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第二章 线性系统的状态空间描述.

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线性系统的状态空间描述

线性系统的状态空间描述

解：根据各元件的电流与电压关系、回路电压和等于
零，得到系统的方程：
RiLdi 来自t1 C
id t

ui
uo

1 C
id t
系统的输入、输出分别为
uui，yuo 24
第1章 线性系统的状态空间描述
状态变量选取方法不同，则状态空间描述不同。
a）选取状态变量 x1i，x2C 1 idtu0，则状态空
第1章 线性系统的状态空间描述
第一章 线性系统的状态空间描述
1.1 线性系统状态空间描述 1.2 线性定常连续系统状态空间表达式的建立 1.3 系统的传递函数矩阵 1.4 线性系统等价的状态空间描述 1.5 组合系统的状态空间描述
1
第1章 线性系统的状态空间描述
1.1 线性系统状态空间描述
一．系统数学描述的基本类型
输出量可以选作状态变量。 输入量不允许选作状态变量。
状态变量有时是不可测量的。
状态变量是时间域的。
系统的任意选取的两个状态变量组之间为线性非奇
异变换的关系。
11
第1章 线性系统的状态空间描述
状态向量：是由状态变量所构成的向量，即向量
x(t)x1(t),x2(t), ,xn(t)T称为n维状态向量。
22
第1章 线性系统的状态空间描述
一．根据系统机理建立状态空间表达式 根据系统机理建立状态空间描述的基本步骤： 1）根据系统所遵循的物理规律，建立系统的微
分方程或差分方程； 2）选取有关物理量 (变量) 作为状态变量，推导
出系统的状态方程和输出方程。
23
第1章 线性系统的状态空间描述
例1-1（P403例9-1）：建立RCL网络的状态方程

第二章 状态空间表达式

第二章 状态空间表达式
y (t ) = Cx(t ) + Du(t )
⎧ y1 = x = x1 ⎪ & = x2 ⎨ y2 = x ⎪ y = && ⎩ 3 x
⎛ ⎛ y1 ⎞ ⎜ 1 ⎜ ⎟ ⎜ y = 0 ⎜ 2 ⎜ ⎟ ⎜y ⎟ ⎜ k ⎝ 3 ⎠ ⎜− ⎝ m
⎞ ⎛ ⎜ 0 0 ⎟ ⎟ ⎛ x1 ⎞ ⎜ 1 ⎟⎜ ⎟ + ⎜ 0 x 2⎠ ⎜ ⎝ ⎟ f 1 − ⎟ ⎜− m⎠ ⎝ m
外部描述：微分方程、传递函数 数学模型
{
u
R(s) ( )
G (s )
C(s) ( )
内部描述：状态空间表达式

x(t ) = Ax(t ) + Bu(t ) y (t ) = Cx(t ) + Du(t )
y
•
动力学部件
输入引起内部状态 的变化，用一阶微 分方程组表示----状 态方程
x
输出部件
内部状态和输入引 起输出的变化，用 代数方程表示----输 出方程
统的输入量，质量的位移y(t)为输出量，试列写该系统的状 态方程和输出方程。
k u(t) m f y (t )
1.选择状态变量： x1 (t ) = y (t ) 、 x 2 (t ) = y(t )
2.列写状态方程
•
x1 (t ) = x 2 (t )
1 x 2 (t ) = − m
• • ⎤ ⎡ 1 u (t ) ⎢ ky (t ) + f y (t )⎥ + ⎣ ⎦ m k f 1 =− x 1 (t ) − x 2 (t ) + u (t ) m m m
⎞ 0⎟ ⎟⎛ F ⎞ 0 ⎟⎜ ⎟ V ⎝ ⎠ ⎟ f ⎟ m⎠

线性系统理论-郑大钟(第二版)

