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基于模态测试的宽幅钢箱梁斜拉桥有限元模型对比与修正陈林;肖阳;汪洋【摘要】为研究不同有限元建模方法的准确性,以东平水道特大桥为工程背景,分剐建立了单主梁、双主梁及板壳单元三种有限元模型,计算得到了桥梁的多阶模态,并与模态试验的实测结果进行了对比.结果表明:板壳单元模型具有最高的精度,在宽幅钢箱梁斜拉桥的模态测试中,宜优先采用板壳单元建模.在板壳单元模型基础上,还采用二阶响应面法对其进行了模型修正,经修正后的模型精度有了进一步的提高.【期刊名称】《新余学院学报》【年(卷),期】2018(023)004【总页数】5页(P5-9)【关键词】钢箱梁;斜拉桥;有限元;模型修正【作者】陈林;肖阳;汪洋【作者单位】广州大学土木工程学院,广东广州510006;广州大学土木工程学院,广东广州510006;广州大学土木工程学院,广东广州510006【正文语种】中文【中图分类】TU997桥梁结构的动态特性是评估桥梁结构整体状态性能的重要参数[1-2] ，如桥梁的自振频率、振型和阻尼等，因此对大跨径桥梁进行模态试验分析十分必要[3]。
模态试验是通过对桥梁的振动测量和分析得到结构的固有频率、模态振型、模态阻尼、模态质量、模态刚度等模态参数[4] , 通常用于校正计算模型。
模态试验可分为人工激振和自然脉动两类方法,由于桥梁质量大，人工激振困难，通常采用自然脉动方法[5-8] 进行。
为研究不同有限元建模方法的正确性，以东平水道特大桥为工程背景，建立了单主梁模型、双主梁模型、板壳单元精细模型三种有限元模型。
并对其真实模态进行了实测，通过计算结果与实测结果的对比对有限元模型进行分析修正，从而得到最为准确的有限元数值模型，从而为后续的健康监测和安全评估服务。
1 模态分析原理和步骤把整体连续结构离散化，复杂结构的运动微分方程可以写为：(1)式中，M、C、K分别表示为系统的质量、阻尼和刚度矩阵，分别为系统的位移、速度和加速度响应矩阵，f(t)为自然激振力向量。
斜拉桥有限元建模与模型修正
夏品奇;JamesMWBrownjohn
【期刊名称】《振动工程学报》
【年(卷),期】2003(016)002
【摘要】以圆弧桥面、单偏置斜塔的Safti斜拉桥为对象,研究了斜拉桥的有限元建模技术和基于敏感度分析的有限元模型修正技术及其对该桥的应用.基于该桥现场测量的模态数据,修正后的有限元模型获得了较好的改善.
【总页数】5页(P219-223)
【作者】夏品奇;JamesMWBrownjohn
【作者单位】南京航空航天大学航空宇航学院,南京,210016;南洋理工大学土木与结构工程学院,新加坡,639798
【正文语种】中文
【中图分类】O241.82;U448.27
【相关文献】
1.基于实测索力的模型斜拉桥有限元模型修正研究 [J], 李延强;杜彦良;符强
2.基于模态测试的宽幅钢箱梁斜拉桥有限元模型对比与修正 [J], 陈林;肖阳;汪洋
3.润扬大桥斜拉桥结构安全评估的有限元建模与修正 [J], 丁幼亮;李爱群;韩晓林;缪长青;汪永兰
4.基于自适应Kriging模型的人行斜拉桥有限元模型修正 [J], 秦世强;廖思鹏;黄春雷;唐剑
5.基于静载试验的PPC斜拉桥有限元模型修正分析 [J], 陈羽中;张家滨;颜东煌
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基于实测频率进行斜拉桥模型修正的实用方法
斜拉桥模型展示了一种解决方案，用于修正桥梁的实测频率向计算频率的转移过程。
它的建模和验证使其可以用于任何类型的桥梁，涉及任何维数的系统。
它甚至可以应用于
多跨度桥梁，尤其是正反步跨度桥梁，其设置要求不在此列，而是在本文的其他部分中涵盖。
斜拉桥模型由时延阻尼系统构成，其有效阻尼系数由斜拉桥计算方法来确定，而不是
实测频率的实践。
有效阻尼系数由此可以确定，随后可根据实测频率确定对应的阻尼系数。
斜拉桥模型提供的优点是它的计算方法可以被充分利用，以更精确地估计桥梁的参数，从
而更好地解释实际桥梁的频率行为，从而更容易考虑到来自复杂的系统的振动影响。
1. 估计斜拉桥模型的参数
为了估计斜拉桥模型的参数，首先要获得实测频率的拍摄数据，以及参数的估计值。
一般地，可以利用盛金汉激励测量的频域数据并以此拟合形状为：
以此为基础，可通过最小二乘法对斜拉桥模型进行参数拟合，以确定斜拉桥模型相关
参数ε、ω、Ω0、D。
2. 根据实测频率修正斜拉桥模型
根据实测频率，可以采用类似于前文所述的拟合方法，来计算出阻尼系数δ，以修正斜拉桥模型。
