得－1≤a<1.8．函数f(x)1x，x≥1，－x2＋2，x<1的最大值为________．答案2解析当x≥1时，函数f(x)＝1x为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.题型一确定函数的单调性命题点1求函数的单调区间例1(1)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)答案D解析函数y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9图象的对称轴为直线x＝1，由x2－2x－8>0，解得x>4或x<－2，所以(4，＋∞)为函数y＝x2－2x－8的一个单调递增区间．根据复合函数的单调性可知，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)．(2)函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间是__________________．答案[－1,0]，[1，＋∞)解析由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，二次函数的图象如图．由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．命题点2讨论函数的单调性例2判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在[1,2]上的单调性．解函数f (x )＝ax 2＋1x(1<a <3)在[1,2]上单调递增．证明：设1≤x 1<x 2≤2，则f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x 1＝(x 2－x 1)a (x 1＋x 2)－1x 1x 2，由1≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0,2<x 1＋x 2<4，1<x 1x 2<4，－1<－1x 1x 2<－14.又因为1<a <3，所以2<a (x 1＋x 2)<12，得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2>0，从而f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)，故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上单调递增．引申探究如何用导数法求解本例？解f ′(x )＝2ax －1x 2＝2ax 3－1x 2，因为1≤x ≤2，所以1≤x 3≤8，又1<a <3，所以2ax 3－1>0，所以f ′(x )>0，所以函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在[1,2]上是增函数．思维升华确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．跟踪训练1(1)下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是()A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x －xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案C解析由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A ，D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．(2)函数f (x )＝(a －1)x ＋2在R 上单调递增，则函数g (x )＝a |x －2|的单调递减区间是______________．答案(－∞，2]解析因为f (x )在R 上单调递增，所以a －1>0，即a >1，因此g (x )的单调递减区间就是y ＝|x －2|的单调递减区间(－∞，2]．(3)函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是________．答案[1,2]解析f (x )2－2x ，x ≥2，x 2＋2x ，x <2.画出f (x )图象，由图知f (x )的单调递减区间是[1,2]．题型二函数的最值1．函数y ＝x 2－1x 2＋1的值域为____________．答案[－1,1)解析由y ＝x 2－1x 2＋1，可得x 2＝1＋y 1－y.由x 2≥0，知1＋y1－y≥0，解得－1≤y <1，故所求函数的值域为[－1,1)．2．函数y ＝x ＋1－x 2的最大值为________．答案2解析由1－x 2≥0，可得－1≤x ≤1.可令x ＝cos θ，θ∈[0，π]，则y ＝cos θ＋sin θ＝2sin θ∈[0，π]，所以－1≤y ≤2，故原函数的最大值为 2.3．函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．答案[3，＋∞)解析函数y 2x ＋1，x ≤－1，，－1<x <2，x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)．4．函数y ＝3x ＋1x －2的值域为________________．答案{y |y ∈R 且y ≠3}解析y ＝3x ＋1x －2＝3(x －2)＋7x －2＝3＋7x －2，因为7x －2≠0，所以3＋7x －2≠3，所以函数y ＝3x ＋1x －2的值域为{y |y ∈R 且y ≠3}．5．函数f (x )－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案3解析由于y 在[－1,1]上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.6．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ()A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关答案B 解析方法一设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关．故选B.方法二由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b 的变动，相当于图象上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图象左右移动，则M －m 的值在变化，故与a 有关，故选B.思维升华求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(4)分离常数法：形如求y＝cx＋dax＋b(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．(5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．题型三函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f －12，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A．c>a>b B．c>b>aC．a>c>b D．b>a>c答案D解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a＝f －12f522<52<3，所以b>a>c.命题点2解函数不等式例4(2018·四川成都五校联考)设函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则f(x)<0的解集是()A．{x|－3<x<0或x>3}B．{x|x<－3或0<x<3}C．{x|x<－3或x>3}D．{x|－3<x<0或0<x<3}答案B解析∵f(x)是奇函数，f(－3)＝0，∴f(－3)＝－f(3)＝0，解得f(3)＝0.∵函数f(x)在(0，＋∞)内是增函数，∴当0<x<3时，f(x)<0；当x>3时，f(x)>0.∵函数f(x)是奇函数，∴当－3<x<0时，f(x)>0；当x<－3时，f(x)<0.则不等式f (x )<0的解集是{x |0<x <3或x <－3}．命题点3求参数的取值范围例5(1)(2018·全国Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]上是减函数，则a 的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D ．π答案C解析∵f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin∴当x －π4∈－π2，π2，即x ∈－π4，3π4时，y ＝sinf (x )＝－2sin ∴－π4，3π4是f (x )在原点附近的单调减区间，结合条件得[0，a ]⊆－π4，3π4，∴a ≤3π4，即a max ＝3π4.(2)已知函数f (x )2＋12a －2，x ≤1，x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．答案(1,2]解析由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又y ＝a x －a (x >1)是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1<a ≤2.(3)(2018·安徽滁州中学月考)已知函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是______________．答案(－4,4]解析设g (x )＝x 2－ax ＋3a ，根据对数函数及复合函数的单调性知，g (x )在[2，＋∞)上是增函数，且g (2)>0，2，a >0，∴－4<a ≤4，∴实数a 的取值范围是(－4,4]．思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．(2)解不等式．利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．跟踪训练2(1)如果函数f (x )2－a )x ＋1，x <1，x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．答案32，解析对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．－a >0，>1，2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2.故实数a 的取值范围是32，(2)已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f x 的取值范围是______________．答案12，解析因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，且满足f (2x －1)<所以0≤2x －1<13，解得12≤x <23.1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．yD ．y ＝x ＋1x答案A解析函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．已知函数f(x)＝x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为()A．(－∞，1]B．[3，＋∞)C．(－∞，－1]D．[1，＋∞)答案B解析设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．3．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2)D．f(π)<f(－2)<f(－3)答案A解析因为f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(π)>f(3)>f(2)，即f(π)>f(－3)>f(－2)．4．已知函数f(x)－2a)x，x≤1，a x＋13，x>1，当x1≠x2时，f(x1)－f(x2)x1－x2<0，则a的取值范围是()，13 B.13，12，12 D.14，13答案A解析当x1≠x2时，f(x1)－f(x2)x1－x2<0，∴f(x)是R上的减函数．∵f(x)－2a)x，x≤1，a x＋13，x>1，－2a<1，a<1，－2a≥13，∴0<a≤13.5．设f (x )x －a )2，x ≤0，＋1x ＋a ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为()A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2]答案D 解析∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2.∴a 的取值范围是0≤a ≤2.故选D.6．已知函数f (x )2x ，x ≥1，＋c ，x <1，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A 解析若函数f (x )在R 上单调递增，则需log 21≥c ＋1，即c ≤－1.由于c ＝－1，即c ≤－1，但c ≤－1不能得出c ＝－1，所以“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．7．已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为________________．答案a >b >c 解析∵f (x )在R 上是奇函数，∴a ＝－log f (log 25)．又f (x )在R 上是增函数，且log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8，∴f (log 25)>f (log 24.1)>f (20.8)，∴a >b >c .8．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是______________．答案－14，0解析当a ＝0时，f (x )＝2x －3在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上，实数a 的取值范围是－140.9．记min{a ，b }，a ≤b ，，a >b ，若f (x )＝min{x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．答案6解析由题意知，f (x )＋2，0≤x ≤4，－x ，x >4，易知f (x )max ＝f (4)＝6.10．设函数f (x )x 2＋4x ，x ≤4，2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是__________________．答案(－∞，1]∪[4，＋∞)解析作函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.11．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．(1)证明当a ＝－2时，f (x )＝x x ＋2.设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)解设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).因为a >0，x 2－x 1>0，所以要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，所以a ≤1.综上所述，0<a ≤1.12．(2018·河南南阳一中月考)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，F (x )x )，x >0，f (x )，x <0.(1)若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立，求F (x )的解析式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．解(1)∵f (－1)＝0，∴b ＝a ＋1.由f (x )≥0恒成立，知a >0且方程ax 2＋bx ＋1＝0中Δ＝b 2－4a ＝(a ＋1)2－4a ＝(a －1)2≤0，∴a ＝1.从而f (x )＝x 2＋2x ＋1.∴F (x )x ＋1)2，x >0，(x ＋1)2，x <0.(2)由(1)可知f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1，由g (x )在[－2,2]上是单调函数，知－2－k 2≤－2或－2－k 2≥2，得k ≤－2或k ≥6.即实数k 的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．13．已知函数f (x )3，x ≤0，(x ＋1)，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是()A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)答案D 解析∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图象是一条连续的曲线．又∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1.14．已知f (x )2－4x ＋3，x ≤0，x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，－2)解析二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2，∴该函数在(－∞，0]上单调递减，∴x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y 2＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减，∴－x 2－2x ＋3<3，∴f (x )在R 上单调递减，∴由f (x ＋a )>f (2a －x )得到x ＋a <2a －x ，即2x <a ，∴2x <a 在[a ，a ＋1]上恒成立，∴2(a ＋1)<a ，∴a <－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2)．15．已知函数f (x )＝2020x ＋ln(x 2＋1＋x )－2020－x ＋1，则不等式f (2x －1)＋f (2x )>2的解集为____________．答案解析由题意知，f (－x )＋f (x )＝2，∴f (2x －1)＋f (2x )>2可化为f (2x －1)>f (－2x )，又由题意知函数f (x )在R 上单调递增，∴2x －1>－2x ，∴x >14，∴16．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )是增函数，f (1)＝0，f (3)＝1.(1)解不等式0<f (x 2－1)<1；(2)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．解(1)2－1>0，x 2－1<3，得2<x <2或－2<x <－ 2.∴原不等式的解集为(－2，－2)∪(2，2)．(2)∵函数f (x )在(0,3]上是增函数，∴f (x )在(0,3]上的最大值为f (3)＝1，∴不等式f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1，1]恒成立转化为1≤m 2－2am ＋1对所有a ∈[－1,1]恒成立，即m 2－2am ≥0对所有a ∈[－1,1]恒成立．设g (a )＝－2ma ＋m 2，a ∈[－1,1]，∴(－1)≥0，(1)≥0，m ＋m 2≥0，2m ＋m 2≥0，解该不等式组，得m ≤－2或m ≥2或m ＝0，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．。

