2020-2021学年第一学期广东省广州市越秀区广大附中八年级 期中考试数学试卷

2020-2021广州市中大附中初二数学上期中模拟试卷(含答案)一、选择题1．如图，把△ABC 沿EF 对折，叠合后的图形如图所示．若∠A =60°，∠1=85°，则∠2的度数（ ）A ．24°B ．25°C ．30°D ．35°2．下列关于x 的方程中，是分式方程的是( )．A ．132x =B ．12x =C ．2354x x ++=D ．3x －2y ＝13．下列条件中能判定△ABC ≌△DEF 的是 ( )A ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠A ＝∠DB ．∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，∠C ＝∠F C ．AC ＝DF ，∠B ＝∠F ，AB ＝DED ．∠B ＝∠E ，∠C ＝∠F ，AC ＝DF 4．一个三角形的两边长分别为3和4，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是( )A ．11B ．12C ．13D ．145．将多项式241x +加上一个单项式后，使它能成为另一个整式的完全平方，下列添加单项式错误的是（ ）A ．4xB ．4x -4C ．4x 4D ．4x -6．如图，ABC V 是等腰直角三角形，BC 是斜边，将ABP V 绕点A 逆时针旋转后，能与ACP 'V 重合，如果3AP =，那么PP '的长等于（ ）A ．32B ．3C ．42D ．337．如图，AD ，CE 分别是△ABC 的中线和角平分线．若AB=AC ，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（ ）A ．20°B ．35°C ．40°D ．70°8．如图，在△ABC 中，过点A 作射线AD ∥BC ，点D 不与点A 重合，且AD≠BC ，连结BD 交AC 于点O ，连结CD ，设△ABO 、△ADO 、△CDO 和△BCO 的面积分别为和,则下列说法不正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，ABC △是一块直角三角板，90,30C A ∠=︒∠=︒，现将三角板叠放在一把直尺上，AC 与直尺的两边分别交于点D ，E ，AB 与直尺的两边分别交于点F ，G ，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ）A ．40ºB ．50ºC ．60ºD ．70º 10．等腰三角形的一个外角是100°，则它的顶角的度数为（ ）A ．80°B ．80°或50°C ．20°D ．80°或20° 11．如图，在ABC ∆中，4AB =，3AC =，30BAC ∠=︒，将ABC ∆绕点A 按逆时针旋转60︒得到11AB C ∆，连接1BC ，则1BC 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．612．已知x m ＝6，x n ＝3，则x 2m ―n 的值为（ ）A ．9B ．34C ．12D ．43二、填空题13．分式212xy 和214x y的最简公分母是_______． 14．在代数式11,,52x x x +中，分式有_________________个． 15．若x-y≠0，x-2y=0，则分式1011x y x y --的值________． 16．若分式方程1133a x x x -+=--有增根，则 a 的值是__________________． 17．已知一个多边形的内角和与外角和的差是1260°，则这个多边形边数是 ．18．如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有______种．19．如图，已知△ABC 的周长为27cm ，AC ＝9cm ，BC 边上中线AD ＝6cm ，△ABD 周长为19cm ，AB=__________20．如图，在△ABC 中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD 平分∠ABC ，则∠BDC 的度数是_____．三、解答题21．解方程：22111x x x -=--． 22．解方程：⑴2323x x =-+ ⑵ 31244x x x -+=-- 23．书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用1200元购买若干本，很快售完．第二次购买时，每本书的进价比第一次提高了20%，他用1500元所购买的数量比第一次多10本．求第一次购买的图书，每本进价多少元？24．（1）如图1，点A 为线段BC 外一动点，且BC=a ，AB=b ，填空：当点A 位于 时，线段AC 的长取到最大值，则最大值为 ；（用含a 、b 的式子表示）．（2）如图2，若点A 为线段BC 外一动点，且BC=4，AB=2，分别以AB ，AC 为边，作等边ABD △和等边ACE △，连接CD ，BE.①图中与线段BE 相等的线段是线段 ，并说明理由；②直接写出线段BE 长的最大值为 ．（3）如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（5，0），点P 为线段AB 外一动点，且PA=2，PM=PB ，∠BPM=90°，请直接写出线段AM 长的最大值为 ，及此时点P 的坐标为 ．（提示：等腰直角三角形的三边长a 、b 、c 满足a ：b ：c=1：1：2）25．已知关于x 的方程233x m x x -=--解为正数，求m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】首先根据三角形内角和定理可得∠AEF+∠AFE=120°，再根据邻补角的性质可得∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°，再根据由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，然后计算出∠1+∠2的度数，进而得到答案．【详解】解：∵∠A=60°，∴∠AEF+∠AFE=180°-60°=120°，∴∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°，∵由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，∴∠1+∠2=240°-120°=120°，∵∠1=85°，∴∠2=120°-85°=35°.故选：D．【点睛】此题主要考查了翻折变换，关键是根据题意得到翻折以后，哪些角是对应相等的．2．B解析：B【解析】【分析】根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程判断．【详解】A. C. D项中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程；B. 方程分母中含未知数x，故是分式方程，故选B.【点睛】本题考查的是分式方程，熟练掌握分式方程是解题的关键.3．D解析：D【解析】分析：根据全等三角形的判定定理AAS，可知应选D.详解：解：如图：A选项中根据AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D 不能判定两个三角形全等，故A错；B 选项三个角相等，不能判定两个三角形全等，故B 错；C 选项看似可用“边角边”定理判定两三角形全等，而对照图形可发现它们并不符合此判定条件，故C 错；D 选项中根据“AAS ”可判定两个三角形全等，故选D ；点睛：本题考查了全等三角形的条件，本题没有给出图形，增加此题的难度.若能顺利画出图形，对照图形和选项即可得到正确选项.4．C解析：C【解析】【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围，再根据第三边是整数，从而求得周长最大时，对应的第三边的长．【详解】解：设第三边为a ，根据三角形的三边关系，得：4-3＜a ＜4+3，即1＜a ＜7，∵a 为整数，∴a 的最大值为6，则三角形的最大周长为3+4+6=13．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，根据三边关系得出第三边的取值范围是解决此题的关键．5．B解析：B【解析】【分析】完全平方公式：()222=2a b a ab b +++，此题为开放性题目．【详解】设这个单项式为Q ，如果这里首末两项是2x 和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x 和1积的2倍，故Q=±4x ； 如果这里首末两项是Q 和1,则乘积项是22422x x =⋅,所以Q=44x ；如果该式只有24x 项，它也是完全平方式，所以Q=−1；如果加上单项式44x -，它不是完全平方式故选B.【点睛】此题考查完全平方式，解题关键在于掌握完全平方式的基本形式. 6．A解析：A【解析】【分析】【详解】解：如图：根据旋转的旋转可知：∠PAP′=∠BAC=90°，AP=AP′=3， 根据勾股定理得：223332'=+=PP ，故选A ．7．B解析：B【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=12（180°-∠CAB ）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE=12∠ACB=35°． 【详解】∵AD 是△ABC 的中线，AB=AC ，∠CAD=20°，∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=12（180°-∠CAB ）=70°． ∵CE 是△ABC 的角平分线，∴∠ACE=12∠ACB=35°． 故选B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB=70°是解题的关键． 8．D解析：D【解析】【分析】根据同底等高判断△ABD 和△ACD 的面积相等，即可得到，即，同理可得△ABC 和△BCD 的面积相等，即. 【详解】∵△ABD 和△ACD 同底等高，,，即△ABC 和△DBC 同底等高，∴∴故A,B,C正确，D错误.故选：D.【点睛】考查三角形的面积，掌握同底等高的三角形面积相等是解题的关键.9．D解析：D【解析】【分析】依据平行线的性质，即可得到∠1＝∠DFG＝40°，再根据三角形外角性质，即可得到∠2的度数．【详解】∵DF∥EG，∴∠1＝∠DFG＝40°，又∵∠A＝30°，∴∠2＝∠A+∠DFG＝30°+40°＝70°，故选D．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．10．D解析：D【解析】【分析】根据邻补角的定义求出与外角相邻的内角，再根据等腰三角形的性质分情况解答．【详解】∵等腰三角形的一个外角是100°，∴与这个外角相邻的内角为180°−100°=80°，当80°为底角时，顶角为180°-160°=20°，∴该等腰三角形的顶角是80°或20°.故答案选：D.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质.11．C解析：C【解析】【分析】由旋转性质得∠CAC1=600,AC=AC1=3，在Rt⊿ABC1中，BC 15==.【详解】因为ABC ∆绕点A 按逆时针旋转60︒得到11AB C ∆，所以∠CAC 1=600,AC=AC 1=3所以∠BAC 1=∠BAC+∠CAC 1=300+600=900,所以，在Rt ⊿ABC 1中，BC 15==故选：C【点睛】考核知识点：旋转性质，勾股定理.运用旋转性质是关键.12．C解析：C【解析】试题解析：试题解析：∵x m =6，x n =3，∴x 2m -n =2()m n x x ÷=36÷3=12. 故选C.二、填空题13．4x2y2【解析】【分析】取分式和中分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；取分式和中各字母因式最高次幂的字母和次幂作为最简公分母的字母和次幂两者相乘即可得到最简公分母【详解】∵分式和中分母的系数 解析：4x 2y 2【解析】【分析】 取分式212xy 和214x y 中分母系数的最小公倍数，作为最简公分母的系数；取分式212xy 和214x y中各字母因式最高次幂的字母和次幂，作为最简公分母的字母和次幂，两者相乘，即可得到最简公分母．【详解】 ∵分式212xy 和214x y中，分母的系数分别为2和4， 又∵2和4得最小公倍数为4，∴最简公分母的系数为4， ∵分式212xy 和214x y中，x 的最高次幂项为2x ，y 的最高次幂项为2y ， ∴最简公分母的字母及指数为22x y ，∴212xy 和214x y的最简公分母是224x y ， 故答案为：224x y ．【点睛】本题考查求解最简公分母．解题方法是取各分式分母中系数的最小公倍数作为最简公分母的系数，取各分式分母中各字母因式最高次幂的字母和次幂作为最简公分母的字母和次幂，两者相乘，即得到最简公分母．14．1【解析】【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母如果含有字母则是分式如果不含有字母则不是分式【详解】解：是整式是分式是整式即分式个数为1故答案为：1【点睛】本题主要考查分式的定义注意数字不是字 解析：1【解析】【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【详解】 解：15x +是整式，1x 是分式，2x 是整式，即分式个数为1， 故答案为：1【点睛】 本题主要考查分式的定义，注意数字不是字母，判断分母的关键是分母中有字母. 15．9【解析】【分析】【详解】解：∵x-2y=0x-y≠0∴x=2yx≠y ∴==9故答案为：9解析：9【解析】【分析】【详解】解：∵x-2y=0，x-y≠0，∴x=2y ，x≠y ，∴ 1011x y x y --=201192y y y y y y-=-=9， 故答案为：916．4【解析】【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根所以应先确定增根的可能值让最简公分母x ﹣3=0得到x=3然后代入整式方程算出a 的值即可【详解】方程两边同时乘以x ﹣3得：1+x ﹣3=a ﹣解析：4【解析】【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣3=0，得到x=3，然后代入整式方程算出a的值即可．【详解】方程两边同时乘以x﹣3得：1+x﹣3=a﹣x．∵方程有增根，∴x﹣3=0，解得：x=3，∴1+3﹣3=a﹣3，解得：a=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了分式方程的增根，先根据增根的定义得出x的值是解答此题的关键．17．12【解析】试题解析：根据题意得（n-2）•180-360=1260解得：n=11那么这个多边形是十一边形考点：多边形内角与外角解析：12【解析】试题解析：根据题意，得（n-2）•180-360=1260，解得：n=11．那么这个多边形是十一边形．考点：多边形内角与外角．18．3【解析】在123处分别涂黑都可得一个轴对称图形故涂法有3种故答案为3解析：3【解析】在1，2，3处分别涂黑都可得一个轴对称图形，故涂法有3种，故答案为3．19．cm【解析】【分析】【详解】∵AD是BC边上的中线∴BD=CD∵△ABC的周长为27cmAC＝9cm∴AB+BC=27－9=18cm∴AB+2BD=18cm∵AD＝6cm△ABD周长为19cm∴AB解析：cm．【解析】【分析】【详解】∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∵△ABC 的周长为27cm ，AC ＝9cm ，∴AB+BC=27－9=18 cm ，∴AB+2BD=18 cm ，∵AD ＝6cm ，△ABD 周长为19cm ，∴AB+BD=19－6=13 cm ，∴BD=5 cm ，∴AB=8 cm ，故答案为8 cm ．20．85°【解析】【分析】根据三角形内角和得出∠C=60°再利用角平分线得出∠DBC=35°进而利用三角形内角和得出∠BDC 的度数【详解】∵在△ABC 中∠A=50°∠ABC=70°∴∠C=60°∵BD 平解析：85°．【解析】【分析】根据三角形内角和得出∠C=60°，再利用角平分线得出∠DBC=35°，进而利用三角形内角和得出∠BDC 的度数．【详解】∵在△ABC 中，∠A=50°，∠ABC=70°，∴∠C=60°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠DBC=35°，∴∠BDC=180°﹣60°﹣35°=85°．