有限元动力学模型的综合修正方法

有限元模型修正技术的工程应用
陈德成;魏震松;曲广吉;朱安文;肖益芳
【期刊名称】《中国工程科学》
【年(卷),期】2001(003)010
【摘要】从工程应用的角度讨论了有限元模型修正技术的一些关键性问题,并且提出了作者的观点;提供了一个比较成熟的、达到实际工程应用水平的修正方法的基本思路和计算过程,指出了修正技术在实际应用中可能遇到的困难及其解决途径.【总页数】5页(P59-63)
【作者】陈德成;魏震松;曲广吉;朱安文;肖益芳
【作者单位】北京大学力学与工程科学系,北京,100871;北京大学力学与工程科学系,北京,100871;北京空间飞行器总体设计部,北京,100086;北京空间飞行器总体设计部,北京,100086;广西公安管理干部学院,南宁,530023
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.基于桥梁优化理论的有限元模型修正技术 [J], 李伶;尹骏晖;杜青
2.基于分层思想对复杂工程结构的有限元模型修正技术研究 [J], 朱跃;张令弥;郭勤涛
3.运载火箭动特性有限元模型修正技术研究 [J], 林宏;罗恒;潘忠文;王旭;朱礼文
4.面向桥梁工程的响应面技术在有限元模型修正中的应用探讨 [J], 张挣鑫;刘黔会;
黄方林
5.基于有限元模型修正技术的复杂索拱体系施工稳定性 [J], 戴轩奥;张其林;罗晓群因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

结构有限元模型的修正方法摘要模型修正可以提高有限元模型的可信度,随着结构的大型化和复杂化,模型修正方法越来越受到重视。

根据修正对象的不同,模型修正方法有很多种。

本文采用参考基方法,以修正后的质量矩阵为参考基准,通过目标函数最小化来进行模型修正。

数值实验表明本文的方法是可行的,问题的解存在唯一性。

关键词模态数据;有限元;模型修正0 引言有限元模型修正是一门正在兴起的学科,近几年来,人们渐渐发现它在很多科学领域中发挥了越来越重要的作用,特别是在结构动力学、工程技术、信号处理和电子振荡等领域,有限元模型修正指的是关于动力系统模型的设计、构造和修正。

在工程技术领域里,要解决工程中普遍存在的振动问题,首先就必须建立结构的动力学模型。

一般的建模方法有理论建模和实验建模两种,而理论建模工程上常用有限元方法。

模型修正的目的是用实测数据校正不精确的分析模型,而这些数据像固有的频率、阻尼比和振型等,一般是通过振动测试得到的。

根据实测的模态数据修正模型分析得到质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵,缩小有限元模型与实测模型之间的误差,改善有限元模型[1]。

1 模型修正方法假设由有限元方法计算得到近似的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵分别为,根据实际测量得到的低阶频率和相应的振型,一般情况下二次束的特征值和特征向量跟实际的频率和振型存在着一定的误差。

模型修正方法是利用实测模态数据对质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵进行修正,使修正后的质量矩阵M、阻尼矩阵C和刚度矩阵K满足谱约束条件[3]。

设低阶频率和相应的振型分别为:改写成矩阵形式如下:,其中。

一般的模型修正问题可表述如下:给定,以及模态数据,求矩阵,使得这里Sn表示n阶实对称矩阵,M>0表示对称正定矩阵,C1,C2为两个正的参数。

对于阻尼结构动力系统,如果以质量矩阵作为不变的参考基准,即取M=Ma,那么就可以直接修正阻尼矩阵和刚度矩阵[2]。

在实际问题中,往往要求质量矩阵M是对称正定矩阵,我们可以先修正质量矩阵Ma,取,这里表示所有实对称正定矩阵的集合,表示Ma在上的投影,即.于是,我们以修正后的质量矩阵为参考基,同时修正阻尼矩阵和刚度矩阵,使得罚函数最小。

d o i :10.3963/j .i s s n .1674-6066.2022.04.012基于H o pf i e l d 神经网络的有限元模型修正杨昕怡(武汉理工大学土木工程与建筑学院,武汉430070)摘 要: 工程结构的有限元模型对结构的健康监测与可靠性评估有重大意义,但实际工程中测量数据和模型都与结构初始有限元模型有一定的差异,因此有必要对实际结构的有限元模型进行修正㊂首先建立有限元模型修正方程来表达结构响应与待修正参数之间的关系,再通过H o p f i e l d 递归神经网络技术,对模型修正方程进行求解㊂通过一个数值梁模型对提出的方法进行了验证,结果显示H o p f i e l d 神经网络在求解线性模型修正仿真中有较好的效果㊂关键词: H o pf i e l d 神经网络; 模型修正; 线性方程组; 有限元模型F i n i t eE l e m e n tM o d e lM o d i f i c a t i o nB a s e do nH o p f i e l d N e u r a lN e t w o r kY A N G X i n -yi (S c h o o l o fC i v i l E n g i n e e r i n g a n dA r c h i t e c t u r e ,W u h a nU n i v e r s i t y o fT e c h n o l o g y ,W u h a n430000,C h i n a )A b s t r a c t : T h e f i n i t e e l e m e n tm o d e l o f e n g i n e e r i n g s t r u c t u r ew a so f g r e a t s i g n i f i c a n c e t o t h eh e a l t h m o n i t o r i n g a n d r e l i a b i l i t y e v a l u a t i o n o f t h e s t r u c t u r e ,b u t t h em e a s u r e d d a t a a n d t h em o d e l i n t h e a c t u a l e n g i n e e r i n g w e r e d i f f e r e n t f r o m t h e i n i t i a l f i n i t e e l e m e n tm o d e l o f t h es t r u c t u r e ,s o i tw a sn e c e s s a r y t o m o d i f y t h e f i n i t ee l e m e n tm o d e l o f t h ea c t u a l s t r u c t u r e .F i r s t l y ,t h e f i n i t ee l e m e n tm o d e lm o d i f i c a t i o ne q u a t i o n w a se s t a b l i s h e dt oe x p r e s st h er e l a t i o n s h i p b e t w e e n s t r u c t u r a l r e s p o n s e a n d p a r a m e t e r s t o b em o d i f i e d ,a n d t h e n t h eH o p f i e l d r e c u r s i v e n e u r a l n e t w o r k t e c h n o l o g y wa s u s e d t os o l v e t h em o d e lm o d i f i c a t i o n e q u a t i o n .An u m e r i c a lb e a m m o d e lw a s u s e d t o v e r i f y t h e p r o p o s e dm e t h o d ,a n d t h e r e -s u l t s s h o w e d t h a tH o p f i e l dn e u r a l n e t w o r kw a s e f f e c t i v e i n s o l v i n g l i n e a rm o d e lm o d i f i c a t i o n s i m u l a t i o n .K e y wo r d s : H o p f i e l dn e u r a l n e t w o r k ; m o d e lm o d i f i c a t i o n ; l i n e a r e q u a t i o n s ; f i n i t e e l e m e n tm o d e l 收稿日期:2022-04-08.基金项目:武汉理工大学土木工程与建筑学院国家级大学生创新创业训练计划资助(202110497067).作者简介:杨昕怡(2000-),本科生.E -m a i l :y a n g x i n y i @w h u t .e d u .c n 自有限单元元分析法问世至今,一直备受工程界学者的广泛关注㊂利用有限元模型来模拟研究结构响应对结构的设计㊁运营㊁维护㊁监测等活动具有重大作用㊂有限元模型修正主要是用结构实测的响应来反演结构力学参数,如弹性模型㊁质量㊁密度㊁尺寸参数等㊂常用的结构实测响应数据主要有静力数据和动力数据㊂由于结构动力数据种类丰富㊁测量方便,因此基于动力数据的有限元模型修正方法较多㊂国内外很多工程领域的研究人员都对基于动力数据的模型修正方法开展了研究,例如,方圣恩等[1]提出了一种模型修正措施,将建立的响应面模型与应用蒙特卡罗仿真技术得到的结构响应样本相联合,用于结构有限元模型修正㊂姚春柱等[2]采用了贝叶斯模型修正方法,将使用吉布斯抽样的蒙特卡罗马尔科夫链抽样方法得到的数据代入随机模型,应用贝叶斯理论,得到关于模型参数的后验分布动态统计特征,达到对参数进行识别的目标㊂陈辉等[3]结合结构随机响应实测数据列出了能准确表达待修正参数与结构反应之间联系的模型修正方程式,并在求解该方程时运用混合摄动-伽辽金方法,从而获取修正参数的概率统计特征㊂在国际上,美国的B e c k JL 教授[4]在对线弹性土木结构的随机模型修正研究中应用了贝叶斯方法,通过判断所抽取样本对应的响应与测量结果是否吻合来确定修正参数㊂R u i [5]通过响应面法㊁改进的蒙特卡洛统计模拟法和移动最小二乘法求解了模型修正方程㊂模型修正是力学反问题,求解模型修正方程,会涉及大型矩阵反复求逆,或存在多解或者病态问题,导致64建材世界 2022年 第43卷 第4期计算精度不高㊂并且根据目前国内外研究人员的研究成果可以看出学者们对模型修正的研究还在初级阶段,还需克服许多困难㊂因此,在工程界的迫切需求下,提出更为实用和高效的模型修正方法具有必要性㊂使用H o p f i e l d神经网络来求解模型修正方程能有效解决上述问题㊂首先建立基于动力模态数据的模型修正方程,并对H o p f i e l d神经网络解决实际问题的理论解与模型推导进行阐述,然后通过一个两跨连续梁对该方法进行了验证㊂结果表明,该方法能非常准确地求解模型修正方程,使修正结果与预设的工况一致,修正后的结构参数能够复现结构动力响应,具有实际工程意义㊂1理论1.1模型修正方程的建立考虑具有N个自由度的无阻尼结构,初始模型满足以下特征值方程K aφi=λi M aφi(i=1, ,n c)(1)式中,K a和M a分别是初始结构模型的整体刚度矩阵和质量矩阵;λi和φi分别是初始模型的第i阶特征值和特征向量;n c为初始模型的计算模态个数㊂类似地,实际结构的特征方程可以表示为K dφ-j=λ-j M dφ-j(j=1, ,n m)(2)式中,K d和M d分别是实际结构模型的整体刚度矩阵和质量矩阵;λ-j和φ-j分别是实际模型的第j阶特征值和特征向量;n m为实际模型的计算模态的个数㊂初始结构跟实际结构的质量矩阵与刚度矩阵存在以下关系M d=M a+ðN e n=1βn M n(3)K d=K a+ðN e n=1αn K n(4)式中,N e为结构的单元个数;K n和M n分别是结构第n个单元的NˑN单元组装矩阵;αn和βn分别为结构第n个单元的质量和刚度的修正系数,表示为实际结构的单元刚度和质量相对于初始矩阵的变化率㊂将式(1)的每个方程左乘φ-T j,其中j=1, ,n m㊂同样,将式(2)的每个方程左乘φT i,其中i=1, ,n c㊂可以得到φ-T j K aφi=λiφ-T j M aφi(5)φT i K dφ-j=λ-T jφi M dφ-j(6)合并式(5)和式(6)可以得到φT i K dφ-jφT i K aφ-j =λ-jφT i M dφ-jλiφT i M aφ-j(7)将式(3)㊁式(4)代入式(7)可以得到1+ðN e n=1αnφT i K nφ-jφT i K aφ-j =λ-jλi1+ðN e n=1βnφT i M nφ-jφT i M aφ-æèçöø÷j(8)对式(8)进行因式变换可以得到ðN e n=1αnφT i K nφ-jφT i K aφ-j -ðN e n=1βnφT i M nφ-jφT i M aφ-j=λ-jλi-1(9)式(9)可以简写为C(0)E(0[])㊃γ(0)=f(0)(10)式中,C=Φ()i T K nΦj,E=ðN e n=1-λ-jΦ()i T M nΦj,f(0)=λ-jΦ()i T MΦj-Φ()i T KΦj,γ=α[]βT㊂1.2H o p f i e l d神经网络H o p f i e l d神经网络作为一种递归神经网络,具有多反馈回路㊂递归神经网络通过结构递归建立,根据不同形式的递归性应用,产生了许多具有不同结构的递归网络㊂在各种神经网络的学习算法中,梯度下降法应用十分广泛㊂采用H o p f i e l d神经网络来求解现行矩阵方程,根据得到的解与理论解之间的对比,能判断该74建材世界2022年第43卷第4期神经网络模型求解线性矩阵方程的有效性㊂数学矩阵论中求C (0)E (0[])㊃γ(0)=f (0)的方法如下x =C ()0 E ()[]0/f ()0=C ()0 E ()[]0-()1㊃f ()0 下面依据负梯度设计方法推导该神经网络模型:1)构造一个基于矩阵范数的标量误差函数ε(t )= C ()0E ()[]0 22/2=C ()0E ()[](0㊃γ()0-f ())0T C ()0E ()[]0㊃γ()0-f ()()0/2 2)为了使上述误差减小,可采用经典的负梯度方法,因此我们可以得到如下误差函数负梯度方向作为下降方向-∂ε∂χ=-C ()0E ()[]0T C ()0E ()[](0㊃γ()0-f ())0 3)线性的基于负梯度的神经网络模型如下γ㊃()0()t =-γC ()0E ()[]0T C ()0E ()[](0㊃γ()0-f ())0其中参数γ>0决定网络的收敛速度,如条件允许,越大越好㊂2 数值算例下面对一个双跨连续梁进行模型修正研究,跨长和梁截面如图1所示㊂模拟连续梁的有限元模型由12个相同的欧拉-伯努利梁单元组成㊂单元中的每一个节点包括两个自由度㊁一个垂直位移和一个扭转角度㊂假设初始梁模型弹性模量为2.8ˑl 010P a ,密度为2.5ˑ103k g /m 3㊂假设第②㊁⑤㊁⑩三个单元的真实质量分别下降了40%㊁30%和20%,同时第③㊁⑤㊁⑨㊁⑩㊁单元的弹性模量分别减少30%㊁40%㊁35%㊁30%和20%,其他单元的质量与弹性模量保持初始值不变㊂将12个单元的弹性模量和质量认定为修正参数㊂修正后的弹性模量参数从左到右编为1~12号,相应的质量参数为13~24㊂换句话说,修正后的参数总数为24㊂计算得到该两跨连续梁24个参数修正后的神经网络预测值与实际真值结果对比如图2所示㊂由图2可以看出,修正后的H o p f i e l d 识别值与实际真值基本吻合,由此可证明H o p f i e l d 神经网络修正模型的有效性㊂(下转第65页)84建材世界 2022年 第43卷 第4期建材世界2022年第43卷第4期[10]施有志,柴建峰,赵花丽,等.地铁深基坑开挖对邻近建筑物影响分析[J].防灾减灾工程学报,2018,38(6):927-935.[11]郑翔,汤继新,成怡冲,等.软土地区地铁车站深基坑施工全过程对邻近建筑物影响实测分析[J].建筑结构,2021,51(10):128-134.[12]A n JB,S u nCF.S a f e t y A s s e s s m e n t o f t h e I m p a c t s o f F o u n d a t i o nP i t C o n s t r u c t i o n i nM e t r oS t a t i o no nN e a r b y B u i l d i n g s[J].I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f S a f e t y a n dS e c u r i t y E n g i n e e r i n g,2020,10(3):423-429.[13]王利军,邱俊筠,何忠明,等.超大深基坑开挖对邻近地铁隧道变形影响[J].长安大学学报(自然科学版),2020,40(6):77-85.[14]尚国文,李飒,翟超,等.基坑开挖与邻近地铁结构变形相关性的实测分析[J].防灾减灾工程学报,2020,40(1):107-115.[15]丁智,张霄,金杰克,等.基坑全过程开挖及邻近地铁隧道变形实测分析[J].岩土力学,2019,40(S1):415-423.[16]许四法,周奇辉,郑文豪,等.基坑施工对邻近运营隧道变形影响全过程实测分析[J].岩土工程学报,2021,43(5):804-812.[17]左自波,黄玉林,吴小建,等.基坑施工对下方双线地铁隧道影响的数值模拟[J].北京交通大学学报,2019,43(3):50-56.[18]章润红,刘汉龙,仉文岗.深基坑支护开挖对临近地铁隧道结构的影响分析研究[J].防灾减灾工程学报,2018,38(5):857-866.[19]S u nH S,W a n g,L W,C h e nSW,e t a l.AP r e c i s e P r e d i c t i o n o f T u n n e l D e f o r m a t i o nC a u s e d b y C i r c u l a r F o u n d a t i o nP i t E x-c a v a t i o n[J].A p p l i e dS c i e n c e s,2019,9(11),2275.[20]徐宏增,石磊,王振平,等.深基坑开挖对邻近大直径管线影响的优化分析[J].科学技术与工程,2021,21(2):714-719.[21]贺雷,张亚楠,曹明洋,等.软土区基坑开挖对邻近电缆隧道的影响研究[J].建筑结构,2020,50(S1):1032-1037.[22]施有志,葛修润,李秀芳,等.地铁深基坑施工对周边管线影响数值分析[J].中山大学学报(自然科学版),2017,56(6):83-93.[23]L iWJ,H a nX M,C h e nT,e t a l.R e s e a r c ho n I n f l u n e n c eL a wo f E x i s t i n g P i p e-j a c k i n g T u n n e lA f f e c t e db y A d j a c e n t F o u n-d a t i o nP i tE x c a v a t i o ni nS o f tC l a y S t r a t u m[J].I O P C o n fe r e n c eS e r i e s M a t e r i a l sS c i e n c ea n d E n g i n e e r i n g,2019,688:022041.(上接第48页)3结论该文提出了一种基于H o p f i e l d人工神经网络和模态数据求解有限元模型修正参数的方法㊂基于结构实测响应,通过构建修正方程与H o p f i e l d神经网络对一两跨连续梁质量与弹性模量参数进行修正,修正后得到的有限元模型与结构实际特征基本统一㊂因此可以认为将H o p f i e l d神经网络引入模型参数修正中可以避免大型矩阵求逆和正则化,能更准确的修正结构参数㊂参考文献[1]方圣恩,林友勤,夏樟华.考虑结构参数不确定性的随机模型修正方法[J].振动.测试与诊断,2014,34(5):832-837,973.[2]姚春柱,王红岩,芮强,等.车辆点焊结构有限元模型参数不确定性修正方法[J].机械科学与技术,2014,33(10):1545-1550.[3]陈辉,张衡,李烨君,等.测量模态不确定的梁式结构随机有限元模型修正[J].振动工程学报,2019,32(4):653-659.[4] B e c k JL,K a t a f y g i o t i sLS.U p d a t i n g M o d e l s a n dT h e i rU n c e r t a i n t i e s-I:B a y e s i a nS t a t i s t i c a l F r a m e w o r k[J].J o u r n a l o f E n-g i n e e r i n g M e c h a n i c s,1988,124(4):455-461.[5] R u iQ,O u y a n g H,W a n g H Y.A nE f f i c i e n tS t a t i s t i c a l l y E q u i v a l e n tR e d u c e d M e t h o do nS t o c h a s t i c M o d e lU p d a t i n g[J].A p p l i e d M a t h e m a t i c a lM o d e l l i n g,2013,37(8):6079-6096.56。

