圆周角第二课时

第2课时 圆周角定理的推论和圆内接多边形教学目标知识技能1．能推导和理解圆周角定理的两个推论，并能利用这两个推论解决相关的计算和证明．2．知道圆内接多边形和多边形外接圆的概念，明确不是所有多边形都有外接圆．3．能证明圆内接四边形的性质，并能应用这个性质解决简单的计算和证明等问题． 数学思考与问题解决1．通过圆的特殊内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的探究，培养学生观察、分析、概括的能力．2．通过定理的证明探讨过程，促进学生的发散思维；通过定理的应用，进一步提高学生的应用能力和思维能力．3．在解决几何问题时，常常需添加辅助线，以此构建定理所需的基本图形，运用相关图形的性质得到问题的解决．情感态度在教学中渗透事物普遍存在的相互联系、相互转化的观点，让学生体验到用运动的观点来研究图形的思想方法，同时，借助计算机技术，培养学生在数学学习中的动手实践能力，通过让学生充分感受发现问题和解决问题带来的愉悦，培养学生的创新意识．重点难点重点：圆周角定理的两个推论和圆内接四边形的性质的运用．难点：圆内接四边形性质定理的准确、灵活应用以及如何添加辅助线．教学设计活动一：温习旧知1．圆周角定理的内容是什么？2．如图，若BD ︵的度数为100°，则∠BOC ＝________，∠A ＝________.3．如图，四边形ABCD 中，∠B 与∠1互补，AD 的延长线与DC 所夹∠2＝60°，则∠1＝________，∠B＝________.4．判断正误：(1)圆心角的度数等于它所对的弧的度数．()(2)圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．()(答案：1.略；2.100°，50°；3.120°，60°；4.略．)设计意图：在本节课一开始设计“温习旧知”这个环节，不只是对上一节课知识的简单回顾，用意在于要由“旧知”引出“新知”．三个具体问题既全面地“温习旧知”，又为下面的教学环节搭起支架．活动二：探索圆周角定理的“推论”1．请同学们在练习本上画一个⊙O.想一想，以A、C为端点的弧所对的圆周角有多少个？试着画几个．然后教师引导学生：观察下图，∠ABC、∠ADC、∠AEC的大小关系如何？为什么？让学生得出结论后，教师继续追问：如果把这个结论中的“同弧”改为“等弧”，结论正确吗？2．教师引导学生观察下图，BC是⊙O的直径．请问：BC所对的圆周角∠BAC是锐角、直角还是钝角？让学生交流、讨论，得出结论：∠BAC是直角．教师追问理由．3．如图，若圆周角∠BAC＝90°，那么它所对的弦BC经过圆心吗？为什么？由此能得出什么结论？4．师生共同解决教材第87页例4.设计意图：通过设计问题串让学生了解几个推论的由来，同时培养学生的探索精神．活动三：探索圆内接四边形的性质1．教师给学生介绍以下基本概念：圆内接多边形与多边形的外接圆；圆内接四边形与四边形的外接圆．2．要求学生画一画，想一想：在⊙O上任作它的一个内接四边形ABCD，∠A是圆周角吗？∠B、∠C、∠D呢？进一步思考，圆内接四边形的四个角之间有什么关系？3．先打开几何画板，验证学生的猜想，然后再引导学生证明，最后得出结论：圆内接四边形的对角互补．4．课件展示练习：(1)如图，四边形ABCD内接于⊙O，则∠A＋∠C＝________，∠B＋∠ADC＝________；若∠B ＝80°，则∠ADC＝________，∠CDE＝________；(2)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝100°，则∠BAD＝________，∠BCD＝________；(3)四边形ABCD内接于⊙O，∠A∶∠C＝1∶3，则∠A＝________；(4)如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，∠B＝75°，则∠C＝________.(5)观察并思考：在(1)题图中，∠B和∠CDE什么关系？想一想对于圆的任意内接四边形都有这样的关系吗？(答案：(1)180°，180°，100°，80°；(2)130°，50°；(3)45°；(4)75°；(5)相等，都有．) 设计意图：活动三展示的是本节课的最重要的探究活动，共分为四个环节．第1个环节简单介绍相关概念，由于概念简单，教师不必纠缠；第2个环节“要求画一画，想一想”，学生在教师的引导之下进行思考，初步得出结论；第3个环节先用几何画板从实验的角度去探究结论的正确性，然后教师再引导学生用所学知识证明结论；第4个环节的练习是圆内接四边形的性质的应用．四个环节层层递进，步步深入．活动四：基础练习1．教材第88页练习第5题．2．圆的内接梯形一定是________梯形．3．若四边形ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立()A．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4 B．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶1∶3∶4C．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝3∶2∶1∶4 D．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝4∶3∶2∶1(答案：1.略；2.等腰；3.B.)活动五：课堂小结与作业布置课堂小结：1.本节课我们学习了圆周角定理的两个推论和圆内接四边形的重要性质，要求同学们理解圆内接四边形和四边形的外接圆的概念，理解圆内接四边形的性质；并初步应用性质进行有关问题的证明和计算．2．我们结合几何画板探索出圆内接四边形的性质，在这一过程中用到了许多数学方法(实验、观察、类比、分析、归纳、猜想等)．因此，同学们要逐步学会并应用这些方法去探讨有关的数学问题，提高我们的数学实践能力与创新能力．作业布置：教材第89～91页习题第5、6、13、14、17题．板书设计圆周角定理的推论和圆内接多边形1．圆周角定理的推论推论1：推论2：2．圆内接多边形与多边形的外接圆；圆内接四边形与四边形的外接圆．3．圆内接四边形及性质：圆内接四边形的对角互补3．小结：(1)由圆周角定理我们得到了哪些推论？圆内接四边形有什么特殊性质？(2)通过本节课的学习，你有什么感受？。