故答案为85°．三、解答题21．原方程无解．【解析】试题分析：观察可得最简公分母是21x -，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．试题解析：方程两边都乘以21x -，得：()2121x x x +-=-， 去括号得2221x x x +-=-，移项合并得1x =．检验：当1x =时，210x -=，所以原方程无解．22．（1）x=12；（2）无解．【解析】【分析】根据解分式方程的步骤解方程即可．【详解】解：⑴ 2323x x =-+ 去分母得，()()2332x x +=-解得：x=12经检验x=12是原方程的解∴ 原方程的解是x=12⑵31244x x x -+=-- 解得：x=4 经检验x=4是原方程的增根∴ 原方程无解．【点睛】考查解分式方程，一般步骤是去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1，注意检验．23．第一次购买的图书，每本进价为5元．【解析】【分析】设第一次购买的图书的单价为x 元/本，则第二次购买图书的单价为1.2x 元/本，根据数量＝总价÷单价结合第二次比第一次多购进10本，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；【详解】设第一次购买的图书的进价为x 元/本，则第二次购买图书的进价为1.2x 元/本， 根据题意得：150********.2x x -= 解得：x =5，经检验，x =5是原分式方程的解，且符合题意．答：第一次购买的图书，每本进价为5元．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程．24．（1）CB 延长线上；a+b （2）①DC ②6；（3））或（2-，）.【解析】【分析】1）根据点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，即可得到结论； （2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD ≌△EAB ，根据全等三角形的性质得到CD=BE ；②由于线段BE 长的最大值=线段CD 的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）连接BM ，将△APM 绕着点P 顺时针旋转90°得到△PBN ，连接AN ，得到△APN 是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA ，BN=AM ，根据当N 在线段BA 的延长线时，线段BN 取得最大值，即可得到最大值为过P 作PE ⊥x 轴于E ，根据等腰直角三角形的性质，即可得到结论．【详解】（1）CB 延长线上；a+b ；（2）①DC ，理由如下：∵△ABD 与△ACE 是等边三角形，∴AD=AB ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC ，即∠CAD=∠EAB，在△CAD 与△EAB 中，AD AB CAD EAB AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CAD ≌△EAB ，∴CD=BE.②6（3）（）【点睛】本题考查的知识点是等边三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握等边三角形的性质.25．m ＜6且m ≠3【解析】【分析】先解关于x 的分式方程，求得x 的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m 的取值范围．【详解】去分母，得x ﹣2（x ﹣3）＝m ，解得：x ＝6﹣m ，∵x ＞0，∴6﹣m ＞0，∴m ＜6，且x≠3，∴m≠3．∴m ＜6且m≠3．【点睛】解答本题时，易漏掉m≠3，这是因为忽略了x ﹣3≠0这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视．。

广东省广州市2021年八年级上学期数学期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2017七下·南平期末) 下列四个图形中，不是轴对称图形的是（）A .B .C .D .2. （2分） (2017七下·永春期末) 现有四根木棒，长度分别为4，6，8，10，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个3. （2分） (2016九上·武胜期中) 在平面直角坐标系中，已知点P（2，1）与点Q（2，﹣1），下列描述正确是（）A . 关于x轴对称B . 关于y轴对称C . 关于原点对称D . 都在y=2x的图象上4. （2分） (2018八上·达孜期中) 若一个多边行的边数增加，则它的外角和（）A . 随着增加B . 保持不变C . 随着减少D . 无法确定5. （2分） (2018八上·宁波期中) 如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形经常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的AB和CD），这样做的依据是（）A . 三角形的稳定性.B . 垂线段最短.C . 长方形的轴对称性.D . 两点之间线段最短.6. （2分）如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，由三角形全等得出A′B′的长等于内槽宽AB；那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）A . 边角边B . 角边角C . 边边边D . 角角边7. （2分） (2017八下·佛冈期中) 如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,DE垂直平分AB交AC于D,交AB于E,下列论述错误的是（）A . BD平分∠ABCB . D是AC的中点C . AD=BD=BCD . △BDC的周长等于AB+BC8. （2分）(2017·辽阳) 如图，在▱ABCD中，∠BAD=120°，连接BD，作AE∥BD交CD延长线于点E，过点E 作EF⊥BC交BC的延长线于点F，且CF=1，则AB的长是（）A . 2B . 1C .D .9. （2分）(2018·襄阳) 如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于 AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（）A . 16cmB . 19cmC . 22cmD . 25cm10. （2分）如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＞60°．现沿直线EG 将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为（）A . 4B . 3C . 2D . 1二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分）(2012·抚顺) 已知一副三角板如图（1）摆放，其中两条斜边互相平行，则图（2）中∠1=________．12. （1分）如图，AB=AC ， BD=CD ，∠B=20° ，则∠C=________°．13. （1分）与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的________上;用此判定可证线段的________关系和________关系14. （1分）如图，⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为 cm，1cm，则弦AC、BD所夹的锐角α=________度．15. （1分）(2018·嘉兴模拟) 如图，已知点A（2，2）关于直线（k>0）的对称点恰好落在x轴的正半轴上，则k的值是________．16. （1分）(2019·黄冈模拟) 过平行四边形ABCD的对角线交点O作直线m，分别交直线AB于点E，交直线CD于点F，若AB=4，AE=6，则DF=________.三、解答题 (共8题；共73分)17. （10分） (2019七下·常熟期中)（1）如图，在四边形ABCD中，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB.若∠A+∠B=140°，求∠DEC的度数;（2）如图，四边形ABCD沿MN折叠，使点C、D落在四边形ABCD内的点C′、D′处，探索∠AMD′、∠BNC′与∠A+∠B之间的数量关系，并说明理由；（3）如图，将四边形ABCD沿着直线MN翻折，使得点D落在四边形ABCD外部的D′处，点C落在四边形ABCD 内部的C′处，写出∠AMD′、∠BNC′与∠A+∠B之间的关系.18. （5分） (2016八上·萧山竞赛) 如图，点E在△ABC外部，点D在边BC上，DE交AC于点F.若∠1=∠2=∠3，AC=AE,求证△ABC≌△ADE．19. （5分）(2018·青岛模拟) 问题提出：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？问题探究：不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以从特殊入手，通过试验、观察、类比，最后归纳、猜测得出结论．探究一：①用3根相同的木棒搭成一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？此时，显然能搭成一种等腰三角形。

八年级（上）期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10 小题，共 30.0 分）1.以下图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽，此中为轴对称图形的是（）A. B. C. D.2. 一个三角形的两边长为 3 和8 ），第三边长为奇数，则第三边长为（A.5或7B.7或9C. 7D. 93.到三角形三边的距离相等的点是（）A.三角形三条高的交点C.三角形三条角均分线的交点B.D.三角形三条中线的交点不存在这个点4. 如下图，已知∠1=∠2，若增添一个条件使△ABC≌△ADC，则增添错误的选项是（）A. AB=ADB. ∠B=∠DC. ∠BCA=∠DCAD. BC=DC5.如图，把一个含 30 °角的直角三角尺的直角极点放在直尺的一边上，假如∠1=20°，那么∠2的度数为（）A. 20°B. 50°C. 60°D. 70°6. 点（ 5， -2）对于 x 轴的对称点是（）A. (5,-2)B. (5,2)C. (-5,2)D. (-5.-2)7.如图，在△ABC 中，∠BDC=110 °，点 D 是∠ABC 和∠ACB 角均分线的交点，则∠A=（）A. 40°B. 50°C. 60°D.70°8. 点P AOB的均分线上，点P到OA边的距离等于6，点Q是OB边上的随意一在∠点，则以下选项正确的选项是（）A. PQ>6B. PQ≥6C. PQ<6D. PQ≤69.如图，等边△ABC 的边长为 1cm， D、 E 分别 AB、 AC是上的点，将△ADE 沿直线 DE 折叠，点 A 落在点 A′处，且点 A′在△ABC 外面，则暗影部分的周长为（）cmA.1B.2C.3D.410.如图，已知 Rt△ABC 中，∠C=90 °，∠A=30 °，在直线 BC 或 AC 上取一点 P，使得△PAB 是等腰三角形，则切合条件的P 点有（）A.5 个B.6 个C.7 个D.8 个二、填空题（本大题共 6 小题，共18.0 分）11.如图，已知△OAB≌△OCD ，∠A=30 °，∠AOB=105 °，则∠D =______ °．12.一个正多边形的每个内角都等于140 °，那么它是正 ______边形．13. 等腰三角形中，已知两边的长分别是9 和 6，则周长为 ______．14.EAF=15 ° AB=BC=CD ECD等于______ °如图：∠，，则∠．15. 如下图，点P AOB内一点，分别作出点P关为∠于 OA、OB 的对称点 P1、P2．连结 P1P2交 OA 于 M，交 OB 于 N，若 P1P2=6，则△PMN 的周长为 ______．16.如图，在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的均分线交于点 O，OD ⊥BC于 D ，假如 AB=25cm，BC=20cm，AC=15cm，且S△ABC=150cm2，那么 OD =______cm．三、解答题（本大题共8 小题，共72.0 分）17.一个多边形的内角和比它的外角和的 3 倍少 180 °，求这个多边形的边数．18. 如图，M N ABCDE的边BC CD上的点，，分别是正五边形，且 BM=CN， AM 交 BN 于点 P．求证：△ABM ≌△BCN．19.如图：（ 1）画出△ABC 对于 y 轴对称的△A1B1C1；（2）在 y 轴上画出点 P，使 PA+PC 最小；（3）求△ABC 的面积．20.如下图，在△ABC 中，AB=AC=CD，AD =DB ，求∠BAC的度数．21.如图，在△ABC 中， AB=AC， BD ⊥AC 于 D ，CE⊥AB 于E，BD、 CE 订交于 F．求证： AF 均分∠BAC．22.如图，在△ABC 中， AB=AC，∠BAC=120 °．（ 1）作线段 AC 的垂直均分线，分别交 BC、AC 于点 D、 E．（尺规作图，保存作图印迹，不写作法）（2）连结 AD ，若 DE =2cm，求 BC 的长．23.如图，在△ABC 中， AD、CE 分别是∠BAC、∠BCA 的均分线， AD 、 CE 订交于点 F ．（1）求证：∠EFA=90°-12 ∠B；（2）若∠B=60°，求证： EF=DF ．24.已知：在等腰三角形 ABC 中， AB=AC， AD⊥BC 于点 D ，以 AC 为边作等边三角形ACE，直线 BE 交直线 AD 于点 F ，连结 FC．（1）如图 1，120°＜∠BAC＜ 180°，△ACE 与△ABC 在直线 AC 的异侧，且 FC 交 AE于点 M．①求证：∠FEA=∠FCA；②猜想线段FE， AD ， FD 之间的数目关系，并证明你的结论；（ 2）当 60°＜∠BAC ＜ 120°，且△ACE 与△ABC 在直线 AC 的异侧时，利用图 2 画出图形研究线段FE ，AD ， FD 之间的数目关系，并直接写出你的结论．答案和分析1.【答案】D【分析】【剖析】本题考察了轴对称图形的观点：轴对称图形的重点是找寻对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合 .依据轴对称图形的观点求解 .【解答】解：A. 不是轴对称图形，故错误；B. 不是轴对称图形，故错误；C.不是轴对称图形，故错误；D.是轴对称图形，故正确.应选 D.2.【答案】B【分析】解：依据三角形的三边关系，得第三边大于 8-3=5，而小于两边之和 8+3=11．又第三边应是奇数，则第三边等于 7 或 9．应选：B．第一依据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再依据第三边又是奇数获得答案．此类求三角形第三边的范围的题，本质上就是依据三角形三边关系定理列出不等式，而后解不等式即可．3.【答案】C【分析】解：到三角形三边的距离相等的点是：三角形三条角均分线的交点．应选：C．依据角均分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答．本题考察了角均分线的性质，熟记角均分线上的点到角的两边的距离相等是解题的重点．解：A 、增添 AB=AD ，能依据 SAS 判断△ABC ≌△ADC，应选项正确；B、增添∠B=∠D，能依据 ASA 判断△ABC ≌△ADC ，应选项正确；C、增添∠BCA= ∠DCA ，能依据 ASA 判断△ABC ≌△ADC ，应选项正确；D、增添 BC=DC，SSA 不可以判断△ABC ≌△ADC ，应选项错误．应选：D．本题是开放题，要使△ABC ≌△ADC ，已知∠1=∠2，AC 是公共边，具备了一组边和一组角对应相等，再联合选项一一论证即可．本题考察三角形全等的判断方法，判断两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不可以判断两个三角形全等，判断两个三角形全等时，一定有边的参加，如有两边一角对应相等时，角一定是两边的夹角．5.