有限元模型修正研究进展从线性到非线性一、本文概述随着计算力学的快速发展，有限元方法作为一种重要的数值分析工具，广泛应用于工程领域的各个方面。

然而，由于实际工程问题的复杂性和多样性，有限元模型的精度往往受到各种因素的影响，如材料参数的不确定性、边界条件的复杂性、模型简化的误差等。

为了提高有限元模型的预测精度，模型修正技术应运而生。

本文旨在对有限元模型修正的研究进展进行全面综述，特别是从线性到非线性的发展历程进行深入探讨。

文章首先回顾了线性有限元模型修正的基本理论和方法，包括基于灵敏度分析的方法、基于优化算法的方法以及基于响应面方法等。

然后，文章重点分析了非线性有限元模型修正的研究现状，包括材料非线性、几何非线性和接触非线性等方面的修正技术。

在此基础上，文章对模型修正技术的发展趋势进行了展望，包括多尺度模型修正、智能算法在模型修正中的应用等方面。

通过本文的综述，旨在为相关领域的研究人员提供一个全面、系统的有限元模型修正技术参考，同时也为工程实践中的模型修正工作提供理论支持和指导。

二、线性有限元模型修正研究线性有限元模型修正研究，作为有限元模型修正的初始阶段，主要关注于如何在保证计算效率的前提下，提高模型的预测精度。

线性有限元模型修正研究的目标在于优化模型参数，以使得模型的计算结果与实际观测结果尽可能一致。

在线性有限元模型修正中，研究者通常利用实验数据对模型进行验证和修正。

这些实验数据可能来源于各种物理实验，如静力实验、动力实验等。

通过比较实验结果和模型预测结果，研究者可以识别出模型中的误差来源，进而对模型进行修正。

线性有限元模型修正的方法主要包括参数辨识、模型更新和模型验证三个步骤。

参数辨识是通过实验数据确定模型参数的过程。

这个过程需要利用优化算法，如最小二乘法、遗传算法等，来寻找最优的参数组合。

模型更新是将辨识得到的参数应用到模型中，以更新模型的预测能力。

模型验证是通过比较更新后的模型预测结果和新的实验数据，来验证模型的有效性和准确性。

基于响应面方法的多喷嘴引射器有限元模型修正杨毅晟;刘宗政;麻越垠;闫喜强;王元兴;谢强【摘要】针对某多喷嘴引射器在脉动载荷作用下的动力学响应预测问题,对其有限元模型进行了修正,减少了材料属性、边界条件等对计算结果的影响.首先开展了引射器有限元模态分析,获得了初始模态分析频率;采用了多点激励多点响应锤击法进行了模态试验,获取了试验模态频率;基于有限元模型进行了误差分析,确定了材料密度、弹性模量、质量点质量等修正参数,通过中心复合设计方法确定了样本空间,构建了多目标响应面并对待修正参数进行了约束优化,得到了修正参数的最优解;最后,使用修正后的参数进行了有限元分析,获得了修正后的模态分析频率,并通过动力响应计算进行了模型确认.研究结果表明:修正后模态分析频率与模态试验频率(前三阶)误差均值由修正前的8.01%减小到2.81%,该修正方法能够显著提高有限元模态分析精度.%Aiming at the problems that prediction of the dynamic response of a multi-nozzle ejector under the action of pulsating load, the fi-nite element model was updated to reduce the influence of material properties and boundary conditions on the calculation results. Firstly, the finite element modal analysis of the ejector was carried out to obtain the initial modal analysis frequency. Secondly, the hammering modal test on ejector was done using multi-input multi-output analysis method to get the modal test frequency of ejector. Thirdly, based on the finite ele-ment model error analysis, the correction parameters such as material density, elastic modulus and quality of mass-point were determined. After the sample space was determined by the central composite design method, the multi-objective response surface was constructed and used to obtainthe optimal solution of the correction parameters. Finally, the optimal correction parameters were used for finite element analysis to obtain the corrected modal analysis frequency and dynamic response under the real load. The results indicate that the error of the first three modes between the corrected modal analysis frequency and the modal test frequency is reduced from 8. 01% to 2. 81%, so the updating method can significantly improve the precision of the finite element modal analysis.【期刊名称】《机电工程》【年(卷),期】2017(034)012【总页数】6页(P1376-1381)【关键词】多喷嘴引射器;响应面;模态试验;模态分析;模型修正【作者】杨毅晟;刘宗政;麻越垠;闫喜强;王元兴;谢强【作者单位】中国空气动力研究与发展中心,四川绵阳621000;中国空气动力研究与发展中心,四川绵阳621000;中国空气动力研究与发展中心,四川绵阳621000;中国空气动力研究与发展中心,四川绵阳621000;中国空气动力研究与发展中心,四川绵阳621000;中国空气动力研究与发展中心,四川绵阳621000【正文语种】中文【中图分类】TH113.1;TB123近年来，有限元法已经成为模态分析领域的支柱方法之一。

