第二课时圆周角定理的推论2,3

OCBADEEDCOBA圆周角（第二课时）学习目标：掌握圆周角定理的推论1.推论2，并会应用推论解决问题。

任务一：忆一忆圆周角定理的内容：几何语言:任务二：记一记（笔记本）圆周角定理推论1在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧。

圆周角定理推论2半圆（或直径）所对的圆周角是；所对的弦是直径。

任务三：做一做1.已知：锐角三角形ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为10，sinA=53,求BC.2、例题：已知：如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E,求证：3已知：在⊙O中，直径AB的长为10cm，弦AC的长为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D,求BC,AD,及sin∠CDBBOACDOABCOE DC BA4.已知：⊙C 经过坐标原点O ，并与两坐标轴相交于点 A ， D 两点，∠OBA=30°，D 点的坐标为（0,2） 求点A 与点C 的坐标。

任务四：直击中考1. 如图，△ABC 内接于⊙O ，∠C =45°，AB =2，则⊙O 的半径为A ．1B ．2C ．2D ．222．如图，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB ，垂足为C ，交⊙O 于点D ，点E 在⊙O 上．若∠BED=30°，⊙O 的半径为4，则弦AB 的长是A ．4B ．43C ．2D ．233．如图，已知AB 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，∠C =∠BAD ，且BD ⊥AB 于B .（2）若⊙O 的半径为3，AB =4，求AD 的长.AOBCA BCDO。