24.1.4圆周角（第二课时）学习目标：1）掌握圆周角定理推论。

2）理解圆内接四边形定义及性质。

学习重点：掌握圆周角定理推论。

学习难点：1）利用圆周角定理推论进行计算。

2）利用圆内接四边形性质进行计算。

学习过程1）知识点回顾圆周角概念：顶点在___________，___________的角叫做圆周角。

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的___________。

2）课堂探究一、探究圆周角定理的推论[探究1]在同圆或等圆中，同弧所对应的圆周角有什么关系？∠BAC与∠BDC和弧BC，∠BAC与∠BDC有什么关系？证明：【结论】同弧所对的圆周角___________[探究2]在同圆或等圆中，两条弧相等，则他们所对应的圆周角有什么关系？弧BC=弧CE，∠BDC与∠CAE有什么关系？证明：【结论】等弧所对的圆周角___________．【圆周角定理推论1】___________所对的圆周角___________.[问题1]1)右图1，AB为⊙O的直径，它所对的圆周角是多少？2)右图2，AB为⊙O的直径，改变C点的位置，它所对的圆周角度数会改变吗？3)右图1，圆周角∠C=90°，连接AB，弦AB经过圆心吗？为什么？【圆周角定理推论2】直径(或半圆)所对的圆周角是___________；___________的圆周角所对的弦是___________，所对的弧是___________。

二、圆内接四边形及其性质圆内接四边形的概念：如果一个四边形的所有___________都在同一个圆上，这个是四边形叫做圆内接四边形。

这个圆叫做这个四边形的___________。

[探究3]圆内接四边形的四个角之间有什么关系？情况一圆心在内接四边形对角线上情况二圆心不在内接四边形对角线上【证明】【结论】即圆内接四边形的对角___________。