动力学有限元模型的复模态评估余好文;王轲【摘要】工程中常采用频率和模态置信度准则评估有限元模型,评估结果对无阻尼或阻尼很小的结构是有效的,但一般阻尼结构其每一阶模态不同自由度存在相位差异,此时实数域上的评估会产生误差,且常用评估方法难以总体衡量模型.基于复模态的基本理论,从复频率、复振型幅值及相位值三方面来评估有限元模型,并且根据响应分析要求,通过建立评判标准和权重集,得到一个能综合衡量有限元模型建模准确度的参数.算例表明该方法可较好预估模型响应准确度,对于结构动力学建模技术具有重要的工程实用价值.%Frequency and MAC are often used for the evaluation of the finite element models. The result of the evaluation is effective for the structures with small damping or without damping. However, there are phase differences for each mode of the damping structure with different DOFs. In this case, the evaluation in real number domain will produce errors, and it is difficult to evaluate the model using conventional evaluation methods. In this paper, based on the complex modal theory, the finite element model is evaluated from three aspects of complex frequency, complex amplitude and phase value. According to the requirement of response analysis, the evaluation criteria and weight sets are established, and the parameter that can comprehensively measure the accuracy of the finite element model is presented. Results of an example show that this method can effectively predict the accuracy of the model response. It has an important engineering practical value for the structural dynamics modeling.【期刊名称】《噪声与振动控制》【年(卷),期】2018(038)003【总页数】5页(P31-35)【关键词】振动与波;结构动力学;模型评估;复模态;有限元模型;阻尼结构【作者】余好文;王轲【作者单位】南京航空航天大学机械结构力学及控制国家重点实验室,南京210016;南京航空航天大学机械结构力学及控制国家重点实验室,南京 210016【正文语种】中文【中图分类】O321;TB123目前常用的结构动力学有限元模型评估方法主要适用于实模态情况下的模型评估，一般是从频率和振型两方面来评估所建立有限元模型的模态准确性，具体的方法是从试验所测得复模态中提取实模态的相关信息，然后与所建立的有限元模型计算结果比较。

南京航空航天大学博士学位论文摘要结构动力模型修正是当前结构动力学领域一个重要的研究方向。

本文主要研究结构动力模型修正中的数学理论与方法，研究了一类特殊结构模型修正问题，并为线性结构有限元动力模型修正提供了有效的数值方法。

全文工作主要由以下5个部分组成。

1. 中心对称结构的动力模型修正问题。

先讨论一类矩阵方程存在中心对称解的充分必要条件，给出解的一般表达式，并在解集合中给出了与给定矩阵的最佳逼近解。

然后，将结果应用于中心对称结构的动力模型修正问题中，对给定的矩阵束，求出满足特征方程且具有中心对称特性的最佳矩阵束逼近。

2. 考虑到实际问题中具有中心对称特点的矩阵束不一定满足特征方程，进而研究一类矩阵方程最小二乘中心对称解及其最佳逼近，从而给出模型修正中的最小二乘中心对称矩阵束。

3. 研究了阻尼中心对称结构动力模型修正问题，对给定的三重矩阵（质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵），求满足谱约束条件且具有中心对称特性的“最接近”的三重矩阵，并给出数值算例。