圆周角定理的推论2，3要害问答①圆周角定理的推论有哪些？②圆的内接四边形有什么性质？1．从下列三角尺与圆弧的位置干系中，可鉴别圆弧为半圆的是()A B C D图3－4－152.①如图3－4－16，AB是⊙O的直径，C，D是圆周上的两点．已知AC＝7，BC＝24，AD＝15，则BD＝________．图3－4－163.②如图3－4－17，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BAD＝110°，则∠C的度数是________．图3－4－17命题点1利用圆周角的推论2举行谋略与证明[热度：99%]4.③如图3－4－18，▱ABCD的极点A，B，D在⊙O上，极点C在⊙O的直径BE上，相连AE，∠E＝36°，则∠ADC的度数是()图3－4－18A．44° B．54° C．72° D．53°要领点拨③求与圆有关的角的度数时，一般环境下，都是利用圆周角定理及其推论1.特殊地，当题中有直径出现时，往往要用到“直径所对的圆周角是直角”这一性质.5.④如图3－4－19，AB是⊙O的直径，CD是弦，且AB∥CD，若AB＝8，∠ABC＝30°，则弦AD的长为()图3－4－19A. 3 B．4 3 C．2 3 D．8要领点拨④见直径，布局直径所对的圆周角.6．2019·咸宁如图3－4－20，已知⊙O 的半径为5，弦AB ，CD 所对的圆心角分别是∠AOB ，∠COD ，若∠AOB 与∠COD 互补，弦CD ＝6，则弦AB 的长为( )图3－4－20A ．6B ．8C ．5 2D ．5 37.⑤如图3－4－21，半径为3的⊙A 议决原点O 和点C (0，2)，B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 的值为( )图3－4－21A.13 B ．22 C.24 D.223要领点拨⑤求一个不在直角三角形中的锐角的三角函数值，一般思路为：布局含有这个角(或与这个角相等的角)的直角三角形，再根据三角函数的定义求解.8．⑥如图3－4－22，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，交BC 于点E ，相连AE ，ED ，则下列结论中不一定正确的是( )图3－4－22A ．AE ⊥BCB ．BE ＝EC C ．ED ＝EC D ．∠BAC ＝∠EDC 知识链接⑥等腰三角形三线合一．9．已知：如图3－4－23，△ABC 的极点都在⊙O 上，AB 为直径，∠CBA 的中分线交AC 于点F ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，相连AD .(1)求证：∠DAC ＝∠DBA ； (2)求证：P 是线段AF 的中点；(3)若⊙O 的半径为5，AF ＝152，求tan ∠ABF 的值． 图3－4－23命题点 2 圆内接四边形的相关谋略与证明 [热度：92%]10．如图3－4－24所示，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是弧CD 上一点，且DF ︵＝BC ︵，相连CF 并延长交AD 的延长线于点E ，相连AC ，若∠ABC ＝105°，∠BAC ＝25°，则∠E 的度数为( )图3－4－24A ．45°B ．50°C ．55°D ．60°11.⑦如图3－4－25，已知四边形ABCD 内接于半径为4的⊙O 中，且∠C ＝2∠A ，则BD ＝________．图3－4－25要领点拨⑦谋略弦长，通常需要布局直角三角形，再借助勾股定理或三角函数求解.12．已知：如图3－4－26，四边形ABCD 内接于⊙O ，延长AD ，BC 相交于点E ，F 是BD 延长线上的点，且DE 中分∠CDF .(1)求证：AB ＝AC ；(2)若AC ＝3 cm ，AD ＝2 cm ，求DE 的长．图3－4－2613.⑧如图3－4－27所示，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且∠D ＝∠E .(1)求证：∠D ＝∠CBE ； (2)求证：CB ＝CE ；(3)设AD 不是圆O 的直径，AD 的中点为M ，且MB ＝MC ，求证：△ADE 为等边三角形．图3－4－27要领点拨⑧欲证明一个三角形是等边三角形，可以证明这个三角形的三条边相等或三个角相等或证明这个三角形是有一个角是60°的等腰三角形.14.⑨如图3－4－28，已知⊙O 的半径为2，弦AB 的长为23，点C 与点D 分别是劣弧AB 与优弧AmB 上的任一点(点C ，D 均不与点A ，B 重合)．(1)求∠ACB 的度数； (2)求△ABD 的最大面积．图3－4－28解题突破⑨(1)题中出现半径长和弦长，要遐想到垂径定理，再想办法利用边的干系求角的度数； (2)要求△ABD 的最大面积，AB 是定值，只需使AB 边上的高最大即可. 15.⑩⑪如图3－4－29，在Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝4.P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB ＝∠PBC ，则线段CP 长的最小值为( )图3－4－29A .12B ．2C .81313D .121313解题突破⑩根据三角形内角和与已知条件求出∠APB ＝90°，由圆周角定理的推论鉴别出动点P 的轨迹为以AB 为直径的圆在△ABC 内的弧，则可把标题转化为圆外一点与圆上动点的隔断最值标题．要领点拨⑪在动态标题中求两点之间隔断的最值标题，一般应先确定动点的运动纪律，再运用相关知识求解.16.⑫如图3－4－30，A ，P ，B ，C 是⊙O 上四点，∠APC ＝∠CPB ＝60°. (1)鉴别△ABC 的形状，并证明你的结论；(2)当点P 位于什么位置时，四边形PBOA 是菱形？并说明理由； (3)求证：PA ＋PB ＝PC.图3－4－30要领点拨⑫探索结论成立的条件，可采取逆向思维，由果索因.详解详析1．B[剖析] 只有B选项相符圆周角为90°时，所对的弦为直径，由此可知该弧为半圆．故选B.2．20[剖析] ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°.∵AC＝7，BC＝24，∴AB ＝25.∵AD＝15，∴BD＝20.3．70°[剖析] ∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD＋∠C＝180°.∵∠BAD＝110°，∴∠C＝70°.4．B[剖析] ∵BE为⊙O的直径，∴∠BAE＝90°，∴∠ABC＝90°－∠AEB＝54°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝∠ABC＝54°.故选B.5. B[剖析] 相连BD，∵AB∥CD，∴∠BAD＝∠ADC.