选取实测频率，并以相应的频率下的项为系数，对δ进行拟合：
完成上述拟合后，可以得到所需的δ◦值。
目录一．工程概况 (2)二．建模过程 (3)2.1 截面几何特性计算 (3)2.1.1 主梁截面简化及计算 (3)2.1.2 主塔截面简化及计算 (4)2.2 拉索初始应变计算及弹模修正值计算 (6)三．模型建立 (11)3.1 不考虑垂度效应建模 (11)3.1.1无初始应变建模 (11)3.1.2改变拉索实常数 (23)3.1.3成桥状态模态分析 (24)3.2 考虑垂度效应建模 (26)3.2.1 无初始应变状态建模 (26)3.2.2 更改拉索实常数 (58)四．总结分析 (59)一．工程概况1. 桥型：三塔四跨分离式双主梁斜拉桥2. 跨径：两主跨跨径1500m ，两边跨分别设置两个过渡墩，跨径408+244=652m3. 桥宽：60.5m4. 主梁：分离式双主梁，单根主梁宽23.25m4. 桥塔：中塔为空间钻石型造型，塔高460m ，分叉点距塔顶121m ，分叉点距桥面239m ，分叉点距塔身连接横梁250m ，塔身连接横梁距塔底89m ，横梁纵桥向长64m ，横桥向长71m ，塔底塔柱横桥向间距32m ，纵桥向间距40m ；边塔为平面钻石型造型，塔高386m ，分叉点距塔顶101m ，分叉点距桥面204m ，分叉点距塔身连接横梁215m ，塔身连接横梁距塔底70m ，连接横梁横桥向长54.3m ，塔底两塔柱横桥向间距40m 。
7. 塔底距桥面距离：此处考虑纵坡影响，假设塔底同一水平线上，中塔处桥面距塔底，边塔处桥面距塔底，第一过渡墩处桥面距塔底，第二过渡墩处桥面距塔底。
8. 拉索：边跨有两种索距，分别为12m 和16m ，652m=8×2（两端距离）+12×13（14根间距为12m 的拉索）+16×30（30根间距为16m 的拉索），一幅边跨共计44根拉索，编号A0-A43；主跨只有16m 一种索距，1500m=8×2（两端距离）+16×43（44根间距为16m 的拉索，锚于边塔上，编号J0-J43）+12+16×49（50根间距为16m 的拉索，锚于主塔上，编号Z0-1，Z0-2，Z1-Z48）。
第38卷第5期2018年10月地震工程与工程振动EAＲTHQUAKE ENGINEEＲING AND ENGINEEＲING DYNAMICSVol．38No．5Oct．2018收稿日期：2018－01－09；修订日期：2018－04－12基金项目：国家科技支撑计划项目（2015BAK17B05）；中央公益事业基本科研业务专项基金项目（2014A01，2016B06）；国家自然科学基金项目（51278471）；中国地震局创新团队发展计划Supported by ：National Science and Technology Support Program （2015BAK17B05）；Central Public Welfare Fundamental Ｒesearch Special FundProjects （2014A01，2016B06）；National Natural Science Foundation of China （51278471）；China Seismological Bureau Innova-tion Team Development Plan作者简介：黄勇（1969－），男，副研究员，博士，主要从事桥梁抗震和结构健康监测研究．E-mail ：huangyong@iem．ac．cn 文章编号：1000－1301（2018）05－0067－10DOI ：10．13197/j．eeev．2018．05．67．huangy．008斜拉桥有限元模型修正与索力分析黄勇，乐威杰，车泽鑫，杨振宇，刘金龙（中国地震局工程力学研究所，中国地震局地震工程与工程振动重点实验室，黑龙江哈尔滨150080）摘要：充分利用振动测试得到的结构全局振动信息和构件局部振动信息，可以获得能够反映斜拉桥真实状况的有限元模型。
本文以克拉玛依友谊大桥为例，首先利用环境激励振动试验得到的结构整体振动频率，结合该桥设计的初始有限元模型，运用基于动力特性的响应面法完成了该桥有限元模型的修正。
基于两阶段响应面方法的结合梁斜拉桥多尺度有限元模型修正钟儒勉;樊星辰;黄学漾;宗周红【摘要】以灌河大桥为工程背景，建立了结构精细有限元模型和多尺度有限元模型，并进行全桥环境振动试验，以获取结构的实测动力特性。
基于两阶段响应面方法，分别对多尺度模型与精确有限元模型之间的误差和初步修正后多尺度模型与实际结构之间的误差进行修正，并将修正后结果与实测值进行比较。