新浙江专版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第6节对数函数教师用书1．对数的概念如果a x＝N (a ＞0且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b＝b (a ＞0，且a ≠1)． (2)换底公式：log a b ＝log c blog c a(a ，c 均大于0且不等于1，b ＞0)．(3)对数的运算性质：如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；②log a M N＝log a M －log a N ，③log a M n＝n log a M (n ∈R )． 3．对数函数的定义、图象与性质4.指数函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log 2x 2＝2log 2x .( ) (2)当x ＞1时，log a x ＞0.( )(3)函数y ＝lg(x ＋3)＋lg(x －3)与y ＝lg[(x ＋3)(x －3)]的定义域相同．( )(4)对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图象不在第二、三象限．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．已知a ＝2，b ＝log 213，c ＝，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞bD [∵0＜a ＝2＜20＝1，b ＝log 213＜log 21＝0，c ＝＝1，∴c ＞a ＞b .]3．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图2­6­1，则下列结论成立的是( )图2­6­1A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1,0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1D [由图象可知y ＝log a (x ＋c )的图象是由y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的，其中0＜c ＜1.再根据单调性可知0＜a ＜1.]4．(教材改编)若log a 34＜1(a ＞0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 B ．(1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1C [当0＜a ＜1时，log a 34＜log a a ＝1，∴0＜a ＜34；当a ＞1时，log a 34＜log a a ＝1，∴a ＞1.即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)．] 5．(2017·杭州二次质检)计算：2log 510＋log 514＝________，2log 43＝________.2 3 [2log 510＋log 514＝log 5⎝ ⎛⎭⎪⎫102×14＝2，因为log 43＝12log 23＝log 23，所以2log 43＝2log23＝ 3.](1)设2a ＝5b＝m ，且a ＋b＝2，则m 等于( ) A.10 B ．10 C ．20D ．100(2)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________. 【导学号：51062043】 (1)A (2)－20 [(1)∵2a ＝5b＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2， ∴m ＝10.(2)原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝⎝⎛⎭⎪⎫lg122·52×10＝(lg 10－2)×10＝－2×10＝－20.][规律方法] 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．2．先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．3．a b＝N ⇔b ＝log a N (a ＞0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．[变式训练1] (1)(2017·高三教学测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥4，f x ＋，x ＜4，则f (2＋log 23)的值为( )A ．24B ．16C ．12D ．8(2)(2015·浙江高考)计算：log 222＝________，2log 23＋log 43＝________. (1)A (2)－12 3 3 [(1)∵3＜2＋log 23＜4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log 23＝8×3＝24，故选A.(2)log 222＝log 22－log 22＝12－1＝－12；2log 23＋log 43＝2log 23·2log 43＝3×2log 43＝3×2log23＝3 3.](1)(2017·绍兴一模)若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )A B C D(2)(2017·湖州调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________.【导学号：51062044】(1)B (2)(1，＋∞) [(1)若函数y ＝a |x |(a ＞0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则a ＞1，故函数y ＝log a |x |的大致图象如图所示．故选B.(2)如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上截距，由图可知，当a ＞1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点．][规律方法] 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． [变式训练2] 如图2­6­2，点A ，B 在函数y ＝log 2x ＋2的图象上，点C 在函数y ＝log 2x 的图象上，若△ABC 为等边三角形，且直线BC ∥y 轴，设点A 的坐标为(m ，n )，则m ＝( )图2­6­2A ．2B ．3 C. 2D. 3D [由题意知等边△ABC 的边长为2，则由点A 的坐标(m ，n )可得点B 的坐标为(m ＋3，n ＋1)．又A ，B 两点均在函数y ＝log 2x ＋2的图象上，故有⎩⎨⎧log 2m ＋2＝n ，log 2m ＋3＋2＝n ＋1，解得m ＝3，故选D.]☞角度1 比较对数值的大小若a ＞b ＞0,0＜c ＜1，则( )A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c＜b cD ．c a＞c bB [对于选项A ：log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg clg b ，∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0.而a ＞b ＞0，∴lg a ＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负，∴log a c 与log b c 的大小不能确定．对于选项B ：log c a ＝lg a lg c ，log c b ＝lg b lg c ，而lg a ＞lg b ，两边同乘一个负数1lg c 不等号方向改变，∴log c a ＜log c b ，∴选项B 正确．对于选项C ：利用y ＝x c(0＜c ＜1)在第一象限内是增函数，可得a c＞b c，∴选项C 错误．对于选项D ：利用y ＝c x(0＜c ＜1)在R 上为减函数，可得c a＜c b ，∴选项D 错误，故选B.]☞角度2 解简单的对数不等式(2016·浙江高考)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( )A ．(a －1)(b －1)<0B ．(a －1)(a －b )>0C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0D [法一：log a b ＞1＝log a a ， 当a ＞1时，b ＞a ＞1；当0＜a ＜1时，0＜b ＜a ＜1.只有D 正确． 法二：取a ＝2，b ＝3，排除A ，B ，C ，故选D.] ☞角度3 探究对数型函数的性质已知函数f (x )＝log a (3－ax )，是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．[解] 假设存在满足条件的实数a .∵a ＞0，且a ≠1，∴u ＝3－ax 在[1,2]上是关于x 的减函数.4分 又f (x )＝log a (3－ax )在[1,2]上是关于x 的减函数， ∴函数y ＝log a u 是关于u 的增函数， ∴a ＞1，x ∈[1,2]时，u 最小值为3－2a ，8分f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ＞0，log a －a ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜32，a ＝32，12分故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为 1.15分[规律方法] 利用对数函数的性质研究对数型函数性质，要注意以下四点：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定确保其等价性；四是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．[思想与方法]1．对数值取正、负值的规律当a＞1且b＞1或0＜a＜1且0＜b＜1时，log a b＞0；当a＞1且0＜b＜1或0＜a＜1且b＞1时，log a b＜0.2．利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．3．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性．4．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定．[易错与防范]1．在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝log a x的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分0＜a＜1与a＞1两种情况讨论．2．在运算性质log a Mα＝αlog a M中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为log a Mα＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数)．3．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．课时分层训练(八) 对数函数A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题 1．函数y ＝的定义域是( )A ．[1,2]B ．[1,2)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 D [由(2x －1)≥0⇒0＜2x －1≤1⇒12＜x ≤1.]2．(2017·石家庄模拟)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b ＜cB ．a ＝b ＞cC ．a ＜b ＜cD ．a ＞b ＞cB [因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23＞1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32＜log 33＝1，所以a ＝b ＞c .]3．若函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象如图2­6­3所示，则下列函数图象正确的是( )图2­6­3A B C DB [由题图可知y ＝log a x 的图象过点(3,1)， ∴log a 3＝1，即a ＝3.A 项，y ＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上为减函数，错误；B 项，y ＝x 3符合；C 项，y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函数，错误； D 项，y ＝log 3(－x )在(－∞，0)上为减函数，错误．]4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3－x＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值是( )A ．5B ．3C ．－1D.72A [由题意可知f (1)＝log 21＝0，f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2， f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312＝3＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3，所以f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312＝5.] 5．已知y ＝log a (2－ax )在区间[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是( )【导学号：51062045】A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,2)D ．[2，＋∞)C [因为y ＝log a (2－ax )在[0,1]上单调递减，u ＝2－ax (a ＞0)在[0,1]上是减函数，所以y ＝log a u 是增函数，所以a ＞1.又2－a ＞0，所以1＜a ＜2.]二、填空题6．lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________. 【导学号：51062046】－1 [lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.]7．(2017·“江南十校”信息优化卷)设函数f (x )＝lg(x 2－4)，则f (x )的定义域为________，单调递增区间为________．(－∞，－2)∪(2，＋∞) (2，＋∞) [由x 2－4>0，得f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．其单调递增区间为(2，＋∞)．]8．(2016·浙江高考)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________.4 2 [∵log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52，∴log a b ＝2或12.∵a >b >1，∴log a b <log a a ＝1， ∴log a b ＝12，∴a ＝b 2.∵a b ＝b a ，∴(b 2)b ＝bb 2，∴b 2b ＝bb 2， ∴2b ＝b 2，∴b ＝2，∴a ＝4.] 三、解答题9．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值. 【导学号：51062047】 [解] (1)∵f (1)＝2， ∴log a 4＝2(a ＞0，a ≠1)， ∴a ＝2.4分由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得x ∈(－1,3)，∴函数f (x )的定义域为(－1,3).8分 (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，12分 ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.15分10．已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．[解] (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )最小值为3－2a ，当x ∈[0,2]，f (x )恒有意义，即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立．∴3－2a >0.∴a <32.5分又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.7分 (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数，8分 ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数， ∴y ＝log a t 为增函数，10分∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2a >0，log a －a ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ a <32，a ＝32，13分故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为 1.15分B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2016·浙江名校(河桥中学)交流卷三)已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则m ＋n ＝( )A.12B.32 C ．2 D.52D [∵f (x )＝|log 2x |，且f (m )＝f (n )，∴mn ＝1.又0<m <n ，则有0<m <1<n ，从而有0<m 2<m <1<n ，则|log 2m 2|＝2|log 2m |＝2|log 2n |>|log 2n |.∵f (x )＝|log 2x |在区间[m 2，n ]上的最大值为2，∴|log 2m 2|＝2，即|log 2m |＝1，∴m ＝12(m ＝2舍去)，∴n ＝2. ∴m ＋n ＝52.] 2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________. 【导学号：51062048】(1,2] [当x ≤2时，y ＝－x ＋6≥4.∵f (x )的值域为[4，＋∞)，∴当a >1时，3＋log a x >3＋log a 2≥4，∴log a 2≥1，∴1<a ≤2；当0<a <1时，3＋log a x <3＋log a 2，不合题意．故a ∈(1,2]．]3．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )(a ＞0且a ≠1)．(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．[解] (1)要使函数f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1.3分故所求函数f (x )的定义域为(－1,1).6分(2)证明：由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数.10分(3)因为当a ＞1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数，所以f (x )＞0⇔x ＋11－x＞1，解得0＜x ＜1， 所以使f (x )＞0的x 的解集是(0,1).15分。

第4讲幂函数与二次函数最新考纲1。

了解幂函数的概念；掌握幂函数y＝x，y＝x2,y＝x3，y＝x错误!,y＝错误!的图象和性质；2。

理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.知识梳理1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数。

(2)常见的5种幂函数的图象(3）常见的5种幂函数的性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝x错误!y＝x－1定义域R R R ［0,＋∞）{x｜x∈R，且x≠0｝值域R [0，＋∞)R[0,＋∞）｛y｜y∈R,且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇2。

二次函数（1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）.顶点式：f(x）＝a(x－m)2＋n（a≠0）,顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a（x－x1)(x－x2）（a≠0),x1,x2为f（x)的零点.（2)二次函数的图象和性质解析式f(x）＝ax2＋bx＋c(a〉0）f（x)＝ax2＋bx＋c（a〈0）图象定义域（－∞,＋∞)(－∞,＋∞)值域错误!错误!1。