∵∠ADC＝∠ABC，∠ABC＝30°，∴∠ADC＝30°，∴∠BAD＝30°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD＝AB·cos30°＝8×32＝4 3.故选B.6．B[剖析] 如图，延长AO交⊙O于点E，相连BE，则∠AOB＋∠BOE＝180°.∵∠AOB＋∠COD＝180°，∴∠BOE＝∠COD，∴BE＝CD＝6.∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴AB＝AE2－BE2＝102－62＝8.故选B.7．C [剖析] 相连CD. ∵∠DOC ＝90°， ∴CD 是⊙A 的直径．在Rt △OCD 中，CD ＝6，OC ＝2， 则OD ＝CD 2－OC 2＝42， ∴tan ∠CDO ＝OC OD ＝24.由圆周角定理，得∠OBC ＝∠CDO ， ∴tan ∠OBC ＝tan ∠CDO ＝24.故选C . 8．D [剖析] ∵AB 为⊙O 的直径，∴AE ⊥BC. ∵AB ＝AC ，∴BE ＝EC ，∠BAE ＝∠CAE ，∠B ＝∠C ， ∴BE ︵＝ED ︵，∴BE ＝ED ， ∴ED ＝EC ，∴∠EDC ＝∠C ， ∴∠EDC ＝∠B.故选D .9．解：(1)证明：∵BD 中分∠CBA ， ∴∠CBD ＝∠DBA.∵∠DAC 与∠CBD 都是CD ︵所对的圆周角， ∴∠DAC ＝∠CBD ，∴∠DAC ＝∠DBA. (2)证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°. 又∵DE ⊥AB 于点E ， ∴∠DEB ＝90°，∴∠ADE ＋∠EDB ＝∠DBA ＋∠EDB ＝90°， ∴∠ADE ＝∠DBA ＝∠CBD ＝∠DAP ， ∴PD ＝PA.∵∠DFA ＋∠DAC ＝∠ADE ＋∠PDF ＝90°，且∠ADE ＝∠DAC ， ∴∠PDF ＝∠DFA ， ∴PD ＝PF ，∴PA ＝PF ，即P 是线段AF 的中点．(3)∵∠DAF ＝∠DBA ，∠ADB ＝∠FDA ＝90°， ∴△FDA ∽△ADB ，∴AD BD ＝AFAB .在Rt △ABD 中，tan ∠ABD ＝AD BD ＝AF AB ＝15210＝34，即tan ∠ABF ＝34.10．B [剖析] 因为四边形ABCD 内接于⊙O ，所以∠ADC ＝180°－∠ABC ＝180°－105°＝75°.因为DF ︵＝BC ︵，所以∠DCE ＝∠BAC ＝25°.因为∠ADC ＝∠DCE ＋∠E ，所以∠E ＝∠ADC －∠DCE ＝75°－25°＝50°.故选B .11．4 3 [剖析] 相连OD ，OB ，过点O 作OF ⊥BD ，垂足为F. ∵OF ⊥BD ，∴DF ＝BF ，∠DOF ＝∠BOF. ∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠A ＋∠C ＝180°.∵∠C ＝2∠A ，∴∠A ＝60°，∴∠BOD ＝120°， ∴∠BOF ＝60°. ∵OB ＝4，∴BF ＝OB·sin ∠BOF ＝4×sin 60°＝2 3， ∴BD ＝2BF ＝4 3.12．解：(1)证明：如图，∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°， ∠2＋∠ADC ＝180°， ∴∠ABC ＝∠2.又∵∠2＝∠1＝∠3，∠4＝∠3，∴∠ABC ＝∠4，∴AB ＝AC.(2)∵∠3＝∠4＝∠ABE ，∠DAB ＝∠BAE ， ∴△ABD ∽△AEB ， ∴AB AE ＝AD AB. ∵AB ＝AC ＝3 cm ，AD ＝2 cm ，∴AE ＝AB 2AD ＝92 cm ，∴DE ＝92－2＝52(cm )．13．证明：(1)∵四边形ABCD 是圆内接四边形， ∴∠ABC ＋∠D ＝180°. 又∵∠ABC ＋∠CBE ＝180°， ∴∠D ＝∠CBE.(2)∵∠D ＝∠CBE ，∠D ＝∠E ， ∴∠CBE ＝∠E ， ∴CB ＝CE.(3)设BC 的中点为N ，相连MN. ∵MB ＝MC ，∴MN ⊥BC ， ∴圆心O 在直线MN 上．又∵AD 不是圆O 的直径，M 为AD 的中点，∴OM ⊥AD ， 即MN ⊥AD ，∴BC ∥AD ， ∴∠A ＝∠CBE.又∵∠CBE ＝∠D ，∠D ＝∠E ， ∴∠A ＝∠D ＝∠E ， ∴△ADE 为等边三角形．14．解：(1)相连OA ，OB ，过点O 作OE ⊥AB ，E 为垂足，则AE ＝BE.在Rt △AOE 中，OA ＝2，AE ＝3，∴sin ∠AOE ＝32， ∴∠AOE ＝60°，∠AOB ＝2∠AOE ＝120°.又∵∠ADB ＝12∠AOB ，∴∠ADB ＝60°.∵四边形ACBD 为圆内接四边形， ∴∠ACB ＋∠ADB ＝180°， ∴∠ACB ＝180°－∠ADB ＝120°. (2)过点D 作DF ⊥AB ，垂足为F ， 则S △ABD ＝12×23·DF.显然，当DF 议决圆心O 时，DF 取得最大值，从而S △ABD 取得最大值，此时DF ＝DO＋OF ＝DO ＋OE ＝2＋2sin 30°＝3，∴S △ABD ＝12×23×3＝33，即△ABD 的最大面积是3 3.15．B [剖析] 如图，∵AB ⊥BC ， ∴∠ABP ＋∠PBC ＝90°. ∵∠PAB ＝∠PBC ， ∴∠ABP ＋∠PAB ＝90°，∴∠APB ＝90°，∴点P 在以AB 为直径的⊙E 上，当点C ，P ，E 在一条直线上时，CP 长取最小值，此时由勾股定理，得CE ＝32＋42＝5，CP ＝CE －PE ＝5－3＝2.故选B .16．解：(1)△ABC 是等边三角形．证明如下：在⊙O 中，∵∠BAC 与∠CPB 是BC ︵所对的圆周角，∠ABC 与∠APC 是AC ︵所对的圆周角，∴∠BAC ＝∠CPB ，∠ABC ＝∠APC. 又∵∠APC ＝∠CPB ＝60°， ∴∠ABC ＝∠BAC ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形．(2)当点P 是AB ︵的中点时，四边形PBOA 是菱形．理由：如图①，相连OP.∵∠AOB ＝2∠ACB ＝120°，P 是AB ︵的中点，∴∠AOP ＝∠BOP ＝60°.又∵OA ＝OP ＝OB ，∴△OAP 和△OBP 均为等边三角形，∴OA ＝AP ＝OB ＝PB ， ∴四边形PBOA 是菱形．(3)如图②，在PC上截取PD＝AP.又∵∠APC＝60°，∴△APD是等边三角形，∴AD＝PA＝PD，∠ADP＝60°，∴∠ADC＝120°.又∵∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120°，∴∠ADC＝∠APB.在△APB和△ADC中，∵∠APB＝∠ADC，∠ABP＝∠ACD，AP＝AD，∴△APB≌△ADC，∴PB＝DC.∵PD＝PA，∴PC＝PA＋PB.[要害问答]①同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的对角互补．第 11 页。