4. 对线性结构的有限元动力模型修正问题，通过灵敏度分析，确定要修正的参数，由正交性条件和特征方程得到相应的修正量方程。

为了改善方程组的病态程度，构造了预处理矩阵，利用预处理共轭梯度，给出一个有效的模型修正算法。

该算法可用于测量自由度数目等于或小于分析模型自由度的动力模型修正。

对于阻尼结构动力模型修正，可由复模态的正交条件和特征方程建立修正方程，应用所给的数值算法求修正量。

由模型修正的工程实例，表明修正后模态参数较好地接近实测模态参数。

5. 给出了线性结构有限元模型修正误差矩阵范数最小的一类新准则。

由于测试数据的误差，不能保证正交性条件和特征方程准确成立，为此考虑其方程组最小二乘解作为约束条件，此时将模型修正问题转化为二次约束最小二乘问题。

利用奇异值分解，给出一个精度较高的新方法。

当测量自由度小于模型自由度时，利用缩减模型的正交条件和特征方程建立修正方程，由迭代方法逐步逼近求解模型的修正量。

Journal of Mechanical Strength2023,45(2):255-261DOI :10.16579/j.issn.1001.9669.2023.02.001∗20210626收到初稿,20210728收到修改稿㊂国家自然科学基金项目(51768035),甘肃省高校协同创新团队项目(2018C-12)资助㊂∗∗孙永朋,男,1993年生,甘肃通渭人,汉族,兰州交通大学硕士研究生,主要研究方向为模型修正㊂∗∗∗彭珍瑞,男,1972年生,甘肃民勤人,汉族,兰州交通大学教授,博士,博士研究生导师,主要研究方向为结构动力学与模态分析,主持国家自然科学基金两项以及甘肃省㊁兰州市项目,发表论文100余篇㊂基于Kriging 模型和小波包能量谱的随机模型修正∗STOCHASTIC MODEL UPDATING BASED ON THE KRIGING MODEL AND WAVELET PACKET ENERGY SPECTRUM孙永朋∗∗㊀彭珍瑞∗∗∗㊀白㊀钰(兰州交通大学机电工程学院,兰州730070)SUN YongPeng ㊀PENG ZhenRui ㊀BAI Yu(School of Mechanical Engineering ,Lanzhou Jiaotong University ,Lanzhou 730070,China )摘要㊀针对随机模型修正精度和效率低的问题,提出一种基于Kriging 模型和小波包能量谱的随机有限元模型修正方法㊂首先,假设模型待修正参数和响应特征均服从正态分布,将不确定性的模型修正转化为均值和标准差的修正;其次,将待修正参数作为Kriging 模型输入,加速度频响函数经过小波包分解后提取的结点能量作为输出,引入政治优化算法优化相关系数以构造Kriging 模型;然后,将最小化试验响应与预测响应之差的绝对值作为修正均值的目标函数,最小化交叉熵作为修正标准差的目标函数,通过政治优化算法先后修正参数均值和标准差;最后,以空间桁架结构为例,选取弹性模量和密度为待修正参数验证该方法的可行性㊂结果表明,所提方法能够有效地修正结构参数均值和标准差,修正后的参数均值㊁标准差的误差分别低于0.1%㊁3.5%㊂关键词㊀模型修正㊀加速度频响函数㊀交叉熵㊀小波包能量谱㊀Kriging 模型中图分类号㊀TH113.1Abstract ㊀Aiming at the low accuracy and efficiency of stochastic model updating,a stochastic finite element modelupdating method based on the Kriging model and wavelet packet energy spectrum was proposed.Firstly,assume that the parameters and response characteristics of the model to be updated obey normal distributions,the uncertainty model updating was transformed into the updating of mean and standard deviation.Secondly,the parameters to be updated were taken as inputs of Kriging model,the node energies extracted by the acceleration frequency response function after wavelet packet decomposition were taken as the outputs,the political optimizer algorithm was introduced to optimize the correlation coefficient to construct Kriging model.Then,minimize the absolute value of the difference between the test response and the predicted response as the objective function for updating mean,and minimize the cross entropy as the objective function for updating standard deviation,and updated the parameters mean and standard deviation through the political optimizer algorithm.Finally,taking a space truss structure as the example,the elastic modulus and density were selected as the parameters to be updated to verify the feasibility of the proposed method.The results show that the proposed method can effectively update the mean and standard deviation of structural parameters,and errors of the updated mean and standard deviation are less than 0.1%and 3.5%,respectively.Key words㊀Model updating ;Acceleration frequency response function ;Cross entropy ;Wavelet packet energy spectrum ;Kriging modelCorresponding author :PENG ZhenRui ,E-mail :pzrui @ ,Tel :+86-931-4955789,Fax :+86-931-4955789The project supported by the National Natural Science Foundation of China (No.51768035),and the Collaborative Innovation Team Project of Universities in Gansu Province (No.2018C-12).Manuscript received 20210626,in revised form 20210728.0㊀引言㊀㊀近几十年来,模型修正方法在结构动力学领域逐渐成为研究热点,在结构损伤识别㊁健康监测和寿命预测等领域取得了广泛应用㊂根据是否考虑结构参数和响应的不确定性,结构动力学模型修正可分为确定性方法和不确定性方法两类[1]㊂确定性模型修正只能依据某次特定情形下的试验数据进行修正,并没有考㊀256㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度2023年㊀虑其他情况下的试验结果,导致无法完整地描述结构的实际状况[2]㊂但在工程实际中,由于结构材料㊁几何尺寸㊁试验测试和环境噪声等的影响,不确定性问题普遍存在㊂因此,考虑不确定性的模型修正方法更具有研究意义[3-4]㊂在模型修正过程中,使用代理模型可以有效地减少因调用有限元模型而产生的计算成本,是提高模型修正效率的有效途径[5]㊂代理模型主要有径向基函数(Radial Basis Function,RBF)㊁Kriging模型㊁支持向量回归机(Support Vector Machine,SVM)㊁多项式混沌展开(Polynomial Chaos Expansions,PCE)和神经网络(Neural Networks,NNs)等[6]㊂Kriging模型不仅可以对非线性函数良好的近似能力给出参数预估值,还可以给出预估值的误差估计,因此在结构优化设计和结构响应预测等领域被广泛应用[7]3197-3225㊂近年来,不确定性模型修正引起了学者的广泛关注,并取得了一定的成果㊂方圣恩等[8]建立了一种逐步修正参数均值㊁标准差的随机模型修正框架,有效地简化了修正过程㊂HUA X G等[9]将改进的摄动技术与基于灵敏度的模型修正方法相结合,利用不确定模态数据进行随机模型修正㊂ZHAI X等[10]利用结构静态响应数据,基于高级蒙特卡洛仿真与改进的响应面模型修正了航空发动机定子系统㊂蒋伟等[11]提出了基于多链差分进化算法的贝叶斯有限元模型修正方法,为解决传统贝叶斯算法在高维参数下采样率低㊁收敛难的问题提供了一种新手段㊂陈辉等[12]利用混合摄动-伽辽金法推导随机模型修正方程,改善了不完备测量模态导致结构参数随机的情况㊂秦仙蓉等[13]将岸桥结构作为研究对象,实测模态数据作为响应,利用代理模型有效地修正了结构参数均值和标准差㊂HOKMABADY H等[14]在时程分析基础上,利用数学函数对影响参数不确定性的因素进行校正,构建了一种同时考虑结构和参数不确定性的模型修正策略㊂上述模型修正方法都是基于模态参数的修正方法㊂然而,对试验模态参数进行识别出现的误差,有时可能会大于模型参数误差本身,但是基于频响函数(Frequency Response Function,FRF)的方法无需模态识别即可进行模型修正,既避免了模态分析带来的误差,又可以利用频响函数的互易性使各点间的数据进行相互检验,因此基于频响函数研究不确定性模型修正是极其必要的[15-16]㊂此外,模型修正的关键是得到全面㊁稳定的信号特征㊂由小波变换发展而来的小波包分解是一种更加精细的信号分解方法,能在整个频带内对信号进行分解㊂小波包分解后,提取某一层信号的结点能量谱可以更完整㊁详尽地反映结构信息㊂罗辉等[17]306-314将小波包能量谱的变化作为损伤指标,基于互信息建立了一种快速判断结构损伤程度的新框架㊂郭伟超等[18]利用小波包变换对信号进行分解,通过主成分分析对关键频带能量谱进行降维,有效地改善了常见的时频域分析方法无法准确反映信号故障特征的问题㊂综上所述,提出一种基于Kriging模型和小波包能量谱的随机模型修正方法㊂首先,以待修正参数为输入,加速度FRF经过小波包分解后计算得到的结点能量为输出,构建Kriging模型代替有限元模型进行计算,通过政治优化(Political Optimizer,PO)算法寻得Kriging模型的最优相关系数值;其次,利用交叉熵(Cross Entropy,CE)衡量两个概率密度函数(Probability Density Function,PDF)之间的相似性,将最小化交叉熵作为目标函数,通过PO先后修正参数均值和标准差;最后,利用空间桁架结构验证该方法的可行性㊂1　小波包能量谱㊀㊀与小波变换相比,小波包分解能够在去噪㊁滤波㊁故障诊断以及非平稳信号的特征提取等方面为信号提供一种更精细的分析方法,它不仅对信号低频进行分解,也对信号高频进行分解[19]㊂信号x(t)的r层小波包分解可表示为x(t)=ð2r-1s=0x r,s(t)=ðɕl=-ɕc r,s,lφr,s,l(t)(1)式中,c r,s,l为小波包系数;φr,s,l(t)为小波包,c r,s,l=ʏ+ɕ-ɕx(t)φr,s,l d t;r㊁s㊁l分别为尺度参数㊁平移参数和调整参数,且均为正整数㊂信号x(t)的3层小波包分解过程如图1所示㊂图1㊀3层小波包分解过程Fig.1㊀Process of3-layer wavelet packet decomposition 信号经过小波包分解后得到的结点能量与小波包系数相比,更具有鲁棒性[17]306-314㊂对原始信号x(t)经过r层分解后得到2r个子频带,其中,第u个子频带的能量为G u=ð|f u|2,u=0,1,2, ,2r-1(2)式中,f u为经过r层分解后原始信号的第u+1个子频带,即结点u+1㊂则原始信号的小波包能量谱可表示为G r=[G0,G1,G2, ,G2r-1]T(3)㊀㊀小波包分解后提取的能量谱可按结点能量大小从大到小排列㊂由于能量较小的小波包成分易受噪声干㊀第45卷第2期孙永朋等:基于Kriging 模型和小波包能量谱的随机模型修正257㊀㊀扰,因此可以忽略这些成分[20]㊂选择结点能量占比较大的前m 个频带近似表示原始信号㊂调整参数的引入,避免了小波包分解出现小波变换时间分辨率高㊁频率分辨率低的现象,因此选取基函数为Daubechies 小波族的db5,分解层数r 取为5[21]1088-1101㊂尽管加速度FRF 较模态参数可以更全面地反映信号特征,但存在频率点及频率区间选择困难的问题㊂将加速度FRF 通过傅里叶逆变换为时域的加速度脉冲信号,利用小波包变换对该信号进行5层小波包分解,提取小波包结点能量作为代理模型的输出,也作为加速度FRF 的响应特征进行模型修正,可避开频率点和频率区间的选择㊂2㊀Kriging 模型的构造2.1㊀Kriging 模型㊀㊀Kriging 模型是一种基于插值理论的代理模型,由线性回归和随机过程两部分组成[7]3197-3225,其表达式为Y =f T (x i )β+z (x i )(4)式中,f T (x i )β为线性回归模型,f (x i )为多项式函数,β为回归模型系数;z (x i )~N (0,σ2)为随机过程,σ2为过程方差㊂通过最小二乘法可求得β和σ2的估计值分别为β=(F T R -1F )-1F T R -1E (5)σ2=1n(E -Fβ)T R (E -Fβ)(6)式中,F 为样本向量所构成的矩阵;E 为样本响应的列向量;R 为空间相关矩阵,元素R ij =R (x i ,x j )(i ,j =1,2, ,n );n 为样本数㊂β和σ2皆为相关系数θ的函数,未知数θ的值决定Kriging 模型的预测精度㊂2.2㊀政治优化器㊀㊀PO 是受多阶段政治过程启发,由ASKARI Q等[22]105709提出的全局优化算法㊂该算法提出基于最近历史的位置更新策略(Recent Past-based Position Updating Strategy,RPPUS),使候选人能够与一对独特的更优解进行交互,以便基于最近位置探索最优区域,避免陷入局部最优,相比其他算法,准确性较高,收敛较快,提高了寻优效率㊂因此本文采用PO 进行寻优来提高模型的修正精度㊂算法流程如下:(1)政党组成和选区分配㊂人口P 划分为w 个政党,每个政党的第j 个党员都从选区C j 参加竞选㊂设政党数㊁选区数和每个政党的候选人数相同㊂大选决定政党领袖及选区获胜者,如式(7)所示:q =arg min f (p ji ),∀i ɪ{1,2, ,w }p ∗i =p q i p ∗={p ∗1,p ∗2,p ∗3, ,p ∗w }c ∗={c ∗1,c ∗2,c ∗3, ,c ∗w }ìîíïïïïïï(7)式中,q 为适应度值;p ∗i 