判断正误（在括号内打“√"或“×”)（1)函数y ＝2x 错误!是幂函数。

（ ）（2）当n >0时,幂函数y ＝x n 在(0,＋∞）上是增函数.（ )（3）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R ）不可能是偶函数.( ）（4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （x ∈[a ，b ]）的最值一定是错误!.（ )解析 (1）由于幂函数的解析式为f （x )＝x α,故y ＝2x 错误!不是幂函数,(1）错.(3）由于当b ＝0时,y ＝ax 2＋bx ＋c ＝ax 2＋c 为偶函数，故（3)错.（4)对称轴x ＝－错误!，当－错误!小于a 或大于b 时,最值不是错误!,故(4）错.答案 (1)× (2）√ (3)× (4)×2.（2016·全国Ⅲ卷)已知a ＝243，b ＝3错误!,c ＝25错误!，则（ ）A.b <a 〈cB.a 〈b 〈cC.b〈c<aD.c〈a<b解析因为a＝2错误!＝4错误!,b＝3错误!,c＝5错误!又y＝x错误!在（0，＋∞）上是增函数，所以c>a〉b.答案A3.已知f(x）＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0,则f（－1)的值是（）A.5 B。

§2.6对数与对数函数考纲展示►1。

理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念，和对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．3．知道对数函数是一类重要的函数模型．4．了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数（a〉0，且a≠1)．考点1 对数的运算1.对数的概念如果a x＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作________，其中________叫做对数的底数，________叫做真数．答案:x＝log a N a N2．对数的性质与运算法则（1）对数的运算法则:如果a>0且a≠1,M〉0，N>0,那么①log a（MN）＝____________；②log a错误!＝____________；③log a M n＝________（n∈R）；④log a m M n＝错误!log a M。

（2)对数的性质：①a log a N＝________；②log a a N＝________(a>0且a≠1）．(3）对数的重要公式：①换底公式：log b N＝错误!（a，b均大于0且不等于1)；②log a b＝错误!，推广log a b·log b c·log c d＝________。

答案:（1)①log a M＋log a N②log a M－log a N③n log a M (2）①N②N(3)②log a d（1）[教材习题改编］lg错误!＋lg错误!的值是（)A。

错误!B．1C．10 D．100答案:B(2）［教材习题改编］(log29)·(log34）＝（)A.错误!B．错误!C．2 D．4答案:D(3）[教材习题改编］已知log53＝a，log54＝b，lg 2＝m，求错误!＋lg 4b的值（用m表示）．解:错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝2lg 5＝2(1－lg 2)＝2(1－m）．误用对数运算法则．(1）log3错误!－log3错误!＋错误!－1＝________.（2）(log29)·(log34)＝________.答案：(1)2 （2)4解析：（1)原式＝log3错误!＋31＝log3错误!＋3＝－1＋3＝2。

浙江专用高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第1讲函数及其表示练习含解析[基础达标]1．函数f (x )＝1x －2＋ln(3x －x 2)的定义域是( ) A ．(2，＋∞) B ．(3，＋∞) C ．(2，3)D ．(2，3)∪(3，＋∞)解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，3x －x 2＞0，解得2＜x ＜3，则该函数的定义域为(2，3)，故选C. 2．(2019·嘉兴一模)已知a 为实数，设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a，x <2，log 2（x －2），x ≥2，则f (2a＋2)的值为( )A ．2aB ．aC ．2D ．a 或2解析：选B.因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2a，x <2，log 2（x －2），x ≥2，所以f (2a ＋2)＝log 2(2a＋2－2)＝a ，故选B. 3．下列哪个函数与y ＝x 相等( )A ．y ＝x 2xB ．y ＝2log 2xC ．y ＝x 2D ．y ＝(3x )3解析：选D.y ＝x 的定义域为R ，而y ＝x 2x的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，y ＝2log 2x 的定义域为{x |x ∈R ，且x >0}，排除A 、B ；y ＝x 2＝|x |的定义域为x ∈R ，对应关系与y ＝x 的对应关系不同，排除C ；而y ＝(3x )3＝x ，定义域和对应关系与y ＝x 均相同，故选D.4．(2019·杭州七校联考)已知函数f (x )＝x 3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋1，若f (a )＝2，则f (－a )的值为( )A ．3B ．0C ．－1D ．－2解析：选B.因为函数f (x )＝x 3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋1，所以f (x )＝x 3＋sin x ＋1，因为f (a )＝2，所以f (a )＝a 3＋sin a ＋1＝2，所以a 3＋sin a ＝1，所以f (－a )＝(－a )3＋sin(－a )＋1＝－1＋1＝0.故选B. 5．已知a ，b 为两个不相等的实数，集合M ＝{a 2－4a ，－1}，N ＝{b 2－4b ＋1，－2}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D.由已知可得M ＝N ，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＝－2b 2－4b ＋1＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋2＝0，b 2－4b ＋2＝0， 所以a ，b 是方程x 2－4x ＋2＝0的两根，故a ＋b ＝4. 6．存在函数f (x )满足：对于任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin 2x )＝sin x B ．f (sin 2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|解析：选D.取特殊值法．取x ＝0，π2，可得f (0)＝0，1，这与函数的定义矛盾，所以选项A 错误；取x ＝0，π，可得f (0)＝0，π2＋π，这与函数的定义矛盾， 所以选项B 错误；取x ＝1，－1，可得f (2)＝2，0，这与函数的定义矛盾， 所以选项C 错误；取f (x )＝x ＋1，则对任意x ∈R 都有f (x 2＋2x )＝x 2＋2x ＋1＝|x ＋1|，故选项D 正确．7．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x1＋x 2B ．f (x )＝－2x1＋x 2C ．f (x )＝2x 1＋x2 D ．f (x )＝－x1＋x2解析：选C.令1－x 1＋x ＝t ，则x ＝1－t 1＋t ，所以f (t )＝（1＋t ）2－（1－t ）2（1＋t ）2＋（1－t ）2＝2t1＋t 2，故函数f (x )的解析式为f (x )＝2x1＋x2，故选C.8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ＞0，1，x ＜0，则（a ＋b ）＋（a －b ）·f （a －b ）2(a ≠b )的值为( )A ．aB ．bC ．a ，b 中较小的数D ．a ，b 中较大的数解析：选C.若a －b ＞0，即a ＞b ，则f (a －b )＝－1， 则（a ＋b ）＋（a －b ）·f （a －b ）2＝12[(a ＋b )－(a －b )]＝b (a ＞b )；若a －b ＜0，即a ＜b ，则f (a －b )＝1， 则（a ＋b ）＋（a －b ）·f （a －b ）2＝12[(a ＋b )＋(a －b )]＝a (a ＜b )．综上，选C.9．(2019·绍兴高三教学质量调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋n ，x ＜1log 2x ，x ≥1，若f (f (34))＝2，则实数n 为( )A ．－54B ．－13C ．14D ．52解析：选D.因为f (34)＝2×34＋n ＝32＋n ，当32＋n ＜1，即n ＜－12时，f (f (34))＝2(32＋n )＋n ＝2，解得n ＝－13，不符合题意；当32＋n ≥1，即n ≥－12时，f (f (34))＝log 2(32＋n )＝2，即32＋n ＝4，解得n ＝52，故选D. 10．设f (x )，g (x )都是定义在实数集上的函数，定义函数(f ·g )(x )：对任意的x ∈R ，(f ·g )(x )＝f (g (x ))．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ＞0，x 2，x ≤0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，则( )A ．(f ·f )(x )＝f (x )B ．(f ·g )(x )＝f (x )C ．(g ·f )(x )＝g (x )D ．(g ·g )(x )＝g (x )解析：选A.对于A ，(f ·f )(x )＝f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）＞0，f 2（x ），f （x ）≤0，当x ＞0时，f (x )＝x ＞0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x ；当x ＜0时，f (x )＝x 2＞0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x 2；当x ＝0时，(f ·f )(x )＝f 2(x )＝0＝02，因此对任意的x ∈R ，有(f ·f )(x )＝f (x )，故A 正确，选A.11. 若函数f (x )在闭区间[－1，2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．解析：由题图可知，当－1≤x <0时，f (x )＝x ＋1；当0≤x ≤2时，f (x )＝－12x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤2.答案：f(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0，－12x ，0≤x ≤212．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝________． 解析：令x ＝1，得2f (1)－f (－1)＝4， ① 令x ＝－1，得2f (－1)－f (1)＝－2， ②联立①②得f (1)＝2. 答案：213．函数f (x )，g (x )分别由下表给出．则f (g (1))的值为________；满足f (g (x ))＞g (f (x ))的x 的值为________． 解析：因为g (1)＝3，f (3)＝1，所以f (g (1))＝1.当x ＝1时，f (g (1))＝f (3)＝1，g (f (1))＝g (1)＝3，不合题意． 当x ＝2时，f (g (2))＝f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝1，符合题意． 当x ＝3时，f (g (3))＝f (1)＝1，g (f (3))＝g (1)＝3，不合题意． 答案：1 214．设函数f (x )＝⎩⎨⎧（x ＋1）2，x ＜1，4－x －1，x ≥1，则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围是________．解析：f (x )≥1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，（x ＋1）2≥1或⎩⎨⎧x ≥1，4－x －1≥1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，（x ＋1）2≥1，得x ≤－2或0≤x ＜1.由⎩⎨⎧x ≥1，4－x －1≥1，得1≤x ≤10. 综上所述，x 的取值范围是x ≤－2或0≤x ≤10. 答案：(－∞，－2]∪[0，10]15．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．解析：当a >0时，1－a <1，1＋a >1，此时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ，f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32.不合题意，舍去．当a <0时，1－a >1，1＋a <1，此时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ，f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a ，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1－a ＝2＋3a ，解得a ＝－34.综上可知，a 的值为－34.答案：－3416．(2019·杭州市富阳二中高三(上)开学考试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1x ＋6x －6，x >1，则f (f (－2))＝________，f (x )的最小值是________．解析：由题意可得f (－2)＝(－2)2＝4， 所以f (f (－2))＝f (4)＝4＋64－6＝－12；因为当x ≤1时，f (x )＝x 2，由二次函数可知当x ＝0时，函数取最小值0； 当x >1时，f (x )＝x ＋6x－6，由基本不等式可得f (x )＝x ＋6x－6≥2x ·6x－6 ＝26－6，当且仅当x ＝6x即x ＝6时取到等号，即此时函数取最小值26－6；因为26－6<0，所以f (x )的最小值为26－6. 答案：－1226－617．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，－3x ，x <0.若a [f (a )－f (－a )]>0，则实数a 的取值范围为________．解析：易知a ≠0.由题意得，当a >0时，则－a <0，故a [f (a )－f (－a )]＝a (a 2＋a －3a )>0，化简可得a 2－2a >0，解得a >2或a <0.又因为a >0，所以a >2.当a <0时，则－a >0，故a [f (a )－f (－a )]＝a [－3a －(a 2－a )]>0，化简可得a 2＋2a >0，解得a >0或a <－2，又因为a <0，所以a <－2.综上可得，实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)[能力提升]1．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x解析：选D.当x <0时，|x |＝－x ，x |sgn x |＝x ，x ·sgn|x |＝x ，|x |sgn x ＝(－x )·(－1)＝x ，排除A ，B ，C ，故选D.2．(2019·宁波市九校期末联考)已知下列各式：①f (|x |＋1)＝x 2＋1；②f (1x 2＋1)＝x ；③f (x 2－2x )＝|x |；④f (|x |)＝3x ＋3－x.其中存在函数f (x )对任意的x ∈R 都成立的序号为________．解析：①f (|x |＋1)＝x 2＋1，由t ＝|x |＋1(t ≥1)，可得|x |＝t －1，则f (t )＝(t －1)2＋1，即有f (x )＝(x －1)2＋1对x ∈R 均成立；②f (1x 2＋1)＝x ，令t ＝1x 2＋1(0＜t ≤1)，x ＝±1t－1，对0＜t ≤1，y ＝f (t )不能构成函数，故不成立；③f (x 2－2x )＝|x |，令t ＝x2－2x ，若t ＜－1时，x ∈∅；t ≥－1，可得x ＝1±1＋t (t ≥－1)，y ＝f (t )不能构成函数；④f (|x |)＝3x ＋3－x ，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋3－x ；当x ＜0时，f (－x )＝3x ＋3－x；将x 换为－x 可得f (x )＝3x＋3－x；故恒成立．综上可得①④符合条件．答案：①④3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求f (x )的解析式；(2)画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，2x ，x ≥0.(2)f (x )的图象如图：4．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0.(1)求f (g (2))与g (f (2))； (2)求f (g (x ))与g (f (x ))的表达式．解：(1)g (2)＝1，f (g (2))＝f (1)＝0；f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝2. (2)当x >0时，f (g (x ))＝f (x －1)＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x <0时，f (g (x ))＝f (2－x )＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3.所以f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0，x 2－4x ＋3，x <0.同理可得g (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x <－1或x >1，3－x 2，－1<x <1. 5．设计一个水渠，其横截面为等腰梯形(如图)，要求满足条件AB ＋BC ＋CD ＝a (常数)，∠ABC ＝120°，写出横截面的面积 y 关于腰长x 的函数，并求它的定义域和值域．解：如图，因为AB ＋BC ＋CD ＝a ，所以BC ＝EF ＝a －2x >0，即0<x <a2，因为∠ABC ＝120°，所以∠A ＝60°，所以AE ＝DF ＝x 2，BE ＝32x ，y ＝12(BC ＋AD )·BE ＝3x 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（a －2x ）＋x 2＋x 2 ＝34(2a －3x )x ＝－34(3x 2－2ax ) ＝－334⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32＋312a 2， 故当x ＝a3时，y 有最大值312a 2，它的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，312a 2. 6．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间[0，1]上有表达式f (x )＝x 2.(1)求f (－1)，f (1.5)；(2)写出f (x )在区间[－2，2]上的表达式．解：(1)由题意知f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0，f (1.5)＝f (1＋0.5)＝－12f (0.5)＝－12×14＝－18.(2)当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2；当x ∈(1，2]时，x －1∈(0，1]，f (x )＝－12f (x －1)＝－12(x －1)2；当x ∈[－1，0)时，x ＋1∈[0，1)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2；当x ∈[－2，－1)时，x ＋1∈[－1，0)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12（x －1）2，x ∈（1，2]x 2，x ∈[0，1]－2（x ＋1）2，x ∈[－1，0）4（x ＋2）2，x ∈[－2，－1）.。

