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位似图形

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位似图形的定义及性质

位似图形的定义及性质

位似图形的定义及性质什么是位似图形？位似图形（IsomorphicGraphs）是由同一类图形组成的图，它们的全部节点及边都相同，但是它们的外形可能不太一样。

位似图形的定义主要指的是一种同构的连通图，它们之间的节点和边都是相似的。

准确来说，这些图形之间的数量和结构是相同的，只是它们的外形不同。

位似图形的研究可以追溯到1890年，当时首先由荷兰数学家安德森威尔金斯提出。

它是一种独特的结构，可以通过某种形式从一个图中转换到另一个图，而且，只要这两个图是位似图形，它就能够完全保持它们之间的联系。

从数学上来看，位似图形可以被表示为一对有向图。

它们中可能包含一个或多个节点和一个或多个边，这些边可以有不同的方向。

两个位似图形的关系可以用一个分析函数来表示，这个函数的输入是一对图，而输出是一个布尔值，如果给定的两个图形是位似图形，它就会返回一个真值，反之亦然。

位似图形的性质是相当有用的，特别是在研究图论的早期，位似图形的研究有助于数学家们理解图论中的基本概念以及图结构之间的联系。

它也帮助人们发现更多有关任意给定图结构的细节，例如有关它的节点数量、边数量、节点之间的关系等等。

位似图形的研究也是一个重要的工具，它帮助数学家们研究不同图论结构之间的关系。

例如，研究人员可以比较两个不同的图形，看看它们之间有何不同，从而发现它们之间的联系，从而给出更深入的结论。

另外，位似图形在算法和机器学习方面也有很多应用，它们可以帮助计算机程序发现图形之间的关系，并找出有用的特征以及对它们进行分类。

有时，它们甚至可以帮助计算机解决复杂的问题，比如解决最短路径问题。

总的来说，位似图形的定义和性质有助于数学家们更好地理解图结构之间的联系，从而发现更多有用的信息。

它们也有许多应用，例如在计算机程序，机器学习，以及算法研究方面。

位似图形-精品文档

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根据定义判定
1 2
平行
如果两个图形是位似图形，那么它们的对应线 段互相平行或共线。
比例
如果两个图形是位似图形，那么它们的对应角 相等，并且对应线段成比例。
3
合同
如果两个图形是位似图形，那么它们具有相同 的形状和大小，只是位置不同。
利用坐标判定
设两个点$P(x_1, y_1)$和$Q(x_2, y_2)$，它们之间的坐标距离为$d(P,Q)$，如果存在一个实数$k$，使得$d(P,Q)=k\cdot d(P',Q')$，则称这两个点之间的距离为位似距离。
加强位似图形的基础理论研究和探索，为未来的应用 创新提供更多理论支撑和实践指导。
THANKS
旋转变换
要点一
平面直角坐标系下
将一个图形绕原点旋转一定的角度。
要点二
矩阵表示
旋转变换矩阵为$[\begin{matrix} cos\theta & sin\theta \\ \end{matrix}\begin{matrix} sin\theta & cos\theta \\ \end{matrix}]$，其中$\theta$为旋转 的角度。
位似中心
在位似图形中，对应线段的交点称为位似中心。
位似图形的分类
简单位似
位似中心与任意两对应点连线的交点重合。
复杂位似
位似中心与任意两对应点连线的交点不重合。
位似图形的几何意义
相似图形的对应线 段长度成比例。
位似图形之间的距 离可以表示相似比 。
位似图形的对应角 相等或互补。
02
位似图形的应用
在相似三角形中的应用
判定相似三角形
利用位似图形，可以将两个三角形的对应角相等，对应边成 比例，判定为相似三角形。