线性系统理论-郑大钟(第二版)
和t≥t0 各时刻的任意输入变量组 u 1(t)u ,2t, ,up(t)
那么系统的任何一个内部变量在t≥t0各时刻的运动行为也就随之而完全确定
(2).状态变量组最小性的物理特征 (3). 状态变量组最小性的数学特征 (4). 状态变量组的不唯一性 (5).系统任意两个状态变量组之间的关系 (6)有穷维系统和无穷维系统 (7)状态空间的属性
动态系统的分类
从机制的角度 1.连续变量动态系C统 VDS 从特性的角度 1.线性系统
2.离散事件动态系D统 EDS
2.非线性系统
从作用时间 1.连续时间系统 连续系统按其参数 1.集中参数系:属 统有穷维系统 类型的角度 2.离散时间系统 的空间分布类型 2分 . 布参数系:属 统于无穷维系统
本书中仅限于研究线性系统和集中参数系统
复频率域描述即传递函数描述
g(s)u y( (s s) )snb n a 1 n s n 1 s1 n 1 b 1s a 1sb 0a 0 (2)系统的内部描述
状态空间描述是系统内部描述的基本形式，需要由两个数学方程表征—— 状态方程和输出方程。
(3)外部描述和内部描述的比较 一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述，不能反映黑箱内部结构的不
线性系统
线性系统理论的研究对象为线性系统，其模型方程具有线性属性即满足叠加原理。
若表征系统的数学描述为L 系统模型
L ( c 1 u 1 c 2 u 2 ) c 1 L ( u 1 ) c 2 L ( u 2 )
系统模型是对系统或其部分属性的一个简化描述
①系统模型的作用：仿真、预测预报、综合和设计控制器 ②模型类型的多样性：用数学模型描述、用文字、图表、数据或计算机程序表示 ③数学模型的基本性：着重研究可用数学模型描述的一类系统 ④建立数学模型的途径：解析、辨识 ⑤系统建模的准则：折衷

线性系统理论 第2章 线性系统的状态空间描述

线性系统理论 第2章 线性系统的状态空间描述
D(k )
u(k )
H (k )

x(k 1)

x(k )
单位延迟

C (k )

y(k )
G (k )
7/7,11/50
2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类
线性系统和非线性系统
设系统的状态空间描述为 x f ( x, u, t ) y g ( x, u, t )
向量函数
g1 ( x, u, t ) f1 ( x, u, t ) g ( x, u , t ) f ( x, u , t ) ，g ( x, u, t ) 2 f ( x, u , t ) 2 g q ( x, u , t ) f n ( x, u , t )
和t≥t0 各时刻的任意输入变量组 u1 (t ),u2 t ,, u p (t ) 那么系统的任何一个内部变量在t≥t0各时刻的运动行为也就随之而完全确定
3/4,3/50
(2).状态变量组最小性的物理特征： 少一个不行，多一个没用 (3). 状态变量组最小性的数学特征：极大线性无关变量组 (4). 状态变量组的不唯一性 ：任意
1/18,14/50
结论1
给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,
y ( n) an1 y ( n1) a1 y (1) a0 y bmu ( m) bm1u ( m1) b1u (1) b0u
Y (s) bm s m bm1 s m1 b1 s1 b0 g ( s) U ( s) s n an1 s n1 a1 s a0
时变系统和时不变系统
f f ( x, u ) 若向量f,g不显含时间变量t,即 g g ( x, u )

第二章现代控制理论状态空间表达式

第二章现代控制理论状态空间表达式
diL R1 R1 R2 R2 = uC − iL + e(t ) dt L( R1 + R2 ) L( R1 + R2 ) L( R1 + R2 )
即
(2-11)
(3) 列出状态空间描述iL 1 − ( R + R )C 1 2 R1 L( R1 + R2 ) − R1 1 ( R1 + R2 )C uC ( R1 + R2 )C (2-12) + e(t ) R1 R2 iL R2 − L( R + R ) L( R1 + R2 ) 1 2
§2.1 状态空间描述的概念 2.1.2 控制系统的状态空间描述举例
例2-1 R-L-C系统，求其状态空间描述
R
u
L i
C
uC
解 (1) 确定状态变量 选择电容两端电压 uC (t )、电感通过的电流 i (t ) (2) 列写微分方程并化为一阶微分方程组 基尔霍夫（Kirchhoff）电压定律，
(2-13)
令
1 − ( R + R )C 1 2 A= R1 L( R + R ) 1 2
1 ( R + R )C 2 b= 1 R2 L( R + R ) 1 2
−
R1 ( R1 + R2 )C R1 R2 − L( R1 + R2 )
n 维列向量，状态向量
a12 a1n a22 a2 n an 2 ann
n×n方阵，系统矩阵(或状态矩阵)， 反映系统状态的内在联系
§2.1 状态空间描述的概念