【练一练】1．如图，⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点P ，若∠A ＝30°，∠APD ＝70°，则∠B 等于（）A．30°B．35°C．40°D．50°2．如图，四边形ABCD 内接于O ，AB CD =，A 为 BD中点，60BDC ∠=︒，则ADB ∠等于（）A．40︒B．50︒C．60︒D．70︒3．如图，AB 为O 的直径，C ，D 为O 上的两点，若54ABD ∠︒＝，则C ∠的度数为（）A．34︒B．36︒C．46︒D．54︒4．如图，C ，D 是O 上直径AB 两侧的两点．设25ABC ∠=︒，则BDC ∠=（）A．85︒B．75︒C．70︒D．65︒5．如图，四边形ABCD 的外接圆为⊙O ，BC CD =，35DAC ∠=︒，45ACD ∠=︒，则ADB ∠的度数为（）A．55︒B．60︒C．65︒D．70︒6．下列图形中，∠B ＝2∠A 的是（）A．B．C．D．7．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，若∠ABC＝30°，则∠CAD的度数为（）A．100°B．105°C．110°D．120°8．如图，△ABC内接于☉O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若☉O的半径为2，则CD的长为_____9．如下图，⊙O是△ABC的外接圆，AC＝4，∠ABC＝∠DAC，则直径AD为______．10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，∠A＝30°，CD＝4，求⊙O的半径的长．11．如图，AD为⊙O的直径，CD为弦， AB＝ BC，连接O B．(1)求证：OB∥CD；(2)若AB＝15，CD＝7，求⊙O的半径．【学后反思】通过本节课的学习你，你收获了什么？。