图形的位似

图形的位似

图形的位似要点一、位似多边形1.位似多边形定义:如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.要点诠释：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点.要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.要点二、坐标系中的位似图形在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k (k ≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k |.要点诠释：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k 或-k.一、典型例题类型一、位似多边形1. 下列每组的两个图形不是位似图形的是（ ）.A. B. C. D.举一反三【变式】在小孔成像问题中， 根据如图4所示，若O 到AB 的距离是18cm ，O 到CD 的距离是6cm ，则像CD 的长是物AB 长的 （ ）.A. 3倍B.21 C.31 D.不知AB 的长度，无法判断2. 利用位似图形的方法把五边形ABCDE 放大1.5倍.举一反三【变式】在已知三角形内求作内接正方形．类型二、坐标系中的位似图形3.如图，在10×10的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，以点A为位似中心画四边形AB′C′D′，使它与四边形ABCD位似，且相似比为2．（1）在图中画出四边形AB′C′D′；（2）填空：△AC′D′是三角形．4.如图△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，3），C（3，0）．（1）以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2．（2）在（1）的条件下，若M（a，b）为△ABC边上的任意一点，则△DEF的边上与点M对应的点M′的坐标为．举一反三：【变式】如图，将△AOB中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，•得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？二、巩固练习一. 选择题1.下面给出了相似的一些命题：（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似；其中正确的有（）.A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2.下列说法错误的是（）.A.位似图形一定是相似图形.B.相似图形不一定是位似图形.C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行.3.下列说法正确的是（） .A.分别在ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则ADE是ABC放大后的图形.B.两位似图形的面积之比等于相似比.C.位似多边形中对应对角线之比等于相似比.D.位似图形的周长之比等于相似比的平方.4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣9，18）C．（﹣9，18）或（9，﹣18）D．（﹣1，2）或（1，﹣2）5. 下列命题：①两个正方形是位似图形；②两个等边三角形是位似图形；③两个同心圆是位似图形；④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形.其中正确的有( ).A.1个B.2个C.3个D.4个6．如果点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式不正确的是（）.A. AB：AC=AC：BCB. AC=512AB-C.AB=512AC+D.BC≈0.618AB7.已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）.A. 512-B.512+C.3D.2二.填空题8. 如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形周长为30cm，则较大图形周长为__________.9.如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE=．10．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A B C D E'''''，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A B C D E'''''的周长的比值是__________．11. △ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，△ADE是△ABC缩小后的图形.若DE把△ABC的面积分成相等的两部分，则AD：AB=________.12. 把一矩形纸片对折，如果对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为____________________.13.如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第，三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OA n B n C n的边长为正方形OABC边长的倒数，则n=．14. 如图，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=36°，∠ABC的平分线与AC边的交点D为边AC的黄金分割点（AD＞DC），则BC=______________.三．综合题15.如图，D、E分别AB、AC上的点.(1)如果DE∥BC，那么△ADE和△ABC是位似图形吗？为什么？(2)如果△ADE和△ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？16.如图，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF，（1）图中有哪几对位似三角形，选其中一对加以证明；（2）若AB=2，CD=3，求EF的长．17. 如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=43．（1）求矩形ODEF的面积；（2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，△ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．。

图形的位似课件

图形的位似课件

03
位似的判定
依据定义判定位似
定义
如果两个图形不仅是相似图形， 而且每组对应顶点间的距离都相 等，则称这两个图形为位似图形 。
判定方法
判断两个图形是否为位似图形， 需要满足两个条件：一是相似， 二是对应顶点间的距离相等。
依据性质判定位似
性质1
位似图形对应边长之比是一个常数，记作k。
性质2
位似图形对应角相等。
室内空间布局
在室内设计中，位似原理可以帮助设计师复制家具、灯具 或其他装饰元素，以实现整个空间的统一感和和谐感。
位似在机械设计中的应用
01 02
机械零件设计
在机械设计中，位似原理常用于创建具有特定功能的机械零件。通过复 制和调整现有零件的形状和尺寸，工程师可以快速设计出满足特定需求 的零件。
装配线设计
位似与等腰三角形
总结词
等腰三角形是一种具有两边长度相等且对应的角相等的三角 形。位似可以用来描述等腰三角形的形状和大小关系。
详细描述
等腰三角形具有两个相等的角和两条相等的边。在位似变换 下，一个等腰三角形可以变为另一个大小不同的等腰三角形 ，但它们的形状和角的大小保持不变。这种特性在几何证明 和实际问题中具有广泛应用。
04
位似的作图方法
ห้องสมุดไป่ตู้
依据定义作位似图
定义
位似图形是相似图形的一种特殊情况 ，当两个图形不仅是相似图形，而且 每对对应顶点连接后都经过同一个点 时，这两个图形称为位似图形。
描述
依据位似的定义，我们可以确定位似 图形的作图方法。首先，确定相似比 和相似中心，然后根据相似中心和相 似比绘制出位似图形。
依据性质作位似图
位似与等腰梯形
总结词