线性系统的状态空间描述

线性系统的状态空间描述

b1 hn1 an1hn2 an2 hn3 a1h0 ) u
(b0 an1hn1 an2 hn2 a1h1 a0 h0 )u
3/7/2014
选择 h0 , h1，使得上式中 , hn 1 u的各阶导 数项的系数都等于0，即可解得：
Ax Bu, y Cx Du x
x(k 1) Gx(k ) Hu (k )
线性定常离散系统
3/7/2014
y(k ) Cx(k ) Du (k )
状态空间分析法举例
例1求图示机械系统的状态空间表达式
外力 u(t)
K ---弹性系数 m
牛顿力学

阻 尼 系 数
3/7/2014
u (t ) Qa u (t ) u (t )
2)一个松弛系统当且仅当对任何输入u和任意 实数 , 均有 y Hu HQau Qa Hu Qa y
则称系统是定常的
2.2 状态空间的基本概念 1.状态:表征系统运动的信息和行为 2.状态变量：完全表征系统运动状态的最小一 组变量
x (t k 1 ) f ( x, u , t k ) g (t k ) g ( x , u , t k )
线性函数 线性系统
线性时变系统 线性定常系统
(t ) A(t ) x(t ) B (t )u (t ) x (t ) x(t ) D (t )u (t ) g (t ) c
a0 a1 a2
0
y 1
3/7/2014
0
x1 0 x2 x 3
2)
系统输入量中含有导数项 如果单输入—单输出系统的微分方程为：

线性控制理论总复习(2012)

： x A(t ) x B(t )u y C (t ) x
（1）
线性时变系统的对偶系统的状态空间描述为：
d ： T AT (t ) T C T (t ) T T BT (t ) T
（2）
式中： —协状态, n维行向量； —输出, p维行向量；
如果其状态空间描述具有如下形式
ˆ ˆ ˆ ˆ x Ao x bou
其中：
0 0 0 1 1 ˆ Ao 1 n-1
ˆ ˆ y co x
ˆ co 0 0 1
则称此状态空间描述为能观测规范形。
25
总复习：现代控制理论
2．PBH秩判据
i I A rank n; C
i 1, 2, , n
3．对角线规范型判据
4．约当规范型判据
13
总复习：现代控制理论
3. 对角线规范型判据（※）
当矩阵A的特征值 1 , 2 ,, n 为两两相异时， 线性定常连续系统 x Ax x(0) x0 t0 y Cx
x (t ) L1 X ( s ) L1 (s A) 1[ x0 +B U ( s )]
9
总复习：现代控制理论
第4章 线性系统的可控性与可观测性
一、线性定常连续系统的可控性判据（※） 1．秩判据
rankQc rank B AB An 1 B n
2．PBH秩判据
rank i I A B n
i 1, 2, , n
3．对角线规范型判据 4．约当规范型判据
10
总复习：现代控制理论
3．对角线规范型判据（※）
当矩阵A的特征值 1 , 2 ,, n 为两两相异时， 线性定常连续系统 x(t ) Ax(t ) Bu (t ) x(0) x0 t 0 完全能控的充分必要条件是：其对角线规范型

现代控制工程-第二章线性系统的状态空间描述


1 x3 s

1 s

1 x1 s
y(t )
2
3
8 64
解：第一步：化简方框图，使得整个系统只有标准积分器（1/s）、 比例器（k）及加法器组成。 第二步：将上述调整过的结构图中的每个标准积分器（1/s） 的输出作为一个独立的状态变量xi，积分器的输入端就是状态变 量的一阶导数dxi/dt。 第三步：写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统 的状态方程。
y Cx Du
图2－2 系统动态方程的方块图结构
状态空间分析法具有下列优越之处：
便于在数字计算机上求解；
容易考虑初始条件； 能了解并利用处于系统内部的状态信息； 数学描述简化；
适于描述多输入－多输出、时变、非线性、随机、离散等各类 系统，是最优控制、最优估计、辨识、自适应控制等现代控制系 统的基本描述方法。
例2.2.3求如图所示系统的动态方程。
（a）系统方块图
u(t )

s 1 s2
1 s3
1 s 2 8s 64
y(t )
（b）第一次等效变换

1 s3

u(t )