《圆周角（第二课时）》教案直径所对的圆周角都相等（都是直角）.直径是特殊的弦，那么对于一般情况的弦，它所对的圆周角是否也相等呢？有没有和第一条推论类似的结论呢？即同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等吗？我们来研究“同弦”的情形（“等弦”与“同弦”类似）：弦AC所对的圆周角都相等吗？我们任意画出弦AC所对的几个圆周角：∠B，∠D，∠E，∠F.问题1:请同学们观察这四个角，思考这些圆周角的大小关系.这四个圆周角按位置可以分两类，角的顶点在弦的上方，或者在弦的下方.其中两对角的关系：∠B=∠F，∠D=∠E.问题2:能否用学过的知识加以证明呢？通过观察我们可以发现，∠B和∠F的顶点在弦的上方，它们都对着同一条弧：劣弧ADC，由圆周角定理的第一条推论可知，同弧所对的圆周角相等，所以∠B=∠F.∠D和∠E的顶点在弦的下方，都对着同一条优弧ABC.所以同理可得：∠D=∠E.问题3: ∠B与∠D的关系呢？也相等吗？不一定相等.只有当弦AC是直径时，由圆周角定理的第二条推论：直径所对的圆周角都是直角，∠B与∠D相等.当弦AC不是直径时，∠B与∠D 不相等.我们来研究此时∠B和∠D的数量关系.问题就变成了研究这个四边形的一组对角之间的关系.在研究这个问题之前，我们先来观察四边形ABCD有什么特点？它的四个顶点都在圆上，四个内角都是圆周角，四条边都是圆的弦.我们把这样的四边形叫做圆内接四边形.什么样的四边形呢？引出圆内接四边形的定义：如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆.概念辨析：如下图所示，四边形ACBO是不是圆内接四边形？请同学们自己画一个圆，再画出它的任意一个内接四边形，测量一组对角的度数，并猜想：圆内接四边形ABCD 的对角有什么关系.可能有同学已经有了猜想：圆内接四边形ABCD 的对角互补. 证明：连接OA ，OC .性质：圆内接四边形的对角互补.延伸：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.再回到最开始的问题，同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等吗?正确答案是：相等或互补.圆的内接四边形也可以扩展到圆的内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.180.A C ∠+∠=︒同理：12360∠+∠=︒又，()112=180.2B D ∴∠+∠=∠+∠︒112B ∠=∠，122D ∠=∠，7min巩固练习例1 如图，点A，B，C在⊙O上，若∠AOB= ，则∠ACB=_______.变式：当∠AOB为时，∠ACB =_______.当∠AOB为时，∠ACB=_______.小结：不同于圆内接四边形，四边形ACBO的三个顶点在圆上，一个顶点为圆心，若练习如图，点A，B是⊙O上两点，C为⊙O上任一点，若∠AOB= ，则∠ACB= __________.下面请同学们试一试这道提高题吧.例2如图,在圆内接四边形ABCD中,(1)求证：(2)求四边形ABCD的面积.解答如下：（1）证明证法一：连接BD.100︒__________.AOB ACBα∠=∠=，则1802α︒-35145︒︒或70︒100︒α60.AB AD BAD AC a=∠=︒=，，60ACD∠=︒；ABD∴∆是等边三角形.60AB AD BAD=∠=︒，，证法二： ︵AB =︵AD ，四边形ABCD 是圆内接四边形，（2）解：∵四边形ABCD 内接于⊙O . 又5min拓展提升（一）平行四边形请同学们画一个圆内接平行四边形，观察一下你画出的平行四边形有什么特点？1.画一个圆；2.画一条弦AD ；3.画AD 的平行线段BC ，使BC = AD ，点B 在圆上；4.平行移动线段BC ，使点C 落在圆上. 此时，四边形ABCD 即为圆内接平行四边形..CD E DE BC AE =延长至点，使，连接.AE AC ∴=60,.ACD ACE ∠=︒∴∆又是等边三角形.AC a =23.4ABCD S a =四边形即AB AD =，.ACB ACD ∴∠=∠180.BCD BAD ∴∠+∠=︒60BAD ∠=︒又，120.BCD ∴∠=︒160.2ACD BCD ∴∠=∠=︒∴.ADE ABC ∴∠=∠.AD AB DE BC ==，ABC ACDABCD S S S ∆∆∴=+四边形.ADE ACD ACE S S S ∆∆∆=+=.ADE ABC ∴∆≅∆.ADE ABC ∆≅∆2133.224ACE S a a a ∆∴=⋅⋅=接下来我们看一下演示视频.观察图形，圆内接平行四边形是矩形.这是我们的猜想，还需要进行证明.证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴圆内接平行四边形是矩形.（二）菱形研究思路与圆内接平行四边形是一样的.因为圆内接平行四边形是矩形，菱形是有一组邻边相等的平行四边形，所以圆内接菱形就是有一组邻边相等的矩形，即正方形.∴圆内接菱形是正方形.请同学们课下探究圆内接梯形.1min课堂小结下面我们对本节课所学的知识进行小结，在今天这节课上，我们利用圆周角性质，研究了圆内接四边形的定义、性质及应用.定义：如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆.第二个图不是圆内接四边形，但也是很重要的基本图形.性质：圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.180.A C∴∠+∠=︒.A C∴∠=∠18090.2A︒∴∠==︒1.