结果表明：经过两阶段响应面模型修正后的计算结果与实测结果吻合较好，最大频率相对误差不超过8％，模态保证准则MAC值基本在90％以上，说明两阶段响应面方法能够较好地进行多尺度模型修正，保证修正后的模型参数仍然具有其物理意义；修正后的有限元模型可以进一步应用于多尺度损伤识别及损伤预后，服务于桥梁健康监测及安全评估。
%Based on the engineering background of the Guanhe Bridge, a composite cable-stayed bridge, the accurate finite element ( FE) model and the multi-scale finite element ( MFE) model was established.The actual dynamic characteristics is obtained based on the visual inspection and ambient vibration testing.Then based on two-phase response surface methods, the error between the MFE model and the accurate FE model will be updated firstly, and the error between the updated MFE mod-el and the bridge will be updated later and the results between the updated model and the measure-ments.It can be concluded that the results from the updated MFE model based on the two-phase re-sponse surface methods are in good agreement with the measurements, with the maximum error is less than 8%and the values of MAC being above 90%.Which above that the two-phase response surface methods are suitable for MFE model updating,and the parameters of the MFE model still keep their physical significance after updating.It can be used to multi-scale damage detection and multi-scale damage prognosis, and employed for bridge health monitoring and safety evaluation.【期刊名称】《东南大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(000)005【总页数】7页(P993-999)【关键词】多尺度模型;响应面方法;结合梁斜拉桥;有限元模型修正;环境振动试验【作者】钟儒勉;樊星辰;黄学漾;宗周红【作者单位】东南大学土木工程学院，南京210096;东南大学土木工程学院，南京210096;福州大学土木工程学院，福州350108;东南大学土木工程学院，南京210096【正文语种】中文【中图分类】TU375人类对于客观世界的认识是从不同尺度展开的，时空多尺度是客观世界的基本特征［1-2］.文献［3］指出多尺度计算是在保证计算精度的同时最大限度地降低计算代价的有效途径，提出了有限元微观模型与宏观模型的界面连接方法，给出了轴向、横向和转角的约束方程，最后通过采用钢-混组合框架结构试验与数值模拟相结合的方法，对界面连接方法的有效性进行了验证.文献［4-7］指出结构的多尺度问题不是结构的刚度问题，实质上是强度问题;在进行模拟时，在不同尺度上建模，将区域分成不同尺度定律控制的区域，这些区域可以重叠也可以不重叠，并在交界处实现连接，并将多尺度建模及其模型修正应用于润扬大桥等大型桥梁健康监测之中.文献［8］从材料多尺度出发，提出了一种广义双尺度分析方法(TSA)，最后通过数值试验，证明了基于有限元的TSA方法能有效反应结构的力学行为.任国武［9］从物理学的角度提出了材料多尺度模拟方法需要满足的条件，而Liu等［10］对多尺度方法进行了总结，通过引入虚拟内力法，在连接界面处可以满足力等效和能量等效，提出了一个尺度连接方法，实现计算过程的自适应.