为第i 政党的领袖;p ∗为政党领袖集合;c ∗j 为第j 选区获胜者,即议员;c ∗为选区获胜者集合㊂(2)竞选活动㊂提高候选人竞选表现,利用RPPUS 更新候选人位置,详见文献[22]105709㊂(3)政党转换㊂每个党员p j i 都以概率τ与随机选择的某政党p v 中好感度最低党员p q i 交换㊂τ=0.9,为政党转换率㊂(4)选举㊂评估所有选区候选人的好感度并宣布获胜者,如式(8)所示:q =arg min 1<i <wf (p j i )c ∗j =pj q{(8)式中,c ∗j 为第j 选区C j 的获胜者㊂(5)议会事务㊂党内选举结束,政府成立㊂每个议员c ∗j 根据某随机选择的议员c ∗v 对其好感度的影响更新其位置㊂2.3㊀Kriging 模型的构造及检验㊀㊀在构造Kriging 模型时,由于相关系数θ影响模型预测精度,需要先优选θ值㊂采用拉丁超立方抽样法,在待修正参数上下20%区间内抽取样本,将其按一定比例分为训练集和测试集,并计算相应的响应特征㊂建立目标函数o θ=ðLl =1ðki =1(y i -y ^i )(9)式中,y^i 为Kriging 模型预测的测试集结点能量;y i 为测试集有限元模型加速度FRF 经过5层小波包分解后提取的结点能量;k 为测试集样本数;L 为响应特征数㊂利用PO,以最小化式(9)迭代求解Kriging 模型最优θ值,建立Kriging 模型㊂利用均方根误差RMSE 和决定系数R 2作为评价准则,校验所构建Kriging 模型的精度㊂RMSE 可表示为e RMSE=1k y -f ðki =1(y ^i -y i )2(10)㊀㊀R 2表示为R 2=1-ðki =1(y ^i -y i )/ðki =1(y i -y -fi )(11)式中,y -f为测试集有限元模型响应特征平均值㊂RMSE 的值越接近于0,R 2值越接近于1,表明Kriging 模型预测响应与有限元模型的计算响应差异越小,所构建Kriging 模型的精度越高;反之,精度越低㊂3㊀交叉熵㊀㊀交叉熵作为一种信息熵,用来衡量两个概率分布之间的相似性[21]1088-1101㊂在连续变量R 上,对于服从正态分布的两个概率密度函数p (x )和q (x ),交叉熵㊀258㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度2023年㊀的定义为H(p,q)=ʏp(x)lg1q(x)d x(12)㊀㊀在离散变量上的定义为H(p,q)=ðp(x)lg1q(x)(13)式中,p(x)为试验分布;q(x)为预测分布㊂均值为λ㊁标准差为δ2的服从正态分布的概率密度分布f(x)的表达式为f(x)=1δ2πe-(x-λ)22δ2(14)㊀㊀对于试验分布p(x)~N(λ1,δ21)和预测分布q(x)~N(λ2,δ22)的概率密度函数,其交叉熵由定义得H(p,q)=12lg(2πδ22)+δ21+(λ21-λ22)2δ22(15)㊀㊀由式(15)可知,q(x)越逼近于p(x),H越逼近于0;反之,H越大㊂4㊀模型修正过程㊀㊀首先,计算有限元模型FRF,进行小波包分解,提取第5层结点能量作为响应特征;其次,利用PO优化Kriging模型的相关系数,构造尽可能准确的Kriging模型代替有限元模型进行计算;最后,采用PO分步求解参数均值和标准差,使有限元模型的响应均值与标准差和仿真试验模型的响应均值与标准差的误差趋于最小㊂具体修正过程如下:第一步,修正参数均值㊂以最小化式(16)为目标,利用PO迭代寻优,对参数均值进行修正㊂o g=ðe i=1|g^i-g t i|(16)式中,g^i为Kriging模型预测的第5层小波包结点能量;g t i为试验加速度FRF经小波包5层分解后提取的结点能量平均值;e为小波包第5层结点能量个数㊂第二步,修正参数标准差㊂此阶段,将交叉熵作为目标函数,依据已修正均值,在每次迭代中随机生成1500组服从正态分布的样本,通过已建立的Kriging 模型预测样本响应,以最小化Kriging模型预测响应与试验响应两者之间的交叉熵为目标,利用PO迭代修正参数标准差㊂模型修正流程如图2所示㊂5㊀数值算例㊀㊀选择图3所示空间桁架结构验证本文所提方法㊂该桁架结构包含66个杆单元㊁28个节点和48个自由度,其中杆单元横截面积为0.0001m2㊂桁架节点铰接,约束条件为4个支座固定(节点1㊁8㊁9㊁16),每个节点只考虑Y向和Z向的平动自由度,激励点和测点分别图2㊀模型修正流程Fig.2㊀Flow chart of model updating如图3中节点23和节点17所示㊂将所有杆的弹性模量E㊁密度ρ的均值和标准差作为桁架结构待修正参数㊂试验模型㊁有限元模型的参数设置如表1所示㊂图3㊀空间桁架模型结构图Fig.3㊀Structure of space truss model表1㊀待修正结构参数均值和标准差Tab.1㊀Mean and standard deviation of structuralparameters to be updated弹性模量Elasticmodulus E/GPa密度Densityρ/(kg/m3)均值Mean标准差Standarddeviation均值Mean标准差Standarddeviation试验值Test value190 1.7780035有限元值Finite element value210 7020 由表1可知,待修正参数弹性模量E和密度ρ的有限元值均值与试验值均值的初始误差分别为9.5%和-10%㊂将模型的加速度FRF进行5层小波包分解后,可得到各个结点的信号特征,提取结点能量的小波㊀第45卷第2期孙永朋等:基于Kriging 模型和小波包能量谱的随机模型修正259㊀㊀包能量谱㊂图4给出了试验模型加速度FRF 经过5层小波包分解后,第5层结点1的信号特征㊂图4㊀第5层小波包分解结点1信号特征Fig.4㊀Signal characteristics of node 1after 5-layerwavelet packet decomposition采用拉丁超立方抽样法抽取500组样本,按4ʒ1的比例分为训练集和测试集,依据2.3节所述方法构造Kriging 模型㊂政治优化算法参数设置:政党数w =8,政党转换率τ=0.9㊂通过PO 对θ进行迭代寻优,所得最优值为0.3591㊂然后,由式(10)㊁式(11)可得均方根误差RMSE 的值为2.7306ˑ10-4,R 2值为0.9998,表明构建的Kriging 模型预测精度高,可以代替有限元模型进行迭代计算㊂使用表1中试验弹性模量E ㊁密度ρ的均值和标准差随机抽取150组样本,计算相应有限元模型的加速度FRF,提取经5层小波包分解后的结点能量,得到仿真试验响应的均值,根据式(16),通过PO 经100次迭代,修正参数均值;然后,根据修正后的参数均值在每次迭代过程中随机生成1500组样本,通过所建立的Kriging 模型预测样本响应,利用PO 经150次迭代,修正参数标准差,修正结果如表2所示㊂图5给出了参数均值迭代收敛曲线,其中纵坐标表示经过标准化的参数均值修正值㊂表2㊀修正前后结构参数均值和标准差Tab.2㊀Initial and updated mean and standard deviationof the structural parameters弹性模量Elastic modulus E /GPa 密度Density ρ/(kg /m 3)均值Mean标准差Standard deviation 均值Mean 标准差Standard deviation 试验值Test value 190 1.7780035有限元值Finite element value 210 7020 修正值Updated value 189.85 1.667795.3333.94修正前误差Pre-updating error /%9.50 10.00 修正后误差Updated error /%0.082.340.063.03㊀㊀由表2可知,修正后弹性模量E ㊁密度ρ的均值误差均低于0.1%,标准差误差均低于3.5%,表明本文所提随机模型修正方法具有较高的修正精度㊂利用表2中修正后的参数均值计算加速度FRF,将其进行5层小波包分解并提取结点能量,对结点能量按从大到小顺序排序,提取能量占比较大的前10个结点绘制能量谱㊂图6给出了试验模型㊁有限元模型和修正后模型的参数均值对应的FRF 曲线,图7给出了小波包结点能量谱㊂图5㊀参数均值迭代曲线Fig.5㊀Iteration curves of parametermean图6㊀FRF 曲线Fig.6㊀Curves of frequency responsefunctions图7㊀第5层小波包结点能量谱Fig.7㊀Node energy spectrum of 5-layer wavelet packet由图6可知,修正后的FRF 曲线与试验模型FRF 曲线基本重合;由图7可知,有限元模型小波包能量谱与试验模型小波包能量谱相差较大,修正后小波包能量谱与试验模型的小波包能量谱基本一致,验证了本文所提方法的有效性㊂㊀260㊀机㊀㊀械㊀㊀强㊀㊀度2023年㊀㊀㊀利用修正后参数均值和标准差随机生成150组样本,提取其小波包结点能量,进一步评估本文所提随机模型修正方法的修正效果㊂图8给出了加速度FRF 经5层小波包分解后,结点5㊁9试验模型和修正后模型的结点能量分布云图和95%置信椭圆图㊂图9给出了第5层小波包结点1㊁2㊁5和9修正前后结点能量的PDF 曲线㊂由图8可知,置信椭圆修正前后基本一致,修正值和试验值的置信椭圆中心偏移较小,由于置信椭圆能够直观反映标准差修正误差,表明修正后的参数均值和标准差与试验模型的较为接近;由图9可知,修正值与试验值的PDF 曲线基本重合㊂上述结果均表明了所提随机模型修正方法取得了很好的效果㊂图8㊀结点能量分布云图及95%置信椭圆Fig.8㊀Distribution nephogram and 95%confidenceellipse of nodeenergy图9㊀第5层小波包结点1㊁2㊁5和9结点能量PDF 曲线Fig.9㊀Node energy PDF curves of 5-layer waveletpacket node 1,2,5and 9为进一步验证本文所提随机模型修正方法的修正精度和效率,分别将加速度FRF 和经过5层小波包分解后提取的结点能量作为响应特征进行模型修正,修正结果如表3所示㊂由表3可知,与加速度FRF 直接作为响应特征相比,将加速度FRF 经过5层小波包分解后,提取的结点能量作为响应特征进行模型修正,不仅提高了修正精度,而且缩短了构建Kriging 模型的时间以及总运行时间,提高了模型修正效率㊂上述分析均基于CPU 为Intel(R)Core(TM)i7-7700HQ,主频为2.80GHz,Matlab2018b 平台运行㊂表3㊀不同响应特征修正结果对比Tab.3㊀Comparison of different characteristic responseupdating results加速度FRFAcceleration FRF小波包结点能量Node energy of wavelet packetE 均值误差Error of E mean /%0.100.08ρ均值误差Error of ρmean /%0.070.06E 标准差误差Error of E standard deviation /% 5.33 2.34ρ标准差误差Error of ρstandard deviation /%5.56 3.03构建Kriging 模型时间Time to construct Kriging model /s380116总运行时间Total running time /min41306㊀结论㊀㊀本文针对模型修正精度和效率低的问题,提出了一种基于Kriging 模型和小波包能量谱的随机有限元模型修正方法,通过构建的精确Kriging 模型对参数均值和标准差进行修正,选用空间桁架结构进行验证,修正效果良好,得到结论:1)利用小波包能量谱能够有效地对加速度FRF进行不同频带分解的特性,将其作为FRF 的特征响应,不仅可以保留FRF 的关键信息,且能够避免FRF 频率点及频率区间的选择难题,减少了修正时间㊂2)利用PO 优选Kriging 模型相关系数值,使建立的具有良好预测能力和拟合效果的Kriging 模型能够代替有限元模型进行计算,提高了修正效率㊂3)利用交叉熵能够有效地衡量两个样本响应概率分布之间相似性的特性,并结合PO 修正参数标准差,提高了模型修正精度㊂参考文献(References )[1]㊀BI S,PRABHU S,COGAN S,et 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第２１卷第９期２０２３年９月动力学与控制学报J O U R N A L O FD Y N AM I C SA N DC O N T R O LV o l ．２１N o ．９S e p．２０２３文章编号:１６７２Ｇ６５５３Ｇ２０２３Ｇ２１(９)Ｇ０２３Ｇ０１０D O I :１０．６０５２/１６７２Ｇ６５５３Ｇ２０２２Ｇ０４１㊀２０２２Ｇ０８Ｇ１７收到第１稿,２０２２Ｇ０９Ｇ１３收到修改稿．∗国家自然科学基金(１２０７２１８１,１１７０２１７０)和机械系统与振动国家重点实验室课题资助项目(M S V ２０２１０５),N a t i o n a lN a t u r a l S c i e n c eF o u n Ｇd a t i o no fC h i n a (１２０７２１８１,１１７０２１７０)a n d t h eS t a t eK e y L a b o r a t o r y o fM e c h a n i c a l S y s t e m s a n dV i b r a t i o n (M S V ２０２１０５)．†通信作者E Ｇm a i l :w e i s h a １２１９＠１２６．c o m基于K r i g i n g 模型的航空发动机管道系统有限元模型修正∗陈奕丰１㊀范鑫２㊀魏莎１,３†㊀郑冰月１㊀丁虎１,３㊀陈立群１,３(１．上海大学力学与工程科学学院,上海㊀２００４４４)(２．中国科学技术大学工程科学学院,合肥㊀２３００２６)(３．上海市应用数学和力学研究所,上海㊀２０００７２)摘要㊀为获得精确可靠的航空发动机外部管道结构动力学模型,采用将K r i g i n g 模型与多目标遗传算法(MO G A )相结合的模型修正方法进行有限元模型修正．首先进行管道模型的模态试验和有限元建模,分别获得模态参数的试验值和有限元分析值;然后在合理的参数选取和试验设计(D O E )的基础上,拟合得到K r i g i n g 模型;最后基于K r i g i n g 模型采用多目标遗传算法进行有限元模型修正,并对比了不同修正方法的精度和修正效果．结果表明:采用K r i g i n g 模型进行有限元模型修正可以有效提升修正效果,获得更为准确的有限元模型;对于航空发动机管道系统,基于K r i g i n g 模型的模型修正方法相较于基于灵敏度分析的模型修正方法具有更高的修正效率和修正精度．关键词㊀管道,㊀有限元模型修正,㊀模态分析,㊀K r i g i n g 模型,㊀灵敏度分析中图分类号:V ２３３;T H １１３．１文献标志码:AF i n i t eE l e m e n tM o d e lU p d a t i n g o f a nA e r o e n g i n eP i pe S y s t e mB a s e do nK r i g i n g Mo d e l ∗C h e nY i f e n g １㊀F a nX i n ２㊀W e i S h a １,３†㊀Z h e n g B i n g y u e １㊀D i n g H u １,３㊀C h e nL i qu n １,３(１．