图形变换相似与位似变换

第28讲图形的相似与位似1．比例线段(1)比例线段：已知四条线段a，b，c，d，若ab＝cd或a∶b＝c∶d，那么a，b，c，d叫做成比例线段，a，d叫做比例外，b，c叫做比例内项；若有ab＝bc，则b叫做a，c的比例中项．(2)比例的基本性质及定理①ab＝cd⇒ad＝bc；②ab＝cd⇒a±bb＝c±dd；③ab＝cd＝…＝mn(b＋d＋…＋n≠0)⇒a＋c＋…＋mb＋d＋…＋n＝ab.4．相似三角形的性质及判定(1)相似三角形的性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．(2)相似三角形的判定①平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似；②两角对应相等，两三角形相似；③两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；④三边对应成比例，两三角形相似；⑤两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似；⑥直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似．5．射影定理如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，则有下列结论．(1)AC2＝AD·AB；(2)BC2＝BD·AB；(3)CD2＝AD·BD；(4)AC2∶BC2＝AD∶BD；(5)AB·CD＝AC·BC.6．相似三角形的实际应用(1)运用三角形相似的判定条件和性质解决实际问题的方法步骤： ①将实际问题所求线段长放在三角形中； ②根据已知条件找出一对可能相似的三角形； ③证明所找两三角形相似；④根据相似三角形的性质，表示出相应的量；并求解．(2)运用相似三角形的有关概念和性质解决现实生活中的实际问题．如利用光的反射定律求物体的高度，利用影子计算建筑物的高度．同一时刻，物高与影长成正比，即身高影长＝建筑物的高度建筑物的影长.7．相似多边形的性质(1)相似多边形对应角相等，对应边成比例．(2)相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． 8．图形的位似(1)概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做位似中心．(2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．(3)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标比等于k 或－k.(4)利用位似变换将一个图形放大或缩小，其步骤为：①确定位似中心；②确定原图形中各顶点关于位似中心的对应点；③依次连接各对应点描出新图形考点1： 相似三角形的性质【例题1】（2019湖南常德3分）如图，在等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC 的面积为42，则四边形DBCE 的面积是（ ）A．20 B．22 C．24 D．26【答案】D利用△AFH∽△ADE得到，所以S△AFH＝9x，S△ADE＝16x，则16x﹣9x＝7，解得x＝1，从而得到S△ADE＝16，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE的面积．【解答】解：如图，根据题意得△AFH∽△ADE，设S△AFH＝9x，则S△ADE＝16x，∴16x﹣9x＝7，解得x＝1，∴S△ADE＝16，∴四边形DBCE的面积＝42﹣16＝26．故选：D．归纳：1.在三角形问题中计算线段的长度时，若题中已知两角对应相等或给出的边之间存在比例关系，则考虑证明三角形相似，通过相似三角形对应边成比例列关于所求边的比例式求解.2．判定三角形相似的五种基本思路：(1)若已知平行线，可采用相似三角形的基本定理；(2)若已知一对等角，可再找一对等角或再找该角的两边对应成比例；(3)若已知两边对应成比例，可找夹角相等；(4)若已知一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；(5)若已知等腰三角形，可找顶角相等，或找一对底角相等，或找底和腰对应成比例．考点2：相似三角形的判定【例题2】在正方形ABCD中，AB＝4，点P，Q分别在直线CB与射线DC上(点P不与点C，点B重合)，且保持∠APQ＝90°，CQ＝1，求线段BP的长．解：分三种情况：设BP＝x.①当P在线段BC上时，如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°.∴∠BAP＋∠APB＝90°.∵∠APQ＝90°，∴∠APB＋∠CPQ＝90°.∴∠BAP＝∠CPQ，∴△ABP∽△PCQ.∴ABBP＝PCCQ，∴4x＝4－x1，∴x1＝x2＝2.∴BP＝2；②当P在CB的延长线上时，如图2，同理，得BP＝22－2；③当P在BC的延长线上时，如图3，同理，得BP＝2＋2 2. 归纳：基本图形(1)斜边高图形有以下基本结论：①∠BAD＝∠C，∠B＝∠DAC；②△ADB∽△CDA∽△CAB.(2)一线三等角有以下基本结论：①∠B＝∠C，∠BDE＝∠DFC；②△BDE∽△CFD.特殊地：若点D为BC中点，则有△BDE∽△CFD∽△DFE.考点3：相似三角形的综合应用【例题3】(2017·河北模拟)修建某高速公路，需要通过一座山，指挥部决定从E，D两点开挖一个涵洞．工程师从地面选取三个点A，B，C，且A，B，D三点在一条直线上，A，C，E也在同一条直线上，若已知AB＝27米，AD＝500米，AC＝15米，AE＝900米，且测得BC＝22.5米．(1)求DE的长；(2)现有甲、乙两个工程队都具备打通能力，且质量相当，指挥部派出相关人员分别到这两个工程队了解情况，获得如下信息：信息一：甲工程队打通这个涵洞比乙工程队打通这个涵洞多用25天；信息二：乙工程队每天开挖的米数是甲工程队每天开挖的米数的1.5倍；信息三：甲工程队每天需要收费3 500元，乙工程队每天需要收费4 000元．若仅从费用角度考虑问题，试判断选用甲、乙哪个工程队比较合算．【解析】：(1)连接DE.∵AB＝27米，AD＝500米，AC＝15米，AE＝900米，∴ABAE＝ACAD＝3100.又∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED.∴BCDE＝22.5DE＝3100，即DE＝750米．(2)设甲工程队每天开挖涵洞x 米，则乙工程队每天开挖涵洞1.5x 米，依据题意，得 750x －7501.5x ＝25，解得x ＝10. 经检验，x ＝10是原方程的解． 则1.5x ＝15.∴甲工程队打通这个涵洞的时间为75010＝75(天)，甲工程队打通这个涵洞所需的费用为 75×3 500＝262 500(元)； 乙工程队打通这个涵洞的时间为 7501.5x ＝75015＝50(天)， 乙工程队打通这个涵洞所需的费用为 50×4 000＝200 000. ∵200 000＜262 500， ∴选用乙工程队较合算．一、选择题：1. （2018•玉林）两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（ ） A ．：B ．2：3C ．4：9D ．8：27【答案】C【解答】解：∵两三角形的相似比是2：3， ∴其面积之比是4：9， 故选：C ．2. （2018•临沂）如图．利用标杆BE 测量建筑物的高度．已知标杆BE 高1.2m ，测得AB=1.6m ．BC=12.4m ．则建筑物CD 的高是（ ）A ．9.3mB ．10.5mC ．12.4mD ．14m【答案】B【解答】解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴=，即=，∴CD=10.5（米）．故选：B．3. （2019，四川巴中，4分）如图▱ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD＝1：3，连结EF交DC于点G，则S△DEG：S△CFG＝（）A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9【答案】D【解答】解：设DE＝x，∵DE：AD＝1：3，∴AD＝3x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BC＝AD＝3x，∵点F是BC的中点，∴CF＝BC＝x，∵AD∥BC，∴△DEG∽△CFG，∴＝（）2＝（）2＝，故选：D．4. （2019▪贵州毕节▪3分）如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF 后，剩余部分的面积为（）A．100cm2B．150cm2C．170cm2D．200cm2【答案】A【解答】解：设AF＝x，则AC＝3x，∵四边形CDEF为正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴EFBC＝AFAC＝13，∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即302＝（3x）2+（6x）2，解得，x＝25，∴AC＝65，BC＝125，∴剩余部分的面积＝×125×65﹣45×45＝100（cm2），故选：A．5. （2018•泸州）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵FN∥AD，∴四边形ANFD是平行四边形，∵∠D=90°，∴四边形ANFD是解析式，∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，∵AN=BN，MN∥AE，∴BM=ME，∴MN=a，∴FM=a，∵AE∥FM，∴===，故选：C．二、填空题：6.如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD，若B （1，0），则点C的坐标为．【答案】（1，-1）【解答】：连接BC，∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，且B（1，0），即OB=1，∴OD=2，即B为OD中点，∵OC=DC，∴CB⊥OD，在Rt△OCD中，CB为斜边上的中线，∴CB=OB=BD=1，则C坐标为（1，-1），故答案为：（1，-1）7. （2019•山东省滨州市•5分）在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣4，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是（﹣1，2）或（1，﹣2）．【答案】（﹣1，2）或（1，﹣2）【解答】解：以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，点A的坐标为（﹣2，4），∴点C的坐标为（﹣2×，4×）或（2×，﹣4×），即（﹣1，2）或（1，﹣2），故答案为：（﹣1，2）或（1，﹣2）．8. （2018•江西）如图，在△ABC中，AB=8，BC=4，CA=6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，则AE的长为．【答案】4【解答】解：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，∵AB∥CD，∴∠D=∠ABD，∴∠D=∠CBD，∴BC=CD，∵BC=4，∴CD=4，∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴=，∴=，∴AE=2CE，∵AC=6=AE+CE，∴AE=4．9. （2018•遵义）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD 为直径的圆交AC于点E．若DE=3，则AD的长为.【答案】2，【解答】解：如图，在Rt△ABC中，AB=5，BC=10，∴AC=5过点D作DF⊥AC于F，∴∠AFD=∠CBA，∵AD∥BC，∴∠DAF=∠ACB，∴△ADF∽△CAB，∴，∴，设DF=x，则AD=x，在Rt△ABD中，BD==，∵∠DEF=∠DBA，∠DFE=∠DAB=90°，∴△DEF∽△DBA，∴，∴，∴x=2，∴AD=x=2，三、解答题：10. (2018·江西)如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长．【解析】：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD.∵AB∥CD，∴∠D＝∠ABD.∴∠D＝∠CBD.∴BC＝CD.∵BC＝4，∴CD＝4.∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE.∴ABCD＝AECE.∴84＝AECE.∴AE＝2CE.∵AC＝AE＋CE＝6，∴AE＝4.11. (2019湖北荆门)（10分）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．【分析】设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，连接GF并延长交OE于点H，根据GF∥AC得到△MAC∽△MFG，利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．【解答】解：设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，连接GF并延长交OE于点H，∵GF∥AC，∴△MAC∽△MFG，∴，，即：，∴，∴OE＝32，答：楼的高度OE为32米．12. (2018·福建)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8.线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D.(1)求∠BDF的大小；(2)求CG的长．【解析】：(1)∵线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝10.∴∠ABD＝45°.∵△EFG是△ABC沿CB方向平移得到，∴AB∥EF.∴∠BDF＝∠ABD＝45°.(2)由平移的性质，得AE∥CG，AB∥EF，∴∠DEA＝∠DFC＝∠ABC，∠ADE＋∠DAB＝180°. ∵∠DAB＝90°，∴∠ADE＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ADE＝∠ACB.∴△ADE∽△ACB.∴ADAC＝AEAB.∵AC＝8，AB＝AD＝10，∴AE＝12.5，由平移的性质，得CG＝AE＝12.5.13.△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN＝∠B.(1)如图1，当射线DN经过点A时，DM交边AC于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形；(2)如图2，将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于点E，F(点E与点A不重合)，不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论；(3)在图2中，若AB＝AC＝10，BC＝12，当S△DEF＝14S△ABC时，求线段EF的长．【点拨】(1)由题意得AD⊥BD，DE⊥AC，可考虑从两角对应相等的两个三角形相似来探究；(2)依据三角形内角和定理及平角定义，结合等式的性质，得∠BFD＝∠CDE，又由∠B＝∠C，可得△BDF∽△CED；由相似三角形的性质得BDCE＝DFED，进而有CDCE＝DFED，从而△CED∽△DEF；(3)首先利用△DEF的面积等于△ABC 的面积的14，求出点D 到AB 的距离，进而利用S △DEF 的值求出EF 即可．【解答】解：(1)图1中与△ADE 相似的有△ABD ，△ACD ，△DCE. (2)△BDF ∽△CED ∽△DEF.证明：∵∠B ＋∠BDF ＋∠BFD ＝180°，∠EDF ＋∠BDF ＋∠CDE ＝180°， 又∵∠EDF ＝∠B ，∴∠BFD ＝∠CDE.由AB ＝AC ，得∠B ＝∠C ，∴△BDF ∽△CED.∴BD CE ＝DF ED .∵BD ＝CD ，∴CD CE ＝DFED.又∵∠C ＝∠EDF ，∴△BDF ∽△CED ∽△DEF.(3)连接AD ，过点D 作DG ⊥EF ，DH ⊥BF ，垂足分别为G ，H.∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，BD ＝12BC ＝6.在Rt △ABD 中，AD 2＝AB 2－BD 2，∴AD ＝8. ∴S △ABC ＝12BC·AD ＝48.S △DEF ＝14S △ABC ＝12.又∵12AD·BD ＝12AB·DH ，∴DH ＝4.8.∵△BDF ∽△DEF ，∴∠DFB ＝∠EFD. ∵DG ⊥EF ，DH ⊥BF ，∴DH ＝DG ＝4.8. ∵S △DEF ＝12EF·DG ＝12，∴EF ＝5.14. (2019•湖南常德•10分)在等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，作CM ⊥AB 交AB 于点M ，BN ⊥AC 交AC 于点N ．(1)在图1中，求证：△BMC ≌△CNB ；(2)在图2中的线段CB 上取一动点P ，过P 作PE ∥AB 交CM 于点E ，作PF ∥AC 交BN 于点F ，求证：PE+PF ＝BM ；(3)在图3中动点P 在线段CB 的延长线上，类似(2)过P 作PE ∥AB 交CM 的延长线于点E ，作PF ∥AC 交NB 的延长线于点F ，求证：AM•PF+OM•BN ＝AM•PE ．【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，利用AAS定理证明；(2)根据全等三角形的性质得到BM＝NC，证明△CEP∽△CMB、△BFP∽△BNC，根据相似三角形的性质列出比例式，证明结论；(3)根据△BMC≌△CNB，得到MC＝BN，证明△AMC∽△OMB，得到＝，根据比例的性质证明即可．【解答】证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵CM⊥AB，BN⊥AC，∴∠BMC＝∠CNB＝90°，在△BMC和△CNB中，，∴△BMC≌△CNB(AAS)；(2)∵△BMC≌△CNB，∴BM＝NC，∵PE∥AB，∴△CEP∽△CMB，∴，∵PF∥AC，∴△BFP∽△BNC，∴，∴，∴PE+PF＝BM；(3)同(2)的方法得到，PE﹣PF＝BM，∵△BMC≌△CNB，∴MC＝BN，∵∠ANB＝90°，∴∠MAC+∠ABN＝90°，∵∠OMB＝90°，∴∠MOB+∠ABN＝90°，∴∠MAC＝∠MOB，又∠AMC＝∠OMB＝90°，∴△AMC∽△OMB，∴∴AM•MB＝OM•MC，∴AM×(PE﹣PF)＝OM•BN，∴AM•PF+OM•BN＝AM•PE．。