【答案】B【分析】解：∠2=∠A+ ∠1=30 °+20 °=50 °，应选：B．依据三角形的外角性质得出∠2=∠A+ ∠1，代入求出即可．本题考察了三角形的外角性质，能依据三角形的外角性质得出∠2=∠A+ ∠1 是解本题的重点．6.【答案】B【分析】解：（5，-2）对于x 轴的对称点为（5，2），应选：B．对于 x 轴对称点的坐标特色：横坐标不变，纵坐标互为相反数．本题主要考察了对于 x 轴对称点的坐标，重点是掌握点的坐标的变化规律．解：∵∠BDC=110°，∴∠DBC+∠DCB=180°-110 =70° °，∵点 D 是∠ABC 和∠ACB 角均分线的交点，∴∠ABC=2 ∠DBC ，∠ACB=2 ∠DCB ，∴∠ABC+ ∠ACB=2×（∠DBC+2∠DCB）=140 °，∴∠A=180 °-140 =40° °，应选：A．依据三角形内角和定理获得∠DBC+∠DCB=70° ，依据角均分线的定义和三角形内角和定理计算即可．本题考察的是三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．8.【答案】B【分析】解：∵点 P 在∠AOB 的均分线上，点 P 到 OA 边的距离等于 6，∴点 P到 OB 的距离为 6，∵点 Q 是 OB 边上的随意一点，∴PQ≥6．应选：B．依据角均分线上的点到角的两边距离相等可得点 P 到 OB 的距离为6，再依据垂线段最短解答．本题考察了角均分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的重点．9.【答案】C【分析】解：将△ADE 沿直线 DE 折叠，点 A 落在点 A′处，因此 AD=A′D，AE=A′E．则暗影部分图形的周长等于 BC+BD+CE+A′D+A′E，=BC+BD+CE+AD+AE ，=BC+AB+AC ，应选：C．由题意得 AE=A′E，AD=A′D，故暗影部分的周长能够转变为三角形 ABC 的周长．本题考察翻折问题，折叠问题的本质是“轴对称”，解题重点是找出经轴对称变换所得的等量关系．10.【答案】B【分析】解：如图，第1 个点在 CA 延伸线上，取一点 P，使BA=AP ；第 2 个点在 CB 延伸线上，取一点 P，使AB=PB ；第 3 个点在 AC 延伸线上，取一点 P，使AB=PB ；第 4 个点在 BC 延伸线上，取一点 P，使AB=PA ；第 5 个点在 AC 延伸线上，取一点 P，使AB=AP ；第 6 个点在 AC 上，取一点 P，使∠PBA=∠PAB；∴切合条件的点 P 有 6 个点．应选：B．依据等腰三角形的判断定理，联合图形即可获得结论．本题考察了等腰三角形的判断来解决本质问题，其重点是依据题意，画出符合本质条件的图形，再利用数学知识来求解．11.【答案】45【分析】解：∠B=180°-∠A- ∠AOB=45°，∵△OAB ≌△OCD，∴∠D=∠B=45 °，故答案为：45．依据三角形内角和定理求出∠B，依据全等三角形的对应角相等解答．本题考察的是全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的重点．12.【答案】九【分析】解：∵正多边形的每个内角都等于140°，∴多边形的外角为 180 °-140 =40° °，∴多边形的边数为 360 °÷40 °=9，故答案为：九．第一依据多边形的内角与相邻的外角互补可得外角为 180°-140 °=40°，再利用外角和 360°除之外角的度数可得边数．本题主要考察了多边形的内角与外角，关键是掌握外角和 360°除之外角的度数可得边数．13.【答案】21或24【分析】解：当边长为 9 的边为底时，三角形的三边长为：9、6、6，知足三角形的三边关系，此时其周长为 21；当边长为 9 的边为腰时，三角形的三边长为：9、9、6，知足三角形的三边关系，此时其周长为 24．故答案为：21 或 24．分 9 是底和腰两种状况进行议论，利用三角形的三边关系来判断，再计算其周长即可．本题主要考察等腰三角形的性质和三角形的三边关系，注意分两种状况进行议论是解题的重点．14.【答案】45【分析】解：∵AB=BC ，∴∠BAC= ∠BCA=15°，∴∠CBD=∠A+ ∠BCA=30°，∴∠CBD=∠CDB=30°，∴∠ECD=∠A+ ∠CDB=15°+30 °=45 °，故答案为 45．依据等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题；本题考察等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识，解题的重点是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15.【答案】6【分析】解：∵点 P 对于 OA 的对称点 P1，∴OA 是 PP1的中垂线，∴P1M=PM ，同理可得：P2N=PN，∵△PMN 的周长=PM+PN+MN ，∴△PMN 的周长=P1M+MN+P 2N=P1P2=6，故答案为：6．依据轴对称的性质可得 P1M=PM ，PN=P2N，而后求出△PMN 的周长=P1P2．本题考察轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的地点关系是相互垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直均分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．16.【答案】5【分析】解：连结 OA，过点 O分别作 AC，AB 的垂线，垂足分别为E、F，∵∠ABC ，∠ACB 的均分线交于点 O，OD⊥BC 于 D，∴OD=OE=OF，∴S△ABC =S△AOB +S△BOC +S△AOC = AB?OF+ BC?OD+ AC?OE= OD （AB+BC+AC ）=×OD× （25+20+15）=150，解得OD=5cm．故答案为：5．先连结 OA，过点 O 分别作 AC，AB 的垂线，垂足分别为 E、F，由角均分线的性质可知 OD=OE=OF ，再依据 S△ABC =S△AOB +S△BOC+S△AOC进行解答即可．本题考察的是三角形的面积及角均分线的性质，依据题意作出协助线，把△ABC 的面积分为 S△AOB +S△BOC +S△AOC是解答此题的重点．17.【答案】解：设这个多边形的边数是n，依题意得（ n-2）×180°=3×360°-180 °，n-2=6-1 ，n=7．∴这个多边形的边数是7．【分析】多边形的外角和是 360 度，依据多边形的内角和比它的外角和的 3 倍少 180°，即可获得多边形的内角和的度数．依据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．本题考察了多边形的内角和与外角和定理，随意多边形的外角和都是360°，与边数没关．18.【答案】证明：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB=BC，∠ABM =∠C，∴在△ABM 和△BCN 中AB=BC∠ ABM=∠ CBM=CN ，∴△ABM≌△BCN（ SAS）．【分析】利用正五边形的性质得出 AB=BC ，∠ABM= ∠C，再利用全等三角形的判断即可证明△ABM ≌△BCN ．本题主要考察了全等三角形的判断以及正五边形的性质等知识，娴熟掌握全等三角形的判断方法是解题重点．19.【答案】解：（1）如下图，△A1B1C1即为所求；（2）如下图，点 P 即为所求；（3）如下图， S△ABC =S 梯形BCDE -S△ACD-S△ABE=(5+3) × 32-2× 32-1×．【分析】第12 页，共 17页（1）分别作出点 A 、B、C 对于 y 轴对称的点 A 1，B1，C1，而后按序连结，并写出坐标．（2）连结 AC 1交 y 轴于点 P，则 PA+PC 最小，点 P 即为所求．（3）利用△ABC 所在梯形面积减去四周三角形面积，从而得出答案．本题考察轴对称变换、三角形的面积、两点之间线段最短等知识，解答本题的重点是依据网格结构作出对应点的地点，而后按序连结．20.【答案】解：∵AB=AC，DA=DB，∴∠B=∠C=∠BAD ，∵CA=CD ，∴∠CDA=∠CAD ，又∠CDA =∠B+∠BAD =2 ∠B=2∠C，∴∠CAD=2∠C，在△ACD 中，∠C+∠CDA+∠CAD =180°，∴2∠C+2∠C+∠C=180 °，∴∠C=36 °，∴∠BAD=36 °，∠CAD =2 ∠C=72 °，∴∠BAC=∠BAD +∠CAD=36 °+72 °=108 °．【分析】AB=AC=CD ，AD=BD 可得∠B=∠C=∠BAD ，∠CDA= ∠CAD ，且利用外角可得∠CDA=2 ∠B=2∠C，在△ACD 中利用三角形内角和可求得∠C，进一步可求得∠CAC ，再利用角的和差求得∠BAC ．本题主要考察等腰三角形的性质及外角性质、三角形内角和定理，由条件得到 2∠C+2∠C+∠C=180°求出∠C 是解题的重点，注不测角性质及三角形内角和定理的应用．21.【答案】证明：∵AB=AC（已知），∴∠ABC=∠ACB （等边平等角）．∵BD 、 CE 分别是高，∴BD ⊥AC， CE⊥AB（高的定义）．∴∠CEB=∠BDC =90 °．∴∠ECB=90 °-∠ABC ，∠DBC =90 °-∠ACB．∴∠ECB=∠DBC （等量代换）．∴FB=FC （等角平等边），在△ABF 和△ACF 中，AB=ACAF=AFFB=FC ，∴△ABF ≌△ACF （SSS），∴∠BAF=∠CAF （全等三角形对应角相等），∴AF 均分∠BAC．【分析】先依据 AB=AC ，可得∠ABC= ∠ACB ，再由垂直，可得 90°的角，在△BCE 和△BCD 中，利用内角和为 180 °，可分别求∠BCE 和∠DBC ，利用等量减等量差相等，可得 FB=FC，再易证△ABF ≌△ACF，从而证出 AF 均分∠BAC ．本题考察了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；等量减等量差相等的利用是解答本题的重点．22.【答案】解：（1）线段AC的垂直均分线如下图：（2）∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠C=∠B=30 °，∵DE 是 AC 的垂直均分线，∴AD =CD ，∴∠DAC=∠C=30 °，∴AD =CD =2DE =2 ×2=4cm，∠BAD =120 °-30 °=90 °，∴BD =2AD=8 cm，∴BC=BD +CD =8+4=12 （ cm）．【分析】（1）利用尺规作出线段 AC 的垂直均分线即可；（2）先求出AD=CD ，得出∠DAC= ∠C=30°，求出 AD=CD=2DE=10 ，再证∠BAD=90°，得出 BD=2AD=20 ，即可求出 BC 的长．本题考察了等腰三角形的性质、线段垂直均分线的性质以及含 30°的直角三角形的性质；利用线段垂直均分线得出线段相等、角相等是解题的重点．23.【答案】证明：（1）∵∠BAC +∠BCA=180°-∠B，又∵AD 、 CE 分别是∠BAC、∠BCA 的均分线，∴∠FAC=12 ∠BAC，∠FCA =12∠BCA，∴∠FAC+∠FCA =12 ×（ 180 °-∠B）=90 °-12 ∠B，∵∠EFA=∠FAC +∠FCA ，∴∠EFA=90 °-12∠B．（ 2）如图，过点 F 作 FG⊥BC 于 G，作 FH ⊥AB 于 H，作 FM ⊥AC 于 M．∵AD 、 CE 分别是∠BAC、∠BCA 的均分线，∴FG =FH =FM ，∵∠EFH +∠DFH =120 °，∠DFG +∠DFH =360 °-90 °×2-60 =120° °，∴∠EFH =∠DFG ，在△EFH 和△DFG 中，∠EHF=∠ DGF=90°∠ EFH=∠DFGFG=FH，∴△EFH ≌△DFG （ AAS），∴EF=DF ．【分析】（1）由∠FAC=∠BAC，∠FCA=∠BCA，推出∠FAC+∠FCA=×（∠ABC+ ∠ACB ）=（180°-∠B）=90°-∠B；（2）过点 F 作 FG⊥BC 于 G，作FH⊥AB 于 H，作FM ⊥AC 于，结构全等三角形解决问题即可；本题考察全等三角形的判断和性质，角均分线的定义等知识，解题的重点是学会增添常用协助线，结构全等三角形解决问题，属于中考常考题型．24.【答案】证明：（1）①∵△AEC是等边三角形∴∠EAC=∠ACE =60 °， CE=AC=AE，且 AB=AC∴AB=AE∴∠ABF=∠AEF∵AB=AC，AD⊥BC∴AD 是 BC 的垂直均分线∴BF=FC ，且 AF=AF ，AB=AC∴△ABF ≌△ACF （SSS）∴∠ABF=∠ACF∴∠ACF=∠AEF②EF=FD +AD延伸 AD 使 DP =AD ，连结 CP∵AD =DP ，∠ADC =∠PDC ，CD=CD∴△ADC≌△PDC（ SAS）∴AC=CP =CE ，∠ACD=∠PCD∵∠ACF=∠AEF ，且∠AMC =∠FME∴∠EFC=∠EAC =60 °∵BF=CF ，且∠EFC =60 °∴∠FCD =30 °∵∠FCA=∠FCD -∠ACD∴∠FCA=30 °-∠ACD∵∠ECF=∠ECA -∠FCA∴∠ECF=30 °+∠ACD∵∠FCP=∠FCD +∠DCP∴∠FCP=30 °+∠ACD∴∠ECF=∠FCP ，且 FC =FC ， CP=CE∴△ECF ≌△FCP（ SAS）∴EF=FP∴EF=FD +AD（2）连结 CF，延伸 AD 使 FD =DP ，连结 CP．∵△AEC 是等边三角形∴∠EAC=∠ACE =60 °， CE=AC=AE，且 AB=AC ∴AB=AE∴∠ABF=∠AEF∵AB=AC，AD⊥BC∴AD 是 BC 的垂直均分线∴BF=FC ，且 AF=AF ，AB=AC∴△ABF ≌△ACF （SSS）∴∠ABF=∠ACF∴∠ACF=∠AEF 且∠AME=∠CMF∴∠EAC=∠EFC =60 °∵BF=CF ，∠EFC =60 °∴∠FCB=30 °∵FD =DP ，∠FDC =∠PDC ，CD=CD∴△FDC ≌△PDC（ SAS）∴FC=CP ，∠FCD =∠PCD =30 °∴∠FCP=60 °=∠ACE∴∠ACP=∠FCE 且 CF =CP， AC=CE∴△ACP≌△ECF（ SAS）∴EF=AP∴EF=AD+DP =AD +DF【分析】（1）① 由题意可得 AB=AC=AE ，即可求∠ABF= ∠AEF，由AD 是 BC 的中垂线可得 BF=CF，可证△ABF ≌△ACF ，可得∠ABF= ∠ACF ，则结论可得；②延伸 AD 使 DP=AD ，连结 CP，由题意可得 AC=CP=CE，∠ACD= ∠PCD，即可证∠ECF=∠FCP，则可证△ECF≌△FCP，可得EF=FP=FD+AD ；（2）连结 CF，延伸 AD 使 FD=DP，连结 CP，由题意可得∠ABF= ∠ACF=∠AEF ，△FCP 是等边三角形，可证△ACP≌△ECF，即可得 EF=AD+DP=AD+DF ．本题考察了三角形综合题，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判断，增添适合的协助线结构全等三角形是本题的重点．。

