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C ．圆心角与圆周角、圆内接四边形学生/课程 年级 学科 数学授课教师日期时段核心内容圆心角与圆周角、圆内接四边形课型一对一/一对N教学目标 1．理解并掌握圆心角、弦、弧之间的关系，能够运用他们的关系分析解决相关的几何问题 2．理解并掌握圆周角的概念以及圆周角定理和推论．并熟练运用解决实际问题。
重、难点1、圆心角与圆周角关系的转换，以及圆周角的推论的运用。
课首沟通1．学校的上课进度如何？你在学习这些内容的过程中都遇到什么问题？ 2．上次的作业给我看看，完成了没有？还有不会的题吗？知识导图课首小测1.[单选题] 如图，已知点A （0，1），B （0，﹣1），以点A 为圆心，AB 为半径作圆，交x 轴于点C 和点D ，则DC 的长为（ ）A ．2B ．4D ．22.[单选题] 已知⊙O的直径AB=10cm ，弦CD=8cm ，AB⊥CD，那么圆心O 到CD 的距离是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 3.如图，将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为4.如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB=10，EF=8，那么AD=5.⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，那么AB和CD的距离是Cm6.如图，已知AB是⊙O的弦，点C在线段AB上，OC=AC=4，CB=8．求⊙O的半径．导学一：圆心角知识点讲解1：弧、弦、圆心角1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角2.定理：（1）在同圆或者等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
（2）在同圆或者等圆中，相等的两条弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等。
（3）在同圆或者等圆中，相等的两条弦所对的弧相等，所对的圆心角也相等。
特别注意：只有圆心角与弧存在倍数关系。
与弦不存在倍数关系。
例1. [单选题] 在下图中，下列各角是圆心角的是（）A．∠ODC B．∠OCD C．∠AOB D．∠BDC例2. 指出下列哪些是∠AOB所对应的弦和弧？例3. 如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A/OB/的位置你能发现哪些等量关系？为什么？完成下面的填空题。
《圆内接四边形》教学设计一、教学目标1.理解圆内接多边形的定义，掌握圆内接四边形的概念和性质；2.能运用圆内接四边形的性质证明和计算；3.经历圆内接四边形的性质的探究与证明，渗透“由特殊到一般”的数学思想方法；4.通过学生自主探究、合作交流的学习过程，体验实现自身价值的愉悦和数学的应用.二、教学重难点重点：圆内接四边形的概念及性质.难点：圆内接四边形与圆周角性质的综合应用.三、教学用具多媒体课件四、教学过程设计【回顾】同学们上一节课我们学习了圆周角定理及其推论，一起回顾一下吧.教师并提出问题，引导学生回顾上节课的内容，教师追问：直径是特殊的弦，它所对的圆周角相等，都是90°，那对于一般的弦，它所对的圆周角是否也相等呢？也就是说，同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等吗？【合作探究】猜想：∠B=∠E，∠D=∠F追问1：能否验证你的猜想呢？预设答案：∵∠B，∠E所对的弧都是AC；∠D，∠F所对的弧都是ABC；根据同弧所对的圆周角相等，得：∠B=∠E，∠D=∠F教师PPT展示，任意作出弦AC所对的4个圆周角，引导学生发现，根据角的顶点在弦的上方还是下方，把4个角归为两类，让学生提出猜想，并验证，最终教师PPT展示验证的过程.追问2：∠B=∠D吗？预设答案：不一定相等.教师提出问题后，引导学生先观察图形：不难发现，∠B是锐角，∠D是钝角.显然不相等.并进一步引导学生发现，若AC是直径，则它所对的圆周角∠B=∠D，从而得出结论：∠B=∠D不一定相等.追问3：∠B和∠D有什么数量关系呢？教师引导学生把问题转化为四边形的一组对角的数量关系，进一步让学生观察这个四边形有什么特点，引导学生发现四边形的四个顶点都在圆上，从而引出圆内接四边形的概念.如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形.这个圆叫做这个四边形的外接圆.如上图中，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形；⊙O 是四边形ABCD 的外接圆.追问3就转化为了：圆内接四边形的一组对角有什么关系？猜想：互补验证：连接OA ，OC .∵1=12B ∠∠，1=22D ∠∠又∵∠1+∠2=360° ∴∠B +∠D =()11+22∠∠=180° 同理：∠A +∠C =180°教师引导学生猜想，然后学生自主验证、小组交流后，尝试用语言归纳总结出所得结论.教师汇总并补充.圆内接四边形的对角互补.追问4：现在，你能回答课程刚开始的问题了吗？同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等吗？预设答案：同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等或互补.教师提出问题，引导学生回顾刚才探究的过程，然后得出结论，需要提醒的是，前面只探究了同弦所对的圆周角，对于同圆或等圆中等弦的情况，学生可自行探究.【延伸】预设答案：相等.证明：∵∠BCE+∠BCD=180°，∠BCD+∠A=180°∴∠BCE=∠A教师引导学生自主探究，小组交流后，尝试用语言总结出所得结论，选代表回答，教师补充.圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.圆内接四边形也可扩展到圆内接多边形.