2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第6节对数与对数函数考试要求1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，10，12的对数函数的图像；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数.1.对数的概念一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么数b 叫作以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b .其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数.2.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1).(2)对数的运算性质如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R ).(3)换底公式：log b N ＝log a Nlog a b(a ，b 均大于零且不等于1，N >0).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫作对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图像与性质a >10<a <1图像性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1，0)当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y ＝x 对称.1.换底公式的两个重要结论(1)log a b ＝1log b a (a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1).(2)log a m b n ＝nm log a b (a >0，且a ≠1；b >0；m ，n ∈R ，且m ≠0).2.在第一象限内，不同底的对数函数的图像从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像过定点(1，0)，且过点(a ，1)函数图像只在第一、四象限.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)log 2x 2＝2log 2x .()(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数.()(3)函数y ＝ln1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同.()(4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b .()答案(1)×(2)×(3)√(4)×解析(1)log 2x 2＝2log 2|x |，故(1)错误.(2)形如y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)为对数函数，故(2)错误.(4)若0<b <1<a ，则当x ＞1时，log a x ＞log b x ，故(4)错误.2.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L ＝5＋lg V .已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)()A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6答案C解析由题意知，4.9＝5＋lg V ，得lg V ＝－0.1，得V ＝10－110＝11010≈11.259≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.3.(2021·天津卷)设a ＝log 20.3，b ＝log 120.4，c ＝0.40.3，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a ＜b ＜cB.c ＜a ＜bC.b ＜c ＜aD.a ＜c ＜b答案D解析∵log 20.3＜log 21＝0，∴a ＜0.∵log 120.4＝－log 20.4＝log 252＞log 22＝1，∴b ＞1.∵0＜0.40.3＜0.40＝1，∴0＜c ＜1，∴a ＜c ＜b .4.(易错题)函数y ＝log a (x －1)＋2(a >0，且a ≠1)的图像恒过的定点是________.答案(2，2)解析当x ＝2时，函数y ＝log a (x －1)＋2(a >0，且a ≠1)的值为2，所以图像恒过定点(2，2).5.(易错题)已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，则xy ＝________.答案4解析∵lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，∴lg(xy )＝lg(x －2y )2，x >0，y >0，x －2y >0，xy ＝（x －2y ）2，x >2y ，y >0，（x －y ）（x －4y ）＝0，则x ＝4y >0，∴xy＝4.6.若函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________.答案2或12解析当0<a <1时，f (x )＝log a x 在[2，4]上单调递减，故f (x )max ＝f (2)，f (x )min ＝f (4)，则f (2)－f (4)＝log a 12＝1，解得a ＝12.当a >1时，f (x )在[2，4]上单调递增，此时f (x )max ＝f (4)，f (x )min ＝f (2)，则f (4)－f (2)＝log a 2＝1，解得a ＝2.考点一对数的运算1.(2020·全国Ⅰ卷)设a log 34＝2，则4－a ＝()A.116B.19C.18D.16答案B 解析法一因为a log 34＝2，所以log 34a ＝2，则4a ＝32＝9，所以4－a ＝14a ＝19.法二因为a log 34＝2，所以a ＝2log 34＝2log 43＝log 432＝log 49，所以4－a ＝4－log 49＝4log 49－1＝9－1＝19.2.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10－10.1答案A解析依题意，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所给公式得52lg E1E2＝－1.45－(－26.7)＝25.25.所以lg E1E2＝25.25×25＝10.1，即E1E2＝1010.1.3.(2021·天津卷)若2a＝5b＝10，则1a＋1b＝()A.－1B.lg7C.1D.log710答案C解析∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，∴1a＋1b＝1log210＋1log510＝lg2＋lg5＝lg10＝1.4.计算：（1－log63）2＋log62·log618log64＝________.答案1解析原式＝1－2log63＋（log63）2＋log663·log6（6×3）log64＝1－2log63＋（log63）2＋1－（log63）2log64＝2（1－log63）2log62＝log66－log63log62＝log62log62＝1.感悟提升 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b＝N⇔b＝log a N(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.考点二对数函数的图像及应用例1(1)函数f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)的图像大致为()(2)若方程4x ＝log a x 0，12上有解，则实数a 的取值范围为________.答案(1)A0，22解析(1)由函数f (x )的解析式可确定该函数为偶函数，图像关于y 轴对称.设g (x )＝log a |x |，先画出x >0时，g (x )的图像，然后根据g (x )的图像关于y 轴对称画出x <0时g (x )的图像，最后由函数g (x )的图像向上整体平移一个单位长度即得f (x )的图像，结合图像知选A.(2)若方程4x ＝log a x 0，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 0，120<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22.感悟提升对数函数图像的识别及应用方法(1)在识别函数图像时，要善于利用已知函数的性质，函数图像上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解.训练1(1)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图像如图，则下列结论成立的是()A.a >1，c >1B.a >1，0<c <1C.0<a <1，c >1D.0<a <1，0<c <1(2)已知函数f (x )log 2x ，x >0，3x，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________.答案(1)D(2)(1，＋∞)解析(1)由该函数的图像通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0<a <1，∵图像与x 轴的交点在区间(0，1)之间，∴该函数的图像是由函数y ＝log a x 的图像向左平移不到1个单位长度后得到的，∴0<c <1.(2)问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图像有且只有一个交点，结合函数图像可知a>1.考点三解决与对数函数的性质有关的问题角度1比较大小例2(1)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则()A.a >b >cB.a >c >bC.c >b >aD.c >a >b(2)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是()A.a <b <cB.b <a <cC.c <b <aD.a <c <b(3)(2021·衡水中学检测)已知a，b ＝log 120.2，c ＝a b ，则a ，b ，c 的大小关系是()A.a <b <cB.c <a <bC.a <c <bD.b <c <a答案(1)D(2)C(3)B解析(1)∵0<a <1，b ＝log 213＝－log 23<0，c ＝log 1213＝log 23>1.∴c >a >b .(2)根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log 2a <1log 2b <1log 2c<0，即log 2c <log 2b <log 2a <0，可得c <b <a <1.故选C.(3)函数y与y ＝log 12x 的图像关于直线y ＝x 对称，则<1<log 120.2，∴a <b .又c ＝a b 0.2log 120.2120.20.2＝0.20.2＝a ，所以b >a >c .角度2解对数不等式例3(1)(2022·太原质检)定义在R 上的奇函数f (x )，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则不等式f (x )<－1的解集是________.(2)不等式log a (a 2＋1)<log a (2a )<0，则a 的取值范围是________.答案(1)(－∞，－2)解析(1)设x <0，则－x >0，∴f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x )，∴f (x )2x ，x >0，，x ＝0，log 2（－x ），x <0.当x >0时，f (x )<－1，即log 2x <－1＝log 212，解得0<x <12.当x <0时，f (x )<－1，即－log 2(－x )<－1，则log 2(－x )>1＝log 22，解得x <－2.