广东省广州中学2020-2021学年八年级上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列“表情图”中，属于轴对称图形的是A．B．C．D．2．能把一个任意三角形分成面积相等的两部分是（）A．角平分线B．中线C．高D．以上都可以3．下列图形中，与已知图形全等的是( )A．B．C．D．4．下列长方形中，能使图形不易变形的是( )A．B．C．D．5．如图，∠1=100°，∠2=145°，那么∠3=( ).A．55°B．65°C．75°D．85°6．如图，△ABC≌△ABD，∠D=90°，∠CAD=60°，则∠ABD的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°7．已知等腰三角形有两条边的长分别是3,7,则这个等腰三角形的周长为()A．17 B．13 C．17或13 D．108．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=12，BD=8，则点D到AB的距离是( )A．6 B．4 C．3 D．29．如图，在△ABC中，BC=10，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC 与E，则△ADE的周长等于( )．A．8 B．10 C．12 D．1410．如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，过I点作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，给出下列结论：①△DBI是等腰三角形；②△ACI是等腰三角形；③AI平分∠BAC；④△ADE周长等于AB＋AC．其中正确的是( )A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④二、填空题11．如图所示：已知∠ABD＝∠ABC，请你补充一个条件：________，使得△ABD≌△ABC．（只需填写一种情况即可）12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是底边BC上的高，若BC＝18，则BD＝_________.13．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为_______．14．如图，已知AD 所在直线是△ABC 的对称轴，点E 、F 是AD 上的两点，若BC=4，AD=3，则图中阴影部分的面积的值是______．15．若n 边形的内角和是它的外角和的2倍，则n = .16．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，化简：2a b c a b c a b c +----+-+＝______．三、解答题17．如图，AB 与CD 相交于点E ，AE ＝CE ，DE ＝BE ．求证：∠A ＝∠C ．18．在直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的位置如图所示.（1）请画出△ABC 关于y 轴对称的△A ’B ’C ’（其中A ’，B ’，C ’分别是A ，B ，C 的对应点，不写画法）.（2）直接写出A ’，B ’，C ’三点的坐标：A ’_____ ，B ’_____ ，C ’_____ . 19．如图，AB =AC ,MB =MC ，直线AM 是线段BC 的垂直平分线吗？20．如图，AD 为△ABC 的高，BE 为△ABC 的角平分线，若∠EBA =34°，∠AEB =80°，求∠CAD的度数？21．如图，已知△ABC是等边三角形,点D是直线BC上一点,以AD为一边在AD的右侧作等边△ADE.求∠DCE的大小.22．（1）如图1,△ABC中,∠C=90°,请用直尺和圆规作一条直线,把△ABC分割成两个等腰三角形(不写作法,但须保留作图痕迹).（2）已知内角度数的两个三角形如图2,图3所示.请你判断,能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形?若能,请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数.23．已知如图所示，点D在线段AE上，点B在线段FC上，AB=DC，AD=BC，DE=BF，求证：BE=DF.24．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N.求证：CM=2BM.25．在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且AE=BD,（1）当点E为AB的中点时,如图1,求证:EC=ED;（2）当点E不是AB的中点时,如图2,过点E作EF//BC,求证:△AEF是等边三角形; （3）在第(2)小题的条件下,EC与ED还相等吗,请说明理由.参考答案1．D【解析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，因此，A、B，C不是轴对称图形；D是轴对称图形．故选D．2．B【分析】根据等底同高的三角形的面积相等解答．【详解】三角形的中线把三角形分成等底同高的两个三角形，面积相等，所以，能把一个任意三角形分成面积相等的两部分是中线．故选B．【点睛】本题考查了三角形的面积，熟记等底同高的三角形的面积相等是解题的关键．3．B【分析】根据全等图形的定义:能够完全重合的两个图形是全等图形.【详解】根据全等图形的定义可得:B选项中图形能够与已知图形完全重合,故选B.【点睛】本题主要考查全等图形的定义,解决本题的关键是要熟练掌握全等图形的定义.4．B【解析】【分析】根据三角形的稳定性进行解答即可．【详解】∵四个选项中只有B存在三角形，∴图形B不易变形，故选B．本题考查的是三角形的稳定性，熟知当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性是解答此题的关键.5．B【解析】试题解析：∵∠1=100°，∠2=145°，∴∠4=180°-∠1=180°-100°=80°，∠5=180°-∠2=180°-145°=35°，∵∠3=180°-∠4-∠5，∴∠3=180°-80°-35°=65°．故选B．6．D【解析】【分析】要求∠ABD只要求出∠DAB，利用全等三角形的对应角相等，即可求解．【详解】∵△ABC≌△ABD，∠CAD=60°，∠CAD=30°，∴∠DAB=∠BAC=12∴∠ABD=180°-∠D-∠DAB=180°-90°-30°=60°，故选：D．【点睛】本题考查的知识点为：全等三角形的性质及三角形的内角和定理；要熟练掌握这些知识，做题时注意应用．7．A分3是腰长与底边两种情况讨论求解．【详解】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为7、3、3，3+3=6＜7，不能组成三角形；②3是底边长时，三角形的三边分别为7、7、3，能组成三角形，周长=7+7+3=17，综上所述，这个等腰三角形的周长是17，故选A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．8．B【解析】【分析】根据角平分线的性质定理可得.【详解】若BC=12，BD=8；则DC=4；在Rt△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC交BC于点D；则点D到AC和AB的距离相等，所以点D到AB的距离=DC=4【点睛】理解角平分线的性质定理.9．B【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD，AE=EC，进而可得AD+ED+AE=BD+DE+EC，从而可得答案．【详解】∵AB的垂直平分线交BC于D，∴AD=BD，∵AC的垂直平分线交BC与E，∴AE=CE，∵BC=10，∴BD+CE+DE=10，∴AD+ED+AE=10，∴△ADE的周长为10，故选：B．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．10．C【分析】根据角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质分别对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】①∵IB平分∠ABC，∴∠DBI=∠CBI．∵DE∥BC，∴∠DIB=∠CBI，∴∠DBI=∠DIB，∴BD=DI，∴△DBI是等腰三角形．故本选项正确；②∵∠BAC不一定等于∠ACB，∴∠IAC不一定等于∠ICA，∴△ACI不一定是等腰三角形．故本选项错误；③∵三角形角平分线相交于一点，BI，CI分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴AI平分∠BAC．故本选项正确；④∵BD=DI，同理可得EI=EC，∴△ADE的周长=AD+DI+EI+AE=AD+BD+EC+AE=AB+AC．故本选项正确；其中正确的是①③④．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记三角形的角平分线相交于一点是解题的关键．11．BD=BC【详解】试题分析：判定两个三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，故本题中，在∠ABD＝∠ABC，AB=AB，BD=BC时，符合SAS的判定规律，故答案可以是BD=BC；考点：全等三角形的性质和判定点评：解答本题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角12．9【解析】【分析】根据到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，判断出AD是BC的中垂线，即可判断出BD=DC，即可求解.【详解】∵AD是边BC上的高，∴AD⊥BC，又∵AB=AC，∴AD是BC的中垂线，∴BD=DC，BC=9，∴BD=12故答案为：9【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质和应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．13．300【解析】试题分析：根据定义，α=1000，β=500，则根据三角形内角和等于1800，可得另一角为300，因此，这个“特征三角形”的最小内角的度数为300．14．3【解析】分析：通过轴对称可以知道S△BEF=S△CEF，阴影部分的面积等于三角形ABC面积的一半. 详解：∵△ABC关于直线AD成轴对称，∴∠ADB=∠ADC=90°，BD=DC，∵E，F是AD上的两点，∴△EFB与△EFC关于直线AD成轴对称，∴S△BEF=S△CEF.∵S△ABC=4×3÷2=6，∴S阴影部分=12S△ABC=3.点睛：本题考查了轴对称，三角形的面积.15．6【解析】此题涉及多边形内角和和外角和定理多边形内角和=180（n-2）, 外角和=360º所以，由题意可得180(n-2)=2×360º解得：n=616．3a-b．【解析】试题分析：三角形三边满足的条件是，两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可．∵△ABC的三边长分别是a、b、c，∴必须满足两边之和大于第三边，则a+b-c＞0，a-b-c＜0，a-b+2c＞0，∴|a+b-c|-|a-b-c|+|a-b+2c|=a+b-c+（a-b-c）+（a-b+2c）=3a-b．考点：1．三角形三边关系；2．绝对值；3．整式的加减．17．证明见解析．【解析】【分析】根据AE=EC，DE=BE，∠AED和∠CEB是对顶角，利用SAS证明△ADE≌△CBE即可．【详解】在△AED和△CEB中，AE CE AED CEB DE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AED ≌△CEB （SAS ），∴∠A ＝∠C （全等三角形对应角相等）．【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，此题难度不大，要求学生应熟练掌握．18．（1）见解析；（2））(2,3)；(3,1)；(−1,−2).【解析】【分析】（1）根据关于y 轴对称的点的坐标特点画出△A′B′C′即可；（2）根据各点在坐标系中的位置写出△A′B′C′各点的坐标.【详解】（1）如图所示：（2）由图可知，A′（2，3），B′（3，1），C′（-1，-2）．故答案为：（2，3），（3，1），（-1，-2）【点睛】本题考查的是作图-轴对称变换，熟知关于y 轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． 19．是，见解析.【分析】根据线段的垂直平分线的定义，分别证明A 、M 在线段BC 的垂直平分线上即可解决问题．【详解】是，证明：∵AB=AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上，∵MB=MC，∴点M在线段BC的垂直平分线上，∴直线AM是线段BC的垂直平分线．【点睛】本题考查线段的垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的判定方法，属于中考常考题型．20．∠CAD=44°【解析】【分析】根据角平分线定义求出∠CBE=∠EBA=34°，根据三角形外角性质求出∠C，即可求出答案．【详解】∵BE为△ABC的角平分线，∴∠CBE=∠EBA=34°，∵∠AEB=∠CBE+∠C，∴∠C=80°-34°=46°，∵AD为△ABC的高，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°-∠C=44°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质，能灵活运用三角形内角和定理求出角的度数是解此题的关键．21．60°【解析】【分析】由△ABC和△ADE是等边三角形可以得出AB=BC=AC，AD=AE，∠ABC=∠ACB=∠BAC=∠DAE=60°，得出∠ABD=60°，再证明△ABD≌△ACE，得出∠ABD=∠ACE=60°，即可得出结论．【详解】∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠DAE=∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，AD=AE，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，{AD=AE∠DAB=∠CAEAB=AC，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE=∠ABC=60°．∴∠DCE=180°-∠ACE-∠ACB=180°-60°-60°=60°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．22．（1）见解析；（2）图2能画一条直线分割成两个等腰三角形，分割成的两个等腰三角形的顶角分别是132°和84°；图3不能分割成两个等腰三角形.【解析】【分析】（1）本题中，只要找到斜边中点，然后连接直角顶点和斜边中点，那么分成的两个三角形就是等腰三角形．那么只要作AC的垂直平分线就可以了．AC的垂直平分线与AB的交点就是AB的中点；（2）本题要先根据三角形的内角和求出另一角的度数，然后看看是否能分成等腰三角形．图2可以将∠B分成24°和48°．图3不能分成等腰三角形．【详解】（1）如图,直线CE即为所求；（2）图2能画一条直线分割成两个等腰三角形,分割成的两个等腰三角形的顶角分别是132°和84°.图3不能分割成两个等腰三角形.【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质和三角形的内角和，等腰三角形的判定等知识点．注意本题作图中的理论依据是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．23．见解析.【解析】【分析】连接BD，根据SSS推出△ABD≌△CDB，根据全等三角形的性质得出∠A=∠C，根据SAS 推出△EAB≌△FCD即可．【详解】证明：连接DB，在△ABD和△CDB中，∵AD=CB，AB=CD，DB=BD，∴△ABD≌△CDB(SSS).∴∠A=∠C.∵AD=CB，DE=BF，∴AD+DE=CB+BF，即AE=CF.在△ABE和△CDF中，AE=CF，∠A=∠C，AB=DC.∴△ABE≌△CDF(SAS).∴BE=DF.【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．24．证明见解析【解析】【分析】先根据垂直平分线的性质，判定AM BM =，再求出30B ∠=︒，90CAM ∠=︒，根据直角三角形中30度的角对的直角边是斜边的一半，得出12BM AM CA ==，即2CM BM =. 【详解】如图所示，连接AM ，120BAC ∠=︒，AB AC =，∴30B C ∠=∠=︒，MN 是AB 的垂直平分线，∴AM BM =，∴30BAM B ∠=∠=︒，∴90CAM ∠=︒，∴2CM AM =，∴2CM BM =.【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识.线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.25．（1）见解析；（2）见解析；（3）EC ED =，见解析.【分析】（1）根据等边三角形三线合一的性质可得∠ECB=30°，∠ABC=60°，根据AE=EB=BD ，可得∠ECB=12∠ACB=30°，∠EDB=∠DEB=12∠ACB=30°，根据等角对等边即可证得结论； （2）根据平行线的性质证得∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠C=60°，即可证得结论； （3）先求得BE=FC ，然后证得△DBE ≌△EFC 即可.【详解】（1）如图1，在等边△ABC 中，AB=BC=AC ，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，∵AE=EB=BD ，∴∠ECB=12∠ACB=30°，∠EDB=∠DEB=12∠ACB=30°， ∴∠EDB=∠ECB ，∴EC=ED ；（2）如图2，∵EF ∥BC ，∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠C=60°，∴△AEF 为等边三角形；（3）EC=ED ；理由：∵∠AEF=∠ABC=60°，∴∠EFC=∠DBE=120°，∵AB=AC ，AE=AF ，∴AB-AE=AC-AF ，即BE=FC ，在△DBE 和△EFC 中，DB EF DBE EFC BE FC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBE ≌△EFC （SAS ），∴ED=EC ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键．。