此外，Takizawa等［11］提出的基于多尺度变分方法发展了流体-结构时空多尺度方法，也可为桥梁结构的多尺度模型修正及损伤识别提供借鉴.目前的研究侧重于结构多尺度模拟及其时空多尺度效应，多尺度模型修正大多采用与单一尺度下模型修正相同或类似的方法.单一尺度下模型修正是通过一次性的模型参数误差修正，能满足工程需求;然而，对于多尺度模型在其界面耦合的研究尚不完善的基础上，所建立的初始有限元模型往往误差过大，多尺度模型修正时将模型参数(如材料弹性模量)调整1.5～2.0倍显然是不合理的.本文将多尺度建模误差(多尺度模型与精确有限元模型之间的误差)与模型参数误差(初步修正后多尺度模型与实际结构之间的误差)区分开来且不至于失去模型修正的物理意义.以灌河大桥为工程背景，在环境振动测试的基础上，探索两阶段响应面模型修正方法的可行性和可靠性，为进一步桥梁结构多尺度损失识别及损伤预后提供较为精确的有限元模型.1 灌河大桥环境振动试验灌河大桥主桥采用双塔双索面半飘浮5跨连续组合梁斜拉桥，跨径组成为32.9m+115.4 m+340 m+115.4 m+32.9 m，主桥布置见图1.主梁采用工字型钢梁，钢纵梁、钢横梁、小纵梁通过节点板及高强螺栓连接形成空间钢架，钢架上架设预制桥面板，现浇膨胀混凝土湿接缝，与钢梁上的抗剪栓钉形成整体，组成组合梁体系.斜拉索采用OVM250系列环氧涂层钢绞线拉索，索塔采用空心箱形断面，C50混凝土，索塔在桥面以上高度为96.548 m，2006年11月竣工通车.图1 灌河大桥总体布置2012年6月30日—7月1日，对灌河大桥主桥进行环境振动试验，每跨布置8个测点和1个共用参考点(见图2)，每个测点布置1个三向加速度传感器，每跨作为一个测站，共7个测站;其中参考点设在跨中，测点全部布置在紧急停靠带边缘.桥面振动的采样频率为200 Hz，滤波频率为200 Hz，每个测站的采样时间不低于15 min.对测试所得的数据，分别基于峰值(PP)法和随机子空间(SSI)方法进行系统参数识别［12］，得到灌河大桥实测的自振频率和振型.图2 环境振动测点布置2 多尺度有限元模型采用大型有限元软件 ANSYS进行建模分析［13］，全桥共划分为2253个单元.其中斜拉索单元采用杆单元Link8;大尺度桥面系及索塔采用三主梁模型，选用beam188单元;跨中局部小尺度下，桥面板采用实体单元Soild45，主梁及小纵梁采用板壳单元 Shell43;二期恒载和压重块采用mass21单元模拟.索塔底部固结，边墩、辅助墩处与梁交接处以及塔梁交接处均以弹簧单元combin14连接;通过初应变方法施加索力，并通过实测索力和线形进行结构初平衡.坐标系原点选在边墩桥面板中下部，沿桥梁纵向为Z轴，以竖向向上为+Y轴，横向为X轴，有限元模型如图3所示.将建立的多尺度模型、精细有限元模型和脊骨梁模型在同等计算条件下，比较其在模态分析时的计算效率，如表1所示.图3 斜拉桥有限元模型表1 模型计算效率注:表中数据已做归一化处理，即将脊骨梁模型计算效率假定为1.模型脊骨梁模型多尺度模型247.39精细模型效率 1 5.823 两阶段响应面模型修正两阶段响应面模型修正［14］，即将响应面方法分别应用于多尺度建模修正和模型参数修正中，其步骤为:①将精细有限元建模计算得到的频率值作为多尺度模型的目标值，并基于三阶响应面方法对多尺度建模过程中设定的截面实常数进行修正;②将环境振动试验得到的实测频率作为目标值，并基于三阶响应面方法对初步修正后模型的材料参数、支座参数进行修正.其基本流程如图4所示.图4 多尺度模型两阶段响应面修正流程图3.1 多尺度建模修正3.1.1 精细有限元模型计算采用大型有限元软件ANSYS进行建模分析，全桥共划分为87459个节点，46228个单元.其中斜拉索单元采用杆单元Link8;索塔和桥面板采用实体单元Soild45;主梁及小纵梁采用板壳单元Shell43;成桥状态自振特性分析时二期恒载和压重块采用mass21单元模拟.索塔底部固结，边墩、辅助墩处与梁交接处以及塔梁交接处均以弹簧单元combin14连接.坐标系原点选在混凝土梁梁端，沿桥梁纵向为Z轴，以竖向向上为+Y轴，横向为X轴，最终的有限元模型如图5所示.图5 斜拉桥精细有限元模型3.1.2 修正参数筛选在多尺度建模过程中，宏观尺度下梁单元实常数的选取往往是通过初步近似计算得到的，特别是结合梁斜拉桥，其各部分的协同工作程度对于截面实常数的影响较大，难以估量的实常数选取造成了建模过程中的误差，本文根据工程竣工图和经验给出待修正参数(筛选)如表2所示.3.1.3 三阶响应面模型修正在多尺度建模修正中，采取三阶响应面方法对选择的参数进行修正.