什么是位似图形

什么是位似图形

什么是位似图形?
疑点：什么是位似图形?
解析：当相似的两个图形的对应顶点的连线相交于一点时，就说这两个图形位似。

这个概念中包括两个条件，这两个条件缺一不可。

1.两图形相似;2.对应点的连线所在直线都经过同一点.
如图：上图中，△ABC与△A'B'C'相似，且对应顶点的连线交于点0，故△ABC与△A'B'C'是位似图形，O点为“位似中心”
通过上图还可以发现，两个三角形的对应边平行，由此得出重要性质：位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上。

位似图形是相似图形的一种特殊情况，位似图形的相似比称为位似比。

结论：当相似的两个图形的对应顶点的连线相交于一点时，就说这两个图形位似。

此时的相似比称为位似比，交点称为位似中心。

本文由索罗学院整理。

位似图形

位似图形

位似图形的性质
若△ABC与△A’B’C’的相似比为：1:2，则OA： OC：OC’= 1:2 OA’= 1:2 OB：OB’=1:2 位似图形中，对应点到与位似中心连线段长度的比 也等于相似比。位似图形的相似比又叫做位似比。
A’ A B’
B O C C’
与位似图形有关的作图
作出下列位似图形的位似中心
思考，对于上面的作图过程，如果位似中心在图形内部 或顶点，或边上行不行？
A A’ B
B’ D
O
D’
C’ C
坐标系中的位似变换
在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原点O为 位似中心,位似比为3:1,把线段AB缩小.
y A
A'
o
B'
B
x
A(6,3), A′(2,1),
B(6,0), B′(2,0)
y A
A'
B' A'
o
B'
B x
例题.在平面直角坐标系中, 四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为 A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个以原点O为位似中心, 相似比为1/2的位似图形.
A
A′
y
D
D′
B
B′
C1
C′
C
o D1B1 A1x Nhomakorabea同向A′( -3,3 ), B′( -4,1 ), C′( -2,0 ), D′( -1,2 ) 反向A1 (3,-3 ), B1(4,-1 ), C1(2,0 ), D1(1,-2 )
观察对应点之间的坐标的变化,你有什么发现?
坐标系中的位似变换
在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原点O为 位似中心,位似比为3:1,把线段AB缩小.

4.8图形的位似


4、画一个三角形,将△ABC的三边缩小为原来的一半。
B
E
●
O
F D
●
●
C A
课堂小结
（1）五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′
（2）正方形ABCD与正方A′B′C′D′
（3）等边三角形ABC与等边三角形A′B′C′
2、哪些图形是位似图形并指出位似图形的位似中心。
O
P
(1)
√
(2)
×
(3)
√
位似中心是点O。
位似中心是点P。
3、作出一个新图形，使新图形与原图形位似比是1∶2。
相似 对应点的连线相交一点 对应边平行
概念与性质 1．位似多边形的概念
如果两个相似多边形任意一组对应顶
点P,P'所在的直线都经过同一点O,且有
OP'=k·OP(k≠0),那么这样的两个多边形 叫做位似多边形,点O叫做位似中心.
相似 对应点的连线相交一点 对应边平行
位似图形的特点 对应点与位似中心共线。 不经过位似中心的对应边平行。 位似图形上任意一对对应点到位似中 心的距离之比（位似比）等于相似比。 位似中心只有一个，且位置分两大类。
注意
位似是一种具有位置关系的相似。 位似图形是相似图形的特殊情形。 位似图形必定是相似图形，而相似图形不 一定是位似图形。 两个位似图形的位似中心只有一个。 两个位似图形可能位于位似中心的两侧， 也可能位于位似中心的一侧。
位似的作用
位似可以将一个图形放大或缩小。
Байду номын сангаас
随堂练习
1. 判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是.
4.8
图形的位似
回顾与反思