当x ＝0时，f (x )＝0<－1显然不成立.综上，原不等式的解集为(－∞，－2)(2)由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a .又log a (a 2＋1)<log a (2a )<0，所以0<a <1，所以2a >1，即a >12.综上，12<a <1.角度3对数型函数性质的综合应用例4已知函数f (x )＝log(1)若函数f (x )是R 上的奇函数，求a 的值；(2)若函数f (x )的定义域是一切实数，求a 的取值范围；(3)若函数f (x )在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a 的取值范围.解(1)若函数f (x )是R 上的奇函数，则f (0)＝0，∴log 2(1＋a )＝0，∴a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝－x 是R 上的奇函数.所以a ＝0.(2)若函数f (x )的定义域是一切实数，则12x ＋a >0恒成立.即a >－12x 恒成立，由于－12x ∈(－∞，0)，故只要a ≥0，则a 的取值范围是[0，＋∞).(3)由已知得函数f (x )是减函数，故f (x )在区间[0，1]上的最大值是f (0)＝log 2(1＋a )，最小值是f (1)＝log由题设得log 2(1＋a )－log2，则log 2(1＋a )≥log 2(4a ＋2).＋a ≥4a ＋2，a ＋2>0，解得－12<a ≤－13.故实数a －12，－13.感悟提升1.比较对数值的大小与解形如log a f (x )>log a g (x )的不等式，主要是应用函数的单调性求解，如果a 的取值不确定，需要分a >1与0<a <1两种情况讨论.2.与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.训练2(1)(2019·天津卷)已知a ＝log 27，b ＝log 38，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为()A.c <b <aB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为________.(3)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.答案(1)A(2)[1，2)解析(1)显然c ＝0.30.2∈(0，1).因为log 33<log 38<log 39，所以1<b <2.因为log 27>log 24＝2，所以a >2.故c <b <a .(2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，（1）>0，≥1，－a >0，≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1，2).(3)当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1，2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，则f (x )min ＝f (2)＝log a (8－2a )>1，即8－2a >a ，且8－2a >0，解得1<a <83.当0<a <1时，f (x )在[1，2]上是增函数，由f (x )>1在区间[1，2]上恒成立，知f (x )min ＝f (1)＝log a (8－a )>1，且8－2a >0.∴8－a <a 且8－2a >0，此时解集为∅.综上可知，实数a1.已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c ，5d ＝10，则下列等式一定成立的是()A.d ＝acB.a ＝cdC.c ＝adD.d ＝a ＋c答案B解析∵log 5b ＝a ，lg b ＝c ，∴5a ＝b ，10c ＝b .又∵5d ＝10，∴5a ＝b ＝10c ＝(5d )c ＝5cd ，∴a ＝cd .2.(2021·濮阳模拟)已知函数f (x )＝x ＋43x ＋的值域是全体实数，则实数m 的取值范围是()A.(－4，＋∞)B.[－4，＋∞)C.(－∞，－4)D.(－∞，－4]答案D解析由题意可知3x ＋43x ＋m 能取遍所有正实数.又3x ＋43x ＋m ≥m ＋4，所以m ＋4≤0，即m ≤－4.∴实数m 的取值范围为(－∞，－4].3.若函数f (x )＝|x |＋x 3，则f (lg 2)＋f (lg 5)＋()A.2B.4C.6D.8答案A解析由于f (x )＝|x |＋x 3，得f (－x )＋f (x )＝2|x |.又lg 12＝－lg 2，lg 15＝－lg 5.所以原式＝2|lg 2|＋2|lg 5|＝2(lg 2＋lg 5)＝2.4.(2021·新高考Ⅱ卷)已知a ＝log 52，b ＝log 83，c ＝12，则下列判断正确的是()A.c <b <aB.b <a <cC.a <c <bD.a <b <c答案C解析a ＝log 52<log 55＝12＝log 822<log 83＝b ，即a <c <b .5.在同一直角坐标系中，函数y ＝1a x ，y ＝log a >0，且a ≠1)的图像可能是()答案D解析若a >1，则y ＝1ax 单调递减，A ，B ，D 不符合，且y ＝log C 项不符合，因此0<a <1.当0<a <1时，函数y ＝a x 的图像过定点(0，1)，在R 上单调递减，于是函数y ＝1x的图像过定点(0，1)，在R 上单调递增，函数y ＝log a在(－12，＋∞)上单调递减.因此，选项D 中的两个图像符合.6.已知函数f (x )＝log 2(1－|x |)，则关于函数f (x )有下列说法：①f(x)的图像关于原点对称；②f(x)的图像关于y轴对称；③f(x)的最大值为0；④f(x)在区间(－1，1)上单调递增.其中正确的是()A.①③B.①④C.②③D.②④答案C解析f(x)＝log2(1－|x|)为偶函数，不是奇函数，∴①错误，②正确；根据f(x)的图像(图略)可知④错误；∵1－|x|≤1，∴f(x)≤log21＝0，故③正确.7.(2021·济南一中检测)已知函数y＝log a(2x－3)＋2(a>0且a≠1)的图像恒过定点A，若点A也在函数f(x)＝3x＋b的图像上，则b＝________.答案－7解析令2x－3＝1，得x＝2，∴定点为A(2，2)，将定点A的坐标代入函数f(x)中，得2＝32＋b，解得b＝－7.8.计算：lg25＋lg50＋lg2·lg500＋(lg2)2＝________.答案4解析原式＝2lg5＋lg(5×10)＋lg2·lg(5×102)＋(lg2)2＝2lg5＋lg5＋1＋lg2·(lg5＋2)＋(lg2)2＝3lg5＋1＋lg2·lg5＋2lg2＋(lg2)2＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2(lg5＋lg2)＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2＝3(lg5＋lg2)＋1＝4.9.函数f(x)＝log2x·log2(2x)的最小值为________.答案－1 4解析依题意得f(x)＝12log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x2x－14≥－14，当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，所以函数f (x )的最小值为－14.10.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1).(1)求函数f (x )的解析式；(2)若－1<f (1)<1，求实数a 的取值范围.解(1)当x <0时，－x >0，由题意知f (－x )＝log a (－x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x ).所以当x <0时，f (x )＝log a (－x ＋1)，所以函数f (x )的解析式为f (x )a （x ＋1），x ≥0，a （－x ＋1），x <0.(2)因为－1<f (1)<1，所以－1<log a 2<1，所以log a 1a<log a 2<log a a .①当a >1，，解得a >2；②当0<a <1，，解得0<a <12.综上，实数a(2，＋∞).11.已知函数f (x )＝log 21＋axx －1(a 为常数)是奇函数.(1)求a 的值与函数f (x )的定义域；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 2(x －1)>m 恒成立，求实数m 的取值范围.解(1)因为函数f (x )＝log 21＋axx －1是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以log 21－ax －x －1＝－log 21＋axx －1，即log 2ax －1x ＋1＝log 2x －11＋ax ，所以a ＝1，f (x )＝log 21＋xx －1，令1＋xx －1>0，解得x <－1或x >1，所以函数的定义域为{x |x <－1或x >1}.(2)f (x )＋log 2(x －1)＝log 2(1＋x )，当x >1时，x ＋1>2，所以log 2(1＋x )>log 22＝1.因为x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋log 2(x －1)>m 恒成立，所以m ≤1，所以m 的取值范围是(－∞，1].12.(2022·烟台模拟)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P (单位：mg/L)与时间t (单位：h )间的关系式为P ＝P 0e －kt ，其中P 0，k 为正常数.如果一定量的废气在前10h 的过滤过程中污染物被消除了20%，那么污染物减少到最初含量的50%还需要经过多长时间？(结果四舍五入取整数，参考数据：ln 2≈0.693，ln 5≈1.609)()A.11hB.21hC.31hD.41h答案B解析由已知得1－15＝e －10k ，方程两边同取自然对数得ln 45＝－10k ，所以k ＝2ln 2－ln 5－10≈0.0223.设污染物减少到最初含量的50%需要经过t h ，则12＝e －0.0223t ，方程两边同取自然对数得ln12＝－0.0223t ，解得t ≈31.所以还需要经过31－10＝21(h)使污染物减少到最初含量的50%，故选B.13.已知函数f (x )2（x －1），x >1，x ，x ≤1，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实数根，则实数a的取值范围为()A.(0，1)B.(0，1]C.(1，2)D.(0，2]答案D解析作出函数y＝f(x)的图像(如图)，方程f(x)－a＝0有两个实数根，即y＝f(x)与y＝a有两个交点，由图知，0<a≤2.14.(2022·郑州调研)在①f(x)＋f(－x)＝0，②f(x)－f(－x)＝0，③f(－2)＝－f(2)这三个条件中选择一个合适的补充在下面问题中，并给出解答.已知函数f(x)＝log2(x2＋a＋x)(a∈R)满足________.(1)求a的值；.(2)若函数g(x)＝2f(－x)＋1－x2＋1，证明：g(x2－x)≤54注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解若选择②f(x)－f(－x)＝0，因为f(x)－f(－x)＝0，所以log2(x2＋a＋x)－log2(x2＋a－x)＝0，所以x2＋a＋x＝x2＋a－x，所以x＝0，a≥0，此时求不出a的具体值，所以不能选②.若选择①f(x)＋f(－x)＝0，(1)因为f(x)＋f(－x)＝0，所以log2(x2＋a＋x)＋log2(x2＋a－x)＝0，所以log2[(x2＋a＋x)(x2＋a－x)]＝0，所以x2＋a－x2＝1，解得a＝1.若选择③f(－2)＝－f(2)，(1)因为f(－2)＝－f(2)，所以log2(4＋a－2)＝－log2(4＋a＋2)，所以(4＋a－2)(4＋a＋2)＝1，所以4＋a－4＝1，所以a＝1.(2)由(1)知f(x)＝log2(x2＋1＋x)，f(－x)＝log2(x2＋1－x)，所以g(x)＝2log2(x2＋1－x)＋1－x2＋1＝x2＋1－x＋1－x2＋1＝－x＋1，所以g(x2－x)＝－(x2－x)＋1＝－x2＋x＋1＋54≤54.。