S c h o o l o fM e c h a n i c s a n dE n g i n e e r i n g S c i e n c e ,S h a n g h a iU n i v e r s i t y ,S h a n gh a i ㊀２００４４４,C h i n a )(２．S c h o o l o fE n g i n e e r i n g S c i e n c e ,U n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n dT e c h n o l o g y ofC h i n a ,H e f e i ㊀２３００２６,C h i n a )(３．S h a n g h a i I n s t i t u t e o fA p p l i e d M a t h e m a t i c s a n d M e c h a n i c s ,S h a n gh a i ㊀２０００７２,C h i n a )A b s t r a c t ㊀I no r d e r t oo b t a i na na c c u r a t ea n dr e l i a b l ed y n a m i cm o d e l o f a e r o e n g i n ee x t e r n a l p i p es t r u c Ｇt u r e s ,t h e f i n i t e e l e m e n tm o d e l (F E M )i s u p d a t e db y c o m b i n i n g t h eK r i g i n g m o d e l w i t h t h em u l t i Ｇo b j e c Ｇt i v e g e n e t i c a l g o r i t h m (MO G A )．F i r s t l y ,b o t h t h em o d a l t e s t a n d t h e f i n i t e Ｇe l e m e n t a n a l ys i s a r e c o n d u c Ｇt e d t o i d e n t i f y t h e d y n a m i c c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e p i p e l i n em o d e l ．T h e n ,b a s e d o n t h e s e l e c t e d p a r a m e t e r s a n dD e s i g no f E x p e r i m e n t (D O E ),t h eK r i g i n g s u r r o g a t em o d e l s o f t h e F E Mo f p i p e a r e s e t u p b y me a n s of f i t t i ng ．F i n a l l y ,b a s e do nK r i g i n g s u r r o g a t em o d e l s ,th eF E Mi s u p d a t e db y MO G A ;t h e c o m pa r i s o n i s c o n d u c t e do n t h e a c c u r a c y a n du p d a t i n g e f f e c t o f d i f f e r e n tm o d e l u p d a t i n g me t h o d s ．T h e r e s u l t s s h o w t h a t t h eK r i g i n g s u r r o g a t em o d e l c a nb e a p p l i e d t ou p d a t e t h eF E M ,w h i c hw i l l g r e a t l y i m p r o v e t h e ef f i Ｇc i e n c y a n d a c c u r a c y i n c a l c u l a t i o n ．T h eK r ig i n g m o d e lm e th o d h a s o b vi o u s a d v a n t a g e s o v e r t h e s e n s i t i v i t y a n a l y s i sm e t h o d f o r a e r o e n g i n e p i pe s t r u c t u r e ．K e y wo r d s ㊀p i p e ,㊀f i n i t e e l e m e n tm o d e l u p d a t i n g ,㊀m o d a l a n a l y s i s ,㊀K r i g i n g m o d e l ,㊀s e n s i t i v i t y a n a l Ｇys i s动㊀力㊀学㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报２０２３年第２１卷引言航空发动机外部管路是航空发动机的重要组成部分,如同血管一般为航空发动机输送燃料㊁液压油等工作介质．由于航空发动机外部管路具有结构的复杂性㊁激励的多源性以及耦合的关联性,在其工作过程中极易发生管路系统共振,从而降低整个系统的安全可靠性[１,２]．目前航空发动机管路的振动特性分析多聚焦于流固耦合方面,缺少对管道模型结构本身的研究．为此,针对航空发动机外部基本管道建立精确的有限元模型是十分必要的．在工程设计阶段,基于已有参数建立的有限元模型由于受到局部网格划分㊁材料参数不确定以及模型固有的阶次误差㊁离散误差等因素的影响[３],有限元模型预测结果与实验结果之间会存在一定误差,从而使得初始模型很难反映实际几何结构．为保证模型的状态预测㊁分析与评估具有实际意义,需要基于模态试验数据对初始有限元模型加以修正．有限元模型修正的本质在于通过修正有限元模型中的相关参数,缩小有限元模拟结果与试验实测结果之间的误差,从而建立出更高精度的有限元模型,以替代实际结构进行分析与监测．传统的模型修正方法主要分为矩阵法和参数法[４]．参数法通过调整设计参数以实现修正目标,同矩阵法相比更容易在工程中实现应用．代理模型方法是参数法中应用十分广泛的一种．所谓代理模型,通常是指在分析和优化设计过程中可替代那些比较复杂和费时的数值分析的近似数学模型,也称为响应面模型㊁近似模型或元模型[５,６]．使用代理模型方法可以极大地提高计算效率,还能同其他优化算法相结合．常用的代理模型有多项式响应面模型[７,８]㊁径向基函数模型[９,１０]和K r i g i n g模型[１１,１２]等．K r i g i n g模型是一种基于随机过程的代理模型,被称为样本点的无偏线性估计函数[１３]．K r i g i n g模型在结构优化与可靠性分析领域中应用广泛,其优势在于针对非线性结构进行模型修正具有较强的适用性,在较少样本点的情况下依然能保障较高的修正精度．该模型不仅在地质㊁水文㊁气象㊁环境科学等自然科学领域得到应用,也在航空航天㊁汽车等工程科学领域得到研究㊁发展和应用[１４]．例如,王文竹等[１５]引入K r i g i n g模型,对鼓式制动器稳定性进行了优化设计,抑制了制动噪声;张文鑫等[１６]使用自适应K r i g i n g结合M o n t eC a r l o模拟以及所提停止准则计算了涡轮盘盘心低周疲劳寿命可靠性,验证了该方法的可靠性;C u i等[１７]将K r i g i n g模型引入空间仪器的热模型修正中,使模型区域的温度值与热平衡实验结果相接近;Y i n等[１８]构建了K r i g i n g模型㊁二次多项式模型和径向基函数模型三种代理模型,针对平面桁架有限元模型进行了有限元模型修正,并对比了三种方法的异同．本文以航空发动机管道模型为研究对象,通过模态试验和有限元建模得出管道模态试验值和有限元分析值,然后选取合适的待修正参数和试验设计(D e s i g n o fE x p e r i m e n t,D O E)方法,构建出K r i g i n g代理模型．利用构建好的代理模型代替有限元模型,基于多目标遗传算法(m u l t io b j e c t i v e g e n e t i c a l g o r i t h m,MO G A)实现对管道模型的有限元模型修正．通过将采用K r i g i n g模型的修正结果与灵敏度分析方法的修正结果进行对比,验证了所用模型修正方法的可行性．１㊀管道模态试验１．１㊀模态试验方案选取某航空发动机管道模型作为研究对象．管道部件由导管㊁堵头㊁锁紧螺母㊁支座㊁垫圈㊁直通管接头㊁扩口式平管嘴和外套螺母构成,管道模型结构如图１所示．图１㊀管道模型结构示意图F i g．１㊀S c h e m a t i c d i a g r a mo f t h e p i p em o d e l s t r u c t u r e４２第９期陈奕丰等:基于K r i g i n g 模型的航空发动机管道系统有限元模型修正模型中导管为两端带扩口的直径６mm ,壁厚０．６m m 的５００m m 不锈钢直管,密度为７９３０k g/m ３,弹性模量为１９４G P a ,泊松比为０．３．导管与支座之间采用螺栓连接方式,外套螺母和管嘴起到导管与直通管接头之间的密封连接作用．整体模型通过沉头螺栓紧固安装在铸铁试验台上,最大程度上降低了环境的影响．由于本文主要分析管道系统中硬管干模态下的振动特性,故忽略模型两端软管及其连接件,模型各组件材料参数如表１所示．表１㊀管道模型各组件材料参数T a b l e １㊀M a t e r i a l p a r a m e t e r s f o r e a c hc o m po n e n t o f t h e p i pem o d e l A s s e m b l yu n i t D e n s i t y (g c m －３)M o d u l u s o fe l a s t i c i t y/G P a P o i s s o nr a t i o P i pe l i n e ７．９３０１９４０．３P l u g g i n g h e a d ７．８５０２１００．３１L o c kn u t ７．８５０２１００．３１W a s h e r１１．３４４１７０．４２P i p e jo i n t ７．８５０２１００．３１S l e e v e n u t４．５１０１１００．３４F l a r e dn o z z l e ７．９３０１９４０．３S u p po r t ２．８１０７１０．３３为分析系统模态特性,选用L M S 数据采集仪㊁P C B 冲击锤和P C B 单轴加速度传感器对管道模型进行模态试验,试验模态测试系统如图２所示．图２㊀试验模态测试系统示意图F i g ．２㊀S c h e m a t i c d i a g r a mo fm o d e t e s t s ys t e m 在试验模态测试过程中,利用冲击力锤施加脉冲激励,采用单点激励多点响应的形式[１９],将力传感器信号和拾振点处单轴加速度传感器信号反馈给数据采集系统,采集输入输出信号,基于多参考点最小二乘复频域方法(P o l yr e f e r e n c el e a s t Ｇs q u a r e s c o m p l e x f r e q u e n c y Ｇd o m a i nm e t h o d ,P o l y ＧMA X )[２０]对输入输出信号进行分析处理,进而获得系统模态参数．在导管表面从端部起每隔５０mm 布置一个测点,共布置１１个测点,如图３所示．为确保试验结果真实有效,每次敲击均由同一名试验人员依次对测点进行横向激励并进行５次有效平均．图３㊀测点布置示意图F i g ．３㊀S c h e m a t i c d i a gr a mo fm e a s u r e m e n t p o i n t s １．２㊀试验结果分析基于上述试验测试方案,得出管道模型前５阶模态频率为１２８．７６H z ㊁２１８．６２H z ㊁４０９．３７H z㊁６５１．５６H z ㊁１０４９．７６２H z ．试验模型的前５阶模态振型如图４所示．图４㊀模型前５阶模态振型示意图F i g ．４㊀S c h e m a t i c d i a g r a mo f t h e f i r s t f i v em o d a l s h a p e s o f t h e s ys t e m 管道模型整体在－z 方向力锤激励下发生横向振动,随着模态阶次的增加,振型中波数和节点数随之增加．由第二阶振型㊁第四阶振型和第五阶振型可以明显看出,管道端部存在较大的位移．因此,建模时不能仅将导管端部视为固定端约束,需要考虑到管道端部连接结构对试验模型整体模态的影响．５２动㊀力㊀学㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报２０２３年第２１卷２㊀管道有限元建模及分析针对直管管道试验模型,采用S O L I DWO R K S三维建模软件和A N S Y S 有限元软件进行了有限元建模㊁网格划分和动力学特性分析．在A N S Y S中建立的有限元模型如图５所示．导管部分采用六面体单元(H E X A )划分网格,两端连接组件及支座部分采用四边形单元(Q U A D ４)划分网格,共２５３０９个单元．根据接触设置分析算例[２１]并结合工程实际,将与直通管接头外圆柱面接触的外套螺母㊁锁紧螺母㊁堵头等组件与直通管接头之间的接触方式设置为绑定接触,其余接触均设置为粗糙接触,支座底面设置为固定端约束面．使用A N S Y S 对有限元模型进行模态分析,提取前５阶模态参数结果,模态频率的对比结果如表２所示．有限元分析结果与实测模态结果中,模态频率误差在２０％以内,各阶振型无较大差异,具有一定的相关性．同时,实测模态频率与有限元分析结果相比最大误差达到８．６０％,各阶误差均超过５％,超出工程实际中可接受的范围,有必要进行有限元模型修正．为探究支座及管接头组件对有限元模型的影响,建立了去除全部管接头组件的有限元模型A 和仅去除支座的有限元模型B 并分别进行模态分析,模态频率结果如表２所示．模型A 的最大误差达到７６．５８％,模型B 的最大误差达到９３．７５％,误差远超过工程实际中可接受的范围．模型A 和模型B 与实际结构之间存在振型不匹配现象．相比于模型A 和模型B ,完整模型的模态参数更加接近于实测模态参数．可见支座和管接头连接组件对试验模型整体模态参数具有较大影响,建模时应予以保留．表２㊀计算模态频率与实测模态频率的对比T a b l e ２㊀C o m p a r i s o no f c a l c u l a t e dm o d a l f r e q u e n c i e s a n dm e a s u r e dm o d a l f r e qu e n c i e s M o d e M e a s u r e dv a l u e /H z C o m pl e t em o d e l C a l c u l a t e dv a l u e /H z E r r o r/％M o d e lAC a l c u l a t e dv a l u e /H z E r r o r /％M o d e l BC a l c u l a t e dv a l u e /H z E r r o r /％１１２８．７６１３６．４３５．９６１２９．９３０．９１１４３．７１１１．６１２２１８．６２２３１．０３５．６８３５７．３７６３．４７３９４．３４８０．３８３４０９．３７４３４．４４６．１２６９８．５４７０．６４７６８．７９８７．８０４６５１．５６６９６．６４６．９２１１５０．５０７６．５８１２６２．４０９３．７５５１０４９．７６１１４０．００８．６１７１１．２０６３．０１１８７０．７０７８．