位似图形的定义及性质

位似图形的定义及性质
位似图形是一种强大的几何图形，由它可以刻画出许多几何概念，从而使得几何知识更加容易理解和运用。

它已经被广泛应用于许多领域，如研究物理学，以及一些工程领域。

那么，位似图形究竟是什么？以及位似图形的性质有哪些？
一、位似图形的定义
位似图形是一种可以用来描述几何形状的图形。

它被称为位似图形，是因为它由一系列的位置感知的图案组成，它们几乎可以完全重叠，而不会改变它们的形状，大小以及位置。

例如，圆形是一个最常见的位似图形，它是一个由很多小的圆点组成，而这些小圆点几乎可以重叠并且完全相同。

二、位似图形的性质
1、符号化：位似图形能将复杂的空间状态用简单的符号来表示，从而使得几何知识更加容易理解和运用。

2、视觉感知：位似图形的形状和大小可以在视觉上进行感知，
可以更加直观地感受几何状态。

3、精确度高：位似图形可以很好地反映几何形状的精确度，它
可以准确地反映几何的形状和大小，使得几何知识更加有效。

4、信息量大：位似图形能够精确表达出几何形状的详细信息，
能够体现出几何形状的复杂性并反映出它在特定空间位置的信息。

由以上性质可知，位似图形是一种获取几何信息的有效工具，能够较为准确地描述出几何形状的精细细节。

它既适用于描述几何图形，
也可以用来描述物理、空间等属性。

位似图形性质的学习，可以帮助我们更好地理解几何知识，更好地应用几何知识。

综上所述，位似图形是一种具有符号化、视觉感知、精确度高、信息量大等性质的一种几何图形。

它为学习和应用几何知识提供了一个良好的视角，可以让我们更加清晰地感受到几何形状的变化，辅助我们更好地理解和应用几何知识。

位似图形PPT课件

2.9位似图形
☞ 回顾与反思
• 什么叫相似多边形？ • 什么叫相似多边形的相似比？ • 判断两个三角形相似有哪些方法？
位似图形的概念，什么是位似中心，位似 比？
(1) 两个图形相似(2) 每组对应
点所在的直线都交于一点,那么这 样的两个图形叫做位似图形, 这个点 叫做位似中心, 这时的相似比又称为 位似比.
中心的距离,它们的比与位似比有什么关系?FELB O
G
K D
H C
位似图形有何性质？
• 位似图形的对应点和位似中心的关系 • 任意一对对应点到位似中心的距离之 比
• 例1.如图， • (1)如果DE∥BC,那么△ADE和△ABC是位似图 形吗？为什么？
(2)如果△ADE和△ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？
3 下列四边形ABCD和四边形EFGD是位似图形，它们的位似 中心是（ ） A.点 B.点F C.点G D.点D
4 已知上图中，AE∶ED=3∶2，则四边形ABCD与 四边形EFGD的位似比为（ ） A. 3∶2 B. 2∶3 C. 5∶2 D. 5∶3
(1)在各图中，位似图形的 位似中心与这两个 图形有什么位置关系？
（1）位似中心在两个图形的同侧； （2）位似中心在两个图形的之间； （3）位似中心在两个图形的内部； （4）位似中心在两个图形的一条对应边上； （5）位似中心在两个图形的一个对应顶点处；
A
在如图中任取一对对应点,度量这两个点到位似
从几方面回答？
A
D
E
B
C
练习
1、下列说法正确的是（ ）
A.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定全等； B.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形不一定相似； C.两个图形如果是相似图形，那么这两个图形一定位似； D.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定相似。