知识点最新考纲函数及其表示了解函数、映射的概念．了解函数的定义域、值域及三种表示法(解析法、图象法和列表法)．了解简单的分段函数,会用分段函数解决简单的问题.函数的基本性质理解函数的单调性、奇偶性,会判断函数的单调性、奇偶性．理解函数的最大(小)值的含义,会求简单函数的最大(小)值.指数函数了解指数幂的含义,掌握有理指数幂的运算．理解指数函数的概念,掌握指数函数的图象、性质及应用.对数函数理解对数的概念,掌握对数的运算,会用换底公式．理解对数函数的概念,掌握对数函数的图象、性质及应用.幂函数了解幂函数的概念．掌握幂函数y＝x,y＝x2,y＝x3,y＝1x,y＝x12的图象和性质.函数与方程了解函数零点的概念,掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法. 函数模型及其应用了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征．能将一些简单的实际问题转化为相应的函数问题,并给予解决.1．函数与映射的概念函数映射两集合A、B设A,B是两个非空的数集设A,B是两个非空的集合对应关系f:A→B如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称 称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数称对应f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法y ＝f (x )(x ∈A )对应f :A →B 是一个映射(1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x ),x ∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然,值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系．(3)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有:解析法、图象法、列表法． 3．分段函数若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 最多有2个交点．( ) (2)函数f (x )＝x 2－2x 与g (t )＝t 2－2t 是同一函数．( )(3)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函数．( ) (4)若A ＝R ,B ＝{x |x ＞0},f :x →y ＝|x |,则对应关系f 是从A 到B 的映射．( ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的．( )(6)分段函数的定义域等于各段定义域的并集,值域等于各段值域的并集．( ) 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化]1．(必修1P18例2改编)下列函数中,与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2 B ．y ＝3x 3＋1 C ．y ＝x 2x＋1D ．y ＝x 2＋1解析:选B.对于A ,函数y ＝(x ＋1)2的定义域为{x |x ≥－1},与函数y ＝x ＋1的定义域不同,不是相等函数;对于B ,定义域和对应关系都相同,是相等函数;对于C ,函数y ＝x 2x ＋1的定义域为{x |x ≠0},与函数y ＝x ＋1的定义域不同,不是相等函数;对于D ,定义域相同,但对应关系不同,不是相等函数,故选B.2．(必修1P25B 组T1改编)函数y ＝f (x )的图象如图所示,那么f (x )的定义域是________;值域是________;其中只有唯一的x 值与之对应的y 值的范围是________．答案:[－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]3．(必修1P19T1(2)改编)函数y ＝x －2·x ＋2的定义域是________．解析:⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0x ＋2≥0⇒x ≥2.答案:[2,＋∞) [易错纠偏](1)对函数概念理解不透彻; (2)换元法求解析式,反解忽视范围．1．已知集合P ＝{x |0≤x ≤4},Q ＝{y |0≤y ≤2},下列从P 到Q 的各对应关系f 中不是函数的是________．(填序号)①f :x →y ＝12x ;②f :x →y ＝13x ;③f :x →y ＝23x ;④f :x →y ＝x .解析:对于③,因为当x ＝4时,y ＝23×4＝83∉Q ,所以③不是函数．答案:③2．已知f (x )＝x －1,则f (x )＝________．解析:令t ＝x ,则t ≥0,x ＝t 2,所以f (t )＝t 2－1(t ≥0),即f (x )＝x 2－1(x ≥0)． 答案:x 2－1(x ≥0)函数的定义域(1)(2020·杭州学军中学月考)函数f (x )＝x ＋2x 2lg （|x |－x ）的定义域为________．(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2],则函数g (x )＝f （2x ）x －1的定义域为________．(3)若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ,则a 的取值范围为________． 【解析】 (1)要使函数f (x )有意义,必须使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x 2≥0|x |－x >0|x |－x ≠1解得x <－12. 所以函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－12. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠00≤2x ≤2得0≤x <1,即定义域是[0,1)．(3)因为函数f (x )的定义域为R ,所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立,即2x 2＋2ax －a ≥20,x 2＋2ax －a ≥0恒成立,因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0,解得－1≤a ≤0.【答案】 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－12 (2)[0,1) (3)[－1,0](变条件)若将本例(2)中“函数y ＝f (x )”改为“函数y ＝f (x ＋1)”,其他条件不变,如何求解？解:由函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[0,2], 得函数y ＝f (x )的定义域为[1,3],令⎩⎪⎨⎪⎧1≤2x ≤3x －1≠0得12≤x ≤32且x ≠1.所以g (x )的定义域为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫121∪⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤132.函数定义域的求解策略(1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题．在解不等式组取交集时可借助于数轴,要特别注意端点值的取舍．(2)求抽象函数的定义域:①若y ＝f (x )的定义域为(a ,b ),则解不等式a ＜g (x )＜b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域;②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ,b ),则求出g (x )在(a ,b )上的值域即得y ＝f (x )的定义域．(3)已知函数定义域求参数范围,可将问题转化成含参数的不等式(组),然后求解． [提醒] (1)求函数定义域时,对函数解析式先不要化简; (2)求出定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式．1．(2020·浙江新高考优化卷)函数f (x )＝3x 21－x＋lg(－3x 2＋5x ＋2)的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－13＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－131 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1313D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞－13 解析:选B.依题意可得,要使函数有意义,则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0－3x 2＋5x ＋2>0,解得－13<x <1.故选B. 2．(2020·浙江新高考预测卷)已知集合A ＝{x |y ＝x －x 2},B ＝{x |y ＝ln(1－x )},则A ∪B ＝( )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．(－∞,1]D ．(－∞,1)解析:选C.因为由x －x 2≥0得0≤x ≤1, 所以A ＝{x |0≤x ≤1}． 由1－x >0得x <1,所以B ＝{x |x <1},所以A ∪B ＝{x |x ≤1}． 故选C.3．若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为实数集,则实数m 的取值范围是________． 解析:由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立． 当m ＝0时,1≥0恒成立;当m ≠0时,则⎩⎨⎧m >0Δ＝m 2－4m ≤0 解得0<m ≤4. 综上可得0≤m ≤4. 答案:[0,4]求函数的解析式(1)已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2,求f (x )的解析式; (2)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ,求f (x )的解析式;(3)已知f (x )是二次函数,且f (0)＝0,f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1,求f (x ); (4)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ,求f (x )的解析式． 【解】 (1)(配凑法)由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2,所以f (x )＝x 2－2,x ≥2或x ≤－2,故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2,x ≥2或x ≤－2. (2)(换元法)令2x ＋1＝t 得x ＝2t －1,代入得f (t )＝lg2t －1,又x ＞0,所以t ＞1, 故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1,x ＞1. (3)(待定系数法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0), 由f (0)＝0,知c ＝0,f (x )＝ax 2＋bx , 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1,得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1, 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1,所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1a ＋b ＝1解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x ,x ∈R .(4)(解方程组法)由f (－x )＋2f (x )＝2x ,① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x ,② ①×2－②,得,3f (x )＝2x ＋1－2－x . 即f (x )＝2x ＋1－2－x3.所以f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3,x ∈R .求函数解析式的4种方法(1)配凑法:由已知条件f (g (x ))＝F (x ),可将F (x )改写成关于g (x )的表达式,然后以x 替代g (x ),便得f (x )的表达式．(2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法． (3)换元法:已知复合函数f (g (x ))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围． (4)解方程组法:已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f (x )．[提醒] 求解析式时要注意新元的取值范围．1．(2020·杭州学军中学月考)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ,则f (x )的解析式为f (x )＝__________．解析:法一:设t ＝x ＋1,则x ＝(t －1)2(t ≥1);代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1.故f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 法二:因为x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1,所以f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1),即f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 答案:x 2－1(x ≥1)2．设y ＝f (x )是二次函数,方程f (x )＝0有两个相等的实根,且f ′(x )＝2x ＋2,则f (x )的解析式为f (x )＝________．解析:设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0), 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2, 所以a ＝1,b ＝2,f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又因为方程f (x )＝0有两个相等的实根, 所以Δ＝4－4c ＝0,c ＝1,故f (x )＝x 2＋2x ＋1. 答案:x 2＋2x ＋1分段函数(高频考点)分段函数是一类重要的函数,是高考的命题热点,多以选择题或填空题的形式呈现,试题多为容易题或中档题．主要命题角度有:(1)分段函数求值;(2)已知函数值,求参数的值(或取值范围); (3)与分段函数有关的方程、不等式问题． 角度一 分段函数求值(2020·杭州萧山中学高三适应性考试)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2xx >0f （x ＋2）x ≤0g (x )＝x 2,则f (8)＝________;g [f (2)]＝________;f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫12＝________． 【解析】 f (8)＝log 28＝3,g [f (2)]＝g (log 22)＝g (1)＝1,f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫log 212＝f (－1)＝f (1)＝log 21＝0.【答案】 3 1 0角度二 已知函数值求参数的值(或取值范围)(2020·瑞安市龙翔高中高三月考)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x2＋1（x≥1）log2（1－x）（x<1）,若f(f(a))＝3,则a＝________．【解析】函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x2＋1（x≥1）log2（1－x）（x<1）,若f(f(a))＝3,当a≥1时,可得f(－2a2＋1)＝3,可得log2(2a2)＝3,解得a＝2.当a<1时,可得f(log2(1－a))＝3,log2(1－a)≥1时,可得－2(log2(1－a))2＋1＝3,解得a∈∅.log2(1－a)<1时,可得log2(1－log2(1－a))＝3,即1－log2(1－a)＝8,log2(1－a)＝－7,1－a ＝1128,可得a＝127128.综上得a的值为2或127128.【答案】2或127128角度三与分段函数有关的方程、不等式问题(2020·镇海中学5月模拟)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x－2x≤－1（x－2）（|x|－1）x＞－1则f(f(－2))＝________,若f(x)≥2,则x的取值范围为________．【解析】由分段函数的表达式得f(－2)＝⎝⎛⎭⎫12－2－2＝4－2＝2,f(2)＝0,故f(f(－2))＝0.若x≤－1,由f(x)≥2得⎝⎛⎭⎫12x－2≥2,得⎝⎛⎭⎫12x≥4,则2－x≥4,得－x≥2,则x≤－2,此时x≤－2.若x＞－1,由f(x)≥2得(x－2)(|x|－1)≥2,即x|x|－x－2|x|≥0,若x≥0,得x2－3x≥0,则x≥3或x≤0,此时x≥3或x＝0;若－1＜x＜0,得－x2＋x≥0,得x2－x≤0,得0≤x≤1,此时无解．综上得x≥3或x＝0或x≤－2.【答案】0x≥3或x＝0或x≤－2(1)根据分段函数解析式,求函数值的解题思路先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值．(2)已知分段函数的函数值,求参数值的解题思路先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,构造关于参数的方程．然后求出相应自变量的值,切记要代入检验．(3)已知分段函数的函数值满足的不等式,求自变量取值范围的解题思路依据不同范围的不同段分类讨论求解,最后将讨论结果并起来．1．(2020·浙江教育评价高三第二次联考))设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x2＋1x≥1log2（1－x）x<1,则f(f(4))＝()A．2B．3C．5 D．6解析:选C.f(f(4))＝f(－31)＝log2 32＝5.故选C.2．(2020·Z20联盟开学联考)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧|x＋2|－1x≤0log2xx>0,若f(a)≤1,则实数a的取值范围是()A．(－∞,－4]∪[2,＋∞) B．[－1,2]C．[－4,0)∪(0,2] D．[－4,2]解析:选D.f(a)≤1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a≤0|a＋2|－1≤1或⎩⎨⎧a>0log2a≤1解得－4≤a≤0或0<a≤2,即a∈[－4,2],故选D.