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形.这个圆叫做这个多边形的外接圆.【典型例题】教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.例1：如图，四边形ABCD是圆的内接四边形，且ABCD是平行四边形.求证：四边形ABCD是矩形．解：∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A=∠C，∠B=∠D教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.如图在圆内接四边形ABCD中，（1）若∠B=30°，则∠D=＿＿.（2）若∠A∶∠C=5∶4，则∠A=＿＿.答：（1）150°；（2）100°.2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于( )．A．69° B．42°C．48° D.38°答：A.3.若ABCD为圆内接四边形，下列可能成立的是( )A. ∠A∶∠B∶∠C∶∠D= 1∶2∶3∶4B. ∠A∶∠B∶∠C∶∠D= 2∶1∶3∶4C. ∠A∶∠B∶∠C∶∠D= 3∶2∶1∶4D. ∠A∶∠B∶∠C∶∠D=4∶3∶2∶1 答：B.思维导图的形式呈现本节课的主要内容：教科书第88页练习第2、5题.。
［学习目标］1. 圆周角的概念顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角必须具备两个特征：（1）顶点在圆上；（2）角的两边都和圆相交，二者缺一不可。
2. 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
定理的证明要分类，因为一条弧所对的圆心角唯一，而它所对的圆周角却有无数个，这无数个圆周角与圆心位置有三种：（1）圆心在圆周角的一边上；（2）圆心在圆周角的内部；（3）圆心在圆周角外部。
3. 圆内角角的顶点在圆内的角叫圆内角。
圆内角的度数等于它所对弧与它对顶角所对弧的度数之和的一半。
如下图圆内角∠3的度数为∠1＋∠2，∠1的度数是的一半，∠2的度数是的一半。
4. 圆外角角的顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角，叫圆外角。
圆外角的度数等于它所截两条弧度数之差的一半。
如下图，圆外角∠3的度数为∠2－∠1，∠2的度数是的一半，∠1的度数是的一半。
5. 四边形的外角，四边形的对角四边形一边延长线与相邻一边组成的角叫四边形的外角。
四边形中不相邻的两个角互称为对角。
所有顶点都在同一个圆上的多边形叫圆内接多边形，这个圆叫这个多边形的外接圆。
6. 圆内接四边形的性质定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
【典型例题】例1. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝110°，则∠BCD＝_________。
解：∵∠BOD＝110°，∴∠BAD＝55°又∠BAD＋∠BCD＝180°∴∠BCD＝180°－55°＝125°例2. 已知：如图，∠APC＝∠BPC＝60°，则∠BAC＝__________。
解：∵∠APC＝∠BPC＝60°∴∠APB＝120°，BC＝AC∵四边形APBC内接于⊙O∴∠ACB＝60°∴△ABC是等边三角形∴∠BCA＝60°，故填60°点拨：本题较综合，考察：①相等的圆周角所对弦相等，②圆内接四边形对角互补，③一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
24.3 圆周角第2课时圆内接四边形1．理解圆内接多边形的概念；2．掌握圆内接四边形的性质，并能够运用其进行简单的计算与证明(重点、难点)．一、情境导入如图是一个圆形笑脸，给你一个三角板，你有办法确定这个圆形笑脸的圆心吗？二、合作探究探究点：与圆内接四边形有关的计算【类型一】利用圆内接四边形的性质进行计算如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD ＋∠OCD＝________度．解析：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B＋∠ADC＝180°.∵四边形OABC为平行四边形，∴∠AOC＝∠B.又由题意可知∠AOC＝2∠ADC.∴∠ADC＝180°÷3＝60°.连接OD，可得AO＝OD，CO＝OD.∴∠OAD＝∠ODA，∠OCD＝∠ODC.∴∠OAD＋∠OCD＝∠ODA＋∠ODC＝∠ADC＝60°.方法总结：解决圆中角度计算问题关键是掌握弧的角度、弧所对圆心角的度数和弧所对圆周角度数之间的关系，巧妙地利用弧的度数作桥梁进行转化，找出相应的等量关系．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型二】利用圆内接四边形的性质进行证明如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E.若BC＝BE.求证：△ADE 是等腰三角形．解析：由已知易得∠E＝∠BCE，由同角的补角相等，得∠A＝∠BCE，则∠E＝∠A.证明：∵BC＝BE，∴∠E＝∠BCE.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A＋∠DCB＝180°.∵∠BCE ＋∠DCB＝180°，∴∠A＝∠BCE，∴∠A＝∠E，∴AD＝DE，∴△ADE是等腰三角形．方法总结：在运用圆的内接四边形进行解题时，要牢记圆内接四边形的对角互补．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题三、板书设计1．圆的内接多边形2．圆的内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角．教学过程中，以学生为主体，让学生自己探究圆内接四边形的性质，在探究的过程中体会转化思想．在解决问题时能通过联想进行转化，提升学生的逻辑思维能力.。