位似图形的性质


所有对应点连线交于一 点，该点称为位似中心 。
所有对应点到位似中心 的距离之比等于相似比 。
坐标变换原理及应用
原理
在平面直角坐标系中，一个图形经过位似变换后，其各顶点的坐标会发生变化。若位似中心为原点， 则各顶点坐标的变化规律为：横、纵坐标均乘以相似比或相似比的倒数。若位似中心不是原点，则需 先将图形平移到原点，进行位似变换后再平移回原位置。
THANKS
感谢观看
例3
利用位似性质解题
• 题目描述
利用位似图形的性质解决与图形变换相关的问 题。
•Байду номын сангаас解析过程
根据题目的具体条件，结合位似图形的性质，通过逻辑推理和计算求解问题。
解题思路与方法总结
2. 分析图形特点，识别是 否为位似图形。
1. 仔细审题，明确题目要 求。
解题思路
01
03 02
解题思路与方法总结
• 根据位似图形的性质，确定解题思路。
拓展题1
复杂图形的位似判断
• 题目描述
给出两个复杂图形，判断是否位似 ，并说明理由。
• 解题思路
首先识别图形的关键点，然后比较 关键点之间的距离比例是否相等来 判断两个图形是否位似。
拓展题2
动态变化的位似图形
• 题目描述
描述一个动态变化的图形过程，判 断过程中哪些时刻的图形是位似的 。
• 解题思路
分析动态变化过程中图形的特点， 找出满足位似条件的时刻，并说明 理由。
判定方法及证明
对应点连线交于一点。
证明：通过证明两个三角形对应角相等和对应边成比例，可以证明它们是相似的 。如果进一步证明它们的对应点连线交于一点，则可以证明它们是位似的。具体 证明过程可以通过几何作图、代数运算等方法进行。
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B’、C’，使OA’/OA=1/2、OB’/OB=1/2、
OC’/OC=1/2。 5、连结A’B’C’，所连成的图形就是所求
作图形。
练习与拓展 特殊性质在作图中的运用
OA’:OA =OB’:OB =OC’:OC= 2:1 A.'
确定位似中心
A
确定原图的关键点
O.
确定位似比
B
.C
.
找出新图形的对应关键点
=
OB' OB
=
…
=
A'B' AB
AF （3）图中，位似中心为 A,则：AD
＝AAPC
＝AAEB
＝EBPC
＝FDPC
位似图形的画法
A
以0为位似中心把△ABC
在同侧缩小为原来的一半。
B
A’
步骤： 1、画出ABC 2、选取中心点 O
B’ C
C’
3、连结OA、OB、OC。
4、在OA、OB、OC上分别选取A’、
-2 A
C
-4 A'
-6
B
8 9 101112
C'
-8
解： A'（ 4 ，－ 4 ），B ' （
B' 8 ， － 10 ），C ' （ 10 ，－4 ），
A" （－ 4 ， 4 ），B" （－ 8 ， 10 ），C" （－10 ，4 ），
小结
1. 位似图形
2.位似图形的性质
3.利用位似的特殊性质可以把一个图形放大或缩小
结论2：位似中心的位置由两个图形的位置决定，可能在
两个图形的同侧，异侧，图形的内部，边上，或顶点上
二. 位似图形的性质
⑴一般性质：具有相似多边形的性质
周长比等于位似比 面积比等于位似比的平方
⑵特殊性质：位似图形上任意一对对应顶点到位似中心的距离
之比等于位似比.
OA' (1)，(2)图中，位似中心为 0，则： OA
A'
B〞
o
B'
A〞
A
观察对应点之间的坐标
的变化,你有什么发现? x
B
结论3：在平面直角坐标系中, 以原点O为位似中心,位似比为k, 若原图形上点A的坐标为（x，y），那么位似图形对应点A’的 坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）
探索2:
在平面直角坐标系中, △ABC三个顶点的坐标分别为 A(2,3),B(2,1),C(6,2),以原点O为位似中心,位似比 为2画它的一个位似图形.
注：图形这些不同的变换是我们学习几何必不可少的重要 工具,它不但装点了我们的生活,而且是学习后续知识的基础.
下面请欣赏如下图形的变换
自学检测：
观察与思考☞
下列图形中，每个图中的四边形ABCD和四边形A′B′C′D′都 是相似图形.分别观察这五个图，你发现每个图中的两个四边 形各对应点的连线有什么特征？
解：如图，因为0为位似中心，位似比为1/2 ，分别取点
A′( -3,3 ), B′( -4,1 ), C′( -2,0 ), D′( -1,2 )
D’’
依次连接点A′ B′ C′ D′就是要求作的位似图形。
练习
1. 如图表示△AOB和把它缩小后得到的△COD，求它们的 相似比．
点D的横坐标为2
点B的横坐标为5
A A’ D’
B B’ C’
D
C
A’
AB
B’
B
A’
C
例2、判断下列各对图形哪些是相似图形，哪些是位似 图形.
①DE∥BC
②∠AED＝∠B
相似且位似
相似但不是位似
A
D
③两个正方形
E F
相似但不是位似
B
C
G
结论1：位似图形是相似
图形的特殊情形，相似图
形不一定是位似图形，可位 似图形一定是相似图形