如图，AB为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，若，则∠BCD 的度数是_________.2.如图，已知∠EAD 是圆内接四边形ABCD 的一个外角，并且BD =DC . 求证：AD 平分∠EAC .知能演练提升一、能力提升1.如图,☉O 中,OC ⊥AB ,∠APC=28°,则∠BOC 的度数为( )A.14°B.28°C.42°D.56°2.如图,A 是☉O 上一点,BC 是直径,AC=2,AB=4,点D 在☉O 上且平分BC ⏜,则DC 的长为( )A.2√2B.√5C.2√5D.√103.如图,AB 是☉O 的直径,点C ,D ,E 在☉O 上,若∠AED=20°,则∠BCD 的度数30AOD ∠=︒为()A.100°B.110°C.115°D.120°⏜=AD⏜,AC交BD于点G.若∠4.如图,BD是☉O的直径,点A,C在☉O上,ABCOD=126°,则∠AGB的度数为()A.99°B.108°C.110°D.117°5.如图,已知BC是☉O的直径,半径OA⊥BC,点D在劣弧AC上(不与点A,点C 重合),BD与OA交于点E.设∠AED=α,∠AOD=β,则()A.3α+β=180°B.2α+β=180°C.3α-β=90°D.2α-β=90°⏜的中点,若∠ABC=30°,则弦AB的6.如图,☉O的半径为5,AB为弦,点C为AB长为.(第6题图)7.如图,已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44°,则∠CAD的度数为.⏜=BC⏜=AC⏜,点P为劣弧BC⏜上的一点.8.如图,已知AB(1)求∠BPC的度数;(2)求证:PA=PB+PC.⏜上一点(点C不★9.如图,△ABC的三个顶点都在☉O上,并且点C是优弧AmB与点A,B重合).设∠OAB=α,∠C=β.(1)当α=35°时,求β的度数;(2)猜想α与β之间的关系,并给予证明.二、创新应用★10.我们知道:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角,叫做圆周角.因为一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,而圆心角的度数等于它所对的弧的度数,所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.类似地,我们定义:顶点在圆外,并且两边都和圆相交的角叫圆外角.如图,∠DPB是圆外角,那么∠DPB⏜和AC⏜的度数有什么关系?的度数与它所夹的两段弧BD(1)请把你的结论用文字表述为(不能出现字母和数字符号):.(2)证明你的结论.知能演练·提升一、能力提升1.D2.D3.B如图,连接AC.∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵∠AED=20°,∴∠ACD=20°,∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=110°,故选B.4.B5.D6.5√3如图,连接OC,OA,∵∠ABC=30°,∴∠AOC=60°.⏜的中点,∵AB为弦,点C为AB∴OC⊥AB..在Rt△OAE中,AE=5√32∴AB=5√3.7.88°∵AB=AC=AD,∴∠ABC=∠ACB,点B,C,D在以A为圆心,AB为半径的圆周上, ∴∠BDC=1∠BAC,2∠CAD=2∠CBD.∵∠BAC=44°,∴∠BDC=22°,∵∠CBD=2∠BDC=44°,∴∠CAD=88°.⏜=BC⏜=AC⏜,8.(1)解∵AB∴AB=BC=AC.∴∠BAC=60°.又∠BPC+∠BAC=180°,∴∠BPC=120°.(2)证明如图,在PA上截取PD=PC,连接DC,∵AB=AC=BC,∴∠APB=∠APC=60°.∴△PCD为等边三角形.∴∠ADC=120°.又∠CAD=∠PBC,且AC=BC,∴△ACD≌△BCP.∴AD=PB.∴PA=AD+PD=PB+PC.9.解(1)如图,连接OB,则OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=35°,∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=110°.∴β=∠C=1∠AOB=55°.2(2)α与β之间的关系是α+β=90°.证法一:如图,连接OB,则OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=α,∴∠AOB=180°-2α.∴β=∠C=1∠AOB2=1(180°-2α)=90°-α.2∴α+β=90°.证法二:如图,连接OB,则OA=OB,∴∠AOB=2∠C=2β.过点O作OD⊥AB于点D,则OD平分∠AOB,∴∠AOD=1∠AOB=β.2在Rt△AOD中,∠OAD+∠AOD=90°,∴α+β=90°.证法三:如图,延长AO交☉O于点E,连接BE,则∠E=∠C=β.∵AE是☉O的直径,∴∠AOE=180°,∴∠ABE=90°,∴∠BAE+∠E=90°,即α+β=90°.二、创新应用10.分析本题是一道结论探索题,解题的关键是如何将圆外角∠DPB与圆周角联系⏜所对的圆周角,∠DAB是BD⏜所对的圆周角,再根据三角起来.不妨连接AD,这时∠D是AC形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和找到这三个角的联系,从而使问题解决.解(1)圆外角的度数等于它所夹的两段弧度数差的一半.(2)如图,连接AD,则∠DPB=∠DAB-∠D.因为∠DAB=12×BD ⏜的度数,∠D=12×AC ⏜的度数, 所以∠DPB=12×(BD⏜的度数-AC ⏜的度数), 即圆外角的度数等于它所夹的两段弧度数差的一半.。