2020-2021学年广东省广州市越秀区二中八年级第一学期期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．一个三角形的两边长分别为3cm和8cm，则此三角形第三边长可能是（）A．3cm B．5cm C．7cm D．11cm3．已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（）A．72°B．60°C．58°D．50°4．如图，直线m是五边形ABCDE的对称轴，其中∠A＝130°，∠B＝110°，那么∠BCD 等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°5．如图，BE＝CF，AB＝DE，添加下列哪些条件可以推证△ABC≌△DEF（）A．BC＝EF B．AC＝DF C．AC∥DF D．∠A＝∠D6．在△ABC中，∠A的相邻外角是70°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B为（）A．70°B．35°C．110°或35°D．110°7．若一个多边形的每个内角都为144°，则这个多边形是（）A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形8．如图，把矩形纸片ABCD沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么下列说法错误的是（）A．△EBD是等腰三角形，EB＝EDB．折叠后∠ABE和∠C′BD一定相等C．折叠后得到的图形是轴对称图形D．△EBA和△EDC′一定是全等三角形9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm10．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC 于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②AE+BF＝EF；③当∠C＝90°时，E，F分别是AC，BC的中点；④若OD＝a，CE+CF＝2b，则S△CEF＝ab．其中正确的是（）A．①②B．③④C．①②④D．①③④二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．在平面直角坐标系中，点（﹣3，5）关于x轴对称的点的坐标为．12．已知等腰三角形的两边长分别为5cm和8cm，则等腰三角形的周长为．13．如图，在△ABC中，已知D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝8cm2，则图中阴影部分△BEF的面积等于cm2．14．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为．15．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是．16．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点B1，与y轴交点于D，且OB1＝1，∠ODB1＝60°，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l 于点B3，以A2B3为边长坐等三角形A3A2B3，…，则点A10的横坐标是．三、解答题（本大题共7题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）. 17．如图，已知∠AOB和两点M、N，试确定一点P，使得P到射线OA、OB的距离相等，并且到点M、N的距离也相等．（尺规作图：不写作法）18．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点均在边长为1的正方形网格上．（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A′B′C′，并写出A′，B′，C′的坐标；（2）若点D在图中所给网格中的格点上，且以A，B，D为顶点的三角形为等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E （1）若∠A＝40°，求∠DCB的度数；（2）若AE＝5，△DCB的周长为16，求△ABC的周长．20．如图，AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，CE＝BF．求证：AB∥CD．21．如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．（1）求证：△ADC≌△BEA；（2）若PQ＝4，PE＝1，求AD的长．22．两个三角形有两组边对应相等，并且其中一组相等的边所对的角也相等，如果这两个三角形不全等，我们称它们互为“伴生三角形”，相等的边所对的相等的角称为“伴生角”．如图，AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠B＝∠B'，但△ABC和△A′B′C′不全等，则称△ABC和△A′B′C′互为“伴生三角形”，∠B与∠B'称为“伴生角”．（1）若某三角形的两个内角为30°和50°，请直接写出这个三角形的伴生三角形的三个内角的度数；（2）若互为伴生三角形的两个三角形都是等腰三角形，求伴生角的度数．23．如图，△ABC中∠ACB是钝角，点P在边BC的垂直平分线上．（1）如图1，若点P也在边AC的垂直平分线上，且∠ACB＝110°，求∠APB的度数；（2）如图2，若点P也在∠BAC的外角平分线上，过点P作PH⊥AB于H，试找出线段AB、AH、AC之间的数量关系，并说明理由．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，故此选项正确．故选：D．2．一个三角形的两边长分别为3cm和8cm，则此三角形第三边长可能是（）A．3cm B．5cm C．7cm D．11cm【分析】根据已知边长求第三边x的取值范围为：5＜x＜11，因此只有选项C符合．解：设第三边长为xcm，则8﹣3＜x＜3+8，5＜x＜11，故选：C．3．已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（）A．72°B．60°C．58°D．50°【分析】根据全等三角形对应角相等可知∠α是b、c边的夹角，然后写出即可．解：∵两个三角形全等，∴∠α的度数是72°．故选：A．4．如图，直线m是五边形ABCDE的对称轴，其中∠A＝130°，∠B＝110°，那么∠BCD 等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】首先依据轴对称图形的性质可求得∠E、∠D的度数，再用五边形的内角和减去∠A、∠B、∠E、∠D的度数即可．解：∵直线m是多边形ABCDE的对称轴，∠A＝130°，∠B＝110°，∴∠A＝∠E＝130°，∠B＝∠D＝110°，∵∠A+∠B+∠BCD+∠D+∠E＝（5﹣2）180°＝540°，∴∠BCD＝540°﹣（∠A+∠B+∠D+∠E）＝540°﹣130°×2﹣110°×2＝60°．故选：C．5．如图，BE＝CF，AB＝DE，添加下列哪些条件可以推证△ABC≌△DEF（）A．BC＝EF B．AC＝DF C．AC∥DF D．∠A＝∠D【分析】由BE＝CF可得BC＝EF，然后再利用全等三角形的判定方法分别进行分析即可．解：A、添加BC＝EF不能证明△ABC≌△DEF，故此选项错误；B、添加AC＝DF可利用SSS判定△ABC≌△DEF，故此选项正确；C、添加AC∥DF可得∠ACB＝∠F，不能证明△ABC≌△DEF，故此选项错误；D、添加∠A＝∠D不能证明△ABC≌△DEF，故此选项错误；故选：B．6．在△ABC中，∠A的相邻外角是70°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B为（）A．70°B．35°C．110°或35°D．110°【分析】根据内角与相邻的外角的和等于180°求出∠A，再根据等腰三角形两底角相等解答．解：∵∠A的相邻外角是70°，∴∠A＝180°﹣70°＝110°，∵△ABC为等腰三角形，∴∠B＝（180°﹣110°）＝35°．故选：B．7．若一个多边形的每个内角都为144°，则这个多边形是（）A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形【分析】先求出每一个外角的度数，再根据边数＝360°÷一个外角的度数计算即可．解：180°﹣144°＝36°，360°÷36°＝10，故这个多边形的边数是10．故选：D．8．如图，把矩形纸片ABCD沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么下列说法错误的是（）A．△EBD是等腰三角形，EB＝EDB．折叠后∠ABE和∠C′BD一定相等C．折叠后得到的图形是轴对称图形D．△EBA和△EDC′一定是全等三角形【分析】根据题意结合图形可以证明EB＝ED，进而证明△ABE≌△C′DE；此时可以判断选项A、B、D是成立的，问题即可解决．解：由题意得：△BC′D≌△BFD，∴DC′＝DF，∠C′＝∠C＝90°；∠C′BD＝∠CBD；又∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠F＝90°；DE∥BF，AB＝DF；∴∠EDB＝∠FBD，DC′＝AB；∴∠EDB＝∠C′BD，∴EB＝ED，△EBD为等腰三角形；在△ABE与△CDE中，∵，∴△ABE≌△C′DE（HL）；又∵△EBD为等腰三角形，∴折叠后得到的图形是轴对称图形；综上所述，选项A、C、D成立，∴下列说法错误的是B，故选：B．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm【分析】连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，求出AB、AC值，求出BE、CF值，求出BM、CN值，代入MN＝BC﹣BM﹣CN求出即可．解：连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，∴∠B＝∠C＝30°，BD＝CD＝3cm，∴AB＝＝2cm＝AC，∵AB的垂直平分线EM，∴BE＝AB＝cm同理CF＝cm，∴BM＝＝2cm，同理CN＝2cm，∴MN＝BC﹣BM﹣CN＝2cm，故选：C．10．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC 于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②AE+BF＝EF；③当∠C＝90°时，E，F分别是AC，BC的中点；④若OD＝a，CE+CF＝2b，则S△CEF＝ab．其中正确的是（）A．①②B．③④C．①②④D．①③④【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质判断②；根据三角形三边关系判断③；关键角平分线的性质判断④．解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°+∠C，①正确；∵EF∥AB，∴∠FOB＝∠ABO，又∠ABO＝∠FBO，∴∠FOB＝∠FBO，∴FO＝FB，同理EO＝EA，∴AE+BF＝EF，②正确；当∠C＝90°时，AE+BF＝EF＜CF+CE，∴E，F不是AC，BC的中点，③错误；作OH⊥AC于H，∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，∴点O在∠C的平分线上，∴OD＝OH，∴S△CEF＝×CF×OD×CE×OH＝ab，④正确．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．在平面直角坐标系中，点（﹣3，5）关于x轴对称的点的坐标为（﹣3，﹣5）．【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．解：在平面直角坐标系中，点（﹣3，5）关于x轴对称的点的坐标为（﹣3，﹣5），故答案为：（﹣3，﹣5）．12．已知等腰三角形的两边长分别为5cm和8cm，则等腰三角形的周长为18cm或21cm．【分析】等腰三角形两边的长为5cm和8cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．解：①当腰是5cm，底边是8cm时，能构成三角形，则其周长＝5+5+8＝18cm；②当底边是5cm，腰长是8cm时，能构成三角形，则其周长＝5+8+8＝21cm．故答案为：18cm或21cm．13．如图，在△ABC中，已知D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝8cm2，则图中阴影部分△BEF的面积等于2cm2．【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．解：∵点E是AD的中点，∴S△ABE＝S△ABD，S△ACE＝S△ADC，∴S△ABE+S△ACE＝S△ABC＝×8＝4，∴S△BCE＝S△ABC＝4，∵点F是CE的中点，∴S△BEF＝S△BCE＝×4＝2（cm2）．故答案为：2．14．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为360°．【分析】连接AD，利用三角形内角和定理可得∠B+∠C＝∠1+∠2，然后利用四边形内角和为360°可得答案．解：连接AD，在△AOD和△BOC中，∵∠AOD＝∠BOC，∴∠B+∠C＝∠1+∠2，∴∠B+∠C+∠BAF+∠EDF＝∠1+∠2+∠BAF+∠EDF＝∠EDA+∠FAD，∵∠EDA+∠FAD+∠E+∠F＝360°，∴∠BAF+∠EDF+∠B+∠C+∠E+∠F＝360°，故答案为：360°．15．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是3．【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再根据S△ABC＝S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴DE＝DF，由图可知，S△ABC＝S△ABD+S△ACD，×4×2+×AC×2＝7，解得AC＝3．故答案为3．16．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点B1，与y轴交点于D，且OB1＝1，∠ODB1＝60°，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l 于点B3，以A2B3为边长坐等三角形A3A2B3，…，则点A10的横坐标是．【分析】先根据OB1＝1，∠ODB1＝60°，可得B1（1，0），∠OB1D＝30°，D（0，﹣）．再过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的横坐标为，A2的横坐标为，A3的横坐标为，进而得到A n的横坐标为，据此可得点A10的横坐标．解：∵OB1＝1，∠ODB1＝60°，∴OD＝＝，B1（1，0），∠OB1D＝30°，∴D（0，﹣），如图所示，过A1作A1A⊥OB1于A，则OA＝OB1＝，即A1的横坐标为＝，由题可得∠A1B2B1＝∠OB1D＝30°，∠B2A1B1＝∠A1B1O＝60°，∴∠A1B1B2＝90°，∴A1B2＝2A1B1＝2，过A2作A2B⊥A1B2于B，则A1B＝A1B2＝1，即A2的横坐标为+1＝＝，过A3作A3C⊥A2B3于C，同理可得，A2B3＝2A2B2＝4，A2C＝A2B3＝2，即A3的横坐标为+1+2＝＝，同理可得，A4的横坐标为+1+2+4＝＝，由此可得，A n的横坐标为，∴点A10的横坐标是＝，故答案为．