观察下列位似图形的位似中心，你发现了什么？
的规律，点A的对应点A‘的坐标
-6
为 61,61 ，即（－3，
-8
2 2
3）．类似地，可以确定其他顶
点的坐标．
解：如图，利用位似变换中对应点的坐标的变化规律．分别取点
A'（－ 3 ， 3 ），B ' （ － 4 ， 1 ）， C ' （ －2 ， 0 ），D'（ －1， 2 ）．
就这一个结果 吗？
1．两图形相似． 2．每组对应点所在直线都经过 同一点． 3. 对应边互相平行，或在同一 条直线上
显然，位似图形是相似图形的特殊情
形，其相似比又叫做它们的位似比.
自学检测：
辨一辨
1. 判断下列各对图形是不是位似图形.
（1）正五边形ABCDE与正五边形A′B′C′D′E′；是 （2）等边三角形ABC与等边三角形A′B′C′. 是
B’
C’
画出图形 1．如图，已知△ABC和点O.以O为位似中心，求作
△A’B’C’ 和△ABC位似，且位似比为2.
注：在作图中，如无特殊说明，位似比通常代表新图形与原图形的比。 k﹥1，将原图形放大，0＜k＜1，将原图形缩小
思考：还有没其他作法？
C.’
. B’
A
. O
B
C
.
A'
如果位似中心给定在三角形内部呢？
做一做：
O
●
F
C
●
D
A
任意画一个三角形,小为原来的一半。
0 C’
B’
A’
A B
C
探索: 位似变换与平面直角坐标系
在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原点O为 位似中心,相似比为1:3,把线段AB缩小.
y
A
.A'
x
.
o
B'
相似比为 2 5
8A
6
4C
2
-8 -6 -4 -2 O -2
B 2D 4 6 8
-4
-6
-8
B"
2. 如图，△ABC三个顶 点坐标分别为A（2，－
2），B（4，－5），C C"
（5，－2），以原点O为
8 6
A" 4
2
位似中心，将这个三角 形放大为原来的2倍．
-12 -10-9-8 -6 -4
-2 O 2 4 6
（3）在平行四边形ABCD中，△ABO与△CDO 是
例1.判断下列各对图形是不 是位似图形.
(1)相似五边形ABCDE与五边形
A’B’C’D’E’;
(是)
(2)正方形ABCD与正方形A’B’C’D’;
(是)
(3)等边三角形ABC与等边三角形
A’B’C’.
A
C’ ( 是 )
B’
E’ E
D’ D
C C’
4.有关的三个结论
结论1：位似图形是相似图形的特殊情形
结论2：位似中心的位置由两个图形的位置决定，可能在两个 图形的同侧，异侧，图形的内部，边上，或顶点上 结论3：结论3：在平面直角坐标系中, 以原点O为位似中心,位 似比为k,若原图形上点A的坐标为（x，y），那么位似图形对 应点A’的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）
一．位似图形的概念
如果两个图形不仅相似，而且每组对应顶点所在 的直线都经过同一点，对应边互相平行（或共 线）,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫 做位似中心，其相似比又叫做位似比.
相似 对应顶点的连 对应边平行（或共线） 线相交于一点
注：三者缺一不可！
自学检测：
同时满足下面三个条件的两个图形 才叫做位似图形．三条件缺一不可．
8
6
A'
4A
2 B'
B
-12 -10-9-8
-6
-4B"-2
O -2
24
-4
C"
-6
A"
-8
C' C
6 8 9 101112
位似变换后A，B，C的对应点为
A '（ 4 ，6 ），B ' （ 4 ， 2 ），C ' （12 ，4 ）； A" （－4 ，－6），B" （－4，－2），C" （－12，－4）．
依次连接点A'B'C'D'就是要求的四边形ABCD的位似图形．
例3.在平面直角坐标系中, 四边形ABCD的四个顶点的坐标
分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的 以一原个 点O为位似中心,位似比为1/2的位似图形.
y
A
D
A′
B
D′
B′
C’’
x
C
C′
o
B’’
A’’
B
观察对应点之间的坐标 的变化,你有什么发现?
A′(2,1) B′(2,0) A (6,3) B (6,0)
在平面直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原 点O为位似中心,位似比为1:3,把线段AB缩小.
A′(2,1),B′(2,0) y
A〞(-2,-1),B〞(-2,0) A (6,3), B (6,0),
23.5位似图形
O C’
B’
A’
A B
C
本节课学习目标
• 1. 掌握用位似变换把一个图形放大或缩 小，了解平面直角坐标系下的位似变换 图形的坐标特点.
• 2.理解相似变换、位似变换，相识图形及 其有关概念.
回顾与反思
1. 前面我们已经学习了图形的哪些变换？ 对称(轴对称与轴对称图形,中心对称与中心对 称图形)：对称轴,对称中心. 平移：平移的方向,平移的距离.