其步骤如下:①基于D最优设计方法，选择30组设计样本，并将样本参数代入多尺度有限元模型中，计算得到竖向前3阶频率，如表3所示.② 选取三阶响应面函数，应用最小二乘法回归分析技术对样本数据进行拟合，即表2 多尺度模型待修正参数(筛选)注:I1，I2，I3为梁单元抗弯惯性矩.待修正参数区域主梁截面高度/m 顶板厚度/mm I1 边墩 4.53650 I2 桥塔 2.8 50 I3 跨中 2.8 表3 试验样本值注:R1，R2，R3表示竖向一、二和三阶频率.序号自变量/m频率样本/Hz I1 I2 I3 R1 R2 R 430.8212 20.397 10.14 8.14 0.335 0.525 0.8303 20.397 6.591 7.319 0.33 0.509 0.79528 31.38 7.644 5.291 0.328 0.4890.76929 26.454 6.591 6.58 0.329 0.502 0.78430 20.397 10.14 5.291 0.335 0.5251 24.336 9.239 7.873 0.334 0.5210.830式中，R1为竖向一阶振动频率.式(1)为竖向基频的响应面拟合函数.响应面模型与各参数关系如图6所示.对回归后的响应面模型进行精度检验以保证其可靠性，计算参数范围内的相关系数R2及均方根误差RMSE值，即图6 竖向一阶频率响应面式中，yRS(j)为一次响应面模型的计算值;y(j)为相应的有限元分析计算结果;¯y为有限元分析计算结果的平均值;N为设计空间上检验点的数量.计算的R2及RMSE值如表4所示.由表可知，R2值很接近1，RMSE值很接近0，即响应面函数计算值与真值之间的差异程度很小.因此，在参数设计空间内，响应面函数能有效地反映结构响应和参数之间的关系，回归的响应面模型可以替代有限元模型用于模型修正. 表4 竖向振动响应面模型精度检验值模态阶次竖向一阶竖向二阶竖向三阶R2 0.99996 0.999995 0.9999997 RMSE/10－6 5.08 2.773.12如表5所示，将修正后的参数代入有限元模型进行计算，并将计算得到的频率与实测结果进行比较，结果如表6所示.从表中可以看出，响应面模型修正后计算得到的频率与精细模型计算得到的频率吻合较好，最大误差不超过10%，说明能采用初步修正后的多尺度模型对实桥进行有限元模型计算.表5 修正后参数值与初始值比较 m4注:误差=100% ×(修正值－初始值)/初始值.参数初始值修正值误差/%I1 22.40 30.5715.6736.49 I2 7.60 9.30 22.51 I35.296.12表6 修正后频率与实测频率比较注:误差率=100% ×(精细值－修正值)/精细值.0.79精细计算频率/Hz 0.36 0.500 0.76误差率/% 8.04 0.400竖向三阶修正后频率/Hz 0.33 0.502模态阶次竖向一阶竖向二阶4.333.2 模型参数修正3.2.1 修正参数筛选在模型参数修正中，根据灌河大桥桥梁检测报告，选取材料弹性模量、支座弹簧刚度等作为修正参数［14］，并且根据工程经验和强度等级分布等给出待修正参数，即桥面板混凝土弹性模量E1、各支座纵向弹簧刚度K1、桥塔处支座横向弹簧刚度K2、边墩及辅助墩处横向弹簧刚度K3.3.2.2 三阶响应面模型修正在模型参数修正中，采取三阶响应面方法对选择的参数进行修正.其步骤同上，表7为试验设计的样本点，竖向基频的响应面拟合函数为图7为各参数与竖向、横向、纵向一阶频率的关系图.对回归后的响应面模型进行精度检验以保证其可靠性，分别运用式(2)、(3)计算参数范围内的R2及RMSE值，结果见表8.由表可见，R2值很接近1，RMSE值很接近0，说明响应面函数计算值与真值之间的差异程度很小.因此，在参数设计空间内，响应面函数能有效地反映结构响应和参数之间的关系，回归的响应面模型可以替代有限元模型用于模型修正.表7 试验样本值注:R4，R5表示横向一阶和二阶频率;R6表示纵向一阶频率;R7表示扭转一阶频率.