初中阶段的五种图形变换初中阶段，我们学习了五种图形变换：平移变换、轴对称变换、中心对称变换、旋转变换、位似变换。

这些变换都不改变图形的形状，只是改变了其位置。

其中前四种变换还不改变图形的大小。

下面，让我们逐一回顾与归纳。

一、平移1.平移的定义：在平面内，将一个图形沿某一方向移动一定的距离，这样的图形变换称为平移。

（提示：决定平移的两个要素：平移方向和平移距离。

）2.平移的性质：（1）平移前后，对应线段平行（或共线）且相等；（2）平移前后，对应点所连线段平行（或共线）且相等；（3）平移前后的图形是全等形。

（提示：平移的性质也是平移作图的依据。

）3.用坐标表示平移：在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右或向左平移a （a>0）个单位，可以得到对应点（x＋a，y）或（x－a，y）；向上或向下平移b （b>0）个单位，可以得到对应点（x，y＋b）或（x，y－b）。

二、轴对称变换1.轴对称图形：（1）定义：把一个图形沿一条直线对折，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么就称这个图形为轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

（提示：对称轴是一条直线，而不是射线或线段，对称轴不一定只有一条。

）（2）性质：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；②轴对称图形对称轴两旁的图形是全等形。

2.轴对称：（1）定义：把一个图形沿一条直线翻折，如果它能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线就是它们的对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。

（2）性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，则交点必在对称轴上。

（3）判定：①根据定义（提示：成轴对称的两个图形必全等，但全等的两个图形不一定对称）；②如果两个图形对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

沪科版数学九年级上册22.4图形的位似变换教学设计课题22.4图形的位似变换单元第22章学科数学年级九年级学习目标1、理解相似变换及位似相关的概念；2、掌握位似变换的性质；3、会利用位似进行图形的缩放。

重点掌握位似变换的性质，掌握利用位似进行图形的缩放难点利用位似进行图形的缩放教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课1、到目前为止，我们已经学过的图形的哪些变换？对称：有两种轴对称与轴对称图形,对称轴中心对称与中心对称图形,对称中心。

平移：平移的方向,平移的距离。

旋转：旋转中心,旋转方向,旋转角度2、对称、平移、旋转变换，它们的共同特点是什么？这些图形变换都是全等的，把一个图形变换成一个与原来的图形的形状和大小都相同的图形，只是位置不同。