圆周角的定理及推论的应用圆周角是数学中的一个重要概念，掌握圆周角的定理及其推论，对于解决许多几何问题非常有帮助。

本文将围绕圆周角的定理及推论的应用展开阐述。

一、圆周角的定义圆周角是指落在圆周上的两条弧所对的角，即两个弧之间的角度量。

一般用大写字母表示圆周角，如∠ABC。

二、圆周角的定理1、相等圆周角定理：在同一个圆周上，所对的圆周角相等。

证明：作弦AB、CD相交于点E，则∠AEB=∠CED。

由于AE、BE、CE、DE均是从一个圆心O引出的弦，故∠AEB=∠CEB，∠CED=∠BED，又因为OE=OE，故OEB≌OED，由此可得∠OEB=∠OED，即∠AEB=∠CED。

2、圆心角的定理：在同一个圆中，所对的圆心角相等。

证明：连接圆心O到AB的中垂线OH，H为AB的中点。

则OH垂直于AB，因此∠AOH、∠BOH均为直角，所以∠AOB=2∠AOH=2∠BOH。

3、正弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R证明：如下图所示，以AB、BC、CA为边作三角形ABC的外接圆，设圆心为O。

连接AO、BO、CO，过O点作弦AD、BE、CF，则OD=OE=OF=R，所以AOD、BOE、COF都是等边三角形。

因此，∠OAB=∠CFO、∠OBA=∠CEO、∠OBC=∠AEO、∠OCB=∠AFO。

设∠BAC=x，∠ABC=y，∠ACB=z，由三角形内角和公式得：x+y+z=180又由圆周角定理得：∠BOC=2y，∠AOC=2z，∠AOB=2x于是：∠AOB+∠BOC+∠AOC=3602x+2y+2z=360，即x+y+z=180。