２０图５㊀系统有限元模型F i g ．５㊀F i n i t e e l e m e n tm o d e l o f t h e s ys t e m ３㊀管道有限元模型修正基于K r i g i n g 模型的有限元模型修正流程如图６所示．可大致概括为３个主要流程:①将模态试验实测数据与有限元模型模拟结果进行自由度匹配与相关性分析,确保有限元模型与实际结构具有一定的相关性．其中,若有限元分析频率与实测模态频率的误差在２０％以内且有限元分析振型与实测模态振型之间无较大差异,则视为满足相关性条件．②K r i g i n g 模型的生成．首先选取合适的待修正参数并进行试验设计,使得在一定的样本空间内图６㊀基于K r i g i n g 模型的有限元模型修正流程图F i g ．６㊀F l o wd i a g r a mo f f i n i t e e l e m e n tm o d e l u p d a t i n gb a s e do n t h eK r i g i n g mo d e l 最大化获取修正空间内信息．常用的试验设计方法６２第９期陈奕丰等:基于K r i g i n g 模型的航空发动机管道系统有限元模型修正有正交设计㊁均匀设计㊁D 最优设计㊁中心复合设计抽样㊁拉丁超立方抽样等．之后基于训练样本拟合K r i g i n g 模型并检验模型精度直至符合精度要求．③针对目标函数的修正．在所拟合的K r i g i n g 模型的基础上,构建目标函数,之后引入如遗传算法㊁退火模拟算法㊁粒子群算法等优化算法对目标函数进行迭代处理,获取参数修正值．３．１㊀参数筛选与试验设计根据工程经验,初选结构中部分组件的材料参数和几何参数作为待修正参数．管道模型中选择的修正对象有导管密度㊁导管弹性模量㊁支座密度㊁支座弹性模量㊁外套螺母密度㊁外套螺母弹性模量等６个材料参数及导管内径㊁直通管接头长度㊁垫圈厚度㊁外套螺母长度等４个几何参数共１０个参数．基于斯皮尔曼(S pe a r m a n )等级相关系数[２２],分析各初选几何参数和材料参数对前５阶模态频率的灵表３㊀设计参数取值范围T a b l e ３㊀R a n g e o f d e s i gn p a r a m e t e r s D e s i gn p a r a m e t e r s I n i t i a lv a l u e L o w e rl i m i t U p pe r l i m i t P i p e l i n e d e n s i t y ρ１/(g c m －３)７．９３７．７７１８．０８９E l a s t i cm o d u l u s o f p i p e l i n e E １/G P a １９４１９０．１２０１９７．８８０S u p p o r t d e n s i t y ρ２/(g c m －３)２．８１２．７５４２．８６６E l a s t i cm o d u l u s o f s u p p o r t E ２/G P a ７１６９．５８０７２．４２０S l e e v en u t d e n s i t y ρ３/(g c m －３)４．５１４．４２０４．６００E l a s t i cm o d u l u s o f s l e e v e n u t E ３/G P a １１０１０７．８００１１２．２００I n n e r d i a m e t e r o f p i pe l i n e d /mm ４．８４．７０４４．８９６P i p e j o i n t l e n g t h L １/mm ４７４６．０６０４７．９４０W a s h e r t h i c k n e s s t /mm ２１．９６０２．０４S l e e v en u t l e n gt h L ２/mm １７１６．６６０１７．３４０图７㊀参数灵敏度分析F i g ．７㊀P a r a m e t e r s e n s i t i v i t y a n a l ys i s 敏度．选取显著性水平为０．０５,对各待修正参数设置上下２％的微小变化,如表３所示．计算前五阶频率对各参数的灵敏度,如图７所示．结合工程经验,剔除灵敏度相对较小的参数,选取导管内径d ㊁导管密度ρ１㊁导管弹性模量E １和支座弹性模量E ２四个参数作为待修正参数．试验设计方法采用拉丁超立方抽样方法,共选取了２５个样本点,如表４所示．拉丁超立方抽样是一种基于分层抽样思想的方法,将变量的概率分布函数分成数个互不重叠的等概率子区间,然后在每个子区间内进行独立随机采样,确保能在每个子区间内精确采样[２３]．表４㊀拉丁超立方抽样设计T a b l e ４㊀L a t i nh y p e r c u b e s a m p l i n g d e s i gn S a m pl eN o ．dρE １E ２１４．８００７．８０３１７６．９２８７０．４３２２４．９５４８．２４７２００．２０８６９．８６４３４．３３９７．９３０２０６．４１６６６．４５６４４．８７７８．６２８１９５．５５２６９．２９６５４．４１６７．４２２１８４．６８８７４．９７６６５．２２２８．１２０１８３．１３６７６．１１２７４．８３８８．３１１２０１．７６０７５．５４４８５．１８４７．５４９１９７．１０４７１．０００９４．６０８８．３７４１８６．２４０７３．８４０１０４．５３１７．４８６２１２．６２４７７．８１６１１４．６８５７．２９６１７５．３７６６４．７５２１２４．４９３８．５６４１９２．４４８７１．５６８１３４．７６１８．５０１１８７．７９２６８．１６０１４４．９９２７．７４０２０７．９６８６５．３２０１５４．６４６８．６９１１８１．５８４７６．６８０１６５．１０７７．６７６２０３．３１２６８．７２８１７５．０６９７．６１３１９０．８９６７７．２４８１８４．９１５７．９９３２０９．５２０６５．８８８１９４．４５４７．２３２１８９．３４４６７．０２４２０４．３７８８．１８４２１１．０７２６７．５９２２１４．７２３８．０５７１９８．６５６７４．４０８２２５．１４６８．４３８１７８．４８０６４．１８４２３５．２６１７．８６７２０４．８６４７２．１３６２４４．５７０７．３５９１８０．０３２７３．２７２２５５．０３０７．１６９１９４．０００７２．７０４３．２㊀K r i g i n g 模型构造K r i g i n g 模型是一种基于随机过程的半参数化７２动㊀力㊀学㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报２０２３年第２１卷模型,由线性回归部分和非参数随机部分组成．对于一组给定的输入参数和输出响应X ＝[x １,x ２, ,x m ]T 和输出响应Y ＝[y １,y ２, ,y m ]T ,K r i g i n g 模型的数学形式可表示为y (x i )＝ðpl ＝１βl f l(x i )＋z (x i )＝f T(x i )β＋z (x i )(１)式中,f l (x i )是基函数,βl 是基函数系数,z (x i )为拟合偏差函数,是对模型局部偏差的近似,f (x i )＝[f １(x i ),f ２(x i ), ,f p (x i )]T 是关于样本x 的多项式向量,β＝[β１,β２, ,βp ]T是线性回归系数向量,z (x )服从正态分布N (０,σ２z)并具有非零协方差,其协方差表达式为C o v [z (x i ),z (x j )]＝σ２z R (２)式中,z (x i ),z (x j )为任意两个样本点x i 和x j 的局部偏差;R 是由R i j (x i ,x j )组成的相关函数矩阵．R i j (x i ,x j )是一种可选定的相关函数,表示任意两个样本点间的空间相关性．本文选取工程中常用的高斯函数作为相关函数,其形式如下R i j (x i ,x j )＝e x p －ðnk ＝１θk x ki －x k j２()(３)式中,x ki和x k j分别为样本点x i 和x j 的第k 个分量;n 为设计变量的数目;θk 为未知的相关系数,控制不同维度上的相关衰减率．在训练K r i g i n g 模型中的参数时,通常使用最大似然估计．样本点的似然函数可表示为:L ＝１(２πσ２z )m Re x p －(Y －F β)TR －１(Y －F β)２σ２z éëêêùûúú(４)式中R 是相关函数矩阵R 的行列式,F 为样本点处f (x )向量值组成的矩阵．β和σ２z 的最小二乘估计可以表示为β^＝(F TR －１F )－１F TR －１Y (５)σ^２z ＝[(Y －F β)T R －１(Y －F β)]/m (６)将β和σ２z 最小二乘估计代入样本点的似然函数,忽略常数项并取对数,即可得到最大似然函数的对数形式为－n ２l n (σ２z )－１２l n R (７)σ２z和R 均为θk 的函数,通过优化算法求得式(７)的最大值,即可确定θk 的值．对于任意待测点x ０,最终响应的最佳线性无偏预测结果可表示为y ^(x ０)＝f T (x ０)β^＋r T(x ０)R －１(Y －F β^)(８)式中r T (x ０)＝[R (x ０,x １),R (x ０,x ２), ,R (x ０,x n )]基于上述K r i g i n g 模型理论,采用表４所示的拉丁超立方设计中的样本,拟合管道模型模态频率与四个设计变量之间的函数关系,绘制K ri g i n g 响应曲面,部分结果如图８所示．图８㊀模态频率响应曲面图F i g ．８㊀R e s p o n s e d i a g r a mo fm o d a l f r e qu e n c i e s ３．３㊀K r i g i n g 模型拟合精度分析为确定该模型能否代替有限元模型进行后续结构响应值的计算分析,对K r i g i n g 模型进行精度校验．常用的精度校验评价指标有:决定系数R ２㊁修正可决系数R ２a d j ㊁均方根误差R M S E 等[２４]．本文选用决定系数和均方根误差R M S E 两种检验标准,如式(９)和式(１０)所示．R ２＝１－ðKi ＝１(y i－y ^i )２ðKi ＝１(y i－y －)２(９)R M S E ＝１K y－ðKi ＝１(yi －y ^i )２(１０)式中,y i 为设计点处有限元计算值;y ^i 为响应面计算值;y －为有限元计算结果的平均值,K 为样本点总数．R ２ң１．表明代理模型与原模型相似度高,R M S E ң０表示代理模型误差小．K r i g i n g 模型精度检验结果如表５所示．结果显示前五阶决定系数均为１且R M S E 都接近于０,这表明所拟合的K r i gＧi n g 代理模型误差小㊁拟合精度高,可以作为原有限８２第９期陈奕丰等:基于K r i g i n g 模型的航空发动机管道系统有限元模型修正元模型的替代模型．表５㊀模态频率决定系数和均方根误差T a b l e ５㊀D e t e r m i n a t i o n c o e f f i c i e n t a n d r o o tm e a ns q u a r e e r r o r o fm o d a l f r e qu e n c i e s M o d e R ２RM S E１１３．０４E －０９２１１．６２E －０８３１１．０９E －０８４１２．７４E －０８５１１．１３E －０７３．４㊀模型修正及结果分析本文以修正后的管道模型有限元模型与实际管道模型响应尽可能接近为总体目标,利用模态试验所得模态频率构建的目标函数为m i n F (x )＝ðmi ＝１f ~i －f i f~i æèçöø÷２㊀s ．t ．㊀xjl o wɤx jɤx ju p ㊀(j ＝１,２,．．．,n )(１１)式中,f ~i 为第i 阶实测模态频率;f i 为第i 阶计算模态频率;x j 为第j 阶修正参数,x j l o w 和x ju p 为修正参数的最小值和最大值;m 为参与修正的样本个数;n 为修正参数的个数．基于拟合的K r i g i n g 模型,本文选用MO G A 遗传算法对目标函数进行求解优化．MO G A 遗传算法是基于受控精英主义策略的快速非支配排序遗传算法(N S G A ＧⅡ)[２５]的变体,它可以允许多个目标和约束,能获得分布均匀且兼具多样性的P a Ｇr e t o 解集．基于MO G A 遗传算法进行优化求解,最初生成４０００个样本,每次迭代生成８００个样本,并在最多２０次迭代中筛选出３个数据较好的样本点,在６９３７次评估后收敛,得到最终的K r i gＧi n g 模型修正结果．为验证本文模型修正方法的修正精度和修正效率,将K r i g i n g 模型修正方法与传统模型修正方法灵敏度方法进行对比,两种方法获得的管道模型修正前后的结构参数和模态频率的结果分别如表６和表７所示．表６㊀管道模型修正前后结构参数表T a b l e ６㊀C o m p a r i s o no f t h e p i p e l i n e s t r u c t u r a l p a r a m e t e r sb e f o r e a n da f t e rm o d e l u p d a t i n gP a r a m e t e rI n i t i a l v a l u eU p d a t e dm o d e l b a s e d U pd a te dv a l u e o nK r i g i n g mo d e l E r r o r /％U p d a t e dm o d e l b a s e d U pd a te dv a l u e o ns e n s i t i v i t y a n a l ys i s E r r o r /％d ４．８４．７７００．６２４．５７８４．８５ρ７．９３８．３９４５．８５８．１８８３．１５E １１９４１８０．６９０６．８６１８２．０２８６．５８E ２７１６３．９１５９．９８６９．１０１２．７５表７㊀管道模型修正前后模态频率结果表T a b l e ７㊀C o m p a r i s o no f p i p e l i n em o d a l f r e q u e n c i e sb e f o r e a n da f t e rm o d e l u p d a t i n gM o d eN o ．T e s t r e s u l t s /H zO r i gi n a lm o d e l F r e qu e n c i e s /H z E r r o r /％U p d a t e dm o d e l b a s e d F r e q u e n c i e s /H z o nK r i g i n g m o d e l E r r o r /％U p d a t e dm o d e l b a s e d F r e qu e n c i e s /H z o n s e n s i t i v i t y a n a l ys i s E r r o r /％１１２８．７６１３６．４３５．９６１２７．５４０．９６１２７．４０１．０６２２１８．６２２３１．０３５．６８２１８．５５０．０３２２４．３６２．５６３４０９．３７４３４．４４６．１２４１１．５４０．５３４１４．５８１．２６４６５１．５６６９６．６４６．９２６５１．５４０．００６５１．４９０．０１５１０４９．７６１１４０．００８．６０１０６５．０５１．４３１０６９．１８１．８２㊀㊀从表中可以发现:(１)通过灵敏度方法和K r i g i n g 模型修正方法修正后,管道各参数修正率较为接近,可以相互证实所提修正方法的可行性．(２)采用K r i g i n g 模型修正方法,修正前有限元模型与试验值之间各阶误差均超过工程允许的５％的误差范围,修正后将有限元模型误差同修正前原始误差相比,最大误差由８．６０％变为１．４３％,各阶相对误差均在５％以内,已满足工程实际的计算需求．