1 s2

1 s( s 8)
y(t )
64
（c）由标准积分器组成的等效方块图
u(t )

1 x4 s


(2-5)
y t cx t du(t )
，cn ，d为直接联系输入量、输出量 其中 c c1，c2， 的前向传递（前馈）系数，又称前馈系数。
多输入－多输出（含q个输出变量）线性定 常连续系统的输出方程一般表达形式为：
y1 c11 x1 c1n xn d11u1 d1 pu p yq cq1 x1 cqn xn d q1u1 d qp u p

线性系统理论PPT-郑大钟(第二版)


系统具有如下3个基本特征:
(1)整体性
1.结构上的整体性 2.系统行为和功能由整体 所决定
(2)抽象性
作为系统控制理论的研 究对象，系统常常抽去 了具体系统的物理，自 然和社会含义，而把它 抽象为一个一般意义下 的系统而加以研究。
(3)相对性
在系统的定义 中, 所谓“系统” 和“部分”这 种称谓具有相 对属性。
u1 u2

up
x1 x2
动力学部件

xn
输出部件
y1 y2

yq
连续时间线性系统的状态空间描述
线性时不变系统
x Ax Bu

y

Cx

Du
线性时变系统
x A(t)x B(t)u

y

C (t ) x

D(t
)u
连续时间线性系统的方块图
x A(t)x B(t)u
对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述
y (n) an1 y (n1) a1 y (1) a0 y bmu (m) bm1u (m1) b1u (1) b0u

H (k )
单位延迟
C(k)
y(k)
u(k)


G(k)
2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类
线性系统和非线性系统
设系统的状态空间描述为 x f ( x,u, t) y g( x,u, t)
向量函数
f1(x,u,t)
g1(x,u,t)
f
(
x,u,
t
)


f
2
(
x,u,
e

状态空间表达式及其与传递函数间的关系


x Ax Bu y Cx Du
u(t)
y(t)
系统
A : 系统（状态）矩阵 （n n）
B : 控制（输入）矩阵 （n p）
C : 输出矩阵 （q n）
D : 前馈矩阵 （q p）
A、B、C、D 为常数阵 定常系统
A、B、C、D 含时变参数 时变系统
9
x Ax Bu y Cx Du
不同状态变量之间存在线性变换关系
13
2.6 两种模型的相互转化
2.6.1由状态空间模型转化为传递函数（阵） 2.6.2由传递函数转化为状态空间描述 应用MATLAB进行模型之间的相互转化（自
学）
14
2.6.1 由状态空间模型转化为传递函数（阵）
设 线 性 定 常 系 统 的 状 态空 间 模 型 为

0 1u
1 G( s ) LCs2 RCs 1
y 1
0

x1 x2

由同一系统的不同状态空间表
达式导出的传递函数（阵）必
然相同
18
2.6.2 由系统传递函数建立状态空间模型
之前已知：由微分方程转
A,B,C,D
化为状态空间模型
u(t)
y(t)
系统
U(s)
x Ax Bu 注意！ u(t)
G(s)
y(t)
y Cx Du
系统
对其进行拉氏变换 sX(s) x(0 ) AX(s) BU(s) Y(s) CX(s) DU(s)
对应的传递函数（阵）为
令初始条件为零， x( 0 ) 0 得：sX(s) AX(s) BU(s)
x n
xn
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记 : x [ x1 ,..., xn ]T ,
x [ x1 ,...xn ]T , P可逆
p11... p1n , P .......... .. pn1... pnn 则
2018/10/22
x Px , 或 x P 1 x
11
状态轨迹 状态空间：对实际系统来说，一般就是： Rn 状态随时间变化形成 R n 中一条运动轨迹（轨线）
2018/10/22
18
将通式化为矩阵形式有： 其中：
y Cmn x Dm pu
c11 c C 21 cm1
d11 d 21 D d m1
2018/10/22
c12 c22 cm 2
d12 d 22 dm2
c1n c2 n , cmn
2018/10/22
1
2.1 状态和状态空间
2018/10/22
2
1、动态系统的两类数学描述
2018/10/22
3
2018/10/22
4
（1）系统的外部描述（输入-输出描述）
特点： 避开表征系统内部的动态过程，反映外部变量间的因果关系。 系统作为“黑箱” 例如：一个系统是线性定常数的，且只有一个输出变量和一 个输入变量，那么其外部描述为如下形式的一个线性 常系数微分方程：
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23
4. 状态空间描述举例
例 考察下图所示的简单电路，电路各组成元件的参数为 已知，输入变量取为电压源，输出变量取为电阻两端 的电压
R1
+
C
+
u
+
u
L
C
e(t )
[定常线性系统的模拟结构图（方块图）]：
常用符号：
积分器