在日常生活中，我们经常见到这样一类相似的图形，这样的放大缩小，没有改变图形形状，经过放大或缩小的图形，与原图形是相似的，因此，我们可以得到真实的图片和满意的照片。

学生回顾图形的变换，为研究图形的位似变换作好准备。

为探究图形的位似变换做好准备。

学生讨论回答提出的问题。

讲授新课 活动探究：思考以下问题。

上面的相似图形具有什么特点呢？例1 要把四边形ABCD 放大为原来的2倍（即新图与原图的相似比为2）。

1、在四边形ABCD 所在平面内外任取一点O ；2、以点O 为端点作射线OA ，OB ，OC ，OD ；3、分别在线段OA 、OB 、OC 、OD 上取点A'、B'、C'、D'，使得4、连接点A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′ A ′所得四边形A ′ B ′ C ′ D ′即为所求。

本题还可以按下图方法作图1、在四边形ABCD 所在平面内任取一点O;2、分别以点A 、B 、C 、D 为端点做射线AO ，BO 、CO 、DO;3、分别在线段OA 、OB 、OC 、OD 上取点A'、B'、C'、D'，使得4、连接点A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′ A ′所得四边形A ′ B ′ C ′ D ′即为所求。

专题21 图形的相似与位似核心知识点精讲1．理解掌握比例线段的相关概念；2．理解掌握比例的性质、黄金分割点等定义； 3．理解掌握平行线分线段成比例定理； 4．理解掌握什么是相似多边形、位似图形。

考点1 比例线段1.比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写成a ：b=m ：n在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段 若四条a ，b ，c ，d 满足或a ：b=c ：d ，那么a ，b ，c ，d 叫做组成比例的项，线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项，线段的d 叫做a ，b ，c 的第四比例项。

如果作为比例内项的是两条相同的线段，即cbb a =或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项。

2.比例的性质 （1）基本性质①a ：b=c ：d ⇔ad=bc ②a ：b=b ：c ac b =⇔2（2）更比性质（交换比例的内项或外项）dbc a =（交换内项） ⇒=d c b a acb d =（交换外项）abc d =（同时交换内项和外项） （3）反比性质（交换比的前项、后项）： （4）合比性质： （5）等比性质： 3.黄金分割把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分nmb a =dc b a =割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=215-AB ≈0.618AB 考点2 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

相似多边形 图形的放大与缩小，位似变换一、一周知识概述1、相似多边形对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫作相似比．2、相似多边形的性质相似多边形的对应角相等，对应边成比例．性质：相似多边形周长的比等于相似比；相似多边形面积的比等于相似比的平方． 例如：如图所示，已知四边形ABCD ∽四边形A′B′C′D′，且．则：(1)∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，∠D=∠D′；(3)四边形ABCD 的周长︰四边形A′B′C′D′的周长=k ；(4)S 四边形ABCD ︰S 四边形A′B′C′D′=k 2．3、位似变换与位似图形取定一点O ，把图形上任意一点P 对应到射线OP(或它的反向延长线)上一点P′，使得线段OP′与OP 的比等于常数k(k>0)，点O 对应到它自身，这种变换叫做位似变换，点O 叫作位似中心，常数k 叫作位似比，一个图形经过位似变换得到的图形叫作与原图形位似的图形．两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫做位似图形．4、以原点为位似中心的位似变换的性质在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k．若原图形上的点的坐标为（x，y），像与原图形的位似比为k，则像上的对应点的坐标为（kx，ky）或（－kx，－ky）．二、重难点知识1、相似多边形性质时应注意以下几点：①面积比=(相似比)2，当已知面积比求相似比时，要进行开方运算：相似比=；②面积比=．(2)相似多边形中，对应三角形相似，其相似比等于原相似多边形的相似比；相似多边形中对应对角线的比等于相似比；相似多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．2、研究相似多边形的性质时遵从将复杂的问题转化为简单的问题的一般方法，即从三角形入手，将多边形问题转化为三角形问题来处理．3、位似图形的两个特征（1）两个图形是相似图形；（2）两个相似图形每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行或重合．4、位似变换和位似图形的性质两个位似图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上，并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于位似比．5、相似图形与位似图形的区别与联系：两个图形是相似图形，但不一定是位似图形；两个图形是位似图形，它们一定是相似图形．三、典型例题讲解例1、如图所示，在一块长和宽分别为a和b(a＞b)的长方形黑板的四周，镶上宽度为x(x≠)的木条，得到一个新的长方形。