核心素养系列2数学抽象——函数的新定义问题以学习过的函数相关知识为基础,通过一类问题共同特征的“数学抽象”,引出新的概念,然后在快速理解的基础上,解决新问题．在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,若函数f(x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点,则称函数f(x)为n阶整点函数．给出下列函数:①f(x)＝sin 2x; ②g(x)＝x3;③h(x)＝⎝⎛⎭⎫13x; ④φ(x)＝ln x.其中是一阶整点函数的是()A．①②③④B．①③④C．①④D．④【解析】 对于函数f (x )＝sin 2x ,它的图象(图略)只经过一个整点(0,0),所以它是一阶整点函数,排除D;对于函数g (x )＝x 3,它的图象(图略)经过整点(0,0),(1,1),…,所以它不是一阶整点函数,排除A;对于函数h (x )＝⎝⎛⎭⎫13x,它的图象(图略)经过整点(0,1),(－1,3),…,所以它不是一阶整点函数,排除B.故选C.【答案】 C本题意在考查考生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养．破解新定义函数题的关键是:紧扣新定义的函数的含义,学会语言的翻译、新旧知识的转化,便可使问题顺利获解．如本例,若能把新定义的一阶整点函数转化为函数f (x )的图象恰好经过1个整点,问题便迎刃而解．1．若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,则函数解析式为y ＝x 2＋1,值域为{1,3}的同族函数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析:选 C.由x 2＋1＝1得x ＝0,由x 2＋1＝3得x ＝±2,所以函数的定义域可以是{0,2},{0,－2},{0,2,－2},故值域为{1,3}的同族函数共有3个．2．若定义在R 上的函数f (x )当且仅当存在有限个非零自变量x ,使得f (－x )＝f (x ),则称f (x )为“类偶函数”,则下列函数中为类偶函数的是( )A ．f (x )＝cos xB ．f (x )＝sin xC ．f (x )＝x 2－2xD ．f (x )＝x 3－2x解析:选D.A 中函数为偶函数,则在定义域内均满足f (x )＝f (－x ),不符合题意;B 中,当x ＝k π(k ∈Z )时,满足f (x )＝f (－x ),不符合题意;C 中,由f (x )＝f (－x ),得x 2－2x ＝x 2＋2x ,解得x ＝0,不符合题意;D 中,由f (x )＝f (－x ),得x 3－2x ＝－x 3＋2x ,解得x ＝0或x ＝±2,满足题意,故选D.[基础题组练]1．函数f (x )＝1x －2＋ln(3x －x 2)的定义域是( ) A ．(2,＋∞) B ．(3,＋∞) C ．(2,3)D ．(2,3)∪(3,＋∞)解析:选C.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞03x －x 2＞0解得2＜x ＜3,则该函数的定义域为(2,3),故选C. 2．(2020·嘉兴一模)已知a 为实数,设函数f (x )＝⎩⎨⎧x －2ax <2log 2（x －2）x ≥2则f (2a＋2)的值为( )A ．2aB ．aC ．2D ．a 或2解析:选B.因为函数f (x )＝⎩⎨⎧x －2ax <2log 2（x －2）x ≥2所以f (2a ＋2)＝log 2(2a ＋2－2)＝a ,故选B. 3．下列哪个函数与y ＝x 相等( ) A ．y ＝x 2xB ．y ＝2log 2xC ．y ＝x 2D ．y ＝(3x )3解析:选D.y ＝x 的定义域为R ,而y ＝x 2x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0},y ＝2log 2x 的定义域为{x |x ∈R ,且x >0},排除A 、B;y ＝x 2＝|x |的定义域为x ∈R ,对应关系与y ＝x 的对应关系不同,排除C;而y ＝(3x )3＝x ,定义域和对应关系与y ＝x 均相同,故选D.4．(2020·杭州七校联考)已知函数f (x )＝x 3＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＋1,若f (a )＝2,则f (－a )的值为( )A ．3B ．0C ．－1D ．－2解析:选B.因为函数f (x )＝x 3＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＋1,所以f (x )＝x 3＋sin x ＋1,因为f (a )＝2,所以f (a )＝a 3＋sin a ＋1＝2,所以a 3＋sin a ＝1,所以f (－a )＝(－a )3＋sin(－a )＋1＝－1＋1＝0.故选B.5．已知a ,b 为两个不相等的实数,集合M ＝{a 2－4a ,－1},N ＝{b 2－4b ＋1,－2},f :x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ,则a ＋b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析:选D.由已知可得M ＝N ,故⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＝－2b 2－4b ＋1＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋2＝0b 2－4b ＋2＝0 所以a ,b 是方程x 2－4x ＋2＝0的两根,故a ＋b ＝4. 6．存在函数f (x )满足:对于任意x ∈R 都有( ) A ．f (sin 2x )＝sin x B ．f (sin 2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1| 解析:选D.取特殊值法．取x ＝0,π2,可得f (0)＝0,1,这与函数的定义矛盾,所以选项A 错误;取x ＝0,π,可得f (0)＝0,π2＋π,这与函数的定义矛盾, 所以选项B 错误;取x ＝1,－1,可得f (2)＝2,0,这与函数的定义矛盾, 所以选项C 错误;取f (x )＝x ＋1,则对任意x ∈R 都有f (x 2＋2x )＝x 2＋2x ＋1＝|x ＋1|,故选项D 正确． 7．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝1－x 21＋x 2,则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x1＋x 2B ．f (x )＝－2x1＋x 2C ．f (x )＝2x1＋x 2D ．f (x )＝－x1＋x 2解析:选C.令1－x 1＋x ＝t ,则x ＝1－t 1＋t ,所以f (t )＝（1＋t ）2－（1－t ）2（1＋t ）2＋（1－t ）2＝2t1＋t 2,故函数f (x )的解析式为f (x )＝2x1＋x 2,故选C. 8．设函数f (x )＝⎩⎨⎧－1x ＞01x ＜0则（a ＋b ）＋（a －b ）·f （a －b ）2(a ≠b )的值为( )A ．aB ．bC ．a ,b 中较小的数D ．a ,b 中较大的数解析:选C.若a －b ＞0,即a ＞b ,则f (a －b )＝－1,则（a ＋b ）＋（a －b ）·f （a －b ）2＝12[(a ＋b )－(a －b )]＝b (a ＞b );若a －b ＜0,即a ＜b ,则f (a －b )＝1, 则（a ＋b ）＋（a －b ）·f （a －b ）2＝12[(a ＋b )＋(a －b )]＝a (a ＜b )．综上,选C.9．(2020·绍兴高三教学质量调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋nx ＜1log 2xx ≥1,若f (f (34))＝2,则实数n 为( )A ．－54B ．－13C.14D.52解析:选D.因为f (34)＝2×34＋n ＝32＋n ,当32＋n ＜1,即n ＜－12时,f (f (34))＝2(32＋n )＋n ＝2,解得n ＝－13,不符合题意;当32＋n ≥1,即n ≥－12时,f (f (34))＝log 2(32＋n )＝2,即32＋n ＝4,解得n＝52,故选D. 10．设f (x ),g (x )都是定义在实数集上的函数,定义函数(f ·g )(x ):对任意的x ∈R ,(f ·g )(x )＝f (g (x ))．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x x ＞0x 2x ≤0g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e xx ≤0ln x x ＞0则( )A ．(f ·f )(x )＝f (x )B ．(f ·g )(x )＝f (x )C ．(g ·f )(x )＝g (x )D ．(g ·g )(x )＝g (x ) 解析:选A.对于A ,(f ·f )(x )＝f (f (x ))＝⎩⎨⎧f （x ）f （x ）＞0f 2（x ）f （x ）≤0当x ＞0时,f (x )＝x ＞0,(f ·f )(x )＝f (x )＝x ;当x ＜0时,f (x )＝x 2＞0,(f ·f )(x )＝f (x )＝x 2;当x ＝0时,(f ·f )(x )＝f 2(x )＝0＝02,因此对任意的x ∈R ,有(f ·f )(x )＝f (x ),故A 正确,选A.11.若函数f (x )在闭区间[－1,2]上的图象如图所示,则此函数的解析式为________．解析:由题图可知,当－1≤x <0时,f (x )＝x ＋1;当0≤x ≤2时,f (x )＝－12x ,所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－1≤x <0－12x0≤x ≤2.答案:f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－1≤x <0－12x 0≤x ≤212．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1,则f (1)＝________． 解析:令x ＝1,得2f (1)－f (－1)＝4,① 令x ＝－1,得2f (－1)－f (1)＝－2,② 联立①②得f (1)＝2. 答案:213．函数f (x ),g (x )分别由下表给出．(x ))的x 解析:因为g (1)＝3,f (3)＝1,所以f (g (1))＝1.当x ＝1时,f (g (1))＝f (3)＝1,g (f (1))＝g (1)＝3,不合题意． 当x ＝2时,f (g (2))＝f (2)＝3,g (f (2))＝g (3)＝1,符合题意． 当x ＝3时,f (g (3))＝f (1)＝1,g (f (3))＝g (1)＝3,不合题意． 答案:1 214．设函数f (x )＝⎩⎨⎧（x ＋1）2x ＜14－x －1x ≥1则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围是________．解析:f (x )≥1等价于⎩⎨⎧x ＜1（x ＋1）2≥1或⎩⎨⎧x ≥14－x －1≥1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1（x ＋1）2≥1得x ≤－2或0≤x ＜1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥14－x －1≥1得1≤x ≤10.综上所述,x 的取值范围是x ≤－2或0≤x ≤10.答案:(－∞,－2]∪[0,10]15．已知实数a ≠0,函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋ax <1－x －2a x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a ),则a 的值为________．解析:当a >0时,1－a <1,1＋a >1,此时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ,f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得2－a ＝－1－3a ,解得a ＝－32.不合题意,舍去．当a <0时,1－a >1,1＋a <1,此时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a , f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a ,由f (1－a )＝f (1＋a )得－1－a ＝2＋3a ,解得a ＝－34.综上可知,a 的值为－34.答案:－3416．(2020·杭州市富阳二中高三(上)开学考试)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2x ≤1x ＋6x －6x >1,则f (f (－2))＝________,f (x )的最小值是________．解析:由题意可得f (－2)＝(－2)2＝4, 所以f (f (－2))＝f (4)＝4＋64－6＝－12;因为当x ≤1时,f (x )＝x 2,由二次函数可知当x ＝0时,函数取最小值0; 当x >1时,f (x )＝x ＋6x－6,由基本不等式可得f (x )＝x ＋6x －6≥2x ·6x－6 ＝26－6,当且仅当x ＝6x 即x ＝6时取到等号,即此时函数取最小值26－6;因为26－6<0,所以f (x )的最小值为26－6.答案:－1226－617．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋xx ≥0－3x x <0.若a [f (a )－f (－a )]>0,则实数a 的取值范围为________．解析:易知a ≠0.由题意得,当a >0时,则－a <0,故a [f (a )－f (－a )]＝a (a 2＋a －3a )>0,化简可得a 2－2a >0,解得a >2或a <0.又因为a >0,所以a >2.当a <0时,则－a >0,故a [f (a )－f (－a )]＝a [－3a －(a 2－a )]>0,化简可得a 2＋2a >0,解得a >0或a <－2,又因为a <0,所以a <－2.综上可得,实数a 的取值范围为(－∞,－2)∪(2,＋∞)．答案:(－∞,－2)∪(2,＋∞)[综合题组练]1．设x ∈R ,定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x >0x ＝0－1x <0则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x解析:选 D.当x <0时,|x |＝－x ,x |sgn x |＝x ,x ·sgn|x |＝x ,|x |sgn x ＝(－x )·(－1)＝x ,排除A ,B ,C ,故选D.2．(2020·宁波市九校期末联考)已知下列各式:①f (|x |＋1)＝x 2＋1;②f (1x 2＋1)＝x ;③f (x 2－2x )＝|x |;④f (|x |)＝3x ＋3－x .其中存在函数f (x )对任意的x ∈R 都成立的序号为________．解析:①f (|x |＋1)＝x 2＋1,由t ＝|x |＋1(t ≥1),可得|x |＝t －1,则f (t )＝(t －1)2＋1,即有f (x )＝(x －1)2＋1对x ∈R 均成立;②f (1x 2＋1)＝x ,令t ＝1x 2＋1(0＜t ≤1),x ＝±1t－1,对0＜t ≤1,y ＝f (t )不能构成函数,故不成立;③f (x 2－2x )＝|x |,令t ＝x 2－2x ,若t ＜－1时,x ∈∅;t ≥－1,可得x ＝1±1＋t (t ≥－1),y ＝f (t )不能构成函数;④f (|x |)＝3x ＋3－x ,当x ≥0时,f (x )＝3x ＋3－x ;当x ＜0时,f (－x )＝3x ＋3－x ;将x 换为－x 可得f (x )＝3x ＋3－x ;故恒成立．综上可得①④符合条件．答案:①④3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b x <02xx ≥0且f (－2)＝3,f (－1)＝f (1)．(1)求f(x)的解析式;(2)画出f(x)的图象．解:(1)由f(－2)＝3,f(－1)＝f(1),得⎩⎪⎨⎪⎧－2a＋b＝3－a＋b＝2解得a＝－1,b＝1,所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x＋1x<02xx≥0.(2)f(x)的图象如图:4．已知f(x)＝x2－1,g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x－1x>02－xx<0.(1)求f(g(2))与g(f(2));(2)求f(g(x))与g(f(x))的表达式．解:(1)g(2)＝1,f(g(2))＝f(1)＝0;f(2)＝3,g(f(2))＝g(3)＝2.(2)当x>0时,f(g(x))＝f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x;当x<0时,f(g(x))＝f(2－x)＝(2－x)2－1＝x2－4x＋3.所以f(g(x))＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－2xx>0x2－4x＋3x<0.同理可得g(f(x))＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－2x<－1或x>13－x2－1<x<1.5．设计一个水渠,其横截面为等腰梯形(如图),要求满足条件AB ＋BC ＋CD ＝a (常数),∠ABC ＝120°,写出横截面的面积 y 关于腰长x 的函数,并求它的定义域和值域．解:如图,因为AB ＋BC ＋CD ＝a ,所以BC ＝EF ＝a －2x >0, 即0<x <a2,因为∠ABC ＝120°,所以∠A ＝60°,所以AE ＝DF ＝x 2,BE ＝32x ,y ＝12(BC ＋AD )·BE ＝3x 4⎣⎡⎦⎤2（a －2x ）＋x 2＋x 2 ＝34(2a －3x )x ＝－34(3x 2－2ax ) ＝－334⎝⎛⎭⎫x －a 32＋312a 2, 故当x ＝a 3时,y 有最大值312a 2,它的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0a 2,值域为⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0312a 2.6．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1),且f (x )在区间[0,1]上有表达式f (x )＝x 2.(1)求f (－1),f (1.5);(2)写出f (x )在区间[－2,2]上的表达式．解:(1)由题意知f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0, f (1.5)＝f (1＋0.5)＝－12f (0.5)＝－12×14＝－18.(2)当x ∈[0,1]时,f (x )＝x 2;当x ∈(1,2]时,x －1∈(0,1],f (x )＝－12f (x －1)＝－12(x －1)2;当x ∈[－1,0)时,x ＋1∈[0,1), f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2; 当x ∈[－2,－1)时,x ＋1∈[－1,0),f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.所以f (x )＝⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧－12（x －1）2x ∈（12]x 2x ∈[01]－2（x ＋1）2x ∈[－10）4（x ＋2）2x ∈[－2－1）.。