比例器
ki
加法器

模拟结构图：
D
U
B
X



A
X
C

Y
X AX BU Y CX D U
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21
3. 连续时间时变系统：
状态空间描述一般形式为：
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22
(连续时间)线性时变系统的方块图：
2018/10/22
12
2.2 线性系统的状态空间描述
2018/10/22
13
1. 动态系统的（动力学）结构
2018/10/22
14
2018/10/22
15
2. 连续时间线性系统的状态空间描述 状态方程：
1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b11u1 b12u2 b1 p u p x 2 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b21u1 b22u2 b2 p u p x n an1 x1 an 2 x2 ann xn bn1u1 bn 2u2 bnp u p x
y1 c11 x1 c12 x2 c1n xn d11u1 d12u2 d1r ur y2 a21 x1 a22 x2 c2 n xn d 21u1 d 22u2 d 2 r ur ym cm1 x1 cm 2 x2 cmn xn bm1u1 d m 2u2 d mr ur
2018/10/22
16
将通式化为矩阵形式有：
Ann x Bn pu x
其中：
x x1
x2 xn , n维状态向量
T
u u1 u2 u p , p 维输入向量
a11 a12 a a22 21 A an1 an 2 b11 b12 b b22 21 B bn1 bn 2
表达式：
Ax Bu, x y Cx Du
[说明]： (1) 为方便，经常用
t t0
表示线性系统 , D) ( A, B, C
(2) 状态空间表达式非唯一性, 状态变量非唯一，导致矩阵
A,B,C,D非唯一。 (3) 上述系统称为定常（时不变）线性系统
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2018/10/22
5
2018/10/22
6
(2) 系统的内部描状态和状态空间的定义
2018/10/22
8
2018/10/22
9
状态变量组的完全表征性： 如果给定了 系统在
t 时刻这组变量值，和 t0
时输入，那么， t t0
的任何瞬间的行为就完全确定了。 t t0
2018/10/22


T
a1n a2 n , , 表征各状态变量间的关 系 n n维系统矩阵 ann b1 p b2 p , 表征输入对每个变量的 作用 , n p维输入矩阵 bnp
17
输出方程： 通式为：
d1 p d2 p , d mp
m n维输出矩阵 表征输出和每个状态变 量的关系
m p维前馈矩阵, 又称为直接转移矩阵 表征输入对输出的直接 传递关系 通常D＝0
19
动态方程或状态空间表达式： 将状态方程和输出方程联立，就构成动态方程或状态空间
个数最小性：
减少变量，描述不完整，增加则一定存在线性相关的变量。
意味着: 这组变量是互相独立的。
状态变量组选取不唯一
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两个状态组之间的关系
设x1 ,..., xn和x1 ,..., xn为任意两个状态组，则 x1 p11 x1 ... p1n xn, ............. x p x ... p x n1 1 nn n n
第2章 线性系统的状态空间描述
2.1 状态和状态空间 2.2 线性系统的状态空间描述 2.3 连续变量动态系统按状态空间分类 2.4 由输入输出描述导出状态空间描述 2.5 线性系统的特征结构 2.6 状态方程的约当规范形 2.7 由状态空间描述导出传递函数矩阵
2.8 线性系统在坐标变换下的特性
2.9 组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