序号 E1/GPa 自变量/(MN·m－1频率样本/Hz K1 K2 K3 R1 R2 R3 R4 R5 R6 R)70.5852 3.57 25.00 5.00 18.42 0.355 0.508 0.797 0.411 0.615 0.886 0.5853 3.80 19.37 5.00 5.00 0.362 0.512 0.799 0.311 0.423 0.8750.58543 3.80 17.22 15.00 8.98 0.361 0.512 0.799 0.360 0.492 0.869 0.58544 3.80 15.00 5.00 20.00 0.362 0.512 0.799 0.423 0.636 0.861 0.58545 3.80 25.00 5.00 11.34 0.362 0.512 0.799 0.380 0.526 0.8861 3.45 20.71 15.00 12.08 0.347 0.505 0.797 0.377 0.531 0.8780.585图7 各参数与竖向、横向、纵向一阶频率的关系图表8 各阶振动响应面模型精度检验值模态阶次竖向一阶竖向二阶98 RMSE/10－6 1.55 1.96竖向三阶R2 0.99999926 0.9999989 0.9999990.244由表9可以看出，修正后的参数仍然具有其真实的物理意义.再将修正后的参数代入多尺度模型进行计算，并将计算得到的结果与精细模型结果进行比较，如图8和表10所示.由此可见，面模型修正后计算得到的频率与实测频率吻合较好，最大误差不超过8%.图8 灌河大桥实测与计算振型比较表9 修正前后参数值比较注:误差率=100% ×(修正值－初始值)/初始值.4.2K1/(MN·m －1) 1500 1754 14.5 K2/(MN·m －1) 5000 6470 22.7 K3/(MN·m －1) 10 10.77/%E1/GPa 34.5 36.0参数初始值修正值误差率7.1表10 修正后的频率与实测频率的比较振动方向阶数/Hz实测值(SSI法)频率精细模型计算值一阶段修正后计算值二阶段修正后计算值一阶段修正后误差/%二阶段修正后误差/%修正前MAC/%修正后MAC/%一竖向93.15横向一 0.39 0.28 0.28 0.37 28.21 5.13 87.6591.01二0.50 0.50 0.50 0.51 0.00 2.00 88.65 91.21三0.77 0.76 0.79 0.80 2.60 3.90 92.130.38 0.36 0.33 0.35 13.16 7.8090.0592.25扭转一 0.63 0.59 0.59 0.59 6.35 6.35 91.9291.11二0.50 0.390.39 0.52 22.00 4.00 89.0592.11纵向一 0.87 0.15 0.15 0.87 82.76 0.0092.1295.234 结论1)基于环境振动试验和响应面方法，建立了基于两阶段响应面的斜拉桥结构多尺度模型修正方法.灌河大桥多尺度有限元模型表明:基于两阶段响应面方法修正后的计算频率与实测频率吻合较好，最大相对误差不超过8%，MAC值基本在90%以上，说明两阶段响应面方法能够较好地进行多尺度模型修正，且修正后的模型参数仍然具有其物理意义而不失真.2)探讨了基于不同来源的模型误差修正方法，在多尺度模型修正中，可将多尺度建模误差与模型参数误差区分开来进行修正，为多尺度模型修正提供了一种思路.修正后的有限元模型可以进一步应用于多尺度有限元模型确认、多尺度损伤识别及损伤预后，服务于桥梁健康监测和安全评估.参考文献(References)［1］James G，Sharp D.Multi-scale science:a challenge for the twenty-first century ［J］.Advances in Mechanics，1998，28(4):545-551.［2］Bazant Z P，Chen E P.Scaling of structural failure［J］.Appl Mech Rev，1997，50(10):593-627.［3］林旭川，陆新征，叶列平.钢-混凝土混合框架结构多尺度分析及其建模方法［J］.计算力学学报，2010，6(3):469-475.Lin Xuchuan，Lu Xinzheng，Ye Lieping.Multi-scale finite element modeling and its application in the analysis of a steel-concrete hybrid frame［J］.Chinese Journal of Computational Mechanics，2010，6(3):469-475.(in Chinese)［4］Li Z X，Zhou T，Tommy H T，et al.Multi-scale numerical analysis ondynamic response and local damage in long-span bridges［J］.Engineering 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