三、解答题（本大题共7题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）. 17．如图，已知∠AOB和两点M、N，试确定一点P，使得P到射线OA、OB的距离相等，并且到点M、N的距离也相等．（尺规作图：不写作法）【分析】作线段MN的垂直平分线EF，作∠AOB的角平分线OT，射线OT交直线EF 于点P，点P即为所求．解：如图，点P即为所求．18．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点均在边长为1的正方形网格上．（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A′B′C′，并写出A′，B′，C′的坐标；（2）若点D在图中所给网格中的格点上，且以A，B，D为顶点的三角形为等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标．【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴对称的点，然后顺次连接；（2）根据图形可得，点D的坐标为（2，4）或（2，1）或（﹣4，4）或（﹣4，1）．解：（1）所作图形如图所示：；（2）点D的坐标为（2，4）或（2，1）或（﹣4，4）或（﹣4，1）．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E （1）若∠A＝40°，求∠DCB的度数；（2）若AE＝5，△DCB的周长为16，求△ABC的周长．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ACB的度数，根据线段的垂直平分线的性质求出∠DCA的度数，计算即可；（2）根据线段的垂直平分线的性质和三角形的周长公式求出BC+AB＝16，计算即可．解：（1）∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ACB＝∠B＝70°，∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，∴∠DCA＝∠A＝40°，∴∠DCB＝30°；（2）∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，EC＝AE＝5，△DCB的周长＝BC+BD+DC＝BC+BD+DA＝BC+AB＝16，则△ABC的周长＝AB+BC+AC＝26．20．如图，AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，CE＝BF．求证：AB∥CD．【分析】证明△CFD≌△BEA，根据全等三角形的性质得到∠C＝∠B，根据平行线的性质证明结论．解：∵CE＝BF，∴CE+EF＝BF+EF，即CF＝BE，∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠CFD＝∠BEA＝90°，在Rt△CFD和Rt△BEA中，，∴Rt△CFD≌Rt△BEA（HL），∴∠C＝∠B，∴AB∥CD．21．如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．（1）求证：△ADC≌△BEA；（2）若PQ＝4，PE＝1，求AD的长．【分析】（1）根据等边三角形的性质就可以得出AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠C＝60°，就可以得出△ADC≌△BEA；（2）由△ADC≌△BEA就可以得出∠DAC＝∠EBA，AD＝BE．既可以得出∠BPQ＝60°，就可以求出PB的值，进而求出BE的值而得出结论解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∠C＝∠BAE＝60°，在△ADC与△BEA中，，∴△ADC≌△BEA（SAS）；（2）∵△ADC≌△BEA，∴∠DAC＝∠EBA，AD＝BE．∵∠BPQ＝∠BAP+∠ABP，∴∠BPQ＝∠BAP+∠DAC＝60°．∵BQ⊥AD，∴∠BQP＝90°．∴∠PBQ＝30°∴BP＝2PQ．∵PQ＝4，∴BP＝8．∵PE＝1，∴BE＝BP+PE＝9，∴AD＝BE＝9．答：AD＝9．22．两个三角形有两组边对应相等，并且其中一组相等的边所对的角也相等，如果这两个三角形不全等，我们称它们互为“伴生三角形”，相等的边所对的相等的角称为“伴生角”．如图，AB＝A′B′，AC＝A′C′，∠B＝∠B'，但△ABC和△A′B′C′不全等，则称△ABC和△A′B′C′互为“伴生三角形”，∠B与∠B'称为“伴生角”．（1）若某三角形的两个内角为30°和50°，请直接写出这个三角形的伴生三角形的三个内角的度数；（2）若互为伴生三角形的两个三角形都是等腰三角形，求伴生角的度数．【分析】（1）根据题意画出图形，确定伴生角为∠B＝30°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求解；（2）根据题意画出图形，确定伴生角为∠B，题目中有三个等腰三角形，得到∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C＝2∠B，根据三角形内角和即可求解．解：（1）如图，△ABC和△ABD中，AB＝AB，AD＝AC，∠B＝∠B，则△ABC和△ABD 是伴生三角形，其中∠B为伴生角，当∠B＝50°时，无法画出图形；当∠B＝30°，∠C＝50°，∵AD＝AC，∴∠C＝∠ADC＝50°，∴∠ADB＝130°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝20°．故答案为：130°，20°；（2）如图，等腰△ABC和等腰△ABD中，AB＝BC，BC＝AD，当AB＝AB，AD＝AC，∠B＝∠B时，△ABC和△ABD是伴生三角形，则AD＝AC，∠B是伴生角．∵BD＝AD＝AC，∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C，∴∠ADC＝∠C＝2∠B，∵BA＝BC，∴∠C＝∠BAC＝2∠B，在△ABC中，∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∴∠B+2∠B+2∠B＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°．23．如图，△ABC中∠ACB是钝角，点P在边BC的垂直平分线上．（1）如图1，若点P也在边AC的垂直平分线上，且∠ACB＝110°，求∠APB的度数；（2）如图2，若点P也在∠BAC的外角平分线上，过点P作PH⊥AB于H，试找出线段AB、AH、AC之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）连接PC，点P在边BC的垂直平分线上，可得∠PBC＝∠PCB，再由点P 在边AC的垂直平分线上，可得∠PAC＝∠PCA，从而有∠PBC+∠PAC＝∠PCB+∠PCA ＝∠ACB＝110°，则可求解；（2）过点P作PD⊥AC，连接PC，证明Rt△PBH≌Rt△PCD，则有BH＝CD，结合图形即可求解．【解答】（1）证明：如图1，连接PC，∵点P在边BC的垂直平分线上，∴PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB，∵点P在边AC的垂直平分线上，∴PA＝PC，∴∠PAC＝∠PCA，∴∠PBC+∠PAC＝∠PCB+∠PCA＝∠ACB＝110°，∴∠APB＝360°﹣（∠PBC+∠PAC+∠ACB）＝360°﹣（110°+110°）＝140°；（2）线段AB、AH、AC之间的数量关系是AB＝AC+2AH；理由如下：如图2，过点P作PD⊥AC，连接PC，∵点P在∠BAD的平分线上，PH⊥AB，PD⊥AC，∴PH＝PD，∵AP＝AP，∴AH＝AD，∵点P在边BC的垂直平分线上，∴PB＝PC，在Rt△PBH和Rt△PCD中，，∴Rt△PBH≌Rt△PCD（HL），∴BH＝CD，∴AB﹣AH＝AC+AD，∴AB＝AC+2AH．。

2020-2021学年广东省广州中学八年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列四个图案中，是轴对称图形的是()A. B. C. D.2.以下列各组线段为边，能组成三角形的是()A. 2，3，5B. 5，6，10C. 1，1，3D. 3，4，93.下列图形中具有稳定性的是()A. 三角形B. 四边形C. 八边形D. 五边形4.如图所示，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是()A. △ACE≌△BCDB. △BGC≌△AFCC. △DCG≌△ECFD. △ADB≌△CEA5.如图，已知D为BC上一点，∠B=∠1，∠BAC=78°，则∠2=()A. 78°B. 80°C. 50°D. 60°6.如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法不一定正确的是()A. AC=A′C′B. BO=B′OC. AA′⊥MND. AB//B′C′7.如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，还需添加条件为()A. AE=DFB. ∠A=∠DC. ∠B=∠CD. AB=DC8.如图，B处在A处的南偏西50°的方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东84°方向.则∠C=()．A. 80°B. 81°C. 82°D. 83°9.把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中∠C=90°，∠F=90°，∠D=30°，∠A=45°，则∠1+∠2等于()A. 270°B. 210°C. 180°D. 150°10.在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，若C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是()A. 6B. 7C. 8D. 9二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.已知一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边a的取值范围是______．12.如图，在△ABC与△ADC中，已知AD=AB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ADC，只需再添加的一个条件可以是．13.正六边形的每个内角等于______°.14.如图所示，已知点D、E、F分别是边BC，AC，DC的中点，△EFC的面积为6cm2，则△ABC的面积为______ ．15.如图，BD平分∠ABC，DA⊥AB，∠1=60°，∠BDC=80°，则∠C=______度．16.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF//BC交AB于E，交AC于F，过点G作GD⊥AC于D，下列四个结论：①EF=BE+CF；∠A；②∠BGC=90°+12③点G到△ABC各边的距离相等；④设GD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn．其中正确的结论是______．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）17.如图，AB=AD，CB=CD，求证：△BAC≌△DAC18.在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1.格点三角形ABC(顶点是网格线交点的三角形)的顶点A，C的坐标分别是(−6,5)，(−3,3)．(1)请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；(2)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；19.一个多边形的内角和是它外角和的5倍，求这个多边形的边数？20.⑴用一条长为18cm的细绳能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？⑴已知等腰三角形的一边等于5cm，另一边等于2cm，求此三角形的周长。

广州市2021版八年级上学期数学期中考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共8分)1. （1分） (2020八下·锡山期中) 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A .B .C .D .2. （1分） (2018七下·嘉定期末) 下列各数：3.14，，，，．0.2020020002…（它的位数无限且相邻两个2之间“0”的个数依次加1个），其中无理数有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个3. （1分）如图，AD⊥BC，垂足为D，BD=DC，则图中全等的三角形共有（）A . 1对B . 2对C . 3对D . 4对4. （1分）下列各组数中,以a,b,c为边的三角形不是Rt△的是（）A . a=1.5,b=2,c=3B . a=7,b=24,c=25C . a=6,b=8,c=10D . a=3,b=4,c=55. （1分） (2019七上·双台子月考) 用四舍五入法将27.5049精确到0.01的结果是（）A . 27.5B . 27.50C . 27.51D . 27.5056. （1分） (2019八下·港南期中) 如图，已知△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，且CD：BD=3：4.若BC=21，则点D到AB边的距离为（）A . 7B . 9C . 11D . 147. （1分） (2016八下·滕州期中) 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，∠DBC=15°，则∠A的度数是（）A . 50°B . 20°C . 30°D . 25°8. （1分）(2019·碑林模拟) 如图，已知矩形ABCD中，BC＝2AB，点E在BC边上，连接DE、AE，若EA平分∠BED，则的值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共10题；共10分)9. （1分） (2018七下·浦东期中) 若x2=5，则x=________.10. （1分）(2020·马龙模拟) 如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为点E，∠2=40°，则∠1的度数是________.11. （1分）(2018·松桃模拟) |1﹣ |=________．12. （1分） (2019八下·端州月考) 一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了16km，然后向正北方向航行了12km，这时它离出发点有________km.13. （1分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点0，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则0H的长等于________14. （1分）圆的对称轴有________条．15. （1分）(2020·洪洞模拟) 某校校门口有一个底面为等边三角形的三棱柱（如图）．学校计划在三棱柱的侧面上，从顶点A绕三棱柱侧面一周到顶点A＇安装灯带，已知此三棱柱的高为5m，底面边长为2m，则灯带的长度至少为________m．16. （1分） (2019七上·吴兴期中) ________. ________．17. （1分） (2016八上·东城期末) 如图，Rt△ABC的斜边AB的中垂线MN与AC交于点M，∠A=15°，BM=2，则△AMB的面积为________.18. （1分）如图，已知正方形ABCD的边长为16，M在DC上，且DM=4，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是________．三、解答题 (共8题；共13分)19. （2分） (2018八上·镇江月考) 计算、解方程（1）（2） (x＋3)2 -36=0（3） 8(x－1)3+27=0.