(３)灵敏度分析方法得到的最大相对误差达到２．５６％,修正精度略逊于K r i g i n g 模型．同时,在同一系统上进行计算时,采用灵敏度分析方法进行修正需耗时２h ,而采用K r i g i n g 模型进行修正只需５m i n ,可９２动㊀力㊀学㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报２０２３年第２１卷见K r i g i n g 模型在计算效率方面具有显著的优越性．图９给出了重点修正的模态阶次所对应的模态振型．从结果中可以看出,通过K r i g i n g 模型修正后的有限元计算振型与实测振型具有较好的一致性,进一步说明了采用K r i g i n g 模型修正方法对管道结构进行有限元模型修正的适用性．图９㊀修正后模态振型与试验模态振型F i g ．９㊀U p d a t e dm o d e s h a p e s a n d t e s tm o d e s h a pe s ４㊀结论本文以某航空发动机管道模型为研究对象,采用力锤法进行了结构的模态试验并得出模态参数,通过A N S Y S 有限元分析软件建立有限元模型并进行模态分析,对比实测模态数据与有限元分析结果以确定有限元模型的精确度．结合工程经验与灵敏度分析方法筛选出待修正参数,采用拉丁超立方抽样设计进行试验设计,拟合出模态频率与结构参数之间的K r i g i n g 模型,利用MO G A 遗传算法完成了有限元模型修正．根据模态试验与有限元模型修正的结果,可得出以下结论:(１)通过对管道模型的模态试验结果进行分析,得到了管道模型的模态参数．其中,管道振型中端部有较大位移,管接头连接组件和支座对模态参数有较大影响,建模时应予以保留．(２)利用K r i g i n g 模型代替复杂的管道有限元模型进行有限元模型修正可以明显提高计算精度和效率．同修正前的有限元模型相比,所得各阶模态频率最大误差由８．６０％降为１．６３％,各阶相对误差均在５％以内,满足工程实际的计算需求．(３)对于管道结构,K r i g i n g 模型修正方法同灵敏度分析方法相比具有更高的修正精度和修正效率．灵敏度分析方法最大误差为２．５６％,K r i g i n g 模型修正方法最大误差为１．４３％,K r i g i n g 模型修正方法修正精度优于灵敏度分析方法．修正后的有限元模型能起到更好的预测效果,可为此类管系结构模型修正提供参考．参考文献[１]汪博,高培鑫,马辉,等．航空发动机管路系统动力学特性综述[J ]．航空学报,２０２２,４３(２):０２５３３２．WA N GB ,G A OPX ,MA H ,e t a l ．D yn a m i c c h a r Ｇa c t e r i s t i c so fa e r o Ｇe n g i n e p i p e l i n e s y s t e m :r e v i e w [J ]．A c t aA e r o n a u t i c a e tA s t r o n a u t i c aS i n i c a 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Z H ,Z I MM E R MA N N ,G O R T ZS ．A l t e r n a Ｇt i v ec o k r i g i n g m o d e lf o rv a r i a b l e Ｇf i d e l i t y s u r r o g a t e m o d e l i n g [J ]．A I A AJ o u r n a l ,２０１２,５０(５):１２０５－０３第９期陈奕丰等:基于K r i g i n g模型的航空发动机管道系统有限元模型修正１２１０．[６]HA N Z H,G O R T ZS．H i e r a r c h i c a lk r i g i n g m o d e lf o r v a r i a b l eＧf i d e l i t y s u r r og a t e m o d e l i n g[J]．A I A AJ o u r n a l,２０１３,５０(９):１８８５－１８９６．[７]D I N G YJ,WA N G ZC,C H E N G,e t a l．M a r k o vC h a i n m o n t ec a r l oＧb a s e db a y e s i a n m e t h o df o rn o nＧl i n e a rs t o c h a s t i c m o d e l u p d a t i n g[J]．J o u r n a lo fS o u n da n dV i b r a t i o n,２０１９,５２０:１１６５９５．[８]秦仙蓉,潘杰,徐俭,等．塔式起重机结构有限元模型修正的响应面方法[J]．振动与冲击,２０１８,３７(６):２４４－２５０．Q I N X R,P A NJ,X U J,e ta l．R e s p o n s es u r f a c em e t h o d f o r t h e s t r u c t u r a l f i n i t e e l e m e n tm o d e l u p d aＧt i n g o f t o w e rc r a n e s[J]．J o u r n a lo fV i b r a t i o na n dS h o c 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g模型的多目标代理优化算法及其收敛性评估[J]．计算机集成制造系统,２０２１,２７(７):２０３５－２０４４．Z HA N GJX,S O N G MS,F A N GX H,e t a l．K r i gＧi n gＧa s s i s t e d m u l t iＧo b j e c t i v e o p t i m i z a t i o n a l g o r i t h ma n d i t s c o n v e r g e n c e a s s e s s m e n t[J]．C o m p u t e r I n t eＧg r a t e d M a n u f a c t u r i n g S y s t e m s,２０２１,２７(７):２０３５－２０４４．(i nC h i n e s e)[１３]WA N GJT,WA N GCJ,Z HA OJ P．F r e q u e n c y r eＧs p o n s e f u n c t i o nＧb a s e dm o d e l u p d a t i n g u s i n g K r i g i n gm o d e l[J]．M e c h a n i c a l S y s t e m sa n dS i g n a lP r o c e s sＧi n g,２０１７,８７:２１８－２２８．[１４]韩忠华．K r i g i n g模型及代理优化算法研究进展[J]．航空学报,２０１６,３７(１１):３１９７－３２２５．HA NZ H．K r i g i n g s u r r o g a t em o d e l a n d i t s a p p l i c aＧt i o n t od e s i g no p t i m i z a t i o n:ar e v i e wo f r e c e n t p r oＧg r e s s[J]．A c t aA e r o n a u t i c ae tA s t r o n a u t i c aS i n i c a,２０１６,３７(１１):３１９７－３２２５．(i nC h i n e s e)[１５]王文竹,李杰,刘刚,等．基于K r i g i n g代理模型鼓式制动器稳定性的优化设计[J]．振动与冲击,２０２１,４０(１１):１３４－１３８＋１６２．WA N G W Z,L I J,L I U G,e t a l．O p t i m i z a t i o nd eＧs i g no f d r u mb r a k e s t a b i l i t y b a s e do nK r i g i n g s u r r oＧg a t e m o d e l[J]．J o u r n a lo f V i b r a t i o na n d S h o c k,２０２１,４０(１１):１３４－１３８＋１６２．(i nC h i n e s e) [１６]张文鑫,吕震宙．一种新的自适应K r i g i n g法停止准则及其在涡轮盘疲劳寿命可靠性中的应用[J]．机械工程学报,２０２２,５８(６):２６３－２７３．Z HA N G W X,L V Z Y．N e ws t o p p i n g c r i t e r i o no fa d a p t i v eK r i g i n g m e t h o da n di t sa p p l i c a t i o ni nf aＧt i g u e l i f e r e l i a b i l i t y f o r t u r b i n ed i s k[J]．J o u r n a lo fM e c h a n i c a l E n g i n e e r i n g．２０２２,５８(６):２６３－２７３．(i nC h i n e s e)[１７]C U IQL,L I N G Y,C A O DS,e t a l．T h e r m a l d eＧs i g n p a r a m e t e r sa n a l y s i sa n d m o d e lu p d a t i n g u s i n gK r i g i n g m o d e l f o rs p a c ei n s t r u m e n t s[J]．I n t e r n aＧt i o n a lJ o u r n a l o f T h e r m a l S c i e n c e s,２０２２,１７１:１０７２３９．[１８]Y I N H,MAJ J,D O N GKL,e t a l．M o d e l u p d a t i n g m e t h o db a s e do n K r i g i n g m o d e l f o rs t r u c t u r a ld yＧn a m i c s[J]．S h o c k a n d V i b r a t i o n,２０１９,２０１９:８０８６０２４．[１９]李星占,董兴建,岳晓斌,等．振动响应传递率的动力学特性研究及其在工作模态分析中的应用[J]．振动与冲击,２０１９,３８(９):６２－７０．L IX Z,D O N G X J,Y U E X B,e ta l．D y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c so fv i b r a t i o nr e s p o n s e t r a n s m i s s i b i l i t ya n d i t s a p p l i c a t i o n i no p e r a t i o n a lm o d a l a n a l y s i s[J]．J o u r n a l o fV i b r a t i o na n dS h o c k,２０１９,３８(９):６２－７０．(i nC h i n e s e)[２０]P E E T E R SB,A U W E R A E R H VD,G U I L L A U M EP,e t a l．T h e P o l y MA Xf r e q u e n c y d o m a i n m e t h o d:an e ws t a n d a r df o r m o d a l p a r a m e t e re s t i m a t i o n[J]．S h o c ka n dV i b r a t i o n,２００４(１１):３９５－４０９．[２１]沈旻昊．飞机液压管路的简化建模及振动特性分析[D]．西安:西安电子科技大学,２０１４:１５－１８．S H E N M H．S i m p l i f i e dm o d e l i n g a n d v i b r a t i o n a n a lＧy s i s o f t h ea i r c r a f th y d r a u l i c p i p e l i n e[D]．X i a n:X i d i a nU n i v e r s i t y,２０１４:１５－１８．(i nC h i n e s e) [２２]王逸龙,李晶,赵雪梅,等．基于优化设计的印制板组件精细化动力学建模方法[J]．动力学与控制学报,２０１７,１５(６):５１８－５２４．WA N G YL,L I J,Z HA OX M,e t a l．Ar e f i n e d a pＧ１３动㊀力㊀学㊀与㊀控㊀制㊀学㊀报２０２３年第２１卷p r o a c hf o rd y n a m i c m o d e l i n g o fa p r i n t e dc i r c u i t e db o a r da s s e m b l y b a s e do no p t i m i z a t i o nd e s i g n[J]．J o u r n a l o fD y n a m i c s a n dC o n t r o l,２０１７,１５(６):５１８－５２４．(i nC h i n e s e)[２３]万华平,任伟新,王宁波．高斯过程模型的全局灵敏度分析的参数选择及采样方法[J]．振动工程学报,２０１５,２８(５):７１４－７２０．WA N H P,R E N W X,WA N G N B．A G a u s s i a np r o c e s s m o d e lb a s e d g l o b a ls e n s i t i v i t y a n a l y s i sa pＧp r o a c hf o r p a r a m e t e rs e l e c t i o na n ds a m p l i n g[J]．J o u r n a l o fV i b r a t i o nE n g i n e e r i n g,２０１５,２８(５):７１４－７２０．(i nC h i n e s e)[２４]J I N Y．Ac o m p r e h e n s i v es u r v e y o f f i t n e s sa p p r o x iＧm a t i o n i ne v o l u t i o n a r y c o m p u t a t i o n[J]．S o f tC o mＧp u t i n g,２００５,９(１):３－１２．[２５]彭涛,田仲初,张建仁,等．基于多目标优化的混凝土斜拉桥静动力有限元模型修正[J]．振动与冲击,２０１８,３７(２１):１０８－１１６．P E N GT,T I A NZC,Z HA N GJR,e t a l．S t a t i c a n dd y n a m i c f i n i te e l e m e n tm o d e l u p d a t i n gf o r a c o n c r e t ec a b l eＧs t a y e db r id g eb a se do n m u l t iＧo b j e c t i v eo p t i m iＧz a t i o n[J]．J o u r n a lo fV i b r a t i o na n dS h o c k,２０１８,３７(２１):１０８－１１６．(i nC h i n e s e)２３。