将sinA、sinB、sinC带入上述公式中，可得：sinA/BC=sinB/CA=sinC/AB=1/2R即sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R。

4、余弦定理：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形BC、AC、AB 的边长，R为外接圆半径，则有：cosA=(b²+c²-a²)/2bc，cosB=(a²+c²-b²)/2ac，cosC=(a²+b²-c²)/2ab证明：将ABC的外接圆的半径延长到BC、AC和AB上分别交于点D、E、F。

圆周角定理及推论圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。

圆周角的性质：圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半。

圆周角的推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。

②900的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角。

③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

④圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角例1：如图，点A、B 、C都在圆O上，如果∠AOB+∠ACB=840，那么∠ACB的大小是例2：如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E=360，则∠ADC的度数是（）A．44°B．54°C．72°D．53°例3：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠BCD，（1）证明：C B∥P D；（2）若B C＝3，，求⊙O的直径．1、（北京四中模拟）如图，弧BC与弧AD的度数相等，弦AB与弦CD交于点E，︒=∠80CEB,则CAB∠等于（）A．︒30B．︒40C．︒45D．︒602.（2011年北京四中中考全真模拟16）已知一弧长为L的弧所对的圆心角为120°那么它所对的弦长为( )A、3 34ΠL B、3 24ΠL C、3 32ΠL D、3 22ΠL（第3题图）3.（2011浙江杭州模拟7）如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A=75o ，∠C=45o ，那么∠AEB 度数为（ ）A. 30o B . 45o C. 60o D. 75o4.(2011浙江省杭州市10模) 如图，△ABC 内接于⊙O ，∠C=45°，AB=2，则⊙O 的半径为( )A ．1B ．22C ．2D ．25.(浙江省杭州市党山镇中2011年中考数学模拟试卷)如图，两圆相交于A ，B 两点，小圆经过大圆的圆心O ，点C ，D 分别在两圆上，若100ADB ∠=︒，则ACB ∠的度数为 ( )A ．35︒B ．40︒C ．50︒D ．80︒C ABD （第5题） O（第4题图）。

湘教版数学九年级下册《2.2.3圆周角定理的推论》说课稿一. 教材分析湘教版数学九年级下册《2.2.3圆周角定理的推论》这一节，是在学生学习了圆周角定理的基础上进行的一节内容。

圆周角定理是初中数学中的一个重要定理，它揭示了圆周角与圆心角的关系。

而本节课，则是引导学生通过推论的方式，更深入地理解圆周角定理，并能够运用它解决一些几何问题。

教材中首先给出了圆周角定理的推论，然后通过一些例题和练习题，让学生巩固和运用这一推论。

整个教材的设计，由浅入深，由理论到实践，让学生在理解的基础上，能够熟练地运用圆周角定理的推论解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生，已经在之前的学习中，掌握了圆周角定理的基本知识，对于圆周角与圆心角的关系有一定的理解。

但是，对于推论的证明过程和方法，可能还不太熟悉。

因此，在教学过程中，我需要引导学生理解推论的证明过程，让他们能够理解并接受推论的正确性。

同时，九年级的学生已经具备了一定的自主学习能力和合作学习能力。

因此，在教学过程中，我可以采取一些探究性的教学方法，引导学生自主学习，提高他们的数学思维能力。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：理解圆周角定理的推论，并能够运用它解决一些几何问题。

2.过程与方法目标：通过推论的证明过程，培养学生的逻辑思维能力和数学推理能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养他们的探索精神和合作精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：圆周角定理的推论及其证明过程。

2.教学难点：推论的证明过程和方法。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用探究式教学法，引导学生自主学习，合作探究。

2.教学手段：利用多媒体课件，展示推论的证明过程，帮助学生更好地理解和接受。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生回顾圆周角定理，为新课的学习做好铺垫。

2.探究：引导学生分组讨论，共同探究圆周角定理的推论，并展示探究成果。

3.证明：利用多媒体课件，展示推论的证明过程，让学生理解和接受推论的正确性。