第一讲函数的概念及其表示知识梳理学问点一函数的概念及其表示1．函数的概念函数两个集合A，B 设A，B是两个非空数集对应关系f：A→B 假如依据某种确定的对应关系f，使对于集合A中的随意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记法函数y＝f(x)，x∈A2.函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)假如两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一样，则这两个函数为相等函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．学问点二分段函数1．若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数表示的是一个函数．2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.学问点三函数的定义域函数y＝f(x)的定义域1．求定义域的步骤(1)写出访函数式有意义的不等式(组)；(2)解不等式(组)；(3)写出函数定义域．(留意用区间或集合的形式写出)2．求函数定义域的主要依据(1)整式函数的定义域为R.(2)分式函数中分母 不等于0 .(3)偶次根式函数被开方式 大于或等于0 . (4)一次函数、二次函数的定义域均为 R . (5)函数f (x )＝x 0的定义域为 {x |x ≠0} . (6)指数函数的定义域为 R . (7)对数函数的定义域为 (0，＋∞) . 学问点四 函数的值域 基本初等函数的值域：1．y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是 R .2．y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为 ⎩⎨⎧y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ≥4ac －b 24a ；当a <0时，值域为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ≤4ac －b24a . 3．y ＝kx (k ≠0)的值域是 {y |y ≠0} .4．y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是 (0，＋∞) . 5．y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是 R . [延长]6．y ＝x ＋ax (a >0)的值域为(－∞，－2a )∪(2a ，＋∞)． 7．y ＝x －ax (a >0)的值域为(－∞，＋∞)．8．y ＝cx ＋d ax ＋b (a ≠0，ad －bc ≠0)的值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，c a ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ，＋∞. 归 纳 拓 展1．推断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一样． 2．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 3．与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点．4．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应当用并集符号“∪”连接．5．函数f (x )与f (x ＋a )(a 为常数a ≠0)的值域相同．双 基 自 测题组一 走出误区1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数f ：A →B ，其值域是集合B .( × )(2)A ＝N ，B ＝N ，f ：x →y ＝|x －1|，表示从集合A 到集合B 的函数．( √ ) (3)已知f (x )＝m (x ∈R )，则f (m 3)＝m 3.( × ) (4)y ＝ln x 2与y ＝2ln x 表示同一函数．( × )(5)函数y ＝xx －1定义域为x >1.( × )题组二 走进教材2．(必修1P 67T1改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( B )[解析] A 中函数的定义域不是[－2,2]；C 中图象不表示函数；D 中函数的值域不是[0,2]．3．(必修1P 67T2改编)已知奇函数f (x )的图象经过点(1,3)，则f (x )的解析式可能为( D ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝－3x C ．f (x )＝3x 2D ．f (x )＝3x 3[解析] 依据f (1)＝3以及函数的奇偶性确定正确答案．f (1)＝2≠3，A 选项错误；f (1)＝－3≠3，B 选项错误；f (x )＝3x 2是偶函数，C 选项错误；f (1)＝3，f (x )＝3x 3为奇函数，符合题意．故选D.4．(必修1P 73T11改编)(多选题)函数y ＝f (x )的图象如图所示，则以下描述正确的是( BD )A ．函数f (x )的定义域为[－4,4)B ．函数f (x )的值域为[0，＋∞)C ．此函数在定义域内是增函数D ．对于随意的y ∈(5，＋∞)，都有唯一的自变量x 与之对应[解析] 由图象得此函数定义域为[－4,0]∪[1,4)，值域为[0，＋∞)，在定义域内不具备单调性，当y ∈(5，＋∞)时都有唯一的x 与之对应．因此，A 、C 不正确．故选BD.5．(必修1P 67T2改编)由f (u )＝u 2，u ＝2＋x 复合而成的复合函数是y ＝_(2＋x )2__.[解析] 利用复合函数的性质干脆求解．由f (u )＝u 2，u ＝2＋x 复合而成的复合函数是y ＝(2＋x )2.题组三 走向高考6．(2024·北京卷)函数f (x )＝1x ＋1－x 的定义域是 (－∞，0)∪(0,1] . [解析] 因为f (x )＝1x ＋1－x ，所以x ≠0,1－x ≥0，解得x ∈(－∞，0)∪(0,1]．7．(2024·浙江，12,4分)已知a ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，x >2，|x －3|＋a ，x ≤2.若f [f (6)]＝3，则a ＝ 2 .[解析] 因为6>4＝2，所以f (6)＝(6)2－4＝2，所以f [f (6)]＝f (2)＝|2－3|＋a ＝1＋a ＝3，解得a ＝2.。