（4）20. （1分）(2020·珠海模拟) 已知：中，．（1）求作：的外接圆；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC=12，求的面积．21. （1分）如图，，，于D，于E，且．求证：．22. （1分）如图，一架长2.5m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时，梯底距墙底端0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，则梯子的底端将滑出多少米？23. （1分）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F.（1）求证：CF=BF（2）若CD=6，CA=8，求AE的长24. （2分）判断下列各数是否有平方根？并说明理由．（1）（﹣3）2；（2） 0；（3）﹣0.01；（4）﹣52；（5）﹣a2；（6） a2﹣2a+2．25. （3分） (2019八上·深圳月考) 如图，已知点A（0,4），动点P从原点O出发，沿x轴正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以点P为直角顶点在第一象限内作等腰直角三角形．设点P的运动时间为秒．（1）若轴，求的值；（2）若，求点的坐标．（3）当时，x轴上是否存在有一点M，使得以M、P、A为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点M 的坐标．26. （2分） (2019八下·海安期中) 如图，已知直线l1：y＝2x+4与y轴交于A点，与x轴交于点B，经过A点的直线l2与直线l1所夹的锐角为45°.（1）过点B作CB⊥AB，交l2于C，求点C的坐标.（2）求l2的函数解析式.（3）在直线l1上存在点M，直线l2上存在点N，使得点A、O、M、N四点组成的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标.参考答案一、单选题 (共8题；共8分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共10题；共10分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共8题；共13分)19-1、19-2、19-3、19-4、20-1、20-2、21-1、22-1、23-1、23-2、24-1、24-2、24-3、24-4、24-5、24-6、25-1、25-2、25-3、26-1、26-2、26-3、。

2020-2021 广州市初二数学上期中试题含答案2．“五一 ”期间，某中学数学兴趣小组的同学们租一辆小型巴士前去某地进行社会实践活 动，租车租价为 180 元．出发时又增加了两位同学，结果每位同学比原来少分摊了 3元车 费．若小组原有 x 人，则所列方程为（ ）180 180 180180 A3B ． 3x x2 x x2180 180 180180 C3D ．3x2 xx2x3如图，在△ ABC 和△ CDE 中，若∠ ACB CED ＝AB ＝CD ，BC ＝DE ，则下列结论A ．△ ABC ≌△ CDEB ．CE ＝AC C ． AB ⊥ CD D ．E 为 BC 的中点14．要使分式有意义，则 a 的取值应满足（ ）a3A． a 3B． a 3C． a 3D． a 35．如图， VABC 是等腰直角三角形， BC 是斜边，将 VABP 绕点 A 逆时针旋转后，能与6．如图，在 ABC 中， A 90o， C 30o，AD BC 于D ，BE 是 ABC 的平分 线，且交 ADVACP 重合，如果 AP 3 ，那么 PP的长等于（ ）B ． 2 3C ． 4 2D ． 3 3一、选择题1．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的A ．4 个B ．3 个C ．2个D ．1个不正确的是（ ）于P，如果AP 2 ，则AC的长为（）8．如图，直线 l 1、l 2、l 3 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条C ．130 °D ．140 °9张，其中边长为 a 的正方形卡片 4张，边长为 b 的正方 b 的长方形卡片 4 张．现使用这 9 张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（ ）公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A ．一处B ．二处C ．三处D ．四处9． 若 2m3， 2 n5，则23m 2n等于（）27925A ．B ．C ．2D ．25102710．如图，把一张矩形纸片ABCD 沿 EF 折叠后，点 A 落在 CD 边上的点 A ′处，点 B 落在1 的度数为（ ）A ． 115°B ．120 11． 如图，有三种规格的卡片共 形卡片 1 张，长，宽分别A ． 7B ．8C ．6D ．5A．2a+b B．4a+b C．a+2b D．a+3b 12．若x2+mxy+4y 2是完全平方式，则常数m 的值为（）A ． 4B ．﹣ 4C ． ±4D ．以上结果都不对二、填空题13．关于 x 的方程2x a1的解是正数，则 a 的取值范围是 ___________ ．x114．如果等腰三角形两边长是 6cm 和 3cm ，那么它的周长是 _____ cm ． 15．已知：x 2-8x-3=0，则（x-1）（x-3）（x-5）（x-7）的值是 ___ 。

2021-2022学年广东省广州市八年级第一学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．盖房子时，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，利用的几何原理是（）A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线D．垂线段最短2．一个八边形的内角和度数为（）A．360°B．720°C．900°D．1080°3．已知a，b，c为三角形的三边，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是（）A．0B．2a C．2（a+c）D．2（b﹣c）4．下列说法正确的是（）A．如果两个三角形全等，则它们必是关于某条直线成轴对称的图形B．如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形C．等腰三角形是关于一条边上的中线成轴对称的图形D．一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称图形5．如图，∠1，∠2，∠3，∠4恒满足关系式是（）A．∠1+∠2＝∠3+∠4B．∠1+∠2＝∠4﹣∠3C．∠1+∠4＝∠2+∠3D．∠1+∠4＝∠2﹣∠36．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为（）A．65°B．105°C．55°或105°D．65°或115°7．如图，AB∥DE，AC∥DF，AC＝DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是（）A．AB＝DE B．∠B＝∠E C．EF＝BC D．EF∥BC8．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．110°9．如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝40°，则∠AED的度数是（）A．70°B．68°C．65°D．60°10．如图，∠AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（）A．10°B．20°C．40°D．60°二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是．12．把一块直尺与一块直角三角板如图放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为．13．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a，b满足（a﹣1）2+＝0，则c的取值范围是．14．已知直角坐标系中点A（a，﹣2）和点B（3，b）关于x轴对称，则b﹣a＝．15．如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上的一点，OC＝10cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝时，△POQ是等腰三角形．16．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE、BF相交于点O，AE交BC于点E，BF交AC于点F，过点O作OD⊥BC于点D，则下列三个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是．三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤）17．四边形ABCD中，四个内角度数之比是1：2：3：4，求出四个内角的度数．18．如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝130°，求∠D的度数．19．如图，已知AE⊥BC，AD平分∠BAE，∠ADB＝110°，∠CAE＝20°，求∠BAC和∠B的度数．20．如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC边的中点，DE⊥AC．求证：CE＝3AE．21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点均在格点上．（1）在网格中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）直接写出A1、B1、C1的坐标；（3）若网格的单位长度为1，求△A1B1C1的面积．22．求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°．求证：BC＝AB．23．已知等边三角形ABC，（1）尺规作图：过顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线，三条垂线交于点M、N、G（保留一条垂线的作图痕迹，另两条垂线的作图痕迹可以不保留，不需要写作法）；（2）求证：△MNG是等边三角形．24．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．（1）如图一，点D在线段AB上，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，探究线段BE和CD的数量关系，并证明；（2）如图二，点D在线段BC上，，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F，探究线段BE与DF的数量关系，并证明．25．已知：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，以AC为边作等边三角形ACE，直线BE交直线AD于点F，连接FC．（1）如图1，120°＜∠BAC＜180°，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，且FC交AE 于点M．①求证：∠FEA＝∠FCA；②猜想线段FE，AD，FD之间的数量关系，并证明你的结论；（2）当60°＜∠BAC＜120°，且△ACE与△ABC在直线AC的异侧时，利用图2画出图形探究线段FE，AD，FD之间的数量关系，并直接写出你的结论．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）1．盖房子时，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，利用的几何原理是（）A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线D．垂线段最短【分析】在窗框上斜钉一根木条，构成三角形，故可用三角形的稳定性解释．解：盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样就构成了三角形，故这样做的数学道理是三角形的稳定性．故选：A．2．一个八边形的内角和度数为（）A．360°B．720°C．900°D．1080°【分析】应用多边形的内角和公式计算即可．解：（n﹣2）•180＝（8﹣2）×180°＝1080°．故选：D．3．已知a，b，c为三角形的三边，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是（）A．0B．2a C．2（a+c）D．2（b﹣c）【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，得出a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，进而去绝对值，化简即可．解：∵a，b，c为三角形的三边，∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|＝a+b﹣c﹣[﹣（b﹣a﹣c）]＝a+b﹣c+b﹣a﹣c＝2（b﹣c）．故选：D．4．下列说法正确的是（）A．如果两个三角形全等，则它们必是关于某条直线成轴对称的图形B．如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形C．等腰三角形是关于一条边上的中线成轴对称的图形D．一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称图形【分析】根据全等三角形的定义以及轴对称的性质可判断选项A和B；根据等腰三角形的性质可判断选项C；根据线段的性质可判断选项D．解：A．如果两个三角形全等，则它们不一定关于某条直线成轴对称的图形，故本选项不合题意；B．如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形，说法正确，故本选项符合题意；C．等腰三角形是关于底边上的中线呈轴对称的图形，故本选项不合题意；D．一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形，故本选项不合题意；故选：B．5．如图，∠1，∠2，∠3，∠4恒满足关系式是（）A．∠1+∠2＝∠3+∠4B．∠1+∠2＝∠4﹣∠3C．∠1+∠4＝∠2+∠3D．∠1+∠4＝∠2﹣∠3【分析】根据外角的性质，可推出∠1+∠4＝∠6，∠6＝∠2﹣∠3，从而推出∠1+∠4＝∠2﹣∠3．故选D．解：∵∠6是△ABC的外角，∴∠1+∠4＝∠6，﹣﹣﹣（1）；又∵∠2是△CDF的外角，∴∠6＝∠2﹣∠3，﹣﹣﹣（2）；由（1）（2）得：∠1+∠4＝∠2﹣∠3．故选：D．6．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为（）A．65°B．105°C．55°或105°D．65°或115°【分析】分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可．解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+25°＝115°；②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°﹣25°＝65°．故选：D．7．如图，AB∥DE，AC∥DF，AC＝DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是（）A．AB＝DE B．∠B＝∠E C．EF＝BC D．EF∥BC【分析】本题可以假设A、B、C、D选项成立，分别证明△ABC≌△DEF，即可解题．解：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠A＝∠D，（1）AB＝DE，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故A选项错误；（2）∠B＝∠E，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故B选项错误；（3）EF＝BC，无法证明△ABC≌△DEF（ASS）；故C选项正确；（4）∵EF∥BC，AB∥DE，∴∠B＝∠E，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC ≌△DEF，故D选项错误；故选：C．