2023-11-08contents •图形相似的基本概念•图形相似的判定方法•图形位似的基本概念•图形位似的应用•图形相似与图形位似的异同点•典型例题解析目录01图形相似的基本概念相似图形的定义如果两个图形形状相同，大小不同，且它们对应线段的长度成比例，则称这两个图形相似。

相似图形的判定方法根据相似图形的定义，可以通过比较两个图形对应线段的比例来判断它们是否相似。

相似图形的定义相似图形的性质相似图形具有相同的周长、面积和对应角的大小。

相似图形的对应线段相似图形的对应线段成比例，对应角的大小相等。

相似图形的性质根据相似图形的定义，可以将相似图形分为位似图形和非位似图形。

相似图形的分类位似图形的定义位似图形的性质如果两个图形不仅相似，而且对应线段所在的直线交于一点，则称这两个图形位似。

位似图形具有相同的周长、面积和对应角的大小，且对应线段所在的直线交于一点。

03相似图形的分类020102图形相似的判定方法通过定义直接判定定义如果两个图形的形状相同，大小可以不同，则这两个图形是相似图形。

判定方法直接观察两个图形的形状是否相同。

如果两个三角形对应角相等，对应边成比例，则这两个三角形是相似三角形。

定义测量两个三角形对应角的大小和对应边的长度，判断它们是否满足对应角相等和对应边成比例的条件。

判定方法通过测量相似三角形的角度和边长判定矩阵变换和线性变换是图形变换的两种方式，通过这些变换可以将一个图形变为另一个图形。

判定方法通过矩阵变换和线性变换将一个图形变为另一个图形，判断它们是否满足相似图形的定义。

定义通过矩阵变换和线性变换判定VS03图形位似的基本概念位似是图形相似的一种特殊形式，是指两个图形在位似变换下保持相似。

位似变换是指将一个图形沿着某个方向拉伸或压缩，而保持其形状不变的变换。

位似的分类根据变换的方向和方式，位似可以分为单向位似和双向位似。

根据图形是否在平面上，位似可以分为平面位似和空间位似。

单向位似是指沿着某个方向进行拉伸或压缩变换，而双向位似是指在两个方向上进行拉伸或压缩变换。

平面几何中的相似比定理与位似在平面几何中，相似比定理与位似是两个重要的概念。

它们对于解决几何问题以及在实际生活中的应用都具有重要的意义。

本文将详细介绍相似比定理与位似的概念、性质以及应用案例。

一、相似比定理相似比定理是在几何形状相似的情况下，两个相似图形的对应边的长度之间的比值是相等的。

设有两个相似的三角形ABC和DEF，其中BC与EF对应，AC与DF对应，AB与DE对应。

那么有以下相似比定理成立：1. 侧边比定理：AB/DE=BC/EF；2. 高度比定理：h_a/h_d=BC/EF；3. 面积比定理：S_△ABC/S_△DEF=(BC/EF)^2。

相似比定理在解决几何问题时非常有用。

通过利用相似比定理，我们可以在已知图形的一部分信息的情况下，推导出其余部分的信息。

例如，如果我们知道一个三角形的底边长度和高度之间的比例，利用相似比定理可以求得其他边的长度、面积等信息。

二、位似的概念与性质位似是指在平面上，两个图形虽然形状不同，但是它们的对应边相互平行且长度之比相等。

位似的关键在于保持对应边的比例不变。

在位似的情况下，两个图形之间存在以下性质：1. 对应边平行：位似的图形中，对应边是平行的；2. 对应角相等：位似的图形中，对应角是相等的；3. 边长比相等：位似的图形中，对应边之间的长度比例是相等的。

位似在实际生活中的应用非常广泛。

例如在地图上，两个不同比例尺的地图是位似的，通过位似关系，我们可以在不同比例尺的地图上进行距离和角度的换算。

三、相似比定理与位似的应用案例相似比定理与位似在日常生活和工作中有着广泛的应用，下面将介绍几个典型的应用案例。

1. 地理测量：地理测量中常用的仪器如测绘仪、全站仪等，其数据处理过程中用到了相似比定理。

通过测量不同位置上的三角形边长比例关系，我们可以计算出高度、距离等信息。

2. 建筑设计：在建筑设计中，相似比定理与位似常被运用于平面设计、线条设计等。

通过调整不同形状的图形的比例关系，实现建筑设计的美观与和谐。