8．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将∠C沿DE对折，使点C落在△ABC外的点C′处，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．110°【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，根据折叠的性质求出∠C′，根据三角形的外角的性质计算，得到答案．解：∵∠A＝65°，∠B＝75°，∴∠C＝180°﹣65°﹣75°＝40°，由折叠的性质可知，∠C′＝∠C＝40°，∴∠3＝∠1+∠C′＝60°，∴∠2＝∠C+∠3＝100°，故选：C．9．如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝40°，则∠AED的度数是（）A．70°B．68°C．65°D．60°【分析】依据△ABC≌△AED，即可得到∠AED＝∠B，AE＝AB，∠BAC＝∠EAD，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠B的度数，进而得出∠AED的度数．解：∵△ABC≌△AED，∴∠AED＝∠B，AE＝AB，∠BAC＝∠EAD，∴∠1＝∠BAE＝40°，∴△ABE中，∠B＝＝70°，∴∠AED＝70°，故选：A．10．如图，∠AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（）A．10°B．20°C．40°D．60°【分析】如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA 于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，∴∠QPN＝（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝20°+（180°﹣β），∴180°﹣α＝40°+（180°﹣β），∴β﹣α＝40°，故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是八．【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．解：设多边形的边数为n，根据题意，得（n﹣2）•180＝3×360，解得n＝8．则这个多边形的边数是八．12．把一块直尺与一块直角三角板如图放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为130°．【分析】根据对顶角线段得到∠3＝40°，再根据三角形的外角性质即可得解．解：如图，∵∠1＝40°，∴∠1＝∠3＝40°，∵∠A＝90°，∴∠2＝∠3+∠A＝130°，故答案为：130°．13．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且a，b满足（a﹣1）2+＝0，则c的取值范围是1＜c＜3．【分析】根据非负数的性质即可求出a与b的值，然后根据三角形三边关系即可求出答案．解：由题意可知：（a﹣1）2+＝0，∴a＝1，b＝2，∴由三角形三边关系可知：1＜c＜3，故答案为：1＜c＜3．14．已知直角坐标系中点A（a，﹣2）和点B（3，b）关于x轴对称，则b﹣a＝﹣1．【分析】直接利用关于x轴对称点的性质：横坐标相同，纵坐标互为相反数，进而得出答案．解：∵点A（a，﹣2）和点B（3，b）关于x轴对称，∴a＝3，b＝2，故b﹣a＝2﹣3＝﹣1．故答案为：﹣1．15．如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上的一点，OC＝10cm，动点P从点C出发沿CB 以2cm/s的速度移动，动点Q从点O发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝或10时，△POQ是等腰三角形．【分析】根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点P在线段OC上时；（2）当点P在CO的延长线上时．分别列式计算即可求．解：分两种情况：（1）当点P在线段OC上时，设t时后△POQ是等腰三角形，有OP＝OC﹣CP＝OQ，即10﹣2t＝t，解得，t＝s；（2）当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用5s，当△POQ是等腰三角形时，∵∠POQ＝60°，∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，即2（t﹣5）＝t，解得，t＝10s故填或10．16．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE、BF相交于点O，AE交BC于点E，BF交AC于点F，过点O作OD⊥BC于点D，则下列三个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是①、②．【分析】利用角平分线的定义和三角形内角和定理可知∠AOB＝90°+，得①正确；在AB上取一点H，使BH＝BE，通过ASA证明△HAO≌△FAO，得AH＝AF，可得②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，通过面积法可判断③错误．解：∵∠BAC和∠ABC的平分线AE、BF相交于点O，∴∠OBA＝，，∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180＝180°﹣＝90°+，故①正确；∵∠C＝60°，∴∠BAC+∠ABC＝120°，∵AE、BF分别平分∠BAC与∠ABC，∴∠OAB+∠OBA＝＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠AOF＝60°，∴∠BOE＝60°，如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，∵BF是∠ABC的角平分线，∴∠HBO＝∠EBO，在△HBO与△EBO中，，∴△HBO≌△EBO（SAS），∴∠BOH＝∠BOE＝60°，∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠AOH＝∠AOF，在△HAO与△FAO中，，∴△HAO≌△FAO（ASA），∴AH＝AF，∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，∵∠BAC与∠ABC的平分线相交于点O，∴点O在∠C的平分线上，∴OH＝OM＝OD＝a，∵AB+AC+BC＝2b，∴S+＝＝ab，故③错误，故答案为：①、②．三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤）17．四边形ABCD中，四个内角度数之比是1：2：3：4，求出四个内角的度数．【分析】设四个内角度数分别是x°，2x°，3x°，4x°，由多边形内角和公式可得：x+2x+3x+4x＝180（4﹣2），再解方程即可得到答案．解：设四个内角度数分别是x°，2x°，3x°，4x°，由题意得：x+2x+3x+4x＝180（4﹣2），解得：x＝36，2x°＝72°，3x°＝108°，4x°＝144°，故四边形的四个内角的度数分别为：36°，72°，108°，144°．18．如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝130°，求∠D的度数．【分析】先根据三角形全等的判定方法得到△ABC≌△ADC，然后利用全等三角形的对应角相等得到∠D的度数．解：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠B＝∠D＝130°．19．如图，已知AE⊥BC，AD平分∠BAE，∠ADB＝110°，∠CAE＝20°，求∠BAC和∠B的度数．【分析】已知∠CAE＝20°，欲求∠BAC，需求∠BAE．由AE⊥BC，得∠AED＝∠AEC ＝90°，那么∠DAE＝∠ADB﹣∠AED＝20°．根据角平分线的定义，AD平分∠BAE，得∠BAE＝2∠DAE＝40°．根据三角形外角的性质，∠B＝∠AEC﹣∠BAE＝50°．解：∵AE⊥BC，∴∠AED＝∠AEC＝90°．∴∠DAE＝∠ADB﹣∠AED＝110°﹣90°＝20°．∵AD平分∠BAE，∴∠BAE＝2∠DAE＝40°．∴∠B＝∠AEC﹣∠BAE＝90°﹣40°＝50°．∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝40°+20°＝60°．20．如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC边的中点，DE⊥AC．求证：CE＝3AE．【分析】连接AD，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，再根据等腰三角形两底角相等求出∠C＝30°，再求出∠ADE＝30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半进行求解即可．【解答】证明：如图，连接AD，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠C＝（180°﹣120°）＝30°，∵DE⊥AC，∴∠ADE＝∠C＝30°，在Rt△ADE中，AD＝2AE，在Rt△ACD中，AC＝2AD＝4AE，∴CE＝AC﹣AE＝4AE﹣AE＝3AE，即CE＝3AE．21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点均在格点上．（1）在网格中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）直接写出A1、B1、C1的坐标；（3）若网格的单位长度为1，求△A1B1C1的面积．【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．（2）根据A1，B1，C1的位置写出坐标即可．（3）避实就虚面积可知矩形面积减去周围三个三角形面积即可．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）A1（3，4），B1（5，2），C1（2，0）；（3）△A1B1C1的面积＝3×4﹣×1×4﹣×2×2﹣×2×3＝5，22．求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°．求证：BC＝AB．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，可得CD＝BD＝AD，再证明△BCD 是等边三角形，即可证明结论．【解答】证明：作斜边AB上的中线CD，则CD＝BD＝AD＝AB，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°．∴△BCD是等边三角形，∴BC＝CD＝AB．23．已知等边三角形ABC，（1）尺规作图：过顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线，三条垂线交于点M、N、G（保留一条垂线的作图痕迹，另两条垂线的作图痕迹可以不保留，不需要写作法）；（2）求证：△MNG是等边三角形．【分析】（1）根据等边三角形的性质作CG⊥AB即可；（2）根据等边三角形的性质可得MN，NG，GM是△ABC的中位线，进而可以证明△MNG是等边三角形．【解答】（1）解：如图，点M、N、G即为所求；（2）证明：根据（1）可知：AM⊥BC，BN⊥AC，CG⊥AB，∵△ABC是等边三角形，∴M、N、G分别是BC，AC，AB的中点，∴MN，NG，GM是△ABC的中位线，∴MN＝NG＝GM＝AB．∴△MNG是等边三角形．24．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．（1）如图一，点D在线段AB上，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，探究线段BE和CD的数量关系，并证明；（2）如图二，点D在线段BC上，，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F，探究线段BE与DF的数量关系，并证明．【分析】（1）延长BE、CA交于M，首先利用ASA证明∴△ABM≌△ACD，得CD＝BM，再通过ASA证明△MEC≌△BEC，得BE＝EM，即可证明结论；（2）作∠ACB的平分线，交BE于Q，交AB于M，由（1）得：BQ＝，再利用CQ ∥DE，得平行线分线段成比例证明结论．解：（1）如图，BE＝，理由如下：延长BE、CA交于M，∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BEC＝∠BAC，∵∠EDB＝∠ADC，∴∠ABM＝∠ACD，∵AB＝AC，∠BAM＝∠BAC＝90°，∴△ABM≌△ACD（ASA），∴CD＝BM，∵∠MCE＝∠BCE，EC＝EC，∠BEC＝∠MEC＝90°，∴△MEC≌△BEC（ASA），∴BE＝EM，∴BE＝；（2）如图，BE＝，理由如下：作∠ACB的平分线，交BE于Q，交AB于M，由（1）得：BQ＝，∵，∠BCM＝∠ACB，∴∠BDE＝∠BCM，∴CQ∥DE，∴，∴，∴，∴BE＝DF．25．已知：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，以AC为边作等边三角形ACE，直线BE交直线AD于点F，连接FC．（1）如图1，120°＜∠BAC＜180°，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，且FC交AE 于点M．①求证：∠FEA＝∠FCA；②猜想线段FE，AD，FD之间的数量关系，并证明你的结论；（2）当60°＜∠BAC＜120°，且△ACE与△ABC在直线AC的异侧时，利用图2画出图形探究线段FE，AD，FD之间的数量关系，并直接写出你的结论．【分析】（1）①由题意可得AB＝AC＝AE，即可求∠ABF＝∠AEF，由AD是BC的中垂线可得BF＝CF，可证△ABF≌△ACF，可得∠ABF＝∠ACF，则结论可得；②延长AD使DP＝AD，连接CP，由题意可得AC＝CP＝CE，∠ACD＝∠PCD，即可证∠ECF＝∠FCP，则可证△ECF≌△FCP，可得EF＝FP＝FD+AD；（2）连接CF，延长AD使FD＝DP，连接CP，由题意可得∠ABF＝∠ACF＝∠AEF，△FCP是等边三角形，可证△ACP≌△ECF，即可得EF＝AD+DP＝AD+DF．【解答】证明：（1）①∵△AEC是等边三角形∴∠EAC＝∠ACE＝60°，CE＝AC＝AE，且AB＝AC∴AB＝AE∴∠ABF＝∠AEF∵AB＝AC，AD⊥BC∴AD是BC的垂直平分线∴BF＝FC，且AF＝AF，AB＝AC∴△ABF≌△ACF（SSS）∴∠ABF＝∠ACF∴∠ACF＝∠AEF②EF＝FD+AD延长AD使DP＝AD，连接CP∵AD＝DP，∠ADC＝∠PDC，CD＝CD∴△ADC≌△PDC（SAS）∴AC＝CP＝CE，∠ACD＝∠PCD∵∠ACF＝∠AEF，且∠AMC＝∠FME∴∠EFC＝∠EAC＝60°∵BF＝CF，且∠EFC＝60°∴∠FCD＝30°∵∠FCA＝∠FCD﹣∠ACD∴∠FCA＝30°﹣∠ACD∵∠ECF＝∠ECA﹣∠FCA∴∠ECF＝30°+∠ACD∵∠FCP＝∠FCD+∠DCP∴∠FCP＝30°+∠ACD∴∠ECF＝∠FCP，且FC＝FC，CP＝CE∴△ECF≌△FCP（SAS）∴EF＝FP∴EF＝FD+AD（2）连接CF，延长AD使FD＝DP，连接CP．∵△AEC是等边三角形∴∠EAC＝∠ACE＝60°，CE＝AC＝AE，且AB＝AC ∴AB＝AE∴∠ABF＝∠AEF∵AB＝AC，AD⊥BC∴AD是BC的垂直平分线∴BF＝FC，且AF＝AF，AB＝AC∴△ABF≌△ACF（SSS）∴∠ABF＝∠ACF∴∠ACF＝∠AEF且∠AME＝∠CMF∴∠EAC＝∠EFC＝60°∵BF＝CF，∠EFC＝60°∴∠FCB＝30°∵FD＝DP，∠FDC＝∠PDC，CD＝CD ∴△FDC≌△PDC（SAS）∴FC＝CP，∠FCD＝∠PCD＝30°∴∠FCP＝60°＝∠ACE∴∠ACP＝∠FCE且CF＝CP，AC＝CE ∴△ACP≌△ECF（SAS）∴EF＝AP∴EF＝AD+DP＝AD+DF。